Biz ko'pincha iboralarni eshitamiz: "inert", "inersiya bilan harakat", "inersiya momenti". Majoziy ma'noda "inertiya" so'zini tashabbus va harakatning etishmasligi deb talqin qilish mumkin. Bizni to'g'ridan-to'g'ri ma'no qiziqtiradi.
Inertsiya nima
Ta'rifga ko'ra inertsiya fizikada bu jismlarning tashqi kuchlar bo'lmaganda dam olish yoki harakat holatini saqlab turish qobiliyatidir.
Agar intuitiv darajadagi inertsiya tushunchasi bilan hamma narsa aniq bo'lsa, unda inersiya momenti- alohida savol. Qabul qiling, bu nima ekanligini tasavvur qilish qiyin. Ushbu maqolada siz mavzu bo'yicha asosiy muammolarni qanday hal qilishni o'rganasiz "Inersiya momenti".
Inersiya momentini aniqlash
Maktab kursidan ma'lumki, bu massa - jismning inertsiya o'lchovi. Agar biz har xil massadagi ikkita aravani tursak, unda og'irroqni to'xtatish qiyinroq bo'ladi. Ya'ni, massa qanchalik katta bo'lsa, shunchalik katta bo'ladi tashqi ta'sir tana harakatini o'zgartirish uchun zarur. Ko'rib chiqilgan narsa, misoldagi arava to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlansa, tarjima harakati uchun amal qiladi.
Ommaviy va translyatsion harakatga o'xshab, inersiya momenti jismning inertsiya o'lchovidir. aylanish harakati eksa atrofida.
Inersiya momenti– skalyar fizik kattalik, o‘q atrofida aylanish paytidagi jismning inertsiya o‘lchovi. Harf bilan belgilanadi J va tizimda SI kvadrat metrga kilogramm bilan o'lchanadi.
Inersiya momentini qanday hisoblash mumkin? Yemoq umumiy formula, fizikada har qanday jismning inersiya momentini hisoblash uchun foydalaniladi. Agar tana massasi bilan cheksiz kichik qismlarga bo'lingan bo'lsa dm , u holda inersiya momenti bu elementar massalarning ko'paytmalari yig'indisiga aylanish o'qiga bo'lgan masofaning kvadratiga teng bo'ladi.
Bu fizikada inersiya momentining umumiy formulasi. Moddiy massa nuqtasi uchun m , masofadagi o'q atrofida aylanish r undan, bu formula shaklni oladi:
Shtayner teoremasi
Inersiya momenti nimaga bog'liq? Massadan, aylanish o'qining holatidan, tananing shakli va o'lchamidan.
Gyuygens-Shtayner teoremasi juda muhim teorema bo'lib, u ko'pincha masalalarni yechishda qo'llaniladi.
Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud
Gyuygens-Shtayner teoremasi quyidagicha ifodalanadi:
Jismning ixtiyoriy o'qqa nisbatan inersiya momenti jismning ixtiyoriy o'qqa parallel bo'lgan massa markazidan o'tadigan o'qqa nisbatan inersiya momenti va tana massasining kvadratga ko'paytmasining yig'indisiga teng. eksa orasidagi masofadan.
Inersiya momentini topish masalalarini yechishda doimiy ravishda integrasiya qilishni istamaydiganlar uchun biz muammolarda tez-tez uchrab turadigan ba'zi bir jinsli jismlarning inersiya momentlarini ko'rsatuvchi chizmani taqdim etamiz:
Inersiya momentini topishga oid masalani yechish misoli
Keling, ikkita misolni ko'rib chiqaylik. Birinchi vazifa - inersiya momentini topish. Ikkinchi vazifa Gyuygens-Shtayner teoremasidan foydalanishdir.
Masala 1. Massasi m va radiusi R bo‘lgan bir jinsli diskning inersiya momentini toping. Aylanish o‘qi disk markazidan o‘tadi.
Yechim:
Diskni cheksiz yupqa halqalarga ajratamiz, ularning radiusi turlicha 0 oldin R va shunday uzuklardan birini ko'rib chiqing. Uning radiusi bo'lsin r, va massa - dm. U holda halqaning inersiya momenti:
Uzukning massasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Bu yerga dz- uzukning balandligi. Inersiya momenti formulasiga massani almashtiramiz va integrallashamiz:
Natijada absolyut yupqa disk yoki silindrning inersiya momenti formulasi hosil bo‘ldi.
Masala 2. Yana massasi m va radiusi R bo'lgan disk bo'lsin. Endi diskning radiuslaridan birining o'rtasidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momentini topishimiz kerak.
Yechim:
Diskning massa markazidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti oldingi masaladan ma'lum. Shtayner teoremasini qo‘llaymiz va topamiz:
Aytgancha, bizning blogimizda fizika va boshqa foydali materiallarni topishingiz mumkin.
Umid qilamizki, maqolada siz o'zingiz uchun foydali narsalarni topasiz. Agar inertsiya tensorini hisoblash jarayonida qiyinchiliklar yuzaga kelsa, talaba xizmati haqida unutmang. Bizning mutaxassislarimiz har qanday masala bo'yicha maslahat berishadi va muammoni bir necha daqiqada hal qilishga yordam beradi.
Ruxsat etilgan o'qga nisbatan ("eksenel inersiya momenti") miqdor J a, summasiga teng barcha ommaning asarlari n tizimning moddiy nuqtalarini ularning o'qga bo'lgan masofalarining kvadratlari bo'yicha:
- m i- vazn i nchi nuqta,
- r i-dan masofa i th o'qiga nuqta.
Eksenel inersiya momenti tanasi J a o'q atrofida aylanish harakatida jismning inertsiyasining o'lchovidir, xuddi jismning massasi uning tarjima harakatidagi inertsiyasining o'lchovidir.
Agar tana bir hil bo'lsa, ya'ni uning zichligi hamma joyda bir xil bo'lsa, unda
Gyuygens-Shtayner teoremasi
Inersiya momenti qattiq har qanday o'qga nisbatan nafaqat tananing massasi, shakli va o'lchamiga, balki tananing ushbu o'qga nisbatan holatiga ham bog'liq. Shtayner teoremasiga ko'ra (Gyuygens-Shtayner teoremasi), inersiya momenti tanasi J ixtiyoriy o'qga nisbatan yig'indiga teng inersiya momenti bu tana Jc ko'rib chiqilayotgan o'qga parallel ravishda tananing massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan va tana massasining mahsuloti m masofa kvadratiga d eksa o'rtasida:
umumiy tana massasi qayerda.
Masalan, novda uchidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti quyidagilarga teng:
Ayrim jismlarning eksenel inersiya momentlari
| Tana | Tavsif | Eksa holati a | Inersiya momenti J a |
|---|---|---|---|
 |
Materialning nuqta massasi m | Masofada r bir nuqtadan, harakatsiz | |
 |
Bo'shliq yupqa devorli silindr yoki radiusli halqa r va ommaviy m | Silindr o'qi | |
 |
Qattiq silindr yoki radiusli disk r va ommaviy m | Silindr o'qi | |
 |
Bo'shliq qalin devorli massa tsilindri m tashqi radius bilan r 2 va ichki radius r 1 | Silindr o'qi | |
 |
Qattiq silindr uzunligi l, radius r va ommaviy m | ||
 |
Bo'shliq yupqa devorli silindr (halqa) uzunligi l, radius r va ommaviy m | O'q silindrga perpendikulyar bo'lib, uning massa markazidan o'tadi | |
 |
Yupqa uzunlikdagi tekis tayoq l va ommaviy m | O'q tayoqqa perpendikulyar bo'lib, uning massa markazidan o'tadi | |
 |
Yupqa uzunlikdagi tekis tayoq l va ommaviy m | Eksa tayoqqa perpendikulyar bo'lib, uning uchidan o'tadi | |
 |
Yupqa devorli radiusli shar r va ommaviy m | Eksa sharning markazidan o'tadi | |
 |
Radius to'pi r va ommaviy m | Eksa to'pning markazidan o'tadi | |
 |
Radius konus r va ommaviy m | Konusning o'qi | |
| Balandligi bilan teng yonli uchburchak h, asos a va massa m | O'q uchburchak tekisligiga perpendikulyar bo'lib, cho'qqidan o'tadi | ||
| Yon tomoni bilan muntazam uchburchak a va massa m | O'q uchburchak tekisligiga perpendikulyar bo'lib, massa markazidan o'tadi | ||
| Yon tomoni bilan kvadrat a va massa m | O'q kvadrat tekisligiga perpendikulyar bo'lib, massa markazidan o'tadi |
Formulalarni chiqarish
Yupqa devorli silindr (halqa, halqa)
Formulaning kelib chiqishi
Jismning inersiya momenti uning tarkibiy qismlari inersiya momentlarining yig'indisiga teng. Yupqa devorli silindrni massaga ega bo'lgan elementlarga bo'ling dm va inersiya momentlari dJ i. Keyin
Yupqa devorli silindrning barcha elementlari aylanish o'qidan bir xil masofada joylashganligi sababli, formula (1) shaklga aylanadi.
Qalin devorli silindr (halqa, halqa)
Formulaning kelib chiqishi
Tashqi radiusli bir hil halqa bo'lsin R, ichki radius R 1, qalin h va zichlik r. Keling, uni qalin ingichka halqalarga ajratamiz dr. Yupqa radiusli halqaning massasi va inersiya momenti r bo'ladi
Qalin halqaning inersiya momentini integral sifatida topamiz
Ringning hajmi va massasi teng bo'lgani uchun
halqaning inersiya momenti uchun yakuniy formulani olamiz
Bir hil disk (qattiq silindr)
Formulaning kelib chiqishi
Tsilindrni (diskni) ichki radiusi nol bo'lgan halqa sifatida ko'rib chiqish ( R 1 = 0), biz silindrning (diskning) inersiya momenti formulasini olamiz:
Qattiq konus
Formulaning kelib chiqishi
Keling, konusni qalinligi bilan ingichka disklarga ajratamiz dh, konusning o'qiga perpendikulyar. Bunday diskning radiusi ga teng
Qayerda R- konus asosining radiusi, H- konusning balandligi, h- konusning yuqori qismidan diskgacha bo'lgan masofa. Bunday diskning massasi va inersiya momenti bo'ladi
Integratsiyalash, biz olamiz
Qattiq bir hil to'p
Formulaning kelib chiqishi
To'pni qalinlikdagi ingichka disklarga bo'ling dh, aylanish o'qiga perpendikulyar. Bunday diskning radiusi balandlikda joylashgan h sharning markazidan, biz uni formuladan foydalanib topamiz
Bunday diskning massasi va inersiya momenti bo'ladi
Sfera inersiya momentini integrallash orqali topamiz:
Yupqa devorli shar
Formulaning kelib chiqishi
Buni olish uchun biz bir hil radiusli sharning inersiya momenti formulasidan foydalanamiz. R:
Agar r doimiy zichlikda uning radiusi cheksiz kichik miqdorga oshsa, to‘pning inersiya momenti qancha o‘zgarishini hisoblaylik. dR.
Yupqa novda (o'q markazdan o'tadi)
Formulaning kelib chiqishi
Tayoqni kichik uzunlikdagi bo'laklarga bo'ling dr. Bunday bo'lakning massasi va inersiya momenti teng
Integratsiyalash, biz olamiz
Yupqa novda (o'q uchidan o'tadi)
Formulaning kelib chiqishi
Aylanish o'qi novda o'rtasidan oxirigacha harakat qilganda, sterjenning og'irlik markazi o'qga nisbatan masofaga siljiydi. l/2. Shtayner teoremasiga ko'ra yangi daqiqa inertsiya teng bo'ladi
Sayyoralar va ularning yo'ldoshlarining o'lchovsiz inersiya momentlari
Tadqiqot uchun katta qiymat ichki tuzilishi sayyoralar va ularning yo'ldoshlari o'zlarining o'lchovsiz inersiya momentlariga ega. Radiusli jismning o'lchovsiz inersiya momenti r va ommaviy m masofada joylashgan sobit aylanish o'qiga nisbatan bir xil massali moddiy nuqtaning aylanish o'qiga nisbatan uning inersiya momentining inersiya momentiga nisbatiga tengdir. r(teng Janob 2). Bu qiymat massaning chuqurlikda taqsimlanishini aks ettiradi. Uni sayyoralar va sun'iy yo'ldoshlar yaqinida o'lchash usullaridan biri ma'lum bir sayyora yoki sun'iy yo'ldosh yaqinida uchadigan AMS tomonidan uzatiladigan radio signalining Doppler siljishini aniqlashdir. Yupqa devorli shar uchun o'lchovsiz inersiya momenti 2/3 ga (~ 0,67), bir hil to'p uchun - 0,4 ga teng va umuman olganda, qanchalik kam bo'lsa, tananing massasi uning markazida to'plangan. Masalan, Oy 0,4 ga yaqin (0,391 ga teng) o'lchovsiz inersiya momentiga ega, shuning uchun u nisbatan bir hil, deb taxmin qilinadi, uning zichligi chuqurlik bilan ozgina o'zgaradi. Yerning o'lchovsiz inertsiya momenti bir hil sferadan kamroq (0,335 ga teng), bu zich yadro mavjudligi foydasiga dalildir.
Markazdan qochma inersiya momenti
To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimining o'qlariga nisbatan jismning markazdan qochma inersiya momentlari quyidagi miqdorlardir:
Qayerda x, y Va z- hajmli kichik tana elementining koordinatalari dV, zichlik ρ va massa dm.
OX o'qi deyiladi tananing asosiy inertsiya o'qi, agar markazdan qochma inersiya momentlari J xy Va J xz bir vaqtning o'zida nolga teng. Tananing har bir nuqtasidan uchta asosiy inersiya o'qlarini o'tkazish mumkin. Bu o'qlar bir-biriga o'zaro perpendikulyar. Tananing inertsiya momentlari ixtiyoriy nuqtada chizilgan uchta asosiy inersiya o'qiga nisbatan O jismlar deyiladi tananing inertsiyasining asosiy momentlari.
Tananing massa markazidan o'tuvchi asosiy inersiya o'qlari deyiladi tananing inertsiyasining asosiy markaziy o'qlari, va bu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari uning asosiy markaziy nuqtalar inertsiya. Bir jinsli jismning simmetriya o'qi har doim uning asosiy markaziy inersiya o'qlaridan biri hisoblanadi.
Geometrik inersiya momenti
Geometrik inersiya momenti - shakl kesimining geometrik xarakteristikasi
bu erda markaziy o'qdan neytral o'qqa nisbatan istalgan elementar maydongacha bo'lgan masofa.
Geometrik inertsiya momenti materialning harakati bilan bog'liq emas, u faqat qismning qattiqlik darajasini aks ettiradi. Giratsiya radiusini hisoblash, nurning og'ishi, to'sinlar, ustunlar va boshqalarni kesish uchun ishlatiladi.
SI o'lchov birligi m4. Qurilish hisob-kitoblarida, adabiyotlarda va metall prokat assortimentida, xususan, sm 4 da ko'rsatilgan.
Undan bo'limning qarshilik momenti ifodalanadi:
.| Ayrim figuralarning geometrik inersiya momentlari | |
|---|---|
| To'rtburchaklar balandligi va kengligi: | |
| To'rtburchaklar quti qismi tashqi konturlar bo'ylab balandligi va kengligi va , va ichki konturlar bo'ylab va mos ravishda | |
| Doira diametri | |
Markaziy inersiya momenti
Markaziy inersiya momenti(yoki O nuqtaga nisbatan inersiya momenti) kattalikdir
Markaziy inersiya momentini asosiy eksenel yoki markazdan qochma inersiya momentlari bilan ifodalash mumkin: .
Inersiya tenzori va inersiya ellipsoidi
Jismning massa markazidan o'tuvchi va birlik vektori tomonidan belgilangan yo'nalishga ega bo'lgan ixtiyoriy o'qqa nisbatan inersiya momenti kvadratik (ikki chiziqli) shaklda ifodalanishi mumkin:
(1),inertsiya tenzori qayerda. Inertsiya tensor matritsasi nosimmetrik, o'lchamlari bor va markazdan qochma momentlarning tarkibiy qismlaridan iborat:
.
Tegishli koordinatalar tizimini tanlab, inertsiya tensor matritsasi diagonal shaklga keltirilishi mumkin. Buning uchun tenzor matritsasi uchun xos qiymat masalasini yechish kerak:
,
inersiya tenzorining xos asosiga ortogonal o'tish matritsasi qayerda. To'g'ri asosda koordinata o'qlari inertsiya tenzorining asosiy o'qlari bo'ylab yo'naltiriladi, shuningdek, inertsiya tensor ellipsoidining asosiy yarim o'qlari bilan mos keladi. Miqdorlar inertsiyaning asosiy momentlari hisoblanadi. O'z koordinata tizimidagi (1) ifoda quyidagi shaklga ega:
tenglama qayerdan kelib chiqadi
Kuch momenti va inersiya momenti
Moddiy nuqtaning tarjima harakati dinamikasida kinematik xarakteristikalar bilan bir qatorda kuch va massa tushunchalari kiritildi. Aylanma harakat dinamikasini o'rganishda jismoniy miqdorlar kiritiladi - moment Va inersiya momenti, jismoniy ma'no buni biz quyida ochib beramiz.
Bir nuqtada qo'llaniladigan kuch ta'siri ostida ba'zi jismlar bo'lsin A, OO o'qi atrofida aylanadi" (5.1-rasm).
5.1-rasm - Kuch momenti tushunchasining xulosasiga
Kuch o'qga perpendikulyar tekislikda ta'sir qiladi. Perpendikulyar R, nuqtadan tushib ketdi HAQIDA(eksa ustida yotgan) kuch yo'nalishiga deyiladi kuch yelkasi. Qo'lning kuch mahsuloti modulni aniqlaydi kuch momenti nuqtaga nisbatan HAQIDA:
(5.1)
Quvvat momenti kuch va kuch vektorini qo'llash nuqtasi radius vektorining vektor mahsuloti bilan aniqlangan vektordir:
(5.2)
Kuch momenti birligi - Nyuton metr(N . m). Quvvat momenti vektorining yo'nalishini yordamida topish mumkin to'g'ri pervanel qoidalari.
Translatsiya harakati paytida jismlarning inertsiya o'lchovi massadir. Aylanma harakatdagi jismlarning inertsiyasi nafaqat massaga, balki uning aylanish o'qiga nisbatan fazoda taqsimlanishiga ham bog'liq. Aylanma harakatdagi inersiya o'lchovi deyiladi tananing inertsiya momenti aylanish o'qiga nisbatan.
Moddiy nuqtaning inersiya momenti aylanish o'qiga nisbatan - bu nuqta massasining o'qdan masofa kvadratiga mahsuloti:
Tananing inertsiya momenti aylanish o'qiga nisbatan - bu jismni tashkil etuvchi moddiy nuqtalarning inersiya momentlari yig'indisi:
(5.4)
IN umumiy holat, agar tanasi qattiq bo'lsa va kichik massalar bilan nuqtalar to'plamini ifodalasa dm, inersiya momenti integrallash orqali aniqlanadi:
, (5.5)
Qayerda r- aylanish o'qidan massasi d bo'lgan elementgacha bo'lgan masofa m.
Agar tana bir hil bo'lsa va uning zichligi ρ = m/V, keyin tananing inersiya momenti
(5.6)
Jismning inertsiya momenti uning qaysi o'q atrofida aylanishiga va jismning massasi butun hajm bo'ylab qanday taqsimlanishiga bog'liq.
Muntazam geometrik shaklga ega jismlarning inersiya momenti va yagona taqsimlash hajmi bo'yicha massa.
Bir jinsli tayoqning inersiya momenti inersiya markazidan o'tuvchi va novda perpendikulyar o'qga nisbatan,
Bir jinsli silindrning inersiya momenti uning asosiga perpendikulyar bo'lgan va inersiya markazidan o'tadigan o'qga nisbatan,
(5.8)
Yupqa devorli silindr yoki halqaning inersiya momenti uning asosi tekisligiga perpendikulyar bo'lgan va uning markazidan o'tadigan o'qga nisbatan,
To'pning inertsiya momenti diametriga nisbatan
(5.10)
Diskning inersiya markazidan o'tuvchi va aylanish tekisligiga perpendikulyar o'qga nisbatan inersiya momentini aniqlaymiz. Diskning massasi shunday bo'lsin m, va uning radiusi R.
Halqaning maydoni (5.2-rasm) orasiga o'ralgan r va , ga teng.
5.2-rasm – Diskning inersiya momentining xulosasiga
Disk maydoni. Doimiy halqa qalinligi bilan,
qayerdan yoki 
.
Keyin diskning inersiya momenti,
Aniqlik uchun 5.3-rasmda bir hil qattiq moddalar ko'rsatilgan turli shakllar va bu jismlarning massa markazidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momentlari ko'rsatilgan.
5.3-rasm – Inersiya momentlari I Ayrim bir jinsli qattiq jismlarning C.
Shtayner teoremasi
Jismlarning inersiya momentlari uchun yuqoridagi formulalar aylanish o‘qi inersiya markazidan o‘tishi sharti bilan berilgan. Tananing ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momentlarini aniqlash uchun siz foydalanishingiz kerak Shtayner teoremasi : jismning ixtiyoriy aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti berilganga parallel bo'lgan va jismning inersiya markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan J 0 inersiya momentining yig'indisiga teng va md qiymati. 2:
(5.12)
Qayerda m- tana massasi, d- massa markazidan tanlangan aylanish o'qigacha bo'lgan masofa. Inersiya momenti birligi - kilogramm metr kvadrat (kg . m 2).
Shunday qilib, uzunlikdagi bir hil tayoqning inersiya momenti l uning uchidan o'tuvchi o'qga nisbatan Shtayner teoremasiga ko'ra ga teng
Ilova. Inersiya momenti va uni hisoblash.
Qattiq jism Z o'qi atrofida aylansin (6-rasm). Vaqt o'tishi bilan o'zgarmagan, har biri radiusli aylana bo'ylab harakatlanadigan turli xil moddiy nuqtalar tizimi sifatida ifodalanishi mumkin m i . r i, Z o'qiga perpendikulyar tekislikda yotgan. Burchak tezliklari barcha moddiy nuqtalar bir xil. Jismning Z o'qiga nisbatan inersiya momenti kattalikdir:
Qayerda 
– OZ o'qiga nisbatan individual moddiy nuqtaning inersiya momenti. Ta'rifdan kelib chiqadiki, inersiya momenti qo'shimchalar miqdori, ya'ni alohida qismlardan tashkil topgan jismning inersiya momenti qismlarning inersiya momentlari yig'indisiga teng.
6-rasm
Shubhasiz, [ I] = kg×m 2. Inersiya momenti tushunchasining ahamiyati uchta formulada ifodalanadi:
; 
; 
.
Ulardan birinchisi qo'zg'almas o'q Z atrofida aylanadigan jismning burchak momentini ifodalaydi (bu formulani jism impulsi ifodasi bilan solishtirish foydalidir. P = mV c, Qayerda Vc- massa markazining tezligi). Ikkinchi formula jismning sobit o'q atrofida aylanish harakati dinamikasining asosiy tenglamasi deb ataladi, ya'ni Nyutonning aylanish harakati uchun ikkinchi qonuni (massalar markazining harakat qonuni bilan solishtiring: 
). Uchinchi formula sobit o'q atrofida aylanadigan jismning kinetik energiyasini ifodalaydi (zarrachaning kinetik energiyasi ifodasi bilan solishtiring. 
). Formulalarni taqqoslash bizga aylanish harakatidagi inersiya momenti massaga o'xshash rol o'ynaydi, degan xulosaga kelishga imkon beradi, chunki jismning inersiya momenti qanchalik katta bo'lsa, u kamroq burchak tezlanishiga ega bo'ladi, qolgan barcha narsalar teng bo'ladi ( tanani, majoziy ma'noda, aylanish qiyinroq). Aslida, inersiya momentlarini hisoblash uch karrali integralni hisoblashdan kelib chiqadi va faqat cheklangan son uchun bajarilishi mumkin. simmetrik jismlar va faqat simmetriya o'qlari uchun. Tananing atrofida aylanishi mumkin bo'lgan o'qlar soni cheksiz katta. Barcha o'qlar orasida tananing diqqatga sazovor joyidan o'tgani ajralib turadi - massa markazi
(harakatini tasvirlash uchun tizimning butun massasi massa markazida to'plangan va bu nuqtaga barcha kuchlar yig'indisiga teng kuch qo'llaniladi, deb tasavvur qilish kifoya qiladigan nuqta). Ammo massalar markazidan o'tadigan cheksiz ko'p o'qlar ham bor. Ma'lum bo'lishicha, ixtiyoriy shakldagi har qanday qattiq jism uchun uchta o'zaro perpendikulyar o'q mavjud. C x, C y, C z, chaqirildi erkin aylanish o'qlari
, diqqatga sazovor xususiyatga ega bo'lgan: agar tanani bu o'qlardan birortasi atrofida aylantirib, yuqoriga tashlangan bo'lsa, u holda tananing keyingi harakati paytida o'q o'ziga parallel bo'lib qoladi, ya'ni. qulab tushmaydi. Boshqa har qanday o'q atrofida burish bu xususiyatga ega emas. Ko'rsatilgan o'qlarga nisbatan tipik jismlarning inersiya momentlarining qiymatlari quyida keltirilgan. Agar o'q massa markazidan o'tib, lekin o'qlar bilan a, b, g burchaklar hosil qilsa C x, C y, C z Shunga ko'ra, bunday o'qga nisbatan inersiya momenti teng
I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)
Eng oddiy jismlar uchun inersiya momentini hisoblashni qisqacha ko'rib chiqamiz.
1.Tayoqning massa markazidan o'tuvchi va unga perpendikulyar bo'lgan o'qga nisbatan uzun ingichka bir hil tayoqning inersiya momenti.
Mayli T - novda massasi, l - uning uzunligi.
, 
Indeks " Bilan» inertsiya momentida tushunarli bu massa markazi (tananing simmetriya markazi) nuqtasidan o'tadigan o'qqa nisbatan inersiya momenti ekanligini anglatadi, C(0,0,0).
2. Yupqa to'rtburchak plastinkaning inersiya momenti.
; 
;
3. To‘g‘ri burchakli parallelepipedning inersiya momenti.
, t. C(0,0,0)
4. Yupqa halqaning inersiya momenti.
;
, t. C(0,0,0)
5. Yupqa diskning inersiya momenti.
Simmetriya tufayli
; 
;
6. Qattiq silindrning inersiya momenti.
;
Simmetriya tufayli:
7. Qattiq jismning inersiya momenti.
, t. C(0,0,0)
8. Qattiq konusning inersiya momenti.
, t.C(0,0,0)
Qayerda R- asosning radiusi, h- konusning balandligi.
Eslatib o'tamiz, cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Nihoyat, agar O o'qi massalar markazidan o'tmasa, u holda tananing inersiya momentini Gyuygens Shtayner teoremasi yordamida hisoblash mumkin.
I o = I s + md 2, (**)
Qayerda men o- tananing ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momenti; men s- massa markazidan o'tuvchi unga parallel o'qga nisbatan inersiya momenti;
m- tana massasi, d- o'qlar orasidagi masofa.
Ixtiyoriy o'qqa nisbatan standart shakldagi jismlar uchun inersiya momentlarini hisoblash tartibi quyidagilarga qisqartiriladi.
Inersiya momenti
Inertsiya momentini hisoblash uchun biz tanani aqliy ravishda etarlicha kichik elementlarga bo'lishimiz kerak, ularning nuqtalari aylanish o'qidan bir xil masofada joylashgan deb hisoblanishi mumkin, so'ngra har bir elementning massasi kvadratiga ko'paytirilishi kerak. uning o'qdan masofasini va nihoyat, barcha hosil bo'lgan mahsulotlarni yig'ing. Shubhasiz, bu juda ko'p vaqt talab qiladigan ish. Hisoblash uchun
jismlarning inersiya momentlari to'g'ri geometrik shakl Ba'zi hollarda siz integral hisoblash usullaridan foydalanishingiz mumkin.
Cheksiz kichik elementlar uchun hisoblangan cheksiz ko'p sonli inersiya momentlarini yig'ish bilan tana elementlarining inersiya momentlarining cheklangan yig'indisini aniqlashni almashtiramiz:
lim i = 1 ∞ SDm i r i 2 = ∫r 2 dm. (da Dm → 0).
Bir jinsli disk yoki balandligi bo'lgan qattiq silindrning inersiya momentini hisoblaylik h uning simmetriya o'qiga nisbatan
Diskni markazlari simmetriya o'qida joylashgan ingichka konsentrik halqalar ko'rinishidagi elementlarga ajratamiz. Olingan halqalar ichki diametrga ega r va tashqi r+dr, va balandligi h. Chunki dr<< r
, keyin halqaning barcha nuqtalarining o'qdan masofasi teng deb taxmin qilishimiz mumkin r.
Har bir alohida halqa uchun inersiya momenti
i = SDmr 2 = r 2 SDm,
Qayerda SDm- butun halqaning massasi.
Qo'ng'iroq tovushi 2prhdr. Disk materialining zichligi bo'lsa ρ
, keyin halqaning massasi
r2prhdr.
Halqaning inersiya momenti
i = 2pr 3 dr.
Butun diskning inersiya momentini hisoblash uchun diskning markazidan halqalarning inersiya momentlarini umumlashtirish kerak ( r = 0) uning chetiga ( r = R), ya'ni integralni hisoblang:
I = 2prh 0 R ∫r 3 dr,
yoki
I = (1/2)phR 4.
Ammo diskning massasi m = rhR 2, shuning uchun,
I = (1/2)mR 2.
Bir hil materiallardan yasalgan ba'zi muntazam geometrik shakldagi jismlar uchun inersiya momentlarini (hisoblashsiz) keltiramiz. 
1.
Yupqa halqaning markazidan o'z tekisligiga perpendikulyar bo'lgan o'qga nisbatan inersiya momenti (yoki uning simmetriya o'qiga nisbatan ingichka devorli ichi bo'sh silindr):
I = mR 2.
2.
Qalin devorli silindrning simmetriya o'qiga nisbatan inersiya momenti:
I = (1/2)m(R 1 2 - R 2 2)
Qayerda R 1- ichki va R 2− tashqi radiuslar.
3.
Diskning diametrlaridan biriga to'g'ri keladigan o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = (1/4)mR 2.
4.
Qattiq silindrning avlodga perpendikulyar bo'lgan va uning o'rtasidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = m (R 2 /4 + h 2 /12)
Qayerda R- silindr asosining radiusi, h− silindr balandligi.
5.
Yupqa tayoqning o'rtasidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = (1/12) ml 2,
Qayerda l- novda uzunligi.
6.
Yupqa tayoqning uning uchlaridan biridan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = (1/3) ml 2
7. Sharning diametrlaridan biriga to'g'ri keladigan o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = (2/5)mR 2.
Agar jismning inersiya momenti uning massa markazidan oʻtuvchi oʻq haqida maʼlum boʻlsa, birinchisiga parallel boʻlgan har qanday boshqa oʻqqa nisbatan inersiya momentini Gyuygens-Shtayner teoremasi deb ataladigan narsa asosida topish mumkin.
Tananing inertsiya momenti I har qanday o'qga nisbatan tananing inersiya momentiga teng men s berilganga parallel bo'lgan va tananing massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan, qo'shimcha ravishda tananing massasi m, masofaning kvadratiga ko'paytiriladi l eksa o'rtasida:
I = I c + ml 2.
Misol tariqasida radiusli sharning inersiya momentini hisoblaylik R va massa m, to'xtatib turish nuqtasidan o'tadigan o'qga nisbatan l uzunlikdagi ipga osilgan HAQIDA. Ipning massasi to'pning massasiga nisbatan kichikdir. To'pning massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momentidan boshlab Ic = (2/5)mR 2, va masofa
o'qlar orasidagi ( l + R), u holda to'xtatib turish nuqtasidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Inersiya momentining o'lchami:
[I] = [m] × = ML 2.
