Koordinata tekisligi bilan bog'liq bo'lgan vazifalarning butun guruhi (imtihon muammolari turlariga kiritilgan) mavjud. Bular eng asosiylaridan tortib og'zaki hal qilinadigan (ma'lum nuqtaning ordinatasi yoki abtsissasini yoki nosimmetrik nuqtani ma'lum nuqtaga aniqlash va boshqalar) yuqori sifatli bilim, tushunish va tushunishni talab qiladigan vazifalar bilan yakunlanadigan masalalardir. yaxshi ko'nikmalar (to'g'ri chiziqning burchak koeffitsienti bilan bog'liq muammolar).
Asta-sekin biz ularning barchasini ko'rib chiqamiz. Ushbu maqolada biz asoslardan boshlaymiz. Bu oddiy vazifalar Aniqlash uchun: nuqtaning abssissa va ordinatasi, segment uzunligi, segmentning o'rta nuqtasi, to'g'ri chiziqning moyillik burchagi sinusi yoki kosinusu.Ko'pchilik bu vazifalarga qiziqmaydi. Lekin ularni aytishni zarur deb bilaman.
Gap shundaki, hamma ham maktabga boravermaydi. Ko'p odamlar Yagona davlat imtihonini o'qishni tugatgandan keyin 3-4 yoki undan ko'proq yil o'tgach topshirishadi va ular abscissa va ordinata nima ekanligini noaniq eslashadi. Shuningdek, biz koordinata tekisligi bilan bog'liq boshqa vazifalarni tahlil qilamiz, uni o'tkazib yubormang, blog yangilanishlariga obuna bo'ling. Endi n bir oz nazariya.
Koordinatalari x=6, y=3 bo‘lgan A nuqtani koordinata tekisligida quramiz.
Ular A nuqtaning abssissasi oltiga, A nuqtaning ordinatasi uchga teng deyishadi.
Oddiy qilib aytganda, ho'kiz o'qi - abscissa o'qi, y o'qi - ordinata o'qi.
Ya'ni, abscissa x o'qidagi nuqta bo'lib, unga koordinata tekisligida berilgan nuqta proyeksiya qilinadi; Ordinata - ko'rsatilgan nuqta proyeksiya qilinadigan y o'qidagi nuqta.
Koordinata tekisligidagi segmentning uzunligi
Agar segmentning uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa, uning uzunligini aniqlash formulasi:
Ko'rib turganingizdek, segmentning uzunligi teng oyoqli to'g'ri burchakli uchburchakdagi gipotenuzaning uzunligi.
X B - X A va U B - U A
* * *
Segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari.
Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish formulasi:
Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi
Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi formulasi quyidagi ko'rinishga ega:
bu yerda (x 1;y 1) va (x 2;y 2). ) koordinatalari berilgan ballar.
Koordinata qiymatlarini formulaga almashtirib, u quyidagi shaklga keltiriladi:
y = kx + b, bu yerda k - chiziqning qiyaligi
Koordinatalar tekisligi bilan bog'liq boshqa bir guruh masalalarni yechishda bizga bu ma'lumotlar kerak bo'ladi. Bu haqda maqola bo'ladi, o'tkazib yubormang!
Yana nimani qo'shishingiz mumkin?
To'g'ri chiziqning (yoki segmentning) qiyalik burchagi oX o'qi va bu to'g'ri chiziq orasidagi 0 dan 180 gradusgacha bo'lgan burchakdir.
Keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik.
(6;8) nuqtadan ordinata o'qiga perpendikulyar tushiriladi. Perpendikulyar asosning ordinatasini toping.
Ordinat o'qiga tushirilgan perpendikulyar asosi koordinatalarga (0;8) ega bo'ladi. Ordinata sakkizga teng.
Javob: 8
Nuqtadan masofani toping A ordinatlar o'qiga (6;8) koordinatalari bilan.
A nuqtadan ordinata o'qigacha bo'lgan masofa A nuqtaning abssissasiga teng.
Javob: 6.
A(6;8) o'qiga nisbatan ho'kiz.
Nuqta simmetrik nuqta Va oX o'qiga nisbatan u koordinatalarga ega (6;– 8).
Ordinata minus sakkizga teng.
Javob: - 8
Nuqtaga simmetrik nuqtaning ordinatasini toping A(6;8) kelib chiqishiga nisbatan.
Boshiga nisbatan A nuqtaga simmetrik nuqta koordinatalarga ega (– 6;– 8).
Uning ordinatasi - 8.
Javob: -8
Nuqtalarni tutashtiruvchi segmentning o‘rta nuqtasining abssissasini topingO(0;0) va A(6;8).
Muammoni hal qilish uchun segmentning o'rtasi koordinatalarini topish kerak. Bizning segmentimiz uchlarining koordinatalari (0;0) va (6;8).
Formuladan foydalanib hisoblaymiz:
Biz (3;4) oldik. Abtsissa uchga teng.
Javob: 3
*Kvadratdagi qog'oz varag'ida ushbu segmentni koordinata tekisligida qurish yo'li bilan formuladan foydalanib, hisob-kitobsiz segment o'rtasining abssissasini aniqlash mumkin. Segmentning o'rtasini hujayralar tomonidan aniqlash oson bo'ladi.
Nuqtalarni tutashtiruvchi segmentning o‘rta nuqtasining abssissasini toping A(6;8) va B(–2;2).
Muammoni hal qilish uchun segmentning o'rtasi koordinatalarini topish kerak. Bizning segmentimiz uchlarining koordinatalari (–2;2) va (6;8).
Formuladan foydalanib hisoblaymiz:
Biz (2;5) oldik. Abtsissa ikkiga teng.
Javob: 2
*Kvadratdagi qog'oz varag'ida ushbu segmentni koordinata tekisligida qurish yo'li bilan formuladan foydalanib, hisob-kitobsiz segment o'rtasining abssissasini aniqlash mumkin.
(0;0) va (6;8) nuqtalarni tutashtiruvchi segment uzunligini toping.
Uning uchlarining berilgan koordinatalaridagi segmentning uzunligi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
bizning holatimizda O(0;0) va A(6;8) mavjud. Ma'nosi,
*Aytishda koordinatalar tartibi muhim emas. O nuqtaning abscissa va ordinatasidan A nuqtaning abssissa va ordinatasini ayirish mumkin:
Javob: 10
Nuqtalarni tutashtiruvchi segment qiyaligining kosinusini toping O(0;0) va A(6;8), x o'qi bilan.
Segmentning moyillik burchagi bu segment bilan oX o'qi orasidagi burchakdir.
A nuqtadan oX o'qiga perpendikulyar tushiramiz:
Ya'ni, segmentning moyillik burchagi burchakdirSAIABO to'g'ri burchakli uchburchakda.
To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kosinusu
qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati
Biz gipotenuzani topishimiz kerakO.A.
Pifagor teoremasiga ko'ra:To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati summasiga teng oyoq kvadratlari.
Shunday qilib, qiyalik burchagining kosinusu 0,6 ga teng
Javob: 0,6
(6;8) nuqtadan abtsissa o'qiga perpendikulyar tushiriladi. Perpendikulyar asosning absissasini toping.
(6;8) nuqta orqali abscissa o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkaziladi. Uning o‘q bilan kesishgan nuqtasining ordinatasini toping OU.
Nuqtadan masofani toping A koordinatalari (6;8) bilan abscissa o'qiga.
Nuqtadan masofani toping A koordinatalari (6;8) koordinatalari bilan.
Segmentning uzunligini aniqlash mumkin turli yo'llar bilan. Segment uzunligini qanday topish mumkinligini bilish uchun o'lchagichga ega bo'lish yoki hisoblash uchun maxsus formulalarni bilish kifoya.
Chizgich yordamida segment uzunligi
Buning uchun biz tekislikda qurilgan segmentga millimetr bo'linmalari bo'lgan o'lchagichni qo'llaymiz va boshlang'ich nuqtasi o'lchagich shkalasining nolga mos kelishi kerak. Keyin ushbu shkalada ushbu segmentning oxirgi nuqtasining joylashishini belgilashingiz kerak. Olingan butun shkala bo'linmalarining soni sm va mm bilan ifodalangan segmentning uzunligi bo'ladi.
Tekislik koordinatalari usuli
Agar (x1;y1) va (x2;y2) segmentning koordinatalari ma'lum bo'lsa, uning uzunligini quyidagicha hisoblash kerak. Birinchi nuqtaning koordinatalarini ikkinchi nuqta tekisligidagi koordinatalardan ayirish kerak. Natijada ikkita raqam bo'lishi kerak. Bu raqamlarning har biri kvadrat bo'lishi kerak, keyin esa bu kvadratlarning yig'indisi topilishi kerak. Olingan raqamdan siz chiqarib olishingiz kerak Kvadrat ildiz, bu nuqtalar orasidagi masofa bo'ladi. Bu nuqtalar segmentning uchlari bo'lgani uchun, bu qiymat uning uzunligi bo'ladi.
Keling, koordinatalar yordamida segment uzunligini qanday topishga misolni ko'rib chiqaylik. Ikki nuqta (-1;2) va (4;7) koordinatalari mavjud. Nuqtalarning koordinatalari orasidagi farqni topishda quyidagi qiymatlarni olamiz: x = 5, y = 5. Olingan raqamlar segmentning koordinatalari bo'ladi. Keyin har bir raqamni kvadratga aylantiramiz va natijalar yig'indisini topamiz, u 50 ga teng. Bu raqamning kvadrat ildizini olamiz. Natijada: 2 ning 5 ta ildizi. Bu segmentning uzunligi.
Kosmosdagi koordinatalar usuli
Buning uchun vektor uzunligini qanday topishni ko'rib chiqishimiz kerak. Aynan shu segment Evklid fazosida bo'ladi. U tekislikdagi segment uzunligi bilan deyarli bir xil tarzda topiladi. Vektor turli tekisliklarda tuzilgan. Vektor uzunligini qanday topish mumkin?
- Buning uchun vektorning koordinatalarini toping, uning boshlang'ich nuqtasining koordinatalarini oxirgi nuqtasining koordinatalaridan ayirish kerak;
- Shundan so'ng, siz har bir vektor koordinatasini kvadratga olishingiz kerak.
- Keyin kvadrat koordinatalarini qo'shamiz.
- Vektor uzunligini topish uchun koordinatalar kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizini olish kerak.
Keling, misol yordamida hisoblash algoritmini ko'rib chiqaylik. AB vektorining koordinatalarini topish kerak. A va B nuqtalar quyidagi koordinatalarga ega: A (1;6;3) va B (3;-1;7). Vektorning boshlanishi A nuqtada, oxiri B nuqtada joylashgan. Shunday qilib, uning koordinatalarini topish uchun B nuqtaning koordinatalaridan A nuqtaning koordinatalarini ayirish kerak: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7;4).
Endi biz har bir koordinatani kvadratga aylantiramiz va ularni qo'shamiz: 4+49+16=69. Nihoyat, u berilgan sonning kvadrat ildizini oladi. Uni ajratib olish qiyin, shuning uchun natijani shunday yozamiz: vektor uzunligi 69 ning ildiziga teng.
Agar siz segmentlar va vektorlarning uzunligini o'zingiz hisoblashingiz muhim bo'lmasa, faqat natija kerak bo'lsa, unda siz onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin, masalan, bu.
Endi ushbu usullarni o'rganib, keltirilgan misollarni ko'rib chiqsangiz, har qanday masalada segment uzunligini osongina topishingiz mumkin.
Quyidagi maqolada segmentning o'rtasi koordinatalarini topish masalalari ko'rib chiqiladi, agar uning ekstremal nuqtalarining koordinatalari dastlabki ma'lumotlar sifatida mavjud bo'lsa. Ammo masalani o'rganishni boshlashdan oldin, keling, bir qator ta'riflarni kiritaylik.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1
Chiziq segmenti- segmentning uchlari deb ataladigan ikkita ixtiyoriy nuqtani bog'laydigan to'g'ri chiziq. Misol tariqasida, bular A va B nuqtalari va shunga mos ravishda A B segmenti bo'lsin.
Agar A B segmenti A va B nuqtalardan har ikki yo‘nalishda davom ettirilsa, A B to‘g‘ri chiziq hosil bo‘ladi. U holda A B segmenti A va B nuqtalar bilan chegaralangan, hosil bo'lgan to'g'ri chiziqning bir qismidir. A B segmenti uning uchlari bo'lgan A va B nuqtalarini, shuningdek, ular orasida joylashgan nuqtalar to'plamini birlashtiradi. Masalan, A va B nuqtalar orasida joylashgan har qanday ixtiyoriy K nuqtani olsak, K nuqta A B segmentida yotadi, deyishimiz mumkin.
Ta'rif 2
Bo'lim uzunligi- berilgan masshtabdagi segmentning uchlari orasidagi masofa (uzunlik birlik segmenti). A B segmentining uzunligini quyidagicha belgilaymiz: A B.
Ta'rif 3
Segmentning o'rta nuqtasi- segmentda yotgan va uning uchlaridan teng masofada joylashgan nuqta. Agar A B segmentining o'rtasi C nuqta bilan belgilansa, tenglik to'g'ri bo'ladi: A C = C B
Dastlabki ma'lumotlar: O x koordinatali chiziq va undagi mos kelmaydigan nuqtalar: A va B. Bu nuqtalar haqiqiy raqamlarga mos keladi x A va x B. C nuqtasi A B segmentining o'rtasi: koordinatani aniqlash kerak x C.
C nuqta A B segmentining o'rta nuqtasi bo'lgani uchun tenglik to'g'ri bo'ladi: | A C | = | C B | . Nuqtalar orasidagi masofa ularning koordinatalaridagi farq moduli bilan belgilanadi, ya'ni.
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Keyin ikkita tenglik mumkin: x C - x A = x B - x C va x C - x A = - (x B - x C)
Birinchi tenglikdan biz C nuqtaning koordinatalari formulasini olamiz: x C = x A + x B 2 (segment uchlari koordinatalari yig'indisining yarmi).
Ikkinchi tenglikdan biz olamiz: x A = x B, bu mumkin emas, chunki manba ma'lumotlarida - mos kelmaydigan nuqtalar. Shunday qilib, A (x A) va uchlari bo'lgan A B segmentining o'rtasining koordinatalarini aniqlash formulasi B(xB):
Olingan formula tekislikdagi yoki fazodagi segment o'rtasining koordinatalarini aniqlash uchun asos bo'ladi.
Dastlabki ma'lumotlar: O x y tekisligidagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, A x A, y A va B x B, y B koordinatalari berilgan ikkita ixtiyoriy mos kelmaydigan nuqtalar. C nuqta A B segmentining o'rtasidir. C nuqta uchun x C va y C koordinatalarini aniqlash kerak.
Tahlil uchun A va B nuqtalari bir-biriga to'g'ri kelmagan va bir xil koordinata chizig'ida yoki o'qlardan biriga perpendikulyar chiziqda yotmagan holatni olaylik. A x, A y; B x, B y va C x, C y - A, B va C nuqtalarning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari (O x va O y to'g'ri chiziqlar).
Qurilishga ko'ra, A A x, B B x, C C x chiziqlar parallel; chiziqlar ham bir-biriga parallel. Shu bilan birga, Thales teoremasiga ko'ra, A C = C B tengligidan tengliklar kelib chiqadi: A x C x = C x B x va A y C y = C y B y va ular o'z navbatida C x nuqta ekanligini ko'rsatadi. A x B x segmentining o'rtasi, C y esa A y B y segmentining o'rtasi. Va keyin, ilgari olingan formulaga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:
x C = x A + x B 2 va y C = y A + y B 2
Xuddi shu formulalar A va B nuqtalari bir xil koordinata chizig'ida yoki o'qlardan biriga perpendikulyar bo'lgan chiziqda yotsa ham foydalanish mumkin. Xulq-atvor batafsil tahlil Biz bu ishni ko'rib chiqmaymiz, faqat grafik jihatdan ko'rib chiqamiz:
Yuqoridagilarning barchasini umumlashtirib, uchlari koordinatalari bilan tekislikdagi A B segmentining o'rtasining koordinatalari A (x A, y A) Va B(xB, yB) sifatida belgilanadi:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Dastlabki ma'lumotlar: koordinatalar tizimi O x y z va A (x A, y A, z A) va B (x B, y B, z B) koordinatalari berilgan ikkita ixtiyoriy nuqta. A B segmentining o'rtasi bo'lgan S nuqtaning koordinatalarini aniqlash kerak.
A x, A y, A z; B x , B y , B z va C x , C y , C z - berilgan barcha nuqtalarning koordinatalar sistemasi o'qlaridagi proyeksiyalari.
Thales teoremasiga ko'ra, quyidagi tengliklar to'g'ri: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z.
Demak, C x, C y, C z nuqtalari mos ravishda A x B x, A y B y, A z B z segmentlarining o’rta nuqtalaridir. Keyin, Kosmosdagi segment o'rtasining koordinatalarini aniqlash uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Olingan formulalar A va B nuqtalar koordinata chiziqlaridan birida joylashgan hollarda ham qo'llaniladi; o'qlardan biriga perpendikulyar to'g'ri chiziqda; bir koordinata tekisligida yoki koordinata tekisliklaridan biriga perpendikulyar tekislikda.
Segment o'rtasining koordinatalarini uning uchlari radius vektorlari koordinatalari orqali aniqlash
Segment o'rtasining koordinatalarini topish formulasini vektorlarning algebraik talqiniga ko'ra ham olish mumkin.
Dastlabki ma'lumotlar: to'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimi O x y, A (x A, y A) va B (x B, x B) koordinatalari berilgan nuqtalar. C nuqta A B segmentining o'rtasidir.
Vektorlardagi harakatlarning geometrik ta'rifiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi: O C → = 1 2 · O A → + O B → . C nuqtasida Ushbu holatda– O A → va O B → vektorlari asosida qurilgan parallelogramma diagonallarining kesishish nuqtasi, ya'ni. diagonallarning o'rtasi nuqtasi nuqtaning radius vektorining koordinatalari nuqta koordinatalariga teng, u holda tengliklar to'g'ri bo'ladi: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). Koordinatadagi vektorlar ustida bir necha amallarni bajaramiz va quyidagilarga erishamiz:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Shuning uchun C nuqtasi koordinatalariga ega:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Analogiya bo'yicha, kosmosdagi segment o'rtasining koordinatalarini topish uchun formula aniqlanadi:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Segmentning o'rta nuqtasi koordinatalarini topishga oid masalalarni yechish misollari
Yuqorida olingan formulalardan foydalanishni o'z ichiga olgan muammolar orasida to'g'ridan-to'g'ri savol segmentning o'rtasi koordinatalarini hisoblash bo'lgan muammolar va berilgan shartlarni ushbu savolga etkazishni o'z ichiga olgan muammolar mavjud: "median" atamasi. tez-tez ishlatiladi, maqsad segmentning uchlaridan birining koordinatalarini topishdir va simmetriya masalalari ham keng tarqalgan bo'lib, ularni hal qilish umuman olganda ushbu mavzuni o'rgangandan keyin ham qiyinchilik tug'dirmasligi kerak. Keling, odatiy misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol
Dastlabki ma'lumotlar: tekislikda - A (- 7, 3) va B (2, 4) koordinatalari berilgan nuqtalar. A B segmentining o'rta nuqtasining koordinatalarini topish kerak.
Yechim
A B segmentining o'rtasini C nuqta bilan belgilaymiz. Uning koordinatalari segment uchlari koordinatalari yig'indisining yarmi sifatida aniqlanadi, ya'ni. A va B nuqtalari.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Javob: A B segmentining o'rtasi koordinatalari - 5 2, 7 2.
2-misol
Dastlabki ma'lumotlar: A B C uchburchakning koordinatalari ma'lum: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). A M medianasining uzunligini topish kerak.
Yechim
- Muammoning shartlariga ko'ra, A M - mediana, ya'ni M - B C segmentining o'rta nuqtasi. Avvalo, B C segmentining o'rtasining koordinatalarini topamiz, ya'ni. M ball:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Endi biz mediananing ikkala uchining (A va M nuqtalari) koordinatalarini bilganimiz sababli, nuqtalar orasidagi masofani aniqlash va A M medianasining uzunligini hisoblash uchun formuladan foydalanishimiz mumkin:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Javob: 58
3-misol
Dastlabki ma'lumotlar: to'rtburchaklar koordinatalar tizimida uch o'lchovli bo'shliq berilgan parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. C 1 nuqtaning koordinatalari berilgan (1, 1, 0), shuningdek, B D 1 diagonalining o'rta nuqtasi bo'lgan va M (4, 2, - 4) koordinatalariga ega bo'lgan M nuqta ham aniqlangan. A nuqtaning koordinatalarini hisoblash kerak.
Yechim
Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi, bu barcha diagonallarning o'rta nuqtasidir. Ushbu bayonotga asoslanib, masalaning shartlaridan ma'lum bo'lgan M nuqta A C 1 segmentining o'rta nuqtasi ekanligini yodda tutishimiz mumkin. Fazodagi segment o'rtasining koordinatalarini topish formulasiga asoslanib, A nuqtaning koordinatalarini topamiz: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Javob: A nuqtaning koordinatalari (7, 3, - 8).
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Geometriyada uchta asosiy koordinata tizimi qo'llaniladi: nazariy mexanika, fizikaning boshqa tarmoqlari: Dekart, qutb va sferik. Ushbu koordinata tizimlarida butun nuqta uchta koordinataga ega. 2 nuqtaning koordinatalarini bilib, siz ushbu ikki nuqta orasidagi masofani aniqlashingiz mumkin.
Sizga kerak bo'ladi
- Segment uchlarining dekart, qutb va sferik koordinatalari
Ko'rsatmalar
1. Birinchidan, to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimini ko'rib chiqing. Bu koordinatalar sistemasidagi nuqtaning fazodagi joylashuvi aniqlanadi koordinatalar x, y va z. Bosh nuqtadan nuqtaga radius vektori chiziladi. Ushbu radius vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyalari bo'ladi koordinatalar Bu nuqta bilan endi sizda bo'lsin koordinatalar mos ravishda x1,y1,z1 va x2,y2 va z2. Birinchi va 2-nuqtalarning radius vektorlarini mos ravishda r1 va r2 bilan belgilang. Ko'rinib turibdiki, bu ikki nuqta orasidagi masofa r = r1-r2 vektorning moduliga teng bo'ladi, bu erda (r1-r2) vektor farqi r vektorning koordinatalari quyidagicha bo'ladi: x1-x2, y1-y2, z1-z2. U holda r vektorning kattaligi yoki ikki nuqta orasidagi masofa teng bo'ladi: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Endi qutb koordinata tizimini ko'rib chiqing, unda nuqta koordinatasi radial koordinata r (XY tekisligidagi radius vektor), burchak koordinatasi bilan beriladi? (vektor r va X o'qi orasidagi burchak) va z koordinatasi Dekart sistemasidagi z koordinatasiga o'xshash nuqtaning qutb koordinatalarini quyidagi tarzda Dekart koordinatalariga aylantirish mumkin: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Keyin bilan ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalar r1, ?1 ,z1 va r2, ?2, z2 teng bo'ladi R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. Endi sferik koordinatalar tizimiga qarang. Unda nuqtaning joylashuvi uchta bilan belgilanadi koordinatalar r, ? Va?. r – boshlang‘ich nuqtadan nuqtagacha bo‘lgan masofa, ? Va? – mos ravishda azimut va zenit burchak. Burchakmi? qutb koordinatalari tizimida bir xil belgiga ega burchakka o'xshash, a? – radius vektori r va Z o‘qi orasidagi burchak, 0 bilan<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с koordinatalar r1, ?1, ?1 va r2, ?2 va ?2 R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin) ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Mavzu bo'yicha video
Segment bo'yicha to'g'ri chiziqning ushbu ikki nuqta o'rtasida joylashgan barcha nuqtalaridan iborat qismini chaqiring - ular segmentning uchlari deb ataladi.
Keling, birinchi misolni ko'rib chiqaylik. Ma'lum bir segment koordinata tekisligidagi ikkita nuqta bilan aniqlansin. Bunday holda, biz Pifagor teoremasini qo'llash orqali uning uzunligini topishimiz mumkin.
Demak, koordinatalar sistemasida uning uchlari berilgan koordinatalari bo'lgan segmentni chizamiz(x1; y1) Va (x2; y2) . Eksa bo'yicha X Va Y Segmentning uchlaridan perpendikulyarlarni chizing. Koordinata o'qida dastlabki segmentdan proyeksiyalar bo'lgan segmentlarni qizil rang bilan belgilaymiz. Shundan so'ng, biz proektsion segmentlarni segmentlarning uchlariga parallel ravishda o'tkazamiz. Biz uchburchak (to'rtburchak) olamiz. Ushbu uchburchakning gipotenuzasi AB segmentining o'zi bo'ladi va uning oyoqlari uzatilgan proyeksiyalardir.
Keling, bu proyeksiyalarning uzunligini hisoblaylik. Shunday qilib, o'qga Y proyeksiya uzunligi y2-y1 , va o'qda X proyeksiya uzunligi x2-x1 . Pifagor teoremasini qo'llaymiz: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Ushbu holatda |AB| segment uzunligi hisoblanadi.
Agar siz ushbu diagrammadan segment uzunligini hisoblash uchun foydalansangiz, unda siz hatto segmentni qurishingiz shart emas. Endi segment uzunligini koordinatalari bilan hisoblaylik (1;3) Va (2;5) . Pifagor teoremasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Bu bizning segmentimizning uzunligi teng ekanligini anglatadi 5:1/2 .
Segment uzunligini topishning quyidagi usulini ko'rib chiqing. Buning uchun qandaydir tizimdagi ikkita nuqtaning koordinatalarini bilishimiz kerak. Keling, bu variantni ikki o'lchovli Dekart koordinata tizimidan foydalanib ko'rib chiqaylik.
Shunday qilib, ikki o'lchovli koordinatalar tizimida segmentning chekka nuqtalarining koordinatalari berilgan. Agar bu nuqtalar orqali to'g'ri chiziqlar o'tkazsak, ular koordinata o'qiga perpendikulyar bo'lishi kerak, u holda biz to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz. Asl segment hosil bo'lgan uchburchakning gipotenuzasi bo'ladi. Uchburchakning oyoqlari segmentlarni hosil qiladi, ularning uzunligi gipotenuzaning koordinata o'qlaridagi proyeksiyasiga teng. Pifagor teoremasiga asoslanib, biz xulosa qilamiz: berilgan segmentning uzunligini topish uchun ikkita koordinata o'qiga proyeksiyalarning uzunliklarini topish kerak.
Proyeksiyalarning uzunliklarini topamiz (X va Y) original segmentni koordinata o'qlariga. Biz ularni alohida o'q bo'ylab nuqtalar koordinatalaridagi farqni topib hisoblaymiz: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Segment uzunligini hisoblang A , buning uchun kvadrat ildizni topamiz:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Agar bizning segmentimiz koordinatalari nuqtalar orasida joylashgan bo'lsa 2;4 Va 4;1 , keyin uning uzunligi mos ravishda teng bo'ladi √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .
