Вирок у кримінальному судочинстві, так само як і рішення у цивільному судочинстві, виноситься від імені
1) Президента Російської Федерації
2) Російської Федерації
3) Уряди Російської Федерації
4) Федеральних Зборів Російської Федерації
Пояснення.
Відповідно до п. 28 ст. 5 КПК вирок - це рішення про невинність чи винність підсудного та призначення йому покарання або звільнення від покарання, винесене судом першої чи апеляційної інстанції. Крім зазначених у вироку можуть вирішуватися й інші питання, передбачені КПК України. Вирок - акт правосуддя, здійснення авторитету судової влади. Усі суди Російської Федерації виносять вироки ім'ям Російської Федерації.
Відповідь: 2
Ким є особа, якій злочином завдано шкоди?
1) підозрюваним
2) підсудним
3) потерпілим
Пояснення.
Підозрюваний - особа затримана за підозрою у скоєнні злочину, або особа, до якої застосовано запобіжний захід до пред'явлення звинувачення.
Підсудний - обвинувачений, стосовно якого справу прийнято до провадження судом. П., щодо якого винесено вирок, називається засудженим - якщо вирок обвинувальний, чи виправданим - якщо вирок виправдувальний (ст. 46 год. 2 КПК).
Позивач - учасник цивільного процесу, на захист суб'єктивних прав та (або) охоронюваних інтересів якого порушено цивільну справу.
Правильна відповідь вказана за номером 3.
Відповідь: 3
Предметна область: Право. Особливості кримінального процесу
Після передачі кримінальної справи до суду обвинувачений стає
1) підозрюваним
2) підсудним
3) злочинцем
4) засудженим
Пояснення.
Підозрюваний-поки триває слідство
Злочинець коли вина цілком і повністю доведена
Засуджений після винесення вироку судом
Правильна відповідь вказана за номером 2.
Відповідь: 2
Предметна область: Право. Особливості кримінального процесу
Яка ситуація регулюється нормами карного права?
1) порушено правила протипожежної безпеки
2) подано позов про незаконність звільнення
3) подано заяву про встановлення опіки над громадянином Д., визнаним судом недієздатним
4) навмисне заподіяно тяжку шкоду здоров'ю
Пояснення.
Кримінальне право - це галузь права, що регулює суспільні відносини, пов'язані зі скоєнням злочинних діянь, призначенням покарання та застосуванням інших заходів кримінально-правового характеру, що встановлює підстави притягнення до кримінальної відповідальності, або звільнення від кримінальної відповідальності та покарання.
Відповідь: 4
Предметна область: Право. Особливості кримінального процесу
Участь присяжних засідателів у судовому розгляді до передбачено під час розгляду справ у процесі
1) адміністративному
2) арбітражному
3) цивільному
4) кримінальному
Пояснення.
Суд присяжних - інститут судової системи, що складається з колегії присяжних засідателів, відібраних за методикою випадкової вибірки тільки для цієї справи та вирішальних питання факту, та одного професійного судді, що вирішує питання права. Суд присяжних розглядає кримінальні справи за звинуваченнями, як правило, у тяжких злочинах у першій інстанції. У деяких країнах, включаючи Росію, суд присяжних можливий лише у кримінальному судочинстві. У деяких штатах США та деяких країнах присяжні можуть приймати рішення лише одноголосно. В інших - простою або кваліфікованою більшістю. (У Російській Федерації суд присяжних приймає рішення більшістю голосів.) Також у деяких країнах присяжні дають рекомендацію про застосування вищої міри покарання чи наявність пом'якшуючих вину обставин. Однак питання обрання міри покарання завжди вирішує лише суддя. (Виняток - США, у разі справи, що передбачає можливість страти рішення присяжних про незастосування страти остаточне і не підлягає оскарженню.)
Правильна відповідь вказана за номером 4.
Відповідь: 4
Предметна область: Право. Особливості кримінального процесу
Порушення таємниці листування, телефонних переговорів та телеграфних повідомлень без законних підстав карається за нормами законодавства
1) кримінального
2) адміністративного
3) цивільного
4) трудового
Пояснення.
Кримінальне право - галузь права, що з юридичних норм, визначальних, які суспільно небезпечні дії вважаються злочинними і які покарання можуть них призначатися. Порушення таємниці листування, телефонних переговорів та телеграфних повідомлень без законних підстав карається за нормами кримінального законодавства.
Правильна відповідь вказана за номером: 1.
Назва: Суспільствознавство - Експрес-репетитор для підготовки до ЄДІ - Право.
Ця книга - навчальний посібникдля швидкої та ефективної підготовкишколярів та абітурієнтів до єдиного державного іспиту (ЄДІ) із суспільствознавства, яке за своїм змістом відповідає державному стандартусуспільствознавчої освіти. Посібник покликаний надати допомогу в систематизації, поглибленні, узагальненні знань змістовного блоку «Право» курсу суспільствознавства.
Цей посібник розрахований на самостійну підготовкушколярів та абітурієнтів до ЄДІ.
До нього включені завдання щодо змістового блоку "Право" курсу суспільствознавства. Кожен розділ передується теоретичним матеріалом, даним у короткій та доступній формі, наприклад, у вигляді схем та таблиць.
Тренувальні завдання відповідають формату ЄДІ та націлені на відпрацювання навичок швидкого та грамотного вирішення тестів. Наприкінці книги подано відповіді на всі запропоновані завдання, що дозволить об'єктивно оцінити рівень підготовки до іспиту.
Передмова. 4
ПРАВО
Теоретичний матеріал (експрес-курс). 11
Тема 1. Право у системі соціальних норм. 11
Тема 2. Система права: основні галузі, інститути, відносини. 22
Тема 3. Джерела права. 26
Тема 4. Правові акти. 28
Тема 5. Правовідносини. 32
Тема 6. Правопорушення. 36
Тема 7. Конституція Російської Федерації. 39
Тема 8. Публічне та приватне право. 50
Тема 9. Юридична відповідальність та її види. 51
Тема 10. Основні поняття та норми державного, адміністративного, цивільного, трудового та кримінального права в Російській Федерації. 57
Тема 11 Правові основишлюбу та сім'ї. 96
Тема 12. Міжнародні документи з правами людини. 106
Тема 13. Система судового захисту правами людини. 109
Тема 14. Основи конституційного устрою Російської Федерації. 112
Тема 15. Федерація, її суб'єкти. 116
Тема 16. Законодавча, виконавча та судова влада в Російській Федерації. 122
Тема 17. Інститут президентства. 135
Тема 18. Правоохоронці. 140
Тема 19. Міжнародний захист прав людини в умовах мирного та воєнного часу. 144
Тема 20. Правова культура. 150
Тренувальні завдання. 157
Частина 1(A). 157
Частина 2(В). 169
Частина 3(C). 178
Відповіді на тренувальні завдання. 181
Частина 1(A). 181
Частина 1(B). 183
Частина 3(C). 184
Література 190
Безкоштовно завантажити електронну книгуу зручному форматі, дивитися та читати:
Скачати книгу Суспільствознавство - Експрес-репетитор для підготовки до ЄДІ - Право - Баранов П.А., Воронцов А.В. - fileskachat.com, швидке та безкоштовне скачування.
Завантажити pdf
Нижче можна купити цю книгу по кращою ціноюзі знижкою з доставкою по всій Україні.
§ 1. ВТРАЧЕНІ І ПОБОРОНІ КОРОНІ ПРИ РІШЕННІ РІВНЯНЬ (НА ПРИКЛАДАХ)
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ
1. У двох теоремах § 3 глави VII йшлося про те, які дії над рівняннями не порушують їх рівносильності.
2. Розглянемо тепер такі операції над рівняннями, які можуть призвести до нового рівняння, нерівносильного вихідного рівняння. Замість загальних міркувань обмежимося розглядом лише конкретних прикладів.
3. Приклад 1. Дане рівняння Розкриємо дужки в даному рівнянні, перенесемо всі члени ліву частинуі розв'яжемо квадратне рівняння. Його корінням є
Якщо скоротити обидві частини рівняння на загальний множник, то вийде рівняння, яке нерівносильне початковому, тому що має всього один корінь.
Таким чином, скорочення обох частин рівняння на множник, що містить невідоме, може призвести до втрати коренів рівняння.
4. Приклад 2. Дане рівняння Дане рівняння має єдиний корінь Зведемо обидві частини цього рівняння квадрат, отримаємо Розв'язуючи це рівняння, знайдемо два корені:
Вбачаємо, що нове рівняння нерівносильне вихідному рівнянню Корінь є коренем рівняння, яке після зведення в квадрат обох частин призводить до рівняння
5. Стороннє коріння може з'явитися також при множенні обох частин рівняння на множник, що містить невідоме, якщо цей множник при дійсних значеннях звертається в нуль.
Приклад 3. Якщо обидві частини рівняння помножимо на те отримаємо нове рівняння, яке після перенесення члена з правої частини в ліву і розкладання на множники дає рівняння звідки або
Корінь не задовольняє рівняння, яке має єдиний корінь
Звідси робимо висновок: при зведенні обох частин рівняння квадрат (взагалі в парний ступінь), а також при множенні на множник, що містить невідоме і звертається в нуль при дійсних значеннях невідомого, можуть з'являтися сторонні корені.
Всі міркування, висловлені тут з питання про втрату і появу сторонніх коренів рівняння, однаково ставляться до будь-яких рівнянь (алгебраїчним, тригонометричним та ін.).
6. Рівняння називається алгебраїчним, якщо в ньому над невідомим виконуються тільки алгебраїчні операції - додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь та вилучення кореня з натуральним показником (причому кількість таких операцій кінцева).
Так, наприклад, рівняння
є алгебраїчними, а рівняння
Тема тригонометричних рівнянь починається зі шкільної лекції, яка будується у вигляді евристичної розмови. На лекції розглядається теоретичний матеріал та зразки вирішення всіх типових завдань за планом:
- Найпростіші тригонометричні рівняння.
- Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
- Однорідні рівняння.
На наступних уроках починається самостійне відпрацювання навичок, засноване на застосуванні принципу спільної діяльності вчителя та учня. Спочатку встановлюються мети учнів, тобто. визначається, хто хоче знати не більше того, що вимагається державним стандартом, а хто готовий займатися більше.
Підсумкова діагностика створюється з урахуванням рівневої диференціації, що дозволяє учням усвідомлено визначати той мінімум знань, необхідний отримання оцінки “3”. Виходячи з цього, відбираються різнорівневі матеріали для діагностики знань учнів. Така робота дозволяє здійснити індивідуальний підхід до учнів, включити кожного до усвідомленої навчальної діяльності, формувати навички самоорганізованості та самонавчання, забезпечувати перехід до активного, самостійного мислення.
Семінар проводиться після відпрацювання основних навичок розв'язання тригонометричних рівнянь. За кілька уроків до семінару учням подаються питання, які розглядатимуться на ньому.
Семінар складається із трьох частин.
1. У вступній частині розглядається весь теоретичний матеріал, включаючи знайомство з проблемами, які виникнуть при вирішенні складних рівнянь.
2. У другій частині розглядаються рішення рівнянь виду:
- а cosx + bsinx = c.
- a(sinx+cosx)+bsin2x+c=0.
- рівняння, розв'язувані через зниження ступеня.
У цих рівняннях застосовуються універсальна підстановка, формули зниження ступеня, спосіб допоміжного аргументу.
3. У третій частині розглядаються проблеми втрати коренів та придбання сторонніх коренів. З'являється, як треба відбирати коріння.
Учні працюють у групах. Для вирішення прикладів викликаються добре підготовлені хлопці, які можуть показати та пояснити матеріал.
Семінар розрахований добре підготовленого учня, т.к. на ньому розглядаються питання дещо виходять за рамки програмного матеріалу. У нього включені рівняння складнішого виду, і особливо розглядаються проблеми, що виникають під час вирішення складних тригонометричних рівнянь.
Семінар проводився для учнів 10 – 11 класів. Кожен учень отримав можливість розширити і поглибити свої знання з цієї теми, порівняти рівень своїх знань не лише з вимогами, що висуваються до випускника школи, але й з вимогами, що пред'являються вступникам В.У.З.
СЕМІНАР
Тема:"Рішення тригонометричних рівнянь"
Цілі:
- Узагальнити знання у вирішенні тригонометричних рівнянь всіх типів.
- Загострити увагу до проблемах: втрата коріння; стороннє коріння; відбір коренів.
ХІД УРОКУ.
I. Вступна частина
1. Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
- Розкладання на множники.
- Введення нової змінної.
- Функціонально-графічний метод.
2. Деякі типи тригонометричних рівнянь.
- Рівняння, що зводяться до квадратним рівняннямщодо cos х = t, sin х = t.
Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.
Вирішуються шляхом введення нової змінної.
- Однорідні рівняння першого та другого ступеня
Рівняння першого ступеня: Asinx + Bcosx = 0 розділимо на cos x, отримаємо Atg x + B = 0
Рівняння другого ступеня: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 розділимо на cos 2 x, отримаємо Atg 2 x + Btgx + C = 0
Вирішуються методом розкладання на множники та методом введення нової змінної.
Застосовні усі методи.
- Зниження ступеня:
1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.
Вирішуються шляхом розкладання на множники.
2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.
- Рівняння виду: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.
Зводяться до квадратних щодо t = sinx + cosx; sin2x = t 2 - 1.
3. Формули.
х + 2 n; Перевірка є обов'язковою!
- Зниження ступеня: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
- Метод допоміжного аргументу.
Acosx + Bsinx замінимо Csin (x + ), де sin = а/С; cos = в/З;
- Допоміжний аргумент.
4. Правила.
- Побачив квадрат – знижуй рівень.
- Побачив твір – роби суму.
- Побачив суму – роби твір.
5. Втрата коріння, зайве коріння.
- Втрата коріння: ділимо на g(х); небезпечні формули (універсальна підстановка). Цими операціями звужуємо область визначення.
- Зайві коріння: зводимо в парний ступінь; множимо на g(х) (позбавляємося від знаменника). Цими операціями розширюємо область визначення.
ІІ. Приклади тригонометричних рівнянь
1. Рівняння виду Asinx + Bcosx = C
1) Універсальна подстановка.О.Д.З. х – будь-яке.
3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0.
tgx = u. х /2 + n;
u = - 1/3.
tg x = -1/3, x = arctg (-1/3) + k, k Z.
Перевірка: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1 = 3 sin + cos + 1 = 0 - 1 + 1 = 0.
х = /2 + n, n е Z. Є коренем рівняння.
Відповідь: x = arctg(-1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.
2) Функціонально-графічний метод. О.Д.З. х – будь-яке.
Sinx - cosx = 1
Sinx=cosx+1.
Побудуємо графіки функцій: y = sinx, y = cosx +1.
Відповідь:х = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.
3) Запровадження допоміжного аргументу. О.Д.З.: х – будь-яке.
8cosx + 15 sinx = 17.
8/17 cosx + 15/17 sinx=1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то існує таке, що sin = 8/17,
cos = 15/17, отже sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.
Відповідь: x = / 2 + 2n -, x = / 2 + 2n - arcsin 8/17, n Z.
2. Зниження порядку: Acos2x+Bsin2x=C. Acos2x+Bcos2x=C.
1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – будь-яке.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x=0, cos3x=0, cosx=0.
Відповідь: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.
| При | k = 1 та m = 0 k = 4 та m = 1. |
серії збігаються. |
3. Зведення до однорідного. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – будь-яке.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 х = 0 (1) ділити на cos 2 х не можна, оскільки втрачаємо коріння.
cos 2 х = 0 задовольняє рівняння.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = -1/3 x = -/6 + n, n Z.
Відповідь: x = /2 + k, k Z., x = -/6 + n, n Z
4. Рівняння виду: А(sinx + cosx) + sin2x + С = 0.
1). 4 + 2sin2x - 5 (sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х - будь-яке.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 - 1.
4 + 2t 2 - 2 - 5t = 0, | t | <
2
2 t 2 - 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = Ѕ.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin (x + / 2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (-1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.
Відповідь: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.
5. Розкладання на множники.
1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx - 2) (cosx + 2 sinx) = 0.
1) сosx = 2, коріння немає.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0
Відповідь: x = arctg(1/2) + n, n Z.
ІІІ. Проблеми, що виникають при вирішенні тригонометричних рівнянь
1. Втрата коріння: ділимо на g(х); застосовуємо небезпечні формули.
1) Знайдіть помилку.
1 - сosx = sinx * sinx / 2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 розділимо на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х / 2 = 2 n, x = 4n, n "Z.
Втратили коріння sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.
Правильне рішення: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.
| sin 2 х/2 = 0 x=2k, kZ. |
1 - сosx /2 = 0 x = 4p n, n Z. |
2. Стороннє коріння: звільняємося від знаменника; зводимо у парний ступінь.
1). (sin4x - sin2x - сos3x + 2sinx - 1) : (2sin2x - 3) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.
2сos3х sinx - сos3x + 2sinx - 1 = 0
(Сos3x + 1) (2sinx - 1) = 0
| 1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z. |
2). 2sinx - 1 = 0 x = (-1) k / 6 + k, k Z. |
| I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 sin 2/3 = 3/2 не задовольняють. О.Д.З. 2. n = 1 3. n = 2 |
ІІ. x = (-1) k /6 + k, k Z 1. k = 0 sin 2/6 = 3/2 не задовольняють О.Д.З. 2. k = 1 sin 2 * 5/6 = -3 / 2 задовольняють О.Д.З. |
Відповідь: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0
Найчастіше під час вирішення рівнянь використовуються такі перетворення:
Інші перетворення
У представлений у попередньому пункті список ми навмисно не включили такі перетворення, як зведення обох частин рівняння в той самий натуральний ступінь, логарифмування, потенціювання обох частин рівняння, вилучення кореня одного ступеня з обох частин рівняння, звільнення від зовнішньої функціїта інші. Справа в тому, що ці перетворення не настільки загальні: перетворення з наведеного вище списку використовуються при вирішенні рівнянь всіх видів, а тільки що згадані перетворення - для вирішення певних видів рівнянь (ірраціональних, показових, логарифмічних і т.д.). Вони докладно розглянуті у межах відповідних методів розв'язання відповідних видів рівнянь. Ось посилання на їх детальний опис:
- Зведення обох частин рівняння в один і той же натуральний ступінь.
- Логарифмування обох частин рівняння.
- Потенціювання обох частин рівняння.
- Вилучення кореня однієї й тієї ж ступеня з обох частин рівняння.
- Заміна виразу, що відповідає одній з частин вихідного рівняння, виразом з іншої частини вихідного рівняння.
Наведені посилання містять вичерпну інформацію щодо перерахованих перетворень. Тому на них у цій статті ми більше не зупинятимемося. Вся наступна інформація відноситься до перетворень зі списку основних перетворень.
Що виходить у результаті перетворення рівняння?
Проведення всіх перерахованих вище перетворень може дати або рівняння, що має те ж коріння, що і вихідне рівняння, або рівняння, серед коренів якого містяться всі коріння вихідного рівняння, але яке може мати ще й інше коріння, або рівняння, серед коренів якого будуть не всі коріння перетвореного рівняння. У наступних пунктах ми розберемо, які з цих перетворень під час яких умов до яких рівнянь приводять. Це дуже важливо знати для успішного розв'язання рівнянь.
Рівносильні перетворення рівнянь
Особливий інтерес представляють перетворення рівнянь, що дають в результаті їх проведення рівносильні рівняння, тобто, рівняння, що мають таку ж безліч коренів, що й вихідне рівняння. Такі перетворення називають рівносильними перетвореннями. У шкільних підручниках відповідне визначення не наводиться у явному вигляді, але воно легко читається з контексту:
Визначення
Рівносильні перетворення рівнянь- Це перетворення, що дають рівносильні рівняння.
Тож чим цікаві рівносильні перетворення? Тим, що якщо з їх допомогою вдасться прийти від рівняння, що вирішується, до досить простого рівносильного рівняння, то рішення цього рівняння дасть шукане рішення вихідного рівняння.
З перелічених у попередньому пункті перетворень в повному обсязі завжди рівносильними. Деякі перетворення є рівносильними лише за певних умов. Складемо список тверджень, які визначають, які перетворення та за яких умов є рівносильними перетвореннями рівняння. Для цього за основу візьмемо наведений вище список і до перетворень, які не завжди рівносильні, додамо умови, що надають їм рівносильності. Ось цей список:
- Заміна виразу в лівій або правій частині рівняння виразом, при якій не змінюється змінних для рівняння, є рівносильним перетворенням рівняння.
Пояснимо, чому це так. Для цього візьмемо рівняння з однією змінною (аналогічні міркування можна провести і для рівнянь з декількома змінними) виду A(x)=B(x) , вирази у його лівій та правій частині ми позначили як A(x) та B(x) відповідно . Нехай вираз C(x) тотожно дорівнює виразу A(x) , причому ОДЗ змінної x рівняння C(x)=B(x) збігається з ОДЗ змінною x для вихідного рівняння. Доведемо, що перетворення рівняння A(x)=B(x) на рівняння C(x)=B(x) є рівносильним перетворенням, тобто, доведемо, що рівняння A(x)=B(x) і C(x) =B(x) рівносильні.
Для цього достатньо показати, що будь-який корінь вихідного рівняння є коренем рівняння C(x)=B(x), а будь-який корінь рівняння C(x)=B(x) є коренем вихідного рівняння.
Почнемо із першої частини. Нехай q - корінь рівняння A (x) = B (x), тоді при підстановці його замість x ми отримаємо правильну числову рівність A (q) = B (q). Так як вирази A(x) і C(x) тотожно рівні і вираз C(q) має сенс (це випливає з умови про те, що ОДЗ для рівняння C(x)=B(x) збігається з ОДЗ для вихідного рівняння) , то справедливо числову рівність A(q) = C(q). Далі використовуємо властивості числових рівностей. З огляду на властивості симетричності рівність A(q)=C(q) можна переписати як C(q)=A(q) . Тоді з властивості транзитивності з рівностей C(q)=A(q) і A(q)=B(q) слід рівність C(q)=B(q) . Цим доведено, що q – корінь рівняння C(x) = B(x).
Абсолютно аналогічно доводиться і друга частина, а водночас і всі твердження загалом.
Суть розібраного рівносильного перетворення полягає в наступному: воно дозволяє окремо працювати з виразами у лівій та правій частині рівнянь, замінюючи їх тотожно рівними виразами на вихідній ОДЗ змінних.
Найбанальніший приклад: ми можемо замінити суму чисел у правій частині рівняння x=2+1 її значенням, у своїй вийде рівносильне рівняння виду x=3 . Справді, ми замінили вираз 2+1 тотожно рівним йому виразом 3 і при цьому не змінилася ОДЗ рівняння. Ще приклад: у лівій частині рівняння 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 ми можемо , а правій – , що призведе нас до рівносильного рівняння 3·x+6=5·x+ 3 . Отримане рівняння справді є рівносильним, оскільки ми заміняли вирази тотожно рівними їм виразами і навіть отримали рівняння, має ОДЗ, що збігається з ОДЗ для вихідного рівняння.
- Додаток до обох частин рівняння однієї й тієї числа чи віднімання з обох частин рівняння однієї й тієї числа є рівносильне перетворення рівняння.
Доведемо, що додаток до обох частин рівняння A(x)=B(x) одного й того ж числа c дає рівносильне рівняння A(x)+c=B(x)+c і що віднімання з обох частин рівняння A(x) =B(x) одного й того числа c дає рівносильне рівняння A(x)−c=B(x)−c .
Нехай q – корінь рівняння A(x)=B(x) тоді справедлива рівність A(q)=B(q) . Властивості числових рівностей нам дозволяють додавати до обох частин правильної числової рівності або віднімати з її частин одне й те саме число. Позначимо це число як c тоді справедливі рівності A(q)+c=B(q)+c і A(q)−c=B(q)−c . З цих рівностей випливає, що q – корінь рівняння A(x)+c=B(x)+c та рівняння A(x)−c=B(x)−c .
Тепер назад. Нехай q – корінь рівняння A(x)+c=B(x)+c та рівняння A(x)−c=B(x)−c тоді A(q)+c=B(q)+c та A (q)−c=B(q)−c. Ми знаємо, що віднімання однієї й тієї ж числа з обох частин правильної числової рівності дає правильну числову рівність. Також ми знаємо, що додаток до обох частин правильної числової рівності дає правильну числову рівність. Віднімемо з обох частин правильної числової рівності A(q)+c=B(q)+c число з , а до обох частин рівності A(x)−c=B(x)−c додамо число c . Це нам дасть вірні числові рівності A(q)+c−c=B(q)+c−c та A(q)−c+c=B(q)+c−c , звідки укладаємо, що A(q) = B (q). З останньої рівності слід, що q – корінь рівняння A(x)=B(x) .
Так доведено вихідне твердження загалом.
Наведемо приклад такого перетворення рівнянь. Візьмемо рівняння x−3=1 і перетворимо його, додавши до його обох частин число 3 , після цього ми отримаємо рівняння x−3+3=1+3 , яке рівнозначне вихідному. Зрозуміло, що в отриманому рівнянні можна виконати дії з числами, про що ми говорили в попередньому пункті списку, маємо рівняння x=4 . Так, виконуючи рівносильні перетворення, ми ненароком вирішили рівняння x−3=1 , його корінь – це число 4 . Розглянуте рівносильне перетворення дуже часто використовується для позбавлення від однакових числових доданків, що знаходяться в різних частинахрівняння. Наприклад, і в лівій, і в правій частинахрівняння x 2 +1=x+1 присутній однаковий доданок 1 віднімання з обох частин рівняння числа 1 дозволяє перейти до рівносильного рівняння x 2 +1−1=x+1−1 і далі до рівносильного рівняння x 2 =x , і тим самим позбутися цих однакових доданків.
- Додавання до обох частин рівняння або віднімання з обох частин рівняння виразу, ОДЗ для якого вже не є, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, є рівносильним перетворенням.
Доведемо це твердження. Тобто доведемо, що рівняння A(x)=B(x) і A(x)+C(x)=B(x)+C(x) рівносильні за умови, що ОДЗ для вираження C(x) не вже , ніж ОДЗ рівняння A(x)=B(x) .
Спочатку доведемо один допоміжний момент. Доведемо, що за зазначених умов ОДЗ рівнянь до та після перетворення однакові. Дійсно, ОДЗ для рівняння A(x)+C(x)=B(x)+C(x) можна розглядати як перетин ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) та ОДЗ для виразу C(x) . З цього і з того, що ОДЗ для вираження С(x) за умовою не вже, ніж ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) , слідує, що ОДЗ для рівнянь A(x)=B(x) та A (x) + C (x) = B (x) + C (x) однакові.
Тепер доведемо рівносильність рівнянь A(x)=B(x) та A(x)+C(x)=B(x)+C(x) за умови, що області допустимих значень для цих рівнянь однакові. Доказ рівносильності рівнянь A(x)=B(x) і A(x)−C(x)=B(x)−C(x) за вказаної умови наводити не будемо, оскільки він аналогічний.
Нехай q – корінь рівняння A(x)=B(x) тоді справедлива числова рівність A(q)=B(q) . Оскільки ОДЗ рівнянь A(x)=B(x) і A(x)+C(x)=B(x)+C(x) однакові, то вираз C(x) має сенс при x=q , отже, C(q) – це кілька. Якщо додати C(q) до обох частин правильної числової рівності A(q)=B(q) , то це дасть правильну числову нерівність A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , з якої слід, що q – корінь рівняння A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .
Назад. Нехай q – корінь рівняння A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тоді A(q)+C(q)=B(q)+C(q) – правильна числова рівність. Ми знаємо, що віднімання однієї й тієї ж числа з обох частин правильної числової рівності дає правильну числову рівність. Віднімемо C(q) з обох частин рівності A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , це дає A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)і далі A(q)=B(q) . Отже, q - корінь рівняння A (x) = B (x).
Так твердження, що розглядається, повністю доведено.
Наведемо приклад проведення цього перетворення. Візьмемо рівняння 2 x + 1 = 5 x 2 . Ми можемо додати до його обох частин, наприклад вираз −x−1 . Додавання цього виразу не змінить ОДЗ, отже, таке перетворення є рівносильним. В результаті його проведення отримаємо рівносильне рівняння 2·x+1+(−x−1)=5·x+2+(−x−1). Це рівняння можна перетворити далі: розкрити дужки та виконати приведення подібних доданків у його лівій та правій частині (див. перший пункт списку). Після виконання цих дій отримаємо рівносильне рівняння x = 4 x + 1 . Перетворення рівнянь, що часто розглядається, застосовується для позбавлення від однакових доданків, що знаходяться одночасно в лівій і правій частині рівняння.
- Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши знак цього доданка на протилежний, то вийде рівняння, що дорівнює даному.
Це твердження є наслідком попередніх.
Покажемо, як проводиться це рівносильне перетворення рівняння. Візьмемо рівняння 3·x−1=2·x+3 . Перенесемо доданок, наприклад, 2 x з правої частини в ліву, змінивши його знак. При цьому отримаємо рівносильне рівняння 3 x-1-2 x = 3 . Ще можна перенести мінус одиницю з лівої частини рівняння в праву, змінивши знак на плюс: 3·x−2·x=3+1 . Нарешті, приведення подібних доданків призводить до рівносильного рівняння x=4 .
- Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме відмінне від нуля число є рівносильним перетворенням.
Наведемо доказ.
Нехай A(x)=B(x) – деяке рівняння і c – деяке число, відмінне від нуля. Доведемо, що множення чи розподіл обох частин рівняння A(x)=B(x) число c є рівносильним перетворенням рівняння. Для цього доведемо, що рівняння A(x)=B(x) та A(x)·c=B(x)·c , а також рівняння A(x)=B(x) та A(x):c= B(x):c - рівносильні. Це можна зробити так: довести, що будь-який корінь рівняння A(x)=B(x) є коренем рівняння A(x)·c=B(x)·c та коренем рівняння A(x):c=B(x) :c , після чого довести, що будь-який корінь рівняння A(x)·c=B(x)·c , як і будь-який корінь рівняння A(x):c=B(x):c є коренем рівняння A(x) = B (x). Зробимо це.
Нехай q – корінь рівняння A(x)=B(x). Тоді справедлива числова рівність A(q) = B(q). Вивчивши властивості числових рівностей, ми довідалися, що множення чи розподіл обох частин правильної числової рівності одне й те саме число, відмінне від нуля, призводить до правильному числової рівності. Помноживши обидві частини рівності A(q)=B(q) на c отримаємо правильну числову рівність A(q)·c=B(q)·c , з якої випливає, що q – корінь рівняння A(x)·c= B(x)·c . А розділивши обидві частини рівності A(q)=B(q) на c отримаємо правильну числову рівність A(q):c=B(q):c , з якої випливає, що q – корінь рівняння A(x):c = B (x): c.
Тепер у інший бік. Нехай q - корінь рівняння A (x) · c = B (x) · c. Тоді A(q)·c=B(q)·c – правильна числова рівність. Розділивши його обидві частини на відмінне від нуля число c отримаємо правильну числову рівність A (q) · c: c = B (q) · c: c і далі A (q) = B (q) . Звідси випливає, що q – корінь рівняння A(x)=B(x) . Якщо q – корінь рівняння A(x): c=B(x): c. Тоді A(q):c=B(q):c – правильна числова рівність. Помноживши його обидві частини на відмінне від нуля число c отримаємо правильну числову рівність A(q):c·c=B(q):c·c і далі A(q)=B(q) . Звідси випливає, що q – корінь рівняння A(x)=B(x) .
Твердження доведене.
Наведемо приклад проведення цього перетворення. З його допомогою можна, наприклад, позбавитися дробів у рівнянні . І тому можна помножити обидві частини рівняння на 12 . В результаті вийде рівносильне рівняння виду 
, яке далі можна перетворити на рівносильне рівняння 7·x−3=10 , що не містить у своєму записі дробів.
- Множення або розподіл обох частин рівняння на один і той же вираз, ОДЗ для якого не вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння і не звертається в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння є рівносильним перетворенням.
Доведемо це твердження. Для цього доведемо, що якщо ОДЗ для вираження C(x) не вже, ніж ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) і C(x) не звертається в нуль на ОДЗ для рівняння A(x)=B( x) , то рівняння A(x)=B(x) та A(x)·C(x)=B(x)·C(x) , як і рівняння A(x)=B(x) та A( x): C (x) = B (x): C (x) - рівносильні.
Нехай q – корінь рівняння A(x)=B(x). Тоді A (q) = B (q) - правильна числова рівність. З того, що ОДЗ для виразу C(x) не є вже ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) випливає, що вираз C(x) має сенс при x=q . Отже, C(q) – це кілька. Причому C(q) на відміну від нуля, що з умови не звернення виразу C(x) в нуль. Якщо помножити обидві частини рівності A(q)=B(q) на відмінне від нуля число C(q) , це дасть правильне числове рівність A(q)·C(q)=B(q)·C(q) , з якого випливає, що q - корінь рівняння A (x) · C (x) = B (x) · C (x) . Якщо розділити обидві частини рівності A(q)=B(q) на відмінне від нуля число C(q) , це дасть правильне числове рівність A(q):C(q)=B(q):C(q) , з якого випливає, що q – корінь рівняння A (x): C (x) = B (x): C (x).
Назад. Нехай q - корінь рівняння A (x) · C (x) = B (x) · C (x) . Тоді A(q) · C (q) = B (q) · C (q) - правильна числова рівність. Зауважимо, що ОДЗ для рівняння A(x)·C(x)=B(x)·C(x) така сама, як ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) (це ми обґрунтували в одному з попередніх пунктів поточного списку). Оскільки C(x) за умовою не звертається на ОДЗ рівняння A(x)=B(x) в нуль, то C(q) – відмінне від нуля число. Розділивши обидві частини рівності A(q)·C(q)=B(q)·C(q) на відмінне від нуля число C(q) , отримаємо правильну числову рівність A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)і далі A(q)=B(q) . Звідси випливає, що q – корінь рівняння A(x)=B(x) . Якщо q - корінь рівняння A (x): C (x) = B (x): C (x). Тоді A (q): C (q) = B (q): C (q) - правильна числова рівність. Помноживши обидві частини рівності A(q):C(q)=B(q):C(q) на відмінне від нуля число C(q) , отримаємо правильну числову рівність A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)і далі A(q)=B(q) . Звідси випливає, що q – корінь рівняння A(x)=B(x) .
Твердження доведене.
Для наочності наведемо приклад проведення розібраного перетворення. Здійснимо поділ обох частин рівняння x 3 · (x 2 +1) = 8 · (x 2 +1) на вираз x 2 +1 . Це перетворення рівносильне, тому що вираз x 2 +1 не звертається в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння і ОДЗ цього виразу не вже ніж ОДЗ для вихідного рівняння. В результаті проведення цього перетворення отримаємо рівносильне рівняння x 3 · (x 2 +1): (x 2 +1) = 8 · (x 2 +1): (x 2 +1), яке можна далі перетворити на рівносильне рівняння x 3 =8 .
Перетворення, що призводять до рівнянь-наслідків
У попередньому пункті ми розібрали, які перетворення зі списку основних перетворень та за яких умов є рівносильними. Тепер подивимося, які з цих перетворень і за яких умов призводять до рівнянь-наслідків, тобто, до рівнянь, які містять усі корені рівняння, що перетворюється, але крім них можуть мати й інші корені – сторонні корені для вихідного рівняння.
Перетворення, що призводять до рівнянь-наслідків, потрібні не менше рівносильних перетворень. Якщо з допомогою вдасться отримати досить просте у плані рішення рівняння, його рішення і наступне відсіювання сторонніх коренів дасть рішення вихідного рівняння.
Зауважимо, що всі рівносильні перетворення можна вважати окремими випадками перетворень, які призводять до рівнянь-наслідків. Воно й зрозуміло, адже рівносильне рівняння є окремий випадокрівняння-наслідки. Але з практичної точки зору кориснішим є знання про те, що аналізоване перетворення саме рівносильне, а не призводить до рівняння-наслідку. Пояснимо, чому це так. Якщо ми знаємо, що перетворення є рівносильним, то отримане в результаті його рівняння точно не матиме коренів, сторонніх для вихідного рівняння. А перетворення, що веде до рівняння-наслідку, може бути причиною появи сторонніх коренів, що зобов'язує нас надалі проводити додаткову дію – відсіювання сторонніх коренів. Тому, у цьому пункті статті ми основну увагу зосередимо на перетвореннях, у результаті яких можуть виникнути сторонні коріння для вихідного рівняння. І дійсно важливо вміти відрізняти такі перетворення від рівносильних перетворень, щоб чітко розуміти, коли необхідно проводити відсіювання стороннього коріння, а коли це робити не обов'язково.
Проаналізуємо весь список основних перетворень рівнянь, наведений у другому пункті цієї статті, з метою пошуку перетворень, в результаті яких можуть з'явитися сторонні корені.
- Заміна виразів, що у лівої та правої частинах рівняння, тотожно рівними їм виразами.
Ми довели, що це перетворення є рівносильним, якщо за його проведення не змінюється ОДЗ. А якщо ОДЗ зміниться, що при цьому станеться? Звуження ОДЗ може спричинити втрату коріння, докладніше про це мова підеу наступному пункті. А при розширенні ОДЗ можуть з'явитися сторонні корені. Обґрунтувати це не складно. Наведемо відповідні міркування.
Нехай вираз C(x) такий, що він тотожно дорівнює виразу A(x) та ОДЗ для рівняння C(x)=B(x) ширше, ніж ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) . Доведемо, що рівняння C(x)=B(x) – це наслідок рівняння A(x)=B(x) , і серед коренів рівняння C(x)=B(x) може бути коріння, сторонні рівняння A( x) = B (x).
Нехай q – корінь рівняння A(x)=B(x). Тоді A (q) = B (q) - правильна числова рівність. Оскільки ОДЗ рівняння C(x)=B(x) ширше, ніж ОДЗ рівняння A(x)=B(x) , то вираз C(x) визначено при x=q . Тоді, враховуючи тотожну рівність виразів C(x) і A(x), укладаємо, що C(q) = A(q). З рівностей C(q)=A(q) і A(q)=B(q) з якості транзитивності випливає рівність C(q)=B(q) . З цього рівності випливає, що q – це корінь рівняння C(x)=B(x) . Це засвідчує, що з зазначених умов рівняння C(x)=B(x) є наслідком рівняння A(x)=B(x) .
Залишається довести, що рівняння C(x)=B(x) може мати коріння, відмінне від коренів рівняння A(x)=B(x) . Доведемо, що будь-який корінь рівняння C(x)=B(x) із ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) є коренем рівняння A(x)=B(x) . Шлях p – корінь рівняння C(x)=B(x) , що належить ОДЗ рівняння A(x)=B(x) . Тоді C(p)=B(p) – правильна числова рівність. Оскільки p належить ОДЗ рівняння A(x)=B(x) , то вираз A(x) визначено при x=p . З цього і тотожної рівності виразів A(x) і C(x) випливає, що A(p)=C(p) . З рівностей A(p)=C(p) і C(p)=B(p) з якості транзитивності слід, що A(p)=B(p) , отже, p – це корінь рівняння A(x)= B(x) . Цим доведено, що будь-який корінь рівняння C(x)=B(x) із ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) є коренем рівняння A(x)=B(x) . Інакше кажучи, на ОДЗ для рівняння A(x)=B(x) може бути коренів рівняння C(x)=B(x) , які є сторонніми корінням рівняння A(x)=B(x) . Але за умовою ОДЗ для рівняння C(x)=B(x) ширше, ніж ОДЗ рівняння A(x)=B(x) . І це допускає існування числа r , що належить ОДЗ рівняння C(x)=B(x) і належить ОДЗ рівняння A(x)=B(x) , є коренем рівняння C(x)=B(x) . Тобто, рівняння C(x)=B(x) може мати коріння, сторонні для рівняння A(x)=B(x) , причому всі вони належать тій множині, на яку розширюється ОДЗ для рівняння A(x)=B (x) при заміні у ньому виразу A(x) тотожно рівним йому виразом C(x) .
Отже, заміна виразів, що перебувають у лівій та правій частинах рівняння, тотожно рівними їм виразами, в результаті якої розширюється ОДЗ, загальному випадкупризводить до рівняння-наслідку (тобто може призвести до виникнення сторонніх коренів) і лише в окремому випадку призводить до рівносильного рівняння (у тому випадку, якщо отримане рівняння не матиме коренів, сторонніх для вихідного рівняння).
Наведемо приклад проведення розібраного перетворення. Заміна вираження у лівій частині рівняння 
тотожно рівним йому виразом x·(x−1) призводить до рівняння x·(x−1)=0 , при цьому відбувається розширення ОДЗ – до неї додається число 0 . Отримане рівняння має два корені 0 і 1 , причому підстановка цього коріння у вихідне рівняння показує, що 0 - це сторонній корінь для вихідного рівняння, а 1 - корінь вихідного рівняння. Справді, підстановка нуля у вихідне рівняння дає вираз, що не має сенсу. 
, тому що в ньому присутній розподіл на нуль, а підстановка одиниці дає правильну числову рівність 
, Що те саме 0 = 0 .
Зверніть увагу, що подібне перетворення схожого рівняння 
рівняння (x−1)·(x−2)=0 , у результаті якого теж розширюється ОДЗ, не призводить до появи сторонніх коренів. Дійсно, обидва корені отриманого рівняння (x−1)·(x−2)=0 - числа 1 і 2 є корінням вихідного рівняння, в чому легко переконатися шляхом перевірки підстановкою. Цими прикладами ми ще раз хотіли наголосити, що заміна виразу в лівій або правій частині рівняння тотожно рівним йому виразом, при якій розширюється ОДЗ, не обов'язково призводить до появи сторонніх коренів. Але може і спричиняти їх появу. Отже, якщо в процесі вирішення рівняння таке перетворення мало місце, то обов'язково потрібно проводити перевірку з метою виявлення та відсіювання сторонніх коренів.
Найбільш часто ОДЗ рівняння може розширитися і можуть з'явитися сторонні корені через заміну нулем різниці однакових виразів або суми виразів з протилежними знаками, Через заміни нулем творів з одним або декількома нульовими множниками, через скорочення дробів і через використання властивостей коренів, ступенів, логарифмів і т.д.
- Додаток до обох частин рівняння однієї й тієї числа чи віднімання з обох частин рівняння однієї й тієї числа.
Вище ми показали, що це перетворення завжди рівносильне, тобто призводить до рівносильного рівняння. Йдемо далі.
- Додавання до обох частин рівняння одного й того ж виразу або віднімання з обох частин рівняння одного й того самого виразу.
У попередньому пункті ми додали умову про те, що ОДЗ для виразу, що додається або віднімається, повинна бути не вже, ніж ОДЗ для рівняння, що перетворюється. Ця умова зробила аналізоване перетворення рівносильним. Тут мають місце міркування, аналогічні міркуванням, наведеним на початку цього пункту статті щодо того, що рівносильне рівняння – це окремий випадок рівняння-наслідку і що знання про рівносильність перетворення практично корисніше знання про це саме перетворення, але з позицій того, що воно призводить до рівняння-наслідку.
А чи може в результаті додавання одного і того ж виразу або віднімання одного і того ж виразу з обох частин рівняння вийти рівняння, яке крім усіх коренів вихідного рівняння матиме якесь ще коріння? Ні не може. Якщо ОДЗ для виразу, що додається або віднімається, не вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, то в результаті додавання або віднімання вийде рівносильне рівняння. Якщо ж ОДЗ для виразу, що додається або віднімається, буде вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, то це може призвести до втрати коренів, а не до появи сторонніх коренів. Докладніше про це поговоримо у наступному пункті.
- Перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої зі знаком, зміненим на протилежний.
Це перетворення рівняння завжди рівносильне. Тому немає сенсу розглядати його як перетворення, що веде до рівняння-наслідку, з озвучених вище причин.
- Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме число.
У попередньому пункті ми довели, що якщо множення чи розподіл обох частин рівняння проводиться на відмінне від нуля число, це є рівносильним перетворенням рівняння. Тому, знову ж таки, немає говорити про нього, як про перетворення, що веде до рівняння-наслідку.
Але тут варто звернути увагу на застереження про відмінність від нуля числа, на яке проводиться множення або поділ обох частин рівняння. Для поділу це застереження зрозуміле – з початкових класівми зрозуміли, що на нуль ділити не можна. А навіщо це застереження для множення? Давайте поміркуємо, до чого призведе збільшення обох елементів рівняння на нуль. Для наочності візьмемо конкретне рівняння, наприклад, 2 x + 1 = x + 5 . Це лінійне рівняння , що має єдине коріння, яким є число 4 . Запишемо рівняння, яке вийде при множенні обох частин цього рівняння на нуль: (2 x 1) 0 = (x 5) 0 . Очевидно, коренем цього рівняння є будь-яке число, адже при підстановці цього рівняння замість змінної x будь-якого числа виходить вірна числова рівність 0=0 . Тобто, у нашому прикладі множення обох частин рівняння на нуль призвело до рівняння-наслідку, що стало причиною появи нескінченної множини сторонніх коренів для вихідного рівняння. Причому варто зауважити, що в цьому випадку звичайні способи відсіювання сторонніх коренів не справляються зі своїм завданням. Значить, виконане перетворення марно на вирішення вихідного рівняння. І це типова ситуація для аналізованого перетворення. Саме тому таке перетворення, як множення обох частин рівняння на нуль, не використовується на вирішення рівнянь. Це перетворення та інші перетворення, які не слід використовувати для вирішення рівнянь, ми ще маємо розібрати в останньому пункті.
- Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме вираз.
У попередньому пункті ми довели, що це перетворення є рівносильним у виконанні двох умов. Нагадаємо їх. Перша умова: ОДЗ для цього виразу має бути не вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння. Друга умова: вираз, на який проводиться множення або поділ, не повинен звертатися в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння.
Давайте змінимо першу умову, тобто вважатимемо, що ОДЗ для виразу, на яке планується множення або розподіл обох частин рівняння, вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння. В результаті проведення такого перетворення буде отримано рівняння, ОДЗ для якого буде вже ніж ОДЗ для вихідного рівняння. Такі перетворення можуть призвести до втрати коріння, про них ми говоритимемо в наступному пункті.
А що буде, якщо прибрати другу умову про не звернення в нуль значень виразу, на яке проводиться множення або поділ обох частин рівняння, на ОДЗ для вихідного рівняння?
Розподіл обох частин рівняння на те саме вираз, що звертається в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння, призведе до рівняння, ОДЗ якого буде вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння. Дійсно, адже з неї випадуть числа, що перетворюють на нуль вираз, на який було проведено поділ. Це може призвести до втрати коріння.
А як справи з множенням обох частин рівняння на те саме вираз, що звертається в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння? Можна показати, що при множенні обох частин рівняння A(x)=B(x) на вираз C(x) , ОДЗ для якого не вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, яке звертається в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння, виходить рівняння -наслідок, яке крім всіх коренів рівняння A(x)=B(x) може мати й інші корені. Зробимо це, тим більше, що цей пункт статті якраз присвячений перетворенням, що призводять до рівнянь-наслідків.
Нехай вираз C(x) такий, що ОДЗ йому вже, ніж ОДЗ рівняння A(x)=B(x) , і він звертається на нуль на ОДЗ рівняння A(x)=B(x) . Доведемо, що при цьому рівняння A(x)·C(x)=B(x)·C(x) є наслідком рівняння A(x)=B(x) .
Нехай q – корінь рівняння A(x)=B(x). Тоді A (q) = B (q) - правильна числова рівність. Оскільки ОДЗ для виразу C(x) вже, ніж ОДЗ рівняння A(x)=B(x) , то вираз C(x) визначено при x=q , отже, C(q) – це кілька. Примноження обох частин правильної числової рівності на будь-яке число дає правильну числову рівність, тому A(q)·C(q)=B(q)·C(q) - правильна числова рівність. Значить q - корінь рівняння A (x) · C (x) = B (x) · C (x). Цим доведено, що будь-який корінь рівняння A(x)=B(x) є коренем рівняння A(x)·C(x)=B(x)·C(x) , звідки випливає, що рівняння A(x)·C (x) = B (x) · C (x) є наслідок рівняння A (x) = B (x) .
Зауважимо, що за зазначених умов рівняння A(x)·C(x)=B(x)·C(x) може мати коріння, сторонні для вихідного рівняння A(x)=B(x) . Ними є всі такі числа з ОДЗ для вихідного рівняння, які перетворюють вираз C(x) у нуль (усі числа, що перетворюють на нуль вираз C(x) є корінням рівняння A(x)·C(x)=B(x)· C(x) , оскільки їх підстановка в зазначене рівняння дає правильну числову рівність 0=0 ), але які є корінням рівняння A(x)=B(x) . Рівняння A(x)=B(x) та A(x)·C(x)=B(x)·C(x) за вказаних умов будуть рівносильними тоді, коли всі числа з ОДЗ для рівняння A(x)=B (x) , що обертають в нуль вираз C(x) є корінням рівняння A(x)=B(x) .
Отже, множення обох частин рівняння на один і той же вираз, ОДЗ для якого не вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, і яке звертається в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння, в загальному випадку призводить до рівняння-наслідку, тобто може призвести до появи сторонніх коренів.
Наведемо приклад для ілюстрації. Візьмемо рівняння x+3=4. Його єдиним коренем є число 1 . Помножимо обидві частини цього рівняння на те саме вираз, що обертається в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння, наприклад, на x·(x−1) . Цей вираз перетворюється на нуль при x=0 і x=1 . Збільшення обох частин рівняння на цей вираз дасть нам рівняння (x+3)·x·(x−1)=4·x·(x−1). Отримане рівняння має два корені: 1 та 0 . Число 0 – це сторонній корінь для вихідного рівняння, що виник у результаті проведеного перетворення.
Перетворення, проведення яких може призвести до втрати коріння
Деякі перетворення з певних умов можуть призвести до втрати коріння. Наприклад, при розподілі обох частин рівняння x·(x−2)=x−2 на те саме вираз x−2 відбувається втрата кореня. Дійсно, в результаті проведення такого перетворення виходить рівняння x=1 з єдиним коренем, яким є число 1 а вихідне рівняння має два корені 1 і 2 .
Потрібно чітко розуміти, коли відбувається втрата коренів у результаті проведення перетворень, щоб у вирішенні рівнянь не втрачати коріння. Давайте розбиратися із цим.
В результаті проведення зазначених перетворень втрата коренів може статися тоді і тільки тоді, коли ОДЗ для перетвореного рівняння виявляється вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння.
Для підтвердження цього твердження необхідно довести два момента. По-перше, треба довести, що й у результаті проведення зазначених перетворень рівняння звужується ОДЗ, може статися втрата коренів. І, по-друге, треба довести, що й у результаті проведення зазначених перетворень відбувається втрата коренів, то ОДЗ для отриманого рівняння вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння.
Якщо ОДЗ для рівняння, отриманого в результаті перетворення, вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, то, природно, жоден корінь вихідного рівняння, що знаходиться поза ОДЗ для отриманого рівняння, не може бути коренем рівняння, отриманого в результаті перетворення. Отже, все це коріння буде втрачено при переході від вихідного рівняння до рівняння, ОДЗ для якого вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння.
Тепер назад. Доведемо, що у результаті проведення зазначених перетворень відбувається втрата коренів, то ОДЗ для отриманого рівняння вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння. Це можна зробити шляхом протилежного. Припущення про те, що внаслідок проведення зазначених перетворень відбувається втрата коріння, але не звужується ОДЗ, суперечить твердженням, доведеним у попередніх пунктах. Справді, з цих тверджень випливає, що якщо при проведенні зазначених перетворень не звужується ОДЗ, то виходять або рівносильні рівняння чи рівняння-наслідки, отже, не може відбуватися втрата коріння.
Отже, причиною можливої втрати коріння під час проведення основних перетворень рівнянь виступає звуження ОДЗ. Зрозуміло, що, вирішуючи рівняння, ми не повинні втрачати коріння. Тут, природно, виникає питання: «Що ж робити, щоб не втрачати коріння під час перетворення рівнянь»? Відповімо на нього у наступному пункті. А зараз давайте пробіжимося по списку основних перетворень рівнянь, щоб детальніше подивитися, які перетворення можуть призвести до втрати коріння.
- Заміна виразів, що у лівої та правої частинах рівняння, тотожно рівними їм виразами.
Якщо замінити вираз у лівій чи правій частині рівняння тотожно рівним виразом, ОДЗ для якого вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, це призведе до звуження ОДЗ, і через це можуть бути втрачені коріння. Найчастіше до звуження ОДЗ і, як наслідок, до можливої втрати коренів призводять заміни виразів у лівій чи правій частині рівнянь тотожно рівними їм виразами, що проводяться на базі деяких властивостей коренів, ступенів, логарифмів та деяких тригонометричних формул. Наприклад, заміна виразу в лівій частині рівняння тотожно рівним їй виразом, звужує ОДЗ і призводить до втрати кореня -16. Аналогічно, заміна виразу в лівій частині рівняння тотожно рівним йому виразом призводить до рівняння , ОДЗ для якого вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, що тягне за собою втрату кореня −3 .
- Додаток до обох частин рівняння однієї й тієї числа чи віднімання з обох частин рівняння однієї й тієї числа.
Це перетворення рівносильне, тому, при його проведенні не може бути втрачено коріння.
- Додавання до обох частин рівняння одного й того ж виразу або віднімання з обох частин рівняння одного й того самого виразу.
Якщо додати або відняти вираз, ОДЗ якого вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, це призведе до звуження ОДЗ і, як наслідок, до можливої втрати коренів. Це варто мати на увазі. Але тут слід зазначити, що на практиці зазвичай доводиться вдаватися до додавання або віднімання виразів, які присутні в записі вихідного рівняння, що не призводить до зміни ОДЗ і не тягне за собою втрати коренів.
- Перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої зі знаком, зміненим на протилежний.
Це перетворення рівняння рівносильне, тому в результаті його проведення коріння не втрачається.
- Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме число, відмінне від нуля.
Це перетворення теж рівносильне, і через нього втрата коріння не відбувається.
- Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме вираз.
Це перетворення може призводити до звуження ОДЗ у двох випадках: коли ОДЗ для виразу, на яке проводиться множення або розподіл, вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, і коли проводиться розподіл на вираз, що звертається в нуль на ОДЗ для вихідного рівняння. Зауважимо, що на практиці зазвичай не доводиться вдаватися до множення та поділу обох частин рівняння на вираз із вужчою ОДЗ. А ось із розподілом на вираз, що звертається на ОДЗ для вихідного рівняння в нуль, мати справу доводиться. Існує метод, що дозволяє справлятися зі втратою коріння при такому розподілі, про нього ми розповімо в наступному пункті цієї статті.
Як уникнути втрати коріння?
Якщо для перетворення рівнянь використовувати тільки перетворення з і при цьому не допускати звуження ОДЗ, втрати коренів не відбудеться.
Чи означає це, що не можна проводити будь-які інші перетворення рівнянь? Ні, це не означає. Якщо вигадати якесь ще перетворення рівняння і повністю описати його, тобто, вказати, коли воно призводить до рівносильним рівняннямколи – до рівнянь-наслідків, і коли може призводити до втрати коріння, то його цілком можна буде взяти на озброєння.
Чи варто повністю відмовлятися від перетворень, що звужують ОДЗ? Не варто цього робити. У своєму арсеналі не завадить залишити перетворення, за яких з ОДЗ для вихідного рівняння випадає кінцева кількість чисел. Чому від таких змін не варто відмовлятися? Тому що існує метод, який у таких випадках дозволяє уникнути втрати коренів. Він полягає в окремій перевірці чисел, що випадають з ОДЗ, щодо того, чи є серед них коріння вихідного рівняння. Перевірити це можна підстановкою цих чисел у вихідне рівняння. Ті з них, які при підстановці дають правильну числову рівність, є корінням вихідного рівняння. Їх потрібно включити у відповідь. Після такої перевірки можна спокійно проводити задумане перетворення без остраху втратити коріння.
Типовим перетворенням, при якому ОДЗ для рівняння звужується на кілька чисел, є поділ обох частин рівняння на те саме вираз, яке звертається в нуль в декількох точках з ОДЗ для вихідного рівняння. Таке перетворення є основою методу рішення поворотних рівнянь. Але воно використовується і під час вирішення рівнянь інших видів. Наведемо приклад.
Рішення рівняння можна провести шляхом введення нової змінної. Щоб запровадити нову змінну, треба розділити обидві частини рівняння на 1+x . Але при такому розподілі може статися втрата кореня, оскільки хоча ОДЗ для виразу 1+x не вже, ніж ОДЗ для вихідного рівняння, але вираз 1+x звертається в нуль при x=−1, а це число належить ОДЗ для вихідного рівняння. Отже, може статися втрата кореня -1. Щоб унеможливити втрати кореня, слід окремо перевірити, чи є −1 коренем вихідного рівняння. Для цього можна підставити −1 у вихідне рівняння та подивитися, яка рівність при цьому виходить. У разі підстановка дає рівність , що саме 4=0 . Ця рівність неправильна, отже -1 не є коренем вихідного рівняння. Після такої перевірки можна здійснювати задумане розподіл обох частин рівняння на 1+x , не побоюючись за те, що може статися втрата коренів.
На закінчення цього пункту ще раз звернемося до рівнянь із попереднього пункту та . Перетворення цих рівнянь з урахуванням тотожностей і 
призводить до звуження ОДЗ, а це спричиняє втрату коріння. У цьому пункті ми сказали, що для того, щоб не втрачати коріння, потрібно відмовитись від перетворень, що звужують ОДЗ. Отже, від зазначених перетворень слід відмовитися. А як бути? Можна провести перетворення не на базі тотожностей і , за яких звужується ОДЗ, але в основі тотожностей і 
. В результаті переходу від вихідних рівнянь до рівнянь і 
не відбувається звуження ОДЗ, отже, не буде втрачено коріння.
Тут особливо відзначимо, що з заміні висловів тотожно рівними виразами потрібно старанно стежити, щоб висловлювання були саме тотожно рівними. Наприклад, у рівнянні 
не можна замінити вираз x+3 виразом з метою спрощення виду лівої частини до 
, тому що вирази x+3 і не є тотожно рівними, адже їх значення не збігаються при x+3<0
. В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.
Перетворення рівнянь, яких не слід вдаватися
Перетворень, згаданих у цій статті, зазвичай достатньо потреб практики. Тобто, не варто сильно спантеличуватися вигадуванням якихось ще перетворень, краще зосередитися на правильному використанні вже перевірених.
Література
- Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіль. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с.: Іл.-ISBN 978-5-09-022771-1.
