مشتقة الدالة هي واحدة من مواضيع صعبةالخامس المنهج المدرسي. لن يجيب كل خريج على سؤال ما هو المشتق.

تشرح هذه المقالة بطريقة بسيطة وواضحة ما هو المشتق ولماذا هو مطلوب.. لن نسعى الآن إلى الدقة الرياضية في العرض التقديمي. الشيء الأكثر أهمية هو فهم المعنى.

لنتذكر التعريف:

المشتق هو معدل تغير الدالة.

يوضح الشكل الرسوم البيانية لثلاث وظائف. أي واحد تعتقد أنه ينمو بشكل أسرع؟

الجواب واضح - الثالث. لديها أعلى معدل للتغيير، أي أكبر مشتق.

وهنا مثال آخر.

حصلت كوستيا وجريشا وماتفي على وظائف في نفس الوقت. دعونا نرى كيف تغير دخلهم خلال العام:

الرسم البياني يظهر كل شيء دفعة واحدة، أليس كذلك؟ تضاعف دخل كوستيا في ستة أشهر. كما زاد دخل جريشا أيضًا، ولكن قليلاً. وانخفض دخل ماتفي إلى الصفر. شروط البداية هي نفسها، ولكن معدل تغيير الوظيفة، أي المشتق، - مختلف. أما بالنسبة لماتفي، فإن مشتق دخله سلبي بشكل عام.

وبشكل بديهي، يمكننا بسهولة تقدير معدل تغير الدالة. ولكن كيف نفعل ذلك؟

ما ننظر إليه حقًا هو مدى انحدار الرسم البياني للدالة لأعلى (أو لأسفل). بمعنى آخر، ما مدى سرعة تغير y مع تغير x؟ من الواضح أن نفس الوظيفة في نقاط مختلفة يمكن أن يكون لها معنى مختلفمشتق - أي أنه يمكن أن يتغير بشكل أسرع أو أبطأ.

يتم الإشارة إلى مشتق الدالة .

سنوضح لك كيفية العثور عليه باستخدام الرسم البياني.

تم رسم رسم بياني لبعض الوظائف. دعونا نأخذ نقطة مع الإحداثي الإحداثي على ذلك. دعونا نرسم مماسًا للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. نريد تقدير مدى انحدار الرسم البياني للدالة. قيمة مناسبة لهذا ظل الزاوية المماسه.

مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل زاوية الظل المرسومة على الرسم البياني للدالة عند هذه النقطة.

يرجى ملاحظة أنه كزاوية ميل المماس نأخذ الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور.

في بعض الأحيان يسأل الطلاب ما هو ظل الرسم البياني للدالة. هذا خط مستقيم له نقطة مشتركة واحدة مع الرسم البياني في هذا القسم، كما هو موضح في الشكل. يبدو وكأنه مماس لدائرة.

دعونا نجد ذلك. ونتذكر أن ظل الزاوية الحادة في مثلث قائمتساوي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. من المثلث:

لقد وجدنا المشتقة باستخدام الرسم البياني دون معرفة صيغة الدالة. غالبًا ما توجد مثل هذه المشكلات في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات تحت الرقم.

هناك علاقة أخرى مهمة. تذكر أن الخط المستقيم يُعطى بالمعادلة

تسمى الكمية في هذه المعادلة منحدر الخط المستقيم. وهو يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور.

.

لقد حصلنا على ذلك

دعونا نتذكر هذه الصيغة. انها تعرب معنى هندسيالمشتق.

مشتقة الدالة عند نقطة ما يساوي ميل المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

بمعنى آخر، المشتقة تساوي ظل الزاوية المماسية.

لقد قلنا من قبل أن الدالة نفسها يمكن أن يكون لها مشتقات مختلفة عند نقاط مختلفة. دعونا نرى كيف يرتبط المشتق بسلوك الوظيفة.

لنرسم رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. وتزداد هذه الوظيفة في بعض المناطق، وتنقص في مناطق أخرى، وبنسب متفاوتة. ودع هذه الوظيفة تحتوي على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

عند نقطة ما تزداد الوظيفة. يشكل مماس الرسم البياني المرسوم عند النقطة زاوية حادة؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. وهذا يعني أن المشتقة عند هذه النقطة موجبة.

عند هذه النقطة تنخفض وظيفتنا. يشكل المماس عند هذه النقطة زاوية منفرجة؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. بما أن ظل الزاوية المنفرجة سالب، فإن المشتقة عند هذه النقطة تكون سالبة.

إليك ما يحدث:

إذا كانت الدالة متزايدة، فإن مشتقتها تكون موجبة.

فإذا نقصت تكون مشتقتها سالبة.

ماذا سيحدث عند الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط؟ نلاحظ أنه عند نقطتي (النقطة القصوى) و(النقطة الدنيا) يكون المماس أفقيًا. ومن ثم، فإن ظل المماس عند هذه النقاط يساوي صفرًا، والمشتقة تساوي صفرًا أيضًا.

النقطة - النقطة القصوى. عند هذه النقطة، يتم استبدال الزيادة في الدالة بالنقصان. وبالتالي تتغير إشارة المشتقة عند النقطة من "موجب" إلى "سالب".

عند النقطة - النقطة الدنيا - يكون المشتق أيضًا صفرًا، لكن علامته تتغير من "ناقص" إلى "زائد".

الخلاصة: باستخدام المشتقة يمكننا معرفة كل ما يهمنا حول سلوك الوظيفة.

إذا كانت المشتقة موجبة، تزيد الدالة.

إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تنخفض.

عند النقطة القصوى، يكون المشتق صفرًا وتتغير الإشارة من "زائد" إلى "سالب".

عند النقطة الدنيا، تكون المشتقة أيضًا صفرًا وتتغير الإشارة من ناقص إلى زائد.

لنكتب هذه الاستنتاجات في شكل جدول:

	يزيد	النقطة القصوى	يتناقص	نقطة الحد الأدنى	يزيد
+	0	-	0	+

دعونا نقدم توضيحين صغيرين. سوف تحتاج واحد منهم عند حل المشكلة. آخر - في السنة الأولى، مع دراسة أكثر جدية للوظائف والمشتقات.

من الممكن أن تكون مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي صفرًا، لكن الدالة ليس لها قيمة عظمى أو قيمة صغرى عند هذه النقطة. هذا هو ما يسمى :

عند نقطة ما، يكون مماس الرسم البياني أفقيًا وتكون المشتقة صفرًا. ومع ذلك، قبل النقطة زادت الدالة - وبعد النقطة استمرت في الزيادة. إشارة المشتقة لا تتغير، بل تبقى موجبة كما كانت.

ويحدث أيضًا أنه عند نقطة الحد الأقصى أو الأدنى لا يكون المشتق موجودًا. على الرسم البياني، يتوافق هذا مع كسر حاد، عندما يكون من المستحيل رسم مماس عند نقطة معينة.

كيف يمكن العثور على المشتق إذا كانت الدالة لا تُعطى من خلال رسم بياني، بل من خلال صيغة؟ في هذه الحالة ينطبق

عملية إيجاد المشتق تسمى التمايز.

نتيجة لحل مشاكل إيجاد مشتقات أبسط الدوال (وليست البسيطة جدًا) من خلال تعريف المشتق باعتباره الحد الأقصى لنسبة الزيادة إلى زيادة الوسيطة، ظهر جدول المشتقات وقواعد التمايز المحددة بدقة . أول من عمل في مجال إيجاد المشتقات هما إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد فيلهلم لايبنتز (1646-1716).

لذلك، في عصرنا هذا، للعثور على مشتقة أي دالة، لا تحتاج إلى حساب الحد المذكور أعلاه لنسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، ولكن ما عليك سوى استخدام جدول المشتقات وقواعد التفاضل. الخوارزمية التالية مناسبة للعثور على المشتق.

للعثور على المشتقة، أنت بحاجة إلى تعبير تحت العلامة الأولية تقسيم الوظائف البسيطة إلى مكوناتوتحديد ما هي الإجراءات (المنتج، المجموع، الحاصل)ترتبط هذه الوظائف. بعد ذلك، نجد مشتقات الدوال الأولية في جدول المشتقات، وصيغ مشتقات حاصل الضرب والمجموع والحاصل - في قواعد التفاضل. يتم إعطاء الجدول المشتق وقواعد التمايز بعد المثالين الأولين.

مثال 1.أوجد مشتقة الدالة

حل. ومن قواعد التفاضل نجد أن مشتقة مجموع الدوال هي مجموع مشتقات الدوال، أي.

من جدول المشتقات نجد أن مشتقة "X" تساوي واحدًا، ومشتقة الجيب تساوي جيب التمام. نعوض بهذه القيم في مجموع المشتقات ونجد المشتقة التي يتطلبها شرط المشكلة:

مثال 2.أوجد مشتقة الدالة

حل. نشتق كمشتقة مجموع فيها الحد الثاني عامل ثابت ويمكن إخراجه من علامة المشتقة:

إذا استمرت الأسئلة حول مصدر شيء ما، فعادةً ما يتم حلها بعد التعرف على جدول المشتقات وأبسط قواعد التفاضل. نحن ننتقل إليهم الآن.

جدول مشتقات الدوال البسيطة

1. مشتق من ثابت (رقم). أي رقم (1، 2، 5، 200...) موجود في تعبير الدالة. دائما يساوي الصفر. من المهم جدًا أن تتذكر ذلك، لأنه مطلوب في كثير من الأحيان
2. مشتق المتغير المستقل. في أغلب الأحيان "X". يساوي دائما واحدا. من المهم أيضًا أن نتذكر ذلك لفترة طويلة
3. مشتق الدرجة. عند حل المسائل، عليك تحويل الجذور غير التربيعية إلى قوى.
4. مشتق من متغير للقوة -1
5. المشتقة الجذر التربيعي
6. مشتق من الجيب
7. مشتق من جيب التمام
8. مشتق الظل
9. مشتق ظل التمام
10. مشتق من أركسين
11. مشتق من الأركوسين
12. مشتق من قوس الظل
13. مشتق ظل التمام القوسي
14. مشتق من اللوغاريتم الطبيعي
15. مشتق من دالة لوغاريتمية
16. مشتق الأس
17. مشتقة الدالة الأسية

قواعد التمايز

1. مشتق المجموع أو الفرق
2. مشتق من المنتج
2 أ. مشتق من التعبير مضروبا في عامل ثابت
3. مشتق الحاصل
4. مشتق من وظيفة معقدة

المادة 1.إذا كانت الوظائف

تكون قابلة للاشتقاق في مرحلة ما، وبالتالي تكون الوظائف قابلة للاشتقاق في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق المجموع الجبري للدوال يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال.

عاقبة. إذا اختلف دالتان قابلتان للتفاضل في حد ثابت، فإن مشتقاتهما متساوية، أي.

القاعدة 2.إذا كانت الوظائف

قابلة للاشتقاق في مرحلة ما، فإن منتجها يكون قابلاً للاشتقاق في نفس النقطة

و

أولئك. مشتقة منتج دالتين يساوي مجموع منتجات كل من هذه الوظائف ومشتقة الأخرى.

النتيجة الطبيعية 1. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة:

النتيجة الطبيعية 2. مشتق منتج عدة وظائف قابلة للتفاضل يساوي مجموع منتجات مشتق كل عامل وجميع العوامل الأخرى.

على سبيل المثال، لثلاثة مضاعفات:

القاعدة 3.إذا كانت الوظائف

قابلة للتمييز في مرحلة ما و , ثم في هذه المرحلة يكون حاصلهم قابلاً للتمييز أيضًاش / ت، و

أولئك. مشتقة خارج قسمة دالتين يساوي كسرًا، بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتقة البسط ومشتقة البسط ومشتقة المقام، والمقام هو مربع البسط السابق.

أين تبحث عن الأشياء على الصفحات الأخرى

عند إيجاد مشتقة منتج وحاصل حاصل ضرب في مسائل حقيقية، من الضروري دائمًا تطبيق عدة قواعد للتفاضل في وقت واحد، لذلك هناك المزيد من الأمثلة على هذه المشتقات في المقالة"مشتق المنتج وحاصل الوظائف".

تعليق.يجب ألا تخلط بين الثابت (أي الرقم) كمصطلح في المجموع وكعامل ثابت! وفي حالة الحد تكون مشتقته تساوي صفرًا، وفي حالة العامل الثابت يتم إخراجها من إشارة المشتقات. هذا خطأ نموذجي، والذي يحدث في المرحلة الأولى من دراسة المشتقات، ولكن بما أن الطالب العادي يحل عدة أمثلة مكونة من جزأين أو جزأين، فإنه لم يعد يرتكب هذا الخطأ.

وإذا كان لديك مصطلح عند التفريق بين منتج أو حاصل قسمة ما ش"الخامس، بحيث ش- رقم مثلا 2 أو 5 أي ثابت، فإن مشتقة هذا الرقم ستكون تساوي صفر، وبالتالي فإن الحد بأكمله سيكون يساوي صفر (هذه الحالة تمت مناقشتها في المثال 10).

آخر خطأ عام- الحل الميكانيكي لمشتقة دالة معقدة كمشتقة لدالة بسيطة. لهذا مشتق من وظيفة معقدةتم تخصيص مقالة منفصلة. ولكن أولا سوف نتعلم كيفية العثور على المشتقات وظائف بسيطة.

على طول الطريق، لا يمكنك الاستغناء عن تحويل التعبيرات. للقيام بذلك، قد تحتاج إلى فتح الدليل في نوافذ جديدة. الأفعال ذات القوى والجذورو العمليات مع الكسور .

إذا كنت تبحث عن حلول لمشتقات الكسور ذات القوى والجذور، أي عندما تبدو الدالة ثم اتبع الدرس "اشتقاق مجموع الكسور ذات القوى والجذور".

إذا كان لديك مهمة مثل ثم ستأخذ درس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة".

أمثلة خطوة بخطوة - كيفية العثور على المشتق

مثال 3.أوجد مشتقة الدالة

حل. نحدد أجزاء تعبير الدالة: التعبير بأكمله يمثل منتجًا، وعوامله عبارة عن مجاميع، في الثاني منها يحتوي أحد الحدود على عامل ثابت. نطبق قاعدة تمايز المنتجات: مشتق منتج دالتين يساوي مجموع منتجات كل من هذه الوظائف بمشتقة الأخرى:

بعد ذلك، نطبق قاعدة اشتقاق المجموع: مشتق المجموع الجبري للدوال يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال. في حالتنا، في كل مجموع، يحتوي الحد الثاني على علامة ناقص. في كل مجموع نرى متغيرًا مستقلًا، مشتقته تساوي واحدًا، وثابتًا (رقمًا)، مشتقته تساوي صفرًا. إذن، "X" يتحول إلى واحد، وسالب 5 يتحول إلى صفر. في التعبير الثاني، يتم ضرب "x" في 2، لذلك نضرب اثنين في نفس وحدة مشتقة "x". نحصل على القيم المشتقة التالية:

نعوض بالمشتقات الموجودة في مجموع المنتجات ونحصل على مشتقة الدالة بأكملها التي تتطلبها حالة المشكلة:

مثال 4.أوجد مشتقة الدالة

حل. مطلوب منا إيجاد مشتقة حاصل القسمة. نطبق صيغة اشتقاق حاصل القسمة: مشتقة حاصل قسمة دالتين يساوي كسرًا بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتقة البسط والبسط ومشتقة المقام المقام، والمقام هو مربع البسط السابق. نحن نحصل:

لقد وجدنا بالفعل مشتقة العوامل في البسط في المثال 2. ولا ننسى أيضًا أن حاصل الضرب، وهو العامل الثاني في البسط في المثال الحالي، يؤخذ بعلامة الطرح:

إذا كنت تبحث عن حلول للمسائل التي تحتاج فيها إلى إيجاد مشتقة دالة، حيث يوجد كومة متواصلة من الجذور والقوى، مثل، على سبيل المثال، ، ثم مرحبًا بك في الفصل "مشتقة مجموع الكسور ذات القوى والجذور" .

إذا كنت بحاجة إلى معرفة المزيد عن مشتقات الجيب وجيب التمام والظلال وغيرها الدوال المثلثية، أي عندما تبدو الوظيفة ، ثم درسا لك "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة" .

مثال 5.أوجد مشتقة الدالة

حل. في هذه الدالة نرى حاصل الضرب، أحد عوامله هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل، مشتقته التي تعرفنا عليها في جدول المشتقات. باستخدام قاعدة اشتقاق المنتج والقيمة الجدولية لمشتق الجذر التربيعي، نحصل على:

مثال 6.أوجد مشتقة الدالة

حل. في هذه الدالة نرى حاصل القسمة الذي يكون مقسومه هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل. باستخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة التي كررناها وطبقناها في المثال 4، والقيمة الجدولية لمشتقة الجذر التربيعي، نحصل على:

للتخلص من الكسر في البسط، اضرب البسط والمقام ب .

التاريخ: 20/11/2014

ما هو المشتق؟

جدول المشتقات.

المشتق هو أحد المفاهيم الرئيسية للرياضيات العليا. في هذا الدرس سوف نقدم هذا المفهوم. دعونا نتعرف على بعضنا البعض، دون صيغ وأدلة رياضية صارمة.

هذا التعارف سيسمح لك بما يلي:

فهم جوهر المهام البسيطة مع المشتقات.

حل هذه المهام البسيطة بنجاح؛

الاستعداد لدروس أكثر جدية حول المشتقات.

أولا - مفاجأة سارة.)

يعتمد التعريف الصارم للمشتقة على نظرية الحدود والأمر معقد للغاية. هذا مزعج. لكن التطبيق العملي للمشتقات، كقاعدة عامة، لا يتطلب مثل هذه المعرفة الواسعة والعميقة!

لإكمال معظم المهام في المدرسة والجامعة بنجاح، يكفي أن تعرف فقط بعض المصطلحات- لفهم المهمة، و فقط عدد قليل من القواعد- لحلها. هذا كل شئ. هذا يجعلني سعيدا.

لنبدأ بالتعرف؟)

المصطلحات والتسميات.

هناك العديد من العمليات الرياضية المختلفة في الرياضيات الابتدائية. الجمع، الطرح، الضرب، الأس، اللوغاريتم، الخ. إذا أضفت عملية أخرى إلى هذه العمليات، تصبح الرياضيات الأولية أعلى. هذا عملية جديدةمُسَمًّى التفاضل.سيتم مناقشة تعريف ومعنى هذه العملية في دروس منفصلة.

من المهم أن نفهم هنا أن التفاضل هو مجرد عملية رياضية على دالة. نحن نأخذ أي وظيفة ونقوم بتحويلها وفقًا لقواعد معينة. وستكون النتيجة وظيفة جديدة. هذه الوظيفة الجديدة تسمى: المشتق.

التفاضل- العمل على وظيفة.

المشتق- نتيجة هذا الإجراء.

تماما مثل، على سبيل المثال، مجموع- نتيجة الإضافة. أو خاص- نتيجة القسمة.

بمعرفة المصطلحات، يمكنك على الأقل فهم المهام.) الصياغة هي كما يلي: العثور على مشتقة وظيفة. خذ المشتق التمييز بين الوظيفة؛ حساب المشتقةوما إلى ذلك وهلم جرا. هذا كل شيء نفس.بالطبع، هناك أيضًا مهام أكثر تعقيدًا، حيث سيكون العثور على المشتق (التمايز) مجرد إحدى خطوات حل المشكلة.

تتم الإشارة إلى المشتق بشرطة في أعلى يمين الدالة. مثله: ذ"أو و"(خ)أو شارع)وما إلى ذلك وهلم جرا.

قراءة السكتة الدماغية igrek، السكتة الدماغية ef من x، السكتة الدماغية es من te،حسنًا ، لقد فهمت ...)

يمكن أن يشير العدد الأولي أيضًا إلى مشتق دالة معينة، على سبيل المثال: (2x+3)", (x 3 )" , (سينكس)"إلخ. غالبًا ما يتم الإشارة إلى المشتقات باستخدام التفاضلات، لكننا لن نأخذ هذا الرمز في الاعتبار في هذا الدرس.

لنفترض أننا تعلمنا فهم المهام. كل ما تبقى هو أن تتعلم كيفية حلها.) اسمحوا لي أن أذكركم مرة أخرى: العثور على المشتقة هو تحويل وظيفة وفقا لقواعد معينة.والمثير للدهشة أن هناك عددًا قليلاً جدًا من هذه القواعد.

للعثور على مشتق دالة، عليك أن تعرف ثلاثة أشياء فقط. ثلاث ركائز يقوم عليها كل التمايز. وهذه هي الأركان الثلاثة:

1. جدول المشتقات (صيغ التمايز).

3. المشتقة وظيفة معقدة.

لنبدأ بالترتيب. في هذا الدرس سوف ننظر إلى جدول المشتقات.

جدول المشتقات.

هناك عدد لا حصر له من الوظائف في العالم. من بين هذه المجموعة هناك الوظائف الأكثر أهمية للاستخدام العملي. هذه الوظائف موجودة في جميع قوانين الطبيعة. من هذه الوظائف، كما هو الحال من الطوب، يمكنك بناء جميع الوظائف الأخرى. تسمى هذه الفئة من الوظائف وظائف أولية.يتم دراسة هذه الوظائف في المدرسة - الخطية، التربيعية، القطع الزائد، إلخ.

التمايز بين الوظائف "من الصفر" ، أي. استنادا إلى تعريف المشتق ونظرية الحدود، فهذا شيء كثيف العمالة إلى حد ما. وعلماء الرياضيات هم أيضًا بشر، نعم، نعم!) لذلك قاموا بتبسيط حياتهم (وحياةنا). لقد حسبوا مشتقات الوظائف الأولية التي أمامنا. والنتيجة هي جدول المشتقات، حيث كل شيء جاهز.)

ومن هنا، هذه اللوحة للوظائف الأكثر شعبية. غادر - وظيفة أولية، على اليمين مشتقته.

	وظيفة ذ	مشتق من وظيفة ذ ذ"
1	ج (قيمة ثابتة)	ج" = 0
2	س	س" = 1
3	س ن (ن - أي رقم)	(x n)" = nx n-1
	× 2 (ن = 2)	(× 2)" = 2×
4	الخطيئة س	(الخطيئة س)" = cosx
	كوس س	(كوس س)" = - الخطيئة س
	تيراغرام س
	سي تي جي ×
5	أرسين x
	أركوس x
	أركانتان x
	arcctg x
4	أس
	هس
5	سجل أس
	لن س ( أ = ه)

أوصي بالاهتمام بالمجموعة الثالثة من الوظائف في جدول المشتقات هذا. المشتق وظيفة الطاقة- إحدى الصيغ الأكثر شيوعاً، إن لم تكن الأكثر شيوعاً! هل فهمت التلميح؟) نعم، يُنصح بحفظ جدول المشتقات عن ظهر قلب. بالمناسبة، هذا ليس صعبا كما قد يبدو. حاول حل المزيد من الأمثلة، سيتم تذكر الجدول نفسه!)

يجد قيمة الجدولمشتق، كما تفهم، المهمة ليست هي الأكثر صعوبة. لذلك، في كثير من الأحيان في مثل هذه المهام هناك رقائق إضافية. إما في صيغة المهمة، أو في الوظيفة الأصلية التي لا يبدو أنها موجودة في الجدول...

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

1. أوجد مشتقة الدالة y = x 3

لا توجد مثل هذه الوظيفة في الجدول. ولكن هناك مشتق من وظيفة السلطة في منظر عام(المجموعة الثالثة). في حالتنا ن = 3. لذلك نستبدل ثلاثة بدلاً من n ونكتب النتيجة بعناية:

(x 3) " = 3 س 3-1 = 3x 2

هذا كل شيء.

إجابة: ص" = 3x 2

2. أوجد قيمة مشتقة الدالة y = sinx عند النقطة x = 0.

تعني هذه المهمة أنه يجب عليك أولًا إيجاد مشتقة الجيب، ثم التعويض بالقيمة س = 0في نفس هذا المشتق. بالضبط بهذا الترتيب!خلاف ذلك، يحدث ذلك على الفور استبدال الصفر في الوظيفة الأصلية... يطلب منا العثور على قيمة الوظيفة الأصلية وليس القيمة مشتق منه.دعني أذكرك أن المشتقة هي دالة جديدة.

باستخدام الجهاز اللوحي نجد الجيب والمشتق المقابل:

y" = (sin x)" = cosx

نعوض بالصفر في المشتقة:

ص"(0) = جتا 0 = 1

سيكون هذا هو الجواب.

3. التفريق بين الوظيفة:

ماذا، هل هذا يلهم؟) لا توجد مثل هذه الوظيفة في جدول المشتقات.

دعني أذكرك أن اشتقاق دالة يعني ببساطة إيجاد مشتقة هذه الدالة. إذا نسيت علم المثلثات الأساسي، فسيكون البحث عن مشتقة الدالة أمرًا مزعجًا للغاية. الجدول لا يساعد...

ولكن إذا رأينا أن وظيفتنا هي جيب التمام زاوية مزدوجة ، ثم يتحسن كل شيء على الفور!

نعم نعم! تذكر أن تحويل الوظيفة الأصلية قبل التفريقمقبول تماما! ويحدث أن يجعل الحياة أسهل كثيرًا. باستخدام صيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة:

أولئك. وظيفتنا الصعبة ليست أكثر من ذ = كوسكس. وهذه هي وظيفة الجدول. نحصل على الفور على:

إجابة: y" = - الخطيئة x.

مثال للخريجين والطلاب المتقدمين:

4. أوجد مشتقة الدالة:

بالطبع لا توجد مثل هذه الوظيفة في جدول المشتقات. ولكن إذا كنت تتذكر الرياضيات الأولية، والعمليات مع القوى. فمن الممكن تماما تبسيط هذه الوظيفة. مثله:

وx أس العشر هي بالفعل دالة جدولية! المجموعة الثالثة، ن = 1/10. نكتب مباشرة حسب الصيغة:

هذا كل شئ. سيكون هذا هو الجواب.

آمل أن يكون كل شيء واضحًا فيما يتعلق بالركيزة الأولى للتمايز - جدول المشتقات. يبقى التعامل مع الحوتين المتبقيين. وفي الدرس القادم سوف نتعلم قواعد التفاضل.

ما هو المشتق؟
تعريف ومعنى وظيفة مشتقة

سوف يفاجأ الكثيرون بالموضع غير المتوقع لهذه المقالة في دورة مؤلفي حول مشتق دالة لمتغير واحد وتطبيقاتها. بعد كل شيء، كما كان الحال منذ المدرسة: يقدم الكتاب المدرسي القياسي في المقام الأول تعريفًا للمشتق ومعناه الهندسي والميكانيكي. بعد ذلك، يجد الطلاب مشتقات الوظائف حسب التعريف، وفي الواقع، عندها فقط يتقنون تقنية التمايز باستخدام الجداول المشتقة.

ولكن من وجهة نظري، فإن النهج التالي أكثر واقعية: أولا وقبل كل شيء، من المستحسن أن نفهم جيدا حد الوظيفة، وعلى وجه الخصوص، كميات متناهية الصغر. الحقيقة انه يعتمد تعريف المشتق على مفهوم الحد، وهو أمر لا يُنظر إليه بشكل جيد في الدورة المدرسية. هذا هو السبب في أن جزءًا كبيرًا من المستهلكين الشباب للمعرفة الجرانيتية لا يفهمون جوهر المشتق. وبالتالي، إذا كان لديك القليل من المعرفة بحساب التفاضل والتكامل أو العقل الحكيم سنوات طويلةلقد تخلصت من هذه الأمتعة بنجاح، يرجى البدء بها حدود الوظيفة. وفي الوقت نفسه، أتقن/تذكر حلهم.

نفس المعنى العملي يملي أنه مفيد أولاً تعلم كيفية العثور على المشتقات، مشتمل مشتقات الوظائف المعقدة. النظرية هي نظرية، ولكن، كما يقولون، تريد دائمًا التفريق. في هذا الصدد، من الأفضل العمل من خلال الدروس الأساسية المذكورة، وربما سيد التمايزدون أن يدركوا حتى جوهر أفعالهم.

أوصي بالبدء بالمواد الموجودة في هذه الصفحة بعد قراءة المقال. أبسط المشاكل مع المشتقات، حيث، على وجه الخصوص، يتم النظر في مشكلة الظل للرسم البياني للدالة. ولكن يمكنك الانتظار. والحقيقة هي أن العديد من تطبيقات المشتقة لا تتطلب فهمها، وليس من المستغرب أن الدرس النظري ظهر متأخرا جدا - عندما كنت بحاجة إلى شرح العثور على فترات متزايدة / متناقصة والنقاط القصوىالمهام. علاوة على ذلك، كان على هذا الموضوع لفترة طويلة. الوظائف والرسوم البيانية"، حتى قررت أخيرًا أن أضعه مسبقًا.

لذلك عزيزي أباريق الشاي، لا تتسرع في امتصاص جوهر المشتق مثل الحيوانات الجائعة، لأن التشبع سيكون لا طعم له وغير مكتمل.

مفهوم الزيادة والنقصان والحد الأقصى والحد الأدنى للدالة

كثير وسائل تعليميةأدى إلى مفهوم المشتقة باستخدام بعض المسائل العملية، كما توصلت إلى مثال مثير للاهتمام. تخيل أننا على وشك السفر إلى مدينة يمكن الوصول إليها بطرق مختلفة. دعونا نتجاهل على الفور المسارات المتعرجة المنحنية ونفكر فقط في الطرق السريعة المستقيمة. ومع ذلك، فإن اتجاهات الخط المستقيم مختلفة أيضًا: يمكنك الوصول إلى المدينة عبر طريق سريع سلس. أو على طول الطريق السريع الجبلي - لأعلى ولأسفل، لأعلى ولأسفل. هناك طريق آخر يتجه صعودًا فقط، وطريقًا آخر ينحدر طوال الوقت. سيختار المتحمسون المتطرفون طريقًا عبر مضيق به منحدر شديد الانحدار وتسلق شديد الانحدار.

ولكن مهما كانت تفضيلاتك، فمن المستحسن معرفة المنطقة أو على الأقل الحصول على خريطة طبوغرافية لها. ماذا لو كانت هذه المعلومات مفقودة؟ بعد كل شيء، يمكنك اختيار، على سبيل المثال، طريقا سلسا، ولكن نتيجة لذلك تتعثر على منحدر التزلج مع الفنلنديين المبتهجين. ليست حقيقة أن الملاح أو حتى صورة القمر الصناعي ستوفر بيانات موثوقة. لذلك، سيكون من الجيد إضفاء الطابع الرسمي على إغاثة المسار باستخدام الرياضيات.

دعونا نلقي نظرة على بعض الطرق (منظر جانبي):

فقط في حالة، أذكرك بحقيقة أولية: السفر يحدث من اليسار الى اليمين. للتبسيط، نفترض أن الوظيفة مستمرفي المنطقة قيد النظر.

ما هي مميزات هذا الرسم البياني؟

على فترات وظيفة يزيد، أي كل قيمة تالية له أكثرالسابق. بشكل تقريبي، الجدول الزمني قيد التنفيذ أسفل حتى(نتسلق التل). وعلى الفاصل الدالة يتناقص– كل القيمة التالية أقلالسابق، وجدولنا الزمني قيد التشغيل من أعلى إلى أسفل(ننزل على المنحدر).

دعونا ننتبه أيضًا إلى النقاط الخاصة. عند النقطة التي وصلنا إليها أقصى، إنه موجودهذا القسم من المسار حيث ستكون القيمة الأكبر (الأعلى). وفي نفس النقطة يتم تحقيقه الحد الأدنى، و موجودالحي الذي تكون فيه القيمة الأصغر (الأدنى).

سننظر في مصطلحات وتعريفات أكثر صرامة في الفصل. حول الحد الأقصى للوظيفة، ولكن الآن دعونا ندرس واحدة أخرى ميزة مهمة: على فترات تزيد الدالة ولكنها تزيد بسرعات مختلفة. وأول ما يلفت انتباهك هو أن الرسم البياني يرتفع خلال هذه الفترة أكثر روعة، مما كان عليه في الفاصل الزمني. هل من الممكن قياس انحدار الطريق باستخدام الأدوات الرياضية؟

معدل تغيير الوظيفة

الفكرة هي كما يلي: دعونا نأخذ بعض القيمة (اقرأ "دلتا x")، والذي سنتصل به زيادة الحجة، ولنبدأ "بتجربته" في نقاط مختلفة على طريقنا:

1) دعونا ننظر إلى أقصى نقطة في اليسار: بعد مرور المسافة، نتسلق المنحدر إلى الارتفاع (الخط الأخضر). الكمية تسمى زيادة الوظيفة، و في في هذه الحالةهذه الزيادة موجبة (الفرق في القيم على طول المحور أكبر من الصفر). لنقم بإنشاء نسبة من شأنها أن تكون مقياسًا لانحدار طريقنا. من الواضح أن هذا رقم محدد جدًا، وبما أن كلا الزيادتين موجبتين، إذن.

انتباه! التسميات هي واحدالرمز، أي أنه لا يمكنك "إزالة" "دلتا" من "X" والنظر في هذه الأحرف بشكل منفصل. بالطبع، يتعلق التعليق أيضًا برمز زيادة الوظيفة.

دعونا نستكشف طبيعة الكسر الناتج بشكل أكثر وضوحًا. لنكن في البداية على ارتفاع 20 مترًا (عند النقطة السوداء اليسرى). وبعد أن قطعنا مسافة الأمتار (الخط الأحمر الأيسر)، سنجد أنفسنا على ارتفاع 60 مترًا. ثم ستكون زيادة الوظيفة متر (الخط الأخضر) و: . هكذا، على كل مترهذا القسم من الطريق يزيد الارتفاع متوسطبمقدار 4 أمتار...هل نسيت معدات التسلق الخاصة بك؟ =) بمعنى آخر، تحدد العلاقة المبنية متوسط ​​معدل التغيير (في هذه الحالة، النمو) للدالة.

ملحوظة : القيم الرقميةالمثال المعني يتوافق مع نسب الرسم تقريبًا فقط.

2) الآن دعنا نقطع نفس المسافة من النقطة السوداء في أقصى اليمين. وهنا يكون الارتفاع تدريجيًا أكثر، لذا تكون الزيادة (الخط القرمزي) صغيرة نسبيًا، وستكون النسبة مقارنة بالحالة السابقة متواضعة جدًا. نسبيا، متر و معدل نمو الوظيفةيكون . وهذا هو، هنا لكل متر من المسار هناك متوسطنصف متر من الارتفاع.

3) مغامرة صغيرة على سفح الجبل. دعونا ننظر إلى الأعلى نقطة سوداء، وتقع على المحور الإحداثي. لنفترض أن هذه هي علامة الـ 50 مترًا. نتغلب على المسافة مرة أخرى، ونتيجة لذلك نجد أنفسنا أقل - على مستوى 30 مترا. منذ أن تم تنفيذ الحركة من أعلى إلى أسفل(في الاتجاه "المضاد" للمحور)، ثم النهائي زيادة الدالة (الارتفاع) ستكون سالبة: متر (الجزء البني في الرسم). وفي هذه الحالة نحن نتحدث بالفعل عنها معدل الانخفاضسمات: أي أنه لكل متر من مسار هذا القسم ينخفض ​​الارتفاع متوسطبمقدار 2 متر. اعتني بملابسك عند النقطة الخامسة.

الآن دعونا نسأل أنفسنا السؤال: ما هي قيمة "معيار القياس" الأفضل للاستخدام؟ إنه أمر مفهوم تمامًا، 10 أمتار صعبة للغاية. يمكن أن تناسبها بسهولة عشرات من الروابي. بغض النظر عن المطبات، قد يكون هناك ممر عميق بالأسفل، وبعد بضعة أمتار يوجد جانبه الآخر مع ارتفاع حاد آخر. وبالتالي، مع عشرة أمتار، لن نحصل على وصف واضح لهذه المقاطع من المسار من خلال النسبة .

ومن المناقشة السابقة نستنتج ما يلي: كيف قيمة أقل كلما وصفنا تضاريس الطريق بدقة أكبر. علاوة على ذلك، فإن الحقائق التالية صحيحة:

– لأي احدنقاط الرفع يمكنك تحديد قيمة (حتى لو كانت صغيرة جدًا) تتناسب مع حدود ارتفاع معين. وهذا يعني أنه سيتم ضمان أن تكون زيادة الارتفاع المقابلة إيجابية، وسوف تشير عدم المساواة بشكل صحيح إلى نمو الدالة عند كل نقطة من هذه الفواصل الزمنية.

- على نفس المنوال، لأينقطة المنحدر هناك قيمة تتناسب تمامًا مع هذا المنحدر. وبالتالي، فإن الزيادة المقابلة في الارتفاع تكون سالبة بشكل واضح، وستظهر المتباينة بشكل صحيح انخفاض الدالة عند كل نقطة من الفترة المحددة.

- هناك حالة مثيرة للاهتمام بشكل خاص عندما يكون معدل تغير الدالة صفرًا: . أولاً، زيادة الارتفاع الصفرية () هي علامة على وجود مسار سلس. وثانيا، هناك مواقف أخرى مثيرة للاهتمام، والأمثلة التي تراها في الشكل. تخيل أن القدر قد أوصلنا إلى أعلى تلة تعلوها نسور مرتفعة، أو إلى قاع وادٍ تعج بالضفادع النعيقة. إذا خطوت خطوة صغيرة في أي اتجاه، فسيكون التغير في الارتفاع ضئيلًا، ويمكننا القول إن معدل تغير الدالة هو في الواقع صفر. هذه هي بالضبط الصورة التي لوحظت في النقاط.

وهكذا، فقد وصلنا إلى فرصة مذهلة لتوصيف معدل تغير الدالة بدقة تامة. بعد كل ذلك التحليل الرياضييسمح لك بتوجيه زيادة الوسيطة إلى الصفر: أي جعلها متناهي الصغر.

ونتيجة لذلك يطرح سؤال منطقي آخر: هل من الممكن العثور على الطريق وجدوله الزمني وظيفة أخرى، أيّ من شأنه أن يتيح لنا أن نعرفعن جميع المقاطع المسطحة والصعود والهبوط والقمم والوديان، بالإضافة إلى معدل النمو/النقصان عند كل نقطة على طول الطريق؟

ما هو المشتق؟ تعريف المشتقة.
المعنى الهندسي للمشتقة والتفاضلية

يرجى القراءة بعناية وليس بسرعة كبيرة - المادة بسيطة وفي متناول الجميع! لا بأس إذا كان هناك شيء لا يبدو واضحًا جدًا في بعض الأماكن، يمكنك دائمًا العودة إلى المقالة لاحقًا. سأقول المزيد، من المفيد دراسة النظرية عدة مرات من أجل فهم جميع النقاط بدقة (النصيحة ذات صلة بشكل خاص بالطلاب "الفنيين"، الذين تلعب الرياضيات العليا دورًا مهمًا في العملية التعليمية).

وبطبيعة الحال، في تعريف المشتق عند نقطة ما، نستبدله بما يلي:

ما وصلنا إليه؟ وتوصلنا إلى أن الوظيفة تخضع للقانون يتم وضعها وفقا وظيفة أخرى، من اتصل وظيفة مشتقة(أو ببساطة المشتق).

يتميز المشتق معدل التغييرالمهام كيف؟ تعمل الفكرة كخيط أحمر منذ بداية المقال. دعونا نفكر في نقطة ما مجال التعريفالمهام دع الدالة تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة. ثم:

1) إذا كانت الدالة تزداد عند النقطة . ومن الواضح أن هناك فاصلة(حتى لو كانت صغيرة جدًا)، تحتوي على نقطة تنمو عندها الدالة، وينتقل الرسم البياني الخاص بها "من الأسفل إلى الأعلى".

2) إذا كانت الدالة تتناقص عند النقطة . وهناك فاصل زمني يحتوي على نقطة تتناقص عندها الدالة (ينتقل الرسم البياني من "أعلى إلى أسفل").

3) إذاً قريبة بلا حدودبالقرب من نقطة تحافظ الدالة على سرعتها ثابتة. يحدث هذا، كما لوحظ، مع وظيفة ثابتة و في النقاط الحرجة للوظيفة، بخاصة عند الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.

قليلا من الدلالات. ماذا يعني الفعل "يفرق" بالمعنى الواسع؟ للتمييز يعني تسليط الضوء على الميزة. من خلال اشتقاق دالة، نقوم "بعزل" معدل تغيرها في شكل مشتق للدالة. بالمناسبة، ما المقصود بكلمة "مشتق"؟ وظيفة حدثمن الوظيفة.

يتم تفسير المصطلحات بنجاح كبير من خلال المعنى الميكانيكي للمشتق :
ولنتأمل هنا قانون تغير إحداثيات الجسم باختلاف الزمن، ودالة سرعة الحركة الجسم المعطى. تحدد الدالة معدل تغير إحداثيات الجسم، ولذلك فهي المشتق الأول للدالة بالنسبة للزمن: . لو لم يكن مفهوم "حركة الجسم" موجودا في الطبيعة، فلن يكون موجودا المشتقمفهوم "سرعة الجسم".

تسارع الجسم هو معدل التغير في سرعته ولذلك: . ولو لم يكن المفهومان الأوليان لحركة الجسم وسرعة الجسم موجودين في الطبيعة، لما كان هناك وجود المشتقمفهوم "تسارع الجسم".

تعريف.دع الدالة \(y = f(x)\) محددة في فترة معينة تحتوي على النقطة \(x_0\) بداخلها. دعونا نعطي الوسيطة زيادة \(\Delta x \) بحيث لا تترك هذه الفترة. دعونا نوجد الزيادة المقابلة للدالة \(\Delta y \) (عند الانتقال من النقطة \(x_0 \) إلى النقطة \(x_0 + \Delta x \)) وننشئ العلاقة \(\frac(\Delta ذ)(\دلتا س) \). إذا كان هناك حد لهذه النسبة عند \(\Delta x \rightarrow 0\)، فسيتم استدعاء الحد المحدد مشتق من وظيفة\(y=f(x) \) عند النقطة \(x_0 \) وتدل على \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

غالبًا ما يستخدم الرمز y للإشارة إلى المشتق. لاحظ أن y" = f(x) هي دالة جديدة، ولكنها مرتبطة بطبيعة الحال بالدالة y = f(x)، المحددة في جميع النقاط x التي يوجد عندها الحد أعلاه. تسمى هذه الوظيفة مثل هذا: مشتقة الدالة y = f(x).

المعنى الهندسي للمشتقعلى النحو التالي. إذا كان من الممكن رسم مماس للرسم البياني للدالة y = f(x) عند النقطة ذات الإحداثي السيني x=a، وهي ليست موازية للمحور y، فإن f(a) يعبر عن ميل المماس :
\(ك = و"(أ)\)

بما أن \(k = tg(a) \)، فإن المساواة \(f"(a) = tan(a) \) صحيحة.

والآن دعونا نفسر تعريف المشتقة من وجهة نظر المساواة التقريبية. دع الدالة \(y = f(x)\) لها مشتق عند نقطة محددة \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
هذا يعني أنه بالقرب من النقطة x توجد المساواة التقريبية \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\)، أي \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x\). المعنى المنطقي للمساواة التقريبية الناتجة هو كما يلي: زيادة الدالة "متناسبة تقريبًا" مع زيادة الوسيطة، ومعامل التناسب هو قيمة المشتق في نقطة معينة X. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة \(y = x^2\) تكون المساواة التقريبية \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) صالحة. إذا قمنا بتحليل تعريف المشتق بعناية، فسنجد أنه يحتوي على خوارزمية للعثور عليه.

دعونا صياغة ذلك.

كيف تجد مشتقة الدالة y = f(x)؟

1. أصلح قيمة \(x\)، ابحث عن \(f(x)\)
2. قم بزيادة الوسيطة \(x\) \(\Delta x\)، وانتقل إلى نقطة جديدة \(x+ \Delta x\)، وابحث عن \(f(x+ \Delta x)\)
3. أوجد زيادة الدالة: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. قم بإنشاء العلاقة \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. احسب $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
هذه النهاية هي مشتقة الدالة عند النقطة x.

إذا كانت الدالة y = f(x) لها مشتق عند النقطة x، فإنها تسمى قابلة للتفاضل عند النقطة x. يتم استدعاء الإجراء الخاص بإيجاد مشتق الدالة y = f(x). التفاضلوظائف ص = و(خ).

دعونا نناقش السؤال التالي: كيف ترتبط استمرارية الوظيفة واختلافها عند نقطة ما ببعضها البعض؟

دع الدالة y = f(x) تكون قابلة للاشتقاق عند النقطة x. بعد ذلك يمكن رسم ظل للرسم البياني للدالة عند النقطة M(x; f(x))، وتذكر أن المعامل الزاوي للظل يساوي f "(x). مثل هذا الرسم البياني لا يمكن أن "ينكسر" عند النقطة M، أي أن الدالة يجب أن تكون متصلة عند النقطة x.

وكانت هذه حجج "عملية". دعونا نعطي سببا أكثر صرامة. إذا كانت الدالة y = f(x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x، فإن المساواة التقريبية \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) تظل ثابتة. إذا كانت في هذه المساواة \(\Delta x\) \) يميل إلى الصفر، ثم \(\Delta y\) سوف يميل إلى الصفر، وهذا هو شرط استمرارية الدالة عند نقطة ما.

لذا، إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة x، فهي متصلة عند تلك النقطة.

البيان العكسي غير صحيح. على سبيل المثال: الدالة y = |x| تكون مستمرة في كل مكان، خاصة عند النقطة x = 0، لكن مماس الرسم البياني للدالة عند "نقطة الوصل" (0؛ 0) غير موجود. إذا لم يكن من الممكن في مرحلة ما رسم مماس على الرسم البياني للدالة، فإن المشتقة غير موجودة عند تلك النقطة.

مثال آخر. الدالة \(y=\sqrt(x)\) متصلة على خط الأعداد بأكمله، بما في ذلك عند النقطة x = 0. ويكون مماس الرسم البياني للدالة موجودًا عند أي نقطة، بما في ذلك النقطة x = 0 لكن عند هذه النقطة يتزامن المماس مع المحور y، أي أنه عمودي على محور الإحداثي السيني، ومعادلته لها الشكل x = 0. مثل هذا الخط المستقيم ليس له معامل زاوية، مما يعني أن \(f). "(0)\) غير موجود.

لذلك، تعرفنا على خاصية جديدة للوظيفة - التمايز. كيف يمكن للمرء أن يستنتج من الرسم البياني للدالة أنها قابلة للاشتقاق؟

الجواب في الواقع مذكور أعلاه. إذا كان من الممكن في مرحلة ما رسم مماس للرسم البياني لدالة ليست متعامدة مع محور الإحداثي السيني، عند هذه النقطة تكون الدالة قابلة للاشتقاق. إذا كان ظل الرسم البياني للدالة غير موجود في مرحلة ما أو كان عموديًا على محور الإحداثي السيني، فإن الدالة عند هذه النقطة غير قابلة للاشتقاق.

قواعد التمايز

تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل. عند إجراء هذه العملية، غالبًا ما يتعين عليك العمل مع خارج القسمة، والمبالغ، وحاصل الدوال، بالإضافة إلى "وظائف الوظائف"، أي الوظائف المعقدة. استنادًا إلى تعريف المشتقة، يمكننا استخلاص قواعد الاشتقاق التي تسهل هذا العمل. إذا كان C رقمًا ثابتًا وكانت f=f(x) وg=g(x) بعض الدوال القابلة للتفاضل، فإن ما يلي صحيح قواعد التمايز:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ مشتق من دالة معقدة:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

جدول مشتقات بعض الوظائف

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $