تقييم جودة النموذج المبني. هل تحسنت جودة النموذج مقارنة بنموذج العامل الواحد؟ إعطاء تقييم الأثر عوامل مهمةعلى النتيجة باستخدام معاملات المرونة، معاملات - و .
معامل التحديد ر-squared سيتم أخذها من نتائج "الانحدار" (جدول "إحصائيات الانحدار" للنموذج (6)).
وبالتالي التباين (التغير) في سعر الشقة يوبحسب هذه المعادلة فإن 76.77% تفسر باختلاف مدينة المنطقة X 1 - عدد الغرف في الشقة X 2 ومساحة المعيشة X 4 .
نحن نستخدم البيانات الأصلية ي أناوالبقايا التي عثرت عليها أداة الانحدار 
(جدول "مخرجات الباقي" للنموذج (6)). دعونا نحسب الأخطاء النسبية ونجد القيمة المتوسطة 
.
انسحاب الباقي
| ملاحظة | توقع ي | بقايا الطعام | Rel. خطأ |
| 1 | 45,95089273 | -7,95089273 | 20,92340192 |
| 2 | 86,10296493 | -23,90296493 | 38,42920407 |
| 3 | 94,84442678 | 30,15557322 | 24,12445858 |
| 4 | 84,17648426 | -23,07648426 | 37,76838667 |
| 5 | 40,2537216 | 26,7462784 | 39,91981851 |
| 6 | 68,70572376 | 24,29427624 | 26,12287768 |
| 7 | 143,7464899 | -25,7464899 | 21,81905923 |
| 8 | 106,0907598 | 25,90924022 | 19,62821228 |
| 9 | 135,357993 | -42,85799303 | 46,33296544 |
| 10 | 114,4792566 | -9,47925665 | 9,027863476 |
| 11 | 41,48765602 | 0,512343975 | 1,219866607 |
| 12 | 103,2329236 | 21,76707636 | 17,41366109 |
| 13 | 130,3567798 | 39,64322022 | 23,3195413 |
| 14 | 35,41901876 | 2,580981242 | 6,7920559 |
| 15 | 155,4129693 | -24,91296925 | 19,0903979 |
| 16 | 84,32108188 | 0,678918123 | 0,798727204 |
| 17 | 98,0552279 | -0,055227902 | 0,056355002 |
| 18 | 144,2104618 | -16,21046182 | 12,66442329 |
| 19 | 122,8677535 | -37,86775351 | 44,55029825 |
| 20 | 100,0221225 | 59,97787748 | 37,48617343 |
| 21 | 53,27196558 | 6,728034423 | 11,21339071 |
| 22 | 35,06605378 | 5,933946225 | 14,47303957 |
| 23 | 114,4792566 | -24,47925665 | 27,19917406 |
| 24 | 113,1343153 | -30,13431529 | 36,30640396 |
| 25 | 40,43190991 | 4,568090093 | 10,15131132 |
| 26 | 39,34427892 | -0,344278918 | 0,882766457 |
| 27 | 144,4794501 | -57,57945009 | 66,25943623 |
| 28 | 56,4827667 | -16,4827667 | 41,20691675 |
| 29 | 95,38240332 | -15,38240332 | 19,22800415 |
| 30 | 228,6988826 | -1,698882564 | 0,748406416 |
| 31 | 222,8067278 | 12,19327221 | 5,188626473 |
| 32 | 38,81483144 | 1,185168555 | 2,962921389 |
| 33 | 48,36325811 | 18,63674189 | 27,81603267 |
| 34 | 126,6080021 | -3,608002113 | 2,933335051 |
| 35 | 84,85052935 | 15,14947065 | 15,14947065 |
| 36 | 116,7991162 | -11,79911625 | 11,23725357 |
| 37 | 84,17648426 | -13,87648426 | 19,73895342 |
| 38 | 113,9412801 | -31,94128011 | 38,95278062 |
| 39 | 215,494184 | 64,50581599 | 23,03779142 |
| 40 | 141,7795953 | 58,22040472 | 29,11020236 |
| متوسط | 101,2375 | 22,51770962 |
باستخدام عمود الأخطاء النسبية نجد القيمة المتوسطة =22.51% (باستخدام الدالة المتوسط).
وتظهر المقارنة أن 22.51%> 7%. وبالتالي فإن دقة النموذج غير مرضية.
باستخدام F – معيار فيشر دعونا نتحقق من أهمية النموذج ككل. وللقيام بذلك سنقوم بتدوين نتائج استخدام أداة "الانحدار" (جدول "تحليل التباين" للنموذج (6)) F= 39,6702.
باستخدام الدالة FRIST نجد القيمة F سجل تجاري =3.252 لمستوى الأهمية ألفا = 5%، وعدد درجات الحرية ك 1 = 2 , ك 2 = 37 .
F> F سجل تجاريولذلك فإن معادلة النموذج (6) تعتبر معنوية وينصح باستخدامها كمتغير تابع يتم وصفه بشكل جيد من خلال متغيرات العوامل المضمنة في النموذج (6) X 1 , X 2. و X 4 .
بالإضافة إلى ذلك باستخدام ر – اختبار الطالب دعونا نتحقق من أهمية المعاملات الفردية للنموذج.
ر-ترد إحصائيات معاملات معادلة الانحدار في نتائج أداة "الانحدار". تم الحصول على القيم التالية للنموذج المختار (6):
| احتمال | خطأ تقليدي | t-إحصائية | قيمة P | القاع 95% | أعلى 95% | القاع 95.0% | أعلى 95.0% |
|
| تقاطع Y | -5,643572321 | 12,07285417 | -0,46745966 | 0,642988 | -30,1285 | 18,84131 | -30,1285 | 18,84131 |
| X4 | 2,591405557 | 0,461440597 | 5,61590284 | 2.27E-06 | 1,655561 | 3,52725 | 1,655561 | 3,52725 |
| X1 | 6,85963077 | 9,185748512 | 0,74676884 | 0,460053 | -11,7699 | 25,48919 | -11,7699 | 25,48919 |
| X2 | -1,985156991 | 7,795346067 | -0,25465925 | 0,800435 | -17,7949 | 13,82454 | -17,7949 | 13,82454 |
قيمة حرجة ر سجل تجاريوجدت لمستوى الأهمية α=5%وعدد درجات الحرية ك=40–2–1=37 . ر سجل تجاري =2.026 (وظيفة STUDAR).
لاحتمالات مجانية α
=–5.643
تم تعريف الإحصائيات 
, 
ر سجل تجاريولذلك فإن المعامل الحر ليس معنويا ويمكن استبعاده من النموذج.
بالنسبة لمعامل الانحدار β
1
=6.859
تم تعريف الإحصائيات 
, 
β
1
ليست مهمة، ويمكن إزالتها وعامل المدينة الإقليمية من النموذج.
بالنسبة لمعامل الانحدار β
2
=-1,985
تم تعريف الإحصائيات 
, 
ر سجل تجاريوبالتالي فإن معامل الانحدار β
2
ليس مهمًا، ويمكن استبعاد عامل عدد الغرف في الشقة من النموذج.
بالنسبة لمعامل الانحدار β
4
=2.591
تم تعريف الإحصائيات 
, 
>t cr، وبالتالي معامل الانحدار β
4
أمر مهم، ويمكن الاحتفاظ به وعامل مساحة المعيشة للشقة في النموذج.
يتم التوصل إلى استنتاجات حول أهمية معاملات النموذج على مستوى الأهمية α=5%. وبالنظر إلى عمود القيمة P، نلاحظ أن المعامل الحر α يمكن اعتبارها معنوية عند مستوى 0.64 = 64%؛ معامل الانحدار β 1 - عند مستوى 0.46 = 46%؛ معامل الانحدار β 2 - عند مستوى 0.8 = 80%؛ ومعامل الانحدار β 4 – عند مستوى 2.27E-06= 2.26691790951854E-06 = 0.0000002%.
عند إضافة متغيرات عوامل جديدة إلى المعادلة، يزداد معامل التحديد تلقائيًا ر 2
وينخفض متوسط الخطأالتقريب، على الرغم من أن هذا لا يؤدي دائمًا إلى تحسين جودة النموذج. لذلك، لمقارنة جودة النموذج (3) والنموذج المتعدد المحدد (6)، نستخدم معاملات التحديد الطبيعية.
وهكذا عند إضافة عامل "مدينة المنطقة" إلى معادلة الانحدار X 1 وعامل "عدد الغرف في الشقة" X 2 تدهورت جودة النموذج مما يتحدث لصالح إزالة العوامل X 1 و X 2 من النموذج.
دعونا نجري المزيد من الحسابات.
متوسط معاملات المرونة
في حالة النموذج الخطي يتم تحديدها بواسطة الصيغ 
.
باستخدام الدالة AVERAGE نجد: S ي، مع زيادة في العامل فقط X 4 لأحد له الانحراف المعياري- يزيد بمقدار 0.914 س ي
معاملات دلتا
يتم تحديدها بواسطة الصيغ 
.
لنجد معاملات الارتباط الزوجية باستخدام أداة "الارتباط" ضمن حزمة "تحليل البيانات" في برنامج Excel.
| ي | X1 | X2 | X4 |
|
| ي | 1 | |||
| X1 | -0,01126 | 1 | ||
| X2 | 0,751061 | -0,0341 | 1 | |
| X4 | 0,874012 | -0,0798 | 0,868524 | 1 |
وتم تحديد معامل التحديد سابقاً وهو يساوي 0.7677.
دعونا نحسب معاملات الدلتا:
; 
منذ Δ1 1
و X 2
تم تحديدها بشكل غير صحيح ويجب إزالتها من النموذج. وهذا يعني أنه وفقًا لمعادلة النموذج الخطي ثلاثي العوامل الناتج، فإن التغير في العامل الناتج ي(أسعار الشقق) 104% تفسر بتأثير العامل X 4
(مساحة المعيشة بالشقة) بنسبة 4% متأثرة بالعامل X 2
(عدد الغرف) بنسبة 0.0859% متأثرا بالعامل X 1
(مدينة المنطقة).
تحليل الانحدار هو أسلوب بحث إحصائي يسمح لك بإظهار اعتماد معلمة معينة على واحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة. في عصر ما قبل الكمبيوتر، كان استخدامه صعبًا للغاية، خاصة عندما يتعلق الأمر بكميات كبيرة من البيانات. اليوم، بعد أن تعلمت كيفية بناء الانحدار في Excel، يمكنك حل المشكلات الإحصائية المعقدة في بضع دقائق فقط. فيما يلي أمثلة محددة من مجال الاقتصاد.
أنواع الانحدار
تم تقديم هذا المفهوم نفسه في الرياضيات في عام 1886. يحدث الانحدار:
- خطي؛
- مكافئ.
- رزين؛
- متسارع؛
- القطعي؛
- إيضاحي؛
- لوغاريتمي.
مثال 1
دعونا نفكر في مشكلة تحديد اعتماد عدد أعضاء الفريق الذين استقالوا من متوسط الراتب في 6 مؤسسات صناعية.
مهمة. في ست شركات قمنا بتحليل المتوسط الشهري أجوروعدد الموظفين الذين غادروا بسبب في الإرادة. وفي شكل جدول لدينا:
عدد الأشخاص الذين تركوا | مرتب |
||
30000 روبل |
|||
35000 روبل |
|||
40.000 روبل |
|||
45000 روبل |
|||
50000 روبل |
|||
55000 روبل |
|||
60.000 روبل |
بالنسبة لمهمة تحديد اعتماد عدد العمال المتقاعدين على متوسط الراتب في 6 مؤسسات، فإن نموذج الانحدار له شكل المعادلة Y = a 0 + a 1 x 1 +...+a k x k، حيث x i هي المتغيرات المؤثرة، i هي معاملات الانحدار، وk هو عدد العوامل.
في هذه المشكلة، Y هو مؤشر ترك الموظفين، والعامل المؤثر هو الراتب الذي نرمز إليه بـ X.
استخدام إمكانيات معالج جداول البيانات Excel
يجب أن يسبق تحليل الانحدار في Excel تطبيق وظائف مضمنة على البيانات الجدولية الموجودة. ومع ذلك، لهذه الأغراض، من الأفضل استخدام الوظيفة الإضافية "حزمة التحليل" المفيدة جدًا. لتفعيله تحتاج:
- من علامة التبويب "ملف" انتقل إلى قسم "الخيارات"؛
- في النافذة التي تفتح، حدد السطر "الوظائف الإضافية"؛
- انقر فوق الزر "انتقال" الموجود أدناه، على يمين سطر "الإدارة"؛
- حدد المربع المجاور لاسم "حزمة التحليل" وقم بتأكيد أفعالك بالنقر فوق "موافق".
إذا تم كل شيء بشكل صحيح، فسيظهر الزر المطلوب على الجانب الأيمن من علامة التبويب "البيانات"، الموجودة أعلى ورقة عمل Excel.
في اكسل
الآن بعد أن أصبح لدينا جميع الأدوات الافتراضية اللازمة لإجراء حسابات الاقتصاد القياسي، يمكننا أن نبدأ في حل مشكلتنا. لهذا:
- انقر على زر "تحليل البيانات"؛
- في النافذة التي تفتح، انقر على زر "الانحدار"؛
- في علامة التبويب التي تظهر، أدخل نطاق القيم لـ Y (عدد الموظفين المستقيلين) وX (رواتبهم)؛
- نؤكد تصرفاتنا بالضغط على زر "موافق".
ونتيجة لذلك، سيقوم البرنامج تلقائيًا بملء جدول بيانات جديد ببيانات تحليل الانحدار. ملحوظة! يتيح لك Excel تعيين الموقع الذي تفضله يدويًا لهذا الغرض. على سبيل المثال، يمكن أن تكون هذه هي نفس الورقة التي توجد بها قيم Y وX، أو حتى مصنف جديد مصمم خصيصًا لتخزين هذه البيانات.
تحليل نتائج الانحدار لـ R-squared
في Excel، تكون البيانات التي تم الحصول عليها أثناء معالجة البيانات في المثال قيد النظر على الشكل التالي:
بادئ ذي بدء، يجب عليك الانتباه إلى قيمة R-squared. وهو يمثل معامل التحديد. في هذا المثال، R-square = 0.755 (75.5%)، أي أن المعلمات المحسوبة للنموذج تشرح العلاقة بين المعلمات قيد النظر بنسبة 75.5%. كلما زادت قيمة معامل التحديد، كلما كان النموذج المختار أكثر ملاءمة لمهمة محددة. يعتبر وصف الموقف الحقيقي بشكل صحيح عندما تكون قيمة R-square أعلى من 0.8. إذا كان R-مربع<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.
تحليل الاحتمالات
يوضح الرقم 64.1428 قيمة Y إذا تمت إعادة تعيين جميع المتغيرات xi في النموذج الذي ندرسه إلى الصفر. بمعنى آخر، يمكن القول بأن قيمة المعلمة التي تم تحليلها تتأثر أيضًا بعوامل أخرى لم يتم وصفها في نموذج محدد.
يُظهر المعامل التالي -0.16285، الموجود في الخلية B18، وزن تأثير المتغير X على Y. وهذا يعني أن متوسط الراتب الشهري للموظفين ضمن النموذج قيد النظر يؤثر على عدد المغادرين بوزن -0.16285، أي. درجة تأثيرها صغيرة تماما. تشير العلامة "-" إلى أن المعامل سلبي. هذا واضح، لأن الجميع يعلم أنه كلما ارتفع الراتب في المؤسسة، قل عدد الأشخاص الذين يعبرون عن رغبتهم في إنهاء عقد العمل أو الاستقالة.
الانحدار المتعدد
يشير هذا المصطلح إلى معادلة علاقة ذات عدة متغيرات مستقلة من الشكل:
y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε، حيث y هي الخاصية الناتجة (المتغير التابع)، وx 1، x 2،…x m هي خصائص العوامل (المتغيرات المستقلة).
تقدير المعلمة
بالنسبة للانحدار المتعدد (MR)، يتم تنفيذه باستخدام هذه الطريقة المربعات الصغرى(الشركات المتعددة الجنسيات). بالنسبة للمعادلات الخطية من الصيغة Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε نقوم ببناء نظام من المعادلات العادية (انظر أدناه)
لفهم مبدأ الطريقة، فكر في حالة ذات عاملين. ثم لدينا حالة وصفتها الصيغة
ومن هنا نحصل على:
حيث σ هو تباين الميزة المقابلة المنعكسة في الفهرس.
ينطبق OLS على معادلة MR على مقياس موحد. وفي هذه الحالة نحصل على المعادلة:
حيث t y، t x 1، … t xm هي متغيرات موحدة، حيث تساوي القيم المتوسطة 0؛ β i هي معاملات الانحدار المعيارية، والانحراف المعياري هو 1.
يرجى ملاحظة أن كل β i في في هذه الحالةتم تحديدها على أنها موحدة ومركزية، وبالتالي فإن مقارنتها مع بعضها البعض تعتبر صحيحة ومقبولة. بالإضافة إلى ذلك، من المعتاد استبعاد العوامل عن طريق التخلص من العوامل ذات قيم βi الأقل.
مشكلة في استخدام معادلة الانحدار الخطي
لنفترض أن لدينا جدول ديناميكيات الأسعار لمنتج معين N خلال الأشهر الثمانية الماضية. من الضروري اتخاذ قرار بشأن مدى استصواب شراء دفعة منه بسعر 1850 روبل/طن.
رقم الشهر | اسم الشهر | سعر المنتج ن |
|
1750 روبل للطن |
|||
1755 روبل للطن |
|||
1767 روبل للطن |
|||
1760 روبل للطن |
|||
1770 روبل للطن |
|||
1790 روبل للطن |
|||
1810 روبل للطن |
|||
1840 روبل للطن |
|||
لحل هذه المشكلة في معالج جداول بيانات Excel، تحتاج إلى استخدام أداة "تحليل البيانات"، المعروفة بالفعل من المثال الموضح أعلاه. بعد ذلك، حدد قسم "الانحدار" وقم بتعيين المعلمات. ويجب أن نتذكر أنه في حقل "فاصل الإدخال Y" يجب إدخال نطاق من القيم للمتغير التابع (في هذه الحالة أسعار البضائع في أشهر محددة من السنة)، وفي "فاصل الإدخال X" - للمتغير المستقل (رقم الشهر). قم بتأكيد الإجراء بالنقر فوق "موافق". في ورقة جديدة (إذا تمت الإشارة إلى ذلك) نحصل على بيانات الانحدار.
باستخدامها، نقوم ببناء معادلة خطية من الشكل y=ax+b، حيث المعلمتان a و b هما معاملات الخط الذي يحمل اسم رقم الشهر والمعاملات والخطوط "تقاطع Y" من الورقة ذات النتائج تحليل الانحدار. وبالتالي، تتم كتابة معادلة الانحدار الخطي (LR) للمهمة 3 على النحو التالي:
سعر المنتج ن = 11.714* رقم الشهر + 1727.54.
أو بالتدوين الجبري
ص = 11.714 س + 1727.54
تحليل النتائج
لتحديد ما إذا كانت معادلة الانحدار الخطي الناتجة كافية أم لا، يتم استخدام معاملات الارتباط المتعدد (MCC) وتحديدها، بالإضافة إلى اختبار فيشر واختبار الطالب t. في جدول بيانات Excel الذي يحتوي على نتائج الانحدار، يُطلق عليها اسم R وR-squared وF-statistic وt-statistic، على التوالي.
يتيح KMC R تقييم مدى قرب العلاقة الاحتمالية بين المتغيرات المستقلة والتابعة. تشير قيمته العالية إلى وجود علاقة قوية إلى حد ما بين متغيرات "عدد الشهر" و "سعر المنتج N بالروبل لكل طن". إلا أن طبيعة هذه العلاقة لا تزال مجهولة.
مربع معامل التحديد R2 (RI) هو خاصية عددية لنسبة إجمالي التشتت ويظهر تشتت أي جزء من البيانات التجريبية، أي. تتوافق قيم المتغير التابع مع معادلة الانحدار الخطي. وفي المشكلة قيد النظر، تساوي هذه القيمة 84.8%، أي أن البيانات الإحصائية موصوفة بدرجة عالية من الدقة بواسطة SD الناتج.
تُستخدم إحصائيات F، والتي تسمى أيضًا اختبار فيشر، لتقييم أهمية العلاقة الخطية، مما يدحض أو يؤكد فرضية وجودها.
(اختبار الطالب) يساعد على تقييم أهمية المعامل مع حد مجهول أو حر للعلاقة الخطية. إذا كانت قيمة اختبار t > t cr، فإن الفرضية حول عدم أهمية الحد الحر معادلة خط مستقيممرفوض.
في المسألة قيد النظر للحد الحر، باستخدام أدوات Excel، تم الحصول على أن t = 169.20903، وp = 2.89E-12، أي أن احتمال رفض الفرضية الصحيحة حول عدم أهمية الحد الحر صفر . لمعامل المجهول t=5.79405، وp=0.001158. بمعنى آخر، احتمال رفض الفرضية الصحيحة حول عدم أهمية معامل المجهول هو 0.12%.
وبالتالي، يمكن القول بأن معادلة الانحدار الخطي الناتجة كافية.
مشكلة جدوى شراء كتلة من الأسهم
يتم تنفيذ الانحدار المتعدد في Excel باستخدام نفس أداة تحليل البيانات. دعونا نفكر في مشكلة تطبيق محددة.
يجب أن تقرر إدارة شركة NNN مدى استصواب شراء حصة قدرها 20٪ في MMM JSC. وتبلغ تكلفة الحزمة (SP) 70 مليون دولار أمريكي. قام متخصصو NNN بجمع بيانات عن معاملات مماثلة. تقرر تقييم قيمة كتلة الأسهم وفقًا لهذه المعايير، معبرًا عنها بملايين الدولارات الأمريكية، على النحو التالي:
- الحسابات المستحقة الدفع (VK) ؛
- حجم التداول السنوي (VO)؛
- حسابات القبض (VD) ؛
- تكلفة الأصول الثابتة (COF).
بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام معلمة دين رواتب المؤسسة (V3 P) بآلاف الدولارات الأمريكية.
الحل باستخدام معالج جداول البيانات Excel
أولا وقبل كل شيء، تحتاج إلى إنشاء جدول البيانات المصدر. تبدو هكذا:
- استدعاء نافذة "تحليل البيانات"؛
- حدد قسم "الانحدار"؛
- في مربع "فاصل الإدخال Y"، أدخل نطاق قيم المتغيرات التابعة من العمود G؛
- انقر على الأيقونة ذات السهم الأحمر الموجودة على يمين نافذة "فاصل الإدخال X" وقم بتمييز نطاق جميع القيم من الأعمدة B وC وD وF على الورقة.
حدد عنصر "ورقة العمل الجديدة" وانقر على "موافق".
الحصول على تحليل الانحدار لمشكلة معينة.
دراسة النتائج والاستنتاجات
نقوم "بجمع" معادلة الانحدار من البيانات الدائرية الموضحة أعلاه في جدول بيانات Excel:
SP = 0.103*SOF + 0.541*VO - 0.031*VK +0.405*VD +0.691*VZP - 265.844.
وبصيغة رياضية مألوفة أكثر، يمكن كتابتها على النحو التالي:
ص = 0.103*x1 + 0.541*x2 - 0.031*x3 +0.405*x4 +0.691*x5 - 265.844
يتم عرض بيانات MMM JSC في الجدول:
باستبدالها في معادلة الانحدار، نحصل على رقم 64.72 مليون دولار أمريكي. وهذا يعني أن أسهم MMM JSC لا تستحق الشراء، لأن قيمتها البالغة 70 مليون دولار أمريكي مبالغ فيها للغاية.
كما ترون، فإن استخدام معالج جداول بيانات Excel ومعادلة الانحدار جعل من الممكن اتخاذ قرار مستنير بشأن جدوى معاملة محددة للغاية.
الآن أنت تعرف ما هو الانحدار. ستساعدك أمثلة Excel التي تمت مناقشتها أعلاه على حل المشكلات العملية في مجال الاقتصاد القياسي.
عند دراسة الظواهر المعقدة، من الضروري أن تأخذ في الاعتبار أكثر من عاملين عشوائيين. ولا يمكن الحصول على فكرة صحيحة عن طبيعة العلاقة بين هذه العوامل إلا إذا تم فحص جميع العوامل العشوائية قيد النظر مرة واحدة. ستسمح الدراسة المشتركة لثلاثة عوامل عشوائية أو أكثر للباحث بوضع افتراضات معقولة إلى حد ما حول التبعيات السببية بين الظواهر قيد الدراسة. الشكل البسيط للعلاقة المتعددة هو العلاقة الخطية بين ثلاث خصائص. يتم الإشارة إلى العوامل العشوائية على أنها X 1 , X 2 و X 3. معاملات الارتباط المقترنة بين X 1 و X 2 يشار إليها باسم ص 12 على التوالي بين X 1 و X 3 - ص 12، بين X 2 و X 3 - ص 23. وكمقياس لقرب العلاقة الخطية بين ثلاث خصائص، يتم استخدام معاملات الارتباط المتعددة ر 1 ← 23 , ر 2 ← 13 , ر 3 − 12 ومعاملات الارتباط الجزئية، مشار إليها ص 12.3 , ص 13.2 , ص 23.1 .
معامل الارتباط المتعدد R 1.23 لثلاثة عوامل هو مؤشر على قرب العلاقة الخطية بين أحد العوامل (المؤشر قبل النقطة) والجمع بين عاملين آخرين (المؤشرات بعد النقطة).
تتراوح قيم المعامل R دائمًا من 0 إلى 1. ومع اقتراب R من الواحد، تزداد درجة العلاقة الخطية بين الخصائص الثلاث.
بين معامل الارتباط المتعدد، على سبيل المثال. ر 2 − 13، ومعاملات الارتباط الزوجية ص 12 و ص 23 توجد علاقة: لا يمكن أن يتجاوز كل من المعاملات المقترنة قيمه مطلقه ر 2 ← 13 .
صيغ لحساب معاملات الارتباط المتعددة متى القيم المعروفةمعاملات الارتباط الزوجية r 12 و r 13 و r 23 لها الشكل:
تربيع معامل الارتباط المتعدد ر 2 يسمى معامل التحديد المتعدد.ويبين نسبة التباين في المتغير التابع تحت تأثير العوامل محل الدراسة.
يتم تقييم أهمية الارتباط المتعدد بواسطة F-معيار:
ن -حجم العينة؛ ك -عدد من العوامل. في حالتنا هذه ك = 3.
الفرضية الصفرية حول مساواة معامل الارتباط المتعدد في المجتمع بالصفر ( ح س:ص=0) مقبول إذا F F<و ر، ويتم رفضه إذا
Fو ³ Fت.
القيمة النظرية F-يتم تحديد المعايير ل الخامس 1 = ك- 1 و الخامس 2 = ن - كدرجات الحرية ومستوى الأهمية المقبول أ (الملحق 1).
مثال لحساب معامل الارتباط المتعدد. وعند دراسة العلاقة بين العوامل تم الحصول على معاملات الارتباط الزوجي ( ن =15): ص 12 ==0.6; ز 13 = 0.3؛ ص 23 = - 0,2.
من الضروري معرفة مدى اعتماد الميزة X 2 من التوقيع X 1 و X 3، أي حساب معامل الارتباط المتعدد:
قيمة الجدول F-معايير n 1 = 2 و n 2 = 15 – 3 = 12 درجة حرية مع a = 0.05 F 0.05 = 3.89 وعند = 0.01 F 0,01 = 6,93.
وهكذا العلاقة بين العلامات ر 2.13 = 0.74 هامة عند
مستوى الأهمية 1% Fو> F 0,01 .
اذا حكمنا من خلال معامل التحديد المتعدد ر 2 = (0.74) 2 = 0.55، تباين السمات X 2 يرتبط بنسبة 55% بتأثير العوامل محل الدراسة، و45% من التباين (1-R2) لا يمكن تفسيره بتأثير هذه المتغيرات.
خاص الارتباط الخطي
معامل الارتباط الجزئيهو مؤشر يقيس درجة الاقتران بين خاصيتين.
تتيح لك الإحصائيات الرياضية إنشاء ارتباط بين خاصيتين بقيمة ثابتة للثالثة، دون إجراء تجربة خاصة، ولكن باستخدام معاملات الارتباط المقترنة ص 12 , ص 13 , ص 23 .
يتم حساب معاملات الارتباط الجزئي باستخدام الصيغ:
تشير الأرقام الموجودة قبل النقطة إلى الميزات التي تتم دراسة العلاقة، ويشير الرقم بعد النقطة إلى تأثير الميزة المستبعدة (المحذوفة). يتم تحديد معيار الخطأ والأهمية للارتباط الجزئي باستخدام نفس الصيغ المستخدمة في الارتباط الزوجي:
.
القيمة النظرية ر-يتم تحديد المعيار ل الخامس = ن– درجتان من الحرية ومستوى الأهمية المقبول أ (الملحق 1).
الفرضية الصفرية القائلة بأن معامل الارتباط الجزئي في المجتمع يساوي الصفر ( ح س: ص= 0) مقبول إذا ر F< رر، ويتم رفض إذا
رو ³ رت.
يمكن أن تأخذ المعاملات الجزئية قيمًا بين -1 و+1. خاص معاملات التحديدتم العثور عليها عن طريق تربيع معاملات الارتباط الجزئية:
د 12.3 = ص 2 12−3 ;د 13.2 = ص 2 13 2 ;د 23–1 =ص 2 23 1 .
إن تحديد درجة التأثير الجزئي للعوامل الفردية على السمة الفعالة مع استبعاد (إزالة) ارتباطها بالسمات الأخرى التي تشوه هذا الارتباط غالبًا ما يكون ذا أهمية كبيرة. في بعض الأحيان يحدث أنه مع القيمة الثابتة للخاصية المحذوفة، من المستحيل ملاحظة تأثيرها الإحصائي على تباين الخصائص الأخرى. لفهم تقنية حساب معامل الارتباط الجزئي، فكر في مثال. هناك ثلاثة خيارات X, يو ز. لحجم العينة ن= تم تحديد 180 معامل ارتباط مقترن
ص س ص = 0,799; ص XZ = 0,57; ص = 0,507.
دعونا نحدد معاملات الارتباط الجزئي:
معامل الارتباط الجزئي بين المعلمة Xو ي ز (ص xy = 0.720) يوضح أن جزءًا صغيرًا فقط من العلاقة بين هذه الخصائص في الارتباط الإجمالي ( ص س ص= 0.799) ويرجع ذلك إلى تأثير الخاصية الثالثة ( ز). يجب التوصل إلى نتيجة مماثلة فيما يتعلق بمعامل الارتباط الجزئي بين المعلمة Xوالمعلمة زمع قيمة معلمة ثابتة ي (ص X ضму = 0.318 و ص XZ= 0.57). ضد، معامل جزئيالارتباطات بين المعلمات يو زمع قيمة معلمة ثابتة X ص ص ּ س= 0.105 يختلف بشكل كبير عن المعامل العامالارتباط ص ص ض = 0.507. من هذا يتضح أنه إذا قمت بتحديد كائنات لها نفس قيمة المعلمة Xثم العلاقة بين العلامات يو زسيكون لديهم علاقة ضعيفة جدًا، نظرًا لأن جزءًا كبيرًا من هذه العلاقة يرجع إلى الاختلاف في المعلمة X.
في بعض الظروف، قد يكون معامل الارتباط الجزئي معاكسًا للزوج الأول.
على سبيل المثال، عند دراسة العلاقة بين الخصائص اكس، يو ز- تم الحصول على معاملات الارتباط المقترنة (ب ن = 100): صص ص = 0.6; ص X ض= 0,9;
ص ص ض = 0,4.
معاملات الارتباط الجزئي باستثناء تأثير الخاصية الثالثة:
ومن المثال يتضح أن القيم معامل الزوجويختلف معامل الارتباط الجزئي في الإشارة.
تتيح طريقة الارتباط الجزئي حساب معامل الارتباط الجزئي من الدرجة الثانية. يشير هذا المعامل إلى العلاقة بين الخاصيتين الأولى والثانية بقيمة ثابتة للخاصية الثالثة والرابعة. يعتمد تحديد المعامل الجزئي من الدرجة الثانية على المعاملات الجزئية من الدرجة الأولى باستخدام الصيغة:
أين ص 12 . 4 , ص 13 4، ص 23 −4 - معاملات جزئية تحدد قيمتها بصيغة المعامل الجزئي باستخدام معاملات الارتباط الزوجية ص 12 , ص 13 , ص 14 , ص 23 , ص 24 , ص 34 .
7.1. تحليل الانحدار الخطييتكون من ملاءمة رسم بياني لمجموعة من الملاحظات باستخدام طريقة المربعات الصغرى. يسمح لنا تحليل الانحدار بإقامة علاقة وظيفية بين البعض متغير عشوائي يوبعض التأثير يقيم X. ويسمى هذا الاعتماد معادلة الانحدار. هناك بسيطة ( ص=م*س+ب) والجمع ( ص=م 1 *س 1 +م 2 *س 2 +... + م ك *س ك +ب) الانحدار من النوع الخطي وغير الخطي.
ولتقدير درجة الارتباط بين الكميات يتم استخدامه معامل الارتباط المتعدد بيرسون R(نسبة الارتباط)، والتي يمكن أن تأخذ القيم من 0 إلى 1. ر=0 إذا لم تكن هناك علاقة بين الكميات، و ر=1 إذا كان هناك ارتباط وظيفي بين الكميات. في معظم الحالات، يأخذ R القيم المتوسطة من 0 إلى 1. القيمة ص 2مُسَمًّى معامل التحديد.
مهمة بناء اعتماد الانحدار هي العثور على ناقل المعاملات منموذج الانحدار الخطي المتعدد، الذي يكون فيه المعامل ريأخذ القيمة القصوى.
لتقييم الأهمية رينطبق اختبار فيشر F، محسوبة بالصيغة:
أين ن- عدد التجارب؛ ك- عدد معاملات النموذج. لو Fيتجاوز بعض قيمة حرجةللبيانات نو كوقبلت احتمال الثقة، ثم القيمة رتعتبر هامة.
7.2. أداة تراجعمن حزمة التحليليسمح لك بحساب البيانات التالية:
· احتمال دالة خطيةتراجع- طريقة المربعات الصغرى؛ يتم تحديد نوع دالة الانحدار من خلال بنية البيانات المصدر؛
· معامل التحديد والكميات ذات الصلة(طاولة إحصائيات الانحدار);
· جدول التباين وإحصائيات المعايير لاختبار أهمية الانحدار(طاولة تحليل التباين );
· الانحراف المعياري وخصائصه الإحصائية الأخرى لكل معامل انحدار مما يتيح لك التحقق من أهمية هذا المعامل والبناء عليه فترات الثقة;
· قيم دالة الانحدار والمتبقية- الاختلافات بين القيم الأولية للمتغير يوالقيم المحسوبة لوظيفة الانحدار (الجدول سحب الرصيد);
· الاحتمالات المقابلة لقيم المتغير Y مرتبة تصاعديا(طاولة الناتج الاحتمالي).
7.3. اتصل بأداة التحديد عبر البيانات > تحليل البيانات > الانحدار.
7.4. في الميدان الفاصل الزمني للإدخال Yأدخل عنوان النطاق الذي يحتوي على قيم المتغير التابع Y. يجب أن يتكون النطاق من عمود واحد.
في الميدان الفاصل الزمني للإدخال Xأدخل عنوان النطاق الذي يحتوي على قيم المتغير X. يجب أن يتكون النطاق من عمود واحد أو أكثر، ولكن ليس أكثر من 16 عمودًا. إذا تم تحديدها في الحقول الفاصل الزمني للإدخال Yو الفاصل الزمني للإدخال Xتتضمن النطاقات رؤوس الأعمدة، فأنت بحاجة إلى تحديد مربع الخيار العلامات– سيتم استخدام هذه الرؤوس في جداول الإخراج التي تم إنشاؤها بواسطة الأداة تراجع.
خانة الاختيار ثابت - صفرينبغي تحديدها إذا كانت معادلة الانحدار لها ثابت بالقسري يساوي الصفر.
خيار مستوى الموثوقيةيتم تعيينه عندما يكون من الضروري إنشاء فترات ثقة لمعاملات الانحدار بمستوى ثقة بخلاف 0.95، والذي يتم استخدامه بشكل افتراضي. بعد التأكد من مربع الاختيار مستوى الموثوقيةيصبح حقل الإدخال متاحًا حيث يتم إدخال قيمة مستوى ثقة جديدة.
في المنطقة بقايا الطعامهناك أربعة خيارات: بقايا الطعام, موازين موحدة, مخطط التوازنو جدول الاختيار. إذا تم تثبيت واحد منهم على الأقل، فسيظهر الجدول في نتائج الإخراج سحب الرصيدوالتي ستعرض قيم دالة الانحدار والقيم المتبقية - الاختلافات بين القيم الأولية للمتغير Y والقيم المحسوبة لدالة الانحدار. في المنطقة احتمال عاديهناك خيار واحد - ; يؤدي تثبيته إلى إنشاء جدول في نتائج الإخراج الناتج الاحتماليويؤدي إلى بناء الرسم البياني المقابل.
7.5. اضبط المعلمات وفقًا للصورة. تأكد من أن قيمة Y هي المتغير الأول (بما في ذلك خلية العنوان) وأن قيمة X هي المتغيرين الآخرين (بما في ذلك خلايا العنوان). انقر نعم.
7.6. في الطاولة إحصائيات الانحداريتم توفير البيانات التالية.
الجمع ر- جذر معامل التحديد R 2 الوارد في السطر التالي. الاسم الآخر لهذا المؤشر هو مؤشر الارتباط، أو معامل الارتباط المتعدد.
R-مربع– معامل التحديد R 2 ; تحسب كنسبة مجموع الانحدار من المربعات(الخلية C12) إلى مجموع المربعات(الخلية C14).
تطبيع مربع Rتحسب بواسطة الصيغة
حيث n هو عدد قيم المتغير Y، و k هو عدد الأعمدة في فترة الإدخال للمتغير X.
خطأ تقليدي- جذر التباين المتبقي (الخلية D13).
الملاحظات– عدد قيم المتغير Y .
7.7. في جدول التشتتفي العمود سسيتم إعطاء مجموع المربعات في العمود df– عدد درجات الحرية . في العمود آنسة- تشتت. في النسق تراجعفي العمود Fتم حساب قيمة إحصائيات المعيار لاختبار أهمية الانحدار. يتم حساب هذه القيمة كنسبة تباين الانحدار إلى التباين المتبقي (الخلايا D12 وD13). في العمود أهمية فيتم حساب احتمالية القيمة التي تم الحصول عليها لإحصائيات المعيار. إذا كان هذا الاحتمال أقل من، على سبيل المثال، 0.05 (مستوى دلالة معين)، فسيتم رفض الفرضية حول عدم أهمية الانحدار (أي الفرضية القائلة بأن جميع معاملات دالة الانحدار تساوي الصفر) ويتم رفض الانحدار تعتبر هامة. في هذا المثال، الانحدار ليس كبيرا.
7.8. في الجدول التالي، في العمود احتمال، تتم كتابة القيم المحسوبة لمعاملات دالة الانحدار أثناء وجودها في السطر تقاطع Yيتم كتابة قيمة المصطلح الحر ب. في العمود خطأ تقليديتم حساب الانحرافات المعيارية للمعاملات.
في العمود t-إحصائيةيتم تسجيل نسب قيم المعاملات إلى انحرافاتها المعيارية. هذه هي قيم الإحصائيات المعيارية لاختبار الفرضيات حول أهمية معاملات الانحدار.
في العمود قيمة Pيتم حساب مستويات الأهمية المقابلة لقيم إحصائيات المعيار. إذا كان مستوى الأهمية المحسوب أقل من مستوى الأهمية المحدد (على سبيل المثال، 0.05). ومن ثم يتم قبول الفرضية القائلة بأن المعامل يختلف اختلافاً كبيراً عن الصفر؛ وبخلاف ذلك، يتم قبول الفرضية القائلة بأن المعامل يختلف بشكل طفيف عن الصفر. في هذا المثال، فقط المعامل بتختلف بشكل كبير عن الصفر، والباقي - بشكل ضئيل.
في الأعمدة القاع 95%و أعلى 95%يتم إعطاء حدود فترات الثقة بمستوى ثقة قدره 0.95. يتم حساب هذه الحدود باستخدام الصيغ
أقل 95% = المعامل - الخطأ القياسي * t α;
أعلى 95% = المعامل + الخطأ المعياري * t α.
هنا ر ألفا– كمية الطلب α
توزيعات الطالب بدرجات الحرية (n-k-1). في هذه الحالة α
= 0.95. يتم حساب حدود فترات الثقة في الأعمدة بنفس الطريقة القاع 90.0%و أعلى 90.0%.
7.9. النظر في الجدول سحب الرصيدمن نتائج الإخراج. يظهر هذا الجدول في نتائج المخرجات فقط عند تعيين خيار واحد على الأقل في المنطقة بقايا الطعامصندوق المحادثة تراجع.
في العمود ملاحظةيتم إعطاء الأرقام التسلسلية للقيم المتغيرة ي.
في العمود توقع ييتم حساب قيم دالة الانحدار y i = f(x i) لقيم المتغير تلك X، والذي يتوافق مع رقم سري أنا
في العمود ملاحظة.
في العمود بقايا الطعاميحتوي على اختلافات (بقايا) ε i =Y-y i، والعمود الموازين القياسية- القيم المتبقية المقيسة، والتي يتم حسابها كنسب ε i / s ε. حيث s ε هو الانحراف المعياري للبقايا. يتم حساب مربع القيمة s ε باستخدام الصيغة
أين هو متوسط البقايا. يمكن حساب القيمة كنسبة بين قيمتين من جدول التشتت: مجموع البقايا المربعة (الخلية C13) ودرجات الحرية من الصف المجموع(الخلية B14).
7.10. حسب قيم الجدول سحب الرصيدتم بناء نوعين من الرسوم البيانية: المخططات المتبقيةو جداول الاختيار(إذا تم ضبط الخيارات المناسبة في المنطقة بقايا الطعامصندوق المحادثة تراجع). وهي مبنية لكل مكون متغير Xبشكل منفصل.
على مخططات التوازنيتم عرض الأرصدة، أي. الاختلافات بين القيم الأصلية يويتم حسابها من دالة الانحدار لكل قيمة للمكون المتغير X.
على جداول الاختياريعرض كلاً من قيم Y الأصلية وقيم دالة الانحدار المحسوبة لكل قيمة مكون متغير X.
7.11. الجدول الأخير لنتائج الإخراج هو الجدول الناتج الاحتمالي. يظهر إذا كان في مربع الحوار تراجعتم تثبيت الخيار مؤامرة الاحتمالية العادية.
قيم العمود المئوييتم حسابها على النحو التالي. يتم حساب الخطوة ح = (1/ن)*100%، القيمة الأولى هي ح/2، والأخير متساوي 100-ح/2. بدءاً من القيمة الثانية، كل قيمة لاحقة تساوي القيمة السابقة، والتي تضاف إليها خطوة ح.
في العمود ييتم إعطاء القيم المتغيرة ي، مرتبة تصاعديا. وبناء على البيانات الواردة في هذا الجدول، فإن ما يسمى ب جدول التوزيع الطبيعي
. يسمح لك بتقييم درجة الخطية للعلاقة بين المتغيرات بشكل مرئي Xو ي.
8. د تحليل التباين
8.1. حزمة التحليليسمح بثلاثة أنواع من تحليل التباين. يتم تحديد اختيار أداة معينة من خلال عدد العوامل وعدد العينات في مجموعة البيانات قيد الدراسة.
يستخدم لاختبار الفرضية القائلة بأن متوسطات عينتين أو أكثر تنتمي إلى نفس العينة متشابهة سكان.
تحليل التباين ثنائي الاتجاه مع التكرارهو خيار أكثر تعقيدا تحليل أحادي أو عديد المتغيربما في ذلك أكثر من عينة لكل مجموعة من البيانات.
تحليل التباين ثنائي الاتجاه بدون تكرارهو تحليل التباين ثنائي الاتجاه ولا يتضمن أكثر من عينة واحدة لكل مجموعة. يتم استخدامه لاختبار الفرضية القائلة بأن متوسطات عينتين أو أكثر متماثلة (العينات تنتمي إلى نفس المجتمع).
8.2. اتجاه واحد أنوفا
8.2.1. دعونا نجهز البيانات للتحليل. قم بإنشاء ورقة جديدة وانسخ الأعمدة إليها ا ب ت ث. قم بإزالة السطرين الأولين. يمكن استخدام البيانات المعدة لإجراء تحليل التباين في اتجاه واحد.
8.2.2. اتصل بأداة التحديد عبر البيانات > تحليل البيانات > تحليل التباين (ANOVA) أحادي الاتجاه.املأ وفقا للصورة. انقر نعم.
8.2.3. النظر في الجدول نتائج: يفحص- عدد التكرارات، مجموع- مجموع قيم المؤشرات حسب الصف، تشتت– التباين الجزئي للمؤشر.
8.2.4. طاولة تحليل التباين: العمود الأول مصدر الاختلافيحتوي على اسم المشتتات ، سس- مجموع الانحرافات التربيعية، df- درجة من الحرية، آنسة- مربع متوسط، اختبار Fتوزيع F الفعلي القيمة P- احتمال أن يكون التباين الناتج عن المعادلة مساوياً لتباين البقايا. إنه يحدد احتمالية اعتبار التحديد الكمي الذي تم الحصول عليه للعلاقة بين العوامل والنتيجة عشوائيًا. F-حرجة- هذه هي القيمة النظرية F، والتي تتم مقارنتها فيما بعد بالقيمة F الفعلية.
8.2.5. الفرضية الصفرية للمساواة التوقعات الرياضيةمن جميع العينات مقبولة إذا كان عدم المساواة اختبار F < F-حرجة. يجب رفض هذه الفرضية. وفي هذه الحالة، يختلف متوسط قيم العينات بشكل كبير.
يمكن تنفيذ بناء الانحدار الخطي وتقييم معلماته وأهميته بشكل أسرع عند استخدام الحزمة تحليل اكسل(تراجع). دعونا ننظر في تفسير النتائج التي تم الحصول عليها في الحالة العامة (كالمتغيرات التوضيحية) حسب المثال 3.6.
في الطاولة إحصائيات الانحدار يتم إعطاء القيم التالية:
عديد ر - معامل الارتباط المتعدد؛
ر- مربع- معامل التحديد ر 2 ;
تطبيع ر - مربع- تعديل ر 2 معدلة لعدد درجات الحرية؛
خطأ تقليدي- خطأ الانحدار القياسي س;
الملاحظات –عدد الملاحظات ن.
في الطاولة تحليل التباينأعطي:
1. العمود df - عدد درجات الحرية التي تساوي
للسلسلة تراجع df = ك;
للسلسلة بقيةdf = ن – ك – 1;
للسلسلة المجموعdf = ن– 1.
2. العمود سس –مجموع الانحرافات التربيعية يساوي
للسلسلة تراجع ;
للسلسلة بقية ;
للسلسلة المجموع .
3. العمود آنسةالفروق التي تحددها الصيغة آنسة = سس/df:
للسلسلة تراجع- تشتت العوامل؛
للسلسلة بقية- التباين المتبقي.
4. العمود F - القيمة المحسوبة F-المعيار المحسوب باستخدام الصيغة
F = آنسة(تراجع)/ آنسة(بقية).
5. العمود دلالة F – قيمة مستوى الأهمية المقابلة للمحسوبة F-إحصائيات .
دلالة F= FDIST( F-إحصائيات، df(تراجع)، df(بقية)).
إذا أهمية F < стандартного уровня значимости, то ر 2 ذات دلالة إحصائية.
| احتمال | خطأ تقليدي | إحصائيات تي | القيمة P | القاع 95% | أعلى 95% | |
| ي | 65,92 | 11,74 | 5,61 | 0,00080 | 38,16 | 93,68 |
| X | 0,107 | 0,014 | 7,32 | 0,00016 | 0,0728 | 0,142 |
يوضح هذا الجدول:
1. احتمال- قيم المعاملات أ, ب.
2. الخطأ المعياري- الأخطاء المعيارية لمعاملات الانحدار س أ, بينالي الشارقة.
3. ر-إحصائيات- القيم المحسوبة ر -المعايير المحسوبة بالصيغة:
t-statistic = المعاملات/الخطأ المعياري.
4.ر-القيمة (الأهمية ر) هي قيمة مستوى الأهمية المقابلة للمحسوبة ر-إحصائيات.
ر-القيمة = ستوديديست.(ر-إحصائيات، df(بقية)).
لو ر-معنى< стандартного уровня значимости, то соответствующий коэффициент статистически значим.
5. أدنى 95% وأعلى 95%- أقل و الحدود العليافترات ثقة 95% لمعاملات معادلة الانحدار الخطي النظري.
| انسحاب الباقي | ||
| ملاحظة | توقع ي | البقايا ه |
| 72,70 | -29,70 | |
| 82,91 | -20,91 | |
| 94,53 | -4,53 | |
| 105,72 | 5,27 | |
| 117,56 | 12,44 | |
| 129,70 | 19,29 | |
| 144,22 | 20,77 | |
| 166,49 | 24,50 | |
| 268,13 | -27,13 |
في الطاولة انسحاب الباقيمبين:
في العمود ملاحظة- رقم الملاحظة؛
في العمود تنبأ ذ - القيم المحسوبة للمتغير التابع؛
في العمود بقايا الطعام ه – الفرق بين القيم المرصودة والمحسوبة للمتغير التابع.
مثال 3.6.هناك بيانات (الوحدات التقليدية) عن تكاليف الغذاء ذودخل الفرد سلتسع مجموعات من العائلات:
| س | |||||||||
| ذ |
وباستخدام نتائج حزمة تحليل Excel (الانحدار)، سنقوم بتحليل اعتماد تكاليف الغذاء على دخل الفرد.
عادة ما يتم كتابة نتائج تحليل الانحدار في النموذج:
حيث تتم الإشارة إلى الأخطاء المعيارية لمعاملات الانحدار بين قوسين.
معاملات الانحدار أ = 65,92 وب= 0.107. اتجاه الاتصال بين ذو سيحدد علامة معامل الانحدار ب= 0.107، أي الاتصال مباشر وإيجابي. معامل في الرياضيات او درجة ب= 0.107 يدل على أنه مع زيادة دخل الفرد بمقدار 1 التقليدية. وحدات زيادة تكاليف الغذاء بمقدار 0.107 وحدة تقليدية. وحدات
دعونا نقيم أهمية معاملات النموذج الناتج. أهمية المعاملات ( أ، ب) يتم فحصها بواسطة ر-امتحان:
القيمة P ( أ) = 0,00080 < 0,01 < 0,05
القيمة P ( ب) = 0,00016 < 0,01 < 0,05,
وبالتالي فإن المعاملات ( أ، ب) تكون معنوية عند مستوى دلالة 1%، وأكثر من ذلك عند مستوى دلالة 5%. وبالتالي فإن معاملات الانحدار كبيرة والنموذج مناسب للبيانات الأصلية.
تتوافق نتائج تقدير الانحدار ليس فقط مع القيم التي تم الحصول عليها لمعاملات الانحدار، ولكن أيضًا مع مجموعة معينة منها (فاصل الثقة). باحتمال 95% تكون فترات الثقة للمعاملات (38.16 – 93.68) لـ أو (0.0728 - 0.142) ل ب.
يتم تقييم جودة النموذج من خلال معامل التحديد ر 2 .
ضخامة ر 2 = 0.884 يعني أن عامل دخل الفرد يمكن أن يفسر 88.4% من التباين (التشتت) في نفقات الغذاء.
دلالة ر 2 يتم فحصها من قبل F-الاختبار: الأهمية F = 0,00016 < 0,01 < 0,05, следовательно, ر 2 تكون معنوية عند مستوى 1%، وأكثر من ذلك عند مستوى دلالة 5%.
في حالة الانحدار الخطي الزوجي، يمكن تعريف معامل الارتباط بأنه 
. وتشير القيمة التي تم الحصول عليها لمعامل الارتباط إلى أن العلاقة بين تكاليف الغذاء ودخل الفرد وثيقة للغاية.
