Арга зүй хамгийн огцом уналтба координатаар уруудах нь хүртэл квадрат функцшаарддаг хязгааргүй тоодавталт. Гэсэн хэдий ч квадрат функцийн хувьд ийм удмын чиглэлийг барьж болно

• (3.12)
• (Үүнд r нь n хэмжээст вектор) тэгш хэмтэй эерэг тодорхой матрицтай А бол буух процесс нь хязгаарлагдмал тооны алхмуудаар яг минимум руу нийлнэ.

Эерэг тодорхой матриц нь векторын нормыг дараах байдлаар оруулах боломжийг бидэнд олгоно.

Тодорхойлолт (3.13) нь x ба y хоёр векторын скаляр үржвэр нь хэмжигдэхүүн (x, Ау) гэсэн үг юм. Энэ цэгийн үржвэрийн утгаараа ортогональ векторууд

(x, Ау) = 0 (3.14)

коньюгат гэж нэрлэдэг (өгөгдсөн А матрицын хувьд).

Үүний үндсэн дээр том бүлэгаргууд: коньюгат градиент, коньюгат чиглэл, зэрэгцээ шүргэгч болон бусад.

Квадрат функцийн хувьд тэдгээрийг ижил амжилттай ашигладаг. Алгоритмын нарийвчилсан мэдээллийг сайтар сонгосон коньюгат чиглэлийн арга нь дурын функцүүдэд хамгийн сайн ерөнхийлдөг.

Эхлээд энэ аргыг квадрат хэлбэрт хэрхэн хэрэглэхийг авч үзье (3.12). Үүнийг хийхийн тулд коньюгат векторуудын зарим шинж чанарууд хэрэгтэй болно.

Ямар нэг хос хосолсон векторуудын систем x i байг. Бид эдгээр вектор бүрийг нормын утгаар (3.14) хэвийн болгож, дараа нь тэдгээрийн хоорондын харилцаа хэлбэрийг авна.

Харилцан нийлсэн векторууд шугаман бие даасан байдгийг баталцгаая. Тэгш эрхээс

матрицын эерэг тодорхойтой зөрчилдөж байна. Энэхүү зөрчилдөөн нь бидний мэдэгдлийг баталж байна. Энэ нь n-коньюгат векторуудын систем нь n хэмжээст орон зайд суурь болно гэсэн үг юм. Өгөгдсөн матрицын хувьд харилцан уялдаатай векторуудаас бүрдэх хязгааргүй тооны суурь байдаг.

Зарим нэг нийлмэл суурийг олцгооё x i, 1 in. Дурын r 0 цэгийг сонгоцгооё. Энэ цэгээс аливаа хөдөлгөөнийг коньюгат суурь болгон өргөжүүлж болно

Энэ илэрхийлэлийг орлуулах баруун тал(3.12) томъёогоор бид үүнийг суурь (3.15) -ын холболтыг харгалзан дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Сүүлийн нийлбэр нь нэр томъёоноос бүрдэх бөгөөд тус бүр нь нийлбэрийн зөвхөн нэг бүрэлдэхүүн хэсэгтэй тохирч байна (3.16). Энэ нь x i нийлбэрийн аль нэг чиглэлийн дагуух хөдөлгөөн нь үлдсэн хэсэгт нөлөөлөхгүйгээр нийлбэрийн (3.17) зөвхөн нэг гишүүнийг өөрчилнө гэсэн үг юм.

r 0 цэгээс бид x i коньюгат чиглэл бүрийн дагуу хамгийн багадаа ээлжлэн уналт хийдэг. Уруудах бүр нь нийлбэр (3.17) дахь хугацааг багасгадаг бөгөөд ингэснээр квадрат функцын хамгийн багадаа нэг уналтын мөчлөгийг, өөрөөр хэлбэл хязгаарлагдмал тооны алхмуудыг гүйцэтгэсний дараа яг хүрнэ.

Зэрэгцээ шүргэгч хавтгайн аргыг ашиглан коньюгат суурийг байгуулж болно.

Тодорхой шулуун х вектортой параллель байх ба энэ шулуун дээрх квадрат функц r 0 цэгт хамгийн бага утгад хүрнэ. Энэ r = r 0 + bx шулууны тэгшитгэлийг (3.12) илэрхийлэлд орлуулж, функцийн минимумын нөхцөлийг хангахыг шаардацгаая.

c(b) = Ф(r 0) + b 2 + b (x, 2Аr 0 + b),

ба тавих (dts/db) b-0 = 0. Энэ нь хамгийн бага цэгээр хангагдсан тэгшитгэлийг илэрхийлнэ.

(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3.18)

Эхнийхтэй параллель өөр шугам дээр функц r 1 цэг дээр хамгийн бага утгыг авбал ижил төстэй байдлаар бид (x, 2Аr 1 + b) = 0-ийг олно.

(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3.19)

Үүний үр дүнд хоёр зэрэгцээ шугамын хамгийн бага цэгүүдийг холбосон чиглэл нь эдгээр шугамын чиглэлтэй нийлдэг.

Иймд дурын өгөгдсөн х векторт вектор коньюгат байгуулах үргэлж боломжтой байдаг. Үүнийг хийхийн тулд x-тэй параллель хоёр шулуун зурж, мөр бүр дээр квадрат хэлбэрийн хамгийн бага хэмжээг олоход хангалттай (3.12). Эдгээр минимумуудыг холбосон r 1 r 0 вектор нь x-тэй коньюгат байна. Энэ шулуун дээрх функц хамгийн бага утгыг авах цэг дээр шулуун шугам нь түвшний шугамд хүрч байгааг анхаарна уу; Аргын нэр нь үүнтэй холбоотой.

X i, 1 imn коньюгат векторуудын системээр үүсгэгдсэн хоёр зэрэгцээ м хэмжээст хавтгай байг. Эдгээр хавтгай дээрх r 0 ба r 1 цэгүүдэд квадрат функц хамгийн бага утгад хүрнэ. Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан хамгийн бага цэгүүдийг холбосон r 1 r 0 вектор нь бүх x i векторуудтай коньюгат болохыг баталж чадна. Иймээс, хэрэв коньюгат векторуудын бүрэн бус систем x i өгөгдсөн бол энэ аргыг ашиглан энэ системийн бүх векторуудтай r 1 r 0 коньюгат векторыг байгуулах боломжтой.

Коньюгат суурийг бий болгох үйл явцын нэг мөчлөгийг авч үзье. Сүүлийн m векторууд харилцан уялдаатай байх суурийг аль хэдийн бий болгоё эхний n-mвекторууд нь сүүлчийн коньюгат биш юм. Суурийн сүүлчийн m вектороор үүсгэгдсэн зарим m хэмжээст хавтгайд квадрат функцийн (3.12) минимумыг олъё. Эдгээр векторууд нь харилцан уялдаатай байдаг тул үүнийг хийхийн тулд r 0 цэгийг дур мэдэн сонгож, эдгээр чиглэл бүрийн дагуу (хамгийн багадаа) дараалан доошилно. Энэ хавтгайн хамгийн бага цэгийг r 1 гэж тэмдэглэе.

Одоо r 1 цэгээс бид эхний n - m суурь векторуудын дагуу ээлжлэн уналт хийнэ. Энэ буулт нь траекторийг эхний хавтгайгаас гаргаж, r 2 цэгт хүргэнэ. r 2 цэгээс бид сүүлчийн m чиглэлийн дагуу дахин уруудах бөгөөд энэ нь r 3 цэг рүү хүргэнэ. Энэ буулт нь эхний хавтгайтай зэрэгцээ хоёр дахь хавтгайд хамгийн бага хэмжээг яг олох гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд r 3 - r 1 чиглэл нь сүүлийн m суурь векторуудтай коньюгат байна.

Хэрэв суурь дахь коньюгат бус чиглэлүүдийн аль нэгийг r 3 - r 1 чиглэлд сольсон бол шинэ суурь дээр аль хэдийн m + 1 чиглэл нь харилцан уялдаатай байх болно.

Циклүүдийг дурын үндсэн дээр тооцоолж эхэлцгээе; үүний тулд бид m=1 гэж үзэж болно. Нэг мөчлөгт тайлбарласан процесс нь суурь дахь коньюгат векторуудын тоог нэгээр нэмэгдүүлдэг. Энэ нь n - 1 мөчлөгт бүх суурь векторууд коньюгат болж, дараагийн мөчлөг нь траекторийг квадрат функцийн (3.12) хамгийн бага цэг рүү хөтөлнө гэсэн үг юм.

Коньюгат суурийн тухай ойлголт нь зөвхөн квадрат функцэд зориулагдсан боловч дээр дурдсан процесс нь дурын функцэд албан ёсоор хэрэглэгдэх боломжтой бүтэцтэй байдаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд тодорхой төрлийн квадрат функцтэй холбоотой томьёог хаана ч ашиглахгүйгээр параболын аргыг ашиглан чиглэлийн дагуу хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай (3.12).

Хамгийн бага хэмжээтэй жижиг орчинд хангалттай гөлгөр функцын өсөлтийг ихэвчлэн (3.2) төрлийн тэгш хэмт эерэг тодорхой квадрат хэлбэрээр илэрхийлдэг. Хэрэв энэ дүрслэл үнэн зөв байсан бол коньюгат чиглэлийн арга нь хязгаарлагдмал тооны алхмаар нэгдэх болно. Гэхдээ дүрслэл нь ойролцоогоор, тиймээс алхамуудын тоо хязгааргүй байх болно; гэхдээ энэ аргын хамгийн багадаа ойртох нь квадрат байх болно.

Квадрат конвергенцийн ачаар коньюгат чиглэлийн арга нь хамгийн бага утгыг өндөр нарийвчлалтайгаар олох боломжийг олгодог. Шугаман нэгдэл бүхий аргууд нь ихэвчлэн координатын туйлын утгыг бага нарийвчлалтай тодорхойлдог.

Хамтарсан чиглэлийн арга нь хамгийн шилдэг нь бололтой үр дүнтэй аргаудам Энэ нь доройтсон хамгийн бага, уусдаг жалга, рельефийн сул налуу хэсгүүд - "тэгс", олон тооны хувьсагчтай - хорин арван хүртэл сайн ажилладаг.

Сонгодог механик ба электродинамик нь атомын үзэгдлийг тайлбарлахад ашиглахыг оролдохдоо туршилттай эрс зөрчилдсөн үр дүнд хүргэсэн. Үүний хамгийн тод жишээ бол сонгодог тойрог замд электронууд цөмийг тойрон хөдөлдөг атомын загварт сонгодог электродинамикийг ашиглах оролдлого юм. Ийм хөдөлгөөний үед, хурдатгалтай цэнэгийн аливаа хөдөлгөөнтэй адил электронууд нь цахилгаан соронзон долгион хэлбэрээр энерги ялгаруулж, эцэст нь эерэг цэнэгтэй цөм рүү унах нь гарцаагүй. Тиймээс - сонгодог электродинамикийн үүднээс атом тогтворгүй байдаг. Бидний харж байгаагаар энэ диссертаци үнэн биш юм. Онол ба туршилтын хооронд ийм гүнзгий зөрчилдөөн байгаа нь бичил биетүүдийг дүрслэх нь сонгодог үндсэн ойлголт, хуулиудыг үндсээр нь өөрчлөх шаардлагатай байгааг харуулж байна.

Хэд хэдэн туршилтын өгөгдлөөс (электронын дифракц гэх мэт) атомын үзэгдлийг зохицуулдаг механикууд - квант механик нь сонгодог механикийн үзэл санаанаас үндсэндээ ялгаатай хөдөлгөөний талаархи санаануудад үндэслэсэн байх ёстой гэж үздэг. Квант механикт бөөмийн замнал, улмаар бусад динамик шинж чанаруудын тухай ойлголт байдаггүй. Энэхүү диссертацийг ГАЙЗЕНБЕРГИЙН тодорхой бус байдлын зарчмаар томъёолсон болно.

Микрообъектийн координат ба импульсийг нэгэн зэрэг нарийвчлалтайгаар хэмжих боломжгүй.

ДxДх³ h (II.1)

Тодорхойгүй байдлын хамаарал нь зөвхөн координат ба импульс төдийгүй бусад хэд хэдэн хэмжигдэхүүнүүдийг холбодог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (мөн үүнийг дараа нь авч үзэх болно).

Одоо квант механикийн математик аппаратын талаар эргэн харцгаая.

Оператор АФункц тус бүрийн дагуу дүрмийг дууддаг заншилтай байдаг е функцтэй тохирч байна j :

j= А е (II.3)

Операторуудын хамгийн энгийн жишээ: квадрат язгуур, ялгах гэх мэт.

Функц болгонд ямар ч оператор нөлөөлж чадахгүй, жишээлбэл, дифференциал бус функцэд ялгах оператор нөлөөлөх боломжгүй; Иймд аливаа операторыг зөвхөн тодорхой ангиллын функц дээр тодорхойлж болох бөгөөд зөвхөн нэг функцийг нөгөө функц болгон хувиргах дүрмийг төдийгүй түүний ажиллах функцүүдийн багцыг зааж өгсөн бол тодорхойлогдсон гэж үзнэ.

Тоонуудын алгебртай зүйрлэснээр бид операторуудын алгебрийг танилцуулж болно.

1) Нийлбэр эсвэл зөрүү операторууд

(А ± Б ) · е = А · е ± Б · е (II.4)

2) Операторуудын бүтээгдэхүүн

AB · е = А (Б · е ) (II.5)

тэдгээр. эхлээд функц дээр е оператор ажиллаж байна Б , зарим нэг шинэ функцийг бий болгож, дараа нь оператор үүнийг хэрэгжүүлдэг А . IN ерөнхий тохиолдолоператорын үйлдэл AB операторын үйлдэлтэй тохирохгүй байна Б.А. .

Үнэхээр, хэрэв A=d/dx Тэгээд B=x ,

Тэр AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

А BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Хэрэв AB=БА, дараа нь операторуудыг зорчих гэж нэрлэдэг ба хэрэв AB-BAº(A,B) (II.6), дараа нь тэд ажилдаа явахгүй. Хаалтанд байгаа илэрхийллийг коммутатор гэж нэрлэдэг.

Квантын механикт шугаман өөрөө залгах (эсвэл Гермит) операторуудыг ихэвчлэн ашигладаг. Шугаман шинж чанар нь үүнийг илэрхийлдэг

А(в 1 е 1 +c 2 е 2 )е =в 1 Ае 1 +c 2 Ае 2 (II.7)

Хаана в 1 Тэгээд в 2 - тогтмолууд, ба е 1 Тэгээд е 2 - операторыг тодорхойлсон дурын функцууд А. Энэ математик шинж чанарсуперпозицийн зарчимтай нягт холбоотой.

Өөрөө залгагдсан Hermitian оператор нь дараахь тэгш байдлыг хангасан оператор юм.

òf 1 * (x)(Af 2 (x))dx = òf 2 (х)(А * е 1 * (x))dx (II.8)

гэж таамаглаж байна А дээр тодорхойлсон е 1 * (x) Тэгээд е 2 (x) (1.8)-д орсон бүх интегралууд байдаг. Эрмитийн шаардлага нь квант механикийн хувьд маш чухал бөгөөд доороос бид шалтгааныг олж мэдэх болно.

Өмнө дурьдсанчлан, операторын үйлдэл нь нэг функцийг нөгөө функц болгон хувиргахад багасдаг боловч операторын үйл ажиллагааны үр дүнд анхны функц өөрчлөгдөхгүй эсвэл тогтмол тоогоор үржих тохиолдол бас боломжтой байдаг. Хамгийн энгийн жишээ:

Энэ нь оператор бүр гэж маргаж болно А харьцуулж болно шугаман тэгшитгэлтөрөл:

Ае = af (II.9) ,

Хаана а = const. а операторын хувийн утга бөгөөд е - операторын өөрийн функц. Энэ тэгшитгэлийг хувийн утга тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. (1.9) тэгшитгэл нь чухал бус шийдлийг авах тогтмолуудын утгыг хувийн утга гэнэ. Тэд хамтдаа салангид, тасралтгүй эсвэл холимог байж болох хувийн утгуудын спектрийг бүрдүүлдэг. Утга бүр нэг буюу хэд хэдэн хувийн функцтэй тохирч байна е Т , хэрэв зөвхөн нэг функц нь нэг хувийн утгатай тохирч байвал энэ нь доройтдоггүй, хэд хэдэн байвал доройтдог.

Хувийн функц ба хувийн утга Эрмит (өөрөө хавсарсан) операторууд хэд хэдэн шинж чанартай байдаг:

1. Ийм операторуудын хувийн утга бодит байна.

2. Өөрийн гэсэн функцүүд е 1 Тэгээд е 2 өөр өөр хувийн утгад хамаарах ийм операторууд -тай 1 Тэгээд в 2 тус тус бие биедээ ортогональ, i.e. ò е 1 * (x) е 2 (x) dx = 0 (II.10)

3. Тэдгээрийг нэгдмэл байдалд оруулах тусгай нормчлолын хүчин зүйлийг оруулах замаар хэвийн болгох ёстой бөгөөд үүнийг ерөнхий тохиолдолд ортонормаль байдлын нөхцлөөр тодорхойлдог. ò е м * (x) е n (x) dx =г mn , г mn =0 цагт м ¹ n Тэгээд г mn =1 цагт м = n (II.11)

4. Хэрэв хоёр оператор АТэгээд Бнь хувийн функцүүдийн нийтлэг системтэй, дараа нь тэд шилжих ба эсрэг заалт нь бас үнэн юм

5. Гермитийн операторын хувийн функцууд нь бүрэн ортонормаль олонлогийг бүрдүүлдэг, i.e. Хувьсагчийн ижил домэйнд тодорхойлсон аливаа функцийг операторын хувийн функцуудын цуваа хэлбэрээр төлөөлж болно. А:

(II.12),

Хаана в n- зарим тогтмолууд, энэ өргөтгөл нь яг нарийн байх болно.

Сүүлийн шинж чанар нь квант механикийн аппаратын хувьд маш чухал бөгөөд учир нь түүний үндсэн дээр операторуудын матриц дүрслэлийг барьж, шугаман алгебрийн хүчирхэг аппаратыг ашиглах боломжтой юм.

Үнэхээр тэр үеэс хойш (II.12)үндсэн функцууд е n (x)мэдэгдэж байгаа гэж үзвэл функцийг олно F(x)бүх тэлэлтийн коэффициентийг олоход шаардлагатай бөгөөд хангалттай ( в n). Одоо зарим операторыг авч үзье Бфункц дээр ажилладаг c(x)руу шилжүүлдэг F(x):

Ф(x) = Бв(x) (II.13)

Одоо функцуудыг төсөөлцгөөе F(x)Тэгээд Бc(x)эгнээ хэлбэрээр (II.12):

(II.14)

мөн тэдгээрийг оруулна уу (II.13)

(II.15)

(II.16)

Тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлье е к * (x)ортонормаль байдлын нөхцлийг харгалзан нэгтгэх:

Тэгш байдал (II.17)функцээс шилжих шилжилтийг дүрсэлдэг c(x)ажиллах F(x), энэ нь бүх коэффициентийг тогтоох замаар хийгддэг М kn. Бүх тоо хэмжээний багц М knоператор байна Бматрицын дүрслэлд байх ба гэж бичиж болно

Тиймээс дурын дурын оператор Б матрицын дүрслэлийг тоонуудын квадрат хүснэгт, матриц хэлбэрээр дүрсэлж болох бөгөөд энэ дүрслэлийг зөвхөн операторын төрөл болон үндсэн функцүүдийн анхны багцаар тодорхойлно.

Одоо матрицын онолын үндсэн заалтуудыг товч дурдъя. Ерөнхийдөө матриц бол бодит эсвэл нийлмэл тоонуудын цуглуулга юм а ij, тэгш өнцөгт хүснэгтэд байрлуулсан матрицын элементүүд гэж нэрлэгддэг

Индексүүд биТэгээд jэлемент гэдгийг харуулна а ijуулзвар дээр байрладаг бир мөр ба jр багана. Хэрэв матрицтай бол nшугам ба мбагана, дараа нь хэмжээстэй гэж хэлнэ ( n x м), Хэрэв n = м, дараа нь матрицыг квадрат гэж нэрлэдэг. Хэмжээтэй тэгш өнцөгт матриц ( 1 x м)-ийг эгнээний вектор гэж нэрлэдэг ба ( n x1) нь баганын вектор юм. Матрицын элемент а ijцагт би = jдиагональ, диагональаас бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матрицыг диагональ, бүх элементүүд нь нэгтэй тэнцүү диагональ матрицыг нэгдмэл гэж нэрлэдэг. Диагональ элементүүдийн нийлбэрийг ул мөр гэж нэрлэдэг. Sp.

Матрицын алгебрийг бүтээхэд хялбар бөгөөд үүнийг дараах дүрмүүд болгон бууруулна.

1. Матрицууд ба бүх тохиолдолд тэнцүү гэж хэлнэ биТэгээд jтэгш байдал үнэн: а ij = б ij

2. Матриц ба хэмжээсийн нийлбэр ( n x м) хэмжээсийн матриц байх болно ( n x м) хүн бүрт ийм байна биТэгээд jтэгш байдал үнэн: в ij = а ij + б ij

3. Матрицыг дурын тооны үржвэр абүгдэд зориулагдсан ижил хэмжээтэй матриц байх болно биТэгээд jтэгш байдал үнэн: в ij = аа ij

4. Хэмжээний матрицын бүтээгдэхүүн ( n x м) хэмжээсийн матриц дээр ( м x х) хэмжээсийн матриц гэж нэрлэдэг ( n x х) тийм

(II.20)

5. Матрицад бүх матрицын элементүүд багтсан бол түүнийг комплекс коньюгат гэнэ а ijнарийн төвөгтэй коньюгатаар солигдсон а ij * . Матрицыг мөрүүдийг баганаар солих замаар олж авсан бол түүнийг шилжүүлнэ гэж хэлдэг ба эсрэгээр: а ’ ij = а жи. Матрицыг шилжүүлсэн ба нийлмэл коньюгатыг коньюгат гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ

ХОЛБООТОЙ ФУНКЦ

Функцийн онолын тухай ойлголт бөгөөд энэ нь функцүүдийн харгалзах ангиллын тодорхой оролцоотой операторын тодорхой тусгал юм.
1) S. f. нийлмэл утгатай функц рүү . дуудсан утгууд нь f-ийн утгатай нийлдэг нийлмэл функц.
2) S. f. гармоник функц руу - үзнэ үү Коньюгат гармоник функцууд.
3) S. f. f(x) функц дээрх k -үелэх интегралчийг гэнэ. функц

энэ нь бараг хаа сайгүй байдаг бөгөөд -нийлбэр буюу Абел-Пуассоны нийлбэртэй давхцдаг коньюгат тригонометрийн цуврал.
4) S. f. ажиллах хоёрдмол байдалд байгаа X вектор орон зайд тодорхойлогддог (хоёр шугаман хэлбэрийн хувьд ) вектор орон зайтай Y-хамаарлаар өгөгдсөн Y дээрх функц

-д заасан функцийн хувьд Y,коньюгат функц нь ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог.

S. f. нэг хувьсагчийн функц руу функц байх болно

S. f. ажиллах Хилбертийн X орон зайд скаляр үржвэр нь функц юм S. f. хэвийн байдалд хэвийн орон зайд функц байх болно N*(y) , тэгтэй тэнцүү бол хэрэв тэнцүү бол
Хэрэв f гөлгөр бөгөөд хязгааргүйд илүү хурдан ургадаг шугаман функц, тэгвэл f* өөр юу ч биш Домогфункцууд f. Нэг хэмжээст хатуу гүдгэр функцүүдийн хувьд (*)-тай тэнцэх тодорхойлолтыг бусад үгээр В.Янг өгсөн. W. Jung тодорхойлсон S. f. ажиллах

хаана тасралтгүй, хатуу нэмэгдэж байна, хамаарлаар

хаана байна? Нэг хэмжээст функцүүдийн тодорхойлолтоос (*) урвуу функцийг анх С.Манделбройт, хязгаарлагдмал хэмжээст тохиолдолд В.Фенхел, хязгааргүй хэмжээст тохиолдолд Ж.Моро, А.Бронстед нар санал болгосон. Гүдгэр функцийн хувьд n-тэй нийлдэг, Янгийн

S. функц нь гүдгэр хаалттай функц юм. Коньюгацийн оператор*: тохирох гүдгэрийн багцыг өвөрмөц байдлаар харуулдаг хаалттай функцууд X дээр Y (Fennel - Moreau) дээрх зөв гүдгэр хаалттай функцүүдийн цуглуулга.
Дэлгэрэнгүй мэдээллийг үзнэ үү.
бас үзнэ үү Гүдгэрийн шинжилгээ, Дэмжих функц, Хоёрдмол байдалэкстремаль асуудлууд болон гүдгэр шинжилгээнд.

Гэрэл.: Joung W. H., lProc. Рой. Соц. А

Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. I. M. Виноградов. 1977-1985 он.

Бусад толь бичгүүдээс "ТАГДАЛТАЙ ФУНКЦИЯ" гэж юу болохыг харна уу:

X вектор орон зайд байрлах А олонлогийн туслах функциональ нь Y вектор орон зайд тодорхойлогдсон sA функц бөгөөд үүнтэй харилцан хамаарлаар хоёрдмол байдалтай байна. Жишээлбэл, O. f. нормчлогдсон орон зай дахь нэгж савыг...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Дифференциал тэгшитгэлийн хилийн бодлогын шийдлүүдийн салшгүй төлөөлөлтэй холбоотой функц. G. f. шугаман дифференциал тэгшитгэлийн заагийн бодлого үндсэн шийдэлнэг төрлийн хилийн нөхцлийг хангасан тэгшитгэл.... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Антианалитик функц, голоморф функцтэй нийлмэл нэгдэл болох нэг буюу хэд хэдэн цогц хувьсагчийн функц (Аналитик функцийг үзнэ үү). Е.Д.Соломенцев ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Хяналт, функц u(t), багтсан дифференциал тэгшитгэлцаг мөч бүрт сүргийн утгыг дур зоргоороо сонгож болно. Ихэвчлэн t бүрийн хувьд u(t)-ийн өөрчлөлтийн мужид хязгаарлалт тавьдаг бөгөөд U нь өгөгдсөн хаалттай олонлог юм... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Хязгааргүй жижиг дүрсийн хэлбэрийг хадгалдаг тасралтгүй дэлгэц. Үндсэн ойлголтууд. n хэмжээст Евклидийн орон зайн G мужийг n хэмжээст Евклидийн орон зайд w=f(z)-ийн тасралтгүй зураглалыг гэнэ. нэг цэгт нийцсэн бол энэ үед ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

1) Математикийн хувиргалт хос орон зай дахь объектуудын хооронд хоёрдмол байдлыг хэрэгжүүлдэг анализ (аналитик геометрийн проекцийн хоёрдмол байдал ба гүдгэр геометрийн туйлын хоёрдмол байдлын хамт). Гөлгөр ажиллаж байг,...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

1) P. t conjugate функцуудын тухай: үе үе байг тасралтгүй функц 2p үетэй ба f(t)-тай тригонометрийн коньюгат функцтэй; тэгвэл f(t) 0-ийн илтгэгчийн тухай Липшицийн нөхцөлийг хангавал Математик нэвтэрхий толь бичиг

- (mod k) функц c(n)=c(n; k) бүхэл тоон олонлог дээрх нөхцөлийг хангасан: Өөрөөр хэлбэл D. x. (mod k) нь арифметик юм. Тэг биш функцүүд нь бүрэн үржүүлж, k үетэй үетэй байдаг. D. x-ийн тухай ойлголт. P орсон...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Т.Ж.Бокс (Т.Ж.Бокс, 1921) нарийвчлан судалсан А.Дэнжой (А.Дэнжой, 1919)-ийн санал болгосон Лебесгийн интегралын ерөнхий дүгнэлтүүдийн нэг. [a, b] сегмент дэх бодит функц f(x) үе үе (b a үетэй) шугамын дагуу үргэлжилдэг. Учир нь…… Математик нэвтэрхий толь бичиг

Давхар интеграл бол бодит хувьсагчийн өгөгдсөн (ерөнхийдөө комплекс утгатай) функц, квадрат-интеграл, дурын (мөн комплекс утгатай) функц, квадрат интеграл, комплекс коньюгат функц c. Хэрэв,…… Математик нэвтэрхий толь бичиг

1 1 4 ХАВСРАЛТ Б: ОНОЛЫН ОЙЛГОЛТ

Хосолсон дэд системийн зарчим

Аливаа материаллаг системийг тодорхойлох үед энэ систем оршин тогтнох зохих орчин автоматаар гарч ирдэг. Хүрээлэн буй орчин нь системээс үргэлж том байдаг тул системийн хувьсал нь хүрээлэн буй орчны өөрчлөлтөөс хамаардаг. Хувьслын санаа нь хоёр үндсэн ба тодорхой утгаараа альтернатив талыг агуулдаг: хамгаалах (C) ба өөрчлөлт (I). Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь байхгүй бол хувьсал байхгүй болно: систем алга болно, эсвэл тогтвортой байна. Өөрчлөлт ба хадгалалтын харьцаа (I/S) нь системийн хувьслын уян хатан чанарыг тодорхойлдог. Эдгээр нөхцлүүд альтернатив гэдгийг анхаарна уу: их байх тусмаа C бага ба эсрэгээр нь нэгдмэл байдлыг нөхөж байгаа тул: C + I = 1.

Зөвхөн эхний тал болох хадгалалтыг илүү сайн хэрэгжүүлэхийн тулд систем нь тогтвортой, тогтвортой, өөрчлөгддөггүй, өөрөөр хэлбэл аль болох (геометрийн утгаараа биш, харин мэдээллийн утгаараа) хор хөнөөлгүй байх нь илүү ашигтай байдаг. хүрээлэн буй орчны хүчин зүйлс (Зураг B.1). Гэсэн хэдий ч эдгээр ижил хүчин зүйлүүд нь хүрээлэн буй орчны өөрчлөлтийн чиглэлийн талаар хэрэгтэй мэдээллийг нэгэн зэрэг өгдөг. Хэрэв систем нь тэдгээрт дасан зохицож, хүрээлэн буй орчны өөрчлөлтийн дагуу өөрчлөгдөх шаардлагатай бол (хоёр дахь тал) энэ нь мэдрэмтгий, тогтворгүй, өөрчлөгдөх чадвартай байх ёстой, өөрөөр хэлбэл хүрээлэн буй орчны хортой нөлөөнд "илүү ойр" (мэдээллийн утгаараа) байх ёстой. хүчин зүйлүүд аль болох. Үүний үр дүнд систем нь нэг талаас хүрээлэн буй орчноос "илүү хол", нөгөө талаас "илүү ойр" байх шаардлагатай зөрчилдөөнтэй нөхцөл байдал үүсдэг.

Байгаль орчны асуудал

Өөрчлөхийн тулд (ашигтай мэдээлэл хүлээн авах) та "илүү ойр" байх хэрэгтэй.

Боломжит шийдлүүд

"Хамгийн тохиромжтой зайд" байх

Холбогдох хоёр дэд системд хуваа

Цагаан будаа. B.1 Систем ба хүрээлэн буй орчны хоорондын хамаарал

Эхний боломжит шийдэл: систем бүхэлдээ хүрээлэн буй орчноос тодорхой "зай" байх ёстой бөгөөд I/C-ийн тодорхой оновчтой хувилбарыг сонгох хэрэгтэй орчин, нөгөөг нь "илүү ойртуулна". Хоёрдахь шийдэл нь системийг хадгалах (C) болон өөрчлөх (I) зэрэгтэй зөрчилдөж буй шаардлагыг арилгаж, системийн тогтвортой байдлыг бүхэлд нь нэмэгдүүлэх боломжийг олгодог. Энэхүү дүгнэлт нь шинэ үзэл баримтлалын үндэс юм.

ХАВСРАЛТ Б: ОНОЛЫН ҮНДСЭН ҮЗЭЛ 1 1 5

ХОЛБООТОЙ ДЭД СИСТЕМИЙН ЗАРЧИМ

ХУВЬСАГЧ ОРЧИНД ХӨГЖСӨН ДААХАН ТОГТОЛЦООГ КОНСЕРВАТИВ БОЛОН ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ МЭРГЭШҮҮЛЭЛТЭЙ ХОЛБООТОЙ ХОЁР ДЭД СИСТЕМ БОЛОХООР ТОГТВОРТОЙ БАЙДЛЫГ НЭМЭГДҮҮЛЖ БАЙНА.

Дотоод болон гадаад дэд системүүдийг салгах нь геометрийн (морфологийн) утгаараа бус харин мэдээллийн хувьд, өөрөөр хэлбэл хүрээлэн буй орчноос гарсан өөрчлөлтүүдийн талаархи мэдээллийн урсгалыг эхлээд гадаад дэд системүүдэд ("RAM") ойлгох ёстой. ”), дараа нь системийн дотоод санах ойд ("тогтмол санах ой").

Энэхүү ерөнхий хэлбэрээр үзэл баримтлал нь биологийн, техникийн, тоглоомын болон нийгмийн өвөрмөц шинж чанараас үл хамааран хөгжиж буй, дасан зохицох системүүдэд хүчинтэй байдаг. Хөгжиж буй, дасан зохицох системүүдийн дунд хосолсон хоёр дэд системээс бүрдэх бүтэц нэлээд олон удаа бий болно гэж найдаж болно. Систем нь "дайсны зан байдал" (байгаль орчин) -ыг хянаж, үүний дагуу "зан төлөв" -ийг бий болгох шаардлагатай болсон бүх тохиолдолд үйлчилгээг ялгах, консерватив болон үйл ажиллагаанд хуваах нь тогтвортой байдлыг нэмэгдүүлдэг. Арми тагнуулын отрядуудыг хуваарилж, дайсантай уулзахаар өөр өөр чиглэлд илгээдэг. Усан онгоц нь жийргэвчтэй (консерватив үйлчилгээ) болон тусдаа жолоо (үйл ажиллагааны), агаарын хөлгийн тогтмол онгоц ба ailerons; пуужингийн тогтворжуулагч ба залуур.

Хоёртын коньюгат ялгах ерөнхий шинж чанарууд

Хувьслын гол хяналт болох хосолсон дэд системүүд үүсэхээс өмнө мэдээллийн урсгал нь орчноос систем рүү шууд дамждаг: E → S. Үйл ажиллагааны дэд системүүд үүссэний дараа тэд хамгийн түрүүнд хүрээлэн буй орчноос мэдээлэл авдаг: орчин → үйл ажиллагааны → консерватив дэд системүүд, E → o → k. Тийм ч учраас шинэ дэд систем нь үргэлж ажилладаг ба

консерватив дэд систем болон хүрээлэн буй орчны хооронд үүсдэг.

Нэгдмэл болон хоёртын коньюгат системүүдийн үндсэн ялгаа нь хүрээлэн буй орчинтой мэдээллийн холбоо барих хэлбэр юм. Эхнийх нь мэдээлэл нь орчноос системийн элемент бүр рүү шууд урсдаг бол сүүлийнх нь эхлээд үйл ажиллагааны дэд системийн элементүүд рүү, тэдгээрээс консерватив дэд системийн элементүүд рүү урсдаг.

Дихронизм (асинхронизм) ба диморфизм (асимметри) нь хоорондоо нягт холбоотой: ижил элементүүдийн системийг хоёр хэсэгт хуваахад тэдгээр нь чанарын хувьд нэгэн төрлийн байвал диморфизм, дихронизм байхгүй (Зураг В.2). Гэвч тэдгээрийн аль нэг нь хөгжиж эхэлмэгц диморфизм ба дихронизм хоёулаа нэгэн зэрэг үүсдэг. Морфологийн тэнхлэгийн дагуу эдгээр нь "тогтвортой цөм" (SC) болон "labile shell" (LP) бүтцийг бүрдүүлдэг хоёр хэлбэр юм (Зураг B.3). Энэхүү бүтэц нь консерватив дэд системийг хүрээлэн буй орчны өөр хүчин зүйлээс, жишээлбэл, бага ба өндөр температураас хамгаалдаг.

1 1 6 ХАВСРАЛТ Б: ОНОЛЫН ОЙЛГОЛТ

Бүх хувьслын шинэчлэлүүд эхлээд үйл ажиллагааны дэд системд гарч ирдэг, тэнд туршилт хийдэг, дараа нь (олон үеийн дараа) сонгосон нь консерватив дэд системд ордог. Үйл ажиллагааны дэд системийн хувьсал нь консерватив системээс эрт эхэлж дуусдаг. Тиймээс он цагийн тэнхлэгийн дагуу тэдгээрийг "авангард" гэж үзэж болно

“арын хамгаалалт” (Зураг B.4).

"Систем-орчин" тэнхлэгийн дагуу систем нь "тогтвортой цөм" болон "тодорхойгүй бүрхүүл" гэж хуваагддаг.

Цагийн тэнхлэгийн дагуу үйл ажиллагааны дэд системийг консерватив системтэй харьцуулахад "авангард" гэж үзэж болно.

Мэдээллийн урсгал

Лхагва гарагийн урд

Консерватив үйл ажиллагаа

Консерватив үйл ажиллагаа

Мэдээллийн урсгал

Хамгаалах, өөрчлөх өөр ажлуудад зориулж дэд системүүдийг ийм хуваах, мэргэшүүлэх нь амьд системийн хувьслын үндсэн аргыг - тодорхой утгаараа туршилт, алдааны аргыг хэрэгжүүлэх оновчтой нөхцлийг бүрдүүлдэг. RAM дахь дээжийн концентрацитай холбоотойгоор алдаа, олдворууд мөн тэнд нутагшдаг. Энэ нь системийг ашиглах боломжийг олгодог

бүтэлгүйтсэн шийдлүүдийг үргэлжлүүлэх эрсдэлгүйгээр хувьслын асуудлыг шийдвэрлэх өөр өөр хувилбаруудыг туршиж үзээрэй.

Консерватив болон үйл ажиллагааны дэд системүүдийн ялгаа нь үнэмлэхүй биш харин харьцангуй юм. Дэд системүүдийн дараалсан цуврал байж болно: α, β, γ,…..ω, хамгийн консерватив (үндсэн) холбоос нь α, хамгийн ажиллагаатай нь ω юм. Мөн эгнээний дотор, хос бүрт, зүүн талд нь консерватив дэд систем, баруун талд нь үйл ажиллагааны дэд систем (цахилгаан химийн металлын хүчдэлийн цуваа гэх мэт) байдаг.

Экологийн шинэ мэдээллийг үйл ажиллагааны дэд системд оруулахын тулд түүний элементүүдийн фенотипийн тархалт нь консерватив дэд системийн элементүүдээс илүү өргөн байх ёстой, дараа нь тэдгээрийн фитнесс бага, сонгох коэффициент нь сүүлчийнхээс өндөр байх болно. Үүнийг хийхийн тулд тэд ижил урвалын нормтой байх ёстой. Системийг хадгалах нь ихэвчлэн өөрчлөлтөөс илүү чухал байдаг (сүүлийнх нь байхгүй бол зогсонги байдалд, эхнийх нь устах аюулд хүргэдэг) хүүхдийн дэд системүүд тэгш бус байдаг. Консерватив дэд систем нь үйл ажиллагааныхаас илүү чухал бөгөөд үнэ цэнэтэй юм. Энэ нь эхийн, нэгдмэл тогтолцооны зарим шинж чанар, функцийг хадгалдаг бол үйл ажиллагааны дэд систем нь шинэ зүйлийг олж авдаг. Тиймээс, хоёртын ялгаварлалын хувьслын утгыг ойлгохын тулд зөвхөн үйлдлийн дэд системүүдийн утгыг ойлгоход хангалттай.

ХАВСРАЛТ Б: ОНОЛЫН ҮЗЭЛ 1 1 7

ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ДЭД СИСТЕМД ОРУУЛАХ ЭКОЛОГИЙН ШИНЭ МЭДЭЭЛЭЛ, ФЕНОТИПИЙН ХӨРӨНГӨ

ТҮҮНИЙ ЭЛЕМЕНТҮҮД НЬ КОНСЕРВАТИВ ДЭД ТОГТОЛЦООНЫ ЭЛЕМЕНТҮҮДЭЭС ИЛҮҮ ӨРГӨН, РЕАКЦИЙН НОРМ НЬ НАРИЙН БАЙХ ЁСТОЙ.

Дэд системүүдийн (OP CP) хооронд мэдээллийг үр дүнтэй дамжуулахын тулд үйл ажиллагааны дэд системийн элементүүд нь консерватив элементүүдээс илүү өргөн "сувгийн хөндлөн огтлолтой" байх ёстой.

Дэд системүүдийн асинхрон хувьсал

Системийн хувьсал (S) нь хүрээлэн буй орчин (E), ES-ээр тодорхойлогддог. Байгаль орчноос ирж буй мэдээллийн урсгал нь системийг өөрчлөхөд хүргэдэг нэг төрлийн экологийн потенциалын үүрэг гүйцэтгэдэг. Нэгдмэл системийн элементүүдийн тархалт ихсэх нь эрт орой хэзээ нэгэн цагт автоматаар тэдгээрийг консерватив болон үйл ажиллагааны дэд систем болгон ялгахад хүргэдэг. Хэрэв бид хүрээлэн буй орчны чадавхийг цахилгаан потенциалтай, нэгдмэл системийг гэрлийн чийдэнтэй харьцуулж үзвэл хоёртын систем нь гүйдлийн эх үүсвэртэй зэрэгцээ болон цувралаар холбогдож болох хоёр гэрлийн чийдэн юм (Зураг В.5). Энэ бол нэгдмэл тогтолцоонд байгаагүй цоо шинэ боломж юм.

Цагаан будаа. B.5 Нэгдмэл систем (АНУ) ба хоёртын коньюгат бус систем (BNS) -ийн синхрон хувьсал

Зэрэгцээ хэлхээний аналог. Хоёртын коньюгат дифференциалын асинхрон хувьсал (BCD) нь дараалсан схемийн аналог юм. Буржгар сум нь хувьслын чиглэлийг, энгийн сум нь электрон болон мэдээллийн урсгалыг заадаг (Геодакян, 2005).

Гурван диаграмм - нөхөн үржихүйн болон тэгш бус байдлын гурван үндсэн аргын загвар. Нэг гэрлийн чийдэнгийн хэлхээ нь асексуал аргын аналог, параллель хэлхээ нь гермафродитик аргын, дараалсан хэлхээ нь dioecious (болон тэгш бус тархи) -ын аналог юм.

Холбогдох функцууд. Дэд дифференциалууд. Минимакс зарчим. 2014 оны 4-р сарын 18-ны өдрийн проекцын хоёрдмол байдлын талаархи бодлогууд (1) p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) функцийн коньюгатуудыг ол. f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q - тэгш хэмт эерэг d × d матриц, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · ·) · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) δA , энд A нь Rd дахь олонлог бөгөөд δA (x) = 0 бол x ∈ A, δA (x) = +∞ хэрэв x∈ /A (i) hA , энд A нь Rd дахь олонлог ба hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| тэгш бус байдлыг батал. ≤ 1. Хэзээ яг тэгш эрхтэй болох вэ? График нь гүдгэр олон талт функцтэй функц хэрхэн нийлдэг вэ? R+ ×R+ дээрх төгсгөлүүд нь координатын шулуун дээр байгаа 1 урттай сегментүүдийн багцыг авч үзье. Асроид бол энэ багцын дугтуй мөн гэдгийг батал. Аль функц нь график нь астроид болсон функцийн коньюгат вэ? f-г гүдгэр бус функц гэж үзье. Түүний хоёр дахь коньюгатыг тайлбарла. f, f ∗ гөлгөр гүдгэр функцүүд байг, цэг бүрт хоёр дахь деривативын (Гессиан) D2 f, D2 f ∗ матрицууд доройтдоггүй. Дурын х-ийн хувьд D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I хамаарал биелэх ба энд I нь таних матриц гэдгийг батал. (7) Дараах f 00 = (f − xf 0)2 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. (8) Гүдгэр функцийн дэд дифференциалыг тэг (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | (в) max1≤i≤d |xi | (9) 0 ∈ ∂f (x0) тохиолдолд x0 нь f гүдгэр функцийн хамгийн бага цэг гэдгийг батал. (10) (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) функцүүдийн хамгийн бага утгыг ол. хамаарал (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 энд f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Шугаман програмчлалын бодлого дахь максимум нь хос нэг дэх хамгийн бага хэмжээнээс хэтрэхгүй гэдгийг (minimax зарчмыг ашиглахгүйгээр) батал. (13) Шугаман програмчлалын давхардлыг томъёолж, шийд. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Проекктив хоёрдмол байдлын асуудлууд Тодорхойлолт. Хос проекцын хавтгай RP2∗ нь RP2 проекцын хавтгай дээрх шугамуудын орон зай юм. 14) Хос проекцын хавтгай нь байгалийн проекцын хавтгай бүтэцтэй, өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрч буй RP2 дахь шугамын бүлгийг шугам гэдгийг батал. (Ялангуяа RP2 ба RP2∗ сортууд нь дифеоморф юм.) 15) Дурын хоёр a, b ⊂ RP2 шулууныг авч үзээд O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O гэж тэмдэглэ. Мөр бүр дээр байгалийн бодит аффины координат байдаг бөгөөд энэ нь аффины хувирал бүхий найрлага хүртэл өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог: a, b " R. Аливаа x ∈ a ба y ∈ b-ийн хувьд x-ийг дайран өнгөрөх шугамыг l(x, y) гэж үзье. y. a × b → RP2∗ , (x, y) 7 → l(x, y) нь γ ⊂ RP2 нь шүргэгч шулуунуудын бүлгүүд болохыг батал γ-д 16) γ ∗∗ = γ гэдгийг баталъя ) ба (x∗, y ∗) (илүү нарийвчлалтай, функцүүдийн утгууд нь төгсгөлтэй байдаг графикийн төгсгөлтэй хэсгүүд Γ(f ∗) муруй хос муруй руу аффин хувиралтаар хувирч байгааг нотлох). Γ(f)-д Санамж: 2-р асуудлын үр дүнг ашиглана) гөлгөр конус хэлбэртэй хос муруй (хос шугам болгон багасгаж болохгүй хоёр дахь эрэмбийн муруй) мөн гөлгөр конус болохыг батал. 19) Хос тасархай шугамын (хос олон өнцөгт) тодорхойлолтыг өгч, γ тасархай шугам ба хэсэгчилсэн аффин функц f (график – тасархай шугам)-ын 3) ба 4) бодлогын аналогийг шийд. 2