Ang pamamaraan ng Cramer ay batay sa paggamit ng mga determinant sa paglutas ng mga sistema linear na equation. Ito ay makabuluhang nagpapabilis sa proseso ng solusyon.
Ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang isang sistema ng kasing dami ng mga linear na equation na may mga hindi alam sa bawat equation. Kung ang determinant ng system ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin sa solusyon, ngunit kung ito ay katumbas ng zero, hindi ito magagawa. Bilang karagdagan, ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may natatanging solusyon.
Kahulugan. Ang determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ay tinatawag na determinant ng system at denoted (delta).
Mga Determinant
ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng mga kaukulang hindi alam ng mga libreng termino:
;
.
Teorama ni Cramer. Kung ang determinant ng system ay nonzero, kung gayon ang sistema ng mga linear equation ay may isang natatanging solusyon, at ang hindi alam ay katumbas ng ratio ng mga determinant. Ang denominator ay naglalaman ng determinant ng system, at ang numerator ay naglalaman ng determinant na nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient ng hindi alam na ito ng mga libreng termino. Ang theorem na ito ay humahawak para sa isang sistema ng mga linear na equation ng anumang pagkakasunud-sunod.
Halimbawa 1. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:
Ayon kay Teorama ni Cramer meron kami:
Kaya, ang solusyon sa system (2):
online na calculator, mapagpasyang pamamaraan Kramer.
Tatlong kaso kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation
Tulad ng malinaw mula sa Teorama ni Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation, tatlong mga kaso ang maaaring mangyari:
Unang kaso: ang isang sistema ng mga linear equation ay may natatanging solusyon
(ang sistema ay pare-pareho at tiyak)
Pangalawang kaso: ang isang sistema ng mga linear na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon
(ang sistema ay pare-pareho at hindi sigurado)
** 
,
mga. ang mga koepisyent ng mga hindi alam at ang mga libreng termino ay proporsyonal.
Ikatlong kaso: ang sistema ng mga linear equation ay walang mga solusyon
(ang sistema ay hindi pare-pareho)
Kaya ang sistema m linear equation na may n tinatawag na variable hindi magkatugma, kung wala siyang iisang solusyon, at magkadugtong, kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang sabay-sabay na sistema ng mga equation na may isang solusyon lamang ay tinatawag tiyak, at higit sa isa – hindi sigurado.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear equation gamit ang Cramer method
Ibigay ang sistema
.
Batay sa teorama ni Cramer
………….
,
saan 
-
determinant ng sistema. Nakukuha namin ang natitirang mga determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa column ng mga coefficient ng kaukulang variable (hindi alam) na may mga libreng termino:
Halimbawa 2.
.
Samakatuwid, ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant
Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:
Kaya, (1; 0; -1) ang tanging solusyon sa system.
Upang suriin ang mga solusyon sa mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari kang gumamit ng online na calculator gamit ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Kung sa isang sistema ng mga linear na equation ay walang mga variable sa isa o higit pang mga equation, kung gayon sa determinant ang mga kaukulang elemento ay katumbas ng zero! Ito ang susunod na halimbawa.
Halimbawa 3. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang Cramer method:
.
Solusyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Tingnang mabuti ang sistema ng mga equation at ang determinant ng system at ulitin ang sagot sa tanong kung saan ang isa o higit pang mga elemento ng determinant ay katumbas ng zero. Kaya, ang determinant ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam
Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:
Kaya, ang solusyon sa sistema ay (2; -1; 1).
Upang suriin ang mga solusyon sa mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari kang gumamit ng online na calculator gamit ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Ibabaw ng Pahina
Patuloy kaming nilulutas ang mga system gamit ang pamamaraan ni Cramer nang magkasama
Tulad ng nabanggit na, kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, at ang mga determinant ng mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon. Ilarawan natin sa sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 6. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang Cramer method:
Solusyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Ang determinant ng system ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ng mga linear equation ay alinman sa hindi pare-pareho at tiyak, o hindi pare-pareho, iyon ay, walang mga solusyon. Upang linawin, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam
Ang mga determinant ng mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon.
Upang suriin ang mga solusyon sa mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari kang gumamit ng online na calculator gamit ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Sa mga problemang kinasasangkutan ng mga sistema ng linear equation, mayroon ding mga kung saan, bilang karagdagan sa mga titik na nagsasaad ng mga variable, mayroon ding iba pang mga titik. Ang mga titik na ito ay kumakatawan sa isang numero, kadalasang totoo. Sa pagsasagawa, ang mga naturang equation at sistema ng mga equation ay pinangungunahan ng mga problema sa paghahanap ng mga pangkalahatang katangian ng anumang phenomena o mga bagay. Ibig sabihin, may naimbento ka ba bagong materyal o isang device, at upang ilarawan ang mga katangian nito, na karaniwan anuman ang laki o bilang ng isang instance, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga linear equation, kung saan sa halip na ilang mga coefficient para sa mga variable ay mayroong mga titik. Hindi mo kailangang tumingin sa malayo para sa mga halimbawa.
Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang katulad na problema, tanging ang bilang ng mga equation, variable, at mga titik na nagsasaad ng isang tiyak na tunay na numero ay tumataas.
Halimbawa 8. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang Cramer method:
Solusyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Paghahanap ng mga determinant para sa mga hindi alam
Ang pamamaraan ng Cramer ay ginagamit upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation(SLAE), kung saan ang bilang ng mga hindi kilalang variable ay katumbas ng bilang ng mga equation at ang determinant ng pangunahing matrix ay naiiba sa zero. Sa artikulong ito susuriin natin kung paano matatagpuan ang mga hindi kilalang variable gamit ang paraan ng Cramer at kumuha ng mga formula. Pagkatapos nito, lumipat tayo sa mga halimbawa at ilarawan nang detalyado ang solusyon ng mga sistema ng mga linear algebraic equation gamit ang paraan ng Cramer.
Pag-navigate sa pahina.
Paraan ng Cramer - derivation ng mga formula.
Kailangan nating lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation ng form
Kung saan ang x 1, x 2, …, x n ay mga hindi kilalang variable, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- mga numerical coefficient, b 1, b 2, ..., b n - mga libreng termino. Ang solusyon sa isang SLAE ay isang hanay ng mga halaga x 1 , x 2 , …, x n kung saan ang lahat ng equation ng system ay nagiging pagkakakilanlan.
Sa anyo ng matrix, ang sistemang ito ay maaaring isulat bilang A ⋅ X = B, kung saan 
- ang pangunahing matrix ng system, ang mga elemento nito ay ang mga coefficient ng hindi kilalang mga variable, - ang matrix ay isang haligi ng mga libreng termino, at - ang matrix ay isang haligi ng hindi kilalang mga variable. Matapos mahanap ang hindi kilalang mga variable x 1, x 2, …, x n, ang matrix ay naging solusyon sa sistema ng mga equation at ang pagkakapantay-pantay na A ⋅ X = B ay naging isang pagkakakilanlan.
Ipagpalagay namin na ang matrix A ay hindi isahan, iyon ay, ang determinant nito ay hindi zero. Sa kasong ito, ang sistema ng mga linear algebraic equation ay may natatanging solusyon na makikita sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer. (Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema para sa ay tinalakay sa seksyon ng mga sistema ng paglutas ng mga linear algebraic equation).
Ang pamamaraan ng Cramer ay batay sa dalawang katangian ng matrix determinant:
Kaya, simulan natin ang paghahanap ng hindi kilalang variable x 1. Upang gawin ito, i-multiply natin ang parehong bahagi ng unang equation ng system sa A 1 1, parehong bahagi ng pangalawang equation sa A 2 1, at iba pa, parehong bahagi ng nth equation ng A n 1 (iyon ay, tayo i-multiply ang mga equation ng system sa mga katumbas na algebraic complements ng unang matrix column A): 
Pagsamahin natin ang lahat ng kaliwang bahagi ng system equation, pagpapangkat ng mga termino para sa hindi kilalang mga variable x 1, x 2, ..., x n, at itumbas ang kabuuan na ito sa kabuuan ng lahat ng kanang bahagi ng mga equation: 
Kung bumaling tayo sa naunang nabanggit na mga katangian ng determinant, mayroon tayo 
at ang dating pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng anyo 
saan 
Katulad nito, nakita namin ang x 2. Upang gawin ito, pinarami namin ang magkabilang panig ng mga equation ng system sa pamamagitan ng mga algebraic na pandagdag ng pangalawang haligi ng matrix A: 
Idinaragdag namin ang lahat ng mga equation ng system, pangkatin ang mga termino para sa hindi kilalang mga variable x 1, x 2, ..., x n at ilapat ang mga katangian ng determinant: 
saan 
.
Ang natitirang hindi kilalang mga variable ay matatagpuan sa parehong paraan.
Kung italaga natin
Pagkatapos makuha namin mga formula para sa paghahanap ng mga hindi kilalang variable gamit ang paraan ng Cramer 
.
Magkomento.
Kung ang sistema ng linear algebraic equation ay homogenous, ibig sabihin 
, pagkatapos ay mayroon lamang itong maliit na solusyon (sa ). Sa katunayan, para sa zero free terms, lahat ng determinants 
ay magiging katumbas ng zero, dahil maglalaman ang mga ito ng column ng mga zero na elemento. Samakatuwid, ang mga formula magbibigay .
Algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang Cramer method.
Isulat natin ito algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang Cramer method.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang Cramer's method.
Tingnan natin ang mga solusyon sa ilang halimbawa.
Halimbawa.
Maghanap ng solusyon sa isang inhomogeneous system ng linear algebraic equation gamit ang Cramer's method 
.
Solusyon.
Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo. Kalkulahin natin ang determinant nito gamit ang formula 
:
Dahil ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay nonzero, ang SLAE ay may natatanging solusyon, at ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng Cramer. Isulat natin ang mga determinant at . Pinapalitan namin ang unang column ng pangunahing matrix ng system na may column ng mga libreng termino, at nakuha namin ang determinant 
. Katulad nito, pinapalitan namin ang pangalawang column ng pangunahing matrix ng column ng mga libreng termino, at nakukuha namin ang .
Kinakalkula namin ang mga determinant na ito: 
Hanapin ang hindi kilalang mga variable x 1 at x 2 gamit ang mga formula 
:
Suriin natin. Palitan natin ang mga nakuhang halaga x 1 at x 2 sa orihinal na sistema ng mga equation: 
Ang parehong mga equation ng system ay nagiging mga pagkakakilanlan, samakatuwid, ang solusyon ay natagpuan nang tama.
Sagot:
.
Ang ilang elemento ng pangunahing matrix ng SLAE ay maaaring katumbas ng zero. Sa kasong ito, ang kaukulang hindi kilalang mga variable ay mawawala sa mga equation ng system. Tingnan natin ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng Cramer 
.
Solusyon.
Isulat muli natin ang system sa form 
, upang ang pangunahing matrix ng system ay makikita 
. Hanapin natin ang determinant nito gamit ang formula 
Meron kami 
Ang determinant ng pangunahing matrix ay nonzero, samakatuwid, ang sistema ng mga linear equation ay may natatanging solusyon. Hanapin natin ito gamit ang paraan ng Cramer. Kalkulahin natin ang mga determinant 
:
kaya, 
Sagot:
Ang mga pagtatalaga ng hindi kilalang mga variable sa mga equation ng system ay maaaring mag-iba mula sa x 1, x 2, ..., x n. Hindi ito nakakaapekto sa proseso ng pagpapasya. Ngunit ang pagkakasunud-sunod ng mga hindi kilalang variable sa mga equation ng system ay napakahalaga kapag pinagsama-sama ang pangunahing matrix at ang mga kinakailangang determinant ng paraan ng Cramer. Linawin natin ang puntong ito gamit ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Gamit ang paraan ng Cramer, humanap ng solusyon sa isang sistema ng tatlong linear algebraic equation sa tatlong hindi alam. 
.
Solusyon.
Sa halimbawang ito, ang mga hindi kilalang variable ay may ibang notasyon (x, y at z sa halip na x1, x2 at x3). Hindi ito nakakaapekto sa solusyon, ngunit mag-ingat sa mga variable na label. HINDI mo ito maaaring kunin bilang pangunahing matrix ng system 
. Kinakailangang i-order muna ang hindi kilalang mga variable sa lahat ng mga equation ng system. Upang gawin ito, muling isulat namin ang sistema ng mga equation bilang 
. Ngayon ang pangunahing matrix ng system ay malinaw na nakikita 
. Kalkulahin natin ang determinant nito: 
Ang determinant ng pangunahing matrix ay nonzero, samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon. Hanapin natin ito gamit ang paraan ng Cramer. Isulat natin ang mga determinant 
(bigyang-pansin ang notasyon) at kalkulahin ang mga ito: 
Ito ay nananatili upang mahanap ang hindi kilalang mga variable gamit ang mga formula 
:
Suriin natin. Upang gawin ito, i-multiply ang pangunahing matrix ng nagresultang solusyon (kung kinakailangan, tingnan ang seksyon): 
Bilang resulta, nakuha namin ang isang hanay ng mga libreng termino ng orihinal na sistema ng mga equation, kaya ang solusyon ay natagpuan nang tama.
Sagot:
x = 0, y = -2, z = 3.
Halimbawa.
Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng Cramer 
, kung saan ang a at b ay ilang tunay na numero.
Solusyon.
Sagot:
Halimbawa.
Hanapin ang solusyon sa sistema ng mga equation 
sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer, - ilang totoong numero.
Solusyon.
Kalkulahin natin ang determinant ng pangunahing matrix ng system: . ang expression ay isang agwat, samakatuwid para sa anumang mga tunay na halaga. Dahil dito, ang sistema ng mga equation ay may kakaibang solusyon na matatagpuan sa pamamaraan ni Cramer. Kinakalkula namin at: 
Upang makabisado ang talatang ito, dapat mong maihayag ang mga determinant na "dalawa sa dalawa" at "tatlo sa tatlo". Kung mahina ka sa mga kwalipikado, mangyaring pag-aralan ang aralin Paano makalkula ang determinant?
Una, titingnan natin ang panuntunan ni Cramer para sa isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Para saan? - Pagkatapos ng lahat ang pinakasimpleng sistema maaaring malutas pamamaraan ng paaralan, sa pamamagitan ng term-by-term na paraan ng pagdaragdag!
Ang katotohanan ay, kahit na kung minsan, ang ganitong gawain ay nangyayari - upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer. Pangalawa, ang isang mas simpleng halimbawa ay makakatulong sa iyong maunawaan kung paano gamitin ang panuntunan ng Cramer sa higit pa kumplikadong kaso– mga sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.
Bilang karagdagan, mayroong mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable, na ipinapayong lutasin gamit ang panuntunan ng Cramer!
Isaalang-alang ang sistema ng mga equation
Sa unang hakbang, kinakalkula namin ang determinant, ito ay tinatawag pangunahing determinant ng system.
Pamamaraan ng Gauss.
Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, at upang mahanap ang mga ugat dapat nating kalkulahin ang dalawa pang determinant:
At
Sa pagsasagawa, ang mga kwalipikasyon sa itaas ay maaari ding tukuyin Latin na titik.
Nahanap namin ang mga ugat ng equation gamit ang mga formula:
,
Halimbawa 7
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation 
Solusyon: Nakikita namin na ang mga coefficient ng equation ay medyo malaki, sa kanang bahagi ay mayroong mga decimal na may kuwit. Ang kuwit ay isang bihirang bisita mga praktikal na gawain sa matematika, kinuha ko ang sistemang ito mula sa isang problemang ekonomiko.
Paano malutas ang ganitong sistema? Maaari mong subukang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, ngunit sa kasong ito ay malamang na mapupunta ka sa mga kakila-kilabot na magarbong mga praksyon na lubhang hindi maginhawa upang gumana, at ang disenyo ng solusyon ay magmumukhang kakila-kilabot. Maaari mong i-multiply ang pangalawang equation sa 6 at ibawas ang termino sa pamamagitan ng term, ngunit ang parehong mga fraction ay lilitaw din dito.
Anong gagawin? Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ng Cramer ay dumating upang iligtas.
;
;
Sagot: ,
Ang parehong mga ugat ay may walang katapusang mga buntot at matatagpuan nang humigit-kumulang, na medyo katanggap-tanggap (at maging karaniwan) para sa mga problema sa ekonometrika.
Ang mga komento ay hindi kailangan dito, dahil ang gawain ay nalutas gamit ang mga yari na formula, gayunpaman, mayroong isang caveat. Kailan gagamitin ang pamamaraang ito, sapilitan Ang isang fragment ng disenyo ng gawain ay ang sumusunod na fragment: "Ito ay nangangahulugan na ang sistema ay may natatanging solusyon". Kung hindi, maaaring parusahan ka ng tagasuri sa hindi paggalang sa teorama ni Cramer.
Hindi magiging kalabisan na suriin, na maginhawang gawin sa isang calculator: pinapalitan namin ang tinatayang mga halaga sa kaliwang bahagi bawat equation ng system. Bilang resulta, sa isang maliit na error, dapat kang makakuha ng mga numero na nasa kanang bahagi.
Halimbawa 8
Ilahad ang sagot sa ordinary improper fractions. Gumawa ng check.
Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon(halimbawa ng pagtatapos at pagsagot sa pagtatapos ng aralin).
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang panuntunan ni Cramer para sa isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam: 
Nahanap namin ang pangunahing determinant ng system: 
Kung , kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho (walang mga solusyon). Sa kasong ito, hindi makakatulong ang panuntunan ng Cramer;
Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon at upang mahanap ang mga ugat dapat nating kalkulahin ang tatlo pang determinant: 
, 
, 
At sa wakas, ang sagot ay kinakalkula gamit ang mga formula: 
Tulad ng makikita mo, ang kaso ng "tatlo sa pamamagitan ng tatlo" ay sa panimula ay hindi naiiba sa kaso ng "dalawa sa pamamagitan ng dalawa" ang hanay ng mga libreng termino na sunud-sunod na "lumalakad" mula kaliwa hanggang kanan kasama ang mga hanay ng pangunahing determinant.
Halimbawa 9
Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
Solusyon: Lutasin natin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
, na nangangahulugan na ang system ay may natatanging solusyon.
Sagot: 
.
Sa totoo lang, narito muli walang espesyal na magkomento, dahil sa katotohanan na ang solusyon ay sumusunod sa mga handa na pormula. Ngunit mayroong ilang mga komento.
Ito ay nangyayari na bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang "masamang" hindi mababawasan na mga praksyon ay nakuha, halimbawa: .
Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm ng "paggamot". Kung wala kang computer sa kamay, gawin ito:
1) Maaaring may error sa mga kalkulasyon. Sa sandaling makatagpo ka ng isang "masamang" fraction, kailangan mong suriin kaagad Ang kundisyon ba ay muling isinulat nang tama?. Kung ang kundisyon ay muling isinulat nang walang mga error, kailangan mong muling kalkulahin ang mga determinant gamit ang pagpapalawak sa isa pang hilera (column).
2) Kung walang natukoy na mga error bilang resulta ng pagsusuri, malamang na nagkaroon ng typo sa mga kondisyon ng gawain. Sa kasong ito, mahinahon at MABUTI na gawin ang gawain hanggang sa wakas, at pagkatapos siguraduhing suriin at iginuhit namin ito sa isang malinis na sheet pagkatapos ng desisyon. Siyempre, ang pagsuri sa isang fractional na sagot ay isang hindi kasiya-siyang gawain, ngunit ito ay magiging isang disarming argument para sa guro, na talagang gustong magbigay ng minus para sa anumang kalokohan tulad ng . Ang paraan ng paghawak ng mga fraction ay inilarawan nang detalyado sa sagot sa Halimbawa 8.
Kung mayroon kang isang computer, pagkatapos ay gumamit ng isang awtomatikong programa upang suriin, na maaaring ma-download nang libre sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay pinaka-kumikitang gamitin ang programa kaagad (kahit na bago simulan ang solusyon), makikita mo kaagad ang intermediate na hakbang kung saan nagkamali ka! Awtomatikong kinakalkula ng parehong calculator ang solusyon sa system pamamaraan ng matrix.
Pangalawang pangungusap. Paminsan-minsan mayroong mga sistema sa mga equation kung saan nawawala ang ilang mga variable, halimbawa: 
Dito sa unang equation walang variable , sa pangalawa walang variable . Sa ganitong mga kaso, napakahalaga na isulat nang tama at MABUTI ang pangunahing determinant: 
– inilalagay ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable.
Sa pamamagitan ng paraan, makatuwiran na buksan ang mga determinant na may mga zero ayon sa hilera (haligi) kung saan matatagpuan ang zero, dahil may kapansin-pansing mas kaunting mga kalkulasyon.
Halimbawa 10
Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon (isang sample ng huling disenyo at ang sagot sa dulo ng aralin).
Para sa kaso ng isang sistema ng 4 na equation na may 4 na hindi alam, ang mga formula ng Cramer ay isinulat ayon sa magkatulad na mga prinsipyo. Makakakita ka ng live na halimbawa sa aralin na Properties of Determinants. Pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng determinant - limang 4th order determinants ay medyo nalulusaw. Bagaman ang gawain ay lubos na nakapagpapaalaala sa sapatos ng isang propesor sa dibdib ng isang masuwerteng estudyante.
Paglutas ng system gamit ang isang inverse matrix
Pamamaraan baligtad na matris- ito ay mahalagang espesyal na kaso equation ng matrix(Tingnan ang Halimbawa Blg. 3 ng tinukoy na aralin).
Upang pag-aralan ang seksyong ito, kailangan mong palawakin ang mga determinant, hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix, at gawin ang pagpaparami ng matrix. Ibibigay ang mga nauugnay na link habang umuusad ang mga paliwanag.
Halimbawa 11
Lutasin ang system gamit ang matrix method 
Solusyon: Isulat natin ang sistema sa anyong matrix:
, Saan 
Mangyaring tingnan ang sistema ng mga equation at matrice. Sa palagay ko naiintindihan ng lahat ang prinsipyo kung saan isinusulat namin ang mga elemento sa mga matrice. Ang tanging komento: kung ang ilang mga variable ay nawawala mula sa mga equation, ang mga zero ay kailangang ilagay sa mga kaukulang lugar sa matrix.
Nahanap namin ang inverse matrix gamit ang formula:
, nasaan ang transposed matrix algebraic na mga karagdagan kaukulang elemento ng matrix.
Una, tingnan natin ang determinant:
Dito pinalawak ang determinant sa unang linya.
Pansin! Kung , kung gayon ang kabaligtaran na matrix ay hindi umiiral, at imposibleng malutas ang sistema gamit ang paraan ng matrix. Sa kasong ito, ang sistema ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam (Gauss method).
Ngayon kailangan nating kalkulahin ang 9 na menor de edad at isulat ang mga ito sa matrix ng mga menor de edad 
Sanggunian: Kapaki-pakinabang na malaman ang kahulugan ng double subscripts sa linear algebra. Ang unang digit ay ang bilang ng linya kung saan matatagpuan ang elemento. Ang pangalawang digit ay ang numero ng column kung saan matatagpuan ang elemento: 
Iyon ay, ang isang dobleng subscript ay nagpapahiwatig na ang elemento ay nasa unang hilera, ikatlong hanay, at, halimbawa, ang elemento ay nasa ika-3 hilera, ikalawang hanay.
Sa panahon ng solusyon, mas mainam na ilarawan ang pagkalkula ng mga menor de edad nang detalyado, kahit na may ilang karanasan maaari kang masanay sa pagkalkula sa kanila ng mga error nang pasalita.
Ang paraan ng Cramer o ang tinatawag na panuntunan ng Cramer ay isang paraan ng paghahanap ng hindi kilalang dami mula sa mga sistema ng mga equation. Magagamit lamang ito kung ang bilang ng mga hinahangad na halaga ay katumbas ng bilang ng mga algebraic equation sa system, iyon ay, ang pangunahing matrix na nabuo mula sa system ay dapat na parisukat at hindi naglalaman ng mga zero na hilera, at gayundin kung ang determinant nito ay dapat huwag maging zero.
Teorama 1
Teorama ni Cramer Kung ang pangunahing determinant na $D$ ng pangunahing matrix, na pinagsama-sama sa batayan ng mga coefficient ng mga equation, ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ng mga equation ay pare-pareho, at mayroon itong natatanging solusyon. Ang solusyon sa naturang sistema ay kinakalkula sa pamamagitan ng tinatawag na Cramer formula para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear equation: $x_i = \frac(D_i)(D)$
Ano ang paraan ng Cramer?
Ang kakanyahan ng pamamaraan ni Cramer ay ang mga sumusunod:
- Upang makahanap ng solusyon sa system gamit ang paraan ng Cramer, una sa lahat kinakalkula namin ang pangunahing determinant ng matrix na $D$. Kapag ang kinakalkula na determinant ng pangunahing matrix, kapag kinakalkula ng paraan ng Cramer, ay naging katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay walang isang solong solusyon o may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, upang makahanap ng pangkalahatan o ilang pangunahing sagot para sa system, inirerekumenda na gamitin ang pamamaraang Gaussian.
- Pagkatapos ay kailangan mong palitan ang pinakalabas na column ng pangunahing matrix ng column ng mga libreng termino at kalkulahin ang determinant na $D_1$.
- Ulitin ang parehong para sa lahat ng mga column, na kumukuha ng mga determinant mula $D_1$ hanggang $D_n$, kung saan ang $n$ ay ang bilang ng pinakakanang column.
- Matapos matagpuan ang lahat ng mga determinant na $D_1$...$D_n$, ang mga hindi kilalang variable ay maaaring kalkulahin gamit ang formula na $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng determinant ng isang matrix
Upang kalkulahin ang determinant ng isang matrix na may sukat na higit sa 2 sa 2, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan:
- Ang panuntunan ng mga tatsulok, o ang panuntunan ni Sarrus, ay nakapagpapaalaala sa parehong tuntunin. Ang kakanyahan ng pamamaraan ng tatsulok ay kapag kinakalkula ang determinant, ang mga produkto ng lahat ng mga numero na konektado sa figure sa pamamagitan ng pulang linya sa kanan ay nakasulat na may plus sign, at lahat ng mga numero ay konektado sa isang katulad na paraan sa figure sa kaliwa ay nakasulat na may minus sign. Ang parehong mga panuntunan ay angkop para sa mga matrice na may sukat na 3 x 3. Sa kaso ng panuntunan ng Sarrus, ang matrix mismo ay unang muling isinulat, at sa tabi nito ang una at pangalawang mga haligi ay muling isinulat muli. Ang mga diagonal ay iginuhit sa pamamagitan ng matrix at ang mga karagdagang column na ito na nakahiga sa pangunahing dayagonal o parallel dito ay nakasulat na may plus sign, at ang mga elementong nakahiga o parallel sa pangalawang dayagonal ay nakasulat na may minus sign.
Figure 1. Triangle rule para sa pagkalkula ng determinant para sa Cramer's method
- Gamit ang isang paraan na kilala bilang ang Gaussian method, ang pamamaraang ito ay tinatawag ding pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng determinant. Sa kasong ito, ang matrix ay binago at nabawasan sa tatsulok na view, at pagkatapos ay i-multiply ang lahat ng mga numero sa pangunahing dayagonal. Dapat tandaan na kapag naghahanap ng determinant sa ganitong paraan, hindi mo maaaring i-multiply o hatiin ang mga row o column sa pamamagitan ng mga numero nang hindi inaalis ang mga ito bilang multiplier o divisor. Sa kaso ng paghahanap para sa isang determinant, posible lamang na ibawas at magdagdag ng mga row at column sa isa't isa, na dati nang pinarami ang bawas na row sa isang non-zero factor. Gayundin, sa tuwing inaayos mo ang mga row o column ng matrix, dapat mong tandaan ang pangangailangang baguhin ang huling sign ng matrix.
- Kapag nag-solve ng SLAE na may 4 na hindi alam gamit ang Cramer method, pinakamahusay na gamitin ang Gauss method para maghanap at maghanap ng mga determinant o matukoy ang determinant sa pamamagitan ng paghahanap ng mga menor de edad.
Paglutas ng mga sistema ng mga equation gamit ang pamamaraan ni Cramer
Ilapat natin ang paraan ng Cramer para sa isang sistema ng 2 equation at dalawang kinakailangang dami:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Ipakita natin ito sa pinalawak na anyo para sa kaginhawahan:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Hanapin natin ang determinant ng pangunahing matrix, na tinatawag ding pangunahing determinant ng system:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Kung ang pangunahing determinant ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay upang malutas ang slough gamit ang paraan ng Cramer kinakailangan upang kalkulahin ang ilang higit pang mga determinant mula sa dalawang matrice na may mga haligi ng pangunahing matrix na pinalitan ng isang hilera ng mga libreng termino:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Ngayon, hanapin natin ang mga hindi kilalang $x_1$ at $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Halimbawa 1
Paraan ng Cramer para sa paglutas ng mga SLAE na may pangunahing matrix ng 3rd order (3 x 3) at tatlong kinakailangan.
Lutasin ang sistema ng mga equation:
$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Kalkulahin natin ang pangunahing determinant ng matrix gamit ang panuntunang nakasaad sa itaas sa ilalim ng point number 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
At ngayon tatlong iba pang mga determinant:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60
Hanapin natin ang mga kinakailangang dami:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
Sa unang bahagi, tiningnan namin ang ilang teoretikal na materyal, ang paraan ng pagpapalit, pati na rin ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation ng system. Inirerekomenda ko ang lahat na nag-access sa site sa pamamagitan ng pahinang ito na basahin ang unang bahagi. Marahil ay mahahanap ng ilang bisita ang materyal na masyadong simple, ngunit sa proseso ng paglutas ng mga sistema ng mga linear equation, gumawa ako ng isang bilang ng mga napakahalagang komento at konklusyon tungkol sa solusyon ng mga problema sa matematika sa pangkalahatan.
Ngayon ay susuriin natin ang panuntunan ng Cramer, pati na rin ang paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation gamit ang isang inverse matrix (matrix method). Ang lahat ng mga materyales ay ipinakita nang simple, detalyado at malinaw na halos lahat ng mga mambabasa ay matututo kung paano lutasin ang mga sistema gamit ang mga pamamaraan sa itaas.
Una, titingnan natin ang panuntunan ni Cramer para sa isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Para saan? – Pagkatapos ng lahat, ang pinakasimpleng sistema ay maaaring malutas gamit ang pamamaraan ng paaralan, ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag!
Ang katotohanan ay, kahit na kung minsan, ang ganitong gawain ay nangyayari - upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer. Pangalawa, ang isang mas simpleng halimbawa ay makakatulong sa iyo na maunawaan kung paano gamitin ang panuntunan ng Cramer para sa isang mas kumplikadong kaso - isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.
Bilang karagdagan, mayroong mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable, na ipinapayong lutasin gamit ang panuntunan ng Cramer!
Isaalang-alang ang sistema ng mga equation
Sa unang hakbang, kinakalkula namin ang determinant, ito ay tinatawag pangunahing determinant ng system.
Pamamaraan ng Gauss.
Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, at upang mahanap ang mga ugat dapat nating kalkulahin ang dalawa pang determinant:
At
Sa pagsasagawa, ang mga qualifier sa itaas ay maaari ding tukuyin ng isang Latin na titik.
Nahanap namin ang mga ugat ng equation gamit ang mga formula:
,
Halimbawa 7
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation
Solusyon: Nakita namin na ang mga coefficient ng equation ay medyo malaki sa kanang bahagi ay may mga decimal fraction na may kuwit. Ang kuwit ay isang medyo bihirang panauhin sa mga praktikal na gawain sa matematika.
Paano malutas ang ganitong sistema? Maaari mong subukang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, ngunit sa kasong ito ay malamang na mapupunta ka sa mga kakila-kilabot na magarbong mga praksyon na lubhang hindi maginhawa upang gumana, at ang disenyo ng solusyon ay magmumukhang kakila-kilabot. Maaari mong i-multiply ang pangalawang equation sa 6 at ibawas ang termino sa pamamagitan ng term, ngunit ang parehong mga fraction ay lilitaw din dito.
Anong gagawin? Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ng Cramer ay dumating upang iligtas.
;
;
Sagot: ,
Ang parehong mga ugat ay may walang katapusang mga buntot at matatagpuan nang humigit-kumulang, na medyo katanggap-tanggap (at maging karaniwan) para sa mga problema sa ekonometrika.
Ang mga komento ay hindi kailangan dito, dahil ang gawain ay nalutas gamit ang mga yari na formula, gayunpaman, mayroong isang caveat. Kapag ginagamit ang pamamaraang ito, sapilitan Ang isang fragment ng disenyo ng gawain ay ang sumusunod na fragment: "Ito ay nangangahulugan na ang sistema ay may natatanging solusyon". Kung hindi, maaaring parusahan ka ng tagasuri sa hindi paggalang sa teorama ni Cramer.
Hindi magiging labis na suriin, na maaaring maginhawang isagawa sa isang calculator: pinapalitan namin ang tinatayang mga halaga sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system. Bilang resulta, sa isang maliit na error, dapat kang makakuha ng mga numero na nasa kanang bahagi.
Halimbawa 8
Ilahad ang sagot sa ordinary improper fractions. Gumawa ng check.
Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (isang halimbawa ng huling disenyo at ang sagot sa dulo ng aralin).
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang panuntunan ni Cramer para sa isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam: 
Nahanap namin ang pangunahing determinant ng system: 
Kung , kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho (walang mga solusyon). Sa kasong ito, hindi makakatulong ang panuntunan ng Cramer;
Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon at upang mahanap ang mga ugat dapat nating kalkulahin ang tatlo pang determinant: 
, , 
At sa wakas, ang sagot ay kinakalkula gamit ang mga formula: 
Tulad ng makikita mo, ang kaso ng "tatlo sa pamamagitan ng tatlo" ay sa panimula ay hindi naiiba sa kaso ng "dalawa sa pamamagitan ng dalawa" ang hanay ng mga libreng termino na sunud-sunod na "lumalakad" mula kaliwa hanggang kanan kasama ang mga hanay ng pangunahing determinant.
Halimbawa 9
Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer.
Solusyon: Lutasin natin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
, na nangangahulugan na ang system ay may natatanging solusyon.
Sagot: 
.
Sa totoo lang, narito muli walang espesyal na magkomento, dahil sa katotohanan na ang solusyon ay sumusunod sa mga handa na pormula. Ngunit mayroong ilang mga komento.
Ito ay nangyayari na bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang "masamang" hindi mababawasan na mga praksyon ay nakuha, halimbawa: .
Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm ng "paggamot". Kung wala kang computer sa kamay, gawin ito:
1) Maaaring may error sa mga kalkulasyon. Sa sandaling makatagpo ka ng isang "masamang" fraction, kailangan mong suriin kaagad Ang kundisyon ba ay muling isinulat nang tama?. Kung ang kundisyon ay muling isinulat nang walang mga error, kailangan mong muling kalkulahin ang mga determinant gamit ang pagpapalawak sa isa pang hilera (column).
2) Kung walang natukoy na mga error bilang resulta ng pagsusuri, malamang na nagkaroon ng typo sa mga kondisyon ng gawain. Sa kasong ito, mahinahon at MABUTI na gawin ang gawain hanggang sa wakas, at pagkatapos siguraduhing suriin at iginuhit namin ito sa isang malinis na sheet pagkatapos ng desisyon. Siyempre, ang pagsuri sa isang fractional na sagot ay isang hindi kasiya-siyang gawain, ngunit ito ay magiging isang disarming argument para sa guro, na talagang gustong magbigay ng minus para sa anumang kalokohan tulad ng . Ang paraan ng paghawak ng mga fraction ay inilarawan nang detalyado sa sagot sa Halimbawa 8.
Kung mayroon kang isang computer, pagkatapos ay gumamit ng isang awtomatikong programa upang suriin, na maaaring ma-download nang libre sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay pinaka-kumikitang gamitin ang programa kaagad (kahit na bago simulan ang solusyon), makikita mo kaagad ang intermediate na hakbang kung saan nagkamali ka! Awtomatikong kinakalkula ng parehong calculator ang solusyon ng system gamit ang matrix method.
Pangalawang pangungusap. Paminsan-minsan mayroong mga sistema sa mga equation kung saan nawawala ang ilang mga variable, halimbawa: 
Dito sa unang equation walang variable , sa pangalawa walang variable . Sa ganitong mga kaso, napakahalaga na isulat nang tama at MABUTI ang pangunahing determinant: 
– inilalagay ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable.
Sa pamamagitan ng paraan, makatuwiran na buksan ang mga determinant na may mga zero ayon sa hilera (haligi) kung saan matatagpuan ang zero, dahil may kapansin-pansing mas kaunting mga kalkulasyon.
Halimbawa 10
Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon (isang sample ng huling disenyo at ang sagot sa dulo ng aralin).
Para sa kaso ng isang sistema ng 4 na equation na may 4 na hindi alam, ang mga formula ng Cramer ay isinulat ayon sa magkatulad na mga prinsipyo. Makakakita ka ng live na halimbawa sa aralin na Properties of Determinants. Pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng determinant - limang 4th order determinants ay medyo nalulusaw. Bagaman ang gawain ay lubos na nakapagpapaalaala sa sapatos ng isang propesor sa dibdib ng isang masuwerteng estudyante.
Paglutas ng system gamit ang isang inverse matrix
Ang inverse matrix method ay mahalagang isang espesyal na kaso equation ng matrix(Tingnan ang Halimbawa Blg. 3 ng tinukoy na aralin).
Upang pag-aralan ang seksyong ito, kailangan mong palawakin ang mga determinant, hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix, at gawin ang pagpaparami ng matrix. Ibibigay ang mga nauugnay na link habang umuusad ang mga paliwanag.
Halimbawa 11
Lutasin ang system gamit ang matrix method
Solusyon: Isulat natin ang sistema sa anyong matrix:
, Saan 
Mangyaring tingnan ang sistema ng mga equation at matrice. Sa palagay ko naiintindihan ng lahat ang prinsipyo kung saan isinusulat namin ang mga elemento sa mga matrice. Ang tanging komento: kung ang ilang mga variable ay nawawala mula sa mga equation, ang mga zero ay kailangang ilagay sa mga kaukulang lugar sa matrix.
Nahanap namin ang inverse matrix gamit ang formula:
, nasaan ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.
Una, tingnan natin ang determinant:
Dito pinalawak ang determinant sa unang linya.
Pansin! Kung , kung gayon ang kabaligtaran na matrix ay hindi umiiral, at imposibleng malutas ang sistema gamit ang paraan ng matrix. Sa kasong ito, ang sistema ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam (Gauss method).
Ngayon kailangan nating kalkulahin ang 9 na menor de edad at isulat ang mga ito sa matrix ng mga menor de edad
Sanggunian: Kapaki-pakinabang na malaman ang kahulugan ng double subscripts sa linear algebra. Ang unang digit ay ang bilang ng linya kung saan matatagpuan ang elemento. Ang pangalawang digit ay ang numero ng column kung saan matatagpuan ang elemento: 
Iyon ay, ang isang dobleng subscript ay nagpapahiwatig na ang elemento ay nasa unang hilera, ikatlong hanay, at, halimbawa, ang elemento ay nasa ika-3 hilera, ikalawang hanay.
