গণনা অ্যালগরিদম সর্বোচ্চ প্রবাহনেটওয়ার্কে
ধাপ 1. প্রাথমিক অ্যাসাইনমেন্ট।বর্তমান মূল্য একটি টিনেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহের মান 0 নির্ধারণ করা হয়েছে। ধাপ 2. নেটওয়ার্কে স্বাধীন রুট নির্বাচন করা এবং তাদের মধ্যে প্রবাহ নির্ধারণ করা।নেটওয়ার্কে সম্ভাব্য রুটের পুরো সেট থেকে উৎস থেকে ডুবে যাওয়া পর্যন্ত, আমরা স্বাধীন রুট নির্বাচন করি এম 1 , … , M k, নাই সাধারণ শীর্ষবিন্দু, প্রাথমিকটি ছাড়া (উৎস v এবং) এবং চূড়ান্ত (ড্রেন v সঙ্গে) প্রতিটি নির্বাচিত রুটের জন্য M i(1£ i£ k) সর্বোচ্চ প্রবাহ নির্ধারণ করুন ক(M i).STEP 3. নেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহের বর্তমান মান সংশোধন।আমরা পাওয়া যারা যোগ ধাপ ২স্বাধীন রুটে সর্বাধিক প্রবাহের মান এম 1 , … , M kবর্তমান মোট সর্বাধিক নেটওয়ার্ক প্রবাহে: একটি টি:= A t + A(এম 1)+ ক(এম 2)+…+ ক(M k)ধাপ 4. নেটওয়ার্ক সংশোধন।পাওয়া ধাপ ২সর্বাধিক প্রবাহ ক(এম 1), … , ক(M k) সংশ্লিষ্ট নেটওয়ার্ক আর্কসের ক্ষমতা থেকে বিয়োগ করা হয়েছে। শূন্য অবশিষ্ট ক্ষমতা সঙ্গে Arcs সরানো হয়. ধাপ 5. অ্যালগরিদমের সমাপ্তি পরীক্ষা করা হচ্ছে।যদি সংশোধনের পরে নেটওয়ার্কে উত্স থেকে কোনও রুট না থাকে v এবংজমাতে v সঙ্গে, তাহলে নেটওয়ার্কে প্রয়োজনীয় সর্বাধিক প্রবাহ পাওয়া বর্তমানের সমান ক:= A t, অ্যালগরিদম বন্ধ হয়ে গেছে কারণ সমস্ত নেটওয়ার্ক ক্ষমতা শেষ হয়ে গেছে। যদি সামঞ্জস্য করা নেটওয়ার্কে উত্স থেকে রুট থাকে v এবংজমাতে v সঙ্গে, তারপর যান ধাপ ২এবং অ্যালগরিদম সম্পাদনের ধারাবাহিকতা . উদাহরণ 2।এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করে চিত্র 1.15-এ নেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজুন। সমাধান. ধাপ 1. প্রাথমিক অ্যাসাইনমেন্ট। একটি টি: = 0.আমি পুনরাবৃত্তি. ধাপ 2. নেটওয়ার্কে স্বাধীন রুট নির্বাচন করা এবং তাদের মধ্যে প্রবাহ নির্ণয় করা।হিসাবে এম 1 পথ নিন ( v এবং =V 1 , ভি 2 , ভি 5 , v s = V 7), উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয় 1. তার জন্য ক(এম 1) = 10.
স্বাধীনভাবে বিচ্ছিন্ন করাও সহজ এম 1 রুট এম 2 = (v এবং =V 1 , ভি 3 , ভি 6 , v s = V 7)। আসুন এটির জন্য সর্বাধিক থ্রুপুট গণনা করি এবং আর্কসের থ্রুপুট সামঞ্জস্য করি: ক(এম 2)= মিনিট{d 13 , ঘ 36 , ঘ 67 } = মিনিট{45, 40, 30} = 30. d 13¢ =d 13 - 30 = 15, ঘ 36¢ =d 36 - 30 = 10, ঘ 67¢ =d 67 - 30 = 0.
ধাপ 3. নেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহের বর্তমান মান সংশোধন। একটি টি:= A t + A(এম 1)+ ক(এম 2) = 0 + 10+ 30 = 40.ধাপ 4. নেটওয়ার্ক সংশোধন।পাওয়া ধাপ ২সর্বাধিক প্রবাহ ক(এম 1), ক(এম 2) রুটে এম 1 , এমতাদের চাপের ক্ষমতা থেকে 2 বিয়োগ করা হয়। শূন্য অবশিষ্ট ক্ষমতা সঙ্গে Arcs সরানো হয়. ফলাফল চিত্র 1.16 এ দেওয়া হয়েছে। ক) খ) চিত্র ১.১৬। পুনরাবৃত্তির পরে নেটওয়ার্ক সংশোধনের ফলাফল আমিএবং IISTEP 5. অ্যালগরিদমের সমাপ্তি পরীক্ষা করা হচ্ছে।সমন্বয় করা নেটওয়ার্কে (চিত্র 1.16 ক) উৎস থেকে রুট আছে v এবংজমাতে v সঙ্গে, উদাহরণ স্বরূপ এম 3 = (v এবং =V 1 , ভি 4 , ভি 2 , ভি 5 , v s = V 7)। অ্যালগরিদম সঞ্চালন অব্যাহত .II পুনরাবৃত্তি। ধাপ ২।একমাত্র স্বাধীন রুট হিসেবে আমরা গ্রহণ করি এম 3 = (v এবং =V 1 , ভি 4 , ভি 2 , ভি 5 , v s = V 7)। তার জন্য:
ক(এম 3)= মিনিট{d 14 , ঘ 42 , ঘ 25 , ঘ 57 } = মিনিট{15, 10, 10, 15} = 10.
d 14¢ =d 14 - 10 = 5, ঘ 42¢ =d 42 - 10 = 0, ঘ 25¢ =d 25 - 10 = 0, ঘ 57¢ =d 57 - 10 = 5.
ধাপ 3. একটি টি:= A t + A(এম 3) = 40 + 10= 50.ধাপ 4. নেটওয়ার্ক সংশোধন।সর্বোচ্চ প্রবাহ ক(এম 3) রুটের আর্কস থেকে বিয়োগ করুন এম 13। ফলাফল চিত্র 1.16 খ-এ দেওয়া হয়েছে।
ধাপ 5।অ্যাডজাস্ট করা নেটওয়ার্কে সোর্স-টু-সিঙ্ক রুট বাকি নেই। ক:= A t:= 50, অ্যালগরিদমের সমাপ্তি। উত্তর:চিত্র 1.15-এ নেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহ হল 50৷যদি নেটওয়ার্কে বেশ কয়েকটি উত্স নির্দিষ্ট করা হয়, তবে এটি একটি নতুন সাধারণ উত্স প্রবর্তনের মাধ্যমে সম্পন্ন হয়, যা সীমাহীন ক্ষমতাযুক্ত আর্কস দ্বারা মূল উত্সগুলির সাথে সংযুক্ত থাকে। তারপর সমস্যা দ্বারা সমাধান করা হয় স্বাভাবিক অ্যালগরিদম থেকে. মূল উত্সগুলির মাধ্যমে প্রয়োজনীয় প্রবাহগুলি একটি নতুন সাধারণ উত্স থেকে প্রবেশ করা নতুন যুক্ত আর্কগুলির সাথে প্রবাহিত হবে৷ নেটওয়ার্কে একাধিক ড্রেন থাকলে একই কাজ করুন।
নেটওয়ার্ক পরিকল্পনা
মোটামুটি জটিল বস্তুর নকশা বা নির্মাণের যে কোনো কাজ ( প্রকল্প)কে কয়েকটি ছোট উপাদান ধাপে বিভক্ত করা যেতে পারে। থেকে সঠিক পছন্দএই পদক্ষেপগুলির ক্রম সম্পূর্ণ প্রকল্পের সময়ের উপর নির্ভর করে।
প্রকল্প বাস্তবায়নের জন্য কর্মের সম্পূর্ণ পরিসীমা একটি সেট হিসাবে উপস্থাপন করা হয় ঘটনাএবং কাজ করে. ইভেন্টগুলিকে একটি প্রকল্পের পৃথক পর্যায় বলা হয়। কাজ হল এটি সম্পূর্ণ করার প্রক্রিয়া। প্রকল্পটি সম্পূর্ণ করার জন্য প্রয়োজনীয় ইভেন্ট এবং কাজের সম্পূর্ণ জটিলতা একটি দ্বি-মেরু নেটওয়ার্কের আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে জি =({v এবং, v z} , ভি, এক্স), যেখানে:
এবং সব ঘটনাশীর্ষবিন্দুগুলির একটি সেট দ্বারা চিহ্নিত ভি,তাদের মধ্যে হাইলাইট প্রাথমিক ঘটনা v এবং(কাজের শুরু) এবং চূড়ান্ত ঘটনা v z(সম্পূর্ণ প্রকল্পের সমাপ্তি), নেটওয়ার্কের অভ্যন্তরীণ শীর্ষবিন্দুগুলি সংজ্ঞায়িত করে মধ্যবর্তী ঘটনা- প্রক্রিয়ায় যে ধাপগুলো সম্পন্ন করতে হবে প্রকল্প বাস্তবায়ন,
খ) সবকিছু কাজইভেন্টের জোড়া সংযোগকারী আর্কস দ্বারা নির্দেশিত হয় - শীর্ষবিন্দু।
এই নেটওয়ার্কের গ্রাফিকাল উপস্থাপনা বলা হয় নেটওয়ার্ক ডায়াগ্রাম।কর্মের ক্রম নির্দেশ করতে, নেটওয়ার্ক ডায়াগ্রামেও প্রবেশ করুন কাল্পনিক কাজ, যা কোনো কর্ম সম্পাদনের সাথে যুক্ত নয়। সংশ্লিষ্ট কাজ ড্যাশ আর্ক দ্বারা নির্দেশিত হয়.
উদাহরণ হিসেবে, কিছু উৎপাদনের সংগঠন বিবেচনা করুন। প্রকল্পের নিম্নলিখিত কাজ প্রয়োজন:
I) বিপণন গবেষণা, II) সরঞ্জামগুলির উপর প্রাক-নকশা গবেষণা, III) একটি বিক্রয় নেটওয়ার্ক সংগঠিত করা, IV) পরিচালনা বিজ্ঞাপন কর্মশালা, V) উত্পাদন সরঞ্জামের জন্য প্রযুক্তিগত বৈশিষ্ট্যগুলির বিকাশ, VI) উন্নয়ন প্রযুক্তিগত নথিপত্রেউত্পাদন প্রাঙ্গণ এবং যোগাযোগের জন্য, VII) মানক সরঞ্জাম ক্রয়, VIII) অ-মানক সরঞ্জামের নকশা এবং উত্পাদন, IX) উত্পাদন সুবিধা নির্মাণ এবং যোগাযোগ স্থাপন, X) মানক সরঞ্জাম ইনস্টলেশন, XI) অ-মানক সরঞ্জাম ইনস্টলেশন , XII) কমিশনিং।
আমরা নেটওয়ার্ক ডায়াগ্রামে এই কাজগুলিকে সংশ্লিষ্ট সংখ্যা সহ আর্কস দ্বারা চিহ্নিত করব।
এই প্রকল্পের ঘটনাগুলি নিম্নরূপ হবে:
1) কাজ শুরু (প্রাথমিক ঘটনা), 2) সমাপ্তি বিপণন গবেষণা, 3) প্রাক-নকশা অধ্যয়ন সমাপ্তি, 4) একটি বিক্রয় নেটওয়ার্কের সংগঠন, 5) একটি বিজ্ঞাপন প্রচারের সংগঠন, 6) উত্পাদন সরঞ্জামের জন্য প্রযুক্তিগত বৈশিষ্ট্যের প্রস্তুতি, 7) উত্পাদন প্রাঙ্গণ এবং যোগাযোগের জন্য প্রযুক্তিগত ডকুমেন্টেশনের বিকাশের সমাপ্তি , 8) স্ট্যান্ডার্ড সরঞ্জাম ক্রয় সম্পন্ন করা, 9) অ-মানক সরঞ্জামের নকশা এবং উত্পাদন সম্পন্ন করা, 10) উত্পাদন সুবিধা নির্মাণ এবং যোগাযোগ স্থাপনের সমাপ্তি, 11) সরঞ্জাম ইনস্টলেশন এবং কমিশনিং কাজ সমাপ্ত করা,
12) প্রকল্পের সমাপ্তি (চূড়ান্ত ঘটনা)।
আমরা ইভেন্টের সাথে সংশ্লিষ্ট সংখ্যার সাথে শীর্ষবিন্দু যুক্ত করি। নেটওয়ার্ক ডায়াগ্রামপ্রকল্পের বাস্তবায়ন চিত্রে দেখানো হয়েছে। 1.17:
চিত্র 1.17। প্রকল্প বাস্তবায়ন নেটওয়ার্ক সময়সূচী
হ্যামিলটোনিয়ান চক্র
গ্রাফটি একটি ম্যাট্রিক্স আকারে দেওয়া হয়, যেখানে কোষগুলি বিন্দুগুলির মধ্যে চলাচলের খরচ নির্দিষ্ট করে। প্রতীক ∞ মূল কর্ণের উপর স্থাপন করা হয় নিজের মধ্যে একটি অর্থহীন পথ নির্মূল করতে।
কারণ ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সে যদি শূন্য উপাদান ছাড়া একটি কলাম থাকে, তাহলে আমরা এতে ন্যূনতম উপাদানটি খুঁজে পাব এবং এই কলামের সমস্ত উপাদান থেকে বিয়োগ করব।
| ক | খ | গ | ডি | |
| ক | ∞ | |||
| খ | ∞ | |||
| গ | ∞ | |||
| ডি | ∞ |
আসুন সমস্ত বিয়োগকৃত উপাদানের যোগফল করি এবং চক্রের নিম্ন সীমানা পাই মধ্যে = 2+2+3+2+1=10
1.2। ম্যাট্রিক্সের সমস্ত শূন্য উপাদানের মূল্যায়ন করা যাক।
একটি টেবিলে শূন্যের অনুমান উপস্থাপন করা সুবিধাজনক।
| ক | খ | গ | ডি | |
| ক | ||||
| খ | ||||
| গ | ||||
| ডি |
θ=সর্বোচ্চ γ=γ A C =2
1.3। পাথের সেটটিকে দুটি উপসেটে ভাগ করা যাক: Q A.C.– আর্ক (AC) এবং Q ধারণকারী পাথ A.C.– যে পাথগুলিতে একটি চাপ (AC) নেই। দ্বিতীয় উপসেটের জন্য নিম্ন সীমাটি হবে: in / = in + θ =10+2=12।
প্রথম উপসেটের সীমানা গণনা করার জন্য, আমরা A-সারি এবং C-কলামকে অতিক্রম করে ম্যাট্রিক্সের এক ক্রম নিম্ন মাত্রায় চলে যাই। বিপরীত পথ (CA) দূর করতে নতুন ম্যাট্রিক্সে, আমরা সংশ্লিষ্ট ঘরে ∞ চিহ্নটি রাখি।
আসুন ফলাফল ম্যাট্রিক্স 2+0=2 এর সীমানা গণনা করি
এবং লুপের নীচের সীমানায় যোগ করুন। এই পরিমাণ ইন // =10+2=12 এবং প্রথম উপসেটের সীমানা হবে।
1.4। আসুন সমস্ত ঝুলন্ত শীর্ষবিন্দুর সীমানা তুলনা করি এবং ক্ষুদ্রতম সীমানা সহ শীর্ষবিন্দু নির্বাচন করি। যদি এই দুইটি শীর্ষবিন্দু থাকে, তাহলে তাদের যেকোনো একটি বেছে নিন। এটি Q এর শীর্ষ A.C., যার নিম্ন সীমা = 12।
এর সর্বাধিক অনুমান নির্বাচন করা যাক θ=সর্বোচ্চ γ=γ BD =3
/ =12+3=15 এর মধ্যে।
1.6। আমরা পূর্ববর্তীগুলির মতো একইভাবে পরবর্তী সমস্ত পয়েন্টগুলি সম্পাদন করি।
এর সর্বাধিক অনুমান নির্বাচন করা যাক θ=সর্বোচ্চ γ=γ C B =∞
in / =in+ θ=∞
| ক | |
| ডি |
এই ম্যাট্রিক্সের সমস্ত সারি এবং কলামে শূন্য থাকে। অতএব, সীমা 12 এর সমান থাকে।
টাস্ক। পরিবহন নেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহের মান খুঁজুন।
সমস্যা প্রণয়ন.
নেটওয়ার্কে পরিবহন সমস্যা বিবেচনা করুন ( আই, ডি, জি) প্রদত্ত চাপ ক্ষমতা সহ c(i,j)।
আসুন দুটি স্থির শীর্ষবিন্দু নির্বাচন করি: s- উত্স এবং t- ড্রেন। নেটওয়ার্কে স্ট্রিম করুন s→t এর সংখ্যাসূচক ফাংশন কল করা যাক চ, arcs একটি সেটে সংজ্ঞায়িত এবং নিম্নলিখিত সন্তোষজনক রৈখিক সমীকরণএবং অসমতা:
0≤ f(i,j) ≤c(i,j)কোন জন্য (i,j)
একটি পরিবর্তনশীল সর্বাধিক করার জন্য প্রয়োজন এক্স
কাটা এলশীর্ষবিন্দু বিভক্ত একটি নেটওয়ার্কে s t
আর্কসের সেট বলা হয় 
যে কোনো উপায় s→t অন্তত একটি কাটা চাপ রয়েছে।
অনুকূলতার মানদণ্ড: একটি বাস্তব নেটওয়ার্কে, একটি নির্বিচারে প্রবাহের মান কাটের থ্রুপুটকে অতিক্রম করে না এবং সর্বাধিক প্রবাহের মান কাটার সর্বনিম্ন থ্রুপুটের সমান।
উদাহরণ 3.12।
এম 9 কে
এম 8 কে
উদাহরণ 3.13।
এম 2 কে
সমাধান :
বহির্গামী চাপের ক্ষমতা (T,B) সংশ্লিষ্ট শীর্ষে প্রবেশকারী আর্কের মোট ক্ষমতাকে ছাড়িয়ে গেছে। নেটওয়ার্ক বাস্তব হওয়ার জন্য, আমরা c(T,B)=5 প্রতিস্থাপন করি।
আসুন সমস্ত কাটের থ্রুপুট ক্ষমতার মান খুঁজে বের করি এবং গণনা করি। (K,V) – (T,V) ন্যূনতম থ্রুপুট = 6 সহ কাটা। অতএব, সর্বাধিক প্রবাহ =6.
একাধিক উত্স এবং সিঙ্ক সহ একটি নেটওয়ার্ক একটি উত্স এবং সিঙ্ক সহ একটি নেটওয়ার্কে হ্রাস করা যেতে পারে।
উদাহরণ। বেশ কয়েকটি উত্স S এবং সিঙ্ক T ( পরিবহন সমস্যা) দুটি নোড s*, t* এবং সমস্ত arcs (s*, S), (T,t*) যোগ করে নেটওয়ার্ক প্রসারিত করা যাক। সেট করে ক্ষমতা ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক
মার্কস স্থাপনের পদ্ধতি।
1. প্রাথমিক প্রবাহ f(i,j) = 0।
আসুন এই নেটওয়ার্কের শীর্ষবিন্দুতে লেবেল বরাদ্দ করি যেখানে ফর্মটি থাকবে (i+, ε)বা
(i - ε)।এর উৎস চিহ্নিত করা যাক (-, ∞),
সেগুলো . ε(গুলি)= ∞.
2. যেকোনো চিহ্নিত শীর্ষবিন্দুর জন্য i
সমস্ত লেবেলবিহীন শীর্ষবিন্দু নির্বাচন করুন j
কিসের জন্য f(i,j)
ড্রেন চিহ্নিত না হওয়া পর্যন্ত আমরা এই অপারেশন পুনরাবৃত্তি। যদি প্রবাহটি লেবেলবিহীন থেকে যায়, তাহলে প্রাপ্ত প্রবাহটি সর্বাধিক, এবং চিহ্নিত শীর্ষগুলিকে অচিহ্নিতগুলির সাথে সংযুক্ত আর্কগুলির সেটটি একটি ন্যূনতম কাটা তৈরি করে।
3. স্টক লেবেল করা যাক (j+, ε(t)), তারপর f(j,t)প্রতিস্থাপন f(j,t)+ε(t). যদি স্টক চিহ্নিত করা হয় (j-, ε(t)), যে f(j,t)প্রতিস্থাপন f(j,t)-ε(t). চলো উপরে যাই j. যদি jএকটি চিহ্ন আছে (i+, ε(j)), তারপর আমরা প্রতিস্থাপন f(i,j)চালু f(i,j)+ε(t), এবং যদি (i-, ε(j)), f(j,i)প্রতিস্থাপন f(j,i)-ε(t). চলো উপরে যাই i. আমরা উৎসে পৌঁছা পর্যন্ত এই অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করি sপ্রবাহ পরিবর্তন বন্ধ হয়ে যায়, সমস্ত চিহ্ন মুছে ফেলা হয় এবং ধাপ 2 এ যান
উদাহরণ 3.14।
এম 4 কে
| 1 ধাপ | A → (-, ∞) M → (A+,8) P → (A+,3) K → (P+,3) T → (P+,3) B → (T+,3) | f(T,B)=3 f(P,T)=3 f(A,P)=3 f(P,K)=0 f(A,M)=0 f(M,P)=0 f(M,K)=0 f(M,T)=0 f(K,T)=0 f( K,V)=0 |
| ধাপ ২ | A → (-, ∞) M → (A+,8) P → (M+,1) K → (M+,4) T → (M+,2) | f(K,B)=3 f(M,K)=3 f(A,M)=3 f(T,B)=3 f(P,T)=3 f(A,P)=3 f(P,K)=0 f(M,T)=0 f(M,P)=0 f(K,T)=0 |
| ধাপ 3 | A → (-, ∞) M → (A+,5) P → (M+,1) K → (M+,1) T → (M+,2) B → (T+,2) | f(T,B)=5 f(M,T)=2 f(A,M)=5 f(K,B)=3 f(M,K)=3 f(P,T)=3 f(A,P)=3 f(P,K)=0 f(M,P)=0 f(K,T)=0 |
| ধাপ 4 | A → (-, ∞) M → (A+,3) P → (M+,1) K → (M+,1) T → (P+,1) B → (T+,1) | f(A,M)=6 f(T,B)=6 f(P,T)=4 f(M,P)=1 f(M,T)=2 f(K,B)=3 f(M,K)=3 f(A,P)=3 f(P,K)=0 f(K,T)=0 |
| ধাপ 5 | A → (-, ∞) M → (A+,2) P → (M-,1) K → (M+,1) T → (K+,1) B → (T+,1) | f(A,M)=7 f(M,K)=4 f(K,T)=1 f(T,B)=7 f(P,T)=4 f(M,P)=1 f( M,T)=2 f(K,B)=3 f(A,P)=3 f(P,K)=0 |
| ধাপ 6 | A → (-, ∞) M → (A+,1) | প্রবাহ সর্বোত্তম f=10 ন্যূনতম কাটা: এম→টি-এম→আর-এম→প্রতি |
টাস্ক। নেটওয়ার্কে সর্বোচ্চ প্রবাহ খুঁজুন
অ্যালগোরিদম
এর শীর্ষবিন্দু নির্দেশ করা যাক s= x 0। বাকি সব হল x i.
ধাপ 1।
1. যে কোনো পথ বেছে নিন যার সমস্ত আর্কস স্যাচুরেটেড নয়।
2. আমরা এই পথ বরাবর প্রবাহের পরিমাণ এক দ্বারা বৃদ্ধি করি যতক্ষণ না এটিতে কোনও স্যাচুরেটেড চাপ না থাকে।
সম্পূর্ণ প্রবাহ তৈরি না হওয়া পর্যন্ত আমরা প্রবাহ বৃদ্ধির প্রক্রিয়া চালিয়ে যাই, অর্থাৎ যেকোনো পাথে অন্তত একটি স্যাচুরেটেড আর্ক থাকবে।
ধাপ ২।
2. যদি х i ইতিমধ্যেই একটি চিহ্নিত শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে আমরা চিহ্নিত করি (+i) লেবেলবিহীন সমস্ত শীর্ষবিন্দু যেখানে অসম্পৃক্ত আর্কগুলি х i থেকে যায় এবং সূচী (–i) সহ সমস্ত অচিহ্নিত শীর্ষগুলিকে চিহ্নিত করি যেখান থেকে অ-শূন্য প্রবাহ সহ আর্কগুলি যায় থেকে х i.
3. যদি এই প্রক্রিয়ার ফলে একটি শীর্ষবিন্দু চিহ্নিত করা হয় t, তারপর মধ্যে sএবং tএকটি পথ আছে যার সমস্ত শীর্ষবিন্দু পূর্ববর্তী শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে। আমরা এই পথের সমস্ত আর্কগুলির প্রবাহকে এক দ্বারা বৃদ্ধি করি, যখন থেকে সরে যাই sপ্রতি tচাপের স্থিতিবিন্যাস চলাচলের দিকের সাথে মিলে যায়, এবং যদি চাপের বিপরীত স্থিতিবিন্যাস থাকে তবে একটি দ্বারা হ্রাস করা হয়। এর ধাপ 1 এ সরানো যাক.
4. যখন শীর্ষ tপ্রক্রিয়াটি বন্ধ হয়ে গেছে চিহ্নিত করা অসম্ভব এবং ফলস্বরূপ প্রবাহটি নেটওয়ার্কের বৃহত্তম প্রবাহ।
বিঃদ্রঃ। আপনি প্রথম পর্যায়টি সম্পূর্ণ না করেই পর্যায় 2 এ যেতে পারেন (উদাহরণ 3.16 দেখুন)।
উদাহরণ 3.15।
9
সমাধান:
একটি প্রদত্ত পরিবহন নেটওয়ার্কে একটি সম্পূর্ণ প্রবাহ পাওয়া গেছে। স্যাচুরেটেড আর্কস হাইলাইট করা হয়
এই নেটওয়ার্কে, আপনি চূড়ান্ত শীর্ষটিও চিহ্নিত করতে পারেন এবং চিহ্নিতকরণের ফলাফল একই হবে। প্রবাহ পরিবর্তন করে, আমরা একটি নেটওয়ার্ক পাই যেখানে চূড়ান্ত শীর্ষস্থান চিহ্নিত করা অসম্ভব, তাই এতে প্রবাহটি বৃহত্তম এবং 10 এর সমান।
উদাহরণ 3.16।
8 2 1
একটি প্রদত্ত পরিবহন নেটওয়ার্কে একটি অসম্পূর্ণ প্রবাহ পাওয়া গেছে৷
আসুন নেটওয়ার্কটিকে চিহ্নিত করি এবং অ্যালগরিদম অনুযায়ী এতে প্রবাহ বৃদ্ধি করি। আমরা পেতে
এই নেটওয়ার্কে, আপনি চূড়ান্ত শীর্ষটিও চিহ্নিত করতে পারেন এবং চিহ্নিতকরণের ফলাফল একই হবে। প্রবাহ পরিবর্তন করে, আমরা একটি নেটওয়ার্ক পাই যেখানে চূড়ান্ত শীর্ষস্থান চিহ্নিত করা অসম্ভব, তাই এতে প্রবাহটি বৃহত্তম এবং 6 এর সমান।
ধারা IV। ডায়নামিক প্রোগ্রামিং।
ডাইনামিক প্রোগ্রামিং সর্বোত্তম মাল্টি-স্টেজ সমাধান খুঁজে পেতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, সরঞ্জাম প্রতিস্থাপনের জন্য দীর্ঘমেয়াদী পরিকল্পনা; কয়েক বছর ধরে শিল্পের কার্যকলাপ। এটি সর্বোত্তমতার নীতি ব্যবহার করে, যার অনুসারে যে কোনও নতুন আংশিক সমাধান অবশ্যই অর্জিত অবস্থার সাথে সর্বোত্তম হতে হবে।
অনেকবার একটি সমাধান করা ভাল সহজ কাজএকাধিকবার জটিল।
সমস্যা 1. দুটি পয়েন্টের মধ্যে সবচেয়ে সুবিধাজনক রুট সম্পর্কে।
দুটি বিন্দু A এবং B সংযোগকারী একটি পথ তৈরি করতে হবে, যার মধ্যে দ্বিতীয়টি প্রথমটির উত্তর-পূর্ব দিকে অবস্থিত। সরলতার জন্য, ধরা যাক যে একটি পথ তৈরি করা ধাপগুলির একটি সিরিজ নিয়ে গঠিত, এবং প্রতিটি ধাপে আমরা উত্তর বা পূর্ব দিকে যেতে পারি। তারপর যেকোন পথ একটি ধাপে ভাঙ্গা রেখা, যার অংশগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটির সমান্তরাল। এই বিভাগগুলির প্রতিটি নির্মাণের খরচ জানা যায়।
উদাহরণ 4.1. A থেকে B পর্যন্ত ন্যূনতম পথটি সন্ধান করুন।
শেষ ধাপ হল T.V অর্জন করা। শেষ ধাপের আগে, আমরা এমন পয়েন্টে থাকতে পারতাম যেখান থেকে আমরা এক ধাপে T.V-তে পৌঁছতে পারতাম। এই ধরনের দুটি পয়েন্ট রয়েছে (ব্যবস্থা দুটি রাজ্যের একটিতে হতে পারে)। তাদের প্রত্যেকের জন্য t.V পৌঁছানোর জন্য একটি একক বিকল্প রয়েছে: একজনের জন্য - পূর্ব দিকে সরে যান; অন্যের জন্য - উত্তরে। প্রতিটি ক্ষেত্রে খরচ 4 এবং 3 লিখি।
4
এখন এর শেষ ধাপ অপ্টিমাইজ করা যাক. পূর্ববর্তী ধাপের পরে, আমরা তিনটি পয়েন্টের একটিতে শেষ করতে পারি: C 1, C 2, C 3।
বিন্দু C 1 এর জন্য, শুধুমাত্র একটি নিয়ন্ত্রণ আছে (আসুন এটিকে একটি তীর দিয়ে চিহ্নিত করি) - পূর্ব দিকে সরান, এবং খরচ হবে 2 (এই ধাপে) + 4 (পরবর্তী ধাপে) = 6। একইভাবে, আইটেম C 3 এর জন্য খরচ হবে 2+3=5। t.C 2 এর জন্য দুটি নিয়ন্ত্রণ রয়েছে: পূর্ব বা উত্তরে যান। প্রথম ক্ষেত্রে, খরচ হবে 3+3=6, এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে - 1+4=5। এর মানে হল শর্তসাপেক্ষ সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ হল উত্তরে যাওয়া। এর একটি তীর দিয়ে চিহ্নিত করা যাক এবং সংশ্লিষ্ট খরচ লিখুন।
| |
| |
| |
| টাস্ক 2. গাড়ি লোড করার বিষয়ে (ব্যাকপ্যাক সম্পর্কে)। এন আইটেম আছে. পরিচিত ওজন a i এবং মান φi প্রতিটি আইটেমের। ≤ ওজন ধারণ করতে সক্ষম একটি ব্যাকপ্যাক পূরণ করতে হবে আর , এই ধরনের আইটেমগুলির একটি সেট যার সর্বাধিক মান থাকবে।
ব্যাকপ্যাক লোড করার প্রক্রিয়াটিকে N ধাপে ভাগ করা যায়। প্রতিটি ধাপে আমরা প্রশ্ন স্থির করি: এই আইটেমটি নিতে বা না নিতে? প্রতিটি ধাপে শুধুমাত্র 2টি নিয়ন্ত্রণ রয়েছে: নিয়ন্ত্রণ =1, যদি আমরা এই আইটেমটি গ্রহণ করি; এবং 0 - যদি আমরা এটি গ্রহণ না করি। পরবর্তী পদক্ষেপের আগে সিস্টেমের অবস্থা ওজন S দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা পূর্ববর্তী পদক্ষেপগুলি সম্পন্ন হওয়ার পরে সম্পূর্ণ লোডিং শেষ না হওয়া পর্যন্ত আমাদের নিষ্পত্তিতে থাকে (কিছু আইটেম ইতিমধ্যে লোড করা হয়েছে), যেমন ব্যাকপ্যাকে খালি জায়গার পরিমাণ। অ্যালগোরিদম। 1. শেষ ধাপ থেকে শুরু করা যাক। ব্যাকপ্যাকের ফাঁকা স্থান সম্পর্কে বিভিন্ন অনুমান করা যাক: S=0.1,…R. ব্যাকপ্যাকে পর্যাপ্ত স্টোরেজ স্পেস থাকলে শেষ আইটেমটি রাখি। 2. প্রতিটি পূর্ববর্তী ধাপে, সমস্ত সম্ভাব্য অবস্থা S-এর জন্য, আমরা 2টি বিকল্প বিবেচনা করি: অবজেক্টটি গ্রহণ করুন বা না নিন। আসুন প্রতিটি ক্ষেত্রে বর্তমান ধাপে লাভের যোগফল এবং পরবর্তী ইতিমধ্যে অপ্টিমাইজ করা ধাপে লাভের পরিমাণ খুঁজে বের করি। আমরা অক্জিলিয়ারী টেবিলে ফলাফল লিখব। 3. প্রথম ধাপে, আমরা শুধুমাত্র একমাত্র সম্ভাব্য অবস্থা S=R বিবেচনা করি। 4. আসুন "পিছনে সরে গিয়ে" সমাধান খুঁজে বের করি, অর্থাৎ প্রথম ধাপে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ নিয়ে, আমরা দ্বিতীয় ধাপে সিস্টেমের অবস্থা পরিবর্তন করি: S=R– x 1 a 1এবং এই অবস্থার জন্য সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ x 2 চয়ন করুন। ইত্যাদি। উদাহরণ 4.2। প্রাথমিক তথ্য
প্রধান টেবিল
সহায়ক টেবিল।
উত্তরঃ x 4 =0; x 3 =1; x 2 =0; x 1 =1; W=15 কাজ 3. সম্পদ বণ্টনের উপর। N এন্টারপ্রাইজগুলি আছে P 1, P 2, … P N, যার প্রতিটি আয় φ k (x) উৎপন্ন করে যদি এটি x পরিমাণে একটি সম্পদ বরাদ্দ করা হয়। বস্তুর মধ্যে A পরিমাণে উপলব্ধ সম্পদ বিতরণ করা প্রয়োজন যাতে মোট আয় সর্বাধিক হয়। x k কে kth এন্টারপ্রাইজে বরাদ্দকৃত সম্পদের পরিমাণ ধরা যাক। তারপর বিবেচনাধীন সমস্যা স্বাভাবিক সমস্যায় কমে যায় রৈখিক প্রোগ্রামিং.
চলুন সমস্যাটিকে ডায়নামিক প্রোগ্রামিং সমস্যা হিসেবে প্রণয়ন করি। প্রথম ধাপের জন্য আমরা এন্টারপ্রাইজ P 1-এ তহবিল বিনিয়োগ করব, দ্বিতীয়টির জন্য - P 2, ইত্যাদিতে। পরিচালিত সিস্টেম ইন এক্ষেত্রে- তহবিল বিতরণ করা হয়। প্রতিটি পদক্ষেপের আগে সিস্টেমের অবস্থা একটি প্যারামিটার দ্বারা চিহ্নিত করা হয় - তহবিলের উপলব্ধ স্টক এখনও বিনিয়োগ করা হয়নি। এই সমস্যায়, স্টেপ কন্ট্রোল হল এন্টারপ্রাইজগুলিতে বরাদ্দ করা তহবিল। এটি সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ (x 1, x 2,...x N) খুঁজে বের করতে হবে, যেখানে মোট আয় সর্বাধিক: | 1,1 0,5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| S=3 | 0,1 0,5 | 1,1 1,5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| S=4 | 0,1 0,5 | 2,1 1,5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| S=5 | 0,1 0,5 2,5 | 3,1 2,5 2,5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| i=1 S=5 | 0,5 1,5 | 3,1 1,1 | 3,1 3,5 2,1 2,6 |
উত্তরঃ x 1 =1; x 3 =0; x 3 = 4; W=3.5
সাধারণীকৃত অ্যালগরিদম
1. সিস্টেম বর্ণনা করুন। অর্থাৎ, প্রতিটি পদক্ষেপের আগে নিয়ন্ত্রিত সিস্টেমের অবস্থার বৈশিষ্ট্যগুলি কী পরামিতিগুলি খুঁজে বের করে। অপ্রয়োজনীয় বিবরণ দিয়ে অতিরিক্ত চাপ না দিয়ে, নিয়ন্ত্রিত সিস্টেমের বর্ণনাকে যতটা সম্ভব সহজ করে, সঠিকভাবে এবং "নম্রভাবে" কাজটি সেট করতে সক্ষম হওয়া গুরুত্বপূর্ণ।
2. অপারেশনকে ধাপে (পর্যায়) ভাগ করুন। ব্যবস্থাপনার উপর আরোপিত সমস্ত যুক্তিসঙ্গত বিধিনিষেধ এখানে অবশ্যই বিবেচনায় নিতে হবে। ধাপটি যথেষ্ট ছোট হতে হবে যাতে ধাপ নিয়ন্ত্রণ অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতিটি মোটামুটি সহজ হয়; এবং পদক্ষেপটি, একই সময়ে, খুব ছোট হওয়া উচিত নয় যাতে অপ্রয়োজনীয় গণনা করা না হয় যা সর্বোত্তম সমাধান খুঁজে বের করার পদ্ধতিকে জটিল করে তোলে, কিন্তু সর্বোত্তম ক্ষেত্রে একটি উল্লেখযোগ্য পরিবর্তনের দিকে পরিচালিত করে না উদ্দেশ্য ফাংশন.
3. প্রতিটি ধাপের জন্য ধাপ নিয়ন্ত্রণ x i এবং তাদের উপর আরোপিত বিধিনিষেধের সেট খুঁজুন।
4. i- ধাপে নিয়ন্ত্রণ x i কী লাভ আনে তা নির্ধারণ করুন, যদি এর আগে সিস্টেমটি S অবস্থায় থাকে, অর্থাৎ পেঅফ ফাংশন লিখুন:
w i = f i (S, x i)
5. নিয়ন্ত্রণ x i on এর প্রভাবে সিস্টেমের অবস্থা কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা নির্ধারণ করুন ১ম ধাপ, অর্থাৎ রাষ্ট্র পরিবর্তন ফাংশন লিখুন।
S / =φ i (S, x i)
6. একটি ইতিমধ্যে পরিচিত ফাংশনের মাধ্যমে শর্তসাপেক্ষ সর্বোত্তম লাভ প্রকাশ করে প্রধান পুনরাবৃত্ত গতিশীল প্রোগ্রামিং সমীকরণটি লিখুন
W i (S) = সর্বোচ্চ(f i (S, x i)+W i+1 (φ i (S, x i)))
7. উত্পাদন শর্তাধীন অপ্টিমাইজেশানশেষ ধাপে, শেষ ধাপটি কীভাবে শেষ হয়েছে সে সম্পর্কে বিভিন্ন অনুমান তৈরি করে এবং এই প্রতিটি অনুমানের জন্য শেষ ধাপে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের শর্তযুক্ত (পদটি কিছু দিয়ে শেষ হয়েছে এমন শর্তের ভিত্তিতে নির্বাচিত) খুঁজে বের করে।
W m (S) = সর্বোচ্চ (f m (S, x m))
8. শর্তসাপেক্ষ অপ্টিমাইজেশান সঞ্চালন করুন, শেষ ধাপ থেকে শুরু করে এবং প্রথম ধাপের সাথে শেষ করুন (ব্যাকিং ব্যাকিং)।
9. উত্পাদন শর্তহীন অপ্টিমাইজেশাননিয়ন্ত্রণ, প্রতিটি ধাপে সংশ্লিষ্ট সুপারিশগুলি "পড়ুন": প্রথম ধাপে প্রাপ্ত সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ নিন এবং সিস্টেমের অবস্থা পরিবর্তন করুন, পাওয়া অবস্থার জন্য দ্বিতীয় ধাপে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ খুঁজুন ইত্যাদি। শেষ ধাপ পর্যন্ত।
অনুকূলতার নীতি। পরবর্তী ধাপের আগে সিস্টেমের অবস্থা যাই হোক না কেন, এই ধাপে নিয়ন্ত্রণ বেছে নেওয়া প্রয়োজন যাতে এই ধাপে লাভ এবং পরবর্তী সমস্ত ধাপে সর্বোত্তম লাভ সর্বাধিক হয়।
গতিশীল প্রোগ্রামিংয়ের নীতিটি বোঝায় না যে প্রতিটি পদক্ষেপ আলাদাভাবে অপ্টিমাইজ করা হয়েছে, অন্যদের থেকে স্বাধীনভাবে। একটি নির্দিষ্ট ধাপে যার কার্যকারিতা সর্বাধিক হয় এমন একটি নিয়ন্ত্রণ বেছে নেওয়ার অর্থ কী, যদি এই পদক্ষেপটি পরবর্তী ধাপে আমাদের ভাল জয়ের সুযোগ থেকে বঞ্চিত করে?
অনুশীলনে, এমন কিছু ঘটনা রয়েছে যখন একটি অপারেশন একটি অনির্দিষ্টকালের জন্য দীর্ঘ সময়ের জন্য পরিকল্পনা করতে হয়। এই ধরনের ক্ষেত্রে মডেল হল একটি অসীম-পদক্ষেপ নিয়ন্ত্রিত প্রক্রিয়া, যেখানে সমস্ত পদক্ষেপ সমান। এখানে উইনিং ফাংশন এবং স্টেট চেঞ্জ ফাংশন ধাপ নম্বরের উপর নির্ভর করে না।
বিভাগ V. সিমুলেশন মডেলিং
এই অ্যালগরিদমের ধারণা হল উৎস থেকে ডোবা পর্যন্ত ইতিবাচক প্রবাহ সহ শেষ-থেকে-শেষ পাথ খুঁজে বের করা।
(প্রাথমিক) ক্ষমতা সহ একটি প্রান্ত (i, j) বিবেচনা করুন। অ্যালগরিদম কার্যকর করার সময়, এই ক্ষমতার অংশগুলি একটি প্রদত্ত প্রান্তের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হয়ে "কেড়ে নেওয়া" হয়, ফলস্বরূপ, প্রতিটি প্রান্তের একটি অবশিষ্ট ক্ষমতা থাকবে। লিখুন - অবশিষ্ট ব্যান্ডউইথ। একটি নেটওয়ার্ক যেখানে সমস্ত প্রান্তের অবশিষ্ট ক্ষমতা থাকে তাকে অবশিষ্ট বলা হবে।
নোড i থেকে একটি নির্বিচারে নোড j প্রাপ্তির জন্য, আমরা একটি লেবেল সংজ্ঞায়িত করি, যেখানে নোড j থেকে নোড i তে প্রবাহিত প্রবাহের মান কোথায়। সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজে পেতে, আমরা নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করি।
সমস্ত প্রান্তের জন্য, আমরা প্রাথমিক ক্ষমতার সমান অবশিষ্ট ক্ষমতা সেট করি, যেমন আসুন সমান করি =। একটি লেবেল দিয়ে নোড 1 বরাদ্দ এবং চিহ্নিত করা যাক। আমরা অনুমান করি i=1।
নোড j এর সেট যেখানে আপনি নোড I থেকে একটি প্রান্ত বরাবর একটি ধনাত্মক অবশিষ্ট ক্ষমতা >0 সব j এর জন্য যেতে পারেন। যদি, আমরা পর্যায় 3 চালাই, অন্যথায় আমরা 4-এ যাই।
আমরা নোড k যেমন যে খুঁজে. একটি লেবেল দিয়ে নোড k স্থাপন এবং চিহ্নিত করা যাক। k=n হলে, একটি এন্ড-টু-এন্ড পাথ পাওয়া যায় এবং আমরা স্টেজে 5 এ যাই, অন্যথায় আমরা i=k সেট করি এবং স্টেজ 2 এ ফিরে যাই।
রোলব্যাক i=1 হলে, কোন এন্ড-টু-এন্ড পাথ সম্ভব নয়, এবং 6 এ যান। যদি, আমরা নোড i এর ঠিক আগের লেবেলযুক্ত নোডটি খুঁজে পাই এবং নোড r-এর সংলগ্ন নোডের সেট থেকে এটি সরিয়ে ফেলি। আমরা i=r সেট করি এবং স্টেজ 2 এ ফিরে যাই।
একটি অবশিষ্ট নেটওয়ার্কের সংজ্ঞা। আসুন আমরা নোডের সেট দ্বারা চিহ্নিত করি যার মাধ্যমে p_th সোর্স নোড (নোড 1) থেকে সিঙ্ক নোড (নোড n) পর্যন্ত এন্ড-টু-এন্ড পাথ খুঁজে পেয়েছিল তারপর এই পাথ বরাবর সর্বাধিক প্রবাহটি পাস করে
প্রান্ত থেকে শেষ পথ তৈরি করে এমন প্রান্তের অবশিষ্ট ক্ষমতা প্রবাহের দিক থেকে একটি পরিমাণে হ্রাস পায় এবং বিপরীত দিকে একই পরিমাণে বৃদ্ধি পায়।
যে. একটি প্রান্ত (i, j) একটি এন্ড-টু-এন্ড পাথের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য, বর্তমান অবশিষ্ট ক্ষমতা পরিবর্তিত হয়:
1) যদি প্রবাহটি নোড i থেকে j পর্যন্ত যায়,
2) যদি প্রবাহ নোড j থেকে i পর্যন্ত যায়।
ক) এম এন্ড-টু-এন্ড পাথ পাওয়া গেলে সর্বোচ্চ প্রবাহ প্রকাশ করা হয়
খ) প্রান্তের (i, j) প্রারম্ভিক এবং চূড়ান্ত ধারণক্ষমতার মান রেখে, আমরা নিম্নরূপ এই প্রান্তের মধ্য দিয়ে সর্বোত্তম প্রবাহ গণনা করতে পারি। এটা করা যাক. যদি >0, প্রান্তের মধ্য দিয়ে যাওয়া প্রবাহ (i, j) সমান। যদি >0 হয়, তাহলে প্রবাহ সমান। (যে ক্ষেত্রে >0 এবং >0 উভয়ই অসম্ভব)।
উদাহরণ 1. নেটওয়ার্ক চিত্রে সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজুন। 1
পুনরাবৃত্তি 1. =
3) k=3, যেহেতু। আমরা একটি লেবেল দিয়ে নোড 3 বরাদ্দ করি এবং চিহ্নিত করি। i=3 এবং 2 এ ফিরে যান)
5) k=5 এবং। আমরা একটি লেবেল দিয়ে নোড 5 চিহ্নিত করি। আমরা একটি মাধ্যমে পথ পেতে.
6) আমরা লেবেল দ্বারা এন্ড-টু-এন্ড পাথ নির্ধারণ করি, নোড 5 থেকে শুরু করে এবং নোড 1 দিয়ে শেষ হয়: এবং। আমরা পথ ধরে অবশিষ্ট ক্ষমতা গণনা করি:
পুনরাবৃত্তি 2।
1) এবং একটি লেবেল দিয়ে নোড 1 চিহ্নিত করুন। i=1
2") (তাই নোড 5 এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত নয়
3") k=4, এবং একটি লেবেল সহ নোড 4 চিহ্নিত করুন। i=4 এবং 2 এ ফিরে যান)
2""") (যেহেতু নোড 1 এবং 3 চিহ্নিত করা হয়েছে, সেগুলি অন্তর্ভুক্ত নয়)
3""") k=5 এবং। আমরা একটি লেবেল দিয়ে নোড 5 চিহ্নিত করি। একটি এন্ড-টু-এন্ড পাথ পাওয়া যায়। 5 এ যান)
পুনরাবৃত্তি 3.
1) এবং একটি লেবেল দিয়ে নোড 1 চিহ্নিত করুন। i=1
3) k=2, এবং একটি লেবেল সহ নোড 2 চিহ্নিত করুন। i=2 এবং 2 এ ফিরে যান)
3") k=3 এবং। একটি লেবেল সহ নোড 3 চিহ্নিত করুন। i=3 এবং 2 এ ফিরে যান)
2") (যেহেতু) 4 এ যান)
4) নোড 3 এর লেবেল পূর্ববর্তী নোডের সংখ্যা দেখায়। এই পুনরাবৃত্তিতে, নোড 3 ভবিষ্যতে বিবেচনা করা হয় না; এবং 2 এ ফিরে যান)
2""") (যেহেতু নোড 3 সম্ভাব্য প্রান্ত থেকে শেষ পথ থেকে সরানো হয়েছে)
3""") এবং। আমরা একটি লেবেল দিয়ে নোড 5 চিহ্নিত করি। একটি এন্ড-টু-এন্ড পাথ পাওয়া যায়। 5 এ যান)
5) i. আমরা পথ ধরে অবশিষ্ট ক্ষমতা গণনা করি:
পুনরাবৃত্তি 4. এই পুনরাবৃত্তি এ, সঙ্গে পাথ
পুনরাবৃত্তি 5. এই পুনরাবৃত্তি এ, সঙ্গে পাথ
পুনরাবৃত্তি 6: কোনও নতুন এন্ড-টু-এন্ড পাথ সম্ভব নয় কারণ নোড 1 থেকে উদ্ভূত সমস্ত প্রান্তের শূন্য অবশিষ্ট ক্ষমতা রয়েছে। সমাধান নির্ধারণ করতে 6) এ যান
6) নেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহের পরিমাণ ইউনিটের সমান।
বিভিন্ন প্রান্ত বরাবর প্রবাহ মান প্রাথমিক ক্ষমতা মান থেকে সর্বশেষ অবশিষ্ট ক্ষমতা মান বিয়োগ করে গণনা করা হয়।
গণনার ফলাফল: টেবিল। 1
|
প্রবাহ পরিমাণ |
অভিমুখ |
||
|
(20,0) - (0,20)=(20, - 20) |
|||
|
(30,0) - (0,30)=(30, - 30) |
|||
|
(10,0) - (0,10)=(10, - 10) |
|||
|
(40,0) - (40,0)=(0,0) |
|||
|
(30,0) - (10,20)=(20, - 20) |
|||
|
(10,5) - (0,15)=(10, - 10) |
|||
|
(20,0) - (0,20)=(20, - 20) |
|||
|
(20,0) - (0,20)=(20, - 20) |
সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদমের গ্রাফিকাল অনুক্রমিক সম্পাদন (উদাহরণ 1)
e) চ) কোন মাধ্যমে পাথ আছে
ভাত।
ট্রান্সপোর্ট সিস্টেমের প্রাথমিক তথ্য, উদাহরণস্বরূপ, ইন-প্লান্ট, চিত্রে দেখানো হয়েছে। 2, একটি টেবিল (সারণী 2) দ্বারাও নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।
টেবিল ২। সর্বাধিক প্রবাহ সমস্যার জন্য প্রাথমিক তথ্য
স্পষ্টতই, পরিবহন ব্যবস্থার সর্বোচ্চ ক্ষমতা 6-এর বেশি নয়, যেহেতু শুরুর বিন্দু 0 থেকে 6 ইউনিটের বেশি কার্গো পাঠানো যাবে না, যথা, পয়েন্ট 1 থেকে 2 ইউনিট, পয়েন্ট 2 থেকে 3 ইউনিট এবং পয়েন্ট 3 থেকে 1 ইউনিট। পরবর্তীতে, বিন্দু 0 ছেড়ে যাওয়ার 6 ইউনিটের সবকটিই চূড়ান্ত বিন্দুতে পৌঁছেছে তা নিশ্চিত করা প্রয়োজন। স্পষ্টতই, পয়েন্ট 1-এ পৌঁছে যাওয়া পণ্যসম্ভারের 2 ইউনিট সরাসরি পয়েন্ট 4-এ পাঠানো যেতে পারে। ভাগ করতে হবে: 2 ইউনিট অবিলম্বে বিন্দু 4, এবং 1 ইউনিট - মধ্যবর্তী পয়েন্ট 3 এ পাঠানো হয় (বিন্দু 2 এবং 4 এর মধ্যে বিভাগের সীমিত ক্ষমতার কারণে)। নিম্নলিখিত পণ্যসম্ভার বিন্দু 3-এ পৌঁছে দেওয়া হয়েছিল: বিন্দু 0 থেকে 1 ইউনিট এবং বিন্দু 3 থেকে 1 ইউনিট। আমরা তাদের বিন্দু 4-এ পাঠাই। সুতরাং, প্রশ্নে থাকা পরিবহন ব্যবস্থার সর্বাধিক থ্রুপুট হল 6 ইউনিট কার্গো। এই ক্ষেত্রে, পয়েন্ট 1 এবং 2 এর মধ্যে অভ্যন্তরীণ বিভাগ (শাখা) পাশাপাশি পয়েন্ট 1 এবং 3 এর মধ্যে ব্যবহার করা হয় না, পয়েন্ট 1 এবং 4 এর মধ্যে শাখাটি সম্পূর্ণরূপে লোড করা হয় না - এর সাথে 2 ইউনিট কার্গো পাঠানো হয়। 3 ইউনিটের একটি থ্রুপুট। সমাধানটি একটি টেবিল আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে (সারণী 3)
টেবিল 3। সর্বাধিক প্রবাহ সমস্যা সমাধান
|
প্রস্থান বিন্দু |
গন্তব্য |
পরিবহন পরিকল্পনা |
ব্যান্ডউইথ |
প্রবাহ সর্বাধিকীকরণের জন্য লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা।রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের ক্ষেত্রে সর্বাধিক প্রবাহের সমস্যাটি তৈরি করা যাক। K বিন্দু থেকে M বিন্দু পর্যন্ত পরিবহনের আয়তন X KM ধরা যাক। চিত্র অনুসারে। 2 K = 0,1,2,3, M = 1,2,3,4, এবং পরিবহন শুধুমাত্র একটি উচ্চ সংখ্যার বিন্দুতে সম্ভব। এর মানে হল X KM মোট 9টি ভেরিয়েবল রয়েছে, যথা, X 01, X 02, X 03, X 12, X 13, X 14, X 23, X 24, X 34৷ লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যাটি সর্বাধিক করার লক্ষ্যে প্রবাহের ফর্ম আছে:
X 01 + X 02 + X 03 = F (0)
X 01 + X 12 + X 13 + X 14 = 0 (1)
X 02 - X 12 + X 23 + X 24 = 0 (2)
X 03 - X 13 - X 23 + X 34 = 0 (3)
X 14 - X 24 - X 34 = - F (4)
X কিমি? 0, K, M = 0, 1, 2, 3, 4
এখানে F হল উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন, শর্ত (0) পরিবহন ব্যবস্থায় পণ্যের প্রবেশ বর্ণনা করে। শর্তাবলী (1) - (3) সিস্টেমের 1-3 নোডের জন্য ভারসাম্য সম্পর্ক সেট করুন। অন্য কথায়, প্রতিটি অভ্যন্তরীণ নোডের জন্য, পণ্যের আগত প্রবাহ বহির্গামী প্রবাহের সমান হয়; শর্ত (4) হল সিস্টেম থেকে লোডের "প্রস্থান" এর শর্ত। শর্ত (0) এর সাথে, এটি সামগ্রিকভাবে সিস্টেমের জন্য একটি ভারসাম্য সম্পর্ক গঠন করে ("ইনপুট" "আউটপুট" এর সমান)। নিম্নলিখিত নয়টি বৈষম্য পরিবহন ব্যবস্থার পৃথক "শাখার" ক্ষমতার উপর সীমাবদ্ধতা স্থাপন করে। তারপরে ট্র্যাফিক ভলিউমের অ-নেতিবাচকতা এবং উদ্দেশ্য ফাংশন নির্দেশিত হয়। এটা স্পষ্ট যে শেষ অসমতা উদ্দেশ্য ফাংশন (সম্পর্ক (0) বা (4)) এবং ট্র্যাফিক ভলিউমের অ-নেতিবাচকতার ফর্ম থেকে অনুসরণ করে। যাইহোক, শেষ অসমতা কিছু বহন করে সাধারণ জ্ঞাতব্য- হয় সিস্টেমের মধ্য দিয়ে পণ্যসম্ভারের একটি ইতিবাচক ভলিউম পাস করা যেতে পারে, বা শূন্য (উদাহরণস্বরূপ, যদি সিস্টেমের মধ্যে একটি বৃত্তে চলাচল থাকে), তবে নেতিবাচক নয় (এটি অর্থনৈতিক অর্থবোধ করে না, তবে আনুষ্ঠানিক গানিতিক প্রতিমাণএটি সম্পর্কে "জানে না")।
বিতরণ নেটওয়ার্কে পণ্যের যৌক্তিক বিতরণের পরিকল্পনা করার সময়, গ্রাহকদের চাহিদা এবং উত্পাদন প্ল্যান্টের ক্ষমতার সাথে চ্যানেলের ক্ষমতা সমন্বয় করা প্রয়োজন। এই শ্রেণীর সমস্যাগুলি সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজে বের করে সমাধান করা হয়।
আসুন একটি বিতরণ নেটওয়ার্ক (চিত্র 4.21) বিবেচনা করি, যেখানে পয়েন্ট 0 (প্রবেশদ্বার, উদাহরণস্বরূপ, প্রস্তুত পণ্যগুলির একটি প্রস্তুতকারকের গুদাম) এবং পৃ (প্রস্থান, বিতরণ কেন্দ্র, পাইকারি ও খুচরা সংস্থার গুদাম, ভোক্তা) এবং প্রতিটি আর্ক (সেগমেন্ট) সংযোগ বিন্দু i এবং জে, সংখ্যা dij > 0 যুক্ত, বলা হয় থ্রুপুট আর্কস থ্রুপুট মান সর্বাধিক চিহ্নিত করে অনুমোদিত পরিমাণউপাদান প্রবাহ যা প্রতি একক সময়ের অনুরূপ চাপ বরাবর যেতে পারে।
ভাত। 4.21।
থেকে একটি চাপ বরাবর ক্ষণস্থায়ী পণ্য পরিমাণ i আগে j , আমরা একে বলব আর্ক বরাবর একটি প্রবাহ ( i ,j ) এবং দ্বারা চিহ্নিত। এটা স্পষ্ট যে
যদি আমরা বিবেচনা করি যে নেটওয়ার্কের মধ্যবর্তী বিন্দুতে প্রবেশ করা সম্পূর্ণ উপাদান প্রবাহকে অবশ্যই এটি থেকে সম্পূর্ণরূপে প্রস্থান করতে হবে, আমরা পাই
আমাদের ইনপুট এবং আউটপুট এ প্রবাহের সমতার স্বাভাবিক প্রয়োজন থেকে
আমরা Z-এর মানকে নেটওয়ার্কে প্রবাহের মান বলব এবং উপরের শর্তগুলি সাপেক্ষে Z-কে সর্বাধিক করার সমস্যা তৈরি করব।
সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজে পাওয়া সর্বনিম্ন কাটার থ্রুপুট খোঁজার জন্য নেমে আসে।
ম্যাট্রিক্স আকারে একটি সর্বজনীন অনুসন্ধান অ্যালগরিদম বিবেচনা করা যাক।
অ্যালগরিদমের প্রাথমিক পর্যায়ে একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করা হয় ডি 0, যার মধ্যে থ্রুপুট মানগুলি প্রবেশ করা হয় (একটি অমুখী চাপের জন্য আমরা ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির প্রতিসম মানগুলি গ্রহণ করি)।
অ্যালগরিদমের প্রধান ধাপ হল একটি নির্দিষ্ট পথ খুঁজে বের করা এবং এই পথ ধরে প্রবাহ সংশোধন করা।
একটি পথ খুঁজে বের করার সময়, আমরা একটি চিহ্নিতকরণ প্রক্রিয়া ব্যবহার করি। আমরা চিহ্ন দিয়ে চিহ্নিত করি * ম্যাট্রিক্সের শূন্য সারি এবং কলাম (নেটওয়ার্ক ইনপুট)। 0 তম লাইনে আমরা খুঁজছি, সূচকগুলির সাথে সংশ্লিষ্ট কলামগুলি চিহ্নিত করুন
এবং কলাম লেবেলগুলিকে সারিতে নিয়ে যান। তারপরে আমরা ith চিহ্নিত সারিটি নিই, এটিতে একটি অচিহ্নিত কলাম সন্ধান করি যার সাথে আমরা সূচক লেবেলগুলি মেলে
আমরা কলামের লেবেলগুলিকে সারিগুলিতে স্থানান্তর করি এবং nম কলামটি চিহ্নিত না হওয়া পর্যন্ত এই প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যাই।
তারপর" পশ্চাদ্দিকে"সূচকগুলি ব্যবহার করে আমরা সেই পথটি খুঁজে পাই যা η-ম শীর্ষবিন্দুতে নিয়ে যায়, পথের আর্কগুলির ক্ষমতা (ম্যাট্রিক্স উপাদান) কমিয়ে দেয় ভি n এবং একই পরিমাণ দ্বারা প্রতিসম উপাদান বৃদ্ধি.
এই পদ্ধতি চিহ্নিত করা পর্যন্ত চলতে থাকে n -টপস অসম্ভব হয়ে উঠবে না।
মূল ম্যাট্রিক্স থেকে বিয়োগ করে সর্বোচ্চ ফ্লাক্স পাওয়া যাবে ডি 0, ক্ষমতা ম্যাট্রিক্সের উপরোক্ত সংশোধনের পরে প্রাপ্ত:
উদাহরণ 4.4
উৎপাদন মস্কোতে অবস্থিত। পণ্য বিতরণ করার জন্য, কোম্পানি মধ্যস্থতাকারীদের আকর্ষণ করে যারা বিভিন্ন স্তরে বিতরণ কেন্দ্রের মাধ্যমে কোম্পানির সাথে কাজ করে। রাশিয়ার ইউরোপীয় অংশে একটি পাইকারি এন্টারপ্রাইজ 1 আছে, একটি কেন্দ্রীয় বিতরণ কেন্দ্র দ্বারা পরিসেবা করা হয়। পাইকারি এন্টারপ্রাইজ 2 কাছাকাছি বিদেশে কাজ করে (ইউক্রেন, বেলারুশ) এবং একটি আঞ্চলিক বিতরণ কেন্দ্র দ্বারা পরিসেবা করা হয়। স্থানীয় বাজারে কোম্পানির নিজস্ব ক্লায়েন্ট রয়েছে (মস্কো এবং মস্কো অঞ্চল) - খুচরা বিক্রেতারা যারা শহরের বিতরণ কেন্দ্র থেকে পণ্য গ্রহণ করে। আঞ্চলিক এবং শহরের বিতরণ কেন্দ্রগুলি কেন্দ্রীয় বিতরণ কেন্দ্র থেকে পুনরুদ্ধার করা হয়।
আসুন বিতরণ নেটওয়ার্কের একটি অংশ হাইলাইট করি:
- একটি উত্পাদন এন্টারপ্রাইজের সমাপ্ত পণ্য গুদাম;
- কেন্দ্রীয় বিতরণ কেন্দ্র;
- আঞ্চলিক বিতরণ কেন্দ্র;
- শহরের বিতরণ কেন্দ্র;
- দুটি পাইকারি উদ্যোগ;
- কোম্পানির মালিকানাধীন খুচরা আউটলেট;
- ভোক্তাদের
ভাত। 4.22।
আসুন ডিস্ট্রিবিউশন নেটওয়ার্কের প্রতিটি লিঙ্ককে একটি সংখ্যার সাথে মনোনীত করি এবং আর্কসের উপরে ক্ষমতা রাখি। থ্রুপুট ক্ষমতা, লিঙ্কের ধরণের উপর নির্ভর করে, উৎপাদন ক্ষমতার পরিমাণ, ভোক্তাদের পরিকল্পিত প্রয়োজন (চাহিদা) এবং বাজার ক্ষমতার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে।
পণ্য বিতরণ নেটওয়ার্ক গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 4.23। আসুন একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করি ডি 0, যেটিতে আমরা ডিস্ট্রিবিউশন নেটওয়ার্ক লিঙ্কের থ্রুপুট ক্যাপাসিটির মান লিখি (চিত্র 4.24)।
ভাত। 4.23।
ভাত। 4.24।
শূন্য সারি থেকে আমরা শীর্ষবিন্দুগুলি (সারি-কলাম) 1, 2 এবং 3 চিহ্নিত করি সূচকগুলি μ = 0 এবং ভি, 30.10 এবং 10 এর সমান।
চিহ্নিত লাইন 1 থেকে, সূচকগুলি μ = 1 এবং V4 = মিনিট (30,15) = 15, V5 = মিনিট (30,10) = 10 সহ শীর্ষবিন্দু 4 এবং 5 চিহ্নিত করুন।
লাইন 3 থেকে আমরা শীর্ষবিন্দু 6 চিহ্নিত করি এবং অবশেষে, লাইন 4 – শীর্ষবিন্দু 7 (চিত্র 4.25) থেকে।
ভাত। 4.25।
μ বরাবর ফিরে যাওয়ার মাধ্যমে আমরা পথটি খুঁজে পাই: 4 থেকে শীর্ষবিন্দু 7, 1 থেকে শীর্ষবিন্দু 4, 0 থেকে শীর্ষবিন্দু 1; উপাদান সমন্বয় ডি 0 প্রতি প্রবাহ মান V7 = 15।
পরবর্তী ধাপে প্রবাহ 5 (চিত্র 4.26) সহ একটি পথ দেওয়া হয়েছে।
ভাত। 4.26।
পরবর্তী ধাপটি চিত্রে দেখানো ফলাফল দেয়। 4.27।
ভাত। 4.27।
আর কোন চিহ্নিত করা সম্ভব নয়। এখান থেকে আমরা সর্বাধিক প্রবাহ ম্যাট্রিক্স (চিত্র 4.28) পাই।
ভাত। 4.28।
নেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম প্রয়োগের ফলস্বরূপ, চিত্রে উপস্থাপিত ফলাফলগুলি। 4.29। গ্রাফের আর্কসে দেখানো বন্ধনীতে সংখ্যার জোড়া আর্কের সর্বোচ্চ থ্রুপুট এবং নেটওয়ার্কে সরবরাহকৃত পণ্যের প্রস্তাবিত ভলিউম নির্দেশ করে।
আর্কস ঘটনার মাধ্যমে প্রবাহের যোগফল v, আর্কস ঘটনার মধ্য দিয়ে প্রবাহের সমষ্টির সমান w; এই যোগফলকে ফ্লাক্স মান বলা হয়। আমরা প্রাথমিকভাবে এমন প্রবাহে আগ্রহী হব যার সম্ভাব্য সর্বাধিক মান রয়েছে - তথাকথিত সর্বাধিক প্রবাহ। ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেএকটি নেটওয়ার্কের বিভিন্ন সর্বাধিক প্রবাহ থাকতে পারে তবে তাদের মান অবশ্যই একই হতে হবে। (4)
একটি নেটওয়ার্ক N = (V,D,a) মাধ্যমে সর্বাধিক প্রবাহের অধ্যয়ন একটি কাট ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যেমন এই ধরনের একটি সেট A ডিগ্রাফের আর্কসের যে কোনো সাধারণ চেইন এর সম্পত্তি আছে vভি A এর অন্তর্গত চাপের মধ্য দিয়ে যায়। একটি কাটার ধারণক্ষমতা হল এর অন্তর্গত চাপের ধারণক্ষমতার সমষ্টি। যে কাটগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্য থ্রুপুট রয়েছে তাকে ন্যূনতম কাট বলে।
যে কোনো প্রবাহের মাত্রা কোনো কাটের থ্রুপুট ক্ষমতাকে অতিক্রম করে না, এবং তাই, কোনো সর্বোচ্চ প্রবাহের মাত্রা কোনো ন্যূনতম কাটার থ্রুপুটকে অতিক্রম করে না। তবে তাৎক্ষণিকভাবে তা স্পষ্ট নয় যে দুজন শেষ সংখ্যাসবসময় একে অপরের সমান; এই ফলাফলটি 1955 সালে আমেরিকান গণিতবিদ ফোর্ড এবং ফুলকারসন দ্বারা প্রাপ্ত হয়েছিল এবং সর্বাধিক প্রবাহ এবং সর্বনিম্ন কাটা উপপাদ্য বলা হয়েছিল।
উপপাদ্য (সর্বোচ্চ প্রবাহ এবং সর্বনিম্ন কাটা সম্পর্কে). যেকোনো নেটওয়ার্কে, যেকোনো সর্বোচ্চ প্রবাহের আকার যেকোনো ন্যূনতম কাটার ক্ষমতার সমান।
সর্বাধিক প্রবাহ এবং সর্বনিম্ন কাট উপপাদ্য আপনাকে একটি প্রদত্ত প্রবাহ সর্বাধিক কিনা তা পরীক্ষা করতে দেয়, তবে কেবলমাত্র মোটামুটি সাধারণ নেটওয়ার্কগুলির জন্য। অবশ্যই, অনুশীলনে আমাদের বড় এবং জটিল নেটওয়ার্কগুলির সাথে মোকাবিলা করতে হবে এবং সাধারণভাবে সহজ নির্বাচনের মাধ্যমে সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজে পাওয়া কঠিন। পূর্ণসংখ্যা থ্রুপুট সহ যেকোনো নেটওয়ার্কে সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজে বের করার জন্য একটি অ্যালগরিদম বর্ণনা করা যাক।
ধাপ 1. প্রথমে, চলুন এমন একটি ফ্লো নির্বাচন করি যার একটি অ-শূন্য মান আছে (যদি এই ধরনের প্রবাহ বিদ্যমান থাকে)। উদাহরণস্বরূপ, যদি N হল চিত্রে দেখানো নেটওয়ার্ক। 29.3, তারপর চিত্রে দেখানো প্রবাহ। 29.4। এটি লক্ষণীয় যে আমরা যে প্রাথমিক প্রবাহটি বেছে নিয়েছি তার মান যত বড় হবে, পরবর্তী পদক্ষেপগুলি তত সহজ হবে।
ধাপ ২. N-এর উপর ভিত্তি করে, আমরা প্রবাহের দিকটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করে একটি নতুন নেটওয়ার্ক N’ তৈরি করি। আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, যে কোনো চাপ a যার জন্য (a) = 0 তার মূল ক্ষমতা সহ N'-এ থাকে এবং যে কোনো চাপ a যার জন্য ধারণক্ষমতা সহ একটি চাপ a এবং ক্ষমতা (a) সহ একটি বিপরীত চাপ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। আমাদের উদাহরণে নেটওয়ার্ক N' চিত্রে দেখানো হয়েছে। 29.5। ভার্টেক্স vএটি আর একটি উৎস নয়, কিন্তু একটি ডোবা৷
ধাপ 3. নেটওয়ার্ক N’-এ থাকলে আমরা থেকে একটি অ-শূন্য প্রবাহ খুঁজে পেতে পারি v c, তারপর এটি মূল প্রবাহে যোগ করা যেতে পারে এবং N এ একটি বড় মানের একটি নতুন প্রবাহ পেতে পারে। এখন আপনি নেটওয়ার্ক নির্মাণের সময় N'-এর পরিবর্তে নতুন থ্রেড N' ব্যবহার করে ধাপ 2 পুনরাবৃত্তি করতে পারেন। এই পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করার মাধ্যমে, আমরা অবশেষে একটি নেটওয়ার্ক N'-এ পৌঁছাব যেখানে কোন অ-শূন্য প্রবাহ নেই; তাহলে সংশ্লিষ্ট প্রবাহ হবে সর্বোচ্চ প্রবাহ। উদাহরণস্বরূপ, চিত্রে। 29.5 একটি অ-শূন্য প্রবাহ রয়েছে যেখানে আর্কসের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হয় ( v,u), (u,z), (z, x), (x,y) এবং ( y,) একের সমান, এবং অবশিষ্ট আর্কগুলির মধ্য দিয়ে প্রবাহগুলি শূন্যের সমান। চিত্রে এই প্রবাহটিকে প্রবাহে যুক্ত করা হচ্ছে। 29.4, আমরা চিত্রে দেখানো প্রবাহটি পাই। 29.6; ধাপ 2 পুনরাবৃত্তি করে, এটি দেখানো সহজ যে এটি সর্বাধিক প্রবাহ।
ব্যবহৃত বই:
(1) http://pgap.chat.ru/zap/zap264.htm#0
(2) আসানভ M.O., Baransky V.A., Rasin V.V. বিচ্ছিন্ন গণিত: ম্যাট্রয়েড গ্রাফ, অ্যালগরিদম
(3) বাসাকার আর., সাটি টি. সীমাবদ্ধ গ্রাফ এবং নেটওয়ার্ক।
(4) উইলসন আর. গ্রাফ তত্ত্বের ভূমিকা
