Analitik seviyelendirme yöntemi, seri seviyelerinin bir zaman değişkenine bağımlılığını karakterize eden bir regresyon denkleminin oluşturulmasından oluşur.
Hizmetin amacı. Hizmet, y t serisinin analitik hizalamasını çevrimiçi modda doğrudan web sitesinde yapmanıza, Durbin-Watson testini kullanarak heteroskedastisitenin varlığını ve artıkların otokorelasyonunu kontrol etmenize olanak tanır (analitik düz çizgi hizalama örneğine bakın).
Talimatlar. Veri miktarını (satır sayısı) belirtin ve İleri'ye tıklayın. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir.
Doğrusal olmayan bağımlılıkları doğrusal kullanıma getirmek hizalama yöntemi(doğrusallaştırma).
| y = f(x) | Dönüştürmek | Doğrusallaştırma yöntemi |
| y = bxa | Y = log(y); X = log(x) | Logaritma |
| y = b e eksen | Y = log(y); X = x | Kombine |
| y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | Değişkenleri değiştirme |
| y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | Değişkenlerin değiştirilmesi. Örnek |
| y = aln(x)+b | Y = y; X = log(x) | Kombine |
| y = a + bx + cx 2 | x1 =x; x 2 = x 2 | Değişkenleri değiştirme |
| y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x1 =x; x2 = x2; x 3 = x 3 | Değişkenleri değiştirme |
| y = a + b/x | x 1 = 1/x | Değişkenleri değiştirme |
| y = a + sqrt(x)b | x 1 = kare(x) | Değişkenleri değiştirme |
İÇİNDE Genel dava analitik hizalama için yöntem kullanılır en küçük kareler:
Tipik görev. Analitik hizalama gerçekleştirin ve ifade edin Genel trendİlgili analitik denklemle bir ticaret evinin perakende cirosunun geliştirilmesi. Zaman serisinin analitik (seviyelendirilmiş) seviyelerini hesaplayın ve bunları gerçek verilerle birlikte bir grafik üzerinde çizin.
Örnek. SD için bin m 2 konut ve yatakhanelerin işletmeye alınmasına ilişkin veriler bulunmaktadır. Konut binalarının ve yatakhanelerin işletmeye alınma oranının dinamiklerini analiz etmek için aşağıdakileri hesaplayın:
- Mutlak büyüme, büyüme oranları ve yıllara göre büyüme oranları ve 1998 itibariyle mutlak büyümenin yüzde biri içeriği. Elde edilen göstergeleri tablo halinde sunun;
- ortalama yıllık göstergeler - serinin seviyesinin değeri; mutlak büyüme oranı büyüme ve artıştır. Sonuca varmak.
Çözüm. En basit matematiksel model temsil etmek Doğrusal Denklem y = bt + a formunun eğilimi. Bu modelin parametrelerini bulmak için en küçük kareler yöntemini kullanıyoruz. Denklem sistemi aşağıdaki forma sahip olacaktır:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| T | sen | t 2 | y 2 | t y |
| 1 | 186.9 | 1 | 34931.61 | 186.9 |
| 2 | 219 | 4 | 47961 | 438 |
| 3 | 257 | 9 | 66049 | 771 |
| 4 | 276.66 | 16 | 76540.2 | 1106.64 |
| 5 | 353.5 | 25 | 124962.25 | 1767.5 |
| 6 | 310.1 | 36 | 96162.01 | 1860.6 |
| 7 | 360.9 | 49 | 130248.81 | 2526.3 |
| 8 | 371.7 | 64 | 138160.89 | 2973.6 |
| 9 | 423.9 | 81 | 179691.21 | 3815.1 |
| 45 | 2759.66 | 285 | 894706.98 | 15445.64 |
9a 0 + 45a 1 = 2759,66
45a 0 + 285a 1 = 15445,64
Bu denklem sistemi birkaç yöntemle çözülebilir.
Bir zaman serisini modellemenin en yaygın yollarından biri, seri seviyelerinin zamana bağımlılığını karakterize eden bir trend veya analitik fonksiyon oluşturmaktır. Bu yönteme analitik zaman serisi hizalaması denir. Analitik hizalama için aşağıdaki işlevler kullanılabilir: · doğrusal · hiperbolik; · üstel · ikinci ve daha yüksek mertebeden kuvvet polinomları  Yukarıdaki trendlerin her birinin parametreleri, zamanı bağımsız değişken olarak ve yt zaman serisinin gerçek seviyelerini bağımlı değişken olarak kullanarak sıradan OLS ile belirlenebilir. Doğrusal olmayan eğilimler için ilk önce standart prosedür onların doğrusallaştırılması. Trendlerin türünü belirlemenin birkaç yolu vardır. En yaygın olanları, incelenen sürecin niteliksel analizini, seri seviyelerinin zamana bağımlılığı grafiğinin oluşturulması ve görsel analizini, bazı temel dinamik göstergelerin hesaplanmasını ve seri seviyelerinin otokorelasyon katsayılarını içerir. Serinin orijinal ve dönüştürülmüş seviyelerinden hesaplanan birinci derece otokorelasyon katsayıları karşılaştırılarak trendin türü belirlenebilir. Bir zaman serisinin doğrusal bir eğilimi varsa, komşu seviyeleri yakından ilişkilidir. Bu durumda orijinal serinin düzeylerinin birinci dereceden otokorelasyon katsayısının yüksek olması gerekmektedir. Zaman serisi, örneğin üstel şeklinde doğrusal olmayan bir eğilim içeriyorsa, orijinal serinin seviyelerinin logaritmasına dayanan birinci dereceden otokorelasyon katsayısı, zaman serisinin seviyelerinden hesaplanan karşılık gelen katsayıdan daha yüksek olacaktır. seri. İncelenen zaman serisindeki doğrusal olmayan eğilim ne kadar belirgin olursa, belirtilen katsayıların değerleri de o kadar farklı olacaktır. |
Doğrulama
| Serinin doğrusal olmayan bir eğilim içermesi durumunda en iyi denklemin seçimi, eğilimin ana formlarının sıralanması ve her denklem için düzeltilmiş belirleme katsayısının hesaplanması yoluyla yapılabilir. RÖnemi Fisher kriteri kullanılarak değerlendirilen 2 ve düzeltilmiş belirleme katsayısının maksimum değeri ile trend denkleminin seçimi. Bu yöntemin uygulanması bilgisayar veri işlemede nispeten basittir. Örtülü bir varlığın varlığında doğrusal olmayan eğilim En iyi trend denklemini seçmek için yukarıda açıklanan yöntemler, trend türünü seçerken spesifikasyon hatalarından kaçınmak için incelenen göstergenin dinamiklerinin niteliksel bir analizi ile desteklenmelidir. Niteliksel analiz sorunları keşfetmeyi içerir olası kullanılabilirlik incelenen zaman serisinde, bir dizi faktörün etkisi altında belirli bir noktadan (dönem) başlayarak dönüm noktaları ve büyüme oranlarındaki değişiklikler. Büyük örnek değerler için trend denklemi yanlış seçilirse (şartname hatası), seçilen denklem kullanılarak zaman serisi dinamiklerinin analiz ve tahmin sonuçları güvenilmez olacaktır. |
Çünkü en yüksek değer Belirleme katsayısı 0,98 kübik polinomla tanımlanan bir denkleme sahipse bu denklem model olarak kullanılabilir (Şekil 16). Ancak doğrusal eğilimi belirleme katsayısının değeri 0,96'dır ve bu da onu tahmin amaçlı kullanma hakkını verir. Kural olarak, tahmin yaparken, kalitesi doğrusal olmayandan biraz daha düşükse, doğrusal bir eğilim tercih edilir.
|
|
Şekil 16 – Trend çizgisi seçimi
Tahmin
Trend çizgisini (kübik polinom) kullanarak, 2011 yılında 44.208 adede ulaşacak olan üretim çıktısı tahmin ediliyor. Doğrusal trende göre üretim çıktı tahmini 38.214,5 adet olacak. Polinomun mevcut örneği daha iyi tanımladığını ancak tahmin edilen değerin, gözlemlenen değerlerle karşılaştırıldığında keskin bir şekilde arttığını unutmayın. Doğrusal bir eğilime dayalı bir tahmin daha güvenilirdir.
Kendini kontrol etmeye yönelik sorular
1. Zaman serisi modelinin tanımı nedir?
2. Bir zaman serisinin bilinen ana bileşenleri nelerdir?
3. Zaman serisi araştırmasının temel amaçları nelerdir?
4. Zaman serisinin yapısını analiz ederken otokorelasyon fonksiyonu nasıl kullanılır?
5. Beşinci dereceden otokorelasyon katsayısı nasıl hesaplanır?
6. Korelogram nasıl oluşturulur?
7. Nedir Genel formçarpımsal ve toplamsal zaman serisi modelleri?
8. Bir zaman serisinde mevsimsel dalgalanmaların yapısını analiz etmenin amacı nedir?
9. Bir zaman serisinin yapısal istikrarına ilişkin hipotezi test etmek için hangi testler kullanılır?
10. Bir zaman serisinin yapısal kararlılığı hangi durumda ihlal edilir?
11. Zaman serisinin analitik hizalanması ne anlama gelir?
12. Zaman serilerinin analitik hizalanması için en yaygın kullanılan modeller nelerdir?
13. Dönüşümlerin doğrusallaştırılmasıyla ne kastedilmektedir? Çokuluslu şirketlerde nasıl kullanılırlar?
14. Oluşturulan modelin kalitesi nasıl değerlendiriliyor?
15. Zaman serisi modeli kullanılarak nokta tahmini nasıl yapılır?
Bireysel görev
Belirli bir işletmenin ürün çıktısının dinamikleri, Tablo 25'te sunulan verilerle karakterize edilir (her seçenekte)
Çıkış hacmine 120 × sayısı eklenmelidir k, Nerede k– öğrencinin grup günlüğündeki seri numarası). Aşağıdakileri yapın:
· zaman serisinin yapısını analiz etmek;
· serinin yapısal istikrarına ilişkin hipotezi kontrol edin;
· zaman serilerinin analitik hizalamasını gerçekleştirin;
· 2011 yılı için tahmin yapmak;
· bir raporu tamamlayın.
Bir zaman serisinin analitik hizalanması, bir analitik fonksiyonun, bir trend modelinin oluşturulmasıdır. Bu amaçla kullanıyorlar Çeşitli türler fonksiyonlar: doğrusal, bozkır, parabolik vb.
Trend parametreleri şu durumda olduğu gibi belirlenir: doğrusal regresyon Zamanın bağımsız değişken, zaman serisi seviyelerinin ise bağımlı değişken olduğu en küçük kareler yöntemi. Seçim kriterleri en iyi şekil Trend, belirleme katsayısının en büyük değeri, Fisher ve Öğrenci testleri ile belirlenir.
Diyelim ki bazıları teorik model varsayar doğrusal bağımlılık diğerlerinden sistem özelliklerinden biri:
sen= Y Ben k Ben · X Ben
(Ben- bağımsız değişkenlerin sayısı). Görev şu şekildedir: sabit parametrelerle X ve ölçülen değerler sen parametrelerin vektörünü hesapla k , bazı optimallik kriterlerini karşılıyor.
En küçük kareler yönteminde bu kriter, hesaplanan değerlerin minimum karesel sapmalarının toplamıdır. sen gözlemlenenlerden (deneysel):
dk У Ben (sen si - sen Ben)І.
Bir fonksiyonun minimumunu bulmak için bu ifadenin parametrelerle türevinin alınması ve sıfıra (minimum koşul) eşitlenmesi gerekir. Sonuç olarak, minimum kareler toplamına yönelik arama şuna indirgenir: basit işlemler matrislerle.
Teorik model bir parametreye doğrusal bir bağımlılığı temsil ediyorsa ( sen = A + B· X), daha sonra çözüm basit formüller biçiminde ifade edilir:
Z = N sen X Ben ben - (U X Ben)І;
A= (Y sen Ben sen X Ben ben - sen sen Ben X Ben sen X Ben) / Z; S A І = S sen ben sen X Ben І / Z;
B = (N sen sen Ben X Ben- sen sen Ben sen X Ben) / Z; S B І = S sen І N / Z;
S sen ben = Y( sen si - sen Ben)І / ( N - 2)
(sen si- hesaplanan değer, sen Ben- deneysel olarak ölçülen değer)
Hataları hesaplarken, x değerlerinin doğruluğunun ölçülen değerlerin doğruluğunu önemli ölçüde aştığı varsayılır. sen, ölçüm hatası normal dağılıma uygundur.
Artıklardaki otokorelasyon, zamandaki mevcut ve önceki noktalara ait artıkların değerleri arasındaki bir korelasyondur.
Homoskedastik ve heteroskedastik, bağımsız ve otokorelasyonlu artıklara sahip doğrusal regresyon modelleri. Yukarıda da görebileceğimiz gibi, asıl mesele zaman serisini rastgele sapmalardan “temizlemek”, yani. matematiksel beklentinin tahmini. Buradan doğal olarak daha karmaşık modeller ortaya çıkıyor. Örneğin, varyans zamana bağlı olabilir. Bu tür modellere heteroskedastik, zamana bağlı olmayan modellere ise homoskedastik denir. (Daha doğrusu, bu terimler sadece “zaman” değişkenine değil aynı zamanda diğer değişkenlere de atıfta bulunabilir.) Hatalar hiçbir şekilde birbiriyle ilişkili değilse, otokorelasyon fonksiyonu dejenere olmalıdır - argümanlar eşitse 1'e eşit olmalıdır. eşit ve eşit değillerse 0. Gerçek zamanlı diziler için durumun her zaman böyle olmadığı açıktır. Gözlemlenen süreçteki değişikliklerin doğal seyri, ardışık gözlemler arasındaki süreye kıyasla yeterince hızlıysa, o zaman otokorelasyonun "bozulmasını" ve pratik olarak bağımsız artıkların elde edilmesini tahmin etmek mümkündür, aksi takdirde artıklar otokorelasyona tabi tutulacaktır.
Model tanımlama genellikle yapılarının tanımlanması ve parametrelerin tahmin edilmesi anlamına gelir. Yapı da sayısal olmasa da bir parametre olduğundan, aşağıdakilerden birinden bahsediyoruz: tipik görevler ekonometri - parametre tahmini.
Tahmin problemi en kolay şekilde homoskedastik bağımsız artıklara sahip doğrusal (parametreler açısından) modeller için çözülür. Zaman serilerindeki bağımlılıkların onarılması, en küçük kareler ve en küçük modüller yöntemleri temelinde gerçekleştirilebilir; gerekli regresör kümesinin tahmin edilmesine ilişkin sonuçlar, özellikle zaman serisi durumuna aktarılır; elde edilmesi kolaydır; sınır geometrik dağılım Trigonometrik bir polinomun derecesinin tahmin edilmesi.
Ancak daha fazlası için Genel durum Bu kadar basit bir transferin yapılması önerilmez. Örneğin, değişen varyanslı ve otokorelasyonlu artıklara sahip bir zaman serisi durumunda, tekrar şunu kullanabileceğinizi düşünün: ortak bir yaklaşım en küçük kareler yöntemi, ancak en küçük kareler denklem sistemi ve doğal olarak çözümü farklı olacaktır. Formüller değişecektir. Bununla bağlantılı Bu method"genelleştirilmiş en küçük kareler (GLS)" olarak adlandırılır
Tüketici fiyat endeksinin (enflasyon endeksi) büyümesini açıklayan zaman serisinin ekonometrik modelini inceleyelim. I(t) t ayındaki fiyat artışı olsun. O halde bazı iktisatçılara göre şunu varsaymak doğaldır:
I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+
Burada I(t-1) bir önceki aydaki fiyat artışıdır (ve c belirli bir sönümleme katsayısıdır; dış etkiler fiyat artışı duracaktır), a bir sabittir (zaman içinde I(t) değerindeki doğrusal bir değişime karşılık gelir), bS(t-4) para emisyonunun etkisine karşılık gelen bir terimdir (yani bir artış) ülke ekonomisindeki para hacminde gerçekleştirilen Merkez Bankası) S(t-4) miktarında ve b katsayısı ile emisyonla orantılı olup, bu etki hemen değil 4 ay sonra ortaya çıkar; Son olarak bu kaçınılmaz bir hatadır.
Model, sadeliğine rağmen pek çok şeyi gösteriyor. karakter özellikleriçok daha karmaşık ekonometrik modeller. Öncelikle bazı değişkenlerin model içerisinde I(t) olarak tanımlandığını (hesaplandığını) belirtelim. Bunlara endojen (iç) denir. Diğerleri dışarıdan ayarlanır (bunlar dışsal değişkenlerdir). Bazen, yönetim teorisinde olduğu gibi, dışsal değişkenler arasında kontrollü değişkenler ayırt edilir - bunların yardımıyla yöneticinin sistemi ihtiyaç duyduğu duruma getirebileceği değişkenler.
İkinci olarak, ilişkide gecikmeli, yani yeni değişken türleri ortaya çıkıyor. değişkenlerdeki argümanlar zamandaki mevcut ana değil, geçmiş bazı anlara atıfta bulunur.
Üçüncüsü, bu tür bir ekonometrik modelin oluşturulması hiçbir şekilde rutin bir işlem değildir. Örneğin, para ihracı ile ilgili vadede tam 4 aylık bir gecikme, oldukça karmaşık bir ön istatistiksel işlemin sonucudur.
En küçük kareler prosedürünün özel olarak uygulanması bu sorunun çözümüne bağlıdır.
Öte yandan, model (1)'de yalnızca 3 bilinmeyen parametre vardır ve en küçük kareler yönteminin ifadesini yazmak zor değildir:
Daha sonra bu türden bir modeli düşünün. Büyük bir sayı gecikmeli ve karmaşık içsel ve dışsal değişkenler iç yapı. Başka bir deyişle, böyle bir sistemin en az bir çözümünün olduğu hiçbir yerden çıkmaz. Bu bir değil iki sorunu gündeme getiriyor. En az bir çözüm var mı? Eğer öyleyse, mümkün olan en iyi çözümü nasıl bulabiliriz? (Bu istatistiksel parametre tahminiyle ilgili bir problemdir.)
Her iki görev de oldukça zordur. Her iki sorunu da çözmek için, genellikle oldukça karmaşık olan ve yalnızca bazılarının bilimsel temeli olan birçok yöntem geliştirilmiştir. Özellikle, sıklıkla tutarlı olmayan istatistiksel tahminler kullanırlar (kesin olarak konuşursak, bunlara tahmin bile denemez).
Doğrusal ekonometrik denklem sistemleriyle çalışırken bazı yaygın teknikleri kısaca açıklayalım.
Doğrusal eşzamanlı ekonometrik denklem sistemi. Tamamen resmi olarak, tüm değişkenler yalnızca zamanın o anına bağlı olan değişkenler aracılığıyla ifade edilebilir. Örneğin, yukarıdaki denklem durumunda şunu koymak yeterlidir:
H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)
Daha sonra örnek denklem şuna benzer:
I(t)=cH(t)+a+bG(t)+
Hemen kullanma olasılığını not edelim regresyon modelleri kukla değişkenler getirilerek değişken bir yapıya kavuşturulmuştur. Bu değişkenler bazı zaman değerlerinde (örneğin, başlangıç değerleri) gözle görülür değerler alırlar, diğerlerinde ise kaybolurlar (aslında 0'a eşit olurlar). Sonuç olarak, resmi olarak (matematiksel olarak) aynı model tamamen farklı bağımlılıkları tanımlar.
Yukarıda belirtildiği gibi, ekonometrik denklem sistemlerinin sezgisel analizi için birçok yöntem oluşturulmuştur. Bu yöntemlerin amacı, denklem sistemlerine sayısal çözümler bulmaya çalışırken ortaya çıkan belirli sorunları çözmektir.
Sorunlardan biri, tahmin edilen parametreler üzerinde önsel kısıtlamaların bulunmasıdır. Örneğin hane halkı geliri tüketime veya tasarrufa harcanabilir. Dolayısıyla bu iki tür giderin paylarının toplamı önsel olarak 1'e eşittir. Ve ekonometrik denklemler sisteminde bu paylar bağımsız olarak katılabilir. Bu durum, a priori sınırlamadan bağımsız olarak en küçük kareler yöntemini kullanarak bunların tahmin edilmesi ve daha sonra düzeltilmesi fikrini doğurmaktadır. Bu yaklaşıma dolaylı en küçük kareler yöntemi denir.
İki aşamalı en küçük kareler yöntemi, verilen yöntemde sistemi bir bütün olarak ele almak yerine, sistemin bireysel denkleminin parametrelerinin tahmin edilmesinden oluşur. Eş zamanlı denklem sisteminin parametrelerini bir bütün olarak tahmin etmek için üç aşamalı en küçük kareler yöntemi de kullanılır. Başlangıçta, her denklemin katsayılarını ve hatalarını tahmin etmek ve ardından hataların kovaryans matrisi için bir tahmin oluşturmak amacıyla her denkleme iki aşamalı bir yöntem uygulanır. Daha sonra genelleştirilmiş en küçük kareler yöntemi tüm sistemin katsayılarını tahmin etmek için kullanılır.
Bir yöneticinin ve iktisatçının, özel denklemler kullanılsa bile, ekonometrik denklem sistemlerinin derlenmesi ve çözülmesi alanında uzman olması önerilmez. yazılım ancak üretim ihtiyacı olması durumunda ekonometri uzmanlarına yönelik bir görevi ustaca formüle edebilmek için bu ekonometri alanının olasılığı hakkında bilgilendirilmesi gerekir.
Trendin (ana eğilim) değerlendirilmesinden, zaman serisi ekonometrisinin ikinci ana görevi olan dönemin (döngünün) değerlendirilmesine geçiyoruz.
Heteroskedastisite sorunu. Öncelikle sabit modelleri vurgulayalım. Herhangi bir sayıda k zaman noktası için ortak dağılım fonksiyonları F(t 1 , t 2 ,…, t k) içerirler ve bu nedenle zaman serisinin yukarıdaki özelliklerinin tümü zaman içinde değişmez. Özellikle, beklenen değer ve dağılım sabit değerlerdir, otokorelasyon fonksiyonu yalnızca farklılıklar. Durağan olmayan zaman serilerine durağan olmayan zaman serileri denir.
Değişken varyans, hata varyansının gözlem sayısına bağlı olduğu orijinalin bir özelliğidir. Grafikte değişen varyans, artış veya azalışla birlikte kendini gösterir. seri numarasıölçümleri arttıkça, ölçümlerin trend çizgisi etrafındaki dağılımı artar. Bu, regresyon denkleminin katsayılarının tahmininde önemli hatalara yol açabilir. Değişken varyans, nesneler genellikle heterojen olduğunda ortaya çıkar. Birkaç düzeltme yöntemi vardır, Sorunu çözmek heteroskedastisite. Bunlardan en verimli olanı ağırlıklı en küçük kareler yöntemidir.
Yöntemin özü son derece basittir. Orijinal modelin forma sahip olmasına izin verin
Daha sonra sistemin her elemanını yt değerine bölerek başka bir sisteme ulaşıyoruz.
burada y t2 = y 2ш, ağırlıklı varyans;
Шt = n, n - ölçüm sayısı.
Böylece bu dönüşümle değişen varyansı ortadan kaldırıyoruz.
Ayrıca, bazı durumlarda girdi verilerinin logaritmasının alınması, değişken varyanstan kaynaklanan model parametrelerinin belirlenmesindeki hataları da azaltır.
Bir zaman serisinin trendini modellemenin en yaygın yollarından biri, seri seviyelerinin zamana bağımlılığını karakterize eden analitik bir fonksiyon (bir trend veya döngüsel ve/veya mevsimsel bileşenli bir trend) oluşturmaktır. Bu yöntem denir Zaman serilerinin analitik hizalanması.
Bu sorunu çözmek için öncelikle işlev türünü seçmeniz gerekir. En sık kullanılan işlevler şunlardır:
doğrusal -
polinom -
· üstel -
· lojistik - 
· Gompertz -
Bu araştırmanın çok önemli bir aşamasıdır. Uygun fonksiyonu seçerken, anlamlı analiz (sürecin dinamiğinin doğasını belirleyebilen) ve görsel gözlemler (zaman serisinin grafiksel temsiline dayalı) kullanılır. Bir polinom fonksiyonu seçerken, ardışık farklar yöntemi uygulanabilir (birinci dereceden, ikinci dereceden farkların hesaplanmasından oluşur) 
vb.) ve yaklaşık olarak aynı olacakları farkların sırası polinomun derecesi olarak alınır.
İki fonksiyondan, genellikle gerçek verilerin sapmalarının karelerinin toplamının bu fonksiyonlara dayanarak hesaplananlardan daha küçük olduğu fonksiyon tercih edilir. Ancak bu ilke saçmalık noktasına götürülemez: örneğin, herhangi bir nokta dizisi için, tüm noktalardan geçen ve buna göre minimum - sıfır - sapmaların kareleri toplamı ile geçen dereceden bir polinom seçmek mümkündür, ancak bu durumda, bu noktaların rastgele doğası göz önüne alındığında, ana eğilimi izole etmekten bahsetmemek gerekir. Bu nedenle, diğer koşullar eşit olmak üzere, daha basit işlevlere tercih edilmelidir.
Ana trend parametreleri en küçük kareler yöntemi kullanılarak belirlenebilir. Bu durumda zaman serisinin değerleri bağımlı değişken, zaman ise açıklayıcı değişken olarak kabul edilir:
Regresyon analizinin temel önermelerini karşılayan bozukluklar nerede? bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış temsil rastgele değişkenler dağılımının normal olduğu varsayılmaktadır.
En küçük kareler yöntemine göre doğrunun parametreleri 
aşağıdaki gibi aldığımız normal denklemler sisteminden (2.5) bulunur:
(7.10)
Değişkenin değerlerinin 1'den 1'e kadar doğal bir sayı dizisi oluşturduğu göz önüne alındığında, toplamlar matematikte bilinen formüller kullanılarak serinin üye sayısı cinsinden ifade edilebilir:
(7.11)
Sayfa 79'daki ele alınan örnek 2'de normal denklem sistemi şu şekildedir:
,
dolayısıyla trend denklemi, yani. talep yıllık ortalama 25,7 adet artıyor.
Ortaya çıkan trend denkleminin önemini şu şekilde kontrol edelim: F-kriteri %5 anlamlılık düzeyinde, formül (3.40)'u kullanarak karelerin toplamını hesaplıyoruz:
a) gerilemenin neden olduğu –
b) genel –
c) artık
İstatistiğin değerini bulalım:
.
olduğundan, trend denklemi anlamlıdır.
Bir zaman serisini düzleştirmenin (düzleştirmenin) başka bir yöntemi, yani. Rastgele olmayan bileşenin vurgulanması hareketli ortalama yöntemidir. Seri üyelerinin başlangıç değerlerinden, uzunluğu önceden belirlenen bir zaman aralığı boyunca ortalama değerlerine geçişi esasına dayanır. Bu durumda seçilen zaman aralığının kendisi seri boyunca "kayar".
Ortaya çıkan hareketli ortalama serisi, seri sapmalarının ortalaması nedeniyle orijinal seriye göre daha düzgün davranır.
