Niektóre problemy fizyki i matematyki można rozwiązać, korzystając z właściwości szeregów liczbowych. Dwa najprostsze ciągi liczbowe, których uczy się w szkołach, to ciągi algebraiczne i geometryczne. W tym artykule przyjrzymy się bliżej pytaniu, jak znaleźć sumę nieskończonego malejącego postępu geometrycznego.
Postęp geometryczny
Słowa te oznaczają ciąg liczb rzeczywistych, których elementy a i spełniają wyrażenie:
Tutaj i jest numerem elementu w szeregu, r jest stałą liczbą zwaną mianownikiem.
Definicja ta pokazuje, że znając dowolny element ciągu i jego mianownik, można przywrócić cały ciąg liczb. Na przykład, jeśli znany jest 10. element, to podzielenie go przez r spowoduje otrzymanie 9. elementu, a następnie ponowne podzielenie go spowoduje otrzymanie 8. elementu i tak dalej. Te proste argumenty pozwalają nam zapisać wyrażenie, które jest ważne dla rozważanego szeregu liczb:
Przykładem progresji z mianownikiem 2 może być następujący ciąg:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Jeżeli mianownik jest równy -2, wówczas uzyskuje się zupełnie inną serię:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Postęp geometryczny jest znacznie szybszy niż postęp algebraiczny, to znaczy jego wyrazy szybko rosną i szybko maleją.
Suma i warunków progresji
Aby rozwiązać problemy praktyczne, często konieczne jest obliczenie sumy kilku elementów rozważanego ciągu liczbowego. W tym przypadku obowiązuje następujący wzór:
S ja = za 1 *(r i -1)/(r-1)
Widać, że aby obliczyć sumę i wyrazów, trzeba znać tylko dwie liczby: 1 i r, co jest logiczne, ponieważ jednoznacznie określają cały ciąg.
Ciąg malejący i suma jego wyrazów
Teraz rozważmy szczególny przypadek. Zakładamy, że moduł mianownika r nie przekracza jedności, czyli -1 Malejący postęp geometryczny jest interesujący do rozważenia, ponieważ nieskończona suma jego wyrazów dąży do skończonej liczby rzeczywistej. Obliczmy wzór na sumę. Łatwo to zrobić, jeśli zapiszemy wyrażenie na S i podane w poprzednim akapicie. Mamy: S ja = za 1 *(r i -1)/(r-1) Rozważmy przypadek, gdy i->∞. Ponieważ moduł mianownika jest mniejszy niż 1, podniesienie go do nieskończonej potęgi da zero. Można to sprawdzić na przykładzie r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. W rezultacie suma wyrazów nieskończonego malejącego postępu geometrycznego będzie miała postać: Wzór ten jest często stosowany w praktyce, na przykład do obliczania pól figur. Służy także do rozwiązania paradoksu Zenona z Elei z żółwiem i Achillesem. Jest oczywiste, że uwzględnienie sumy nieskończonego postępu geometrycznego rosnącego (r>1) doprowadzi do wyniku S ∞ = +∞. Pokażmy, jak zastosować powyższe wzory na przykładzie rozwiązania problemu. Wiadomo, że suma nieskończonego postępu geometrycznego wynosi 11. Co więcej, jego siódmy wyraz jest 6 razy mniejszy niż trzeci wyraz. Jaki jest pierwszy element tego szeregu liczbowego? Najpierw napiszmy dwa wyrażenia, aby określić siódmy i trzeci element. Otrzymujemy: Dzieląc pierwsze wyrażenie przez drugie i wyrażając mianownik, mamy: za 7 /za 3 = r 4 => r = 4 √(za 7 /za 3) Ponieważ w opisie problemu podany jest stosunek siódmego i trzeciego członu, możesz go zastąpić i znaleźć r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Obliczyliśmy r do pięciu miejsc po przecinku. Ponieważ otrzymana wartość jest mniejsza od jedności, postęp maleje, co uzasadnia zastosowanie wzoru na jej nieskończoną sumę. Zapiszmy wyrażenie na pierwszy wyraz poprzez sumę S ∞: Podstawiamy znane wartości do tego wzoru i otrzymujemy odpowiedź: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Zenon z Elei to słynny grecki filozof żyjący w V wieku p.n.e. mi. Szereg jego apogeum czy paradoksów dotarło do czasów współczesnych, w których formułuje się problem nieskończenie dużego i nieskończenie małego w matematyce. Jednym ze słynnych paradoksów Zenona jest rywalizacja Achillesa z żółwiem. Zenon wierzył, że jeśli Achilles da żółwiowi przewagę na odległość, nigdy nie będzie w stanie go dogonić. Przykładowo, pozwólmy Achillesowi biec 10 razy szybciej niż pełzające zwierzę, które znajduje się np. 100 metrów przed nim. Kiedy wojownik przebiegnie 100 metrów, żółw czołga się na odległość 10 m. Po ponownym przebiegnięciu 10 metrów Achilles widzi, że żółw czołga się jeszcze 1 metr. Można tak argumentować w nieskończoność, dystans między konkurentami wprawdzie będzie się zmniejszał, ale żółw zawsze będzie na czele. Doprowadził Zenona do wniosku, że ruch nie istnieje, a wszystkie otaczające ruchy obiektów są iluzją. Oczywiście starożytny grecki filozof mylił się. Rozwiązanie paradoksu polega na tym, że nieskończona suma stale malejących segmentów ma tendencję do skończonej liczby. W powyższym przypadku dla dystansu, jaki przebiegł Achilles otrzymujemy: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Stosując wzór na sumę nieskończonego postępu geometrycznego otrzymujemy: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metrów Wynik ten pokazuje, że Achilles dogoni żółwia, gdy ten przebędzie zaledwie 11,111 m. Starożytni Grecy nie wiedzieli, jak pracować z ilościami nieskończonymi w matematyce. Paradoks ten można jednak rozwiązać, jeśli zwrócimy uwagę nie na nieskończoną liczbę luk, które musi pokonać Achilles, ale na skończoną liczbę kroków, jakie biegacz musi pokonać, aby osiągnąć swój cel. Cel lekcji: zapoznanie uczniów z nowym rodzajem ciągu - nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Lekcja na ten temat „Nieskończenie malejący postęp geometryczny” (algebra, klasa 10) Cel lekcji: zapoznanie uczniów z nowym rodzajem ciągu - nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Zadania: sformułowanie wstępnej idei granicy ciągu liczbowego; znajomość innego sposobu zamiany nieskończonych ułamków okresowych na zwykłe przy użyciu wzoru na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego; rozwój intelektualnych cech osobowości uczniów, takich jak logiczne myślenie, umiejętność podejmowania działań oceniających i generalizowanie; wspieranie aktywności, wzajemnej pomocy, kolektywizmu i zainteresowania tematem. Sprzęt: zajęcia komputerowe, projektor, ekran. Typ lekcji: lekcja - nauka nowego tematu. Podczas zajęć I. Org. za chwilę. Podaj temat i cel lekcji. II. Aktualizowanie wiedzy uczniów. W dziewiątej klasie uczyłeś się postępów arytmetycznych i geometrycznych. pytania 1. Definicja postęp arytmetyczny.
(Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy element Zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi dodanemu do tej samej liczby). 2. Wzór nr wyraz ciągu arytmetycznego 3. Wzór na sumę pierwszego N terminy postępu arytmetycznego. ( Lub ) 4. Definicja postępu geometrycznego. (Postęp geometryczny to ciąg liczb niezerowych Każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez Ten sam numer). 5. Wzór nr wyraz postępu geometrycznego 6. Wzór na sumę pierwszego N elementy postępu geometrycznego. 7. Jakie inne formuły znasz? (, Gdzie ; ; ;
,
)
Zadania 1. Postęp arytmetyczny wyraża się wzorem za n = 7 – 4 n . Znajdź 10. (-33) 2. W postępie arytmetycznym za 3 = 7 i za 5 = 1 . Znajdź 4. (4) 3. W postępie arytmetycznym za 3 = 7 i za 5 = 1 . Znajdź 17. (-35) 4. W postępie arytmetycznym za 3 = 7 i za 5 = 1 . Znajdź S 17. (-187) 5. Dla postępu geometrycznegoznajdź piąty wyraz. 6. Dla postępu geometrycznego znajdź n-ty wyraz. 7. Wykładniczo b 3 = 8 i b 5 = 2. Znajdź b 4 . (4) 8. Wykładniczo b 3 = 8 i b 5 = 2. Znajdź b 1 i q. 9. Wykładniczo b 3 = 8 i b 5 = 2. Znajdź S5. (62) III. Nauka nowego tematu(pokaz prezentacji). Rozważmy kwadrat o boku równym 1. Narysujmy kolejny kwadrat, którego bok jest o połowę mniejszy od pierwszego kwadratu, potem kolejny, którego bok jest o połowę mniejszy, potem następny itd. Za każdym razem bok nowego kwadratu jest równy połowie poprzedniego. W rezultacie otrzymaliśmy ciąg boków kwadratówtworząc postęp geometryczny z mianownikiem.
I co bardzo ważne, im więcej takich kwadratów zbudujemy, tym mniejszy będzie bok kwadratu. Na przykład , Te. Wraz ze wzrostem liczby n warunki progresji zbliżają się do zera. Korzystając z tego rysunku, możesz rozważyć inną sekwencję. Na przykład sekwencja pól kwadratów: I znowu, jeśli n rośnie w nieskończoność, wówczas obszar zbliża się do zera tak blisko, jak chcesz. Spójrzmy na inny przykład. Trójkąt równoboczny o bokach 1 cm. Skonstruujmy następujący trójkąt z wierzchołkami w środkach boków pierwszego trójkąta, zgodnie z twierdzeniem o linii środkowej trójkąta - bok drugiego trójkąta jest równy połowie boku pierwszego, bok trzeciego jest równy połowie boku drugiej itd. Ponownie otrzymujemy ciąg długości boków trójkątów. Na . Jeśli weźmiemy pod uwagę postęp geometryczny z ujemny mianownik.
Potem znowu, w miarę zwiększania się liczby N warunki progresji zbliżają się do zera. Zwróćmy uwagę na mianowniki tych ciągów. Wszędzie mianowniki były mniejsze niż 1 w wartości bezwzględnej. Możemy stwierdzić: postęp geometryczny będzie nieskończenie malejący, jeśli moduł jego mianownika będzie mniejszy niż 1. Praca frontalna. Definicja: Postęp geometryczny nazywa się nieskończenie malejącym, jeśli moduł jego mianownika jest mniejszy niż jeden..
Korzystając z definicji, możesz zdecydować, czy postęp geometryczny jest nieskończenie malejący, czy nie. Zadanie Czy ciąg jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym, jeżeli wyraża się to wzorem: Rozwiązanie: Znajdźmy q. ;
;
;
.
ten postęp geometryczny jest nieskończenie malejący. B) ciąg ten nie jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Rozważmy kwadrat o boku równym 1. Podzielmy go na pół, jedną z połówek na pół itd. Pola wszystkich powstałych prostokątów tworzą nieskończenie malejący postęp geometryczny: Suma pól wszystkich prostokątów uzyskanych w ten sposób będzie równa powierzchni pierwszego kwadratu i równa 1. Ale po lewej stronie tej równości znajduje się suma nieskończonej liczby wyrazów. Rozważmy sumę pierwszych n wyrazów. Zgodnie ze wzorem na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego jest ona równa.
Jeśli n wzrasta zatem bez ograniczeń Lub . Dlatego, tj. . Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznegoistnieje ograniczenie sekwencji S 1, S 2, S 3, …, S n, …. Na przykład o progresję,
mamy Ponieważ Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznegomożna znaleźć za pomocą wzoru.
III. Zrozumienie i konsolidacja(wykonanie zadań). №13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Zreasumowanie. Z jaką sekwencją się dzisiaj zapoznałeś? Zdefiniuj nieskończenie malejący postęp geometryczny. Jak udowodnić, że postęp geometryczny jest nieskończenie malejący? Podaj wzór na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. V. Praca domowa. 2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com Każdy powinien umieć myśleć konsekwentnie, oceniać na podstawie dowodów i obalać błędne wnioski: fizyk i poeta, traktorzysta i chemik. E. Kolman W matematyce należy pamiętać nie o wzorach, ale o procesach myślenia. V.P. Ermakov Łatwiej jest znaleźć kwadraturę koła niż przechytrzyć matematyka. Augustus de Morgan Jaka nauka może być szlachetniejsza, bardziej godna podziwu, bardziej użyteczna dla ludzkości niż matematyka? Franklina Nieskończenie malejący postęp geometryczny stopień 10 I. Postępy arytmetyczne i geometryczne. Zadania 1. Definicja postępu arytmetycznego. Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi dodanemu do tej samej liczby. 2. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. 3. Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. 4. Definicja postępu geometrycznego. Postęp geometryczny to ciąg liczb niezerowych, którego każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy wyrazowi poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę 5. Wzór na n-ty wyraz postępu geometrycznego. 6. Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego. II. Postęp arytmetyczny. Zadania Postęp arytmetyczny wyraża się wzorem a n = 7 – 4 n Znajdź a 10 . (-33) 2. W postępie arytmetycznym a 3 = 7 i a 5 = 1. Znajdź 4. (4) 3. W postępie arytmetycznym a 3 = 7 i a 5 = 1. Znajdź 17. (-35) 4. W postępie arytmetycznym a 3 = 7 i a 5 = 1. Znajdź S 17. (-187) II. Postęp geometryczny. Zadania 5. Dla postępu geometrycznego znajdź piąty wyraz. 6. Dla postępu geometrycznego znajdź n-ty wyraz. 7. W postępie geometrycznym b 3 = 8 i b 5 = 2. Znajdź b 4 . (4) 8. W postępie geometrycznym b 3 = 8 i b 5 = 2. Znajdź b 1 i q. 9. W postępie geometrycznym b 3 = 8 i b 5 = 2. Znajdź S5. (62) definicja: Postęp geometryczny nazywa się nieskończenie malejącym, jeśli moduł jego mianownika jest mniejszy niż jeden. Zadanie nr 1 Czy ciąg jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym, jeżeli można to wyrazić wzorem: Rozwiązanie: a) ten postęp geometryczny jest nieskończenie malejący. b) ciąg ten nie jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego jest granicą ciągu S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Na przykład dla postępu mamy Od Sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego można znaleźć za pomocą wzoru Wykonywanie zadań Znajdź sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem 3, drugim 0,3. 2. nr 13; nr 14; podręcznik, s. 138 3. nr 15(1;3); Nr 16(1;3) Nr 18(1;3); 4. nr 19; Nr 20. Z jaką sekwencją się dzisiaj zapoznałeś? Zdefiniuj nieskończenie malejący postęp geometryczny. Jak udowodnić, że postęp geometryczny jest nieskończenie malejący? Podaj wzór na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. pytania Słynny polski matematyk Hugo Steinhaus żartobliwie twierdzi, że istnieje prawo, które formułuje się następująco: matematyk zrobi to lepiej. Mianowicie, jeśli powierzycie dwóm osobom, z których jedna jest matematykiem, wykonanie nieznanej im pracy, to wynik zawsze będzie następujący: matematyk zrobi to lepiej. Hugo Steinhausa 14.01.1887-25.02.1972 SEKWENCJE NUMERYCZNE VI § l48. Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego Do tej pory, mówiąc o sumach, zawsze zakładaliśmy, że liczba wyrazów w tych sumach jest skończona (na przykład 2, 15, 1000 itd.). Ale rozwiązując niektóre problemy (zwłaszcza wyższą matematykę) trzeba mieć do czynienia z sumami nieskończonej liczby terminów S= A
1 + A
2 + ... + A
N
+ ... . (1) Jakie to kwoty? A-przeorat suma nieskończonej liczby wyrazów A
1 , A
2 , ..., A
N
, ... nazywa się granicą sumy S N
Pierwszy P
liczby kiedy P
-> ∞
: S=S N
= (A
1 + A
2 + ... + A
N
). (2) Granica (2) oczywiście może istnieć lub nie. W związku z tym mówią, że suma (1) istnieje lub nie istnieje. Jak możemy sprawdzić, czy suma (1) istnieje w każdym konkretnym przypadku? Wspólna decyzja Zagadnienie to wykracza daleko poza zakres naszego programu. Istnieje jednak jeden ważny, szczególny przypadek, który musimy teraz rozważyć. Porozmawiamy o sumowaniu wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. Pozwalać A
1 , A
1 Q
, A
1 Q
2, ... jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Oznacza to, że | Q
|< 1. Сумма первых P
warunki tej progresji są równe Z podstawowych twierdzeń o granicach zmiennych (patrz § 136) otrzymujemy: Ale 1 = 1, a qn
= 0. Dlatego Zatem suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego jest równa pierwszemu wyrazowi tego postępu podzielonemu przez jeden minus mianownik tego postępu. 1) Suma postępu geometrycznego 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... jest równa a suma postępu geometrycznego wynosi 12; -6; 3; - 3/2 , ... równe 2) Zamień prosty ułamek okresowy 0,454545 ... na zwykły. Aby rozwiązać ten problem, wyobraźmy sobie ten ułamek jako nieskończoną sumę: Prawa część Ta równość jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy 45/100, a mianownik to 1/100. Dlatego Można to również uzyskać stosując opisaną metodę główna zasada konwersja prostych ułamków okresowych na zwykłe (patrz rozdział II, § 38): Aby zamienić prosty ułamek okresowy na ułamek zwykły, należy wykonać następujące czynności: w liczniku wpisać okres ułamka dziesiętnego, a w mianowniku - liczbę składającą się z dziewiątek wziętą tyle razy, ile jest cyfr w okresie ułamka dziesiętnego.
3) Zamień mieszany ułamek okresowy 0,58333 .... na ułamek zwykły. Wyobraźmy sobie ten ułamek jako nieskończoną sumę: Po prawej stronie tej równości wszystkie wyrazy, zaczynając od 3/1000, tworzą nieskończenie malejący postęp geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 3/1000, a mianownik to 1/10. Dlatego Stosując opisaną metodę, można otrzymać ogólną zasadę przeliczania mieszanych ułamków okresowych na ułamki zwykłe (patrz rozdział II, § 38). Celowo go tutaj nie prezentujemy. Nie ma potrzeby pamiętać o tej kłopotliwej regule. O wiele bardziej przydatna jest wiedza, że dowolny mieszany ułamek okresowy można przedstawić jako sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego i określonej liczby. I formuła dla sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, musisz oczywiście pamiętać. W ramach ćwiczenia sugerujemy, aby oprócz problemów nr 995-1000 podanych poniżej, ponownie zająć się problemem nr 301 § 38. Ćwiczenia
995. Co nazywa się sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego? 996. Znajdź sumy nieskończenie malejących postępów geometrycznych: 997. Przy jakich wartościach X
postęp czy to maleje w nieskończoność? Znajdź sumę takiego postępu. 998. W trójkącie równobocznym z bokiem A
wpisano nowy trójkąt łącząc środki jego boków; w ten sam sposób wpisuje się nowy trójkąt i tak w nieskończoność. a) suma obwodów wszystkich tych trójkątów; b) sumę ich pól. 999. Kwadrat z bokiem A
wpisano nowy kwadrat, łącząc środki jego boków; w ten sam kwadrat wpisano kwadrat i tak w nieskończoność. Znajdź sumę obwodów wszystkich tych kwadratów i sumę ich pól. 1000. Ułóż nieskończenie malejący postęp geometryczny tak, aby jego suma była równa 25/4, a suma kwadratów jego wyrazów była równa 625/24. Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład: Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego: Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer. Na przykład dla naszej sekwencji: Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama. Liczba z liczbą nazywana jest n-tym członkiem ciągu. Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: . W naszym przypadku: Najpopularniejszymi rodzajami progresji są arytmetyka i geometryczna. W tym temacie porozmawiamy o drugim typie - postęp geometryczny. Już w czasach starożytnych włoski matematyk, mnich Leonardo z Pizy (lepiej znany jako Fibonacci) zajmował się praktycznymi potrzebami handlu. Mnich stanął przed zadaniem ustalenia, jaka jest najmniejsza liczba odważników, którymi można zważyć produkt? Fibonacci w swoich pracach udowadnia, że taki układ wag jest optymalny: To jedna z pierwszych sytuacji, w których ludzie mieli do czynienia z postępem geometrycznym, o którym zapewne już słyszeliście i znaliście przynajmniej ogólna koncepcja. Kiedy już w pełni zrozumiesz temat, zastanów się, dlaczego taki system jest optymalny? Obecnie w praktyce życiowej postęp geometryczny objawia się lokowaniem pieniędzy w banku, gdy kwota odsetek naliczana jest od kwoty zgromadzonej na rachunku za poprzedni okres. Innymi słowy, jeśli lokujesz pieniądze na lokacie terminowej w banku oszczędnościowym, to po roku lokata wzrośnie o pierwotną kwotę, tj. nowa kwota będzie równa wkładowi pomnożonemu przez. W kolejnym roku kwota ta wzrośnie m.in. uzyskana w tym czasie kwota zostanie ponownie pomnożona przez i tak dalej. Podobną sytuację opisano w problematyce obliczania tzw odsetki składane- procent liczony jest każdorazowo od kwoty znajdującej się na rachunku, z uwzględnieniem wcześniejszych odsetek. O tych zadaniach porozmawiamy nieco później. Istnieje wiele prostszych przypadków, w których stosuje się postęp geometryczny. Na przykład rozprzestrzenianie się grypy: jedna osoba zaraziła drugą osobę, ona z kolei zaraziła kolejną osobę i tak druga fala infekcji to osoba, a ona z kolei zaraziła kolejną... i tak dalej. . Nawiasem mówiąc, piramida finansowa, to samo MMM, to prosta i sucha kalkulacja oparta na właściwościach postępu geometrycznego. Ciekawy? Rozwiążmy to. Powiedzmy, że mamy ciąg liczb: Od razu odpowiesz, że to proste, a nazwa takiego ciągu to ciąg arytmetyczny z różnicą jego wyrazów. Co powiesz na to: Jeśli odejmiesz poprzednią liczbę od kolejnej, zobaczysz, że za każdym razem otrzymasz nową różnicę (i tak dalej), ale ciąg na pewno istnieje i łatwo go zauważyć - każda kolejna liczba jest razy większa od poprzedniej! Ten typ sekwencji liczb nazywa się postęp geometryczny i jest wyznaczony. Postęp geometryczny () to ciąg liczbowy, którego pierwszy wyraz jest różny od zera, a każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, pomnożonemu przez tę samą liczbę. Liczbę tę nazywa się mianownikiem postępu geometrycznego. Ograniczenia, że pierwszy wyraz ( ) nie jest równy i nie są przypadkowe. Załóżmy, że ich nie ma, a pierwszy wyraz jest nadal równy, a q jest równe, hmm.. niech tak będzie, wtedy się okaże: Zgadzam się, że to nie jest już postęp. Jak rozumiesz, otrzymamy te same wyniki, jeśli będzie jakakolwiek liczba różna od zera, a. W takich przypadkach po prostu nie będzie żadnego postępu, ponieważ cała seria liczb będzie składać się albo z zer, albo z jednej liczby, a cała reszta będzie zerami. Porozmawiajmy teraz bardziej szczegółowo o mianowniku postępu geometrycznego, czyli o. Powtórzmy: - to jest liczba ile razy zmienia się każdy kolejny wyraz? postęp geometryczny. Jak myślisz, co to może być? Zgadza się, dodatnia i ujemna, ale nie zero (rozmawialiśmy o tym nieco wyżej). Załóżmy, że nasza jest dodatnia. Niech w naszym przypadku a. Jaka jest wartość drugiego terminu i? Możesz łatwo odpowiedzieć na to pytanie: Zgadza się. Odpowiednio, jeśli, to wszystkie kolejne warunki progresji mają ten sam znak - oni są pozytywne. A jeśli wynik będzie negatywny? Na przykład: Jaka jest wartość drugiego terminu i? To zupełnie inna historia Spróbuj policzyć warunki tej progresji. Ile dostałeś? Ja mam. Zatem jeśli, to znaki wyrazów postępu geometrycznego są naprzemienne. Oznacza to, że jeśli widzisz progresję ze naprzemiennymi znakami dla swoich członków, wówczas jej mianownik jest ujemny. Ta wiedza może pomóc Ci sprawdzić się przy rozwiązywaniu problemów na ten temat. A teraz trochę poćwiczmy: spróbujmy ustalić, które ciągi liczbowe są postępem geometrycznym, a które arytmetycznym: Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi: Wróćmy do naszego ostatniego ciągu i spróbujmy znaleźć jego człon, podobnie jak w arytmetycznym. Jak można się domyślić, można go znaleźć na dwa sposoby. Sukcesywnie mnożymy każdy wyraz przez. Zatem termin opisywanego postępu geometrycznego jest równy. Jak już się domyśliłeś, teraz sam wyprowadzisz wzór, który pomoże ci znaleźć dowolnego członka postępu geometrycznego. A może już to opracowałeś dla siebie i opisałeś jak krok po kroku znaleźć członka? Jeśli tak, to sprawdź poprawność swojego rozumowania. Zilustrujmy to przykładem znalezienia wyrazu tego ciągu: Innymi słowy: Znajdź samodzielnie wartość wyrazu danego ciągu geometrycznego. Stało się? Porównajmy nasze odpowiedzi: Zauważ, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy pomnożyliśmy sekwencyjnie przez każdy poprzedni wyraz postępu geometrycznego. Wyprowadzony wzór jest prawdziwy dla wszystkich wartości - zarówno dodatnich, jak i ujemnych. Sprawdź to sam, obliczając warunki postępu geometrycznego za pomocą następujące warunki: , A. Czy policzyłeś? Porównajmy wyniki: Zgadzam się, że możliwe byłoby znalezienie terminu progresji w taki sam sposób, jak terminu, istnieje jednak możliwość nieprawidłowego obliczenia. A jeśli już znaleźliśmy wyraz 3. ciągu geometrycznego, to co może być prostszego niż użycie „obciętej” części wzoru. Niedawno rozmawialiśmy o tym, że może być większy lub mniejszy od zera, jednak istnieją specjalne wartości, dla których nazywa się postęp geometryczny nieskończenie maleje. Jak myślisz, dlaczego nadano tę nazwę? Widzimy, że każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego o współczynnik, ale czy będzie jakaś liczba? Natychmiast odpowiesz - „nie”. Dlatego maleje w nieskończoność – maleje i maleje, ale nigdy nie osiąga zera. Aby dobrze zrozumieć jak to wygląda wizualnie, spróbujmy narysować wykres naszego postępu. Zatem w naszym przypadku formuła przyjmuje następującą postać: Na wykresach jesteśmy przyzwyczajeni do wykreślania zależności od, zatem: Istota wyrażenia nie uległa zmianie: w pierwszym wpisie pokazaliśmy zależność wartości członka ciągu geometrycznego od jego liczby porządkowej, a w drugim wpisie po prostu przyjęliśmy wartość członka ciągu geometrycznego jako i oznaczył liczbę porządkową nie jako, ale jako. Pozostało jeszcze tylko zbudować wykres. Czy ty widzisz? Funkcja maleje, dąży do zera, ale nigdy go nie przekracza, więc jest nieskończenie malejąca. Zaznaczmy nasze punkty na wykresie, a jednocześnie jaką współrzędną i co oznacza: Spróbuj schematycznie przedstawić wykres postępu geometrycznego, jeśli jego pierwszy wyraz jest również równy. Przeanalizuj, jaka jest różnica w stosunku do naszego poprzedniego wykresu? Czy udało Ci się? Oto wykres, który wymyśliłem: Teraz, gdy już w pełni zrozumiałeś podstawy tematu postępu geometrycznego: wiesz, co to jest, wiesz, jak znaleźć jego termin, a także wiesz, czym jest nieskończenie malejący postęp geometryczny, przejdźmy do jego głównej właściwości. Czy pamiętasz własność wyrazów ciągu arytmetycznego? Tak, tak, jak znaleźć wartość określonej liczby progresji, gdy istnieją poprzednie i kolejne wartości warunków tej progresji. Pamiętasz? Ten: Teraz stajemy przed dokładnie tym samym pytaniem dotyczącym wyrazów postępu geometrycznego. Aby wyprowadzić taką formułę, zacznijmy rysować i rozumować. Zobaczysz, jest to bardzo proste, a jeśli zapomnisz, możesz to zrobić sam. Weźmy inny prosty postęp geometryczny, w którym wiemy i. Jak znaleźć? Z postępem arytmetycznym jest to łatwe i proste, ale co z tym? Tak naprawdę w geometrii też nie ma nic skomplikowanego - wystarczy każdą podaną nam wartość zapisać według wzoru. Możesz zapytać, co powinniśmy teraz z tym zrobić? Tak, bardzo proste. Najpierw przedstawmy te formuły na rysunku i spróbujmy z nimi zrobić różne manipulacje aby dojść do wartości. Abstrahujmy od liczb, które są nam dane, skupmy się jedynie na ich wyrażeniu poprzez formułę. Musimy znaleźć wartość zaznaczoną na pomarańczowo, znając terminy obok niej. Spróbujmy z nimi produkować różne działania w wyniku czego możemy uzyskać. Dodatek. Z tego wyrażenia, jak widać, nie możemy go w żaden sposób wyrazić, dlatego spróbujemy innej opcji - odejmowania. Odejmowanie. Jak widać, tego też nie potrafimy wyrazić, dlatego spróbujmy pomnożyć te wyrażenia przez siebie. Mnożenie. Teraz przyjrzyj się uważnie temu, co mamy, mnożąc podane nam wyrazy postępu geometrycznego w porównaniu z tym, co należy znaleźć: Zgadnij o czym mówię? Zgadza się, aby znaleźć, musimy wziąć Pierwiastek kwadratowy z geometrycznych liczb progresji sąsiadujących z żądaną, pomnożonych przez siebie: Proszę bardzo. Sam wyprowadziłeś własność postępu geometrycznego. Spróbuj zapisać tę formułę w ogólna perspektywa. Stało się? Zapomniałeś warunku? Zastanów się, dlaczego jest to ważne, na przykład spróbuj obliczyć to samodzielnie. Co się stanie w tym przypadku? Zgadza się, kompletna bzdura, bo wzór wygląda tak: W związku z tym nie zapominaj o tym ograniczeniu. Teraz obliczmy, co to jest równe Poprawna odpowiedź - ! Jeśli nie zapomniałeś o drugim przy obliczaniu możliwe znaczenie, to jesteś świetnym facetem i możesz od razu przejść do szkolenia, a jeśli zapomniałeś, przeczytaj to, co omówiono poniżej i zwróć uwagę, dlaczego konieczne jest zapisanie obu pierwiastków w odpowiedzi. Narysujmy oba nasze postępy geometryczne – jeden z wartością, drugi z wartością i sprawdźmy, czy oba mają prawo istnieć: Aby sprawdzić, czy taki postęp geometryczny istnieje, czy nie, należy sprawdzić, czy wszystkie podane w nim wyrazy są takie same? Oblicz q dla pierwszego i drugiego przypadku. Widzisz, dlaczego musimy napisać dwie odpowiedzi? Ponieważ znak szukanego terminu zależy od tego, czy jest on dodatni, czy ujemny! A ponieważ nie wiemy, co to jest, musimy zapisać obie odpowiedzi z plusem i minusem. Teraz, gdy opanowałeś główne punkty i wyprowadziłeś wzór na właściwość postępu geometrycznego, znajdź, poznaj i Porównaj swoje odpowiedzi z prawidłowymi: Jak myślisz, co by było, gdybyśmy nie otrzymali wartości wyrazów postępu geometrycznego sąsiadujących z pożądaną liczbą, ale w równej odległości od niej. Na przykład musimy znaleźć i podać i. Czy w tym przypadku możemy zastosować otrzymany wzór? Spróbuj potwierdzić lub obalić tę możliwość w ten sam sposób, opisując, z czego składa się każda wartość, tak jak to zrobiłeś, gdy pierwotnie wyprowadzałeś wzór, w. Teraz przyjrzyj się uważnie jeszcze raz. Z tego możemy wywnioskować, że formuła działa nie tylko z sąsiadem z pożądanymi terminami postępu geometrycznego, ale także z równoodległy od tego, czego szukają członkowie. Zatem nasza początkowa formuła ma postać: Oznacza to, że jeśli w pierwszym przypadku to powiedzieliśmy, teraz mówimy, że może to być równe dowolnemu Liczba naturalna, który jest mniejszy. Najważniejsze, że jest taki sam dla obu podanych liczb. Ćwicz na konkretnych przykładach, ale zachowaj szczególną ostrożność! Zdecydowany? Mam nadzieję, że byłeś bardzo uważny i zauważyłeś mały haczyk. Porównajmy wyniki. W pierwszych dwóch przypadkach spokojnie stosujemy powyższy wzór i otrzymujemy następujące wartości: W trzecim przypadku po bliższym zbadaniu numer seryjny podanych nam liczb, rozumiemy, że nie są one w jednakowej odległości od liczby, której szukamy: jest to liczba poprzednia, ale jest usuwana na miejscu, więc nie można zastosować wzoru. Jak to rozwiązać? To naprawdę nie jest tak trudne, jak się wydaje! Zapiszmy z czego składa się każda podana nam liczba oraz liczba której szukamy. Mamy więc i. Zobaczmy, co możemy z nimi zrobić? Sugeruję dzielenie przez. Otrzymujemy: Podstawiamy nasze dane do wzoru: Następnym krokiem, jaki możemy znaleźć, jest - w tym celu musimy wziąć pierwiastek sześcienny z wynikowej liczby. Teraz spójrzmy jeszcze raz na to, co mamy. Mamy to, ale musimy to znaleźć, a to z kolei jest równe: Znaleźliśmy wszystkie dane niezbędne do obliczeń. Podstaw do wzoru: Nasza odpowiedź: . Spróbuj samodzielnie rozwiązać inny podobny problem: Ile dostałeś? Ja mam - . Jak widać, zasadniczo potrzebujesz zapamiętaj tylko jedną formułę- . Całą resztę możesz w każdej chwili wypłacić sam, bez żadnych trudności. Aby to zrobić, wystarczy zapisać na kartce papieru najprostszy postęp geometryczny i zapisać, ile wynosi każda z jego liczb, zgodnie ze wzorem opisanym powyżej. Przyjrzyjmy się teraz wzorom, które pozwalają nam szybko obliczyć sumę wyrazów postępu geometrycznego w danym przedziale: Aby wyprowadzić wzór na sumę wyrazów skończonego postępu geometrycznego, należy pomnożyć wszystkie części powyższego równania przez. Otrzymujemy: Przyjrzyj się uważnie: co mają wspólnego te dwie ostatnie formuły? Zgadza się, na przykład zwykli członkowie i tak dalej, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego członka. Spróbujmy odjąć pierwsze od drugiego równania. Co dostałeś? Wyraź teraz wyraz postępu geometrycznego za pomocą wzoru i podstaw wynikowe wyrażenie do naszego ostatniego wzoru: Pogrupuj wyrażenie. Powinieneś wziąć: Pozostało jeszcze tylko wyrazić: Odpowiednio w tym przypadku. Co jeśli? Jaka formuła wtedy działa? Wyobraź sobie postęp geometryczny w. Jaka ona jest? Szereg identycznych liczb jest poprawny, więc wzór będzie wyglądał następująco: Istnieje wiele legend zarówno na temat postępu arytmetycznego, jak i geometrycznego. Jedną z nich jest legenda o Setie, twórcy szachów. Wiele osób wie, że gra w szachy została wynaleziona w Indiach. Kiedy spotkał ją król hinduski, był zachwycony jej dowcipem i różnorodnością możliwych w niej stanowisk. Dowiedziawszy się, że wynalazł go jeden z poddanych, król postanowił osobiście go nagrodzić. Przywołał wynalazcę do siebie i kazał mu prosić o wszystko, czego chce, obiecując spełnić nawet najbardziej zręczne pragnienie. Seta poprosił o czas do namysłu, a kiedy następnego dnia Seta pojawił się przed królem, zaskoczył króla niespotykaną skromnością swojej prośby. Prosił, aby dać ziarno pszenicy na pierwsze pole szachownicy, ziarno pszenicy na drugie, ziarno pszenicy na trzecie, czwarte itd. Król rozgniewał się i wypędził Seta, mówiąc, że prośba sługi jest niegodna hojności króla, ale obiecał, że sługa otrzyma swoje zboże za wszystkie kwadraty planszy. A teraz pytanie: korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego obliczyć, ile ziaren powinien otrzymać Set? Zacznijmy rozumować. Ponieważ zgodnie z warunkiem Seth poprosił o ziarno pszenicy na pierwsze pole szachownicy, na drugie, na trzecie, na czwarte itd., to widzimy, że problem dotyczy postępu geometrycznego. Co to jest równe w tym przypadku? Całkowita liczba pól szachownicy. Odpowiednio, . Mamy już wszystkie dane, pozostaje tylko podłączyć je do wzoru i obliczyć. Aby wyobrazić sobie przynajmniej w przybliżeniu „skalę” danej liczby, dokonujemy transformacji wykorzystując właściwości stopnia: Oczywiście, jeśli chcesz, możesz wziąć kalkulator i obliczyć, jaką liczbę otrzymasz, a jeśli nie, musisz mi uwierzyć na słowo: ostateczna wartość wyrażenia będzie wynosić. kwintylion kwadrylion bilion miliardów milionów tysięcy. Uff) Jeśli chcesz sobie wyobrazić ogrom tej liczby, to oszacuj, jak duża byłaby stodoła, aby pomieścić całą ilość zboża. Gdyby król był mocny w matematyce, mógłby zaprosić samego uczonego do policzenia ziaren, ponieważ aby policzyć milion ziaren, potrzebowałby co najmniej jednego dnia niestrudzonego liczenia, a biorąc pod uwagę, że konieczne jest liczenie kwintylionów, ziarna musiałby być liczony przez całe życie. Rozwiążmy teraz proste zadanie dotyczące sumy wyrazów ciągu geometrycznego. Zatem pierwszym wyrazem postępu geometrycznego jest Wasia, czyli osoba. Piąty wyraz postępu geometrycznego to dwie osoby, które zaraził pierwszego dnia swojego przybycia. całkowita kwota członków progresji jest równa liczbie uczniów w klasie 5A. W związku z tym mówimy o progresji, w której: Podstawmy nasze dane do wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego: W ciągu kilku dni cała klasa zachoruje. Nie wierzysz formułom i liczbom? Spróbuj samodzielnie przedstawić „infekcję” uczniów. Stało się? Zobacz jak to wygląda u mnie: Oblicz, ile dni zajęłoby uczniom zachorowanie na grypę, gdyby każdy z nich zaraził inną osobę, a w klasie była tylko jedna osoba. Jaką wartość otrzymałeś? Okazało się, że po jednym dniu wszyscy zaczęli chorować. Jak widać, takie zadanie i jego rysunek przypominają piramidę, w której każde kolejne „przynosi” nowych ludzi. Jednak prędzej czy później nadchodzi moment, kiedy ten ostatni nie może nikogo przyciągnąć. W naszym przypadku, jeśli wyobrazimy sobie, że klasa jest izolowana, osoba z niej zamyka łańcuch (). Zatem jeśli ktoś brał udział w piramida finansowa, w którym przekazano pieniądze, jeśli przyprowadzisz dwóch innych uczestników, wówczas osoba (lub przypadek ogólny) nie przyprowadziliby nikogo i w związku z tym straciliby wszystko, co zainwestowali w to oszustwo finansowe. Wszystko, co zostało powiedziane powyżej, odnosi się do malejącego lub rosnącego postępu geometrycznego, ale jak pamiętacie, mamy specjalny typ - nieskończenie malejący postęp geometryczny. Jak obliczyć sumę jego członków? I dlaczego ten rodzaj progresji ma pewne cechy? Rozwiążmy to razem. Zatem najpierw spójrzmy jeszcze raz na rysunek nieskończenie malejącego postępu geometrycznego z naszego przykładu: Przyjrzyjmy się teraz wzorowi na sumę postępu geometrycznego, wyprowadzonemu nieco wcześniej: Do czego dążymy? Zgadza się, wykres pokazuje, że zmierza do zera. Oznacza to, że w, będą odpowiednio prawie równe, przy obliczaniu wyrażenia otrzymamy prawie. W związku z tym uważamy, że przy obliczaniu sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego można pominąć ten nawias, ponieważ będzie równy. - wzór jest sumą wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. WAŻNY! Ze wzoru na sumę wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego korzystamy tylko wtedy, gdy warunek wyraźnie mówi, że musimy znaleźć sumę nieskończony Liczba członków. Jeżeli określona jest konkretna liczba n, wówczas stosujemy wzór na sumę n wyrazów, nawet jeśli lub. Teraz poćwiczmy. Mam nadzieję, że zachowałeś szczególną ostrożność. Porównajmy nasze odpowiedzi: Teraz wiesz już wszystko o postępie geometrycznym i czas przejść od teorii do praktyki. Najczęstszymi problemami z postępem geometrycznym spotykanymi na egzaminie są problemy z obliczaniem odsetek składanych. To właśnie o nich będziemy rozmawiać. Prawdopodobnie słyszałeś o tak zwanej formule odsetek składanych. Czy rozumiesz, co to znaczy? Jeśli nie, zastanówmy się, bo kiedy zrozumiesz sam proces, od razu zrozumiesz, co ma z tym wspólnego postęp geometryczny. Wszyscy idziemy do banku i wiemy, że tam są różne warunki na depozytach: jest to termin, a usługa dodatkowa i odsetki z dwóch różne sposoby jego obliczenia - proste i złożone. Z proste zainteresowanie wszystko jest mniej więcej jasne: odsetki naliczane są jednorazowo na koniec okresu lokaty. Oznacza to, że jeśli powiemy, że wpłacamy 100 rubli na rok, to zostaną one zaksięgowane dopiero pod koniec roku. Odpowiednio, pod koniec depozytu otrzymamy ruble. Odsetki składane- jest to opcja, w której to występuje kapitalizacja odsetek, tj. ich doliczenie do kwoty depozytu i późniejsze obliczenie dochodu nie od początkowej, ale od zgromadzonej kwoty depozytu. Kapitalizacja nie występuje stale, ale z pewną częstotliwością. Z reguły okresy te są równe i najczęściej banki stosują miesiąc, kwartał lub rok. Załóżmy, że co roku wpłacamy te same ruble, ale z miesięczną kapitalizacją lokaty. Co my robimy? Czy wszystko tutaj rozumiesz? Jeśli nie, rozwiążemy to krok po kroku. Przynieśliśmy ruble do banku. Do końca miesiąca powinniśmy mieć na koncie kwotę składającą się z naszych rubli plus odsetki od nich, czyli: Zgadzać się? Możemy wyjąć to z nawiasów i wtedy otrzymamy: Zgadzam się, ta formuła jest już bardziej podobna do tego, co pisaliśmy na początku. Pozostało tylko obliczyć procenty W opisie problemu powiedziano nam o stawkach rocznych. Jak wiadomo, nie mnożymy przez - przeliczamy procenty na miejsca dziesiętne, to jest: Prawidłowy? Teraz możesz zapytać, skąd wzięła się ta liczba? Bardzo prosta! Zrozumiałeś? Spróbuj teraz napisać, jak wyglądałaby ta część wzoru, gdybym powiedział, że odsetki naliczane są codziennie. Dobrze zrobiony! Wróćmy do naszego zadania: napisz, ile wpłynie na nasze konto w drugim miesiącu, biorąc pod uwagę, że od zgromadzonej kwoty lokaty naliczane są odsetki. Lub innymi słowy: Myślę, że już zauważyliście pewną prawidłowość i dostrzegliście w tym postęp geometryczny. Napisz, ile będzie wynosić jego członek, czyli inaczej jaką sumę pieniędzy otrzymamy na koniec miesiąca. Jak widać, jeśli wpłacisz pieniądze do banku na rok według prostego oprocentowania, otrzymasz ruble, a jeśli z oprocentowaniem złożonym, otrzymasz ruble. Korzyść jest niewielka, ale zdarza się to tylko w ciągu th roku, ale na dłużej długi okres kapitalizacja jest znacznie bardziej opłacalna: Przyjrzyjmy się innemu rodzajowi problemu związanego z odsetkami składanymi. Po tym, co odkryłeś, będzie to dla ciebie elementarne. A więc zadanie: Firma Zvezda rozpoczęła inwestycje w branży w 2000 roku, dysponując kapitałem w dolarach. Od 2001 roku corocznie osiąga zysk równy kapitałowi z roku poprzedniego. Ile zysku otrzyma firma Zvezda na koniec 2003 roku, jeśli zyski nie zostaną wycofane z obiegu? Kapitał firmy Zvezda w 2000 roku. Lub możemy napisać krótko: Dla naszego przypadku: 2000, 2001, 2002 i 2003. Odpowiedzi: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) Postęp geometryczny ( ) to ciąg liczbowy, którego pierwszy wyraz jest różny od zera, a każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, pomnożonemu przez tę samą liczbę. Liczbę tę nazywa się mianownikiem postępu geometrycznego. 2) Równanie wyrazów postępu geometrycznego wynosi . 3) może przyjmować dowolne wartości z wyjątkiem i. 4) , z - właściwość postępu geometrycznego (sąsiednie wyrazy) Lub Kiedy już to znajdziesz, nie zapomnij o tym powinny być dwie odpowiedzi. Na przykład, 5) Sumę wyrazów postępu geometrycznego oblicza się ze wzoru: Jeżeli postęp jest nieskończenie malejący, to: WAŻNY! Ze wzoru na sumę wyrazów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego korzystamy tylko wtedy, gdy warunek wyraźnie stwierdza, że musimy znaleźć sumę nieskończonej liczby wyrazów. 6) Zadania z odsetkami składanymi oblicza się także ze wzoru na VII wyraz ciągu geometrycznego, pod warunkiem, że gotówka nie zostały wycofane z obiegu: Postęp geometryczny( ) jest ciągiem liczbowym, którego pierwszy wyraz jest różny od zera, a każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, pomnożonemu przez tę samą liczbę. Ten numer się nazywa mianownik postępu geometrycznego. Mianownik postępu geometrycznego może przyjmować dowolną wartość z wyjątkiem i. Równanie wyrazów postępu geometrycznego - . Suma wyrazów postępu geometrycznego obliczane według wzoru: Lekcja na ten temat „Nieskończenie malejący postęp geometryczny” (algebra, klasa 10)
Cel lekcji: zapoznanie uczniów z nowym rodzajem ciągu - nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Sprzęt: ekran projekcyjny. Typ lekcji: lekcja - nauka nowego tematu. Podczas zajęć I
. Org. za chwilę. Podaj temat i cel lekcji. II
. Aktualizowanie wiedzy uczniów. W dziewiątej klasie uczyłeś się postępów arytmetycznych i geometrycznych. pytania 1. Definicja postępu arytmetycznego. (Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy element, począwszy od drugiego, jest równy członowi poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby). 2. Formuła N wyraz ciągu arytmetycznego ( 3. Wzór na sumę pierwszego N terminy postępu arytmetycznego. ( 4. Definicja postępu geometrycznego. (Postęp geometryczny to ciąg liczb niezerowych, którego każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy członowi poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę). 5. Formuła N wyraz postępu geometrycznego ( 6. Wzór na sumę pierwszego N elementy postępu geometrycznego. ( 7. Jakie inne formuły znasz? ( 5. Dla postępu geometrycznego 6. Dla postępu geometrycznego 7. Wykładniczo B
3
= 8
I B
5
= 2
. Znajdować B
4
. (4) 8. Wykładniczo B
3
= 8
I B
5
= 2
. Znajdować B
1
I
Q
. 9. Wykładniczo B
3
= 8
I B
5
= 2
. Znajdować S
5
. (62) III
. Nauka nowego tematu(pokaz prezentacji). Rozważmy kwadrat o boku równym 1. Narysujmy kolejny kwadrat, którego bok jest o połowę mniejszy od pierwszego kwadratu, potem kolejny, którego bok jest o połowę mniejszy, potem następny itd. Za każdym razem bok nowego kwadratu jest równy połowie poprzedniego. W rezultacie otrzymaliśmy ciąg boków kwadratów I co bardzo ważne, im więcej takich kwadratów zbudujemy, tym mniejszy będzie bok kwadratu. Na przykład, Te. Wraz ze wzrostem liczby n warunki progresji zbliżają się do zera. Korzystając z tego rysunku, możesz rozważyć inną sekwencję. Na przykład sekwencja pól kwadratów: Spójrzmy na inny przykład. Trójkąt równoboczny o bokach 1 cm. Skonstruujmy następujący trójkąt z wierzchołkami w środkach boków pierwszego trójkąta, zgodnie z twierdzeniem o linii środkowej trójkąta - bok drugiego trójkąta jest równy połowie boku pierwszego, bok trzeciego jest równy połowie boku drugiej itd. Ponownie otrzymujemy ciąg długości boków trójkątów. Jeśli weźmiemy pod uwagę postęp geometryczny z ujemnym mianownikiem. Potem znowu, w miarę zwiększania się liczby N warunki progresji zbliżają się do zera. Zwróćmy uwagę na mianowniki tych ciągów. Wszędzie mianowniki były mniejsze niż 1 w wartości bezwzględnej. Możemy stwierdzić: postęp geometryczny będzie nieskończenie malejący, jeśli moduł jego mianownika będzie mniejszy niż 1. Definicja:
Mówi się, że postęp geometryczny maleje nieskończenie, jeśli moduł jego mianownika jest mniejszy niż jeden. Korzystając z definicji, możesz zdecydować, czy postęp geometryczny jest nieskończenie malejący, czy nie. Zadanie Czy ciąg jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym, jeżeli wyraża się to wzorem: Rozwiązanie: ten postęp geometryczny jest nieskończenie malejący. B) ciąg ten nie jest nieskończenie malejącym postępem geometrycznym. Rozważmy kwadrat o boku równym 1. Podzielmy go na pół, jedną z połówek na pół itd. Pola wszystkich powstałych prostokątów tworzą nieskończenie malejący postęp geometryczny: Suma pól wszystkich prostokątów uzyskanych w ten sposób będzie równa powierzchni pierwszego kwadratu i równa 1.
Zadanie znalezienia pierwszego wyrazu progresji
Słynny paradoks Zenona z szybkim Achillesem i wolnym żółwiem
Zadania:
sformułowanie wstępnej idei granicy ciągu liczbowego;
znajomość innego sposobu zamiany nieskończonych ułamków okresowych na zwykłe przy użyciu wzoru na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego;
rozwój intelektualnych cech osobowości uczniów, takich jak logiczne myślenie, umiejętność podejmowania działań oceniających i generalizowanie;
wspieranie aktywności, wzajemnej pomocy, kolektywizmu i zainteresowania tematem.Pobierać:
Zapowiedź:
Zapowiedź:
Podpisy slajdów:
Postęp geometryczny. Kompleksowy przewodnik z przykładami (2019)
Sekwencja numerów
Dlaczego potrzebny jest postęp geometryczny i jego historia?
Postęp geometryczny.
Spróbujmy „depersonalizować” tę formułę- Zapiszmy to w postaci ogólnej i otrzymamy:Nieskończenie malejący postęp geometryczny.
Najpierw zapiszmy pewien postęp geometryczny składający się z terminów.
Powiedzmy zatem:
Zobaczmy co masz. Oto wykres, który wymyśliłem:
Własność postępu geometrycznego.
Spróbujmy dodać dwa wyrażenia i otrzymamy:
Co dostałeś?
i odpowiednio:
Dany: ,
Znajdować:Suma wyrazów postępu geometrycznego.
Prawidłowy.
To jest:
Jeżeli stodoła ma m wysokości i m szerokości, jej długość musiałaby wynosić km, tj. dwa razy dalej niż Ziemia od Słońca.
Uczennica klasy 5A Wasia zachorowała na grypę, ale nadal chodzi do szkoły. Wasia zaraża codziennie dwie osoby, które z kolei zarażają kolejne dwie osoby i tak dalej. W klasie są tylko ludzie. Za ile dni cała klasa będzie chora na grypę?
Lub
Problemy z naliczaniem odsetek składanych.
Powtarzam: stwierdzenie problemu mówi o COROCZNY odsetki, które narosną MIESIĘCZNY. Jak wiadomo za rok odpowiednio bank będzie pobierał od nas część rocznych odsetek miesięcznie:
Czy udało Ci się? Porównajmy wyniki:
Oto co dostałem:
Zrobił? Sprawdźmy!
- kapitał firmy Zvezda w 2001 roku.
- kapitał firmy Zvezda w 2002 roku.
- kapitał firmy Zvezda w 2003 roku.
Odpowiednio:
ruble
Proszę zwrócić uwagę, że w tym zadaniu nie mamy podziału ani przez, ani przez, ponieważ procent jest podawany ROCZNIE i jest obliczany ROCZNIE. Oznacza to, że czytając zadanie dotyczące odsetek składanych, zwróć uwagę na to, jaki procent jest podany i w jakim okresie jest naliczany, a dopiero potem przystąp do obliczeń.
Teraz wiesz już wszystko o postępie geometrycznym.Szkolenie.
Spółka kapitałowa MDM:
- wzrasta o 100%, czyli 2 razy.
Odpowiednio:
ruble
Firma MSK Cash Flows:
- wzrasta o, czyli razy.
Odpowiednio:
ruble
rublePodsumujmy.
, w (równoodległe terminy)
Lub
LubPOSTĘP GEOMETRYCZNY. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Lub
)
Lub 
)
)
)
, Gdzie 
; 
; 
; 
, 
)
znajdź piąty wyraz. 
znajdować N członek. 
tworząc postęp geometryczny z mianownikiem .
. I znowu, jeśli N rośnie w nieskończoność, wówczas obszar zbliża się do zera tak blisko, jak chcesz.
Na 
.
.
; 
.. Znajdziemy Q
.
; 
; 
; 
.
