Daripada artikel di atas, anda boleh mengetahui apa hadnya dan dengan apa ia dimakan - ini SANGAT penting. kenapa? Anda mungkin tidak memahami apa itu penentu dan berjaya menyelesaikannya; anda mungkin tidak memahami sama sekali apa itu derivatif dan mencarinya dengan "A". Tetapi jika anda tidak memahami apa itu had, maka menyelesaikan tugas praktikal akan menjadi sukar. Ia juga merupakan idea yang baik untuk membiasakan diri dengan penyelesaian sampel dan cadangan reka bentuk saya. Semua maklumat dibentangkan dalam bentuk yang mudah dan boleh diakses.
Dan untuk tujuan pelajaran ini kita memerlukan bahan pengajaran berikut: Had Luar Biasa Dan Formula trigonometri. Mereka boleh didapati di halaman. Adalah lebih baik untuk mencetak manual - ia lebih mudah, dan selain itu, anda sering perlu merujuknya di luar talian.
Apakah yang istimewa tentang had yang luar biasa? Perkara yang luar biasa tentang had ini ialah ia telah dibuktikan oleh ahli matematik terkenal yang hebat, dan keturunan yang bersyukur tidak perlu mengalami had yang dahsyat dengan longgokan. fungsi trigonometri, logaritma, kuasa. Iaitu, apabila mencari had, kita akan menggunakan hasil siap sedia yang telah terbukti secara teori.
Terdapat beberapa had yang menarik, tetapi dalam praktiknya, dalam 95% kes, pelajar sambilan mempunyai dua had yang menarik: Pertama had yang indah , Had indah kedua. Perlu diingatkan bahawa ini adalah nama yang ditubuhkan secara sejarah, dan apabila, sebagai contoh, mereka bercakap tentang "had pertama yang luar biasa," yang mereka maksudkan dengan ini adalah perkara yang sangat spesifik, dan bukan beberapa had rawak yang diambil dari siling.
Had indah pertama
Pertimbangkan had berikut: (bukan huruf asli "dia" saya akan menggunakan huruf Yunani "alpha", ini lebih mudah dari sudut pandangan menyampaikan bahan).
Mengikut peraturan kami untuk mencari had (lihat artikel had. Contoh penyelesaian) kita cuba menggantikan sifar ke dalam fungsi: dalam pengangka kita mendapat sifar (sinus sifar ialah sifar), dan dalam penyebut, jelas, terdapat juga sifar. Oleh itu, kita berhadapan dengan ketidakpastian bentuk, yang, mujurlah, tidak perlu didedahkan. saya tahu analisis matematik, terbukti bahawa:
Fakta matematik ini dipanggil Had indah pertama. Saya tidak akan memberikan bukti analisis had, tetapi inilah: makna geometri kita akan melihatnya dalam kelas tentang fungsi yang sangat kecil.
Selalunya dalam tugas amali fungsi boleh diatur secara berbeza, ia tidak mengubah apa-apa:
- had indah pertama yang sama.
Tetapi anda tidak boleh menyusun semula pengangka dan penyebut sendiri! Jika had diberikan dalam bentuk , maka ia mesti diselesaikan dalam bentuk yang sama, tanpa menyusun semula apa-apa.
Dalam amalan, bukan sahaja pembolehubah, tetapi juga fungsi asas boleh bertindak sebagai parameter, fungsi kompleks. Satu-satunya perkara yang penting ialah ia cenderung kepada sifar.
Contoh:
, , 
, 
Di sini,,, 
, dan semuanya baik - had indah pertama terpakai.
Tetapi entri berikut adalah ajaran sesat:
kenapa? Kerana polinomial tidak cenderung kepada sifar, ia cenderung kepada lima.
By the way, soalan cepat: apakah hadnya? 
? Jawapannya boleh didapati di akhir pelajaran.
Dalam amalan, tidak semuanya begitu lancar; hampir tidak pernah seorang pelajar ditawarkan untuk menyelesaikan had percuma dan mendapat lulus mudah. Hmmm... Saya sedang menulis baris ini, dan pemikiran yang sangat penting muncul di fikiran - lagipun, lebih baik untuk mengingati definisi dan formula matematik "percuma" dengan hati, ini boleh memberikan bantuan yang tidak ternilai dalam ujian, apabila soalan itu akan diputuskan antara "dua" dan "tiga", dan guru memutuskan untuk bertanya kepada pelajar beberapa soalan mudah atau tawaran untuk diselesaikan contoh paling mudah(“mungkin dia (s) masih tahu apa?!”).
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan contoh praktikal:
Contoh 1
Cari had
Jika kita melihat sinus dalam had, maka ini harus segera membawa kita untuk berfikir tentang kemungkinan menggunakan had pertama yang luar biasa.
Pertama, kami cuba menggantikan 0 ke dalam ungkapan di bawah tanda had (kami melakukan ini secara mental atau dalam draf):
Jadi kami mempunyai ketidakpastian bentuk pastikan untuk menunjukkan dalam membuat keputusan. Ungkapan di bawah tanda had adalah serupa dengan had indah pertama, tetapi ini tidak betul-betul, ia berada di bawah sinus, tetapi dalam penyebut.
Dalam kes sedemikian, kita perlu mengatur sendiri had luar biasa pertama, menggunakan teknik buatan. Garis penaakulan boleh menjadi seperti berikut: "di bawah sinus yang kita ada , yang bermaksud bahawa kita juga perlu masuk ke dalam penyebut."
Dan ini dilakukan dengan sangat mudah:
Iaitu, penyebut didarab secara buatan dalam kes ini dengan 7 dan boleh dibahagi dengan tujuh yang sama. Sekarang rakaman kami telah mengambil bentuk yang biasa.
Apabila tugasan disediakan dengan tangan, adalah dinasihatkan untuk menandakan had pertama yang luar biasa dengan pensel mudah:
Apa yang berlaku? Malah, ungkapan bulatan kami bertukar menjadi satu unit dan hilang dalam kerja: 
Sekarang yang tinggal hanyalah untuk menyingkirkan pecahan tiga tingkat: 
Siapa yang terlupa pemudahan pecahan berbilang peringkat, sila muatkan semula bahan dalam buku rujukan Formula panas untuk kursus matematik sekolah .
sedia. Jawapan akhir:
Jika anda tidak mahu menggunakan tanda pensel, maka penyelesaiannya boleh ditulis seperti ini:
“
Mari gunakan had indah pertama 
“
Contoh 2
Cari had
Sekali lagi kita melihat pecahan dan sinus dalam had. Mari cuba gantikan sifar ke dalam pengangka dan penyebut:
Sesungguhnya, kita mempunyai ketidakpastian dan, oleh itu, kita perlu cuba mengatur had indah pertama. Pada pelajaran had. Contoh penyelesaian kita mempertimbangkan peraturan bahawa apabila kita mempunyai ketidakpastian, kita perlu memfaktorkan pengangka dan penyebut. Ini adalah perkara yang sama, kami akan mewakili darjah sebagai produk (pendaraban):
Sama seperti contoh sebelumnya, kami melukis pensel di sekeliling had yang luar biasa (di sini terdapat dua daripadanya), dan menunjukkan bahawa mereka cenderung kepada perpaduan:
Sebenarnya, jawapannya sudah sedia:
Dalam contoh berikut, saya tidak akan membuat seni dalam Cat, saya fikir cara membuat penyelesaian dengan betul dalam buku nota - anda sudah faham.
Contoh 3
Cari had
Kami menggantikan sifar ke dalam ungkapan di bawah tanda had:
Ketidakpastian telah diperolehi yang perlu didedahkan. Sekiranya terdapat tangen dalam had, maka ia hampir selalu ditukar kepada sinus dan kosinus menggunakan formula trigonometri yang terkenal (dengan cara itu, mereka melakukan lebih kurang perkara yang sama dengan kotangen, lihat Rajah. bahan metodologi Formula trigonometri panas Pada halaman Formula matematik, jadual dan bahan rujukan).
Dalam kes ini:
Kosinus sifar adalah sama dengan satu, dan mudah untuk menyingkirkannya (jangan lupa menandakan bahawa ia cenderung kepada satu):
Oleh itu, jika dalam had kosinus adalah GANDA, maka, secara kasarnya, ia perlu diubah menjadi unit, yang hilang dalam produk.
Di sini semuanya menjadi lebih mudah, tanpa sebarang pendaraban dan pembahagian. Had pertama yang luar biasa juga bertukar menjadi satu dan hilang dalam produk:
Akibatnya, infiniti diperoleh, dan ini berlaku.
Contoh 4
Cari had
Mari kita cuba menggantikan sifar ke dalam pengangka dan penyebut:
Ketidakpastian diperoleh (kosinus sifar, seperti yang kita ingat, adalah sama dengan satu)
Kami guna formula trigonometri. Mengambil nota! Atas sebab tertentu, had menggunakan formula ini adalah sangat biasa.
Mari kita alihkan faktor malar melebihi ikon had:
Mari kita atur had indah pertama:
Di sini kami hanya mempunyai satu had yang luar biasa, yang bertukar menjadi satu dan hilang dalam produk:
Mari kita buang struktur tiga tingkat:
Had sebenarnya diselesaikan, kami menunjukkan bahawa baki sinus cenderung kepada sifar:
Contoh 5
Cari had 
Contoh ini lebih rumit, cuba fikirkan sendiri:
Sesetengah had boleh dikurangkan kepada had pertama yang luar biasa dengan menukar pembolehubah, anda boleh membaca tentang ini sedikit kemudian dalam artikel Kaedah untuk menyelesaikan had.
Had indah kedua
Dalam teori analisis matematik telah dibuktikan bahawa:
Fakta ini dipanggil had indah kedua.
Rujukan: 
ialah nombor tak rasional.
Parameter boleh bukan sahaja pembolehubah, tetapi juga fungsi yang kompleks. Satu-satunya perkara yang penting ialah ia berusaha untuk infiniti.
Contoh 6
Cari had
Apabila ungkapan di bawah tanda had adalah dalam darjah, ini adalah tanda pertama yang anda perlu cuba menggunakan had indah kedua.
Tetapi pertama-tama, seperti biasa, kami cuba menggantikan nombor yang tidak terhingga ke dalam ungkapan, prinsip yang digunakan untuk melakukan ini dibincangkan dalam pelajaran had. Contoh penyelesaian.
Adalah mudah untuk menyedari bahawa apabila asas darjah ialah , dan eksponen ialah , iaitu, terdapat ketidakpastian bentuk:
Ketidakpastian ini didedahkan dengan tepat dengan bantuan had kedua yang luar biasa. Tetapi, seperti yang sering berlaku, had indah kedua tidak terletak pada pinggan perak, dan ia perlu disusun secara buatan. Anda boleh membuat alasan seperti berikut: dalam contoh ini parameternya ialah , yang bermaksud bahawa kita juga perlu menyusun dalam penunjuk. Untuk melakukan ini, kami menaikkan pangkalan kepada kuasa, dan supaya ungkapan itu tidak berubah, kami menaikkannya kepada kuasa:
Apabila tugas selesai dengan tangan, kami menandakan dengan pensil:
Hampir semuanya sudah siap, ijazah yang mengerikan telah berubah menjadi surat yang bagus:
Dalam kes ini, kami mengalihkan ikon had itu sendiri ke penunjuk:
Contoh 7
Cari had
Perhatian! Had jenis ini berlaku sangat kerap, sila kaji contoh ini dengan teliti.
Mari cuba menggantikan nombor yang tidak terhingga besar ke dalam ungkapan di bawah tanda had:
Hasilnya adalah ketidakpastian. Tetapi had kedua yang luar biasa digunakan untuk ketidakpastian borang. Apa nak buat? Kita perlu menukar asas darjah. Kami membuat alasan seperti ini: dalam penyebut yang kita ada , yang bermaksud bahawa dalam pengangka kita juga perlu menyusun .
Bukti:
Mari kita buktikan dahulu teorem bagi kes jujukan itu 
Menurut formula binomial Newton:
Andaikan kita dapat
Daripada kesamaan (1) ini, apabila n bertambah, bilangan sebutan positif di sebelah kanan bertambah. Di samping itu, apabila n bertambah, bilangannya berkurangan, jadi nilainya 
semakin meningkat. Oleh itu urutan 
meningkat, dan (2)*Kami menunjukkan bahawa ia adalah terhad. Gantikan setiap kurungan di sebelah kanan kesamaan dengan satu, bahagian kanan meningkat, kita mendapat ketidaksamaan
Mari kita kukuhkan ketaksamaan yang terhasil, gantikan 3,4,5, ..., berdiri dalam penyebut pecahan, dengan nombor 2: Kami mencari jumlah dalam kurungan menggunakan formula jumlah istilah janjang geometri: Sebab itu 
(3)*
Jadi, urutan itu dibatasi dari atas, dan ketaksamaan (2) dan (3) dipenuhi: 
Oleh itu, berdasarkan teorem Weierstrass (kriteria untuk penumpuan jujukan), jujukan 
monotonically meningkat dan terhad, yang bermaksud ia mempunyai had, dilambangkan dengan huruf e. Itu. 
Mengetahui bahawa had luar biasa kedua adalah benar untuk nilai semula jadi x, kami membuktikan had luar biasa kedua untuk x sebenar, iaitu, kami membuktikan bahawa 
. Mari kita pertimbangkan dua kes:
1. Biarkan Setiap nilai x berada di antara dua integer positif: , where is keseluruhan bahagian x. => =>
Jika , maka Oleh itu, mengikut had 
Kami ada
Berdasarkan kriteria (tentang had fungsi perantaraan) kewujudan had 
2. Biarkan . Mari kita buat penggantian − x = t, kemudian
Daripada kedua-dua kes ini, ia mengikutinya 
untuk x sebenar.
Akibat:
9 .) Perbandingan infinitesimal. Teorem untuk menggantikan infinitesimals dengan yang setara dalam had dan theorem pada bahagian utama infinitesimals.
Biarkan fungsi a( x) dan b( x) – b.m. di x ® x 0 .
DEFINISI.
1)a( x) dipanggil lebih tak terhingga perintah tinggi bagaimana b (x) Jika
Tuliskan: a( x) = o(b( x)) .
2)a( x) Dan b( x)dipanggil infinitesimal daripada susunan yang sama, Jika
di mana CÎℝ dan C¹ 0 .
Tuliskan: a( x) = O(b( x)) .
3)a( x) Dan b( x) dipanggil bersamaan , Jika
Tuliskan: a( x) ~ b( x).
4)a( x) dipanggil infinitesimal of order k relative
sangat kecil sekali b( x),
jika tidak terhingga a( x)Dan(b( x))k mempunyai susunan yang sama, i.e. Jika
di mana CÎℝ dan C¹ 0 .
TEOREM 6 (menggantikan infinitesimals dengan yang setara).
biarlah a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. pada x ® x 0 . Jika a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),
Itu 
Bukti: Biarkan a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Kemudian
TEOREM 7 (tentang bahagian utama infinitesimal).
biarlah a( x)Dan b( x)– b.m. pada x ® x 0 , dan b( x)– b.m. susunan yang lebih tinggi daripada a( x).
= , a sejak b( x) – tertib lebih tinggi daripada a( x), maka, i.e. 
daripada jelas bahawa a( x) + b( x) ~ a( x)
10) Kesinambungan fungsi pada satu titik (dalam bahasa epsilon-delta, had geometri) Kesinambungan satu sisi. Kesinambungan pada selang waktu, pada segmen. Sifat fungsi berterusan.
1. Definisi asas
biarlah f(x) ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik x 0 .
DEFINISI 1. Fungsi f(x) dipanggil berterusan pada satu titik x 0 jika persamaan itu benar
Nota.
1) Berdasarkan Teorem 5 §3, kesamaan (1) boleh ditulis dalam bentuk
Syarat (2) – takrifan kesinambungan fungsi pada satu titik dalam bahasa had sebelah.
2) Persamaan (1) juga boleh ditulis sebagai:
Mereka berkata: "jika fungsi berterusan pada satu titik x 0, maka tanda had dan fungsi boleh ditukar."
DEFINISI 2 (dalam bahasa e-d).
Fungsi f(x) dipanggil berterusan pada satu titik x 0 Jika"e>0 $d>0 sebegitu, Apa
jika xОU( x 0 , d) (iaitu | x – x 0 | < d),
kemudian f(x)ÎU( f(x 0), e) (iaitu | f(x) – f(x 0) | < e).
biarlah x, x 0 Î D(f) (x 0 – tetap, x – sewenang-wenangnya)
Mari kita nyatakan: D x= x – x 0 – pertambahan hujah
D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – pertambahan fungsi pada pointx 0
DEFINISI 3 (geometrik).
Fungsi f(x) pada dipanggil berterusan pada satu titik
x 0
jika pada ketika ini kenaikan infinitesimal dalam hujah sepadan dengan infinitesimal increment dalam fungsi, iaitu
Biarkan fungsi f(x) ditakrifkan pada selang [ x 0 ; x 0 + d) (pada selang waktu ( x 0 – d; x 0 ]).
DEFINISI. Fungsi f(x) dipanggil berterusan pada satu titik
x 0 di sebelah kanan
(dibiarkan
), jika persamaan itu benar
Jelas sekali f(x) adalah berterusan pada titik x 0 Û f(x) adalah berterusan pada titik x 0 kanan dan kiri.
DEFINISI. Fungsi f(x) dipanggil berterusan untuk selang waktu e ( a; b) jika ia berterusan pada setiap titik selang ini.
Fungsi f(x) dipanggil berterusan pada segmen [a; b] jika ia berterusan pada selang waktu (a; b) dan mempunyai kesinambungan sehala di titik sempadan(iaitu berterusan pada titik a di sebelah kanan, pada titik b- dibiarkan).
11) Mata rehat, klasifikasi mereka
DEFINISI. Jika fungsi f(x) ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik x 0 , tetapi tidak berterusan pada ketika ini, maka f(x) dipanggil tak selanjar pada titik x 0 , dan titik itu sendiri x 0 dipanggil titik putus fungsi f(x) .
Nota.
1) f(x) boleh ditakrifkan dalam kejiranan titik yang tidak lengkap x 0 .
Kemudian pertimbangkan kesinambungan satu sisi yang sepadan bagi fungsi tersebut.
2) Daripada definisi titik Þ x 0 ialah titik putus fungsi f(x) dalam dua kes:
a) U( x 0 , d)О D(f) , tetapi untuk f(x) kesaksamaan tidak berlaku
b) U * ( x 0 , d)О D(f) .
Untuk fungsi asas hanya kes b) mungkin.
biarlah x 0 – titik putus fungsi f(x) .
DEFINISI. Titik x 0 dipanggil titik putus saya lebih kurang jika fungsi f(x)mempunyai had terhingga di kiri dan kanan pada ketika ini.
Jika had ini adalah sama, maka titik x 0 dipanggil titik pecah boleh tanggal , jika tidak - titik lompat .
DEFINISI. Titik x 0 dipanggil titik putus II lebih kurang jika sekurang-kurangnya satu daripada had sebelah bagi fungsi f(x)pada ketika ini adalah sama¥ atau tidak wujud.
12) Sifat fungsi berterusan pada selang waktu (teorem Weierstrass (tanpa bukti) dan Cauchy
Teorem Weierstrass
Biarkan fungsi f(x) selanjar pada selang, kemudian
1)f(x)terhad kepada
2)f(x) mengambil nilai terkecilnya pada selang dan nilai tertinggi
Definisi: Nilai fungsi m=f dipanggil terkecil jika m≤f(x) bagi sebarang x€ D(f).
Nilai fungsi m=f dikatakan paling besar jika m≥f(x) bagi sebarang x € D(f).
Fungsi boleh mengambil nilai terkecil/terbesar di beberapa titik segmen.
f(x 3)=f(x 4)=maks
Teorem Cauchy.
Biarkan fungsi f(x) selanjar pada segmen dan x ialah nombor yang terkandung di antara f(a) dan f(b), maka terdapat sekurang-kurangnya satu titik x 0 € supaya f(x 0)= g
Formula untuk had luar biasa kedua ialah lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Satu lagi bentuk penulisan kelihatan seperti ini: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Apabila kita bercakap tentang had luar biasa kedua, kita perlu berurusan dengan ketidakpastian bentuk 1 ∞, i.e. unit ke tahap yang tidak terhingga.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mari kita pertimbangkan masalah di mana keupayaan untuk mengira had luar biasa kedua akan berguna.
Contoh 1
Cari had lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Penyelesaian
Mari kita gantikan formula yang diperlukan dan lakukan pengiraan.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Jawapan kami ternyata satu kepada kuasa infiniti. Untuk menentukan kaedah penyelesaian, kami menggunakan jadual ketidakpastian. Mari pilih had kedua yang luar biasa dan buat perubahan pembolehubah.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Jika x → ∞, maka t → - ∞.
Mari lihat apa yang kami dapat selepas penggantian:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Jawapan: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Contoh 2
Hitung had lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Penyelesaian
Mari kita gantikan infiniti dan dapatkan yang berikut.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Dalam jawapannya, kami sekali lagi mendapat perkara yang sama seperti dalam masalah sebelumnya, oleh itu, kami sekali lagi boleh menggunakan had kedua yang luar biasa. Seterusnya kita perlu memilih di pangkalan fungsi kuasa keseluruhan bahagian:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Selepas ini, had mengambil bentuk berikut:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Gantikan pembolehubah. Mari kita andaikan bahawa t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; jika x → ∞, maka t → ∞.
Selepas itu, kami menulis apa yang kami dapat dalam had asal:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Untuk melakukan transformasi ini, kami menggunakan sifat asas had dan kuasa.
Jawapan: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Contoh 3
Hitung had lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Penyelesaian
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Selepas itu, kita perlu mengubah fungsi untuk menggunakan had besar kedua. Kami mendapat perkara berikut:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Oleh kerana kita kini mempunyai eksponen yang sama dalam pengangka dan penyebut pecahan (sama dengan enam), had pecahan pada infiniti akan sama dengan nisbah pekali ini pada kuasa yang lebih tinggi.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Dengan menggantikan t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 kita mendapat had kedua yang luar biasa. Maksudnya apa:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Jawapan: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
kesimpulan
Ketidakpastian 1 ∞, i.e. perpaduan kepada kuasa tak terhingga adalah ketidakpastian undang-undang kuasa, oleh itu, ia boleh didedahkan menggunakan peraturan untuk mencari had fungsi kuasa eksponen.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Artikel ini: "Had Luar Biasa Kedua" ditumpukan kepada pendedahan dalam had ketidakpastian bentuk:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ dan $ ^\infty $.
Juga, ketidakpastian sedemikian boleh didedahkan menggunakan logaritma fungsi eksponen, tetapi ini adalah kaedah penyelesaian lain, yang akan dibincangkan dalam artikel lain.
Formula dan akibatnya
Formula had kedua yang luar biasa ditulis seperti berikut: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$
Ia mengikuti daripada formula akibat, yang sangat mudah digunakan untuk menyelesaikan contoh dengan had: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( di mana ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \hingga 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Perlu diingat bahawa had luar biasa kedua tidak selalu boleh digunakan untuk fungsi eksponen, tetapi hanya dalam kes di mana asasnya cenderung kepada perpaduan. Untuk melakukan ini, mula-mula mengira secara mental had asas, dan kemudian buat kesimpulan. Semua ini akan dibincangkan dalam contoh penyelesaian.
Contoh penyelesaian
Mari kita lihat contoh penyelesaian menggunakan formula langsung dan akibatnya. Kami juga akan menganalisis kes di mana formula tidak diperlukan. Cukuplah dengan menulis jawapan sedia sahaja.
| Contoh 1 |
| Cari had $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Penyelesaian |
|
Mari kita gantikan infiniti ke dalam had dan lihat ketidakpastian: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Mari cari had tapak: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Kami telah memperoleh asas yang sama dengan satu, yang bermaksud kami sudah boleh menggunakan had kedua yang luar biasa. Untuk melakukan ini, mari laraskan asas fungsi kepada formula dengan menolak dan menambah satu: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Mari kita lihat akibat kedua dan tuliskan jawapannya: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Jika anda tidak dapat menyelesaikan masalah anda, maka hantar dia kepada kita. Kami akan memberikan penyelesaian terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan pengiraan dan mendapatkan maklumat. Ini akan membantu anda mendapatkan gred anda daripada guru anda tepat pada masanya! |
| Jawab |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Contoh 4 |
| Selesaikan had $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Penyelesaian |
|
Kami mencari had tapak dan melihat bahawa $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, yang bermaksud kita boleh menggunakan had kedua yang luar biasa. Mengikut pelan standard, kami menambah dan menolak satu daripada asas darjah: $$ \lim_(x\kepada \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Kami melaraskan pecahan kepada formula nota ke-2. had: $$ = \lim_(x\hingga \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Sekarang mari kita laraskan darjah. Kuasa mesti mengandungi pecahan yang sama dengan penyebut asas $ \frac(3x^2-2)(6) $. Untuk melakukan ini, darab dan bahagikan darjah dengannya, dan teruskan menyelesaikan: $$ = \lim_(x\kepada \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Had yang terletak dalam kuasa pada $ e $ adalah sama dengan: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Oleh itu, meneruskan penyelesaian yang kami ada: |
| Jawab |
| $$ \lim_(x\hingga \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Mari kita periksa kes-kes di mana masalahnya adalah serupa dengan had kedua yang luar biasa, tetapi boleh diselesaikan tanpanya.
Dalam artikel: "Had Luar Biasa Kedua: Contoh Penyelesaian" formula, akibatnya dianalisis dan jenis masalah biasa mengenai topik ini diberikan.
