Imena pet konveksnih pravilnih poliedara su tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar. Poliedri su nazvani po Platonu, koji je u op. Timej (4. vek pne) im je dao misticizam. značenje; bili poznati prije Platona... Mathematical Encyclopedia
Isto kao i obični poliedri... Veliki Sovjetska enciklopedija
- ... Wikipedia
Fedon, ili O besmrtnosti duše, nazvan po Sokratovom učeniku, Fedonu (vidi), Platonov dijalog je jedan od najistaknutijih. Ovo je jedini Platonov dijalog koji Aristotel imenuje, i jedan od rijetkih koji je prepoznat kao autentičan od strane ... ...
enciklopedijski rječnik F. Brockhaus i I.A. Efron
Jedan od najboljih umjetničkih i filozofskih dijaloga Platona, priznat kao autentičan jednoglasnom presudom antike i moderne nauke. U najnovijoj platonističkoj kritici raspravljali su se samo o vremenu njenog pisanja: neki su... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron
Filozofske ideje u Platonovim spisima- ukratko Platonovo filozofsko naslijeđe je opsežno, sastoji se od 34 djela, koja su gotovo u cijelosti sačuvana i do sada su došla. Ova djela su napisana uglavnom u formi dijaloga, a glavni lik u njima je najvećim dijelom ... ... Mali tezaurus svjetske filozofije
Dodekaedar Pravilni poliedar, ili Platonsko tijelo, je konveksan poliedar najveće moguće simetrije. Poliedar se naziva pravilnim ako: je konveksan; sve njegove strane su jednaki pravilni mnogouglovi u svakom njegovom... ... Wikipediji
Platonova tijela, konveksni poliedri, čije su sve strane identični pravilni poligoni i svi poliedarski uglovi u vrhovima su pravilni i jednaki (Sl. 1a 1e). U Euklidskom prostoru E 3 postoji pet P. m., podaci o kojima su dati u ... Mathematical Encyclopedia
SOUL- [grčki ψυχή], zajedno sa tijelom, čini sastav osobe (vidi članke Dihotomizam, Antropologija), dok je samostalan princip; Ljudska slika sadrži sliku Božiju (prema nekim crkvenim ocima; po drugima, slika Božija je sadržana u svemu... ... Orthodox Encyclopedia
Knjige
- Timeus (2011. izdanje), Platon. Platonov Timej je jedini sistematski prikaz Platonove kosmologije, koji se do sada pojavljivao samo u raštrkanom i slučajnom obliku. Time je stvorena slava Timeja...
- Pitanja za diskusiju o duši. Studije 6, Akvinski F.. Žanr 'disputacionih pitanja' (quaestiones disputatae) je poseban skolastički žanr koji se koristio na srednjovekovnim univerzitetima. 'Debatna pitanja o duši' su jedno od ...
Rukovodilac: Rustamova R. M.
Brojke rotacije Platonovih tijela
Problem istraživanja: da li rotacija Platonovih tijela uvijek proizvodi dobro poznate figure rotacije: konus, cilindar, lopta.
Predmet studija: mnoga prostorna tijela i figure.
Predmet studija: Platonska tijela.
Svrha studije: identificirati grupe rotacijskih figura pravilnih poliedara (Platonova tijela).
hipoteza:Ako nađete osi simetrije u Platonovim telima, onda rotacijom oko ovih osa možete dobiti dobro poznate figure rotacije. Ciljevi istraživanja:
- Proučite Platonova tijela i njihova svojstva.
- Eksperimentalno testirajte rotaciju pravilnih poliedara (Platonovih tijela), mijenjajući njihove ose rotacije.
- Pronađite i identificirajte osi rotacije Platonovih tijela koje omogućavaju ovim tijelima da se "transformiraju" u identične figure rotacije.
- Odredite grupe figura rotacije koje se dobijaju rotacijom Platonovih tela.
Faze istraživanja:
Prva faza je teorijska. U ovoj fazi sam proučavao Platonove čvrste materije i njihova svojstva.
Druga faza- eksperimentalni. Sastojao se od eksperimenta rotacije Platonovih tijela odabirom osi rotacije pravilnih poliedara
Treća faza - final. Posvećen je generalizaciji rezultata eksperimenta; formirane su grupe identičnih rotacijskih figura dobijenih rotacijom pravilnih poliedara
Brojevi rotacije: konus, cilindar, hiperboloid od jednog lista.
Platonska tijela: tetraedar, oktaedar, heksaedar (kocka), ikosaedar, dodekaedar.
Kocka i ikosaedar imaju zajedničke ose simetrije: prava linija koja prolazi kroz suprotne vrhove; za ikosaedar i dodekaedar - prava linija koja prolazi kroz centre suprotnih strana, na kojoj se dobijaju identične figure rotacije.
Shodno tome, za tetraedar biramo ose rotacije: prava linija koja prolazi kroz vrh tetraedra sa središtem suprotnog lica; prava linija koja prolazi sredinom suprotnih ivica. Sva Platonova tijela, osim tetraedra, imaju iste ose rotacije: prava linija koja prolazi kroz suprotne vrhove; prava linija koja prolazi kroz centre suprotnih strana; prava linija koja prolazi sredinom dvaju suprotnih ivica.
Ako je prava linija (koja stvara površinu) okomita na os rotacije, onda se dobija ravan.
Ako je prava linija (koja stvara površinu) paralelna s osi rotacije, onda se dobiva cilindrična površina.
Ako prava linija (koja stvara površinu) siječe os rotacije, tada se dobiva konusna površina.
Ako se prava linija (koja stvara površinu) siječe s osom rotacije, tada se dobiva hiperboloid okretanja od jednog lista.
Kada rotirate Platonova tijela, možete dobiti iste brojke rotacije:
- pri rotaciji tetraedra i oktaedra figura rotacije je hiperboloid od jednog lista i također dva konusa sa zajedničkom osnovom;
- pri rotaciji ikosaedra i dodekaedra– sistem od dva skraćena konusa i hiperboloida od jednog lista;
- pri rotaciji ikosaedra i kocke- sistem od dva konusa i hiperboloida od jednog lista.
GEOMETRIJA PLATONOVA ČVRSTA TIJELA
promijeniti od 24.06.2013. - (dodato)
Glavnih pet Platonovih tela su: oktaedar, zvezdasti tetraedar, kocka, dodekaedar, ikosaedar.
Svaki od geometrijskih uzoraka, bilo da je u pitanju atomsko jezgro, mikroklasteri, globalna rešetka ili udaljenosti između planeta, zvijezda, galaksija, jedan je od pet glavnih „Platonovih čvrstih tijela“.
Zašto se slični obrasci tako često javljaju u prirodi? Jedan od prvih nagoveštaja: matematičari su znali da ovi oblici imaju više "simetrije" od bilo koje trodimenzionalne geometrije koju možemo da kreiramo.
Iz knjige Roberta Lawlora "Sveta geometrija" možemo naučiti da su Hindusi reducirali geometrije Platonovih čvrstih tijela u oktavnu strukturu koju vidimo za zvuk i svjetlost (note i boje). Grčki matematičar i filozof Pitagora, kroz proces uzastopnog dijeljenja frekvencija sa pet, prvi je razvio osam "čistih" oktavnih tonova, poznatih kao dijatonska ljestvica. Uzeo je "monokord" sa jednom žicom i izmjerio tačne talasne dužine kada je svirao različite note. Pitagora je pokazao da se frekvencija (ili brzina vibracije) svake note može predstaviti kao omjer između dva dijela žice, ili dva broja, pa otuda i izraz „dijatonski omjer“.
Tabela ispod navodi geometrije određenim redoslijedom, povezujući ih sa brojem spirale fi(). Ovo daje potpunu i potpunu sliku o tome kako različite vibracije rade zajedno. Zasniva se na dodeljivanju ivicama kocke dužine jednake “ 1 " Zatim uspoređujemo rubove svih drugih oblika s ovom vrijednošću, bilo da su veći ili manji. Znamo da je u Platonovim telima svako lice istog oblika, svaki ugao je identičan, svaki čvor je na istoj udaljenosti od svakog drugog čvora i svaka linija je iste dužine.
1 Sfera (bez lica) 2 Centralni ikosaedar 1/phi 2 3 Oktaedar 1/ √2 4 zvjezdice tetraedar √2 5 Kocka 1 6 Dodekaedar 1/phi 7 Ikosaedar phi 8 Sfera (bez lica)Ovo će pomoći da se shvati kako se, uz pomoć vibracija phi spirale, platonska tijela postepeno prelijevaju jedno u drugo.
MULTIDIMENZIONALNOST Univerzuma
Sam koncept povezanosti Platonovih geometrija sa višim ravnima nastaje jer naučnici znaju: tamo mora postojati geometrija; našli su ga u jednačinama. Da bi se obezbedilo „više prostora“ da se nevidljive dodatne ose pojavljuju u „skrivenim“ okretima od 90°, potrebne su Platonove geometrije. U metodi analize podataka, svako lice geometrijskog oblika predstavlja različitu os ili ravan u kojoj se može rotirati. Kada počnemo da gledamo na rad Fullera i Jenny, vidimo da je ideja o drugim ravnima koje postoje u "skrivenim" zaokretima od 90° jednostavno netačno objašnjenje zasnovano na nedostatku znanja o "svetim" vezama između geometrije. i vibracije.
Vrlo je vjerovatno da tradicionalni naučnici nikada neće shvatiti da su drevne kulture možda imale “propuštenu vezu” koja značajno pojednostavljuje i objedinjuje sve moderne teorije fizike svemira. Iako može izgledati nevjerovatno da je “primitivna” kultura imala pristup ovoj vrsti informacija, dokazi su jasni. Pročitajte Prasadovu klasičnu knjigu, za sada se može vidjeti da vedska kosmologija posjeduje naučnu majstoriju.
Šta misliš da vidiš? - ovo je eksplodirajuća zvijezda s prašinom izbačenom iz nje... Ali ovdje očigledno postoji neka vrsta energetskog polja, koje strukturira prašinu dok se širi u vrlo precizan geometrijski uzorak:
Problem je u tome što tipična magnetna polja u tradicionalnim fizičkim modelima jednostavno ne dozvoljavaju takvu geometrijsku preciznost. Naučnici zaista ne znaju kako da shvate takve stvari!
Slika ispod je NOVA maglina, koja je savršen "kvadrat". Međutim, ovo je još uvijek dvodimenzionalno razmišljanje. Šta je kvadrat u tri dimenzije?
Naravno, kocka!
Posmatrano u infracrvenom svetlu, maglina podseća na džinovsku svetleću kutiju na nebu sa svetlo belim unutrašnjim jezgrom. Dying Star MWC 922 nalazi se u centru sistema i izbacuje svoje iznutrice u svemir sa suprotnih polova. Nakon što MWC 922 emituje većinu svog materijala u svemir, srušit će se u gusto zvjezdano tijelo poznato kao bijeli patuljak, skriveno u svojim oblacima krhotina.
Iako je gotovo moguće da eksplozija zvijezde putuje samo u jednom smjeru, stvarajući više piramidalnog oblika, ono što vidite je savršena kocka u svemiru. Budući da su sve četiri strane kocke iste dužine i da su jedna u odnosu na savršene uglove od 90°, a opet, kocka ima strukturirane "korake" koje smo vidjeli na prethodnoj slici, naučnici su potpuno zbunjeni. Kocka ima još VIŠE SIMETRIJE od "pravougaone" magline!
Takvi se uzorci ne pojavljuju samo u prostranstvu svemira. Oni također nastaju na najsitnijem nivou atoma i molekula, na primjer, u kubičnoj strukturi obične kuhinjske soli ili natrijum hlorida. Pang Tsaya (Japan) fotografirao je kvazikristale legure aluminijum-bakar-gvožđe u obliku dodekaedra i legure aluminijum-nikl-kobalt u obliku dekagonalne (desetostrane) prizme (vidi fotografiju). Problem je u tome ne možete stvoriti kristale poput ovih koristeći pojedinačne atome povezane zajedno.
Drugi primjer je Bose-Einstein kondenzat. Ukratko, Bose-Einstein kondenzat je velika grupa atoma koja se ponaša kao jedna "čestica" u kojoj svaki sastavni atom istovremeno zauzima sav prostor i cijelo vrijeme u cijeloj strukturi. Izmjereno je da svi atomi vibriraju na istoj frekvenciji, kreću se istom brzinom i nalaze se u istom području prostora. Paradoksalno, ali različiti dijelovi sistema djeluju kao jedinstvena cjelina, gubeći sve znakove individualnosti. Upravo je ovo svojstvo potrebno za "superprovodnik". Tipično, Bose-Einstein kondenzati se mogu formirati na ekstremno niskim temperaturama. Međutim, upravo te procese opažamo u mikroklasterima i kvazikristalima, lišenim individualnog atomskog identiteta.
Drugi sličan proces je djelovanje laserskog svjetla, poznatog kao "koherentna" svjetlost. Sve u prostoru i vremenu laserski snop se ponaša kao jedan "foton", odnosno nemoguće je odvojiti pojedinačne fotone u laserskom snopu.
Štaviše, kasnih 1960-ih, engleski fizičar Herbert Fröhlich je sugerirao da živi sistemi se često ponašaju kao Bose-Einstein kondenzati, samo u velikim razmjerima.
Fotografije magline nude zapanjujuće vidljive dokaze da je geometrija u igri. O veću ulogu u silama svemira nego što većina ljudi vjeruje. Naši naučnici mogu samo da se bore da shvate ovaj fenomen u okviru postojećih tradicionalnih modela.
Stakhov A.P.
“Da Vinčijev kod”, platonska i arhimedova čvrsta tijela, kvazikristali, fulerini, Penroseove rešetke i umjetnički svijet Majke Teie Krashek
anotacija
Rad slovenačke umetnice Matjuške Teje Krašek malo je poznat čitaocu koji govori ruski. Istovremeno, na Zapadu se naziva „istočnoevropski Escher“ i „slovenački dar“ svjetskoj kulturnoj zajednici. Njene umetničke kompozicije inspirisane su najnovijim naučnim otkrićima (fulereni, kvazikristali Dan Šehtman, Penrouzove pločice), koji se, pak, zasnivaju na pravilnim i polupravilnim poligonima (platonova i arhimedova tela), zlatnom preseku i Fibonačijevim brojevima.
Šta je Da Vincijev kod?
Sigurno je svaka osoba više puta razmišljala o pitanju zašto je priroda u stanju stvoriti tako nevjerojatne skladne strukture koje oduševljavaju i oduševljavaju oko. Zašto umetnici, pesnici, kompozitori, arhitekti iz veka u vek stvaraju neverovatna umetnička dela. Koja je tajna njihove Harmonije i koji zakoni leže u osnovi ovih harmoničnih stvorenja?
Potraga za ovim zakonima, "Zakonima harmonije univerzuma", započela je u drevnoj nauci. Tokom ovog perioda ljudske istorije naučnici su došli do brojnih neverovatnih otkrića koja prožimaju čitavu istoriju nauke. Prvi od njih s pravom se smatra divnom matematičkom proporcijom koja izražava Harmoniju. Zove se drugačije: “zlatna proporcija”, “zlatni broj”, “zlatni prosjek”, “zlatni omjer” i čak "božanska proporcija" Golden Ratio takođe pozvan broj PHI u čast velikog starogrčkog kipara Fidija, koji je koristio ovaj broj u svojim skulpturama.
Triler "Da Vinčijev kod", koji je napisao popularni engleski pisac Den Braun, postao je bestseler 21. veka. Ali šta znači Da Vinčijev kod? Postoje različiti odgovori na ovo pitanje. Poznato je da je čuveni „Zlatni rez“ bio predmet velike pažnje i fascinacije Leonarda da Vinčija. Štaviše, sam naziv „Zlatni presek“ u evropsku kulturu uveo je Leonardo da Vinči. Na Leonardovu inicijativu, poznati italijanski matematičar i naučni monah Luca Pacioli, prijatelj i naučni savetnik Leonarda da Vinčija, objavio je knjigu „Divina Proportione“, prvo matematičko delo u svetskoj književnosti o zlatnom preseku, koje je autor nazvao „Božanstvenim Proporcija”. Poznato je i da je sam Leonardo ilustrovao ovu čuvenu knjigu, nacrtavši za nju 60 divnih crteža. Upravo te činjenice, koje nisu dobro poznate široj naučnoj zajednici, daju nam za pravo da postavimo hipotezu da „Da Vinčijev kod“ nije ništa drugo do „Zlatni presek“. A potvrdu ove hipoteze može se naći u predavanju za studente Univerziteta Harvard, koje podsjeća glavni lik knjige "Da Vincijev kod" prof. Langdon:
„Uprkos svom gotovo mističnom porijeklu, PHI broj je na svoj način igrao jedinstvenu ulogu. Uloga cigle u temelju izgradnje cijelog života na zemlji. Sve biljke, životinje, pa čak i ljudska bića su obdareni fizičkim proporcijama približno jednakim korijenu omjera PHI broja prema 1. Ova sveprisutnost PHI u prirodi... ukazuje na povezanost svih živih bića. Ranije se vjerovalo da je PHI broj unaprijed odredio Stvoritelj svemira. Antički naučnici su jednu tačku šest stotina osamnaest hiljaditih nazvali „božanskom proporcijom“.
Dakle, čuveni iracionalni broj PHI = 1,618, koji je Leonardo da Vinči nazvao „Zlatni rez“, „Da Vinčijev kod“!
Još jedno matematičko otkriće antičke nauke je pravilni poliedri koji su imenovani "Platonska tijela" I "polupravilni poliedri", zvao "Arhimedova čvrsta tela". Upravo su ove neverovatno lepe prostorne geometrijske figure u osnovi dva najveća naučna otkrića 20. veka - kvazikristali(autor otkrića je izraelski fizičar Dan Šehtman) i fulereni(Nobelova nagrada 1996). Ova dva otkrića su najznačajnija potvrda činjenice da je upravo Zlatna proporcija Univerzalni kod prirode („Da Vinčijev kod“), koji je u osnovi Univerzuma.
Otkriće kvazikristala i fulerena inspirisalo je mnoge savremene umetnike da stvore dela koja u umetničkom obliku prikazuju najvažnija fizička otkrića 20. veka. Jedan od tih umjetnika je slovenački umjetnik Majka Teia Krashek. Ovaj članak predstavlja umjetnički svijet Majke Teie Krashek kroz prizmu najnovijih naučnih otkrića.
Platonska tijela
Osoba pokazuje interesovanje za pravilne poligone i poliedre tokom cijele svoje svjesne aktivnosti - od dete od dve godine od igranja drvenim kockama do zrelog matematičara. Neka od pravilnih i polupravilnih tijela javljaju se u prirodi u obliku kristala, druga - u obliku virusa koji se mogu ispitati pomoću elektronskog mikroskopa.
Šta je pravilni poliedar? Pravilan poliedar je takav poliedar, čije su sve strane jednake (ili podudarne) jedna drugoj i istovremeno su pravilni mnogouglovi. Koliko pravilnih poliedara ima? Na prvi pogled, odgovor na ovo pitanje je vrlo jednostavan - pravilnih poligona ima koliko ih ima. Međutim, nije. U Euklidovim elementima nalazimo rigorozan dokaz da postoji samo pet konveksnih pravilnih poliedara, a njihova lica mogu biti samo tri vrste pravilnih poligona: trouglovi, kvadrata I peterokuti (pravilni peterokuti).
Mnoge knjige su posvećene teoriji poliedara. Jedna od najpoznatijih je knjiga engleskog matematičara M. Wennigera “Modeli poliedara”. Ovu knjigu objavila je u ruskom prevodu izdavačka kuća Mir 1974. godine. Epigraf knjige je izjava Bertranda Russela: “Matematika posjeduje ne samo istinu, već i visoku ljepotu – ljepotu koja je izoštrena i stroga, uzvišeno čista i teži istinskom savršenstvu, što je svojstveno samo najvećim primjerima umjetnosti.”
Knjiga počinje opisom tzv pravilni poliedri, odnosno poliedri formirani od najjednostavnijih pravilnih poligona istog tipa. Ovi poliedri se obično nazivaju Platonska tijela(sl. 1) ,
nazvan po starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svom radu koristio pravilne poliedre kosmologija.
Slika 1. Platonska tijela: (a) oktaedar ("Vatra"), (b) heksaedar ili kocka ("Zemlja"),
(c) oktaedar ("Vazduh"), (d) ikosaedar ("Voda"), (e) dodekaedar ("Univerzalni um")
Započećemo naše razmatranje sa pravilni poliedri, čija su lica jednakostranični trouglovi. Prvi je tetraedar(Sl.1-a). U tetraedru, tri jednakostranična trougla se sastaju na jednom vrhu; u isto vrijeme, njihove baze formiraju novi jednakostranični trokut. Tetraedar ima najmanji broj strana među Platonovim telima i trodimenzionalni je analog ravnog pravilnog trougla, koji ima najmanji broj stranica među pravilnim mnogokutnicima.
Sljedeće tijelo, koje čine jednakostranični trouglovi, naziva se oktaedar(Sl. 1-b). U oktaedru, četiri trougla se sastaju na jednom vrhu; rezultat je piramida sa četvorougaonom bazom. Ako spojite dvije takve piramide sa njihovim bazama, dobit ćete simetrično telo sa osam trouglastih lica – oktaedar.
Sada možete pokušati spojiti pet jednakostraničnih trouglova u jednoj tački. Rezultat će biti figura sa 20 trokutastih lica - ikosaedar(Sl.1-d).
Sljedeći ispravan oblik poligon - kvadrat. Ako spojimo tri kvadrata u jednoj tački, a zatim dodamo još tri, dobićemo savršen oblik sa šest strana tzv heksaedar ili kocka(Sl. 1-c).
Konačno, postoji još jedna mogućnost konstruisanja pravilnog poliedra, na osnovu upotrebe sledećeg pravilnog mnogougla - Pentagon. Ako sakupimo 12 peterokuta na način da se tri peterokuta sastaju u svakoj tački, dobićemo još jedno platonsko telo, tzv. dodecahedron(Sl.1-d).
Sljedeći pravilni poligon je hexagon. Međutim, ako spojimo tri šesterokuta u jednoj tački, dobijamo površinu, odnosno nemoguće je izgraditi trodimenzionalnu figuru od šesterokuta. Bilo koji drugi pravilni poligoni iznad šesterokuta uopće ne mogu formirati čvrsta tijela. Iz ovih razmatranja proizilazi da postoji samo pet pravilnih poliedara, čija lica mogu biti samo jednakostranični trouglovi, kvadrati i peterokuti.
Postoje neverovatne geometrijske veze između svih pravilni poliedri. Na primjer, kocka(Sl.1-b) i oktaedar(Sl. 1-c) su dvojne, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se težišta lica jednog uzmu kao vrh drugog i obrnuto. Slično dual ikosaedar(Sl.1-d) i dodecahedron(Sl.1-d) .
Tetrahedron(Slika 1-a) je dualan samom sebi. Dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem "krova" na njenim plohama (Euklidova metoda); vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice, odnosno svi drugi pravilni poliedri mogu biti dobijene iz kocke. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je iznenađujuća – na kraju krajeva, na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!
Numeričke karakteristike Platonovih tijela
Glavne numeričke karakteristike Platonska tijela je broj strana lica m, broj lica koja se sastaju na svakom vrhu, m, broj lica G, broj vrhova IN, broj rebara R i broj ravnih uglova U na površini poliedra, Euler je otkrio i dokazao poznatu formulu
B P + G = 2,
povezujući broj vrhova, ivica i lica bilo kojeg konveksnog poliedra. Gore navedene numeričke karakteristike su date u tabeli. 1.
Tabela 1
Numeričke karakteristike Platonovih tijela
|
Poliedar |
Broj rubnih strana m |
Broj lica koja se sastaju na vrhu n |
Broj lica |
Broj vrhova |
Broj rebara |
Broj ravnih uglova na površini |
|
Tetrahedron |
||||||
|
heksaedar (kocka) |
||||||
|
Ikosaedar |
||||||
|
Dodecahedron |
Zlatni presek u dodekaedru i ikosaedru
Dodekaedar i njegov dvojni ikosaedar (sl. 1-d,e) zauzimaju posebno mjesto među Platonska tijela. Prije svega, mora se naglasiti da je geometrija dodecahedron I ikosaedar direktno povezana sa zlatnim rezom. Zaista, ivice dodecahedron(Sl.1-d) su pentagons, tj. pravilnih peterokuta zasnovanih na zlatnom preseku. Ako pažljivo pogledate ikosaedar(Sl. 1-d), tada možete vidjeti da se na svakom od njegovih vrhova konvergira pet trouglova čije vanjske strane formiraju pentagon. Ove činjenice same po sebi dovoljne su da nas uvjere da zlatni rez igra značajnu ulogu u dizajnu ova dva Platonska tijela.
Ali postoje dublji matematički dokazi za fundamentalnu ulogu koju igra zlatni rez ikosaedar I dodecahedron. Poznato je da ova tijela imaju tri specifične sfere. Prva (unutrašnja) sfera je upisana u tijelo i dodiruje njegova lica. Označimo poluprečnik ove unutrašnje sfere sa R i. Druga ili srednja sfera dodiruje njena rebra. Označimo poluprečnik ove sfere sa Rm. Konačno, treća (spoljna) sfera je opisana oko tela i prolazi kroz njegove vrhove. Označimo njegov radijus sa Rc. U geometriji je dokazano da su vrijednosti poluprečnika naznačenih sfera za dodecahedron I ikosaedar, koji ima ivicu jedinične dužine, izražava se kroz zlatnu proporciju t (tabela 2).
tabela 2
Zlatni presek u sferama dodekaedra i ikosaedra
|
Ikosaedar |
|||
|
Dodecahedron |
Imajte na umu da je omjer radijusa = isti kao za ikosaedar, i za dodecahedron. Dakle, ako dodecahedron I ikosaedar imaju identične upisane sfere, tada su i njihove opisane sfere jednake jedna drugoj. Dokaz ovog matematičkog rezultata je dat u Počeci Euclid.
U geometriji su poznate druge relacije dodecahedron I ikosaedar, potvrđujući njihovu povezanost sa zlatnim rezom. Na primjer, ako uzmemo ikosaedar I dodecahedron sa dužinom ivice jednakom jedan, i izračunavaju njihovu spoljašnju površinu i zapreminu, zatim se izražavaju kroz zlatnu proporciju (tabela 3).
Tabela 3
Zlatni rez u vanjskoj površini i zapremini dodekaedra i ikosaedra
|
Ikosaedar |
Dodecahedron |
|
|
Vanjski prostor |
||
Dakle, postoji ogroman broj odnosa do kojih su došli drevni matematičari, što potvrđuje izuzetnu činjenicu da je to tačno Zlatni rez je glavni omjer dodekaedra i ikosaedra, a ova činjenica je posebno zanimljiva sa stanovišta tzv "doktrina dodekaedara-ikosaedra" koje ćemo pogledati u nastavku.
Platonova kosmologija
Pravilni poliedri o kojima smo gore govorili nazivaju se Platonska tijela, budući da su zauzimali važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira.
Platon (427-347 pne)
Četiri poliedra personificiraju četiri esencije ili "elementa" u njemu. Tetrahedron simbolizirano Vatra, budući da mu je vrh usmjeren prema gore; Ikosaedar Voda, budući da je to „najpotegnutiji“ poliedar; Kocka zemlja, kao najstabilniji poliedar; Oktaedar Zrak, kao naj"prozračniji" poliedar. Peti poliedar Dodecahedron, oličava "sve što postoji", "Univerzalni um", simbolizuje ceo univerzum i smatra se glavna geometrijska figura svemira.
Stari Grci su skladne odnose smatrali osnovom univerzuma, pa su njihova četiri elementa bila povezana sljedećom proporcijom: zemlja/voda = zrak/vatra. Atome "elemenata" Platon je uštimao u savršene konsonancije, poput četiri žice lire. Podsjetimo da je konsonancija ugodna konsonancija. U vezi sa ovim tijelima, valjalo bi reći da je takav sistem elemenata, koji uključuje četiri elementa - zemlju, vodu, zrak i vatru, kanonizirao Aristotel. Ovi elementi su ostali četiri kamena temeljca univerzuma tokom mnogih vekova. Sasvim ih je moguće poistovjetiti sa četiri nama poznata stanja materije: čvrstom, tekućem, plinovitom i plazmom.
Tako su stari Grci povezivali ideju o harmoniji postojanja od kraja do kraja s njenim utjelovljenjem u platonskim čvrstima. Uticao je i uticaj poznatog grčkog mislioca Platona Počeci Euclid. Ova knjiga, koja je vekovima bila jedini udžbenik iz geometrije, opisuje „idealne“ linije i „idealne“ figure. Najidealnija linija je ravno, a najidealniji poligon je pravilan poligon, vlasništvo jednake strane i jednakih uglova. Može se uzeti u obzir najjednostavniji pravilan poligon jednakostranični trokut, budući da ima najmanji broj strana koje mogu ograničiti dio ravnine. Pitam se šta Počeci Euklid počinje opisom konstrukcije pravilan trougao i završiti studijom od pet Platonska tijela. primeti, to Platonska tijela posvećena je finalna, odnosno 13. knjiga Poceo Euclid. Inače, ova činjenica, odnosno smještanje teorije pravilnih poliedara u završnu (dakle, kao da je najvažniju) knjigu Poceo Euklid, dao je povoda starogrčkom matematičaru Proklu, koji je bio komentator Euklida, da iznese zanimljivu hipotezu o pravim ciljevima koje je Euklid težio stvarajući svoju Počeci. Prema Proklu, Euklid je stvorio Počeci ne u svrhu predstavljanja geometrije kao takve, već da bi dao kompletnu sistematizovanu teoriju konstrukcije "idealnih" figura, posebno pet Platonska tijela, istovremeno ističući neka od najnovijih dostignuća u matematici!
Nije slučajno što jedan od autora otkrića fulerena, nobelovac Harold Kroto, u svom Nobelovom predavanju započinje svoju priču o simetriji kao „osnovi naše percepcije fizičkog svijeta” i njenoj „ulozi u pokušajima da se objasni to sveobuhvatno” upravo sa Platonska tijela i "elementi svih stvari": “Koncept strukturalne simetrije datira još iz antičkih vremena...” Najviše poznatih primjera može se, naravno, naći u Platonovom dijalogu Timej, gde u 53. delu, koji se odnosi na Elemente, piše: „Prvo, svima je jasno (!), naravno, da su vatra i zemlja, voda i vazduh tela , a svako tijelo je čvrsto” (!!) Platon raspravlja o problemima hemije jezikom ova četiri elementa i povezuje ih sa četiri Platonova tijela (u to vrijeme samo četiri, dok Hiparh nije otkrio peti – dodekaedar). Iako na prvi pogled takva filozofija može izgledati pomalo naivna, ona ukazuje na duboko razumijevanje kako priroda zapravo funkcionira."
Arhimedova čvrsta tela
Polupravilni poliedri
Poznata su mnoga savršenija tijela, tzv polupravilni poliedri ili Arhimedova tela. Oni također imaju sve poliedarske uglove jednake i sva lica su pravilni poligoni, ali nekoliko različitih tipova. Postoji 13 polupravilnih poliedara, čije se otkriće pripisuje Arhimedu.
Arhimed (287 pne – 212 pne)
Gomila Arhimedova čvrsta tela mogu se podijeliti u nekoliko grupa. Prvi od njih se sastoji od pet poliedara, koji se dobijaju iz Platonska tijela kao rezultat njihovog skraćivanje. Krnje tijelo je tijelo sa odsječenim vrhom. Za Platonska tijela skraćivanje se može izvršiti na način da i rezultirajuća nova lica i preostali dijelovi starih budu pravilni poligoni. npr. tetraedar(Sl. 1-a) može se odrezati tako da se njegove četiri trokutaste strane pretvore u četiri šestougaone, a na njih se dodaju četiri pravilne trokutaste. Na ovaj način se može dobiti pet Arhimedova čvrsta tela: skraćeni tetraedar, skraćeni heksaedar (kocka), skraćeni oktaedar, skraćeni dodekaedar I skraćeni ikosaedar(Sl. 2).
 |
 |
|
| (A) | (b) | (V) |
 |
 |
| (G) | (e) |
Slika 2. Arhimedova tijela: (a) skraćeni tetraedar, (b) skraćena kocka, (c) skraćeni oktaedar, (d) skraćeni dodekaedar, (e) skraćeni ikosaedar
U svom Nobelovom predavanju, američki naučnik Smalley, jedan od autora eksperimentalnog otkrića fulerena, govori o Arhimedu (287-212 pne) kao o prvom istraživaču skraćenih poliedara, posebno, skraćeni ikosaedar, međutim, uz upozorenje da je za to možda zaslužan Arhimed i da su, možda, ikosaedri bili skraćeni mnogo prije njega. Dovoljno je spomenuti one pronađene u Škotskoj i datirane oko 2000. godine prije Krista. stotine kamenih predmeta (očigledno za ritualne svrhe) u obliku sfera i raznih poliedri(tijela omeđena sa svih strana ravnim ivice), uključujući ikosaedre i dodekaedre. Originalno Arhimedovo djelo, nažalost, nije preživjelo, a njegovi rezultati došli su do nas, kako se kaže, "iz druge ruke". Tokom renesanse sve Arhimedova čvrsta tela jedan za drugim ponovo „otkriveni”. Na kraju krajeva, Kepler je 1619. godine u svojoj knjizi “Svjetska harmonija” (“Harmonice Mundi”) dao sveobuhvatan opis čitavog skupa arhimedovih čvrstih tijela – poliedara, čije svako lice predstavlja pravilan poligon, i sve vrhovi nalaze se u ekvivalentnom položaju (kao atomi ugljika u molekulu C 60). Arhimedova čvrsta tijela se sastoje od najmanje dva različita tipa poligona, za razliku od 5 Platonska tijela, čija su sva lica identična (kao u C 20 molekulu, na primjer).
Slika 3. Konstrukcija arhimedovog skraćenog ikosaedra
iz Platonovog ikosaedra
Dakle, kako dizajnirati Arhimedov skraćeni ikosaedar od Platonski ikosaedar? Odgovor je ilustrovan korišćenjem Sl. 3. Zaista, kao što se može vidjeti iz tabele. 1,5 lica konvergiraju na bilo kojem od 12 vrhova ikosaedra. Ako se u svakom vrhu 12 dijelova ikosaedra odsječe ravninom, tada se formira 12 novih peterokutnih lica. Zajedno sa postojećih 20 lica, koja su nakon takvog sječenja iz trokutastog prešla u šesterokutnu, činiće 32 lica skraćenog ikosaedra. U ovom slučaju će biti 90 ivica i 60 vrhova.
Druga grupa Arhimedova čvrsta tela sastoje se od dva tijela tzv kvazi regularan poliedri. “Kvazi” čestica naglašava da su lica ovih poliedara pravilni poligoni samo dva tipa, pri čemu je svako lice jednog tipa okruženo poligonima drugog tipa. Ova dva tijela se zovu rombikuboktaedar I ikosidodekaedar(Sl. 4).
Slika 5. Arhimedova tijela: (a) rombokuboktaedar, (b) rombikozidodekaedar
Konačno, postoje dvije takozvane "snub" modifikacije - jedna za kocku ( snub cube), drugi za dodekaedar ( snub dodecahedron) (Sl. 6).
| (A) | (b) |
Slika 6. Arhimedova čvrsta tela: (a) prsnuta kocka, (b) prtljasti dodekaedar
U pomenutoj knjizi Wennigera “Modeli poliedara” (1974) čitalac može pronaći 75 razni modeli pravilni poliedri. “Teorija poliedara, posebno konveksnih poliedara, jedno je od najfascinantnijih poglavlja geometrije” ovo je mišljenje ruskog matematičara L.A. Lyusternak, koji je učinio mnogo u ovoj oblasti matematike. Razvoj ove teorije povezan je sa imenima izuzetnih naučnika. Johannes Kepler (1571-1630) dao je veliki doprinos razvoju teorije poliedara. Svojevremeno je napisao skicu "O pahuljici", u kojoj je dao sljedeću primjedbu: “Među pravilnim tijelima, prvo, početak i rodonačelnik ostalih je kocka, a njen, ako mogu tako reći, supružnik je oktaedar, jer oktaedar ima onoliko uglova koliko kocka ima lica.” Kepler je prvi objavio puna lista trinaest Arhimedova čvrsta tela i dao im imena po kojima su danas poznati.
Kepler je prvi proučavao tzv zvjezdani poliedri, koji su, za razliku od Platonovog i Arhimedovog tijela, pravilni konveksni poliedri. Početkom prošlog veka francuski matematičar i mehaničar L. Poinsot (1777-1859), čiji su geometrijski radovi vezani za zvezdaste poliedre, razvio je Keplerov rad i otkrio postojanje još dva tipa pravilnih nekonveksnih poliedara. Dakle, zahvaljujući radu Keplera i Poinsota, postala su poznata četiri tipa takvih figura (slika 7). Godine 1812. O. Cauchy je dokazao da ne postoje drugi pravilni zvjezdasti poliedari.
Slika 7. Pravilni zvjezdani poliedri (Poinsot čvrsta tijela)
Mnogi čitaoci mogu pitati: „Zašto uopšte proučavati pravilne poliedre? Kakva je korist od njih? Na ovo pitanje se može odgovoriti: „Koja je korist od muzike ili poezije? Je li sve lijepo korisno? Modeli poliedara prikazani na sl. 1-7, prije svega, ostavljaju estetski dojam na nas i mogu se koristiti kao ukrasni ukrasi. Ali u stvari, rasprostranjena pojava pravilnih poliedara u prirodnim strukturama izazvala je ogromno interesovanje za ovu granu geometrije u moderna nauka.
Misterija egipatskog kalendara
Šta je kalendar?
Ruska poslovica kaže: „Vreme je oko istorije“. Sve što postoji u Univerzumu: Sunce, Zemlja, zvijezde, planete, poznati i nepoznati svjetovi i sve što postoji u prirodi živih i neživih stvari, sve ima prostorno-vremensku dimenziju. Vrijeme se mjeri posmatranjem procesa koji se periodično ponavljaju određenog trajanja.
Još u davna vremena ljudi su primijetili da dan uvijek ustupa mjesto noći, a godišnja doba prolaze u strogom nizu: nakon zime dolazi proljeće, nakon proljeća dolazi ljeto, nakon ljeta dolazi jesen. U potrazi za rješenjem za ove pojave, čovjek je obratio pažnju na nebeska tijela - Sunce, Mjesec, zvijezde - i strogu periodičnost njihovog kretanja po nebu. Bila su to prva zapažanja koja su prethodila rođenju jedne od najstarijih nauka - astronomije.
Astronomija temelji mjerenje vremena na kretanju nebeskih tijela, koje odražava tri faktora: rotaciju Zemlje oko svoje ose, rotaciju Mjeseca oko Zemlje i kretanje Zemlje oko Sunca. Različiti koncepti vremena zavise od toga na kojoj se od ovih pojava zasniva mjerenje vremena. Astronomija zna zvjezdani vrijeme, sunčano vrijeme, lokalni vrijeme, struk vrijeme, porodiljsko odsustvo vrijeme, atomski vrijeme itd.
Sunce, kao i sva druga svetila, učestvuje u kretanju po nebu. Pored dnevnog kretanja, Sunce ima i takozvano godišnje kretanje, a čitava putanja godišnjeg kretanja Sunca po nebu naziva se ekliptika. Ako, na primjer, uočimo lokaciju sazviježđa u određenom večernjem času, a zatim ponavljamo ovo zapažanje svakog mjeseca, tada će se pred nama pojaviti drugačija slika neba. Izgled zvjezdanog neba se neprestano mijenja: svako godišnje doba ima svoj obrazac večernjih sazviježđa, a svaki takav obrazac se ponavlja svake godine. Posljedično, nakon godinu dana, Sunce se vraća na svoje prvobitno mjesto u odnosu na zvijezde.
Radi lakše orijentacije u zvjezdanom svijetu, astronomi su podijelili cijelo nebo u 88 sazviježđa. Svaki od njih ima svoje ime. Od 88 sazvežđa, posebno mesto u astronomiji zauzimaju ona kroz koja prolazi ekliptika. Ova sazvežđa, pored sopstvenih imena, imaju i opšti naziv - zodijak(od grčke riječi “zoop” životinja), kao i simboli (znakovi) nadaleko poznati u cijelom svijetu i razne alegorijske slike uključene u kalendarske sisteme.
Poznato je da u procesu kretanja duž ekliptike, Sunce prelazi 13 sazviježđa. Međutim, astronomi su smatrali da je potrebno da putanju Sunca podijele ne na 13, već na 12 dijelova, kombinujući sazviježđa Škorpion i Zmijonik u jedno pod uobičajeno imeŠkorpija (zašto?).
Problemima mjerenja vremena bavi se posebna nauka tzv hronologija. On je u osnovi svih kalendarskih sistema koje je stvorilo čovječanstvo. Stvaranje kalendara u antičko doba bilo je jedan od najvažniji zadaci astronomija.
Šta je „kalendar“ i koje vrste postoje? kalendarski sistemi? Riječ kalendar dolazi od latinske riječi calendarium, što doslovno znači "knjiga dugova"; u takvim knjigama bili su naznačeni prvi dani svakog meseca - kalende, u kojoj su u starom Rimu dužnici plaćali kamate.
Od davnina u zemljama istočne i jugoistočne Azije kada se sastavljaju kalendari veliki značaj dao periodičnost kretanjima Sunca, Meseca, a takođe Jupiter I Saturn, dvije džinovske planete Solarni sistem. Postoji razlog za vjerovanje da je ideja stvaranja Jovijanski kalendar sa nebeskom simbolikom 12-godišnjeg životinjskog ciklusa povezanog s rotacijom Jupiter oko Sunca, koji napravi potpunu revoluciju oko Sunca za oko 12 godina (11.862 godine). S druge strane, druga gigantska planeta Sunčevog sistema je Saturn napravi potpunu revoluciju oko Sunca za oko 30 godina (29.458 godina). Želeći da usaglase cikluse kretanja džinovskih planeta, stari Kinezi su došli na ideju da uvedu 60-godišnji ciklus Sunčevog sistema. Tokom ovog ciklusa, Saturn napravi 2 puna okretanja oko Sunca, a Jupiter 5 revolucija.
Prilikom izrade godišnjih kalendara koriste se astronomske pojave: promjena dana i noći, promjena lunarne faze i smjena godišnjih doba. Upotreba raznih astronomskih fenomena dovela je do stvaranja tri vrste kalendara među različitim narodima: lunarni, na osnovu kretanja Meseca, sunčano, zasnovano na kretanju Sunca, i lunisolar.
Struktura egipatskog kalendara
Jedan od prvih solarnih kalendara bio je Egipatski, nastao u 4. milenijumu pne. Prvobitna egipatska kalendarska godina sastojala se od 360 dana. Godina je bila podijeljena na 12 mjeseci od po tačno 30 dana. Međutim, kasnije je otkriveno da ova dužina kalendarske godine ne odgovara astronomskoj. A onda su Egipćani dodali još 5 dana u kalendarsku godinu, koji, međutim, nisu bili dani u mjesecu. Bilo je 5 praznici, povezujući susjedne kalendarske godine. Tako je egipatska kalendarska godina imala sledeću strukturu: 365 = 12´ 30 + 5. Imajte na umu da je egipatski kalendar prototip modernog kalendara.
Postavlja se pitanje: zašto su Egipćani podijelili kalendarsku godinu na 12 mjeseci? Uostalom, postojali su kalendari sa različitim brojem mjeseci u godini. Na primjer, u kalendaru Maja, godina se sastojala od 18 mjeseci sa 20 dana u mjesecu. Sljedeće pitanje vezano za egipatski kalendar: zašto je svaki mjesec imao tačno 30 dana (tačnije, dana)? Mogu se postaviti i neka pitanja o egipatskom sistemu mjerenja vremena, posebno u vezi s izborom jedinica vremena kao što su sat, minut, sekunda. Posebno se postavlja pitanje: zašto je jedinica sata izabrana tako da stane tačno 24 puta u dan, odnosno zašto je 1 dan = 24 (2½ 12) sata? Sledeće: zašto 1 sat = 60 minuta, a 1 minut = 60 sekundi? Ista pitanja važe i za izbor jedinica ugaonih veličina, posebno: zašto je krug podeljen na 360°, odnosno zašto je 2p =360° =12´ 30°? Ovim pitanjima se dodaju i druga, posebno: zašto su astronomi smatrali da je svrsishodno vjerovati da postoji 12 zodijak znakova, iako u stvari, tokom svog kretanja duž ekliptike, Sunce prelazi 13 sazviježđa? I još jedno "čudno" pitanje: zašto je vavilonski brojevni sistem imao vrlo neobičnu osnovu - broj 60?
Veza između egipatskog kalendara i numeričkih karakteristika dodekaedra
Analizirajući egipatski kalendar, kao i egipatske sisteme za merenje vremena i ugaonih vrednosti, nalazimo da se četiri broja ponavljaju sa neverovatnom konstantnošću: 12, 30, 60 i iz njih izvedeni broj 360 = 12´ 30. Postavlja se pitanje: Postoji li onda temeljna naučna ideja koja bi mogla pružiti jednostavno i logično objašnjenje za upotrebu ovih brojeva u egipatskim sistemima?
Da bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se još jednom na dodecahedron, prikazano na sl. 1-d. Podsjetimo da su svi geometrijski omjeri dodekaedra zasnovani na zlatnom omjeru.
Da li su Egipćani poznavali dodekaedar? Istoričari matematike priznaju da su stari Egipćani imali informacije o pravilnim poliedrima. Ali da li su posebno poznavali svih pet pravilnih poliedara dodecahedron I ikosaedar Koji su najteži? Drevni grčki matematičar Proklo pripisuje konstrukciju pravilnih poliedara Pitagori. Ali mnoge matematičke teoreme i rezultati (posebno Pitagorina teorema) Pitagora je pozajmio od starih Egipćana tokom svog veoma dugog „poslovnog putovanja“ u Egipat (prema nekim informacijama, Pitagora je u Egiptu živeo 22 godine!). Stoga možemo pretpostaviti da je Pitagora možda posudio znanje o pravilnim poliedrima od starih Egipćana (a možda i od starih Babilonaca, jer je prema legendi Pitagora živio u drevni Babilon 12 godina). Ali postoje i drugi, uvjerljiviji dokazi da su Egipćani imali informacije o svih pet pravilnih poliedara. Konkretno, Britanski muzej čuva kocku iz ptolemejskog doba, koja ima oblik ikosaedar, odnosno „Platonsko čvrsto“, dual dodecahedron. Sve ove činjenice nam daju za pravo da postavimo hipotezu da Dodekaedar je bio poznat Egipćanima. A ako je to tako, onda iz ove hipoteze proizlazi vrlo harmoničan sistem koji nam omogućava da objasnimo nastanak egipatskog kalendara, a ujedno i nastanak egipatskog sistema mjerenja vremenskih intervala i geometrijskih uglova.
Prethodno smo ustanovili da dodekaedar na svojoj površini ima 12 lica, 30 ivica i 60 ravnih uglova (tabela 1). Na osnovu hipoteze koju su Egipćani znali dodecahedron a njegove numeričke karakteristike su 12, 30. 60, kakvo je onda bilo njihovo iznenađenje kada su otkrili da isti brojevi izražavaju cikluse Sunčevog sistema, odnosno 12-godišnji ciklus Jupitera, 30-godišnji ciklus Saturna i, konačno, 60-godišnji ljetni ciklus Sunčevog sistema. Dakle, između tako savršene prostorne figure kao što je dodecahedron, i Sunčevog sistema, postoji duboka matematička veza! Ovaj zaključak su izveli drevni naučnici. To je dovelo do činjenice da dodecahedron je usvojen kao "glavna figura" koja je simbolizovala Harmonija Univerzuma. Tada su Egipćani odlučili da svi njihovi glavni sistemi (kalendarski sistem, sistem mjerenja vremena, sistem mjerenja ugla) trebaju odgovarati numeričkim parametrima dodecahedron! Budući da je, prema drevnim ljudima, kretanje Sunca po ekliptici bilo strogo kružno, tada su Egipćani, birajući 12 znakova Zodijaka, među kojima je razmak luka bilo tačno 30°, iznenađujuće lijepo uskladili godišnje kretanje Sunca. duž ekliptike sa strukturom njihove kalendarske godine: jedan mjesec je odgovarao kretanju Sunca duž ekliptike između dva susjedna znaka Zodijaka!Štaviše, kretanje Sunca za jedan stepen odgovaralo je jednom danu u egipatskoj kalendarskoj godini! U ovom slučaju, ekliptika je automatski podijeljena na 360°. Podijelivši svaki dan na dva dijela, prateći dodekaedar, Egipćani su zatim podijelili svaku polovicu dana na 12 dijelova (12 lica dodecahedron) i time uveden sat- najvažnija jedinica vremena. Podijeliti jedan sat na 60 minuta (60 ravnih uglova na površini dodecahedron), Egipćani su uveli na ovaj način minuta– sljedeća važna jedinica vremena. Na isti način su uveli daj mi sekund- najmanja jedinica vremena za taj period.
Dakle, birajući dodecahedron kao glavne “harmonične” figure univerzuma, a striktno prateći numeričke karakteristike dodekaedra 12, 30, 60, Egipćani su uspjeli izgraditi izuzetno harmoničan kalendar, kao i sisteme za mjerenje vremena i ugaonih vrijednosti. Ovi sistemi su bili u potpunosti konzistentni sa njihovom „teorijom harmonije“, zasnovanom na zlatnoj proporciji, budući da je upravo ta proporcija u osnovi dodecahedron.
Ovo su iznenađujući zaključci koji slijede iz poređenja: dodecahedron sa solarnim sistemom. A ako je naša hipoteza tačna (neka je neko pokuša opovrgnuti), onda slijedi da čovječanstvo živi mnogo milenijuma pod znakom zlatnog preseka! I svaki put kada pogledamo brojčanik našeg sata, koji je također izgrađen na korištenju numeričkih karakteristika dodecahedron 12, 30 i 60 dodirujemo glavnu "Misteriju svemira" - zlatni rez, a da to i ne znamo!
Kvazikristali Dana Shekhtmana
Dana 12. novembra 1984. godine, kratak rad objavljen u prestižnom časopisu Physical Review Letters od strane izraelskog fizičara Dana Shechtmana pružio je eksperimentalne dokaze o postojanju metalne legure sa izuzetnim svojstvima. Kada se proučava metodom difrakcije elektrona, ova legura je pokazala sve znakove kristala. Njegov difrakcijski uzorak se sastoji od svijetlih i pravilno raspoređenih tačaka, baš kao kristal. Međutim, ovu sliku karakteriše prisustvo "ikosaedarske" ili "pentangonalne" simetrije, koja je strogo zabranjena u kristalu iz geometrijskih razloga. Takve neobične legure nazvane su kvazikristali. Za manje od godinu dana otkrivene su mnoge druge legure ovog tipa. Bilo ih je toliko da se pokazalo da je kvazikristalno stanje mnogo češće nego što se može zamisliti.
Izraelski fizičar Dan Shechtman
Koncept kvazikristala je od fundamentalnog interesa jer generalizira i upotpunjuje definiciju kristala. Teorija zasnovana na ovom konceptu zamjenjuje prastaru ideju o " strukturna jedinica, koji se ponavlja u prostoru na striktno periodičan način”, ključni koncept narudžba na daljinu. Kao što je istaknuto u članku “Kvazikristali” poznatog fizičara D. Gratia, „Ovaj koncept je doveo do širenja kristalografije, čije novootkrivena bogatstva tek počinjemo da istražujemo. Njegov značaj u svijetu minerala može se staviti u ravan s dodavanjem koncepta iracionalnih brojeva racionalnim brojevima u matematici.”
Šta je kvazikristal? Koja su njegova svojstva i kako se može opisati? Kao što je gore navedeno, prema osnovni zakon kristalografije Na kristalnu strukturu su nametnuta stroga ograničenja. Prema klasičnim konceptima, kristal je sastavljen beskonačno od jedne ćelije, koja treba čvrsto (licem u lice) „pokriti“ čitavu ravan bez ikakvih ograničenja.
Kao što je poznato, gusto punjenje aviona može se izvesti pomoću trouglovi(Sl.7-a), kvadrata(Sl.7-b) i hexagons(Sl.7-d). Korišćenjem pentagons (Pentagoni) takvo punjenje je nemoguće (slika 7-c).
 |
 |
 |
|
| A) | b) | V) | G) |
Slika 7. Gusto punjenje ravni može se obaviti pomoću trokuta (a), kvadrata (b) i šesterokuta (d)
To su bili kanoni tradicionalne kristalografije, koji su postojali prije otkrića neobične legure aluminija i mangana, nazvane kvazikristal. Takva legura nastaje ultrabrzim hlađenjem taline brzinom od 10 6 K u sekundi. Štaviše, tokom proučavanja difrakcije takve legure, na ekranu se pojavljuje uređeni uzorak, karakterističan za simetriju ikosaedra, koji ima poznate zabranjene ose simetrije 5. reda.
Nekoliko naučnih grupa širom svijeta u narednih nekoliko godina proučavalo je ovu neobičnu leguru elektronska mikroskopija visoka rezolucija. Svi oni su potvrdili idealnu homogenost supstance, u kojoj je očuvana simetrija 5. reda u makroskopskim područjima sa dimenzijama bliskim atomskim (nekoliko desetina nanometara).
Prema savremenim pogledima, razvijen je sledeći model za dobijanje kristalne strukture kvazikristala. Ovaj model se zasniva na konceptu „osnovnog elementa“. Prema ovom modelu, unutrašnji ikosaedar atoma aluminija okružen je vanjskim ikosaedrom atoma mangana. Ikosaedri su povezani oktaedrima atoma mangana. "Bazni element" sadrži 42 atoma aluminija i 12 atoma mangana. Tokom procesa očvršćavanja dolazi do brzog formiranja „osnovnih elemenata“ koji se međusobno brzo povezuju krutim oktaedarskim „mostovima“. Podsjetimo da su lica ikosaedra jednakostranični trouglovi. Da bi nastao oktaedarski manganski most, potrebno je da se dva takva trokuta (po jedan u svakoj ćeliji) dovoljno približe jedan drugom i poredaju se paralelno. Kao rezultat takvog fizičkog procesa formira se kvazikristalna struktura sa „ikosaedarskom” simetrijom.
Poslednjih decenija otkrivene su mnoge vrste kvazikristalnih legura. Osim onih koje imaju „ikosaedarsku“ simetriju (5. red), postoje i legure sa dekagonalnom simetrijom (10. red) i dodekagonalnom simetrijom (12. red). Fizička svojstva kvazikristala su tek nedavno počela da se proučavaju.
Koji je praktični značaj otkrića kvazikristala? Kao što je navedeno u Gratiinom članku koji je gore spomenut, „mehanička čvrstoća kvazikristalnih legura naglo raste; odsustvo periodičnosti dovodi do usporavanja širenja dislokacija u odnosu na konvencionalne metale... Ovo svojstvo je od velike praktične važnosti: upotreba ikosaedarske faze omogućiće dobijanje lakih i veoma jakih legura unošenjem malih čestica kvazikristala u aluminijsku matricu.”
Koji je metodološki značaj otkrića kvazikristala? Prije svega, otkriće kvazikristala je trenutak velikog trijumfa „dodekaedarsko-ikosaedarske doktrine“, koja prožima čitavu povijest prirodne nauke i izvor je dubokih i korisnih naučnih ideja. Drugo, kvazikristali su uništili tradicionalnu ideju nepremostive podjele između svijeta minerala, u kojem je bila zabranjena "pentagonalna" simetrija, i svijeta žive prirode, gdje je "pentagonalna" simetrija jedna od najčešćih. I ne treba zaboraviti da je glavni udio ikosaedra „zlatni omjer“. A otkriće kvazikristala je još jedna naučna potvrda da je, možda, „zlatna proporcija“, koja se manifestuje i u svetu žive prirode i u svetu minerala, glavna proporcija Univerzuma.
Penrose Tiles
Kada je Dan Shekhtman dao eksperimentalni dokaz postojanja kvazikristala sa ikosaedarska simetrija, fizičari u potrazi za teorijskim objašnjenjem za fenomen kvazikristala, skrenuli su pažnju na matematičko otkriće koje je 10 godina ranije napravio engleski matematičar Roger Penrose. Kao “ravni analog” kvazikristala odabrali smo Penrose pločice, koje su aperiodične pravilne strukture formirane od “debelih” i “tankih” rombova, poštujući proporcije “zlatnog preseka”. Upravo Penrose pločice su usvojili kristalografi da objasne ovaj fenomen kvazikristali. Istovremeno, uloga Penrose dijamanti u prostoru tri dimenzije počeo da se igra ikosaedri, uz pomoć kojih se vrši gusto popunjavanje trodimenzionalnog prostora.
Pogledajmo izbliza pentagon na sl. 8.
Slika 8. Pentagon
Nakon crtanja dijagonala u njemu, originalni pentagon se može predstaviti kao skup od tri vrste geometrijskih figura. U sredini se nalazi novi petougao formiran od presjeka dijagonala. Osim toga, Pentagon na sl. 8 uključuje pet jednakokračnih trouglova, obojenih žuta, i pet jednakokračnih trouglova obojenih crvenom bojom. Žuti trouglovi su "zlatni" jer je omjer kuka i baze jednak zlatnom omjeru; imaju oštre uglove od 36° na vrhu i oštre uglove od 72° na bazi. Crveni trouglovi su također "zlatni", jer je omjer kuka i baze jednak zlatnom omjeru; imaju tupi ugao od 108° na vrhu i oštar ugao od 36° na bazi.
Sada spojimo dva žuta trougla i dva crvena trougla sa njihovim osnovama. Kao rezultat dobijamo dva "zlatnog" romba. Prvi od njih (žuti) ima oštar ugao od 36° i tupi ugao od 144° (slika 9).
 |
|
| (A) | (b) |
Slika 9." Zlatni" rombovi: a) "tanki" romb; (b) “debeli” romb
Dijamant na sl. Zvaćemo ga 9 tanak romb, i romb na sl. 9-b – debeli romb.
Engleski matematičar i fizičar Rogers Penrose koristio je „zlatne“ dijamante na Sl. 9 za izradu “zlatnog” parketa, koji je tzv Penrose pločice. Penrose pločice su kombinacija debelih i tankih dijamanata, prikazanih na Sl. 10.
Slika 10. Penrose pločice
Važno je to naglasiti Penrose pločice imaju "petougaonu" simetriju ili simetriju 5. reda, a omjer broja debelih rombova i tankih teži zlatnoj proporciji!
Fullereni
Hajde sada da razgovaramo o još jednom izuzetnom modernom otkriću u oblasti hemije. Ovo otkriće je napravljeno 1985. godine, odnosno nekoliko godina nakon kvazikristala. Riječ je o takozvanim “fulerenima”. Termin “fulereni” odnosi se na zatvorene molekule tipa C 60, C 70, C 76, C 84, u kojima su svi atomi ugljika smješteni na sfernoj ili sferoidnoj površini. U ovim molekulima atomi ugljika su raspoređeni na vrhovima pravilnih šesterokuta ili peterokuta koji pokrivaju površinu sfere ili sferoida. Centralno mjesto među fulerenima zauzima molekul C 60, koji se odlikuje najvećom simetrijom i kao posljedica toga najvećom stabilnošću. U ovom molekulu u obliku gume fudbalska lopta i koji imaju strukturu pravilnog skraćenog ikosaedra (sl. 2-e i slika 3), atomi ugljika se nalaze na sfernoj površini u vrhovima 20 pravilnih šesterokuta i 12 pravilnih peterokuta tako da svaki šestougao graniči sa tri šestougla i tri pentagona , a svaki pentagon graniči sa šesterokutima.
Izraz “fuleren” potiče od imena američkog arhitekte Buckminstera Fullera, koji je, ispostavilo se, koristio takve strukture prilikom izgradnje kupola zgrada (još jedna upotreba skraćenog ikosaedra!).
"Fulereni" su u suštini strukture koje je napravio čovjek, a proizlaze iz istraživanja fundamentalne fizike. Prvi su ih sintetizirali naučnici G. Croto i R. Smalley (koji su za ovo otkriće dobili Nobelovu nagradu 1996. godine). Ali neočekivano su otkriveni u stijenama pretkambrijskog perioda, odnosno ispostavilo se da su fulereni ne samo "ljudske", već prirodne formacije. Sada se fulereni intenzivno proučavaju u laboratorijama u različitim zemljama, pokušavajući da uspostave uslove za njihovo formiranje, strukturu, svojstva i moguća područja primjene. Najpotpunije proučavan predstavnik porodice fulerena je fuleren-60 (C 60) (ponekad se naziva i Buckminster fuleren. Poznati su i fuleren C 70 i C 84. Fuleren C 60 se dobija isparavanjem grafita u atmosferi helijuma. Time nastaje fini prah nalik čađi, koji sadrži 10% ugljika; kada se rastvori u benzenu, prah daje crvenu otopinu iz koje se uzgajaju kristali C 60. Fulereni imaju neobičnu hemijsku i fizička svojstva. Da, kada visok krvni pritisak Od 60. postaje tvrd poput dijamanta. Njegovi molekuli formiraju kristalnu strukturu, kao da se sastoje od savršeno glatkih kuglica, koje se slobodno rotiraju u kubičnoj rešetki usmjerenoj na lice. Zahvaljujući ovom svojstvu, C 60 se može koristiti kao čvrsto mazivo. Fulereni takođe imaju magnetna i supravodljiva svojstva.
Ruski naučnici A.V. Eletsky i B.M. Smirnov u svom članku “Fulereni”, objavljenom u časopisu “Uspekhi Fizicheskikh Nauk” (1993, tom 163, br. 2), napominje da "fulereni, čije je postojanje utvrđeno sredinom 80-ih i efikasna tehnologijačija je izolacija razvijena 1990. godine, sada je postala predmet intenzivnog istraživanja desetina naučnih grupa. Rezultate ovih studija pomno prate firme koje se bave primjenom. Budući da je ova modifikacija ugljika donijela naučnike niz iznenađenja, ne bi bilo mudro raspravljati o prognozama i mogućim posljedicama proučavanja fulerena u narednoj deceniji, ali treba biti spreman na nova iznenađenja."
Umjetnički svijet slovenačke umjetnice Matjuške Teje Krašek
Matjuška Teja Krasek diplomirala je slikarstvo na Visokoj školi likovnih umjetnosti (Ljubljana, Slovenija) i slobodni je umjetnik. Živi i radi u Ljubljani. Njen teorijski i praktični rad se fokusira na simetriju kao koncept premošćavanja između umjetnosti i nauke. Njeni radovi su predstavljeni na mnogima međunarodne izložbe i objavljena u međunarodnim časopisima (Leonardo Journal, Leonardo on-line).
M.T. Krašek na izložbi „Kaleidoskopski mirisi“, Ljubljana, 2005
Umjetničko stvaralaštvo Majke Teie Krashek povezuje se s raznim vrstama simetrije, Penrose pločicama i rombovima, kvazikristalima, zlatnim rezom kao glavnim elementom simetrije, Fibonačijevim brojevima itd. Uz pomoć refleksije, mašte i intuicije pokušava odaberite nove odnose, nove nivoe strukture, nove i različite vrste reda u ovim elementima i strukturama. U svom radu uveliko koristi kompjutersku grafiku kao veoma koristan alat za kreiranje umjetničkih djela, koja je spona između nauke, matematike i umjetnosti.
Na sl. 11 prikazuje sastav T.M. Krashek se odnosio na Fibonačijeve brojeve. Ako odaberemo jedan od Fibonačijevih brojeva (na primjer, 21 cm) za dužinu strane Penrose dijamanta u ovoj opipljivo nestabilnoj kompoziciji, možemo uočiti kako dužine nekih od segmenata u kompoziciji formiraju Fibonačijev niz.
 |
 |
Slika 11. Majka Teia Krašek “Fibonačijevi brojevi”, platno, 1998.
Veliki broj umjetnikovih umjetničkih kompozicija posvećen je Šehtmanovim kvazikristalima i Penrouzovim rešetkama (sl. 12).
 |
 |
| (A) | (b) |
 |
 |
| (V) | (G) |
Slika 12. Svijet Teia Krashek: (a) Svijet kvazikristala. Kompjuterska grafika, 1996.
(b) Zvijezde. Kompjuterska grafika, 1998 (c) 10/5. Platno, 1998. (d) Kvazi-kocka. Platno, 1999
Kompozicija Majke Theie Krashek i Clifforda Pickovera Biogenesis, 2005 (slika 13) sadrži desetokut sastavljen od Penrose dijamanata. Mogu se uočiti odnosi između Petroseovih rombova; Svaka dva susjedna Penrose dijamanta formiraju petougaonu zvijezdu.
Slika 13. Majka Theia Krashek i Clifford Pickover. Biogeneza, 2005.
Na slici Double Star GA(Slika 14) vidimo kako se Penroseove pločice kombinuju da formiraju dvodimenzionalni prikaz potencijalno hiperdimenzionalnog objekta sa dekagonalnom bazom. Prilikom prikazivanja slike, umjetnik je koristio metodu krutih rubova koju je predložio Leonardo da Vinci. Upravo ova metoda prikazivanja omogućava da se u projekciji slike na ravan vidi veliki broj peterokuta i pentakula, koji su formirani projekcijama pojedinačnih rubova Penroseovih rombova. Osim toga, u projekciji slike na ravan vidimo desetokut formiran od rubova 10 susjednih Penroseovih rombova. U suštini, na ovoj slici, Majka Teia Krašek je pronašla novi pravilni poliedar, koji vrlo verovatno postoji u prirodi.
Slika 14. Majka Teia Krashek. Double Star GA
U Krašekovoj kompoziciji „Zvijezde za Donalda“ (Sl. 15) možemo uočiti beskrajnu interakciju Penrouzovih rombova, pentagrama, pentagona, koji se smanjuju prema centralnoj tački kompozicije. Zlatni omjeri su predstavljeni na mnogo različitih načina na različitim skalama.
Slika 15. Majka Theia Krashek “Zvijezde za Donalda”, kompjuterska grafika, 2005.
Umjetničke kompozicije Majke Teie Krashek privukle su veliku pažnju predstavnika nauke i umjetnosti. Njena umjetnost je izjednačena s umjetnošću Mauritsa Eschera, a slovenačkog umjetnika nazivaju „istočnoevropskim Escherom“ i „slovenskim darom“ svjetskoj umjetnosti.
Stakhov A.P. “Da Vincijev kod”, platonska i arhimedova čvrsta tijela, kvazikristali, fulerini, Penroseove rešetke i umjetnički svijet Majke Teie Krashek // “Akademija trinitarizma”, M., El br. 77-6567, izdanje 12561, 07.11. 2005
Platonska tijela
Postoji šokantno mali broj pravilnih poliedara, ali ova vrlo skromna četa uspjela je ući u same dubine raznih nauka.
L. Carroll
Čovek je oduvek pokazivao interesovanje za poliedre. Neka od pravilnih i polupravilnih tijela javljaju se u prirodi u obliku kristala, druga - u obliku virusa koji se mogu ispitati pomoću elektronskog mikroskopa. Šta je poliedar? Poliedar je dio prostora omeđen skupom konačnog broja ravnih poligona.
Naučnike već dugo zanimaju "idealni" ili pravilni poligoni, odnosno poligoni sa jednakim stranicama i jednakim uglovima. Najjednostavniji pravilni mnogokut može se smatrati jednakostraničnim trouglom, jer ima najmanji broj stranica koje mogu ograničiti dio ravnine. Opća slika pravilnih poligona koji nas zanimaju, uz jednakostranični trokut, su: kvadrat (četiri stranice), petougao (pet stranica), šesterokut (šest stranica), osmougao (osam stranica), desetokut (deset strana) itd. Očigledno, teoretski ne postoje ograničenja za broj stranica pravilnog poligona, odnosno broj pravilnih poligona je beskonačan.
Šta je pravilni poliedar? Pravilan poliedar je takav poliedar, čije su sve strane jednake (ili podudarne) jedna drugoj i istovremeno su pravilni mnogouglovi. Koliko pravilnih poliedara ima? U XIII knjizi Euklidovih elemenata, posvećenoj pravilnim poliedrima, ili Platonovim telima (Platon ih govori u dijalogu Timej), nalazimo strogi dokaz da postoji samo pet pravilnih poliedara, a njihova lica mogu biti samo tri vrste pravilnih mnogokuta: trouglovi, kvadrati i petouglovi.
Dokaz da postoji tačno pet pravilnih konveksnih poliedara je vrlo jednostavan.
Očigledno, svaki vrh poliedra može pripadati trima ili više lica. Prvo, razmotrimo slučaj kada su lica poliedra jednakostranični trokuti. Budući da je unutrašnji ugao jednakostraničnog trougla 60°, tri takva ugla postavljena na ravan dat će zbir od 180°. Ako sada savijemo ove uglove duž unutrašnjih strana i zalijepimo ih duž vanjskih strana, dobićemo poliedarski ugao tetraedra - pravilnog poliedra, na čijem se vrhu susreću tri pravilna trokutasta lica. Tri pravilna trougla sa zajednički vrh naziva se razvoj vrha tetraedra. Ako razvoju temena dodate još jedan trokut, ukupan ugao je 240°. Ovo je razvoj vrha oktaedra. Dodavanjem petog trougla dobićemo ugao od 300° - dobijamo razvoj vrha ikosaedra. Ako dodamo još jedan, šesti trokut, zbir uglova postaje jednak 360° - ovaj razvoj, očigledno, ne može odgovarati nijednom konveksnom poliedru.
Sada pređimo na kvadratna lica. Razvoj tri kvadratna lica ima ugao od 3 x 90° = 270° - ovo stvara vrh kocke, koji se takođe naziva heksaedar. Dodavanje još jednog kvadrata će povećati ugao na 360° - ovaj razvoj više ne odgovara nijednom konveksnom poliedru.
Tri pentagonalne strane daju ugao skeniranja od 3 x 108° = 324° - vrh dodekaedra. Ako dodamo još jedan pentagon, dobićemo više od 360°.
Za heksagone, već tri lica daju ugao skeniranja od 3 x 120° = 360°, tako da ne postoji pravilan konveksni poliedar sa heksagonalnim stranama. Ako lice ima još više uglova, onda će skeniranje imati još veći ugao. To znači da ne postoje pravilni konveksni poliedri sa plohama sa šest ili više uglova.
Dakle, uvjereni smo da postoji samo pet konveksnih pravilnih poliedara - tetraedar, oktaedar i ikosaedar sa trokutastim plohama, kocka (heksaedar) s kvadratnim plohama i dodekaedar sa pentagonalnim plohama.
Pet pravilnih poliedara ili Platonovih tijela bilo je u upotrebi i poznato mnogo prije Platonovog vremena. Kate Crichlow, u svojoj knjizi Vrijeme stoji, daje uvjerljive dokaze da su bili poznati neolitskom narodu Britanije najmanje 1000 godina prije Platona. Ova tvrdnja se zasniva na prisutnosti određenog broja sferičnih kamenja koji se nalaze u Ashmolean muzeju u Oksfordu. Ovo kamenje, veličine da stane u ruku, bilo je prekriveno geometrijski preciznim sfernim figurama kocke, tetraedra, oktaedra, ikosaedra i dodekaedra, kao i nekim dodatnim složenim i pseudopravilnim čvrstim materijalima kao što su kuboktaedar i iko-dodekaedar. Critchlow kaže: „Ono što imamo su objekti koji nesumnjivo ukazuju na stepen matematičke sposobnosti, koje su do sada u vezi s neolitskim čovjekom poricali neki arheolozi ili istoričari matematike."
Teetet iz Atene (417–369 pne), Platonov savremenik, dao je matematički opis pravilnih poliedara i prvi poznati dokaz da ih ima tačno pet.
U Timeju, koji je najsnažnije pitagorejski karakter od bilo kojeg drugog Platonovog djela, on navodi da su četiri osnovna elementa svijeta zemlja, zrak, vatra i voda, te da je svaki od ovih elemenata povezan s jednim od prostornih figure. Tradicija povezuje kocku sa zemljom, tetraedar sa vatrom, oktaedar sa vazduhom, a ikosaedar sa vodom. Platon spominje "izvjesnu petu strukturu" koju je tvorac koristio u stvaranju svemira. Tako je dodekaedar postao povezan sa petim elementom: etrom. Organizator svemira, Platon, uspostavio je red iz primitivnog haosa ovih elemenata uz pomoć osnovnih oblika i brojeva. Rasporedite prema broju i obliku za više visoki nivo doveo do predodređenog rasporeda pet elemenata u fizičkom univerzumu. Osnovni oblici i brojevi su tada počeli da deluju kao linija razdvajanja između višeg i nižeg sveta. Sami po sebi i na osnovu svoje analogije sa drugim elementima, imali su sposobnost da oblikuju materijalni svet.
Istih pet pravilnih tijela, prema klasičnoj tradiciji, nacrtano je na način da se nalaze u devet koncentričnih kuglica, a svako tijelo je u dodiru sa sferom, koja se opisuje oko sljedećeg tijela koje se nalazi unutar njega. Ova kompozicija pokazuje mnoge važne odnose i posuđena je iz discipline koja se zove corpo transparente, koji se odnosi na percepciju sfera napravljenih od prozirnog materijala i postavljenih jedna u drugu. Ovu instrukciju fra Luca Paccioli dao je mnogim velikanima renesanse, uključujući Leonarda i Brunulleschija.
U svojoj knjizi "Tajna svijeta" (Mysterium Cosmographicum), koji je objavljen 1596. Johannes Kepler je sugerirao da postoji veza između pet Platonovih tijela i šest planeta Sunčevog sistema otkrivenih do tog vremena. Prema ovoj pretpostavci, kocka se može upisati u sferu Saturnove orbite, u koju se uklapa sfera Jupiterove orbite. Tetraedar opisan u blizini sfere Marsove orbite se zauzvrat uklapa u njega. Dodekaedar se uklapa u sferu orbite Marsa, u koju se uklapa sfera orbite Zemlje. I opisan je u blizini ikosaedra, u koji je upisana sfera orbite Venere. Sfera ove planete opisana je oko oktaedra u koji se uklapa Merkurova sfera. Ovaj model Sunčevog sistema nazvan je Keplerovom "kosmičkom čašom". Nesklad između Keplerovog modela i stvarnih dimenzija orbita (reda nekoliko posto) I. Kepler je objasnio kao „utjecaj materije“.
U 20. veku su se u teoriji koristila Platonova tela model elektronske ljuske Roberta Moona, koja je poznata i kao teorija Mjeseca. Moon je primijetio da je geometrijski raspored protona i neutrona u atomskom jezgru povezan s položajem vrhova ugniježđenih Platonovih tijela. Ovaj koncept je inspirisan Mysterium Cosmographicum J. Keplera.
Postoji Ojlerova formula za poliedre:
F + V = E + 2
U ovoj formuli F– broj lica, V– broj vrhova, E– broj rebara. Ove numeričke karakteristike za Platonova tijela date su u tabeli.
Kvantitativne karakteristike Platonovih tijela
Važni odnosi između ivica, prečnika upisanih i opisanih sfera, površina i zapremina pravilnih poliedara izražavaju se kroz iracionalne brojeve. Tabela ispod pokazuje omjer dužine ivice i opisanog prečnika sfere za svako od pet Platonovih čvrstih tijela.
Svaki dobijeni rezultat je iracionalan broj koji se može naći samo ekstrakcijom kvadratni korijen. Vidimo da se ovdje pojavljuju brojevi koji su važni i posebni u svetoj matematici.
Geometrija dodekaedra i ikosaedra povezana je sa zlatnim rezom. Zaista, lica dodekaedra su petouglovi, odnosno pravilni pentagoni zasnovani na zlatnom preseku. Ako pažljivo pogledate ikosaedar, možete vidjeti da se na svakom vrhu ikosaedra sastaje pet trouglova čije vanjske strane čine petougao. Ove činjenice same po sebi dovoljne su da nas uvjere da zlatni rez igra značajnu ulogu u dizajnu ova dva Platonova tijela. Ove dvije figure su inverzne jedna drugoj: obje se sastoje od 30 ivica, ali uprkos tome, ikosaedar ima 20 lica i 12 vrhova, a dodekaedar ima 12 lica i 20 vrhova. Također, jedan drugome su inverzni oktaedar i heksaedar i teataedar samom sebi.
Postoje neverovatne geometrijske veze između svih pravilni poliedri. Na primjer, kocka I oktaedar su dualni, odnosno dobijaju se jedno od drugog ako se težišta lica jednog uzmu kao vrh drugog i obrnuto. Slično dual ikosaedar I dodecahedron. Tetrahedron dualan sebi. Dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem "krova" na njenim plohama (Euklidova metoda); vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice, odnosno svi drugi pravilni poliedri mogu biti dobijene iz kocke.
Robert Lawlor u svom radu pokazuje da se Platonska tijela mogu konstruirati na osnovu ikosaedra. On piše: „Ako sve unutrašnje vrhove ikosaedra povežemo tako što iz svakog od njih povučemo tri prave koje povezuju svaki vrh sa njegovim suprotnim, a zatim iz dva gornja vrha povučemo četiri prave do dva suprotna, tako da ove prave susrećemo se u centru, mi ćemo, postupajući u skladu sa onim što je rečeno, prirodno konstruisati ivice dodekaedra. Ova konstrukcija se dešava automatski kada se unutrašnje linije ikosaedra preseku. Nakon kreiranja dodekaedra, možemo jednostavno koristiti šest njegovih vrhova i centar za konstruiranje kocke. Koristeći dijagonale kocke, možemo konstruirati tetraedar u obliku zvijezde ili isprepleteni. Presijeci zvjezdanog tetraedra s kockom daju nam tačnu lokaciju za konstruiranje upisanog oktaedra. Zatim se u samom oktaedru, koristeći unutrašnje linije ikosaedra i vrhove oktaedra, dobije drugi ikosaedar. Prošli smo kroz cijeli kompletan ciklus, pet faza od sjemena do sjemena. A takve radnje predstavljaju beskonačan niz.
Tetrahedron
Najjednostavniji od pravilnih poliedara je tetraedar. Za Platona to odgovara elementu Vatre. U fizici, "vatra" se može povezati sa stanjem plazme. Tetraedar ima najmanji broj strana među Platonovim telima i trodimenzionalni je analog ravnog pravilnog trougla, koji ima najmanji broj stranica među pravilnim mnogokutnicima. Njegova četiri lica su jednakostranični trouglovi. Četiri je najmanji broj ivica koje odvajaju dio trodimenzionalnog prostora. Svaki od njegovih vrhova je vrh tri trougla. Svi poliedarski uglovi tetraedra su međusobno jednaki. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 180°. Dakle, tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 ivica.
Oktaedar
Oktaedar se sastoji od osam jednakostraničnih trouglova. Za Platona to odgovara elementu Vazduha. U fizici, "vazduh" se može povezati sa gasovitim stanjem materije. Svaki od njegovih vrhova je vrh četiri trougla. Suprotna lica leže u paralelnim ravnima. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 240°. Dakle, oktaedar ima 8 lica, 6 vrhova i 12 ivica.
Ikosaedar
Ikosaedar je jedno od pet Platonovih tijela, po jednostavnosti odmah iza tetraedra i oktaedra. Za Platona to odgovara elementu Vode. U fizici, "voda" se može povezati sa tečnim stanjem materije. Ikosaedar se sastoji od dvadeset jednakostraničnih trouglova. Svaki od njegovih vrhova je vrh pet trouglova. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 300°. Dakle, ikosaedar ima 20 lica, 12 vrhova i 30 ivica.
Heksaedar
Heksaedar ili kocka se sastoji od šest kvadrata. Za Platona to odgovara elementu Zemlje. U fizici, "zemlja" se može povezati sa čvrstim stanjem materije. Svaki od njegovih vrhova je vrh od tri kvadrata. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 270°. Dakle, kocka ima 6 lica, 8 vrhova i 12 ivica.
Dodecahedron
Dodekaedar se sastoji od dvanaest jednakostraničnih pentagona. Za Platona to odgovara petom elementu - etru. Svaki od njegovih vrhova je vrh od tri pentagona. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 324°. Dakle, dodekaedar ima 12 lica, 20 vrhova i 30 ivica.
Pravilni poliedri se nalaze u živoj prirodi. Početkom 20. vijeka Ernst Haeckel ( Ernst Haeckel) opisao je niz organizama čiji su skeletni oblici slični raznim pravilnim poliedrima. Na primjer: Circoporus octaedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus i Circorrhegma dodecahedra. Skeletni oblici ovih organizama odražavaju se u njihovim imenima.
Skelet jednoćelijskog organizma Feodaria ( Circogoniaicosahedra) je u obliku ikosaedra. Većina feodarija živi u dubinama mora i služi kao plijen za koraljne ribe. Ali najjednostavnija životinja pokušava se zaštititi: 12 šupljih igala izlazi iz 12 vrhova skeleta. Krajevi igala imaju bodljike koje čine iglu još efikasnijom u zaštiti.
Mnogi virusi, npr. herpes, imaju oblik pravilnog ikosaedra. Virusne strukture se grade od ponavljajućih proteinskih podjedinica, a ikosaedar je najpogodniji oblik za reprodukciju ovih struktura.
Kristalne rešetke mnogih minerala imaju oblik platonskih čvrstih tijela.
Proizvodnja sumporne kiseline, željeza i posebnih vrsta cementa nije potpuna bez sumpornog pirita ( FeS). Kristali ovoga hemijska supstanca imaju oblik dodekaedra. Mineralni silvit ima kristalnu rešetku u obliku kocke. Kristali pirita imaju oblik dodekaedra, dok kuprit formira kristale u obliku oktaedara.
Platonska tijela su veoma važan predmet za proučavanje, kako sa stanovišta svete matematike, tako i sa stanovišta prirodnih nauka. Platonska tijela se pojavljuju posvuda, od virusa, od kojih su mnogi ikosaedarskog oblika, do složenih makrostruktura kao što je Sunčev sistem.
Anton Mukhin
Iz knjige Sveske autor Čehov Anton Pavlovičdeo tela. 2 [Protojerej plače kao bolesnik u detinjstvu kada ga je majka sažalila; Plakao sam jednostavno od opšte duhovne sedžde, gomila je plakala. Vjerovao je, postigao sve što je bilo [dato (?)] dostupno osobi na njegovom položaju, ali ga je ipak duša boljela: nije sve bilo jasno, nešto drugo
Iz knjige Sve je pod kontrolom: ko vas i kako gleda autor Garfinkel Simeon Iz knjige Nezamisliva budućnost autor Krieger BorisTaoci sopstveno telo U stanju zdravlja i blagostanja, osoba potpuno zaboravlja na postojanje vlastitog tijela. Ne muče ga bol i druge manifestacije nelagode, kao što su osjećaj hladnoće, vrućine, gladi i dr. Međutim, osjećaj realnosti života je pravedan
Iz knjige “Matriks” kao filozofija Irwin WilliamTIJELA, UMOVI, POLOVI "Zvijezde" "Matrixa" izgledaju prema određenom standardu. U virtuelnom svetu, njihovo meso je skriveno ispod sličan prijatelj jedan na drugom u odijelima od sjajne crne kože ili lateksa. “egzistencija” je ispunjena mesom, krvlju i svježom krvlju. Takve
Iz knjige Japanska lica vremena. Mentalitet i tradicija u modernom interijeru. autor Prasol Aleksandar FedorovičPoglavlje 17 O DINAMICI TELA - KARAKTERISTIKE JAPANSKIH KRETANJA Klima, ishrana i način života, drugačiji od evropskog, vekovima su oblikovali japansku građu i prirodu pokreta. U ovoj oblasti ima još mnogo toga neistraženog, pa hajde da pokušamo da to shvatimo
Iz knjige Tuđe lekcije - 2008 autor Golubicki Sergej MihajlovičESTETIKA GOOG TIJELA Istorijski gledano, japanski stav prema mnogim aspektima izgled ljudi su se takođe veoma razlikovali od Evropljana. To je posebno uočljivo u odnosu na golo tijelo. U evropskoj kulturi golotinja je dozvoljena u dva slučaja: od strane
Iz knjige Književne novine 6300 (br. 45 2010.) autor Književne novineOpušteni govor tijela Objavljeno u časopisu "Business Magazine" broj 15 od 08.08.2008. Associated Press, 4. jula 2008: “Philip Bennett, bivši direktor Refco Inc., osuđen je na 16 godina zatvora zbog finansijske prevare koja je dovela do kolapsa jedne od najvećih svjetskih kompanija.
Iz knjige Kako pobijediti Kineze autor Maslov Aleksej AleksandrovičMisterije tijela Biblioman. Knjiga desetak Misterija tijela ČITANJE MOSKVA A.A. Kamensky, M.V. Maslova, A.V. Graf. Hormoni vladaju svijetom: Popularna endokrinologija. – M.: AST-PRESS, 2010. – 192 str.: ilustr. – (Nauka i mir). – 5000 primjeraka. Trenutno se ne objavljuje mnogo naučnopopularne literature,
Iz knjige Kritika nečistog razuma autor Silaev Aleksandar Jurijevič Iz knjige Anticipating Yourself. Od slike do stila autor Khakamada Irina MitsuovnaPrava tela Ukratko rečeno: nije dovoljno znati istinu, morate je živjeti u svom tijelu. Tako da se tijelo ponaša istinski. I to se mora predavati posebno, u posebnim predmetima-disciplinama. Svi znaju, niko
Iz knjige Peta dimenzija. Na granici vremena i prostora [kolekcija] autor Bitov AndreyPoglavlje 4. Produhovljenje tela Telo se može tretirati drugačije. Možete ga obogotvoriti i posvetiti mu svoj život. Jane Fonda je o tome pisala u svojim memoarima. Stvorivši aerobik, mučila se dijetama i fitnesom, dovodeći svoju psihu u destruktivno stanje. Moguće na
Iz knjige Slike Pariza. Volume II autor Mercier Louis-SebastienSuptilna tijela(lično) 1964. godine, odmah nakon snimanja, lenjingradska umjetnica Gaga Kovenchuk sanjala je Nikitu Sergejeviča. Upoznali su se u metrou. Gaga je bila veoma srećna. "Kako to? – odmah je izrazio saučešće. “Sve je išlo tako dobro!” Nikita Sergejevič je bio kratak:
Iz knjige Zidanje i mašinerije (zbirka) autor Bajkov Eduard Arturovič226. Blagdan Tijelova (57) Dan Tijelova je najsvečaniji od svih katoličkih praznika. Na današnji dan Pariz je čist, veseo, siguran, veličanstven. Na današnji dan se vidi koliko je srebra u crkvama, da ne govorimo o zlatu i dijamantima, kako je crkva luksuzna
Iz knjige Rusija. Još nije veče autor Mukhin Yuri IgnatievichBody cult Bodybuilding (od engleskog body - body i building - konstrukcija, tj. Body-Building - body building, body building), ili bodybuilding (od francuskog culturisme - negovanje, izgradnja) nije samo sistem fizičkih vežbi koji promovišu izgradnje mišićna masa i,
Iz knjige Doktrina šoka [Uspon kapitalizma katastrofe] od Naomi KleinIzlazak duše iz tijela Mislim da vas neće iznenaditi da kada je osoba u stanju smrti, tijelo čini sve da spasi mozak. Odnosno, ako tijelo izgubi krv, tada će tijelo (Duh) odsjeći sve organe iz opskrbe krvlju i cirkulirati preostalu krv samo u krug:
Iz knjige autoraŠok za tijelo Otpor je rastao, a okupatori su odgovorili tako što su sve više koristili šok u novom obliku. Kasno u noć ili rano ujutru vojnici bi upadali na vrata, sijali fenjerima u mračne sobe i ispunjavali kuću vriskom, od kojih su lokalni stanovnici mogli da razaznaju samo nekoliko
