Kutish va dispersiya eng ko'p ishlatiladigan raqamli xarakteristikalardir tasodifiy o'zgaruvchi. Ular eng ko'p xarakterlanadi muhim xususiyatlar taqsimoti: uning joylashuvi va tarqalish darajasi. Ko'pgina amaliy masalalarda tasodifiy o'zgaruvchining to'liq, to'liq xarakteristikasi - taqsimot qonuni - yoki umuman olinmaydi yoki umuman kerak emas. Bunday hollarda raqamli xarakteristikalar yordamida tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi bilan cheklanadi.

Kutilgan qiymat odatda tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi dispersiyaning o'ziga xos xususiyati, tasodifiy miqdorning uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi.

Diskret tasodifiy miqdorni kutish

Keling, matematik kutish kontseptsiyasiga, avvalo, diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanishining mexanik talqiniga asoslanib yondashamiz. Birlik massasi x o'qi nuqtalari o'rtasida taqsimlansin x1 , x 2 , ..., x n, va har bir moddiy nuqta mos keladigan massaga ega p1 , p 2 , ..., p n. Abtsissa o'qida ularning massalarini hisobga olgan holda butun moddiy nuqtalar tizimining holatini tavsiflovchi bitta nuqtani tanlash talab qilinadi. Bunday nuqta sifatida moddiy nuqtalar sistemasining massa markazini olish tabiiydir. Bu tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha og'irligi X, har bir nuqtaning abssissasi xi mos keladigan ehtimolga teng "og'irlik" bilan kiradi. Shu tarzda olingan tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati X uning matematik kutilishi deyiladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir:

1-misol. Yutuqli lotereya uyushtirildi. 1000 ta yutuq bor, ulardan 400 tasi 10 rubl. Har biri 300-20 rubl. Har biri 200-100 rubl. va har biri 100 - 200 rubl. Nima o'rta kattalik bitta chipta sotib olganlar uchun yutuq?

Yechim. O'rtacha yutuq bo'lsa topamiz Umumiy hisob 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 rublga teng bo'lgan yutuqlarni 1000 ga bo'ling (yutuqning umumiy miqdori). Keyin biz 50000/1000 = 50 rubl olamiz. Ammo o'rtacha yutuqni hisoblash uchun ifoda quyidagi shaklda taqdim etilishi mumkin:

Boshqa tomondan, ushbu shartlarda g'alaba qozongan o'lcham tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, u 10, 20, 100 va 200 rubl qiymatlarini olishi mumkin. mos ravishda 0,4 ga teng ehtimollar bilan; 0,3; 0,2; 0.1. Shuning uchun, kutilgan o'rtacha daromad summasiga teng yutuq miqdoridagi mahsulotlar va ularni olish ehtimoli.

2-misol. Nashriyot yangi kitob chiqarishga qaror qildi. U kitobni 280 rublga sotishni rejalashtirmoqda, uning o'zi 200, 50 - kitob do'koni va 30 - muallif. Jadvalda kitobni nashr qilish xarajatlari va kitobning ma'lum miqdordagi nusxalarini sotish ehtimoli haqida ma'lumot berilgan.

Nashriyotning kutilayotgan foydasini toping.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi "foyda" sotishdan olingan daromad va xarajatlar qiymati o'rtasidagi farqga teng. Misol uchun, agar kitobning 500 nusxasi sotilgan bo'lsa, u holda sotishdan tushgan daromad 200 * 500 = 100 000, nashr qilish narxi esa 225 000 rublni tashkil qiladi. Shunday qilib, nashriyot 125 000 rubl zararga duch keladi. Quyidagi jadval tasodifiy o'zgaruvchining kutilayotgan qiymatlarini umumlashtiradi - foyda:

Raqam	Foyda xi	Ehtimollik pi	xi p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Jami:		1,00	25000

Shunday qilib, biz olamiz matematik kutish nashriyotning foydasi:

.

3-misol. Bir zarba bilan urish ehtimoli p= 0,2. 5 ga teng bo'lgan zarbalar sonining matematik taxminini ta'minlaydigan snaryadlar iste'molini aniqlang.

Yechim. Biz hozirgacha ishlatgan bir xil matematik kutish formulasidan biz ifodalaymiz x- qobiq iste'moli:

.

4-misol. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlang x uchta zarba bilan zarbalar soni, agar har bir zarba bilan urish ehtimoli bo'lsa p = 0,4 .

Maslahat: tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari ehtimolini toping Bernulli formulasi .

Matematik kutishning xossalari

Keling, matematik kutishning xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

Mulk 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi ushbu doimiyga teng:

Mulk 2. Doimiy omilni matematik kutish belgisidan chiqarish mumkin:

Mulk 3. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining (farqining) matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga (farqiga) teng:

Mulk 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng:

Mulk 5. Agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlari bo'lsa X bir xil songa kamayishi (ortishi). BILAN, keyin uning matematik kutilishi bir xil songa kamayadi (ko'payadi):

O'zingizni faqat matematik kutish bilan cheklay olmasangiz

Ko'pgina hollarda, faqat matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchini etarli darajada tavsiflay olmaydi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin X Va Y Quyidagi taqsimot qonunlari bilan belgilanadi:

Ma'nosi X	Ehtimollik
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Ma'nosi Y	Ehtimollik
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Ushbu miqdorlarning matematik taxminlari bir xil - nolga teng:

Biroq, ularning tarqalish shakllari boshqacha. Tasodifiy o'zgaruvchi X faqat matematik kutilganidan ozgina farq qiladigan qiymatlarni va tasodifiy o'zgaruvchini olishi mumkin Y matematik kutilganidan sezilarli darajada chetga chiqadigan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shunga o'xshash misol: o'rtacha ish haqi hukm qilishga imkon bermaydi solishtirma og'irlik yuqori va past maoshli ishchilar. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, hech bo'lmaganda o'rtacha hisobda undan qanday og'ishlar bo'lishi mumkinligini matematik kutishdan xulosa qilib bo'lmaydi. Buning uchun tasodifiy miqdorning dispersiyasini topish kerak.

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi

Farqlanish diskret tasodifiy o'zgaruvchi X uning matematik kutishdan chetlanish kvadratining matematik kutilishi deyiladi:

Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi X uning dispersiyasi kvadrat ildizining arifmetik qiymati deyiladi:

.

5-misol. Tasodifiy o'zgaruvchilarning dispersiyalari va standart og'ishlarini hisoblang X Va Y, taqsimot qonunlari yuqoridagi jadvallarda keltirilgan.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik taxminlari X Va Y, yuqorida topilganidek, nolga teng. da dispersiya formulasiga ko'ra E(X)=E(y)=0 biz olamiz:

Keyin tasodifiy o'zgaruvchilarning standart og'ishlari X Va Y grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq

.

Shunday qilib, bir xil matematik taxminlar bilan, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X juda kichik, lekin tasodifiy o'zgaruvchi Y- muhim. Bu ularning taqsimlanishidagi farqlarning natijasidir.

6-misol. Investorda 4 ta muqobil investitsiya loyihasi mavjud. Jadvalda ushbu loyihalarda kutilayotgan foyda tegishli ehtimollik bilan jamlangan.

Loyiha 1	Loyiha 2	Loyiha 3	Loyiha 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Har bir muqobil uchun matematik kutish, dispersiya va standart og'ish toping.

Yechim. Keling, ushbu qiymatlar 3-variant uchun qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz:

Jadvalda barcha alternativlar uchun topilgan qiymatlar jamlangan.

Barcha muqobil variantlar bir xil matematik taxminlarga ega. Bu shuni anglatadiki, uzoq muddatda hamma bir xil daromadga ega. Standart og'ish xavf o'lchovi sifatida talqin qilinishi mumkin - u qanchalik yuqori bo'lsa, investitsiya xavfi shunchalik yuqori bo'ladi. Ko'p tavakkal qilishni xohlamaydigan investor 1-loyihani tanlaydi, chunki u eng kichik standart og'ish (0) ga ega. Agar investor qisqa vaqt ichida tavakkalchilik va yuqori daromad olishni afzal ko'rsa, u eng katta loyihani tanlaydi standart og'ish- loyiha 4.

Dispersiya xususiyatlari

Dispersiyaning xossalarini keltiramiz.

Mulk 1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng:

Mulk 2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin:

.

Mulk 3. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ushbu qiymat kvadratining matematik kutilishiga teng bo'lib, undan qiymatning matematik kutish kvadrati ayiriladi:

,

Qayerda .

Mulk 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining (farqining) dispersiyasi ularning dispersiyalarining yig'indisiga (farqiga) teng:

7-misol. Ma'lumki, diskret tasodifiy miqdor X faqat ikkita qiymatni oladi: −3 va 7. Bundan tashqari, matematik taxmin ma'lum: E(X) = 4. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

Yechim. bilan belgilaymiz p tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olish ehtimoli x1 = −3 . Keyin qiymatning ehtimolligi x2 = 7 1 - bo'ladi p. Matematik kutish uchun tenglamani chiqaramiz:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

ehtimollarni qaerdan olamiz: p= 0,3 va 1 - p = 0,7 .

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini dispersiyaning 3-xususiyatidan formuladan foydalanib hisoblaymiz:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminini o'zingiz toping va keyin yechimga qarang

8-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X faqat ikkita qiymatni oladi. U 0,4 ehtimollik bilan 3 qiymatdan kattasini qabul qiladi. Bundan tashqari, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ma'lum D(X) = 6. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

9-misol. Idishda 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Idishdan 3 ta shar chiqariladi. Chizilgan to'plar orasidagi oq sharlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir X. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi X 0, 1, 2, 3 qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Tegishli ehtimollarni dan hisoblash mumkin ehtimollarni ko'paytirish qoidasi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Shunday qilib, bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Berilgan tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Uzluksiz tasodifiy miqdorning kutilishi va dispersiyasi

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutishning mexanik talqini bir xil ma'noni saqlab qoladi: zichlik bilan x o'qi bo'ylab doimiy ravishda taqsimlangan birlik massasi uchun massa markazi. f(x). Funktsiya argumenti bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchidan farqli o'laroq xi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun argument doimiy ravishda o'zgaradi; Ammo uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi ham uning o'rtacha qiymati bilan bog'liq.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topish uchun aniq integrallarni topish kerak. . Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan bo'lsa, u to'g'ridan-to'g'ri integratsiyaga kiradi. Agar ehtimollikni taqsimlash funktsiyasi berilgan bo'lsa, uni farqlash orqali siz zichlik funktsiyasini topishingiz kerak.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati deyiladi matematik kutish, yoki bilan belgilanadi.

Yechim.

Tasodifiy o'zgarmaydigan qiymatlarning tarqalishi o'lchovi sifatida biz foydalanamiz dispersiya

Dispersiya (dispersiya so'zi "tarqalish" degan ma'noni anglatadi) - bu tasodifiy o'zgarmaydigan qiymatlarning dispersiya o'lchovi uning matematik kutishiga nisbatan. Dispersiya - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchi cheksiz, ammo sanab o'tiladigan qiymatlar to'plami bilan diskret bo'lsa, u holda

tenglikning o'ng tomonidagi qator yaqinlashsa.

Dispersiya xossalari.

• 1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng
• 2. Tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi dispersiyalarning yig‘indisiga teng.
• 3. Doimiy koeffitsientni kvadrat dispersiya belgisidan chiqarish mumkin

Tasodifiy miqdorlar farqining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga teng

Bu xususiyat ikkinchi va uchinchi xususiyatlarning natijasidir. Farqlar faqat qo'shilishi mumkin.

Dispersiyani dispersiya xossalari yordamida osonlik bilan olinadigan formula yordamida hisoblash qulay

Farq har doim ijobiydir.

Farq bor o'lcham tasodifiy o'zgaruvchining kvadrat o'lchami, bu har doim ham qulay emas. Shuning uchun, miqdor

Standart og'ish Tasodifiy o'zgaruvchining (standart og'ishi yoki standarti) uning dispersiyasi kvadrat ildizining arifmetik qiymati.

2 va 5 rubl qiymatidagi ikkita tanga tashlang. Agar tanga gerb sifatida tushsa, u holda nol ball beriladi, agar u raqam sifatida tushsa, u holda tanga nominaliga teng ball soni beriladi. Ballar sonining matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Yechim. Avval X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishini topamiz - nuqtalar soni. Barcha kombinatsiyalar - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - teng ehtimolli va taqsimot qonuni:

Matematik kutish:

Formuladan foydalanib dispersiyani topamiz

nima uchun hisoblaymiz

2-misol.

Noma'lum ehtimollikni toping r, diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi, berilgan jadval ehtimollik taqsimotlari

Biz matematik kutish va dispersiyani topamiz:

M(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

Dispersiyani hisoblash uchun (19.4) formuladan foydalanamiz.

D(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

3-misol. Ikkita teng kuchli sportchi musobaqani o'tkazadi, u ulardan birining birinchi g'alabasiga qadar yoki beshta o'yin o'ynaguncha davom etadi. Sportchilarning har biri uchun bitta o'yinda g'alaba qozonish ehtimoli 0,3, durang ehtimoli esa 0,4 ga teng. O'ynagan o'yinlar sonining taqsimot qonuni, matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi X- o'ynagan o'yinlar soni 1 dan 5 gacha qiymatlarni oladi, ya'ni.

Keling, o'yinning tugash ehtimolini aniqlaymiz. Agar ularning sportchilaridan biri g'alaba qozonsa, o'yin birinchi setda tugaydi. G'alaba qozonish ehtimoli

R(1) = 0,3+0,3 =0,6.

Agar durang qayd etilgan bo'lsa (durang bo'lish ehtimoli 1 - 0,6 = 0,4), u holda o'yin davom etadi. Agar birinchi o'yinda durang qayd etilgan bo'lsa va ikkinchisida kimdir g'alaba qozongan bo'lsa, o'yin ikkinchi o'yinda tugaydi. Ehtimollik

R(2) = 0,4 0,6=0,24.

Xuddi shunday, agar ketma-ket ikkita durang qayd etilsa va yana kimdir g'alaba qozonsa, o'yin uchinchi o'yinda tugaydi

R(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. R(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Beshinchi o'yin har qanday versiyada oxirgi hisoblanadi.

R(5)= 1 - (R(1)+R(2)+R(3)+R(4)) = 0,0256.

Keling, hamma narsani stolga qo'yaylik. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni "yutilgan o'yinlar soni" shaklga ega

Kutish

(19.4) formuladan foydalanib dispersiyani hisoblaymiz.

Standart diskret taqsimotlar.

Binomiy taqsimot. Bernulli eksperimental sxemasi amalga oshirilsin: n bir xil mustaqil tajribalar, ularning har birida hodisa A doimiy ehtimollik bilan paydo bo'lishi mumkin p va ehtimollik bilan paydo bo'lmaydi

(18-ma'ruzaga qarang).

Voqea sodir bo'lgan holatlar soni A bularda n eksperimentlarda diskret tasodifiy o'zgaruvchi mavjud X, ularning mumkin bo'lgan qiymatlari:

0; 1; 2; ... ;m; ... ; n.

Ko'rinish ehtimoli m ma'lum bir qatordagi voqealar A n tajribalar va bunday tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni Bernulli formulasi bilan berilgan (18-ma'ruzaga qarang)

Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari X binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi:

Agar n katta (), keyin, qachon, formula (19.6) formulaga kiradi

va jadvallangan Gauss funktsiyasi (Gauss funktsiyasi qiymatlari jadvali 18-ma'ruza oxirida berilgan).

Amalda, ko'pincha muhim bo'lgan narsa, uning paydo bo'lish ehtimoli emas. m voqealar A dan ma'lum bir seriyada n tajribalar va hodisaning ehtimoli A kam bo'lmagan holda paydo bo'ladi

marta va martadan ortiq emas, ya'ni X qiymatlarni qabul qilish ehtimoli

Buning uchun biz ehtimolliklarni umumlashtirishimiz kerak

Agar n ajoyib (), keyin, qachon, formula (19.9) taxminiy formulaga aylanadi

jadvalli funksiya. Jadvallar 18-ma'ruza oxirida berilgan.

Jadvallardan foydalanishda buni hisobga olish kerak

1-misol. Chorrahaga yaqinlashayotgan avtomobil uchta yo'ldan istalgan biri bo'ylab harakatlanishi mumkin: A, B yoki C teng ehtimollik bilan. Chorrahaga beshta mashina yaqinlashmoqda. A yo'lida harakatlanadigan o'rtacha avtomobillar sonini va B yo'lida uchta avtomobilning harakatlanish ehtimolini toping.

Yechim. Har bir yo'lda o'tadigan mashinalar soni tasodifiy o'zgaruvchidir. Agar chorrahaga yaqinlashayotgan barcha avtomobillar bir-biridan mustaqil harakat qiladi deb faraz qilsak, bu tasodifiy miqdor binomial qonunga muvofiq taqsimlanadi.

n= 5 va p = .

Shunday qilib, A yo'li bo'ylab harakatlanadigan avtomobillarning o'rtacha soni (19.7) formulaga muvofiqdir.

va kerakli ehtimollik da

2-misol. Har bir sinov paytida qurilmaning ishdan chiqishi ehtimoli 0,1 ga teng. Qurilmaning 60 ta sinovi o'tkaziladi. Qurilmaning ishdan chiqishi ehtimoli qanday: a) 15 marta; b) 15 martadan ortiq emasmi?

A. Sinovlar soni 60 ta bo'lgani uchun biz (19.8) formuladan foydalanamiz.

18-ma'ruzaga ilovaning 1-jadvaliga asosan topamiz

b. Biz (19.10) formuladan foydalanamiz.

18-ma'ruzaga ilovaning 2-jadvaliga asosan

• - 0,495
• 0,49995

Puasson taqsimoti) nodir hodisalar qonuni). Agar n katta va r oz () va mahsulot pr doimiy qiymatni saqlaydi, biz uni l bilan belgilaymiz,

keyin (19.6) formula Puasson formulasiga aylanadi

Puasson taqsimot qonuni quyidagi shaklga ega:

Shubhasiz, Puasson qonunining ta'rifi to'g'ri, chunki tarqatish seriyasining asosiy xususiyati

Bajarildi, chunki qatorlar yig'indisi

Funktsiyaning ketma-ket kengayishi

Teorema. Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi mos keladi va bu qonun parametriga teng, ya'ni.

Isbot.

Misol. O'z mahsulotlarini bozorga targ'ib qilish uchun kompaniya pochta qutilariga flayerlarni joylashtiradi. Oldingi tajriba shuni ko'rsatadiki, taxminan 2000 holatdan bittasida buyurtma keladi. 10 000 ta reklama joylashtirishda kamida bitta buyurtma kelishi ehtimolini, olingan buyurtmalar sonining o'rtacha sonini va olingan buyurtmalar sonining farqini toping.

Yechim. Bu yerga

Hech bo'lmaganda bitta buyurtma kelishi ehtimollik orqali topiladi qarama-qarshi hodisa, ya'ni.

Voqealarning tasodifiy oqimi. Voqealar oqimi - bu sodir bo'lgan voqealar ketma-ketligi tasodifiy daqiqalar vaqt. Oddiy misollar oqimlar - bu kompyuter tarmoqlaridagi nosozliklar, telefon stantsiyalaridagi qo'ng'iroqlar, uskunalarni ta'mirlash uchun so'rovlar oqimi va boshqalar.

Oqim hodisalar deyiladi statsionar, agar ma'lum miqdordagi hodisalarning uzunlik vaqt oralig'iga tushishi ehtimolligi faqat intervalning uzunligiga bog'liq bo'lsa va vaqt oralig'ining vaqt o'qi bo'yicha joylashishiga bog'liq bo'lmasa.

Statsionarlik sharti, ehtimollik xususiyatlari vaqtga bog'liq bo'lmagan so'rovlar oqimi bilan qondiriladi. Xususan, statsionar oqim doimiy zichlik bilan tavsiflanadi (vaqt birligi uchun so'rovlarning o'rtacha soni). Amalda, ko'pincha (hech bo'lmaganda cheklangan vaqt uchun) statsionar deb hisoblanishi mumkin bo'lgan so'rovlar oqimi mavjud. Masalan, shahar telefon stantsiyasida 12 dan 13 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'idagi qo'ng'iroqlar oqimi statsionar deb hisoblanishi mumkin. Butun kun davomida bir xil oqimni endi statsionar deb hisoblash mumkin emas (kechasi qo'ng'iroq zichligi kunduzgidan sezilarli darajada kamroq).

Oqim hodisalar oqim deb ataladi keyingi ta'sirsiz, agar har qanday bir-biriga mos kelmaydigan vaqt davrlari uchun ulardan biriga tushadigan hodisalar soni boshqalarga to'g'ri keladigan hodisalar soniga bog'liq bo'lmasa.

Effektning yo'qligi sharti - eng oddiy oqim uchun eng muhimi - ilovalar tizimga bir-biridan mustaqil ravishda kirishini anglatadi. Masalan, metro stantsiyasiga kiruvchi yo'lovchilar oqimini oqibatlarsiz oqim deb hisoblash mumkin, chunki alohida yo'lovchining kelishini aniq bir vaqtda emas, balki boshqa yo'lovchilar uchun ham shunga o'xshash sabablar bilan bog'liq emas. . Biroq, bunday qaramlikning paydo bo'lishi tufayli keyingi ta'sirning yo'qligi sharti osongina buzilishi mumkin. Masalan, metro stantsiyasidan chiqib ketayotgan yo'lovchilar oqimini endi oqibatsiz oqim deb hisoblash mumkin emas, chunki bitta poezdda kelgan yo'lovchilarning chiqish momentlari bir-biriga bog'liq.

Oqim hodisalar deyiladi oddiy, agar qisqa vaqt oralig'ida ikki yoki undan ortiq hodisaning sodir bo'lish ehtimoli t bir hodisaning sodir bo'lish ehtimoli bilan solishtirganda ahamiyatsiz bo'lsa (shu munosabat bilan Puasson qonuni kamdan-kam hodisalar qonuni deb ataladi).

Oddiylik sharti buyurtmalar juftlik, uchlik va hokazo emas, yakka holda kelishini bildiradi.

Misol uchun, sartaroshxonaga kiradigan mijozlar oqimini deyarli oddiy deb hisoblash mumkin. Agar favqulodda oqimda ilovalar faqat juft bo'lib, faqat uchlik va hokazolarda kelsa, unda favqulodda oqimni oddiyga osongina kamaytirish mumkin; Buning uchun individual so'rovlar oqimi o'rniga juftlik, uchlik va hokazolar oqimini ko'rib chiqish kifoya qiladi, agar har bir so'rov tasodifiy ravishda ikki, uch va hokazo bo'lib chiqishi mumkin bo'lsa, qiyinroq bo'ladi bir hil emas, balki heterojen hodisalar oqimi bilan shug'ullanish.

Agar hodisalar oqimi uchta xususiyatga ega bo'lsa (ya'ni, statsionar, oddiy va keyingi ta'sirga ega bo'lmasa), u oddiy (yoki statsionar Puasson) oqim deb ataladi. "Puasson" nomi, agar sanab o'tilgan shartlar bajarilsa, har qanday belgilangan vaqt oralig'iga to'g'ri keladigan hodisalar soni taqsimlanishi bilan bog'liq. Puasson qonuni

Bu erda voqealarning o'rtacha soni A, vaqt birligida paydo bo'ladi.

Ushbu qonun bitta parametrli, ya'ni. uni o'rnatish uchun siz faqat bitta parametrni bilishingiz kerak. Puasson qonunidagi kutish va dispersiya son jihatdan teng ekanligini ko'rsatish mumkin:

Misol. Aytaylik, ish kunining o'rtalarida so'rovlar soni o'rtacha soniyada 2 tani tashkil qiladi. 1) bir soniyada hech qanday ariza kelib tushmasligi, 2) ikki soniyada 10 ta ariza kelib tushishi ehtimoli qanday?

Yechim. Puasson qonunini qo'llashning to'g'riligiga shubha yo'q va uning parametri (= 2) berilganligi sababli, muammoni hal qilish Puasson formulasini qo'llashga qisqartiriladi (19.11)

1) t = 1, m = 0:

2) t = 2, m = 10:

Qonun katta raqamlar. Tasodifiy o'zgaruvchilar klasterining qiymatlari ba'zi doimiy qiymatlar atrofida bo'lishining matematik asosi katta sonlar qonunidir.

Tarixiy jihatdan, katta sonlar qonunining birinchi formulasi Bernulli teoremasi edi:

"Bir xil va mustaqil eksperimentlar sonining cheksiz ko'payishi bilan n, A hodisasining paydo bo'lish chastotasi ehtimollik bilan uning ehtimoliga yaqinlashadi", ya'ni.

n ta tajribada A hodisasining ro‘y berish chastotasi qayerda,

Mohiyatan, ifoda (19.10) ko'p sonli tajribalar bilan hodisaning sodir bo'lish chastotasini bildiradi. A bu hodisaning noma'lum ehtimoli o'rnini bosishi mumkin va amalga oshirilgan tajribalar soni qancha ko'p bo'lsa, p * ga yaqinroq bo'ladi. Qiziqarli tarixiy fakt. K.Pirson 12 000 marta tanga tashlagan va uning gerbi 6 019 marta ko'tarilgan (chastota 0,5016). Xuddi shu tangani 24 000 marta uloqtirganda u 12 012 gerb oldi, ya'ni. chastota 0,5005.

Katta sonlar qonunining eng muhim shakli Chebishev teoremasi: Cheklangan dispersiyaga ega bo'lgan va bir xil sharoitlarda o'tkazilgan mustaqil tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik ehtimoli uning matematik taxminiga yaqinlashadi.. Analitik shaklda bu teorema quyidagicha yozilishi mumkin:

Chebishev teoremasi fundamental nazariy ahamiyatga ega boʻlishidan tashqari, masalan, oʻlchov nazariyasida ham muhim amaliy qoʻllanmalarga ega. Muayyan miqdordagi n o'lchovni olgandan keyin X, turli xil mos kelmaydigan qiymatlarni oling X 1, X 2, ..., xn. O'lchangan miqdorning taxminiy qiymati uchun X kuzatilgan qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatini oling

Xuddi o'sha payt, Qanchalik ko'p tajriba o'tkazilsa, natija shunchalik aniq bo'ladi. Gap shundaki, bajarilgan tajribalar sonining ortishi bilan miqdorning dispersiyasi kamayadi, chunki

D(x 1) = D(x 2)=…= D(xn) D(x), Bu

Munosabatlar (19.13) shuni ko'rsatadiki, o'lchov vositalarining yuqori noaniqligi (katta qiymat) bilan ham o'lchovlar sonini ko'paytirish orqali o'zboshimchalik bilan yuqori aniqlik bilan natija olish mumkin.

(19.10) formuladan foydalanib, statistik chastotaning ehtimollikdan ko'pi bilan chetga chiqish ehtimolini topishingiz mumkin.

Misol. Har bir sinovda hodisa ehtimoli 0,4 ga teng. Hodisaning nisbiy chastotasi mutlaq ehtimollikdan 0,01 dan kam bo'lmagan ehtimollik bilan 0,8 dan kam bo'lmagan ehtimollik bilan kutish uchun qancha test o'tkazish kerak?

Yechim. Formula bo'yicha (19.14)

shuning uchun jadvalga ko'ra ikkita dastur mavjud

shuning uchun, n 3932.

Oldingi birida biz argumentlarni taqsimlash qonunlari ma'lum bo'lganda, funktsiyalarning sonli xarakteristikalarini topishga imkon beruvchi bir qator formulalarni taqdim etdik. Lekin ko`p hollarda funksiyalarning son xarakteristikalarini topish uchun argumentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini bilish ham shart emas, balki ularning faqat ayrim son xarakteristikalarini bilish kifoya; shu bilan birga, biz odatda taqsimot qonunlarisiz qilamiz. Argumentlarning berilgan sonli xarakteristikalari asosida funksiyalarning sonli xarakteristikalarini aniqlash ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va bir qator masalalarni yechishda sezilarli darajada soddalasha oladi. Ushbu soddalashtirilgan usullarning aksariyati chiziqli funktsiyalarga tegishli; ammo, ba'zi elementar nochiziqli funktsiyalar ham shunga o'xshash yondashuvga imkon beradi.

Hozirgi vaqtda biz funktsiyalarning sonli xarakteristikalari bo'yicha bir qator teoremalarni taqdim etamiz, ular birgalikda bu xususiyatlarni hisoblash uchun juda oddiy apparatni ifodalaydi, keng sharoitlarda qo'llaniladi.

1. Tasodifiy bo'lmagan qiymatni matematik kutish

Tuzilgan xususiyat juda aniq; uni tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchini tasodifiy o'zgaruvchining maxsus turi sifatida ko'rib chiqish orqali isbotlash mumkin mumkin bo'lgan ma'no bir ehtimol bilan; keyin matematik kutishning umumiy formulasiga ko'ra:

.

2. Tasodifiy bo'lmagan miqdorning dispersiyasi

Agar tasodifiy bo'lmagan qiymat bo'lsa, u holda

3. Matematik kutish belgisini tasodifiy bo'lmagan qiymat bilan almashtirish

, (10.2.1)

ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymatni matematik kutish belgisi sifatida qabul qilish mumkin.

Isbot.

a) Uzluksiz miqdorlar uchun

b) uzluksiz miqdorlar uchun

.

4. Dispersiya va standart og'ish belgisidan tasodifiy bo'lmagan qiymatni olish

Agar tasodifiy bo'lmagan miqdor bo'lsa va tasodifiy bo'lsa, u holda

, (10.2.2)

ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymatni kvadratga bo'lish orqali dispersiya belgisidan chiqarish mumkin.

Isbot. Variantning ta'rifi bo'yicha

Natija

,

ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymat uning standart og'ish belgisidan tashqarida olinishi mumkin mutlaq qiymat. Biz dalilni (10.2.2) formuladan kvadrat ildizni olib, r.s.o. - sezilarli ijobiy qiymat.

5. Tasodifiy miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi

Istalgan ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar uchun va ekanligini isbotlaylik

ya'ni ikkita tasodifiy miqdor yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng.

Bu xususiyat matematik taxminlarni qo'shish teoremasi sifatida tanilgan.

Isbot.

a) uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi bo‘lsin. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisiga qo'llang umumiy formula(10.1.6) ikkita argumentli funktsiyani matematik kutish uchun:

.

Xo miqdori qiymatni olishning umumiy ehtimolidan boshqa narsani bildirmaydi:

;

shuning uchun,

.

Biz buni xuddi shunday isbotlaymiz

,

va teorema isbotlangan.

b) uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi bo'lsin. Formula bo'yicha (10.1.7)

. (10.2.4)

(10.2.4) integrallarning birinchisini aylantiramiz:

;

xuddi shunday

,

va teorema isbotlangan.

Shuni alohida ta'kidlash kerakki, matematik taxminlarni qo'shish teoremasi har qanday tasodifiy o'zgaruvchilar uchun amal qiladi - ham bog'liq, ham mustaqil.

Matematik taxminlarni qo'shish teoremasi ixtiyoriy sonli atamalarga umumlashtiriladi:

, (10.2.5)

ya'ni bir nechta tasodifiy miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng.

Buni isbotlash uchun to'liq induksiya usulini qo'llash kifoya.

6. Matematik kutish chiziqli funksiya

Bir nechta tasodifiy argumentlarning chiziqli funktsiyasini ko'rib chiqing:

tasodifiy bo'lmagan koeffitsientlar qayerda. Keling, buni isbotlaylik

, (10.2.6)

ya'ni chiziqli funktsiyaning matematik kutilishi argumentlarning matematik kutishlarining bir xil chiziqli funktsiyasiga teng.

Isbot. m.o.ning qoʻshish teoremasidan foydalanish. va tasodifiy bo'lmagan miqdorni m.o. belgisidan tashqariga qo'yish qoidasiga ega bo'lamiz:

.

7. Dispepbu tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi

Ikki tasodifiy o'zgaruvchining yig'indisining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig'indisiga va korrelyatsiya momentining ikki barobariga teng:

Isbot. belgilaylik

Matematik kutilmalarni qo'shish teoremasiga ko'ra

Keling, tasodifiy o'zgaruvchilardan mos keladigan markazlashtirilgan o'zgaruvchilarga o'tamiz. Tenglikdan (10.2.8) atama bo'yicha tenglikni ayirib, bizda:

Variantning ta'rifi bo'yicha

Q.E.D.

Yig'indining dispersiyasi uchun formula (10.2.7) har qanday shartlar soniga umumlashtirilishi mumkin:

, (10.2.10)

miqdorlarning korrelyatsiya momenti bu yerda, yig‘indi ostidagi belgi yig‘indining tasodifiy o‘zgaruvchilarning barcha mumkin bo‘lgan juft birikmalariga taalluqliligini bildiradi. .

Isbot avvalgisiga o'xshash va ko'phadning kvadrati formulasidan kelib chiqadi.

Formula (10.2.10) boshqa shaklda ham yozilishi mumkin:

, (10.2.11)

bu yerda qo'sh yig'indi miqdorlar tizimining korrelyatsiya matritsasining barcha elementlariga tarqaladi , ham korrelyatsiya momentlarini, ham dispersiyalarni o'z ichiga oladi.

Agar barcha tasodifiy o'zgaruvchilar , tizimga kiritilgan, o'zaro bog'liq emas (ya'ni, qachon ), formula (10.2.10) quyidagi shaklni oladi:

, (10.2.12)

ya'ni o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy miqdorlar yig'indisining dispersiyasi hadlar dispersiyalarining yig'indisiga teng.

Bu pozitsiya dispersiyalarni qo'shish teoremasi deb nomlanadi.

8. Chiziqli funktsiyaning dispersiyasi

Keling, bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilarning chiziqli funksiyasini ko'rib chiqaylik.

tasodifiy bo'lmagan miqdorlar qayerda.

Bu chiziqli funksiyaning dispersiyasi formula bilan ifodalanganligini isbotlaylik

, (10.2.13)

kattaliklarning korrelyatsiya momenti qayerda, .

Isbot. Keling, belgi bilan tanishamiz:

. (10.2.14)

Yig'indini ifodaning o'ng tomoniga (10.2.14) dispersiyalash uchun formulani (10.2.10) qo'llash va buni hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

kattaliklarning korrelyatsiya momenti qayerda:

.

Keling, ushbu daqiqani hisoblaylik. Bizda ... bor:

;

xuddi shunday

Bu ifodani (10.2.15) ga almashtirib, (10.2.13) formulaga kelamiz.

Maxsus holatda, barcha miqdorlar o'zaro bog'liq emas, formula (10.2.13) quyidagi shaklni oladi:

, (10.2.16)

ya'ni korrelyatsiyasiz tasodifiy miqdorlarning chiziqli funksiyasining dispersiyasi koeffitsientlar kvadratlari ko'paytmalari va tegishli argumentlar dispersiyalari yig'indisiga teng.

9. Tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi

Ikki tasodifiy o'zgaruvchining ko'paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari ko'paytmasiga va korrelyatsiya momentiga teng:

Isbot. Korrelyatsiya momentining ta'rifidan kelib chiqamiz:

Keling, ushbu ifodani matematik kutish xususiyatlaridan foydalanib o'zgartiramiz:

Bu (10.2.17) formulaga aniq ekvivalent.

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar o'zaro bog'liq bo'lmasa, (10.2.17) formula quyidagi shaklni oladi:

ya'ni o'zaro bog'liq bo'lmagan ikkita tasodifiy o'zgaruvchining ko'paytmasining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko'paytmasiga teng.

Bu pozitsiya matematik taxminlarni ko'paytirish teoremasi sifatida tanilgan.

Formula (10.2.17) tizimning ikkinchi aralashgan markaziy momentini ikkinchi aralash dastlabki moment va matematik taxminlar orqali ifodalashdan boshqa narsa emas:

. (10.2.19)

Ushbu ifoda ko'pincha amalda korrelyatsiya momentini hisoblashda qo'llaniladi, xuddi bitta tasodifiy o'zgaruvchi uchun dispersiya ko'pincha ikkinchi boshlang'ich moment va matematik kutish orqali hisoblanadi.

Matematik kutilmalarni ko'paytirish teoremasi omillarning ixtiyoriy soniga umumlashtiriladi, faqat bu holda, uni qo'llash uchun miqdorlarning o'zaro bog'liq bo'lmaganligi etarli emas, lekin ularning soni bog'liq bo'lgan yuqoriroq aralash momentlar talab qilinadi. mahsulotdagi atamalar soni bo'yicha, yo'qoladi. Agar mahsulotga kiritilgan tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa, bu shartlar albatta qondiriladi. Ushbu holatda

, (10.2.20)

ya'ni mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutilmalari ko'paytmasiga teng.

Bu taklifni to'liq induksiya orqali osongina isbotlash mumkin.

10. Mustaqil tasodifiy miqdorlar mahsulotining dispersiyasi

Keling, buni mustaqil kattaliklar uchun isbotlaylik

Isbot. belgilaylik. Variantning ta'rifi bo'yicha

Miqdorlar mustaqil bo'lgani uchun va

Mustaqil bo'lsa, miqdorlar ham mustaqil bo'ladi; shuning uchun,

,

Ammo kattalikning ikkinchi boshlang'ich momentidan boshqa narsa yo'q va shuning uchun dispersiya orqali ifodalanadi:

;

xuddi shunday

.

Ushbu iboralarni (10.2.22) formulaga almashtirib, o'xshash atamalarni keltirsak, (10.2.21) formulaga kelamiz.

Agar markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar (matematik kutilmalar nolga teng bo'lgan o'zgaruvchilar) ko'paytirilsa, (10.2.21) formula quyidagi shaklni oladi:

, (10.2.23)

ya'ni mustaqil markazlashtirilgan tasodifiy miqdorlar mahsulotining dispersiyasi ularning dispersiyalarining ko'paytmasiga teng.

11. Tasodifiy miqdorlar yig'indisining yuqori momentlari

Ba'zi hollarda mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining eng yuqori momentlarini hisoblash kerak. Keling, ba'zi bog'liq munosabatlarni isbotlaylik.

1) Agar kattaliklar mustaqil bo'lsa, u holda

Isbot.

shuning uchun matematik kutilmalarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra

Lekin har qanday miqdor uchun birinchi markaziy moment nolga teng; ikki o'rta atama yo'qoladi va formula (10.2.24) isbotlangan.

(10.2.24) munosabat ixtiyoriy sonli mustaqil atamalarga induksiya orqali oson umumlashtiriladi:

. (10.2.25)

2) Ikki mustaqil tasodifiy miqdor yig‘indisining to‘rtinchi markaziy momenti formula bilan ifodalanadi

miqdorlarning dispersiyalari qayerda va .

Dalil avvalgisiga to'liq o'xshaydi.

To'liq induksiya usulidan foydalanib, (10.2.26) formulani ixtiyoriy sonli mustaqil atamalarga umumlashtirishni isbotlash oson.