Co je to nestandardní forma monomiálu? Definice monomiálu, příbuzné pojmy, příklady

Lekce na téma: "Standardní forma monomiálu. Definice. Příklady"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání. Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Učební pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 7. ročník
Elektronická učebnice "Srozumitelná geometrie" pro ročníky 7.-9
Multimediální učebnice "Geometrie za 10 minut" pro ročníky 7-9

Monomiální. Definice

Monomiální je matematický výraz, který je součinem prvočinitele a jedné nebo více proměnných.

Monomiály zahrnují všechna čísla, proměnné, jejich mocniny s přirozeným exponentem:
42;  3;  0;  62;  2 3;  b3;  sekera 4;  4x 3;  5a2;  12xyz 3.

Poměrně často je obtížné určit, zda daný matematický výraz odkazuje na jednočlen nebo ne. Například $\frac(4a^3)(5)$. Je to monomiální nebo ne? Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme výraz zjednodušit, tzn. přítomný ve tvaru: $\frac(4)(5)*a^3$.
S jistotou můžeme říci, že tento výraz je jednočlenný.

Standardní forma monomiálu

Při výpočtu je žádoucí snížit monomiál na standardní pohled. Toto je nejvýstižnější a nejsrozumitelnější záznam monomiálu.

Postup pro redukci monomiálu na standardní formu je následující:
1. Vynásobte koeficienty monomiálu (nebo číselné faktory) a výsledný výsledek umístěte na první místo.
2. Vyberte všechny mocniny se stejným základem písmen a vynásobte je.
3. Opakujte bod 2 pro všechny proměnné.

Příklady.
I. Redukujte daný monomiál $3x^2zy^3*5y^2z^4$ na standardní tvar.

Řešení.
1. Vynásobte koeficienty monomiálu $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Nyní uvádíme podobné výrazy $15x^2y^5z^5$.

II. Redukujte daný monomiál $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ na standardní tvar.

Řešení.
1. Vynásobte koeficienty monomiálu $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Nyní uvedeme podobné výrazy $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

V této lekci uvedeme přesnou definici monomiálu a podíváme se na různé příklady z učebnice. Připomeňme si pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy. Definujme standardní tvar jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho písmennou část. Uvažujme dvě hlavní typické operace s monomiály, a to redukci na standardní tvar a výpočet konkrétní číselné hodnoty monomiálu pro dané hodnoty v něm obsažených doslovných proměnných. Formulujme pravidlo pro redukci monomiálu na standardní tvar. Naučme se řešit typické úkoly s jakýmikoli monomily.

Předmět:Monomials. Aritmetické operace s monočleny

Lekce:Koncept monomiálu. Standardní forma monomiálu

Zvažte několik příkladů:

3. ;

najdeme společné rysy pro dané výrazy. Ve všech třech případech je výraz součinem čísel a proměnných umocněných na mocninu. Na základě toho dáváme definice monomiálu : jednočlen se nazývá nějak takto algebraický výraz, který se skládá ze součinu mocnin a čísel.

Nyní uvedeme příklady výrazů, které nejsou jednočlenné:

Pojďme najít rozdíl mezi těmito výrazy a předchozími. Spočívá v tom, že v příkladech 4-7 jsou operace sčítání, odčítání nebo dělení, zatímco v příkladech 1-3, které jsou jednočlenné, tyto operace nejsou.

Zde je několik dalších příkladů:

Výraz číslo 8 je jednočlenný, protože je součin mocniny a čísla, zatímco příklad 9 jednočlenný není.

Teď to zjistíme akce na monomiály .

1. Zjednodušení. Podívejme se na příklad č. 3 ;a příklad č. 2 /

Ve druhém příkladu vidíme pouze jeden koeficient - , každá proměnná se objeví pouze jednou, tedy proměnná " A" je reprezentováno v jediné kopii jako "", podobně proměnné "" a "" se objevují pouze jednou.

V příkladu č. 3 jsou naopak dva různé koeficienty - a , proměnnou "" vidíme dvakrát - jako "" a jako "", obdobně se proměnná "" vyskytuje dvakrát. To znamená, že tento výraz by měl být zjednodušen, čímž se dostáváme první akcí prováděnou na monomiích je redukce monomií na standardní formu . K tomu zredukujeme výraz z příkladu 3 do standardního tvaru, poté nadefinujeme tuto operaci a naučíme se, jak zredukovat libovolný monomický tvar do standardního tvaru.

Zvažte tedy příklad:

První akcí při operaci redukce na standardní formu je vždy vynásobení všech číselných faktorů:

;

Výsledek této akce bude vyvolán koeficient monomiálu .

Dále musíte znásobit síly. Vynásobme mocniny proměnné" X„podle pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy, které říká, že při násobení se exponenty sčítají:

Nyní znásobme síly" na»:

;

Zde je tedy zjednodušený výraz:

;

Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Pojďme formulovat standardizační pravidlo :

Vynásobte všechny číselné faktory;

Umístěte výsledný koeficient na první místo;

Vynásobte všechny stupně, to znamená, že získáte část písmene;

To znamená, že jakýkoli monomial je charakterizován koeficientem a písmennou částí. Při pohledu do budoucna si všimneme, že monočleny, které mají stejnou část písmene, se nazývají podobné.

Teď musíme zapracovat technika pro redukci monomiálů na standardní formu . Zvažte příklady z učebnice:

Zadání: uveďte jednodílný znak do standardní podoby, pojmenujte koeficient a písmennou část.

Ke splnění úkolu použijeme pravidlo pro zmenšení jednočlenu na standardní tvar a vlastnosti mocnin.

1. ;

3. ;

Komentáře k prvnímu příkladu: Nejprve určíme, zda je tento výraz skutečně monočlen, zkontrolujme, zda obsahuje operace násobení čísel a mocnin a zda obsahuje operace sčítání, odčítání nebo dělení. Můžeme říci, že tento výraz je jednočlenný, protože je splněna výše uvedená podmínka. Dále podle pravidla pro redukci monomiálu na standardní tvar vynásobíme číselné faktory:

- našli jsme koeficient daného monomiálu;

; ; ; to znamená, že se získá doslovná část výrazu:;

Zapišme si odpověď: ;

Komentáře k druhému příkladu: Podle pravidla, které provádíme:

1) vynásobte číselné faktory:

2) vynásobte mocniny:

Proměnné jsou uvedeny v jedné kopii, to znamená, že je nelze s ničím násobit, jsou přepisovány beze změn, stupeň je násoben:

Zapišme si odpověď:

;

V tomto příkladu je koeficient monomiálu roven jedné a písmenná část je .

Komentáře ke třetímu příkladu: a Podobně jako v předchozích příkladech provedeme následující akce:

1) vynásobte číselné faktory:

;

2) vynásobte mocniny:

;

Zapišme si odpověď: ;

V v tomto případě koeficient monomiálu je "", a doslovná část .

Nyní uvažujme druhý standardní provoz na monomilech . Protože jednočlen je algebraický výraz sestávající z doslovných proměnných, které mohou nabývat specifických hodnot číselné hodnoty, pak máme aritmetický číselný výraz, který je třeba vypočítat. To znamená, že další operace s polynomy je výpočet jejich konkrétní číselné hodnoty .

Podívejme se na příklad. Monomický daný:

tento jednočlen je již zredukován do standardní podoby, jeho koeficient je roven jedné a písmenná část

Již dříve jsme řekli, že algebraický výraz nelze vždy vypočítat, to znamená, že proměnné, které jsou v něm obsaženy, nemohou nabývat žádné hodnoty. V případě monočlenu mohou být v něm obsažené proměnné libovolné, což je vlastnost monočlenu.

Takže dovnitř uvedený příklad je nutné vypočítat hodnotu monomiálu v , , , .

Monomiály jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Čísla, proměnné a jejich mocniny jsou také považovány za monočleny. Například: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Jednočlen 5aa2b2b lze redukovat na tvar 20a^2b^2 Tento tvar se nazývá standardní tvar monočlenu. To znamená, že standardní tvar monočlenu je součinem koeficientu (který je na prvním místě) a mocnin proměnné. Koeficienty 1 a -1 se nezapisují, ale od -1 je ponecháno mínus. Monomiál a jeho standardní forma

Výrazy 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Takové výrazy se nazývají monomiály. Čísla, proměnné a jejich mocniny jsou také považovány za monočleny.

Například výrazy 8, 35, y a y2 jsou monočleny.

Standardní tvar monočlenu je monočlen ve formě součinu číselného faktoru na prvním místě a mocnin různých proměnných. Jakýkoli monomial lze redukovat na standardní formu vynásobením všech proměnných a čísel v něm obsažených. Zde je příklad redukce monomiálu na standardní formu:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Číselný faktor monomiálu zapsaného ve standardním tvaru se nazývá koeficient monomiálu. Například koeficient monomiálu -7x2y2 je roven -7. Koeficienty monočlenů x3 a -xy jsou považovány za rovné 1 a -1, protože x3 = 1x3 a -xy = -1xy

Stupeň monomiálu je součtem exponentů všech proměnných v něm obsažených. Pokud monomiál neobsahuje proměnné, to znamená, že je to číslo, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule.

Například stupeň monomiálu 8x3yz2 je 6, monomiálu 6x je 1 a stupeň -10 je 0.

Násobení monomiálů. Povyšování monomiálů na mocnosti

Při násobení jednočlenů a umocňování jednočlenů na mocninu se používá pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem a pravidlo pro zvýšení mocniny na mocninu. To vytváří monomial, který je obvykle reprezentován ve standardní formě.

Například

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

Poznamenali jsme, že může být jakýkoli monomiál uvést do standardní podoby. V tomto článku pochopíme, co se nazývá uvedení monomiálu do standardní formy, jaké akce umožňují tento proces provést a zvážíme řešení příkladů s podrobným vysvětlením.

Navigace na stránce.

Co to znamená zredukovat monomiál na standardní formu?

S monomiály je vhodné pracovat, když jsou zapsané ve standardní podobě. Poměrně často jsou však monomily specifikovány v jiné než standardní formě. V těchto případech můžete vždy přejít z původního monomiálu na monomický standardní tvar proměny identity. Proces provádění takových transformací se nazývá redukce monomiálu na standardní formu.

Shrňme výše uvedené argumenty. Zmenšete monomiální na standardní tvar- to znamená provádět s ním identické transformace tak, aby nabyl standardní podoby.

Jak převést monomiál do standardní formy?

Je čas přijít na to, jak zredukovat monomily na standardní formu.

Jak je známo z definice, monomiály nestandardního tvaru jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin, případně opakujících se. A jednočlen standardního tvaru může obsahovat ve svém zápisu pouze jedno číslo a neopakující se proměnné nebo jejich mocniny. Nyní zbývá pochopit, jak přivést produkty prvního typu k typu druhého?

Chcete-li to provést, musíte použít následující pravidlo pro redukci monomiálu na standardní formu skládající se ze dvou kroků:

• Za prvé se provádí seskupeníčíselné faktory, stejně jako identické proměnné a jejich mocniny;
• Za druhé se vypočítá a použije součin čísel.

V důsledku aplikace uvedeného pravidla bude jakýkoli monomiál zredukován na standardní formu.

Příklady, řešení

Nezbývá než se naučit aplikovat pravidlo z předchozího odstavce při řešení příkladů.

Příklad.

Zmenšete monomiální 3 x 2 x 2 na standardní formu.

Řešení.

Seskupme číselné faktory a faktory s proměnnou x. Po seskupení bude mít původní monočlen tvar (3·2)·(x·x 2) . Součin čísel v prvních závorkách je roven 6 a pravidlo pro násobení mocnin se stejnými základy umožňuje, aby výraz v druhých závorkách byl reprezentován jako x 1 +2=x 3. Výsledkem je polynom standardního tvaru 6 x 3.

Zde je krátké shrnutí řešení: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Odpovědět:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Chcete-li tedy uvést jednočlen do standardního tvaru, musíte být schopni seskupovat faktory, násobit čísla a pracovat s mocninami.

Pro konsolidaci materiálu vyřešme ještě jeden příklad.

Příklad.

Prezentujte monomiál ve standardní podobě a uveďte jeho koeficient.

Řešení.

Původní monomial má ve svém zápisu jediný číselný faktor −1, přesuňme ho na začátek. Poté seskupíme faktory zvlášť s proměnnou a, zvlášť s proměnnou b a proměnnou m není do čeho seskupit, necháme to tak, máme . Po provedení operací s mocninami v závorkách nabude monomiál standardní tvar, který potřebujeme, odkud vidíme monomiální koeficient, rovno −1. Minus jedna lze nahradit znaménkem minus: .