বাড়ি অর্থোপেডিকস সবকিছু সঠিক পিরামিডে আছে। পিরামিড এবং এর উপাদান

অর্থোপেডিকস

সবকিছু সঠিক পিরামিডে আছে। পিরামিড এবং এর উপাদান

এই ভিডিও টিউটোরিয়াল ব্যবহারকারীদের পিরামিড থিম সম্পর্কে ধারণা পেতে সাহায্য করবে। সঠিক পিরামিড। এই পাঠে আমরা পিরামিডের ধারণার সাথে পরিচিত হব এবং এর একটি সংজ্ঞা দেব। আসুন একটি নিয়মিত পিরামিড কী এবং এর কী বৈশিষ্ট্য রয়েছে তা বিবেচনা করা যাক। তারপরে আমরা একটি নিয়মিত পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ সম্পর্কে উপপাদ্য প্রমাণ করি।

এই পাঠে আমরা পিরামিডের ধারণার সাথে পরিচিত হব এবং এর একটি সংজ্ঞা দেব।

একটি বহুভুজ বিবেচনা করুন ক 1 ক 2...একটি, যা α সমতল এবং বিন্দুতে অবস্থিত পৃ, যা α সমতলে থাকে না (চিত্র 1)। এর বিন্দু সংযোগ করা যাক পৃচূড়া সহ A 1, A 2, A 3, … একটি. আমরা পেতে nত্রিভুজ: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rএবং তাই

সংজ্ঞা. পলিহেড্রন RA 1 A 2 ...A n, গঠিত n-বর্গক্ষেত্র ক 1 ক 2...একটিএবং nত্রিভুজ RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 বলা হয় n- কয়লা পিরামিড। ভাত। 1.

ভাত। 1

একটি চতুর্ভুজাকার পিরামিড বিবেচনা করুন PABCD(চিত্র 2)।

আর- পিরামিডের শীর্ষে।

এ বি সি ডি- পিরামিডের ভিত্তি।

রা- পাশের পাঁজর।

এবি- ভিত্তি পাঁজর।

বিন্দু থেকে আরএর লম্ব ড্রপ করা যাক আরএনবেস সমতলে এ বি সি ডি. অঙ্কিত লম্ব হল পিরামিডের উচ্চতা।

ভাত। 2

পিরামিডের পুরো পৃষ্ঠটি পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ, অর্থাৎ সমস্ত পার্শ্বীয় মুখের ক্ষেত্রফল এবং ভিত্তির ক্ষেত্রফল নিয়ে গঠিত:

S পূর্ণ = S পার্শ্ব + S প্রধান

একটি পিরামিডকে সঠিক বলা হয় যদি:

এর ভিত্তি একটি নিয়মিত বহুভুজ;
পিরামিডের উপরের অংশটিকে ভিত্তির কেন্দ্রের সাথে সংযুক্ত করে তার উচ্চতা।

একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের উদাহরণ ব্যবহার করে ব্যাখ্যা

একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিড বিবেচনা করুন PABCD(চিত্র 3)।

আর- পিরামিডের শীর্ষে। পিরামিডের ভিত্তি এ বি সি ডি- একটি নিয়মিত চতুর্ভুজ, অর্থাৎ একটি বর্গক্ষেত্র। ডট সম্পর্কিত, কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু, বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্র। মানে, ROপিরামিডের উচ্চতা।

ভাত। 3

ব্যাখ্যা: সঠিকভাবে nএকটি ত্রিভুজে, খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের কেন্দ্র একত্রিত হয়। এই কেন্দ্রটিকে বহুভুজের কেন্দ্র বলা হয়। কখনও কখনও তারা বলে যে শীর্ষবিন্দুটি কেন্দ্রে অভিক্ষিপ্ত হয়।

তার শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা একটি নিয়মিত পিরামিডের পার্শ্বীয় মুখের উচ্চতা বলা হয় apothemএবং মনোনীত করা হয় জ ক.

1. একটি নিয়মিত পিরামিডের সমস্ত পার্শ্বীয় প্রান্ত সমান;

2. পাশের মুখগুলি সমান সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

আমরা একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের উদাহরণ ব্যবহার করে এই বৈশিষ্ট্যগুলির একটি প্রমাণ দেব।

দেওয়া: PABCD- নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিড,

এ বি সি ডি- বর্গক্ষেত্র,

RO- পিরামিডের উচ্চতা।

প্রমাণ করুন:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP চিত্র দেখুন। 4.

ভাত। 4

প্রমাণ.

RO- পিরামিডের উচ্চতা। অর্থাৎ সোজা ROসমতলে লম্ব এবিসি, এবং তাই সরাসরি JSC, VO, SOএবং DOএটা শুয়ে আছে. তাই ত্রিভুজ ROA, ROV, ROS, ROD- আয়তক্ষেত্রাকার.

একটি বর্গক্ষেত্র বিবেচনা করুন এ বি সি ডি. একটি বর্গক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য থেকে এটি অনুসরণ করে AO = VO = CO = DO.

তারপর সমকোণী ত্রিভুজ ROA, ROV, ROS, RODপা RO- সাধারণ এবং পা JSC, VO, SOএবং DOসমান, যার মানে এই ত্রিভুজ দুটি বাহুর সমান। ত্রিভুজগুলির সমতা থেকে বিভাগগুলির সমতা অনুসরণ করে, RA = PB = RS = PD.পয়েন্ট 1 প্রমাণিত হয়েছে।

সেগমেন্ট এবিএবং সূর্যসমান কারণ তারা একই বর্গক্ষেত্রের বাহু, RA = PB = RS. তাই ত্রিভুজ এভিআরএবং ভিএসআর -সমদ্বিবাহু এবং তিন দিকে সমান।

একইভাবে আমরা সেই ত্রিভুজগুলি খুঁজে পাই ABP, VCP, CDP, DAPসমদ্বিবাহু এবং সমান, অনুচ্ছেদ 2 এ প্রমাণ করা প্রয়োজন।

একটি নিয়মিত পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বেস এবং অ্যাপোথেমের পরিধির অর্ধেক গুণফলের সমান:

এটি প্রমাণ করতে, আসুন একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিড বেছে নেওয়া যাক।

দেওয়া: RAVS- নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিড।

AB = BC = AC.

RO- উচ্চতা।

প্রমাণ করুন: . চিত্র দেখুন। 5.

ভাত। 5

প্রমাণ।

RAVS- নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিড। এটাই এবি= AC = BC. দিন সম্পর্কিত- ত্রিভুজের কেন্দ্র এবিসি, তারপর ROপিরামিডের উচ্চতা। পিরামিডের গোড়ায় একটি সমবাহু ত্রিভুজ রয়েছে এবিসি. লক্ষ্য করুন .

ত্রিভুজ RAV, RVS, RSA- সমান সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (সম্পত্তি দ্বারা)। একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের তিনটি মুখ রয়েছে: RAV, RVS, RSA. এর অর্থ হল পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল:

S side = 3S RAW

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের গোড়ায় খোদাই করা একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 মিটার, পিরামিডের উচ্চতা 4 মিটার। পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

দেওয়া: নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিড এ বি সি ডি,

এ বি সি ডি- বর্গক্ষেত্র,

r= 3 মি,

RO- পিরামিডের উচ্চতা,

RO= 4 মি.

অনুসন্ধান: এস পাশ। চিত্র দেখুন। 6.

ভাত। 6

সমাধান.

প্রমাণিত উপপাদ্য অনুযায়ী, .

প্রথমে বেসের দিকটি খুঁজে বের করা যাক এবি. আমরা জানি যে একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের গোড়ায় খোদিত একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 মিটার।

তারপর, মি.

বর্গক্ষেত্রের পরিধি নির্ণয় কর এ বি সি ডি 6 মিটারের পাশে:

একটি ত্রিভুজ বিবেচনা করুন বিসিডি. দিন এম- পাশের মাঝখানে ডিসি. কারণ সম্পর্কিত- মাঝখানে বিডি, যে (মি)

ত্রিভুজ ডিপিসি- সমদ্বিবাহু। এম- মাঝখানে ডিসি. এটাই, আরএম- মধ্যমা, এবং তাই ত্রিভুজের উচ্চতা ডিপিসি. তারপর আরএম- পিরামিড এর apothem.

RO- পিরামিডের উচ্চতা। তারপর, সোজা ROসমতলে লম্ব এবিসি, এবং তাই সরাসরি ওম, এটা শুয়ে. আসুন apothem খুঁজে বের করা যাক আরএমএকটি সমকোণী ত্রিভুজ থেকে রম.

এখন আমরা পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ খুঁজে পেতে পারি:

উত্তর: 60 m2।

একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের গোড়ার চারপাশে ঘেরা বৃত্তের ব্যাসার্ধ m এর সমান। পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল 18 m 2। এপোথেমের দৈর্ঘ্য খুঁজুন।

দেওয়া: এবিসিপি- নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিড,

AB = BC = SA,

আর= মি,

S পাশ = 18 m2।

অনুসন্ধান: চিত্র দেখুন। 7.

ভাত। 7

সমাধান.

সমকোণী ত্রিভুজে এবিসিপরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ দেওয়া আছে। আসুন একটি দিক খুঁজে বের করা যাক এবিসাইনের নিয়ম ব্যবহার করে এই ত্রিভুজ।

একটি নিয়মিত ত্রিভুজ (m) এর দিক জেনে আমরা এর পরিধি খুঁজে পাই।

উপপাদ্য দ্বারা একটি নিয়মিত পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, যেখানে জ ক- পিরামিড এর apothem. তারপর:

উত্তর: 4 মি.

সুতরাং, আমরা একটি পিরামিড কি, একটি নিয়মিত পিরামিড কি তা দেখেছি এবং আমরা একটি নিয়মিত পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ সম্পর্কে উপপাদ্য প্রমাণ করেছি। পরবর্তী পাঠে আমরা ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের সাথে পরিচিত হব।

গ্রন্থপঞ্জি

জ্যামিতি. গ্রেড 10-11: শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক শিক্ষা প্রতিষ্ঠান(মৌলিক এবং প্রোফাইল স্তর) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ম সংস্করণ। এবং অতিরিক্ত - এম.: মেমোসিন, 2008। - 288 পি।: অসুস্থ।
জ্যামিতি. 10-11 গ্রেড: সাধারণ শিক্ষার জন্য পাঠ্যপুস্তক শিক্ষা প্রতিষ্ঠান/ শারিগিন আই.এফ. - এম.: বাস্টার্ড, 1999। - 208 পি.: অসুস্থ।
জ্যামিতি. গ্রেড 10: সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের জন্য পাঠ্যপুস্তক যা গণিতের গভীর ও বিশেষায়িত অধ্যয়ন/ই। ভি. পোটোস্কুয়েভ, এল. আই. জভালিচ। - ৬ষ্ঠ সংস্করণ, স্টেরিওটাইপ। - এম.: বাস্টার্ড, 008. - 233 পি.: অসুস্থ।

ইন্টারনেট পোর্টাল "ইয়াক্লাস" ()
ইন্টারনেট পোর্টাল "শিক্ষাগত ধারণার উত্সব" সেপ্টেম্বরের প্রথম" ()
ইন্টারনেট পোর্টাল "Slideshare.net" ()

বাড়ির কাজ

একটি নিয়মিত বহুভুজ কি একটি অনিয়মিত পিরামিডের ভিত্তি হতে পারে?
প্রমাণ করুন যে একটি নিয়মিত পিরামিডের বিচ্ছিন্ন প্রান্তগুলি লম্ব।
একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের গোড়ার পাশের ডাইহেড্রাল কোণের মান নির্ণয় করুন যদি পিরামিডের এপোথেম তার ভিত্তির পাশের সমান হয়।
RAVS- নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিড। পিরামিডের গোড়ায় ডিহেড্রাল কোণের রৈখিক কোণ তৈরি করুন।

আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। আমাদের গোপনীয়তা অনুশীলন পর্যালোচনা করুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।

ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার

ব্যক্তিগত তথ্য এমন ডেটা বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।

আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।

আমরা ব্যক্তিগত কোন তথ্য সংগ্রহ করব:

আপনি যখন সাইটে একটি আবেদন জমা দেন, আমরা আপনার নাম, টেলিফোন নম্বর, ঠিকানা সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি ইমেইলইত্যাদি

আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:

আমাদের দ্বারা সংগৃহীত ব্যক্তিগত তথ্যআমাদের আপনার সাথে যোগাযোগ করতে এবং অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্ট সম্পর্কে আপনাকে অবহিত করার অনুমতি দেয়।
সময়ে সময়ে, আমরা গুরুত্বপূর্ণ নোটিশ এবং যোগাযোগ পাঠাতে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি।
আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে যেমন অডিটিং, ডেটা বিশ্লেষণ এবং ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি বিভিন্ন গবেষণাআমরা যে পরিষেবাগুলি প্রদান করি তা উন্নত করার জন্য এবং আমাদের পরিষেবাগুলির বিষয়ে আপনাকে সুপারিশগুলি প্রদান করি৷
আপনি যদি একটি পুরস্কার ড্র, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রচারে অংশগ্রহণ করেন, তাহলে আমরা এই ধরনের প্রোগ্রাম পরিচালনা করতে আপনার দেওয়া তথ্য ব্যবহার করতে পারি।

তৃতীয় পক্ষের কাছে তথ্য প্রকাশ

আমরা আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ করি না।

ব্যতিক্রম:

প্রয়োজনে - আইন অনুযায়ী, বিচারিক পদ্ধতি, আইনি প্রক্রিয়া এবং/অথবা জনসাধারণের অনুরোধ বা অনুরোধের ভিত্তিতে সরকারী সংস্থারাশিয়ান ফেডারেশনের অঞ্চলে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করুন। আমরা আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি যদি আমরা নির্ধারণ করি যে এই ধরনের প্রকাশ নিরাপত্তা, আইন প্রয়োগকারী বা অন্যান্য জনস্বাস্থ্যের উদ্দেশ্যে প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত। গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে.
পুনর্গঠন, একত্রীকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা প্রযোজ্য উত্তরসূরি তৃতীয় পক্ষের কাছে হস্তান্তর করতে পারি।

ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা

আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে।

কোম্পানি পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তা সম্মান

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত আছে তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং সুরক্ষা মানগুলি যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলনগুলি কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।

এখানে আপনি পিরামিড এবং সম্পর্কিত সূত্র এবং ধারণা সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য পেতে পারেন। ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য তাদের সকলকে গণিতের শিক্ষকের সাথে অধ্যয়ন করা হয়।

একটি সমতল, একটি বহুভুজ বিবেচনা করুন , এটিতে শুয়ে আছে এবং একটি বিন্দু S, এতে শুয়ে নেই। এস কে বহুভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করি। ফলে পলিহেড্রনকে পিরামিড বলা হয়। অংশগুলিকে পার্শ্ব পাঁজর বলা হয়। বহুভুজকে ভিত্তি বলা হয় এবং বিন্দু S হল পিরামিডের শীর্ষ। n সংখ্যার উপর নির্ভর করে, পিরামিডকে ত্রিভুজাকার (n=3), চতুর্ভুজাকার (n=4), পঞ্চভুজ (n=5) ইত্যাদি বলা হয়। একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের একটি বিকল্প নাম টেট্রাহেড্রন. পিরামিডের উচ্চতা হল তার উপর থেকে ভিত্তির সমতলে অবতরণ করা লম্ব।

একটি পিরামিড নিয়মিত যদি বলা হয় একটি নিয়মিত বহুভুজ, এবং পিরামিডের উচ্চতার ভিত্তি (লম্বের ভিত্তি) হল এর কেন্দ্র।

শিক্ষকের মন্তব্য:
"নিয়মিত পিরামিড" এবং "নিয়মিত টেট্রাহেড্রন" এর ধারণাগুলিকে বিভ্রান্ত করবেন না। একটি নিয়মিত পিরামিডে, পাশের প্রান্তগুলি অগত্যা বেসের প্রান্তের সমান হয় না, তবে একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনে, সমস্ত 6টি প্রান্ত সমান। এটাই তার সংজ্ঞা। এটা প্রমাণ করা সহজ যে সমতা বোঝায় যে বহুভুজের কেন্দ্র P মিলে যায় একটি বেস উচ্চতা সহ, তাই একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রন একটি নিয়মিত পিরামিড।

একটি apothem কি?
পিরামিডের apothem হল এর পাশের মুখের উচ্চতা। যদি পিরামিড নিয়মিত হয়, তাহলে এর সমস্ত অপোথেম সমান। বিপরীত সত্য নয়।

তার পরিভাষা সম্পর্কে একজন গণিতের শিক্ষক: পিরামিডের সাথে 80% কাজ দুটি ধরণের ত্রিভুজের মাধ্যমে নির্মিত হয়:
1) apothem SK এবং উচ্চতা SP ধারণকারী
2) পার্শ্বীয় প্রান্ত SA এবং এর অভিক্ষেপ PA ধারণ করে

এই ত্রিভুজগুলির রেফারেন্সগুলি সরল করার জন্য, গণিতের শিক্ষকের পক্ষে তাদের প্রথমটিকে কল করা আরও সুবিধাজনক। apothemal, এবং দ্বিতীয় ব্যয়বহুল. দুর্ভাগ্যবশত, আপনি কোনো পাঠ্যপুস্তকে এই পরিভাষাটি পাবেন না এবং শিক্ষককে এটি একতরফাভাবে প্রবর্তন করতে হবে।

পিরামিডের আয়তনের সূত্র:
1) , পিরামিডের ভিত্তির ক্ষেত্রফল কোথায় এবং পিরামিডের উচ্চতা কোথায়
2) , খোদাই করা গোলকের ব্যাসার্ধ কোথায় এবং পিরামিডের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল।
3) , যেখানে MN হল যেকোনো দুটি ক্রসিং প্রান্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব এবং চারটি অবশিষ্ট প্রান্তের মধ্যবিন্দু দ্বারা গঠিত সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল।

পিরামিডের উচ্চতার ভিত্তির বৈশিষ্ট্য:

বিন্দু P (চিত্র দেখুন) পিরামিডের গোড়ায় খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায় যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে একটি পূরণ করা হয়:
1) সমস্ত apothems সমান
2) সমস্ত পাশের মুখগুলি সমানভাবে বেসের দিকে ঝুঁকে আছে
3) সমস্ত অ্যাপোথেম পিরামিডের উচ্চতায় সমানভাবে ঝুঁকে আছে
4) পিরামিডের উচ্চতা সব দিকের মুখের দিকে সমানভাবে ঝুঁকে আছে

গণিত শিক্ষকের মন্তব্য: দয়া করে মনে রাখবেন যে সমস্ত পয়েন্টগুলি একটি সাধারণ সম্পত্তি দ্বারা একত্রিত হয়: এক উপায় বা অন্য, পার্শ্বীয় মুখগুলি সর্বত্র জড়িত (অ্যাপোথেমগুলি তাদের উপাদান)। অতএব, গৃহশিক্ষক একটি কম সুনির্দিষ্ট, কিন্তু শেখার জন্য আরও সুবিধাজনক, সূত্র দিতে পারেন: বিন্দু P খোদাই করা বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়, পিরামিডের ভিত্তি, যদি এর পার্শ্বীয় মুখগুলি সম্পর্কে কোনও সমান তথ্য থাকে। এটি প্রমাণ করার জন্য, এটি দেখানো যথেষ্ট যে সমস্ত apothem ত্রিভুজ সমান।

বিন্দু P পিরামিডের গোড়ার কাছাকাছি একটি বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায় যদি তিনটি শর্তের মধ্যে একটি সত্য হয়:
1) সমস্ত পাশের প্রান্ত সমান
2) সমস্ত পাশের পাঁজর সমানভাবে বেসের দিকে ঝুঁকে আছে
3) সমস্ত পাশের পাঁজর সমানভাবে উচ্চতার দিকে ঝুঁকে আছে

পিরামিড হল একটি পলিহেড্রন যার ভিত্তি একটি বহুভুজ। সমস্ত মুখ, ঘুরে, ত্রিভুজ গঠন করে যা এক শীর্ষে একত্রিত হয়। পিরামিডগুলো ত্রিভুজাকার, চতুর্ভুজাকার ইত্যাদি। কোন পিরামিডটি আপনার সামনে রয়েছে তা নির্ধারণ করার জন্য, এটির বেসে কোণের সংখ্যা গণনা করা যথেষ্ট। "পিরামিডের উচ্চতা" এর সংজ্ঞাটি প্রায়শই জ্যামিতি সমস্যাগুলিতে পাওয়া যায় স্কুলের পাঠ্যক্রম. এই নিবন্ধে আমরা বিবেচনা করার চেষ্টা করবে ভিন্ন পথতার অবস্থান।

পিরামিডের অংশ

প্রতিটি পিরামিড নিম্নলিখিত উপাদান নিয়ে গঠিত:

পাশের মুখগুলি, যার তিনটি কোণ রয়েছে এবং শীর্ষে একত্রিত হয়;
apothem তার শীর্ষ থেকে নেমে আসা উচ্চতা প্রতিনিধিত্ব করে;
পিরামিডের শীর্ষটি একটি বিন্দু যা পাশের পাঁজরগুলিকে সংযুক্ত করে, তবে বেসের সমতলে থাকে না;
ভিত্তি হল একটি বহুভুজ যার উপর শীর্ষবিন্দুটি থাকে না;
একটি পিরামিডের উচ্চতা একটি অংশ যা পিরামিডের শীর্ষকে ছেদ করে এবং এর ভিত্তির সাথে একটি সমকোণ গঠন করে।

পিরামিডের আয়তন জানা থাকলে তার উচ্চতা কিভাবে বের করা যায়

সূত্র V = (S*h)/3 (সূত্রে V হল আয়তন, S হল বেসের ক্ষেত্রফল, h হল পিরামিডের উচ্চতা) আমরা দেখতে পাই যে h = (3*V)/ এস. উপাদান একত্রিত করতে, এর অবিলম্বে সমস্যা সমাধান করা যাক। ত্রিভুজাকার ভিত্তি হল 50 সেমি 2, যেখানে এর আয়তন হল 125 সেমি 3। ত্রিভুজাকার পিরামিডের উচ্চতা অজানা, যা আমাদের খুঁজে বের করতে হবে। এখানে সবকিছু সহজ: আমরা আমাদের সূত্রে ডেটা সন্নিবেশ করি। আমরা h = (3*125)/50 = 7.5 সেমি পাই।

তির্যকটির দৈর্ঘ্য এবং এর প্রান্তগুলি জানা থাকলে কীভাবে একটি পিরামিডের উচ্চতা খুঁজে পাওয়া যায়

আমাদের মনে আছে, পিরামিডের উচ্চতা তার ভিত্তির সাথে একটি সমকোণ গঠন করে। এর মানে হল যে উচ্চতা, প্রান্ত এবং তির্যকের অর্ধেক একসাথে গঠন করে অনেক, অবশ্যই, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য মনে রাখবেন। দুটি মাত্রা জানা, তৃতীয় পরিমাণ খুঁজে পাওয়া কঠিন হবে না। আসুন আমরা সুপরিচিত উপপাদ্য a² = b² + c² স্মরণ করি, যেখানে a হল কর্ণ, এবং আমাদের ক্ষেত্রে পিরামিডের প্রান্ত; b - কর্ণের প্রথম পা বা অর্ধেক এবং c - যথাক্রমে, দ্বিতীয় পা বা পিরামিডের উচ্চতা। এই সূত্র থেকে c² = a² - b²।

এখন সমস্যা: একটি নিয়মিত পিরামিডে তির্যক 20 সেমি, যখন প্রান্তের দৈর্ঘ্য 30 সেমি। আপনাকে উচ্চতা খুঁজে বের করতে হবে। আমরা সমাধান করি: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500। তাই c = √ 500 = প্রায় 22.4।

একটি ছাঁটা পিরামিডের উচ্চতা কিভাবে খুঁজে বের করা যায়

এটি একটি বহুভুজ যার ভিত্তিটির সমান্তরাল ক্রস বিভাগ রয়েছে। একটি ছোট পিরামিডের উচ্চতা হল সেগমেন্ট যা এর দুটি বেসকে সংযুক্ত করে। একটি নিয়মিত পিরামিডের জন্য উচ্চতা পাওয়া যাবে যদি উভয় ঘাঁটির কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং সেইসাথে পিরামিডের প্রান্ত জানা থাকে। বৃহত্তর ভিত্তির কর্ণ d1 হোক, ছোট বেসের কর্ণ হল d2, এবং প্রান্তটির দৈর্ঘ্য l। উচ্চতা খুঁজে বের করতে, আপনি ডায়াগ্রামের দুটি উপরের বিপরীত বিন্দু থেকে এর বেস পর্যন্ত উচ্চতা কমাতে পারেন। আমরা দেখতে যে আমরা দুটি আছে সঠিক ত্রিভুজ, এটা তাদের পায়ের দৈর্ঘ্য খুঁজে অবশেষ. এটি করার জন্য, বৃহত্তর তির্যক থেকে ছোটটিকে বিয়োগ করুন এবং 2 দ্বারা ভাগ করুন। তাহলে আমরা একটি পা পাব: a = (d1-d2)/2। এর পরে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের যা করতে হবে তা হল দ্বিতীয় পা খুঁজে বের করা, যা পিরামিডের উচ্চতা।

এখন চলুন এই পুরো বিষয়টিকে অনুশীলনে দেখা যাক। আমাদের সামনে একটা কাজ আছে। একটি ছোট পিরামিডের গোড়ায় একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে, বড় বেসের তির্যক দৈর্ঘ্য 10 সেমি, যখন ছোটটি 6 সেমি, এবং প্রান্তটি 4 সেমি। আপনাকে উচ্চতা খুঁজে বের করতে হবে। প্রথমত, আমরা একটি পা খুঁজে পাই: a = (10-6)/2 = 2 সেমি। একটি পা 2 সেমি সমান, এবং কর্ণ 4 সেমি। দেখা যাচ্ছে যে দ্বিতীয় পা বা উচ্চতা 16- এর সমান হবে। 4 = 12, অর্থাৎ h = √12 = প্রায় 3.5 সেমি।

একটি ত্রিমাত্রিক চিত্র যা প্রায়শই জ্যামিতিক সমস্যায় প্রদর্শিত হয় তা হল পিরামিড। এই শ্রেণীর সমস্ত পরিসংখ্যানের মধ্যে সবচেয়ে সরল হল ত্রিভুজাকার। এই নিবন্ধে আমরা বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব মৌলিক সূত্র এবং সঠিক বৈশিষ্ট্য

চিত্র সম্পর্কে জ্যামিতিক ধারণা

একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করার আগে, আসুন আমরা কী ধরণের চিত্রের কথা বলছি তা আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক।

ধরুন একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ আছে ত্রিমাত্রিক স্থান. আসুন আমরা এই স্থানের যেকোন বিন্দু নির্বাচন করি যা ত্রিভুজের সমতলে থাকে না এবং এটিকে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করি। আমরা একটি ত্রিভুজাকার পিরামিড পেয়েছি।

এটি 4টি বাহু নিয়ে গঠিত, যার সবকটিই ত্রিভুজ। যে বিন্দুতে তিনটি মুখ মিলিত হয় তাকে শীর্ষবিন্দু বলে। চিত্রটিতে তাদের চারটিও রয়েছে। দুটি মুখের ছেদ করার রেখাগুলি প্রান্ত। প্রশ্নে থাকা পিরামিডটির 6টি প্রান্ত রয়েছে৷ নীচের চিত্রটি এই চিত্রটির একটি উদাহরণ দেখায়৷

যেহেতু চিত্রটি চারটি বাহু দ্বারা গঠিত তাই একে টেট্রাহেড্রনও বলা হয়।

সঠিক পিরামিড

উপরে আমরা একটি ত্রিভুজাকার বেস সহ একটি নির্বিচারে চিত্র বিবেচনা করেছি। এখন ধরুন আমরা পিরামিডের উপর থেকে তার ভিত্তি পর্যন্ত একটি লম্ব অংশ আঁকছি। এই অংশটিকে উচ্চতা বলা হয়। স্পষ্টতই, আপনি চিত্রটির জন্য 4 টি ভিন্ন উচ্চতা আঁকতে পারেন। যদি উচ্চতা জ্যামিতিক কেন্দ্রে ত্রিভুজাকার ভিত্তিকে ছেদ করে, তাহলে এই ধরনের পিরামিডকে সোজা বলা হয়।

একটি সরল পিরামিড, যার ভিত্তি একটি সমবাহু ত্রিভুজ, তাকে নিয়মিত বলা হয়। তার জন্য, চিত্রের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ গঠনকারী তিনটি ত্রিভুজই সমদ্বিবাহু এবং একে অপরের সমান। একটি নিয়মিত পিরামিডের একটি বিশেষ কেস হল এমন পরিস্থিতি যখন চারটি বাহুই সমবাহু অভিন্ন ত্রিভুজ হয়।

আসুন একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি এবং এর পরামিতিগুলি গণনা করার জন্য সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলি দিন।

বেস পাশ, উচ্চতা, পার্শ্বীয় প্রান্ত এবং apothem

তালিকাভুক্ত পরামিতিগুলির যেকোনো দুটি অনন্যভাবে অন্য দুটি বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে। আসুন আমরা সেই সূত্রগুলি উপস্থাপন করি যা এই পরিমাণগুলির সাথে সম্পর্কিত।

আমরা ধরে নিই যে একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের ভিত্তির দিকটি a. এর পার্শ্বীয় প্রান্তের দৈর্ঘ্য খ. একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিড এবং এর apothem এর উচ্চতা কত হবে?

উচ্চতার জন্য আমরা অভিব্যক্তি পাই:

এই সূত্রটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে যার জন্য পাশের প্রান্ত, উচ্চতা এবং বেসের উচ্চতার 2/3।

একটি পিরামিডের apothem হল যেকোনো পার্শ্ব ত্রিভুজের উচ্চতা। apothem a b এর দৈর্ঘ্য সমান:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

এই সূত্রগুলি থেকে এটি স্পষ্ট যে একটি ত্রিভুজাকার নিয়মিত পিরামিডের ভিত্তির দিক এবং তার পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য যাই হোক না কেন, অ্যাপোথেমটি সর্বদা পিরামিডের উচ্চতার চেয়ে বড় হবে।

উপস্থাপিত দুটি সূত্রে প্রশ্নে থাকা চিত্রটির চারটি রৈখিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। অতএব, তাদের মধ্যে পরিচিত দুটি দেওয়া, আপনি লিখিত সমতা পদ্ধতির সমাধান করে বাকিগুলি খুঁজে পেতে পারেন।

চিত্র ভলিউম

একেবারে যে কোনও পিরামিডের জন্য (একটি ঝোঁক সহ), এটি দ্বারা সীমাবদ্ধ স্থানের আয়তনের মান চিত্রের উচ্চতা এবং এর ভিত্তির ক্ষেত্রফল জেনে নির্ধারণ করা যেতে পারে। সংশ্লিষ্ট সূত্র হল:

প্রশ্নযুক্ত চিত্রটিতে এই অভিব্যক্তিটি প্রয়োগ করে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি পাই:

যেখানে একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের উচ্চতা h এবং এর ভিত্তি বাহু হল a।

একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তনের জন্য একটি সূত্র পাওয়া কঠিন নয় যেখানে সমস্ত বাহু একে অপরের সমান এবং সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিনিধিত্ব করে। এই ক্ষেত্রে, চিত্রের আয়তন সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

অর্থাৎ, এটি একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়।

ভূপৃষ্ঠের

আসুন ত্রিভুজাকার নিয়মিত বিবেচনা করা চালিয়ে যাই। একটি চিত্রের সমস্ত মুখের মোট ক্ষেত্রফলকে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বলে। পরবর্তীটি সুবিধাজনকভাবে সংশ্লিষ্ট উন্নয়ন বিবেচনা করে অধ্যয়ন করা যেতে পারে। নীচের চিত্রটি দেখায় যে একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের বিকাশ কেমন দেখায়।

ধরা যাক আমরা উচ্চতা জানি এবং চিত্রটির ভিত্তি a এর পাশে। তাহলে এর ভিত্তির ক্ষেত্রফল সমান হবে:

প্রতিটি স্কুলছাত্র এই অভিব্যক্তিটি পেতে পারে যদি সে মনে রাখে কীভাবে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হয় এবং এটিও বিবেচনা করে যে একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতাও একটি দ্বিখণ্ডক এবং একটি মধ্যক।

তিনটি অভিন্ন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ দ্বারা গঠিত পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রটি হল:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

এই সমতা বেসের উচ্চতা এবং দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে পিরামিডের অ্যাপোথেমের অভিব্যক্তি থেকে অনুসরণ করে।

চিত্রটির মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

উল্লেখ্য যে একটি টেট্রাহেড্রনের জন্য যার চারটি বাহুই অভিন্ন সমবাহু ত্রিভুজ, ক্ষেত্রফল S এর সমান হবে:

একটি নিয়মিত কাটা ত্রিভুজাকার পিরামিডের বৈশিষ্ট্য

যদি বিবেচিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের উপরের অংশটি বেসের সমান্তরাল সমতল দিয়ে কেটে ফেলা হয়, তবে অবশিষ্টগুলি নিচের অংশএকটি ছোট পিরামিড বলা হবে.

একটি ত্রিভুজাকার ভিত্তির ক্ষেত্রে, বর্ণিত বিভাগকরণ পদ্ধতির ফলাফল হল একটি নতুন ত্রিভুজ, যা সমবাহুও, কিন্তু বেসের বাহুর তুলনায় একটি ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য রয়েছে। একটি ছোট ত্রিভুজাকার পিরামিড নীচে দেখানো হয়েছে।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই সংখ্যাটি ইতিমধ্যে দুটিতে সীমাবদ্ধ ত্রিভুজাকার ঘাঁটিএবং তিনটি সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েড।

আসুন আমরা ধরে নিই যে ফলস্বরূপ চিত্রটির উচ্চতা h এর সমান, নীচের এবং উপরের বেসের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a 1 এবং a 2, এবং apothem (trapezoid এর উচ্চতা) a b এর সমান। তারপরে কাটা পিরামিডের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: