Метод перерізів багатогранників у стереометрії використовується у завданнях на побудову. У його основі лежить вміння будувати переріз багатогранника і визначати вид перерізу.

Цей матеріал характеризується такими особливостями:

1. Метод перерізів застосовується лише багатогранників, оскільки різні складні (похилі) види перерізів тіл обертання не входять у програму середньої школи.
2. У завданнях використовуються переважно найпростіші багатогранники.
3. Завдання представлені переважно без числових даних, щоб створити можливість їх багатоваріантного використання.

Щоб розв'язати задачу побудови перерізу багатогранника учень повинен знати:

• що означає побудувати переріз багатогранника площиною;
• як можуть розташовуватися щодо один одного багатогранник та площина;
• як задається площина;
• коли завдання на побудову перерізу багатогранника площиною вважається вирішеним.

Оскільки площина визначається:

• трьома точками;
• прямою та точкою;
• двома паралельними прямими;
• двома прямими, що перетинаються,

будова площини перерізу проходить в залежності від завдання цієї площини. Тому всі способи побудови перерізів багатогранників можна поділити на методи.

Існує три основні методипобудови перерізів багатогранників:

1. Спосіб слідів.
2. Метод допоміжних перерізів.
3. Комбінований метод.

Перші два методи є різновидами Аксіоматичного методупобудови перерізів.

Можна також виділити такі методи побудови перерізів багатогранників:

• побудова перерізу багатогранника площиною, що проходить через задану точкупаралельно заданій площині;
• побудова перерізу, що проходить через задану пряму паралельно до іншої заданої прямої;
• побудова перерізу, що проходить через задану точку паралельно двом заданим прямим, що схрещується;
• побудова перерізу багатогранника площиною, що проходить через задану пряму перпендикулярно заданій площині;
• побудова перерізу багатогранника площиною, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

У федеральний список підручників з геометрії для 10-11 класів входять підручники авторів:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. та ін (Геометрія, 10-11);
• Погорєлова А.В. (Геометрія, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рижик В.І.
• (Геометрія, 10-11);
• Смирновий І.М. (Геометрія, 10-11);

Шаригіна І.Ф. (Геометрія, 10–11).

Розглянемо докладніше підручники Л.С, Атанасяна та Погорєлова А.В.

У підручнику Л.С. Атанасяна на тему "Побудова перерізів багатогранників" виділено дві години. У 10 класі у темі “Паралельність прямих і площин” після вивчення тетраедра і паралелепіпеда відводиться одну годину на виклад параграфа “Завдання побудувати перерізів”. Розглядаються перерізи тетраедра та паралелепіпеда. І тема "Паралельність прямих і площин" завершується вирішенням завдань на одному або двох годинах (всього завдань на побудову перерізів у підручнику вісім).

У підручнику Погорєлова О.В. на побудову перерізів відводиться близько трьох годин у розділі “Многогранники”: один – вивчення теми “Зображення призми і побудова її перерізів”, другий – вивчення теми “Побудова піраміди та її плоских перерізів” і третій – вирішення завдань. У списку завдань, наведених після теми, завдань на переріз налічується близько десяти.

Ми пропонуємо систему уроків на тему “Побудова перерізів багатогранників” для підручника Погорєлова А.В.

1. Матеріал пропонується розташувати у тому послідовності, як і може застосовуватися на навчання учнів. З викладу теми “Многогранники” пропонується виключити такі параграфи: “Побудова перерізів призми” та “Побудова перерізів піраміди” для того, щоб систематизувати цей матеріал наприкінці цієї теми “Многогранники”. Класифікувати його за тематикою завдань із приблизним дотриманням принципу “від простого до складного” можна умовно наступним чином:
2. Визначення перерізу багатогранників. Побудова перерізів призми, паралелепіпеда, піраміди методом слідів. (Як правило в шкільному курсі стереометрії використовуються завдання на побудову перерізів багатогранників, які вирішуються основними методами. Інші методи, у зв'язку з їх більшвисоким рівнем
3. складнощі, вчитель може залишити для розгляду на факультативних заняттях чи самостійне вивчення. У завдання на побудову основними методами потрібно побудувати площину перерізу, що проходить через три точки). ортогональній проекціїбагатокутника).
4. Знаходження площі перерізів у багатогранниках (із застосуванням теореми про площу ортогональної проекції багатокутника).

СТЕРЕОМЕТРИЧНІ ЗАВДАННЯ НА ПОБУДУВАННЯ ПЕРЕКЛАВ МНОГОГРАНИКІВ І МЕТОДИКА ЇХ ВИКОРИСТАННЯ НА УРОКАХ У 10-11 КЛАСАХ.

(Система уроків та факультативних занять на тему “Побудова перерізів багатогранників”)

УРОК 1.

Тема уроку: "Побудова перерізів багатогранників".

Мета уроку: ознайомлення з методами побудов перерізів багатогранників.

Етапи уроку:

1. Актуалізація опорних знань.
2. Постановка задачі.
3. Вивчення нового матеріалу:

А) Визначення перерізу.

Б) Методи побудов перерізів:

а) метод слідів;

б) метод допоміжних перерізів;

в) комбінований метод.

1. Закріплення матеріалу.

Приклади побудов перерізів методом слідів.

1. Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку.

1. Актуалізація опорних знань.

Згадаймо:
- перетин прямий з площиною;
- перетин площин;
- властивості паралельних площин.

2. Постановка задачі.

Запитання до класу:
- Що означає побудувати перетин багатогранника площиною?
- Як можуть розташовуватися щодо один одного багатогранник та площина?
- Як задається площина?
- Коли завдання на побудову перерізу багатогранника площиною вважається вирішеним?

3. Вивчення нового матеріалу.

А) Отже, завдання полягає у побудові перетину двох фігур: багатогранника та площини (рис.1). Це може бути: порожня фігура (а), точка (б), відрізок (в), багатокутник (г). Якщо перетин багатогранника і площини є багатокутником, то цей багатокутник називається перетином багатогранника площиною.

Розглядатимемо лише випадок, коли площина перетинає багатогранник за його начинкою. При цьому перетином даної площини з кожною гранню багатогранника буде певний відрізок. Таким чином, завдання вважається вирішеним, якщо знайдено всі відрізки, якими площина перетинає грані багатогранника.

Дослідіть перерізи куба (мал.2) і дайте відповідь на наступні питання:

Які багатокутники виходять у перерізі куба площиною? (Важлива кількість сторін багатокутника);

[ Можливі відповіді: трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.]

Чи може у перерізі куба площиною вийти семикутник? А восьмикутник тощо? Чому?

Давайте розглянемо призму та її можливі перерізи площиною (на моделі). Які багатокутники виходять?

Який можна зробити висновок? Чому дорівнює найбільша кількість сторін багатокутника, отриманого перетином багатогранника з площиною?

[ Найбільше сторін багатокутника, отриманого в перерізі багатогранника площиною, дорівнює числу граней багатогранника.]

Б) а) Метод слідівполягає у побудові слідів січної площини на площину кожної грані багатогранника. Побудова перерізу багатогранника методом слідів зазвичай починають із побудови про основного сліду січної площині, тобто. сліду січної площини на площині основи багатогранника.

б) Метод допоміжних перерізівпобудови перерізів багатогранників є достатньо універсальною. У тих випадках, коли потрібний слід (або сліди) січній площині виявляється за межами креслення, цей метод має певні переваги. Разом про те слід пам'ятати, що побудови, виконувані під час використання цього, найчастіше виходять “скученими”. Проте у деяких випадках метод допоміжних перерізів виявляється найбільш раціональним.

Метод слідів та метод допоміжних перерізів є різновидами аксіоматичного методупобудови перерізів багатогранників площиною.

в) Суть комбінованого методупобудови перерізів багатогранників полягає у застосуванні теорем про паралельність прямих та площин у просторі у поєднанні з аксіоматичним методом.

А тепер на прикладі розв'язання задач розглянемо метод слідів.

4. Закріплення матеріалу.

Завдання 1.

Побудувати переріз призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, яка проходить через точки P, Q, R (точки вказані на кресленні (рис.3)).

Рішення.

Мал. 3

1. Побудуємо слід січної площини на площину нижньої основи призми. Розглянемо грань АА 1 У 1 У. У цій грані лежать точки перерізу P і Q. Проведемо пряму PQ.
2. Продовжимо пряму PQ, що належить перерізу, до перетину з прямою АВ. Отримаємо точку S 1 , що належить сліду.
3. Аналогічно отримуємо точку S 2 перетином прямих QR та BC.
4. Пряма S 1 S 2 - слід січної площини на площину нижньої основи призми.
5. Пряма S 1 S 2 перетинає сторону AD у точці U, сторону CD у точці Т. З'єднаємо точки P та U, оскільки вони лежать в одній площині грані АА 1 D 1 D. Аналогічно отримуємо TU та RT.
6. PQRTU - шуканий переріз.

Побудувати перетин паралелепіпеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, що проходить через точки M, N, P (точки вказані на кресленні (рис.4)).

Рішення.

1. Точки N і P лежать у площині перерізу та у площині нижньої основи паралелепіпеда.
2. Продовжимо пряму, де лежить сторона AB паралелепіпеда. Прямі AB і NP перетинаються у певній точці S. Ця точка належить площині перерізу.
3. Так як точка M також належить площині перерізу і перетинає пряму АА 1 деякій точці Х.
4. Крапки X і N лежать в одній площині грані АА 1 D 1 D, з'єднаємо їх та отримаємо пряму XN.
5. Так як площини граней паралелепіпеда паралельні, то через точку M можна провести пряму в грані A 1 B 1 C 1 D 1 паралельну прямий NP. Ця пряма перетне бік У 1 З 1 у точці Y.
6. Аналогічно проводимо пряму YZ, паралельно до прямої XN. З'єднуємо Z з P та отримуємо шуканий перетин – MYZPNX.

Завдання 3 (для самостійного вирішення).

Побудувати перетин тетраедра DACB площиною, що проходить через точки M, N, P (точки вказані на кресленні (рис.5)).

5. Підбиття підсумків уроку.

Дайте відповідь на запитання: чи є зафарбовані фігури перерізами зображених багатогранників площиною PQR? І виконайте правильну побудову (рис. 6).

Варіант 1.

Варіант 2.

Тема уроку: ЗНАХОДЖЕННЯ ПЛОЩІ ПЕРЕЧЕННЯ.

Мета уроку: познайомити із способами знаходження площі перерізу багатогранника.

Етапи уроку:

1. Актуалізація опорних знань.

Згадати теорему про площу ортогональної проекції багатокутника.

2. Розв'язання задач на знаходження площі перерізу:

Без використання теореми про площу ортогональної проекції багатокутника;

З використанням теореми про площу ортогональної проекції багатокутника.

3. Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку.

1. Актуалізація опорних знань.

Згадаймо теорему про площу ортогональної проекції багатокутника:площа ортогональної проекції багатокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною багатокутника та площиною проекції.

2. Вирішення задач.

ABCD – правильна трикутна пірамідазі стороною основи AB рівною ата висотою DH рівною h. Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через точки D, C і М, де М – середина сторони АВ, та знайдіть його площу (рис.7).

Перерізом піраміди є трикутник MCD.

Знайдемо його площу. =

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · аЗнайти площу перерізу куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 з ребром

площиною, що проходить через вершину D і точки Е та F на ребрах А 1 D 1 і C 1 D 1 відповідно, якщо A 1 E = k · D 1 E та C 1 F = k · D 1 F.

1. Побудова перерізу:
2. Оскільки точки Е і F належать площині перерізу та площині грані A 1 B 1 C 1 D 1 , а дві площини перетинаються по прямій, то пряма EF буде слідом січної площини на площину грані A 1 B 1 C 1 D 1 (рис.8 ).
3. Аналогічно виходять прямі ED та FD.

Завдання 3 (для самостійного вирішення).

Побудувати перетин куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 зі стороною аплощиною, що проходить через точки B, M та N, де Ь – середина ребра АА 1 , а N – середина ребра СС 1 .

Перетин будуємо шляхом слідів.

Площа перерізу знаходимо за допомогою теореми про площу ортогональної проекції багатокутника. Відповідь: S = 1/2 · a 2.

ПОБУДУВАННЯ ПЕРЕКЛАВ І РОЗРІЗІВ НА КРЕСЛЕННЯХ

Формування креслення деталі здійснюється шляхом послідовного додавання необхідних проекцій, розрізів та перерізів. Спочатку створюється довільний вигляд із зазначеною користувачем моделі, при цьому задається орієнтація моделі, що найбільше підходить для головного вигляду. Далі з цього та наступних видів створюються необхідні розрізи та перерізи.

Головний вид (вид спереду) вибирається таким чином, щоб він давав найбільш повне уявлення про форми та розміри деталі.

Розрізи на кресленнях

Залежно від положення січної площини розрізняють такі види розрізів:

А) горизонтальні, якщо січна площина розташовується паралельно горизонтальній площині проекцій;

Б) вертикальні, якщо січна площина перпендикулярна горизонтальній площині проекцій;

В) похилі - січна площина нахилена до площин проекцій.

Вертикальні розрізи поділяються на:

· фронтальні - січна площина паралельна фронтальній площині проекцій;

· профільні - січна площина паралельна профільній площині проекцій.
Залежно від кількості сіючих площин розрізи бувають:

· прості - при одній січній площині (рис.107);

· складні - при двох і більше секучих площинах (мал.108)
Стандартом передбачені такі види складних розрізів:

· ступінчасті, коли сіючі площини розташовуються паралельно (рис.108 а) і ламані - сіючі площини перетинаються (рис.108 б)

Рис.107 Простий розріз

а) б)

Рис.108 Складні розрізи

Позначення розрізів

У разі, коли в простому розрізі січна площина збігається з площиною симетрії предмета, не позначається розріз (рис.107). В інших випадках розрізи позначаються великими літерамиросійського алфавіту, починаючи з літери А, наприклад, А-А.

Положення січної площини на кресленні вказують лінією перерізу – потовщеною розімкнутою лінією. При складному розрізі штрихи проводять у перегинів лінії перерізу. На початковому та кінцевому штрихах слід ставити стрілки, що вказують напрямок погляду, стрілки повинні знаходитися на відстані 2-3 мм від зовнішніх кінців штрихів. З зовнішнього боку кожної стрілки, що вказує напрям погляду, наносять ту саму прописну букву.

Для позначення розрізів і перерізів у системі КОМПАС використовується та сама кнопка Лінія розрізу, розташована сторінці Позначення (рис.109).

Рис.109 Кнопка Лінія розрізу

З'єднання половини виду з половиною розрізу

Якщо вид і розріз є симетричними фігурами (рис.110), можна з'єднувати половину виду і половину розрізу, розділяючи їх штрихпунктирою тонкою лінією, що є віссю симетрії. Частину розрізу зазвичай мають праворуч від осі симетрії, що розділяє частину виду з частиною розрізу, або знизу від осі симетрії. Лінії невидимого контуру на частинах виду і розрізу, що з'єднуються, зазвичай не показуються. Якщо з осьовою лінією, що поділяє вигляд і розріз, збігається проекція будь-якої лінії, наприклад, ребра гранної фігури, то вид і розріз поділяються суцільною хвилястою лінією, що проводиться ліворуч від осі симетрії, якщо ребро лежить на внутрішній поверхні, або правіше, якщо ребро зовнішнє .

Мал. 110 З'єднання частини виду та розрізу

Побудова розрізів

Побудова розрізів у системі КОМПАС вивчимо з прикладу побудови креслення призми, завдання якого зображено на рис.111.

Послідовність побудови креслення така:

1. За заданими розмірами збудуємо твердотільну модель призми (рис.109 б). Збережемо модель у пам'яті комп'ютера у файлі під назвою «Призма».

Рис.112 Панель Лінії

3. Для побудови профільного розрізу (рис.113) накреслимо лінію розрізу А-Ана головному вигляді за допомогою кнопкиЛінія розрізу.

Рис.113 Побудова профільного розрізу

Напрямок погляду та текст позначення можна вибрати на панелі керування командою внизу екрана (рис.114). Завершується побудова лінії розрізу натисканням кнопки Створити об'єкт.

Рис.114 Панель управління командою побудови розрізів та перерізів

4. На панелі Асоціативні види (рис.115) виберемо кнопку Лінія розрізу, потім пасткою, що з'явилася на екрані, вкажемо лінію розрізу. Якщо все зроблено правильно (лінія розрізу повинна бути обов'язково побудована в активному вигляді), то лінія розрізу забарвиться у червоний колір. Після вказівки лінії розрізу АА на екрані з'явиться фантом зображення у вигляді габаритного прямокутника.

Рис.115 Панель Асоціативні види

За допомогою перемикача Розріз/перетин на Панелі властивостей вибирається тип зображення – Розріз (рис.116) і масштаб розрізу, що відображається.

Рис.116 Панель управління командою побудови розрізів та перерізів

Профільний розріз побудується автоматично у проекційному зв'язку та зі стандартним позначенням. При необхідності проекційний зв'язок можна вимикати перемикачем Проекційний зв'язок (рис.116).Для налаштування параметрів штрихування, яка буде використана у розрізі (січці), що створюється, використовується елементи управління на вкладці Штрихування.

Рис.117 Побудова горизонтального розрізу Б-Бта перерізи В-В

Якщо вибрана січна площина під час побудови розрізу збігається з площиною симетрії деталі, то відповідно до стандарту такий розріз не позначається. Але якщо просто стерти позначення розрізу, то через те, що вигляд та розріз у пам'яті комп'ютера пов'язані між собою, то зітреться і весь розріз. Тому для того, щоб видалити позначення, спочатку слід зруйнувати зв'язок виду та розрізу. Для цього клацанням лівої кнопки миші виділяється розріз, а потім клацанням правої кнопки миші викликається контекстне меню, з якого вибирається пункт Зруйнувати вигляд (рис.97). Тепер позначення розрізу можна видалити.

5. Для побудови горизонтального розрізу проведемо через нижню площину отвору у вигляді спереду лінію розрізу Б-Б. Попередньо обов'язково двома клацаннями лівої кнопки миші вид спереду слід зробити поточним. Потім будується горизонтальний розріз (рис.117).

6. При побудові фронтального розрізу сумісний частина виду та частина розрізу, т.к. це симетричні постаті. На лінію розділяє вигляд і розріз проектується зовнішнє ребро призми, тому розмежуємо вид і розріз суцільний тонкої хвилястою лінією, що проводиться праворуч від осі симетрії, т.к. ребро зовнішнє. Для побудови хвилястої лінії використовується кнопкаКрива Безьє, що розташована на панелі Геометрія, що викреслюється стилем Для лінії обриву (рис.118). Послідовно вказуйте точки, якими має пройти крива Безье. Закінчити виконання команди слід натисканням кнопки Створити об'єкт.

Рис.118 Вибір стилю лінії для урвища

Побудова перерізів

Перерізом називається зображення предмета, які виходять при уявному розтину предмета площиною. На перерізі показують тільки те, що розташоване в площині, що сить.

Положення січної площини, з допомогою якої утворюється переріз, на кресленні вказують лінією перерізу, як і розрізів.

Перерізи в залежності від розташування їх на кресленнях поділяються на винесені та накладені. Винесені перерізи розташовуються найчастіше вільному полі креслення і обводяться основний лінією. Накладені перерізи мають безпосередньо на зображенні предмета і обводять тонкими лініями (рис.119).

Рис.119 Побудова перерізів

Розглянемо послідовність побудови креслення призми з винесеним похилим перетином Б-Б (рис.117).

1. Зробимо вигляд спереду активним подвійним клацанням лівою кнопкою миші на вигляд і накреслимо лінію розрізу за допомогою кнопки Лінія розрізу . Виберемо текст написи В-В.

2. За допомогою кнопки Лінія розрізу, розташованої на панелі Асоціативні види (рис.115), пасткою, що з'явилася, вкажемо лінію сіючої площині В-В. За допомогою перемикача Розріз/перетин на Панелі властивостей слід вибрати тип зображення – Перетин (рис.116), масштаб перетину, що відображається, вибирається з вікна Масштаб.

Побудований перетин розташовується у проекційному зв'язку, що обмежує його переміщення по кресленню, але проекційний зв'язок можна відключати за допомогою кнопки Проекційний зв'язок.

На готовому кресленні слід прокреслити осьові лінії, у разі потреби проставити розміри.

Як відомо, будь-який іспит з математики містить як основну частину рішення задач. Вміння вирішувати завдання – основний показник рівня математичного розвитку.

Досить часто на шкільних іспитах, а також на іспитах, що проводяться у ВНЗ і технікумах, трапляються випадки, коли учні, що показують хороші результати в галузі теорії, знають всі необхідні визначення та теореми, заплутуються при вирішенні простих завдань.

За роки навчання в школі кожен учень вирішує велику кількість завдань, але при цьому для всіх учнів завдання пропонуються ті самі. І якщо деякі учні засвоюють загальні правилаі методи вирішення завдань, то інші, зустрівшись із завданням незнайомого виду, навіть не знають, як до неї підступитися.

Однією з причин такого становища є те, що якщо одні учні входять у хід вирішення задачі та намагаються усвідомити та зрозуміти загальні прийомиі методи їх вирішення, інші не замислюються над цим, намагаються якнайшвидше вирішити запропоновані завдання.

Багато учнів не аналізують розв'язувані завдання, не виділяють собі загальні прийоми та способи вирішення. У разі завдання вирішуються лише заради отримання потрібної відповіді.

Так, наприклад, багато учнів навіть не знають, у чому суть вирішення завдань на побудову. Але ж завдання на побудовує обов'язковими завданнями у курсі стереометрії. Ці завдання не лише красиві та оригінальні у методах свого вирішення, але й мають велику практичну цінність.

Завдяки завданням на побудову розвивається здатність уявно уявляти собі ту чи іншу геометричну фігуру, розвивається просторове мислення, логічне мисленняа також геометрична інтуїція. Завдання на побудову розвивають навички вирішення проблем практичного характеру.

Завдання на побудови не є простими, оскільки єдиного правила чи алгоритму їх вирішення немає. Кожна нове завданняунікальна та вимагає індивідуального підходудо рішення.

Процес вирішення будь-якої задачі на побудову – це послідовність деяких проміжних побудов, що призводять до мети.

Побудова перерізів багатогранників базується на наступних аксіомах:

1) Якщо дві точки прямої лежать у певній площині, те й вся пряма лежить у цій площині;

2) Якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються прямою, що проходить через цю точку.

Теорема:якщо дві паралельні площини перетнуті третьою площиною, то прямі перетину паралельні.

Побудувати переріз багатогранника площиною, що проходить через точки А, В та С. Розглянемо такі приклади.

Метод слідів

I.Побудувати переріз призмиплощиною, що проходить через дану пряму g (слід) на площині однієї з підстав призми та точку А.

Випадок 1.

Точка А належить іншій підставі призми (або грані, паралельної прямої g) – січна площина перетинає цю основу (грань) по відрізку ВС, паралельному сліду g .

Випадок 2

Точка А належить бічній грані призми:

Відрізок НД прямий AD і є перетин цієї грані з січною площиною.

Випадок 3.

Побудова перерізу чотирикутної призми площиною, що проходить через пряму g у площині нижньої основи призми та точку А на одному з бічних ребер.

ІІ.Побудувати переріз пірамідиплощиною, що проходить через дану пряму g (слід) на площині основи піраміди та точку А.

Для побудови перерізу піраміди площиною досить побудувати перетин її бічних граней з січною площиною.

Випадок 1.

Якщо точка А належить грані, паралельній прямій g, то січна площина перетинає цю грань по відрізку ВС, паралельному сліду g.

Випадок 2

Якщо точка А, що належить перерізу, розташована на грані, не паралельній грані сліду g, то:

1) будується точка D, у якій площина грані перетинає цей слід g;

2) проводиться пряма через точки А та D.

Відрізок ВС прямий АD і є перетин цієї грані з січною площиною.

Кінці відрізка ЗС належать і сусіднім граням. Тому описаним способом можна побудувати перетин цих граней з січною площиною. І т.д.

Випадок 3.

Побудова перерізу чотирикутної піраміди площиною, що проходить через бік основи та точку А на одному з бічних ребер.

Завдання на побудову перерізів через точку на межі

1. Побудувати переріз тетраедра АВСD площиною, що проходить через вершину С і точки М і N на гранях АСD та АВС відповідно.

Точки С та М лежать на межі АСD, отже, і пряма СМ лежить у площині цієї грані (Рис. 1).

Нехай Р – точка перетину прямих РМ та АD. Аналогічно, точки С і N лежать у межі АСВ, отже пряма СN лежить у площині цієї грані. Нехай Q – точка перетину прямих СN та АВ. Точки Р та Q належать і площині перерізу, і грані АВD. Тому відрізок РQ – сторона перерізу. Отже, трикутник СРQ - шуканий переріз.

2. Побудувати переріз тетраедра АВСD площиною MPN, де точки M, N, P лежать відповідно на ребрі АD, в грані ВСD та в грані АВС, причому MN не паралельно площині грані АВС (Рис. 2).

Залишились питання? Не знаєте, як збудувати перетин багатогранника?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Мета роботи:
Розвиток просторових уявлень.
Завдання:
1. Ознайомити з правилами побудови перерізів.
2. Виробити навички побудови перерізів
тетраедра і паралелепіпеда при різних
випадках завдання січної площини.
3. Сформувати вміння застосовувати правила
побудови перерізів при розв'язанні задач з
тем «Многогранники».

Для вирішення багатьох
геометричних
завдань необхідно
будувати перерізи
багатогранників
різними
площин.

Поняття сіючої площини

поточної
площиною
паралелепіпеда
(тетраедра)
називається будь-яка
площина, по обидва
сторони від
якої є
точки даного
паралелепіпеда
(Тетраедра).

Поняття перерізу багатогранника

Поточна площина
перетинає грані
тетраедра
(паралелепіпеда) по
відрізкам.
Багатокутник, сторонами
якого є дані
відрізки, називається
перетином тетраедра
(паралелепіпеда).

Робота за малюнками

Скільки площин можна провести
через виділені елементи?
Які аксіоми та теореми ви застосовували?

Для побудови перерізу
потрібно побудувати крапки
перетину січної
площини з ребрами та
з'єднати їх відрізками.

Правила побудови перерізів

1. З'єднувати можна лише дві
точки, що лежать у площині однієї
грані.
2. Січна площина перетинає
паралельні грані по
паралельним відрізкам.

Правила побудови перерізів

3. Якщо у площині грані зазначено
тільки одна точка, що належить
площині перерізу, то треба
побудувати додаткову точку.
Для цього необхідно знайти точки
перетину вже збудованих
прямих з іншими прямими,
лежать у тих же гранях.

10. Побудова перерізів тетраедра

11.

Тетраедр має 4 грані
У перерізах можуть вийти
Трикутники
Чотирикутники

12.

Побудувати перетин тетраедра
DABC площиною, що проходить
через точки M,N,K
1. Проведемо пряму через
точки М та К, т.к. вони лежать
в одній грані (ADC).
D
M
AA
N
K
BB
CC
2. Проведемо пряму через
точки К та N, т.к. вони
лежать в одній грані
(СDB).
3. Аналогічно розмірковуючи,
проводимо пряму MN.
4. Трикутник MNK -
шуканий переріз.

13. проходить через точку М паралельно АВС.

D
1. Проведемо через точку М
пряму паралельну
ребру AB
2.
М
Р
А
До
З
У
Проведемо через точку М
пряму паралельну
ребру AC
3. Проведемо пряму через
точки K та P, т.к. вони лежать у
однієї грані (DBC)
4. Трикутник MPK -
шуканий переріз.

14.

Побудувати перетин тетраедра площиною,
проходить через точки E, F, K.
D
1. Проводимо КF.
2. Проводимо FE.
3. Продовжимо
EF, продовжимо AC.
F
4. EF AC = М
5. Проводимо
MK.
E
M
AB=L
6.
MK
C
A
7. Проводимо EL
L
EFKL – шуканий переріз
K
B

15.

Побудувати перетин тетраедра площиною,
проходить через точки E, F, K
Які
які прямі
точкою,
що лежить в
можна, можливо
З'єднайте
вийшли
Які
крапки
можна, можливо
відразу
тій
ж
грані
можна, можливо
продовжити,
щоб
отримати
точки,
лежачі
в
однієї
з'єднати?
з'єднати
отриману
додаткову
точку?
грані,
назвіть
переріз.
додаткову точку?
D
АС
ЕLFK
FСЕК
іточкою
K,і Е
та FК
F
L
C
M
A
E
K
B

16.

Побудувати перетин
тетраедра площиною,
проходить через точки
E, F, K.
D
F
L
C
A
E
K
B
Про

17.

Висновок: незалежно від способу
побудови перерізу однакові

18. Побудова перерізів паралелепіпеда

19.

Тетраедр має 6 граней
Трикутники
П'ятикутники
У його перерізах можуть вийти
Чотирикутники
Шестикутники

20. Побудувати перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через точку Х паралельно площині (ОСВ)

В 1
А1
Y
Х
D1
S
У
А
D
Z
1. Проведемо через
З 1
точку X пряму
паралельну ребру
D1C1
2. Через точку X
пряму
паралельну ребру
D1D
3. Через точку Z пряму
паралельну ребру
З
DC
4. Проведемо пряму через
точки S та Y, т.к. вони лежать у
однієї грані (BB1C1)
XYSZ – шуканий переріз

21.

Побудувати перетин паралелепіпеда
площиною, що проходить через точки
M,A,D
В 1
D1
E
A1
З 1
У
А
1. AD
2. MD
3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – шуканий переріз
М
D
З

22. Побудувати перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через точки М, К, Т

N
М
До
R
S
Х
Т

23. Виконайте завдання самостійно

м
т
до
м
Д
до
т
Побудуйте перетин: а) паралелепіпеда;
б) тетраедра
площиною, що проходить через точки М, Т, До.

24. Використані ресурси

Соболєва Л. І. Побудова перерізів
Ткачова В. В. Побудова перерізів
тетраедра та паралелепіпеда
Гобозова Л. В. Завдання на побудову
перерізів
DVD-диск. Уроки геометрії Кирила та
Мефодія. 10 клас, 2005
Навчальні та перевірочні завдання.
Геометрія. 10 клас (Зошит) / Альошина
Т.М. - М.: Інтелект-Центр, 1998

Дмитрієв Антон, Кірєєв Олександр

У цій презентації дохідливо, покроково показані приклади побудови перерізів від найпростіших завдань до складнішим. Анімація дозволяє побачити етапи побудови перерізів

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Побудова перерізів багатогранників на прикладі прикладу ® Творці: Антон Дмитрієв, Кірєєв Олександр. За сприяння: Гудкової Ольги Вікторівни

План уроку Алгоритми побудови перерізів Самоперевірка Демонстраційні завдання Завдання для закріплення матеріалу

Алгоритми побудови перерізів слідів паралельних прямих паралельного переносу площини внутрішньої проектування комбінований метод доповнення n -вугільної призми до трикутної призми Побудова перерізу методом:

Побудова перерізу методом слідів Побудова сліду прямої на площині Побудова сліду сіючої площини Побудова перерізу

Алгоритм побудови перерізу методом слідів З'ясувати чи є в одній грані дві точки перерізу (якщо так, то через них можна провести бік перерізу). Побудувати слід перерізу на площині основи багатогранника. Знайти додаткову точку перерізу на ребері багатогранника (продовжити бік основи тієї грані, в якій є точка перерізу, до перетину зі слідом). Через отриману додаткову точку на сліді та точку перерізу у вибраній грані провести пряму, відзначити точки перетину її з ребрами грані. Виконати п.1.

Побудова перерізу призми Двох точок, що належать одній грані, немає. Точка R лежить у площині основи. Знайдемо слід прямої KQ на площині основи: - KQ ∩K1Q1 = T1, T1R - слід перерізу. 3. T1R ∩CD=E. 4. Проведемо EQ. EQ∩DD1=N. 5. Проведемо NK. NK ∩AA1=M. 6. З'єднуємо M та R . Побудувати переріз площиною α, що проходить через точки K, Q, R; K є ADD1, Q є CDD1, R є AB.

Метод паралельних прямих В основу методу покладено властивість паралельних площин: «Якщо дві паралельні площини перетнуті третьою, то лінії їх перетину паралельні. Основні вміння та поняття Побудова площини паралельної даної Побудова лінії перетину площин Побудова перерізу

Алгоритм побудови перерізу методом паралельних прямих. Будуємо проекції точок, що визначають перетин. Через дві дані точки (наприклад P і Q) та їх проекції проводимо площину. Через третю точку (наприклад R) будуємо паралельну їй площину. Знаходимо лінії перетину (наприклад m і n) площини з гранями багатогранника містять точки P і Q . Через точку R проводимо пряму а паралельну PQ. Знаходимо точки перетину прямої з прямими m і n. Знаходимо точки перетину з ребрами відповідної грані.

(ПРИЗМА) Будуємо проекції точок P і Q на площині верхньої та нижньої основ. Проводимо площину P1Q1Q2P2. Через ребро, що містить точку R, проводимо площину паралельну P1Q1Q2. Знаходимо лінії перетину площин ABB1 і CDD1 з площиною α. Через точку R проводимо пряму a||PQ. a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR – шуканий переріз. Побудувати переріз площиною α, що проходить через точки P, Q, R; P є ABB1, Q є CDD1, R є EE1.

Метод паралельного перенесення січної площини Будуємо допоміжний переріз даного багатогранника, який задовольняє наступним вимогам: він паралельно січій площині; у перетині з поверхнею даного багатогранника утворює трикутник. З'єднуємо проекцію вершини трикутника з вершинами тієї межі багатогранника, яку перетинає допоміжний переріз, і знаходимо точки перетину зі стороною трикутника, що лежить у цій грані. З'єднуємо вершину трикутника із цими точками. Через точку шуканого перерізу проводимо прямі паралельні побудованим відрізкам у попередньому пункті та знаходимо точки перетину з ребрами багатогранника.

ПРИЗМУ R є AA1, P є EDD1, Q є CDD1. Побудуємо допоміжний переріз AMQ1 | RPQ. Проведемо AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1-проекція точок Р і М на АВС. Проведемо Р1В та Р1С. Р1В∩AQ1=O1, P1C∩AQ1=O2. Через точку Р проведемо прямі m і n відповідно паралельні МО1 та МО2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS - шуканий переріз Побудувати переріз призми площиною α, що проходить через точки P, Q, R; P є EDD1, Q є CDD1, R є AA1.

Алгоритм побудови перерізу методом внутрішнього проектування. Побудувати допоміжні перерізи та знайти лінію їх перетину. Побудувати слід перетину на ребрі багатогранника. Якщо точок перерізу бракує побудови самого перерізу повторити пп.1-2.

Побудова допоміжних перерізів. ПРИЗМУ Паралельне проектування.

Побудова сліду перерізу на ребрі

Комбінований метод. Через другу пряму q і якусь точку W першої прямої р провести площину β. У площині через точку W провести пряму q' паралельну q . Прямими, що перетинаються, p і q' визначається площина α . Безпосередня побудова перерізу багатогранника площиною α Суть методу полягає у застосуванні теорем про паралельність прямих та площин у просторі у поєднанні з аксіоматичним методом. Застосовується побудови перерізу багатогранника з умовою паралельності. 1. Побудова перерізу багатогранника площиною α, що проходить через задану пряму p паралельно до іншої заданої прямої q .

ПРИЗМА Побудувати переріз призми площиною α, що проходить через пряму PQ паралельно AE1; P є BE, Q є E1C1. 1. Проведемо площину через пряму AE1 та точку P. 2. У площині AE1P через точку P проведемо пряму q" паралельну AE1. q"∩E1S'=K. 3. Прямими PQ і PK, що перетинаються, визначається потрібна площина α. 4. P1 і K1-проекції точок Р і К на А1В1С1. P1K1∩PK=S”. S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”', S”'L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL-пошуковий переріз.

Метод доповнення n-вугільної призми(піраміди) до трикутної призми(піраміди). Ця призма (піраміда) добудовується до трикутної призми (піраміди) з тих граней на бічних ребрах або гранях якої лежать точки, що визначають перетин, що шукається. Будується переріз отриманої трикутної призми (піраміди). Шуканий переріз виходить як частина перерізу трикутної призми (піраміди).

Основні поняття та вміння Побудова допоміжних перерізів Побудова сліду перерізу на ребрі Побудова перерізу Центральне проектування Паралельне проектування

ПРИЗМА Q є BB1C1C, P є AA1, R є EDD1E1. Добудовуємо призму до трикутної. Для цього продовжимо сторони нижньої основи: AE, BC, ED і верхньої основи: A 1 E 1 , B 1 C 1 , E 1 D 1. AE B = K, ED B = L, A1E1 B1C1 = K1, E1D1 ∩B1C1=L1. Будуємо переріз отриманої призми KLEK1L1E1 площиною PQR використовуючи метод внутрішнього проектування. Цей переріз є частиною шуканого. Будуємо шуканий перетин.

Правило для самоконтролю Якщо багатогранник опуклий, то переріз опуклий багатокутник. Вершини багатокутника завжди лежать на ребрах багатогранника. Якщо точки перерізу лежать на ребрах багатогранника, то вони є вершинами багатокутника, що вийде у перерізі. Якщо точки перерізу лежать на гранях багатогранника, то вони лежать на сторонах багатокутника, що вийде у перерізі. Дві сторони багатокутника, що вийде в перерізі, не можуть належати до однієї грані багатогранника. Якщо перетин перетинає дві паралельні грані, то й відрізки (сторони багатокутника, що вийде в перерізі), будуть паралельні.

Якщо дві площини мають дві загальні точки, то пряма, проведена через ці точки, є лінією перетину цих площин. M є AD, N є DCC1, D1; ABCDA1B1C1D1 - куб M є ADD1, D1 є ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩DC=Q. M є ABC, Q є ABC, MQ. ІІ. Якщо дві паралельні площини пересічені третьою, лінії їх перетину паралельні. M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1-куб. MK||AD1, K є BC. M є DCC1, D1 DCC1, MD1. A є ABC, K є ABC, AK.

ІІІ. Загальна точка трьох площин (вершина тригранного кута) є загальною точкою ліній їхнього парного перетину (ребер тригранного кута). M є AB, N є AA1, K є A1D1; ABCDA1B1C1D1-куб. NK∩AD=F1 - вершина тригранного кута утвореного площинами α, ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - вершина тригранного кута утвореного площинами α, ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - вершина тригранного кута утвореного площинами α, D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Якщо площина проходить через пряму, паралельну до іншої площини і перетинає її, то лінія перетину паралельна даній прямій. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1- призма. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. З'єднуємо A1, P та C.

V. Якщо пряма лежить у площині перерізу, то точка її перетину з площиною грані багатогранника є вершиною тригранного кута, утвореного перетином, гранню та допоміжною площиною, що містить дану пряму. M є A1B1C1, K є BCC1, N є ABC; ABCDA1B1C1-паралелепіпед. 1 . Допоміжна площина MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S- вершина тригранного кута утвореного площинами: α, ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Завдання. На якому малюнку зображено перетин куба площиною ABC? Скільки площин можна провести за виділеними елементами? Які аксіоми та теореми ви застосовували? Зробіть висновок, як збудувати перетин у кубі? Згадаймо етапи побудови перерізів тетраедра (паралелепіпеда, куба). Які багатокутники можуть при цьому вийти?