Ta'rif. Qandaydir oraliqda f(x) funksiya aniqlansin va x 0 bu oraliqdagi nuqta bo‘lsin. Agar bo'lsa, f(x) x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Ta'rifdan kelib chiqadiki, uzluksizlik haqida faqat f(x) aniqlangan nuqtalarga nisbatan gapirish mumkin (funksiya chegarasini belgilashda bunday shart qo'yilmagan). Uzluksiz funktsiyalar uchun , ya'ni f va lim amallari almashtiriladi. Shunga ko'ra, nuqtadagi funksiya chegarasining ikkita ta'rifiga uzluksizlikning ikkita ta'rifi berilishi mumkin - "ketma-ketliklar tilida" va "tengsizliklar tilida" (e-d tilida). Buni o'zingiz qilishingiz tavsiya etiladi.
Amaliy foydalanish uchun ba'zan o'sishlar tilida uzluksizlikni aniqlash qulayroqdir.
Dx=x-x 0 qiymati argumentning ortishi deyiladi, Dy=f(x)-f(x 0) esa funksiyaning x 0 nuqtadan x nuqtaga o’tishdagi o’sish qiymatidir.
Ta'rif. f(x) x 0 nuqtada aniqlansin. Agar f(x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar bu nuqtadagi argumentning cheksiz kichik o‘sishi funksiyaning cheksiz kichik o‘sishiga to‘g‘ri kelsa, ya’ni Dx→0 uchun Dy→0.

1-misol. y=sinx funksiyasi x ning istalgan qiymati uchun uzluksiz ekanligini isbotlang.
Yechim. x 0 ixtiyoriy nuqta bo'lsin. Unga Dx ortishini berib, x=x 0 +Dx nuqtasini olamiz. Keyin . olamiz .
Ta'rif. y=f(x) funksiya agar o'ngda (chapda) x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi
.
Ichki nuqtada uzluksiz funksiya ham o'ng, ham chap uzluksiz bo'ladi. Buning aksi ham to'g'ri: agar funktsiya chap va o'ngdagi nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo'ladi. Biroq, funktsiya faqat bir tomonda uzluksiz bo'lishi mumkin. Masalan, uchun , , f(1)=1, shuning uchun bu funksiya faqat chap tomonda uzluksizdir (ushbu funksiya grafigi uchun yuqoridagi 5.7.2-bandga qarang).
Ta'rif. Funktsiya qaysidir oraliqda uzluksiz deyiladi, agar u shu oraliqning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa.
Xususan, agar interval segment bo'lsa, uning uchlarida bir tomonlama davomiylik nazarda tutiladi.

Uzluksiz funksiyalarning xossalari

1. Barcha elementar funksiyalar aniqlanish sohasi bo‘yicha uzluksizdir.
2. Agar ma’lum oraliqda berilgan f(x) va ph(x) bu oraliqning x 0 nuqtasida uzluksiz bo’lsa, bu nuqtada funksiyalar ham uzluksiz bo’ladi.
3. Agar X dan x 0 nuqtada y=f(x) uzluksiz, Y dan mos keladigan y 0 =f(x 0) nuqtada z=ph(y) uzluksiz bo‘lsa, u holda murakkab funktsiya z=ph(f(x)) x 0 nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Funksiya uzilishlari va ularning tasnifi

f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi uzluksizligi belgisi tenglik bo’lib, u uchta shartning mavjudligini bildiradi:
1) f(x) x 0 nuqtada aniqlanadi;
2) ;
3) .
Agar ushbu talablardan kamida bittasi buzilgan bo'lsa, u holda x 0 funksiyaning uzilish nuqtasi deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, uzilish nuqtasi bu funksiya uzluksiz bo'lmagan nuqtadir. Tanaffus nuqtalarining ta'rifidan kelib chiqadiki, funktsiyaning uzilish nuqtalari:
a) f(x) uzluksizlik xossasini yo‘qotadigan funksiyani aniqlash sohasiga tegishli nuqtalar;
b) f(x) ning aniqlanish sohasiga mansub bo'lmagan nuqtalar, ular funksiyaning aniqlanish sohasining ikkita intervalining qo'shni nuqtalari.
Masalan, funktsiya uchun x=0 nuqtasi uzilish nuqtasidir, chunki bu nuqtadagi funktsiya aniqlanmagan va funktsiya f(x) ning aniqlanish sohasining ikkita (-∞,1) va (1,∞) oraliqlariga tutashgan x=1 nuqtada uzilishga ega va mavjud emas.

Tanaffus nuqtalari uchun quyidagi tasnif qabul qilinadi.
1) Agar x 0 nuqtada chekli bo'lsa Va , lekin f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), u holda x 0 deyiladi. birinchi turdagi uzilish nuqtasi , va deyiladi funksiya sakrash .

2-misol. Funktsiyani ko'rib chiqing
Funktsiyani faqat x=2 nuqtada buzish mumkin (boshqa nuqtalarda u har qanday ko'phad kabi uzluksizdir).
Biz topamiz , . Bir tomonlama chegaralar cheklangan, lekin bir-biriga teng emasligi sababli, x=2 nuqtada funksiya birinchi turdagi uzilishga ega. e'tibor bering, bu , shuning uchun bu nuqtadagi funksiya o'ng tomonda uzluksizdir (2-rasm).
2) Ikkinchi turdagi uzilish nuqtalari bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi ∞ ga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi.

3-misol. y=2 1/ x funksiya x ning x=0 dan tashqari barcha qiymatlari uchun uzluksizdir. Keling, bir tomonlama chegaralarni topaylik: , , shuning uchun x=0 ikkinchi turdagi uzilish nuqtasidir (3-rasm).
3) x=x 0 nuqta chaqiriladi olinadigan uzilish nuqtasi , agar f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0) bo'lsa.
Bu nuqtada funktsiya qiymatini belgilash orqali o'zgartirish (qayta aniqlash yoki qayta belgilash) kifoya qiladi va funksiya x 0 nuqtasida uzluksiz bo'lib qoladi, degan ma'noda biz bo'shliqni "yo'q qilamiz".
4-misol. Ma'lumki , va bu chegara x ning nolga intilish yo'liga bog'liq emas. Lekin x=0 nuqtadagi funksiya aniqlanmagan. Agar funktsiyani f(0)=1 o'rnatib qayta aniqlasak, u holda shu nuqtada uzluksiz bo'lib chiqadi (boshqa nuqtalarda sinx va x uzluksiz funksiyalar bo'limi sifatida uzluksiz bo'ladi).
5-misol. Funksiyaning uzluksizligini tekshirish .
Yechim. y=x 3 va y=2x funktsiyalari hamma joyda, shu jumladan ko'rsatilgan oraliqlarda ham aniqlangan va uzluksizdir. X=0 oraliqlarining tutashuv nuqtasini ko‘rib chiqamiz:
, , . Buni olamiz, bu esa x=0 nuqtada funksiya uzluksiz ekanligini bildiradi.
Ta'rif. Birinchi turdagi uzilish nuqtalarining cheklangan soni yoki olinadigan uzilishlar bundan mustasno, intervalda uzluksiz bo'lgan funksiya bu oraliqda bo'lak uzluksiz deyiladi.

Uzluksiz funksiyalarga misollar

1-misol. Funksiya x=2 nuqtadan tashqari (-∞,+∞) da aniqlangan va uzluksizdir. Keling, tanaffus turini aniqlaymiz. Chunki Va , u holda x=2 nuqtada ikkinchi turdagi uzilish mavjud (6-rasm).
2-misol. Funksiya x=0 dan tashqari barcha x uchun aniqlangan va uzluksizdir, bunda maxraj nolga teng. x=0 nuqtada bir tomonlama chegaralarni topamiz:
Bir tomonlama chegaralar chekli va har xil, shuning uchun x=0 birinchi turdagi uzilish nuqtasidir (7-rasm).
3-misol. Funksiya qaysi nuqtalarda va qanday uzilishlarga ega ekanligini aniqlang
Bu funksiya [-2,2] da aniqlanadi. [-2,0] va mos ravishda oraliqlarda x 2 va 1/x uzluksiz bo'lganligi sababli, uzilish faqat oraliqlarning tutashgan joyida, ya'ni x=0 nuqtada sodir bo'lishi mumkin. Chunki, u holda x=0 ikkinchi turdagi uzilish nuqtasidir.

4-misol. Funktsiya bo'shliqlarini bartaraf etish mumkinmi:
A) x=2 nuqtada;
b) x=2 nuqtada;
V) x=1 nuqtada?
Yechim. a) misoliga kelsak, x=2 nuqtadagi f(x) uzilishni bartaraf etib bo'lmaydi, deb aytishimiz mumkin, chunki bu nuqtada cheksiz bir tomonlama chegaralar mavjud (1-misolga qarang).
b) g(x) funksiya x=2 nuqtada chekli bir tomonlama chegaralarga ega bo'lsa ham

(,),

lekin ular bir-biriga mos kelmaydi, shuning uchun bo'shliqni ham bartaraf etib bo'lmaydi.
c) x=1 uzilish nuqtasidagi ph(x) funksiya teng bir tomonlama chekli chegaralarga ega: . Demak, f(1)=2 o‘rniga f(1)=1 qo‘yish orqali x=1 da funksiyani qayta belgilash orqali bo‘shliqni bartaraf etish mumkin.

5-misol. Dirixlet funktsiyasini ko'rsating

raqamli o'qning har bir nuqtasida uzluksiz.
Yechim. x 0 (-∞,+∞) dan istalgan nuqta bo'lsin. Uning har qanday mahallasida ham mantiqiy, ham irratsional nuqtalar mavjud. Bu shuni anglatadiki, x 0 ning istalgan qo'shnisida funktsiya 0 va 1 ga teng qiymatlarga ega bo'ladi. Bu holda, x 0 nuqtasida chapda ham, o'ngda ham funktsiya chegarasi bo'lishi mumkin emas. Dirixle funktsiyasi haqiqiy o'qning har bir nuqtasida ikkinchi turdagi uzilishlarga ega.

6-misol. Funktsiyaning uzilish nuqtalarini toping

va ularning turini aniqlang.
Yechim. Buzilishda gumon qilingan nuqtalar x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3 nuqtalardir.
x 1 =2 nuqtada f(x) ikkinchi turdagi uzilishga ega, chunki
.
X 2 =5 nuqta uzluksizlik nuqtasidir, chunki funksiyaning shu nuqtadagi va uning atrofidagi qiymati birinchi emas, balki ikkinchi chiziq bilan aniqlanadi: .
x 3 =3 nuqtani tekshiramiz: , , shundan kelib chiqadiki, x=3 birinchi turdagi uzilish nuqtasidir.

Uchun mustaqil qaror.
Funksiyalarning uzluksizligini tekshiring va uzilish nuqtalarining turini aniqlang:
1) ; Javob: x=-1 – olinadigan uzilish nuqtasi;
2) ; Javob: x=8 nuqtada ikkinchi turdagi uzilish;
3) ; Javob: x=1 da birinchi turdagi uzilish;
4)
Javob: x 1 =-5 nuqtada olinadigan bo'shliq, x 2 =1 nuqtada ikkinchi turdagi bo'shliq va x 3 =0 nuqtada birinchi turdagi bo'shliq mavjud.
5) Funksiya bo'lishi uchun A soni qanday tanlanishi kerak

x=0 da uzluksiz bo'ladimi?
Javob: A=2.
6) Funksiya bo'lishi uchun A raqamini tanlash mumkinmi

x = 2 da uzluksiz bo'ladimi?
Javob: yo'q.

Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi. Funktsiya y = f(x ) oldindan deyiladi

x 0 nuqtasida silkinish, agar:

1) bu funksiya nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlanadi x 0;

2) chegarasi bor f(x);

→ x 0

3) bu chegara qiymatiga teng x 0 nuqtadagi funktsiyalar, ya'ni. limf (x )= f (x 0 ) .
		x→ x0
Oxirgi shart lim shartiga teng		y = 0, bu erda x = x - x 0 - qachon
	x→ 0
argumentning aylanishi, y = f (x 0 +	x )− f (x 0 ) – mos keladigan funksiyaning o‘sishi
argumentni oshirish	x, ya'ni. funktsiyasi	f(x) x 0 da uzluksizdir

agar va faqat shu nuqtada argumentning cheksiz kichik o'sishi funktsiyaning cheksiz kichik o'sishiga to'g'ri kelsa.

Bir tomonlama davomiylik. y = f (x) funksiya uzluksiz deyiladi

chapda x 0 nuqtasida, agar u ba'zi bir yarim oraliqda (a ;x 0 ) aniqlangan bo'lsa

va lim f (x)= f (x 0).

x→ x0 − 0

y = f (x) funktsiya x 0 nuqtada to'g'ri uzluksiz deyiladi, agar u op-

ma'lum bir yarim oraliqda taqsimlanadi [ x 0 ;a ) va limf (x )= f (x 0 ) .

x→ x0 + 0

y = f(x) funksiya		x 0 nuqtada uzluksiz			keyin va faqat u qachon
davomiy
lim f (x)= limf (x)= limf (x)= f (x 0).
x→ x0 + 0	x→ x0 − 0	x→ x0

To‘plamdagi funksiyaning uzluksizligi. y = f (x) funksiya chaqiriladi

to'plamda uzluksiz X, agar u ushbu to'plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa. Bundan tashqari, agar funktsiya raqamli o'qning ma'lum bir oralig'i oxirida aniqlangan bo'lsa, unda bu nuqtadagi uzluksizlik o'ng yoki chapdagi davomiylik deb tushuniladi. Xususan, y = f (x) funksiya nodavlat deyiladi.

segmentida uzluksiz [a; b] agar u

1) intervalning har bir nuqtasida uzluksiz(a;b);

2) nuqtada to‘g‘ri uzluksiz bo‘ladi a;

3) nuqtada uzluksiz qoldiriladi b.

Funktsiyaning uzilish nuqtalari. y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli yoki shu sohaning chegara nuqtasi bo'lgan x 0 nuqta deyiladi.

Ushbu funktsiyaning uzilish nuqtasi, iff(x) bu nuqtada uzluksiz emas.

Uzluksizlik nuqtalari birinchi va ikkinchi turdagi uzilish nuqtalariga bo'linadi:

1) Agar chekli chegaralar mavjud bo'lsa lim f (x )= f (x 0 − 0) va

x→ x0 − 0

	f (x)= f (x 0 + 0) va uchta raqam ham f (x 0 - 0), f (x 0 + 0),		f (x 0 ) teng
x→ x0 + 0
o'zaro, keyin x 0		birinchi turdagi uzilish nuqtasi deb ataladi.
	Xususan, x 0 nuqtada funksiyaning chap va o'ng chegaralari bo'lsa		orasida teng
	o'zingiz, lekin	bu nuqtada funktsiya qiymatiga teng emas:

f (x0 - 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , keyin x 0 olinadigan uzilish nuqtasi deb ataladi.

Bunday holda, f (x 0 )= A ni o'rnatib, funksiyani x 0 nuqtasida o'zgartirishingiz mumkin

shunday qilib, u uzluksiz bo'ladi ( funksiyani uzluksizligi bilan qayta aniqlang). f (x 0 + 0)− f (x 0 - 0) farqi deyiladi nuqtada funksiyaning sakrashi x 0.

Olinadigan uzilish nuqtasida funksiya sakrashi nolga teng.

2) Birinchi turdagi uzilish nuqtalari bo'lmagan uzilish nuqtalari deyiladi ikkinchi turdagi uzilish nuqtalari. Ikkinchi turdagi uzilish nuqtalarida f (x 0 - 0) va f (x 0 + 0) bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi mavjud emas yoki cheksizdir.

Bir nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari.

		f(x)	va g (x) x 0 nuqtada uzluksiz, keyin funksiyalar
f(x)±g(x),	f(x)g(x) va	f(x)	(bu yerda g (x)≠ 0) x nuqtada ham uzluksizdir.
		g(x)

2) Agar u (x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz, f (u) funksiya uzluksiz bo‘lsa.

nuqtada u 0 = u (x 0), u holda kompleks funktsiya f (u (x)) x 0 nuqtada uzluksiz bo'ladi.

3) Barcha asosiy elementar funksiyalar (c, x a, a x, loga x, sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx) har birida uzluksizdir.

ularning ta'rif sohalari nuqtasiga.

1)–3) xossalardan kelib chiqadiki, barcha elementar funksiyalar (cheklangan sonli arifmetik amallar va kompozitsion amallar yordamida asosiy elementar funksiyalardan olinadigan funksiyalar) ham ularning aniqlanish sohalarining har bir nuqtasida uzluksizdir.

Intervalda uzluksiz funksiyalarning xossalari.

1) (oraliq qiymat teoremasi) f(x) funksiya aniqlansin

ustida va [a;b] segmentida uzluksizdir. Keyin har qanday C raqami uchun

f (a) va f (b), (f (a) raqamlari o'rtasida< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .

2) (Bolzano-Koshi teoremasi

[a;b] segmentida uzluksiz bo'lib, uning uchlarida turli belgilar qiymatlarini oladi.

U holda f (x 0 )= 0 bo'ladigan kamida bitta x 0 [ a ; b ] nuqta mavjud.

3) (1-chi Veyershtras teoremasi) f (x) funksiya aniqlansin va

segmentida yirtilgan [a;b]. Keyin bu funksiya ushbu segmentda cheklangan.

4) (2-chi Veyershtras teoremasi) f (x) funksiya aniqlansin va

segmentga shoshiling		[a;b] . Keyin bu funktsiya [ a ; b ] oralig'iga etadi.
eng buyuk		kamida	qadriyatlar, ya'ni.	mavjud
x1, x2 [a; b] ,		har qanday uchun	nuqta x [a;b]	adolatli	tengsizliklar

f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .

5.17-misol. Uzluksizlik ta’rifidan foydalanib, y = 3x 2 + 2x − 5 funksiya sonlar chizig‘ining ixtiyoriy x 0 nuqtasida uzluksiz ekanligini isbotlang.

Yechish: 1-usul: X 0 sonlar o‘qidagi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. Siz-

Funktsiyalar yig'indisi va ko'paytmasining chegarasi haqidagi teoremalarni qo'llagan holda, avval f (x) funksiyaning chegarasini x → x 0 deb hisoblaymiz:

lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2							− 5.
x→ x0	x→ x0	x→ x0	x→ x0
Keyin funksiyaning x:f (x)= 3x 2 nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz							− 5 .
Olingan natijalarni taqqoslab, biz ko'ramiz				lim f (x)= f (x 0) ga muvofiq
				x→ x0

ta'rifi va ko'rib chiqilayotgan funksiyaning x 0 nuqtadagi uzluksizligini bildiradi.

2-usul: ruxsat bering		x – 0 nuqtadagi argumentning ortishi. Keling, yozishmalarni topaylik
muvofiq	oshirish			y = f(x0 + x) − f(x0 ) =
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5)
6 x x+ (x) 2	2x = (6x + 2)x + (x)2.
Keling, argumentning o'sishida funktsiya o'sishi chegarasini hisoblaylik
		intiladi

	y = lim (6x + 2)		x + (x )2 = (6x + 2) lim		x + (limx)2 = 0.
x→ 0	x→ 0			x→ 0	x→ 0

Shunday qilib, lim y = 0, bu ta'rifi bo'yicha uzluksizlikni anglatadi

x→ 0

har qanday x 0 R uchun funktsiyalar.

5.18-misol. f (x) funksiyaning uzilish nuqtalarini toping va ularning turini aniqlang. IN

Olib tashlash mumkin bo'lgan uzilish bo'lsa, funktsiyani uzluksizlik bilan aniqlang:

1) f (x) = 1− x 2 da x< 3;

x ≥ 3 bo'lganda 5x

2) f (x)= x 2 + 4 x + 3;

x+1

	f(x)=
		x4 (x− 2)
	f(x)= arktan
			(x − 5)

Yechish: 1) Bu funksiyaning aniqlanish sohasi butun sondir

y o'qi (−∞ ;+∞ ) . (−∞ ;3) ,(3;+∞ ) oraliqlarda funksiya uzluksiz. Uzluksizlik faqat x = 3 nuqtada mumkin, bunda funktsiyaning analitik spetsifikatsiyasi o'zgaradi.

Belgilangan nuqtada funksiyaning bir tomonlama chegaralarini topamiz:

f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;

x →3 −0

f (3+ 0)= lim 5x = 15.

x →3 +0

Biz chap va o'ng chegaralar cheklanganligini ko'ramiz, shuning uchun x = 3
yorilish I			f(x). Funktsiyaga o'tish
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 .
		f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , shuning uchun nuqtada		x = 3

f(x) to'g'ri uzluksiz.

2) Funktsiya nuqtadan tashqari butun son chizig'ida uzluksizdir x = - 1, unda aniqlanmagan. Numeratorni kengaytirib, f (x) uchun ifodani o'zgartiramiz

Fraksiyalarni omillarga:		f(x)=			4 x +3			(x + 1)(x + 3)	x ≠ − 1 uchun X + 3.
					x+1			x+1
Funksiyaning x = − 1 nuqtadagi bir tomonlama chegaralarini topamiz:
	f(x)=lim	f (x )= lim(x + 3)= 2 .
x →−1−0	x →−1 +0		x →−1

Biz o'rganilayotgan nuqtada funksiyaning chap va o'ng chegaralari mavjudligini, cheklangan va bir-biriga teng ekanligini aniqladik, shuning uchun x = - 1 olinadigan nuqtadir.

to'g'ri chiziq y = x + 3 "teshilgan" nuqta bilan M (- 1;2) . Funktsiya doimiy bo'lishi uchun

uzluksiz, f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 ni qo‘yishimiz kerak.

Shunday qilib, f (x) ni x = − 1 nuqtadagi uzluksizlik bilan qo‘shimcha aniqlab, aniqlanish sohasi (−∞ ;+∞ ) bilan f * (x)= x + 3 funksiyasini oldik.

3) Bu funksiya hamma uchun belgilangan va doimiy x nuqtalardan tashqari

x = 0,x = 2, bunda kasrning maxraji nolga aylanadi.

x = 0 nuqtasini ko'rib chiqing:

Nolning etarlicha kichik mahallasida funktsiya faqat oladi

	manfiy qiymatlar uchun f (− 0)= lim			= −∞ = f (+0)	Bular. nuqta
			(x − 2)
	x →−0
	x = 0 - ikkinchi turdagi funksiyaning uzilish nuqtasi		f(x).

Endi x = 2 nuqtasini ko'rib chiqing:

Funktsiya ko'rib chiqilayotganning chap tomoniga yaqin salbiy qiymatlarni oladi

	nuqta va ijobiylar o'ng tomonda, shuning uchun				f (2− 0)=			= −∞,
							x4 (x− 2)
						x →2 −0
	f (2+ 0)= lim			= +∞ . Oldingi holatda bo'lgani kabi, pointx = 2 da
			(x − 2)
	x →2 +0

tion na chap, na o'ng chegaralangan chegaralarga ega emas, ya'ni. bu vaqtda II turdagi yorilish sodir bo'ladi.

x = 5.

f (5− 0)= lim arktan

p ,f (5+ 0)= lim arktan

x = 5

(x − 5)

(x − 5)

x →5 −0

x →5 +0

yorilish

f (5+ 0)− f (5− 0)=

π − (−

p )= p (5.2-rasmga qarang).

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

5.174. Faqat ta'rifdan foydalanib, f (x) funksiyaning uzluksizligini isbotlang

har bir nuqta x 0 R:

a) f(x) = c= const;		b) f (x)= x;
c) f (x)= x 3;		d) f (x)= 5x 2 - 4x + 1;
e) f (x)= sinx.
5.175. Funktsiya ekanligini isbotlang	f(x) = x2	1 qachon x ≥ 0,	davom etmoqda
		1 da x< 0
butun son qatori. Ushbu funktsiyaning grafigini tuzing.
5.176. Funktsiya ekanligini isbotlang	f(x) = x2	1 qachon x ≥ 0,	doimiy emas
		0 da x< 0

nuqtada x = 0, lekin shu nuqtada to'g'ri uzluksiz. f(x) funksiyaning grafigini tuzing.

x = nuqtasida tebranish

Lekin bu nuqtada chapda uzluksiz. Grafik tuzing

f(x) funksiyalari.

5.178. Grafik funktsiyalari

a) y =

x+1

b) y= x+

x+1

x+1

x+1

Bu funksiyalarning uzilish nuqtalarida uzluksizlik shartlaridan qaysi biri qanoatlansa, qaysi biri qanoatlanmaydi?

5.179. Funktsiyaning uzilish nuqtasini belgilang

gunoh x		x ≠ 0 uchun
		x = 0 da

Ushbu nuqtada uzluksizlik shartlaridan qaysi biri bajariladi va qaysi biri bajarilmaydi?

Ta'rif funksiyaning uzilish nuqtalari ularning turlari esa funksiya uzluksizligi mavzusining davomi hisoblanadi. Funksiyaning uzilish nuqtalari ma’nosining vizual (grafik) izohi ham uzluksizlik tushunchasidan farqli ravishda berilgan. Funksiyaning uzilish nuqtalarini topish va ularning turlarini aniqlashni o‘rganamiz. Biznikilar esa bu borada bizga yordam beradi sodiq do'stlar- chap va o'ng chegaralar, odatda bir tomonlama chegaralar deb ataladi. Agar kimdir bir tomonlama cheklovlardan qo'rqsa, biz uni tez orada yo'q qilamiz.

Grafikdagi bir-biriga bog'lanmagan nuqtalar deyiladi funksiyaning uzilish nuqtalari . Quyidagi rasmda x=2 - - nuqtada uzilishga uchragan bunday funktsiyaning grafigi.

Yuqoridagilarning umumlashtirilishi quyidagi ta'rifdir. Agar funktsiya biror nuqtada uzluksiz bo'lmasa, u nuqtada uzilishga ega va nuqtaning o'zi deyiladi. uzilish nuqtasi . Buzilishlar birinchi va ikkinchi turdagi .

Aniqlash uchun uzilish nuqtalarining turlari (belgilari). funktsiyalarni ishonch bilan topish kerak chegaralar, shuning uchun tegishli darsni yangi oynada ochish yaxshi fikr. Ammo to'xtash nuqtalari bilan bog'liq holda, bizda yangi va muhim narsa bor - bir tomonlama (chap va o'ng) chegaralar. Umuman olganda, ular yoziladi (o'ng chegara) va (chap chegara). Umuman chegara holatida bo'lgani kabi, funktsiyaning chegarasini topish uchun funksiya ifodasida X ni X ga intilayotgan narsaga almashtirish kerak. Ammo, ehtimol siz o'ng va chap chegaralar qanday farq qiladi, deb so'raysiz, agar o'ng tomonda X ga biror narsa qo'shilsa, lekin bu narsa nolga teng bo'lsa va chap tomonda X dan biror narsa ayirilsa, lekin bu narsa - nol ham? Va siz haq bo'lasiz. Ko `p holatlarda.

Ammo funktsiyaning uzilish nuqtalarini qidirish va ularning turini aniqlash amaliyotida o'ng va chap chegaralar teng bo'lmagan ikkita tipik holat mavjud:

• Funktsiyada son qatorining x tegishli qismiga qarab ikki yoki undan ortiq ifodalar mavjud (bu ifodalar odatda keyin jingalak qavs ichida yoziladi. f(x)= );
• X ga moyil bo'lgan narsani almashtirish natijasida biz maxrajida yo plyus nol (+0) yoki minus nol (-0) bo'lib qoladigan kasrni olamiz va shuning uchun bunday kasr yo ortiqcha cheksizlik yoki minus cheksizlikni bildiradi va bular butunlay boshqa narsalar.

Birinchi turdagi uzilish nuqtalari

Birinchi turdagi uzilish nuqtasi: funktsiyaning ham chekli (ya'ni, cheksizlikka teng emas) chap chegarasi va chekli o'ng chegarasi bor, lekin funksiya nuqtada aniqlanmagan yoki chap va o'ng chegaralar har xil (teng emas).

Birinchi turdagi olinadigan uzilish nuqtasi. Chap va o'ng chegaralar teng. Bunday holda, funktsiyani bir nuqtada qo'shimcha ravishda aniqlash mumkin. Bir nuqtada funktsiyani aniqlash, oddiy qilib aytganda, chap va o'ng chegaralar bir-biriga teng bo'lgan nuqta mavjud bo'lgan nuqtalarning bog'lanishini ta'minlashni anglatadi. Bunday holda, ulanish funksiyaning qiymati topilishi kerak bo'lgan faqat bitta nuqtani ifodalashi kerak.

1-misol. Funksiyaning uzilish nuqtasini va uzilish nuqtasining turini (belgisini) aniqlang.

Ikkinchi turdagi uzilish nuqtalari

Ikkinchi turdagi uzilish nuqtasi: chegaralardan kamida bittasi (chap yoki o'ng) cheksiz bo'lgan nuqta (cheksizlikka teng).

3-misol.

Yechim. Quvvat ifodasidan e nuqtada funksiya aniqlanmaganligi aniq. Bu nuqtada funksiyaning chap va o‘ng chegaralarini topamiz:

Chegaralardan biri cheksizlikka teng, shuning uchun nuqta ikkinchi turdagi uzilish nuqtasidir. Tanaffus nuqtasi bo'lgan funksiyaning grafigi misol ostida.

Funktsiyaning uzilish nuqtalarini topish mustaqil vazifa yoki uning bir qismi bo'lishi mumkin To'liq funktsiyali tadqiqot va grafik .

4-misol. Funksiyaning uzilish nuqtasini va funksiya uchun uzilish nuqtasining turini (belgisini) aniqlang

Yechim. 2 dagi quvvat ifodasidan funktsiya nuqtada aniqlanmaganligi aniq. Shu nuqtada funksiyaning chap va o‘ng chegaralarini topamiz.

Olib tashlanadigan bo'shliq.

Ta'rif. Nuqta a funksiyaning olinadigan uzilish nuqtasi deb ataladi y=f(x), agar funktsiyaning chegarasi bo'lsa f(x) bu nuqtada mavjud, lekin ayni paytda a funktsiyasi f(x) aniqlanmagan yoki shaxsiy ma'noga ega f(a), chegaradan farq qiladi f(x) ayni paytda.

Misol. Masalan, funktsiya

nuqtada bor x=0 ta'mirlanadigan bo'shliq. Haqiqatan ham, ushbu funktsiyaning nuqtadagi chegaraviy qiymati x=0 1 ga teng. Qisman qiymat 2 ga teng.

Agar funktsiya f(x) nuqtada bor a olinadigan bo'shliq, keyin bu bo'shliqni boshqa nuqtalarda funktsiya qiymatlarini o'zgartirmasdan yo'q qilish mumkin a. Buning uchun funksiya qiymatini nuqtaga qo'yish kifoya a bu nuqtada uning chegara qiymatiga teng. Shunday qilib, yuqorida ko'rib chiqilgan misolda qo'yish kifoya f(0)=1 undan keyin , ya'ni. funktsiyasi f(x) nuqtada uzluksiz bo'ladi x=0.

Birinchi turdagi buzilish.

Ta'rif. Nuqta a birinchi turdagi uzilish nuqtasi deb ataladi, agar bu nuqtada funktsiya f(x) cheklangan, lekin teng bo'lmagan o'ng va chap chegaralarga ega

Keling, ba'zi misollar keltiraylik.

Misol. Funktsiya y=sgn x nuqtada bor x=0 birinchi turdagi yorilish. Darhaqiqat, va shuning uchun bu chegaralar bir-biriga teng emas.

Misol. Funktsiya , nuqtadan tashqari hamma joyda aniqlangan x=1, nuqtada mavjud x=1 birinchi turdagi yorilish. Haqiqatdan ham, .

Ikkinchi turdagi buzilish.

Ta'rif. Nuqta a ikkinchi turdagi uzilish nuqtasi deb ataladi, agar bu nuqtada funktsiya f(x) bir tomonlama chegaralardan kamida bittasiga ega bo'lmasa yoki bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi cheksiz bo'lsa.

Misol. Funktsiya f(x)=tan x, shubhasiz, har bir nuqtada ikkinchi turdagi uzilishlarga ega x k =p/2+p k, k=0, ± 1, ± 2,…, chunki har bir bunday nuqtada

Misol. Funktsiya nuqtada ikkinchi turdagi uzilishga ega x=0, chunki bu nuqtada uning na o'ng, na chap chegaralari mavjud.

Funksiyaning segmentdagi uzluksizligi

Ta'rif. Intervalda aniqlangan funksiya va uning har bir nuqtasida uzluksiz bu segmentda uzluksiz deyiladi.

Bundan tashqari, nuqtada uzluksizlik ostida a o'ngdagi uzluksizlik va bir nuqtadagi uzluksizlik deb tushuniladi b- chap tomonda davomiylik.

Funktsiyani aytamiz y=f(x), to'plamda belgilangan (x) uning yuqori (pastki) chetiga etadi , agar bunday nuqta mavjud bo'lsa x 0 ∈(x), Nima f(x 0)=b (f(x 0)=a).

[Vayershtrass] teoremasi. Intervalda uzluksiz bo'lgan har bir funktsiya chegaralangan bo'lib, uning yuqori chegarasiga va pastki chegarasiga etadi.

Teorema [Bolzano-Koshi]. Agar funktsiya y=f(x) segmentda uzluksiz Va f(a)=A, f(b)=B, keyin har qanday uchun C, oʻrtasida tuzilgan A Va B, shunday nuqta bor ξ∈ , Nima f(p)=C.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, intervalda uzluksiz bo'lgan har qanday ikkita qiymatni qabul qiladigan funktsiya ular orasidagi har qanday qiymatni ham oladi.

Natija. Agar funktsiya segmentda uzluksiz bo'lsa va uning uchlarida turli belgilar qiymatlarini qabul qilsa, u holda ushbu segmentda funktsiya yo'q bo'lib ketadigan kamida bitta nuqta mavjud.

Natija. Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) segmentda uzluksiz Va , . Keyin funksiya f(x) segmentdagi barcha qiymatlarni oladi va faqat shu qiymatlar.

Shunday qilib, ma'lum bir segmentda berilgan va uzluksiz bo'lgan funktsiyaning barcha qiymatlari to'plami ham segmentdir.

Funktsiyaning uzluksizligi. Buzilish nuqtalari.

Buqa yuradi, chayqaladi, xo'rsinib ketadi:
- Oh, doska tugayapti, endi men yiqilib tushaman!

Ushbu darsda biz funktsiyaning uzluksizligi tushunchasini, uzilish nuqtalarining tasnifini va umumiy amaliy masalani ko'rib chiqamiz. funktsiyalarning uzluksizligini o'rganish. Mavzuning nomidan ko'pchilik intuitiv ravishda nima muhokama qilinishini taxmin qiladi va material juda oddiy deb o'ylaydi. Bu to'g'ri. Ammo bu oddiy vazifalar, ko'pincha e'tiborsizlik va ularni hal qilishda yuzaki yondashuv uchun jazolanadi. Shuning uchun, men sizga maqolani juda diqqat bilan o'rganishingizni va barcha nozikliklar va texnikani qo'lga kiritishingizni maslahat beraman.

Nimani bilishingiz va nimaga qodir bo'lishingiz kerak? Juda ham emas. Darsni yaxshi o'rganish uchun siz nima ekanligini tushunishingiz kerak funktsiya chegarasi. O'quvchilar bilan past daraja Maqolani tushunish uchun tayyorgarlik etarli Funktsiya chegaralari. Yechimlarga misollar va qarash geometrik ma'no qo'llanmada chegara Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Bundan tashqari, o'zingiz bilan tanishish tavsiya etiladi grafiklarni geometrik o'zgartirishlar, chunki amaliyot ko'p hollarda rasm chizishni o'z ichiga oladi. Istiqbollar hamma uchun optimistikdir, hatto to'liq choynak ham keyingi yoki ikki soat ichida o'z-o'zidan vazifani uddalay oladi!

Funktsiyaning uzluksizligi. To'xtash nuqtalari va ularning tasnifi

Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi

Butun son chizig‘ida uzluksiz bo‘lgan ba’zi funksiyalarni ko‘rib chiqamiz:

Yoki qisqacha aytganda, bizning funktsiyamiz uzluksiz (haqiqiy sonlar to'plami) ustida.

Davomiylikning "filist" mezoni nima? Shubhasiz, jadval uzluksiz funksiya qalamni qog'ozdan ko'tarmasdan chizish mumkin.

Bunday holda, ikkita oddiy tushunchani aniq ajratib ko'rsatish kerak: funktsiya sohasi Va funksiyaning uzluksizligi. IN umumiy holat bu bir xil narsa emas. Masalan:

Bu funktsiya butun son satrida aniqlanadi, ya'ni uchun hamma"X" ning ma'nosi "y" ning o'ziga xos ma'nosiga ega. Xususan, agar , keyin . E'tibor bering, boshqa nuqtada tinish belgilari mavjud, chunki funktsiya ta'rifiga ko'ra, argumentning qiymati mos kelishi kerak. yagona narsa funktsiya qiymati. Shunday qilib, domen bizning vazifamiz: .

Biroq bu funksiya uzluksiz ishlamaydi! Ayni paytda u azob chekayotgani aniq bo'shliq. Bu atama ham juda tushunarli va ingl; haqiqatan ham bu erda qalamni qog'ozdan yirtib tashlash kerak bo'ladi. Birozdan keyin biz to'xtash nuqtalarining tasnifini ko'rib chiqamiz.

Funksiyaning nuqta va intervaldagi uzluksizligi

Muayyan matematik masalada funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi, oraliqdagi funksiyaning uzluksizligi, yarim interval yoki segmentdagi funksiyaning uzluksizligi haqida gapirish mumkin. Ya'ni, "shunchaki uzluksizlik" yo'q– funktsiya QAYDIR YERDA uzluksiz bo‘lishi mumkin. Va hamma narsaning asosiy "qurilish bloki" funksiyaning uzluksizligi nuqtada .

Nazariya matematik tahlil"delta" va "epsilon" qo'shnilaridan foydalangan holda nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligi ta'rifini beradi, lekin amalda boshqa ta'rif qo'llaniladi, biz bunga jiddiy e'tibor qaratamiz.

Avval eslaylik bir tomonlama chegaralar birinchi darsda hayotimizga kirib kelgan Funktsiya grafiklari haqida. Kundalik vaziyatni ko'rib chiqing:

Agar biz o'qni nuqtaga yaqinlashtirsak chap(qizil o'q), keyin "o'yinlar" ning tegishli qiymatlari o'q bo'ylab nuqtaga o'tadi (qizil o'q). Matematik jihatdan bu fakt yordamida aniqlanadi chap qo'l chegarasi:

Kirishga e'tibor bering ("x chapda ka to'g'ri keladi" deb o'qiladi). "Qo'shimcha" "minus nol" ramziy ma'noni anglatadi , mohiyatan bu raqamga chap tomondan yaqinlashayotganimizni anglatadi.

Xuddi shunday, agar siz "ka" nuqtasiga yaqinlashsangiz o'ngda(ko'k o'q), keyin "o'yinlar" bir xil qiymatga keladi, lekin yashil o'q bo'ylab va o'ng qo'l chegarasi quyidagicha formatlanadi:

"Qo'shimcha" ramziy ma'noni anglatadi , va yozuv: "x o'ngda ka ga moyil" deb o'qiydi.

Agar bir tomonlama chegaralar chekli va teng bo'lsa(bizning holatimizda bo'lgani kabi): , keyin UMUMIY chegara borligini aytamiz. Bu oddiy, umumiy chegara bizning "odatiy" funktsiya chegarasi, chekli songa teng.

E'tibor bering, agar funktsiya (ponksiyon qora nuqta grafik filialida), keyin yuqoridagi hisob-kitoblar o'z kuchida qoladi. Bir necha bor ta'kidlanganidek, xususan maqolada cheksiz kichik funktsiyalar haqida, iboralar "x" degan ma'noni anglatadi cheksiz yaqin nuqtaga yaqinlashadi, esa AHAMIYATI YO'Q, funktsiyaning o'zi berilgan nuqtada aniqlanganmi yoki yo'qmi. Yaxshi namuna funksiya tahlil qilinganda keyingi paragrafda paydo bo'ladi.

Ta'rif: funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi, agar funksiyaning berilgan nuqtadagi chegarasi shu nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo‘lsa: .

Ta'rif batafsil tavsifda keltirilgan quyidagi shartlar:

1) Funktsiya nuqtada aniqlanishi kerak, ya'ni qiymat mavjud bo'lishi kerak.

2) Funktsiyaning umumiy chegarasi bo'lishi kerak. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu bir tomonlama chegaralarning mavjudligi va tengligini anglatadi: .

3) Funksiyaning berilgan nuqtadagi chegarasi funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng bo lishi kerak: .

Agar buzilgan bo'lsa kamida bitta uchta shartdan, keyin funksiya nuqtada uzluksizlik xususiyatini yo'qotadi.

Funksiyaning oraliqdagi uzluksizligi zukkolik bilan va juda sodda tarzda tuzilgan: funktsiya berilgan intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa, intervalda uzluksizdir.

Xususan, ko'pgina funktsiyalar cheksiz oraliqda, ya'ni haqiqiy sonlar to'plamida uzluksizdir. Bu chiziqli funktsiya, polinomlar, ko'rsatkichlar, sinuslar, kosinuslar va boshqalar. Va umuman olganda, har qanday elementar funktsiya uning ustida doimiy ta'rif sohasi, masalan, logarifmik funktsiya oraliqda uzluksizdir. umid qilamanki shu daqiqada Siz asosiy funktsiyalarning grafiklari qanday ko'rinishi haqida juda yaxshi tasavvurga egasiz. Ko'proq batafsil ma'lumot ularning uzluksizligini aniqlash mumkin mehribon inson Fichtengolts familiyasi bilan.

Segment va yarim oraliqdagi funktsiyaning uzluksizligi bilan hamma narsa ham qiyin emas, lekin bu haqda sinfda gapirish to'g'riroq. segmentdagi funksiyaning minimal va maksimal qiymatlarini topish haqida, lekin hozircha bu haqda tashvishlanmaylik.

Tanaffus nuqtalarining tasnifi

Funksiyalarning qiziqarli hayoti har xil maxsus nuqtalarga boy va tanaffus nuqtalari ularning tarjimai holidagi sahifalardan faqat bittasi.

Eslatma : har holda, men bir elementar nuqtaga to'xtalib o'taman: uzilish nuqtasi har doim yagona nuqta- "ketma-ket bir nechta tanaffus nuqtalari" yo'q, ya'ni "uzilish oralig'i" degan narsa yo'q.

Bu nuqtalar o'z navbatida ikkiga bo'linadi katta guruhlar: birinchi turdagi yorilishlar Va ikkinchi turdagi yorilishlar. Bo'shliqning har bir turi o'ziga xos xususiyatlarga ega xususiyatlari biz hozir ko'rib chiqamiz:

Birinchi turdagi uzilish nuqtasi

Agar bir nuqtada uzluksizlik sharti buzilgan bo'lsa va bir tomonlama chegaralar cheklangan , keyin chaqiriladi birinchi turdagi uzilish nuqtasi.

Keling, eng optimistik holatdan boshlaylik. Darsning asl g'oyasiga ko'ra, men nazariyani "in umumiy ko'rinish”, lekin materialning haqiqatini namoyish qilish uchun men aniq belgilar bilan variantga qaror qildim.

Bu abadiy alanga fonida yangi turmush qurganlarning fotosurati kabi qayg'uli, ammo quyidagi surat odatda qabul qilinadi. Funksiya grafigini chizmada tasvirlaymiz:


Bu funktsiya nuqtadan tashqari butun son chizig'ida uzluksizdir. Va aslida, maxraj nolga teng bo'lishi mumkin emas. Biroq, chegaraning ma'nosiga muvofiq, biz mumkin cheksiz yaqin"nol" ga chapdan ham, o'ngdan ham yaqinlashing, ya'ni bir tomonlama chegaralar mavjud va aniqki, mos keladi:
(Uzluksizlikning 2-sharti qanoatlantirilgan).

Lekin funksiya nuqtada aniqlanmagan, shuning uchun uzluksizlikning 1-sharti buziladi va funktsiya bu nuqtada uzilishga duchor bo'ladi.

Ushbu turdagi tanaffus (mavjud umumiy chegara) deyiladi ta'mirlanadigan bo'shliq. Nima uchun olinadigan? Chunki funktsiya mumkin qayta belgilang buzilish nuqtasida:

Bu g'alati ko'rinadimi? Balki. Ammo bunday funktsiya belgisi hech narsaga zid emas! Endi bo'shliq yopildi va hamma xursand:


Rasmiy tekshirishni amalga oshiramiz:

2) - umumiy chegara mavjud;
3)

Shunday qilib, har uch shart ham qondiriladi va funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta'rifi bilan nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Biroq, matan nafratlanuvchilari, masalan, funktsiyani yomon tarzda belgilashlari mumkin :


Qizig'i shundaki, birinchi ikkita uzluksizlik sharti bu erda qondiriladi:
1) – funksiya berilgan nuqtada aniqlangan;
2) - umumiy chegara mavjud.

Lekin uchinchi chegaradan o'tmagan: , ya'ni nuqtadagi funksiya chegarasi teng emas berilgan funktsiyaning berilgan nuqtadagi qiymati.

Shunday qilib, bir nuqtada funktsiya uzilishga duchor bo'ladi.

Ikkinchi, qayg'uli holat deyiladi birinchi turdagi yorilish sakrash bilan. Va qayg'u bir tomonlama chegaralardan kelib chiqadi cheklangan va har xil. Misol darsning ikkinchi chizmasida ko'rsatilgan. Bunday bo'shliq odatda paydo bo'ladi qismlarga bo'lingan funktsiyalar, ular allaqachon maqolada aytib o'tilgan Grafik o'zgarishlar haqida.

Bo'laklarga bo'linish funktsiyasini ko'rib chiqing va biz uning chizmasini tugatamiz. Grafikni qanday qurish mumkin? Juda oddiy. Yarim oraliqda biz parabolaning bo'lagini chizamiz ( yashil rang), intervalda - to'g'ri chiziq segmenti (qizil) va yarim intervalda - to'g'ri chiziq ( Moviy rang).

Bundan tashqari, tengsizlik tufayli qiymat aniqlanadi kvadratik funktsiya(yashil nuqta) va tengsizlik tufayli qiymat aniqlanadi chiziqli funksiya(ko‘k nuqta):

Eng qiyin holatda, siz grafikning har bir qismini nuqta-nuqta qurishga murojaat qilishingiz kerak (birinchi qismga qarang). funksiyalar grafiklari haqida dars).

Endi biz faqat mavzu bilan qiziqamiz. Keling, buni davomiylik uchun ko'rib chiqaylik:

2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblaymiz.

Chap tomonda bizda qizil chiziq segmenti bor, shuning uchun chap tomon chegarasi:

O'ng tomonda ko'k to'g'ri chiziq va o'ng tomonda chegara mavjud:

Natijada biz oldik chekli sonlar, va ular teng emas. Chunki bir tomonlama chegaralar cheklangan va har xil: , keyin bizning funktsiyamiz toqat qiladi sakrash bilan birinchi turdagi uzilishlar.

Bo'shliqni bartaraf etishning iloji yo'qligi mantiqan to'g'ri - funktsiyani oldingi misolda bo'lgani kabi aniqlab bo'lmaydi va "bir-biriga yopishtirish" mumkin emas.

Ikkinchi turdagi uzilish nuqtalari

Odatda, yorilishning barcha boshqa holatlari aqlli ravishda ushbu toifaga tasniflanadi. Men hamma narsani sanab o'tmayman, chunki amalda 99% muammolarga duch kelasiz cheksiz bo'shliq- chap yoki o'ng qo'lda va ko'pincha ikkala chegara cheksizdir.

Va, albatta, eng aniq rasm - nol nuqtadagi giperbola. Bu erda ikkala bir tomonlama chegaralar cheksizdir: , shuning uchun funksiya nuqtada ikkinchi turdagi uzilishga duchor bo'ladi.

Men maqolalarimni iloji boricha xilma-xil tarkib bilan to'ldirishga harakat qilaman, shuning uchun keling, hali duch kelmagan funksiya grafigini ko'rib chiqaylik:

standart sxema bo'yicha:

1) Funktsiya bu nuqtada aniqlanmagan, chunki maxraj nolga tushadi.

Albatta, biz darhol funktsiya nuqtada uzilishga duchor bo'ladi degan xulosaga kelishimiz mumkin, lekin ko'pincha shart tomonidan talab qilinadigan uzilishning tabiatini tasniflash yaxshi bo'lar edi. Buning uchun:

Shuni eslatib o'tamanki, biz ro'yxatga olishni nazarda tutamiz cheksiz kichik manfiy raqam , va yozuv ostida - cheksiz kichik musbat son.

Bir tomonlama chegaralar cheksizdir, ya'ni funksiya nuqtada 2-turdagi uzilishlarga duchor bo'ladi. Y o'qi vertikal asimptota grafik uchun.

Ikkala bir tomonlama chegaralarning mavjudligi odatiy hol emas, lekin ulardan faqat bittasi cheksizdir, masalan:

Bu funksiyaning grafigi.

Biz uzluksizlik nuqtasini ko'rib chiqamiz:

1) Funktsiya bu nuqtada aniqlanmagan.

2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblaymiz:

Bunday bir tomonlama chegaralarni hisoblash usuli haqida ma'ruzaning so'nggi ikki misolida gaplashamiz, garchi ko'plab o'quvchilar allaqachon hamma narsani ko'rgan va taxmin qilgan.

Chap chegara chekli va nolga teng (biz "nuqtaning o'ziga bormaymiz"), lekin o'ng chegara cheksizdir va grafikning to'q sariq novdasi unga cheksiz yaqinlashadi. vertikal asimptota, tenglama bilan berilgan (qora nuqta chiziq).

Shunday qilib, funktsiya buziladi ikkinchi turdagi uzilishlar nuqtada.

1-turdagi uzilishga kelsak, funktsiya uzilish nuqtasining o'zida aniqlanishi mumkin. Masalan, parcha-parcha funksiya uchun Koordinatalarning boshiga qora qalin nuqta qo'ying. O'ng tomonda giperbolaning novdasi, o'ng tomon esa cheksizdir. O'ylaymanki, deyarli hamma bu grafik qanday ko'rinishi haqida tasavvurga ega.

Hamma intiqlik bilan kutgan narsa:

Funksiyaning uzluksizligini qanday tekshirish mumkin?

Bir nuqtada uzluksizlik uchun funktsiyani o'rganish allaqachon o'rnatilgan muntazam sxema bo'yicha amalga oshiriladi, bu doimiylikning uchta shartini tekshirishdan iborat:

1-misol

Funktsiyani o'rganish

Yechim:

1) Qo'llash doirasidagi yagona nuqta - bu funktsiya aniqlanmagan.

2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblaymiz:

Bir tomonlama chegaralar chekli va tengdir.

Shunday qilib, ushbu nuqtada funktsiya olinadigan uzilishga duchor bo'ladi.

Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishga ega?

Men soddalashtirmoqchiman , va oddiy parabola olinganga o'xshaydi. LEKIN asl funktsiya nuqtasida aniqlanmagan, shuning uchun quyidagi band talab qilinadi:

Keling, rasm chizamiz:

Javob: funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, u olinadigan uzilishga duchor bo'lgan nuqtadan tashqari.

Funktsiya yaxshi yoki unchalik yaxshi bo'lmagan tarzda aniqlanishi mumkin, ammo shartga ko'ra, bu shart emas.

Bu juda uzoq misol deysizmi? Arzimaydi. Amalda bu o'nlab marta sodir bo'lgan. Saytning deyarli barcha vazifalari haqiqiy mustaqil ishlar va testlardan kelib chiqadi.

Keling, sevimli modullarimizdan xalos bo'laylik:

2-misol

Funktsiyani o'rganish davomiylik uchun. Funktsiya uzilishlarining tabiatini aniqlang, agar ular mavjud bo'lsa. Chizmani bajaring.

Yechim: Ba'zi sabablarga ko'ra, talabalar qo'rqishadi va modulli funktsiyalarni yoqtirmaydilar, garchi ularda hech qanday murakkab narsa yo'q. Biz allaqachon darsda bunday narsalarga biroz to'xtalib o'tdik. Grafiklarning geometrik o'zgarishlari. Modul salbiy bo'lmagani uchun u quyidagicha kengaytiriladi: , bu erda "alfa" qandaydir ifodadir. IN Ushbu holatda, va bizning funktsiyamiz qisman yozilishi kerak:

Lekin ikkala bo'lakning kasrlari ga kamaytirilishi kerak. Oldingi misoldagi kabi qisqartirish oqibatlarsiz amalga oshmaydi. Asl funktsiya nuqtada aniqlanmagan, chunki maxraj nolga tushadi. Shuning uchun tizim qo'shimcha shartni ko'rsatishi va birinchi tengsizlikni qat'iy qilishi kerak:

Endi JUDA haqida FOYDALI qabul yechimlar: qoralama bo'yicha topshiriqni yakunlashdan oldin, rasm chizish foydalidir (shartlar talab qiladimi yoki yo'qmi). Bu, birinchidan, uzluksizlik va uzilish nuqtalarini darhol ko'rishga yordam beradi, ikkinchidan, bir tomonlama chegaralarni topishda sizni xatolardan 100% himoya qiladi.

Keling, rasm chizamiz. Bizning hisob-kitoblarimizga ko'ra, nuqtaning chap tomoniga parabolaning bo'lagini (ko'k rang) va o'ngga - parabolaning bo'lagini (qizil rang) chizish kerak, bunda funktsiya aniqlanmagan. o'ziga ishora:

Agar shubhangiz bo'lsa, bir nechta x qiymatlarini oling va ularni funktsiyaga ulang (modul mumkin bo'lgan minus belgisini yo'q qilishini eslab) va grafikni tekshiring.

Keling, uzluksizlik funksiyasini analitik jihatdan ko‘rib chiqamiz:

1) Funktsiya nuqtada aniqlanmagan, shuning uchun biz darhol uning uzluksiz emasligini aytishimiz mumkin.

2) Uzluksizlik xarakterini aniqlaymiz, buning uchun biz bir tomonlama chegaralarni hisoblaymiz:

Bir tomonlama chegaralar chekli va har xil bo'lib, bu funksiya nuqtada sakrash bilan 1-turdagi uzilishga duchor bo'lishini anglatadi. Yana bir bor e'tibor bering, chegaralarni topishda, tanaffus nuqtasidagi funksiya aniqlangan yoki aniqlanmaganligi muhim emas.

Endi qolgan narsa chizmani qoralamadan o'tkazish (u xuddi tadqiqot yordamida qilingan ;-)) va vazifani bajarishdir:

Javob: funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, u sakrash bilan birinchi turdagi uzilishga duchor bo'lgan nuqtadan tashqari.

Ba'zan ular uzluksiz sakrashning qo'shimcha belgisini talab qiladi. Bu oddiygina hisoblanadi - o'ng chegaradan chap chegarani ayirish kerak: , ya'ni tanaffus nuqtasida bizning funktsiyamiz 2 birlik pastga sakrab chiqdi (minus belgisi bizga aytadi).

3-misol

Funktsiyani o'rganish davomiylik uchun. Funktsiya uzilishlarining tabiatini aniqlang, agar ular mavjud bo'lsa. Chizma qiling.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin bo'lgan misol, dars oxirida namunali yechim.

Funktsiya uch qismdan iborat bo'lganda, vazifaning eng mashhur va keng tarqalgan versiyasiga o'tamiz:

4-misol

Funksiyaning uzluksizligini tekshirib, funksiya grafigini tuzing .

Yechim: ko'rinib turibdiki, funktsiyaning barcha uch qismi mos keladigan intervallarda uzluksizdir, shuning uchun bo'laklar orasidagi "birikma" ning faqat ikkita nuqtasini tekshirish qoladi. Birinchidan, chizma chizmasini tuzamiz; Men maqolaning birinchi qismida qurilish texnikasini etarlicha batafsil izohladim. Bitta narsa shundaki, biz alohida nuqtalarimizga diqqat bilan amal qilishimiz kerak: tengsizlik tufayli qiymat to'g'ri chiziqqa (yashil nuqta) tegishli va tengsizlik tufayli qiymat parabolaga (qizil nuqta) tegishli:


Xo'sh, printsipial jihatdan, hamma narsa aniq =) Faqat qarorni rasmiylashtirish qoladi. Ikki "qo'shilish" nuqtasining har biri uchun biz odatda 3 ta uzluksizlik shartini tekshiramiz:

men) Biz nuqtani davomiylik uchun tekshiramiz

1)

Bir tomonlama chegaralar chekli va har xil bo'lib, bu funksiya nuqtada sakrash bilan 1-turdagi uzilishga duchor bo'lishini anglatadi.

Uzluksiz sakrashni o'ng va chap chegaralar orasidagi farq sifatida hisoblaylik:
, ya'ni grafik bir birlikni silkitdi.

II) Biz nuqtani davomiylik uchun tekshiramiz

1) – funksiya berilgan nuqtada aniqlanadi.

2) Bir tomonlama chegaralarni toping:

– bir tomonlama chegaralar chekli va tengdir, demak, umumiy chegara bor.

3) – funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.

Yakuniy bosqichda biz rasmni yakuniy versiyaga o'tkazamiz, shundan so'ng biz oxirgi akkordni qo'yamiz:

Javob: funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, sakrash bilan birinchi turdagi uzilishga duchor bo'lgan nuqtadan tashqari.

5-misol

Funksiyaning uzluksizligini tekshirib, uning grafigini tuzing .

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol, qisqa yechim va dars oxiridagi topshiriqning taxminiy namunasi.

Bir nuqtada funksiya uzluksiz bo'lishi kerak, ikkinchisida esa uzilish bo'lishi kerak degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Amalda, bu har doim ham shunday emas. Qolgan misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling - bir nechta qiziqarli va muhim xususiyatlar bo'ladi:

6-misol

Funktsiya berilgan . Nuqtalardagi uzluksizlik funksiyasini o‘rganing. Grafik tuzing.

Yechim: va yana darhol qoralama ustidagi rasmni bajaring:

Ushbu grafikning o'ziga xos xususiyati shundaki, bo'laklar funktsiyasi abscissa o'qi tenglamasi bilan berilgan. Bu maydon shu yerda chizilgan yashil, va daftarda u odatda oddiy qalam bilan qalin rangda ta'kidlanadi. Va, albatta, bizning qo'chqorlarimiz haqida unutmang: qiymat tangent filialiga (qizil nuqta) tegishli va qiymat to'g'ri chiziqqa tegishli.

Chizmadan hamma narsa aniq - funktsiya butun raqamlar chizig'i bo'ylab uzluksizdir, faqat 3-4 o'xshash misollardan so'ng to'liq avtomatlashtirishga olib keladigan yechimni rasmiylashtirish qoladi:

men) Biz nuqtani davomiylik uchun tekshiramiz

1) – funksiya berilgan nuqtada aniqlangan.

2) Bir tomonlama chegaralarni hisoblaymiz:

, bu umumiy chegara borligini anglatadi.

Har holda, sizga arzimas bir haqiqatni eslatib o'taman: doimiyning chegarasi doimiyning o'ziga teng. Bunday holda, nol chegarasi nolga teng bo'ladi (chap qo'l chegarasi).

3) – funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.

Shunday qilib, funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta'rifi bilan funksiya nuqtada uzluksizdir.

II) Biz nuqtani davomiylik uchun tekshiramiz

1) – funksiya berilgan nuqtada aniqlangan.

2) Bir tomonlama chegaralarni toping:

Va bu erda - birining chegarasi birlikning o'ziga teng.

- umumiy chegara mavjud.

3) – funksiyaning nuqtadagi chegarasi ushbu funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng.

Shunday qilib, funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi ta'rifi bilan funksiya nuqtada uzluksizdir.

Odatdagidek, tadqiqotdan so'ng biz rasmimizni yakuniy versiyaga o'tkazamiz.

Javob: funksiya nuqtalarda uzluksiz.

E'tibor bering, bu holatda bizdan uzluksizlik uchun butun funktsiyani o'rganish haqida hech narsa so'ralmagan va formulani shakllantirish yaxshi matematik shakl hisoblanadi. aniq va aniq berilgan savolga javob. Aytgancha, agar shart sizga grafik yaratishni talab qilmasa, unda sizda bor har bir huquq uni qurmang (garchi o'qituvchi sizni keyinroq majburlashi mumkin).

O'zingiz hal qilish uchun kichik matematik "tilni burish":

7-misol

Funktsiya berilgan . Nuqtalardagi uzluksizlik funksiyasini o‘rganing. Agar mavjud bo'lsa, to'xtash nuqtalarini tasniflang. Chizmani bajaring.

Barcha "so'zlarni" to'g'ri "talaffuz qilishga" harakat qiling =) Va grafikni aniqroq chizing, aniqlik, hamma joyda ortiqcha bo'lmaydi;-)

Esingizda bo'lsa, men darhol chizma sifatida chizishni to'ldirishni tavsiya qildim, lekin vaqti-vaqti bilan siz grafikning qanday ko'rinishini darhol aniqlay olmaydigan misollarga duch kelasiz. Shuning uchun, ba'zi hollarda, birinchi navbatda, bir tomonlama chegaralarni topish foydali bo'ladi va shundan keyingina o'rganishga asoslanib, filiallarni tasvirlaydi. Oxirgi ikkita misolda biz bir tomonlama chegaralarni hisoblash texnikasini ham o'rganamiz:

8-misol

Funksiyaning uzluksizligini tekshirib, uning sxematik grafigini tuzing.

Yechim: yomon nuqtalar aniq: (ko'rsatkichning maxrajini nolga tushiradi) va (butun kasrning maxrajini nolga tushiradi). Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishi aniq emas, ya'ni birinchi navbatda biroz tadqiqot qilish yaxshiroqdir.