Ecuaciones diferenciales para la variación de una constante arbitraria. Resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de órdenes superiores mediante el método de Lagrange

Considere una ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes de enésimo orden arbitrario:
(1) .
El método de variación de una constante, que consideramos para una ecuación de primer orden, también es aplicable a ecuaciones de orden superior.

La solución se realiza en dos etapas. En el primer paso, descartamos el lado derecho y resolvemos la ecuación homogénea. Como resultado, obtenemos una solución que contiene n constantes arbitrarias. En la segunda etapa variamos las constantes. Es decir, consideramos que estas constantes son funciones de la variable independiente x y encontramos la forma de estas funciones.

Aunque aquí estamos considerando ecuaciones con coeficientes constantes, pero El método de Lagrange también es aplicable para resolver cualquier ecuación lineal no homogénea.. Sin embargo, para ello es necesario conocer el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea.

Paso 1. Resolver la ecuación homogénea.

Como en el caso de las ecuaciones de primer orden, primero buscamos una solución general a la ecuación homogénea, igualando el lado derecho no homogéneo a cero:
(2) .
La solución general de esta ecuación es:
(3) .
Aquí hay constantes arbitrarias; - n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea (2), que forman un sistema fundamental de soluciones de esta ecuación.

Paso 2. Variación de constantes: sustitución de constantes por funciones

En la segunda etapa nos ocuparemos de la variación de constantes. En otras palabras, reemplazaremos las constantes con funciones de la variable independiente x:
.
Es decir, estamos buscando una solución. ecuación original(1) como sigue:
(4) .

Si sustituimos (4) en (1), obtenemos una ecuación diferencial para n funciones. En este caso, podemos conectar estas funciones con ecuaciones adicionales. Luego se obtienen n ecuaciones a partir de las cuales se pueden determinar n funciones. Se pueden escribir ecuaciones adicionales. diferentes caminos. Pero haremos esto para que la solución tenga la forma más simple. Para hacer esto, al derivar, es necesario igualar a cero los términos que contienen derivadas de funciones. Demostremos esto.

Para sustituir la solución propuesta (4) en la ecuación original (1), necesitamos encontrar las derivadas de primer orden n de la función escrita en la forma (4). Diferenciamos (4) usando reglas para diferenciar sumas y funciona:
.
Agrupemos a los miembros. Primero escribimos los términos con derivadas de y luego los términos con derivadas de:

.
Impongamos la primera condición a las funciones:
(5.1) .
Entonces la expresión para la primera derivada con respecto a tendrá una forma más simple:
(6.1) .

Usando el mismo método encontramos la segunda derivada:

.
Impongamos una segunda condición a las funciones:
(5.2) .
Entonces
(6.2) .
Etcétera. EN condiciones adicionales, equiparamos los términos que contienen derivadas de funciones a cero.

Así, si elegimos las siguientes ecuaciones adicionales para las funciones:
(5.k) ,
entonces las primeras derivadas con respecto a tendrán la forma más simple:
(6.k) .
Aquí .

Encuentra la enésima derivada:
(6.n)
.

Sustituya en la ecuación original (1):
(1) ;






.
Tengamos en cuenta que todas las funciones satisfacen la ecuación (2):
.
Entonces la suma de los términos que contienen cero da cero. Como resultado obtenemos:
(7) .

Como resultado, obtuvimos un sistema de ecuaciones lineales para derivadas:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Resolviendo este sistema, encontramos expresiones para derivadas en función de x. Integrando obtenemos:
.
Aquí hay constantes que ya no dependen de x. Sustituyendo en (4), obtenemos una solución general a la ecuación original.

Tenga en cuenta que para determinar los valores de las derivadas, nunca hemos utilizado el hecho de que los coeficientes a i son constantes. Es por eso El método de Lagrange es aplicable para resolver cualquier ecuación lineal no homogénea., si se conoce el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea (2).

Ejemplos

Resolver ecuaciones utilizando el método de variación de constantes (Lagrange).

Pasemos a la consideración de lineales no homogéneos. ecuaciones diferenciales tipo

Dónde - la función requerida del argumento y las funciones



son dados y continuos en un cierto intervalo
.

Introduzcamos en consideración la ecuación lineal homogénea, lado izquierdo que coincide con el lado izquierdo ecuación no homogénea (2.31),

Una ecuación de la forma (2.32) se llama ecuación homogénea correspondiente a la ecuación no homogénea (2.31).

El siguiente teorema se cumple sobre la estructura de la solución general de la ecuación lineal no homogénea (2.31).

Teorema 2.6. La solución general de la ecuación lineal no homogénea (2.31) en la región

es la suma de cualquier solución particular de la misma y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea (2.32) en el dominio (2.33), es decir

Dónde - solución particular de la ecuación (2.31),
es el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea (2.32), y
- constantes arbitrarias.

Encontrarás la demostración de este teorema en.

Usando el ejemplo de una ecuación diferencial de segundo orden, describiremos un método mediante el cual se puede encontrar una solución particular a una ecuación lineal no homogénea. Este método se llama Método de Lagrange de variación de constantes arbitrarias..

Entonces, tengamos una ecuación lineal no homogénea.

(2.35)

donde estan los coeficientes
y lado derecho
continuo en algún intervalo
.

Denotemos por
Y
sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea

(2.36)

Entonces su solución general tiene la forma

(2.37)

Dónde Y - constantes arbitrarias.

Buscaremos una solución a la ecuación (2.35) de la misma forma. , así como la solución general de la ecuación homogénea correspondiente, reemplazando constantes arbitrarias con algunas funciones diferenciables de (variamos constantes arbitrarias), aquellos.

Dónde
Y
- algunas funciones diferenciables de , que aún se desconocen y que intentaremos determinar para que la función (2.38) sea solución a la ecuación no homogénea (2.35). Derivando ambos lados de la igualdad (2.38), obtenemos

Para que al calcular derivadas de segundo orden de
Y
, exigimos que en todas partes
la condición se cumplió

Entonces para tendrá

Calculemos la segunda derivada.

Sustituyendo expresiones por ,,de (2.38), (2.40), (2.41) a la ecuación (2.35), obtenemos

Las expresiones entre corchetes son iguales a cero en todas partes
, porque Y - soluciones parciales de la ecuación (2.36). En este caso, (2.42) tomará la forma. Combinando esta condición con la condición (2.39), obtenemos un sistema de ecuaciones para determinar
Y

(2.43)

El último sistema es un sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales no homogéneas con respecto a
Y
. El determinante de este sistema es el determinante de Wronski para el sistema fundamental de soluciones. ,y, por lo tanto, es distinto de cero en todas partes
. Esto significa que el sistema (2.43) tiene una solución única. Habiéndolo solucionado de alguna manera relativamente
,
lo encontraremos

Dónde
Y
- funciones conocidas.

Realizando la integración y teniendo en cuenta que como
,
deberíamos tomar un par de funciones y establecer las constantes de integración iguales a cero. Obtenemos

Sustituyendo las expresiones (2.44) en las relaciones (2.38), podemos escribir la solución deseada a la ecuación no homogénea (2.35) en la forma

Este método se puede generalizar para encontrar una solución particular a la ecuación lineal no homogénea. -ésimo orden.

Ejemplo 2.6. Resuelve la ecuación
en
si funciones

formar un sistema fundamental de soluciones a la ecuación homogénea correspondiente.

Encontremos una solución particular a esta ecuación. Para ello, de acuerdo con el método de Lagrange, primero debemos resolver el sistema (2.43), que en nuestro caso tiene la forma
Reduciendo ambos lados de cada ecuación por obtenemos

Restando la primera ecuación término por término de la segunda ecuación, encontramos
y luego de la primera ecuación se sigue
Realizando la integración y estableciendo las constantes de integración a cero, tendremos

Una solución particular a esta ecuación se puede representar como

La solución general de esta ecuación tiene la forma

Dónde Y - constantes arbitrarias.

Finalmente, observemos una propiedad notable, que a menudo se denomina principio de superposición de soluciones y se describe mediante el siguiente teorema.

Teorema 2.7. si en el medio
función
- solución particular de la función de ecuación
una solución particular de la ecuación en el mismo intervalo es la función
hay una solución particular a la ecuación

Mínimo teórico

En la teoría de ecuaciones diferenciales, existe un método que pretende tener un grado bastante alto de universalidad para esta teoría.
Estamos hablando del método de variación de una constante arbitraria, aplicable a la solución. varias clases ecuaciones diferenciales y sus
sistemas Este es precisamente el caso cuando la teoría, si quitamos las pruebas de los enunciados entre paréntesis, es mínima, pero nos permite lograr
resultados significativos, por lo que se hará hincapié en los ejemplos.

La idea general del método es bastante sencilla de formular. Sea la ecuación dada (sistema de ecuaciones) difícil de resolver o incluso incomprensible,
Cómo resolverlo. Sin embargo, está claro que eliminando algunos términos de la ecuación se resuelve. Luego resuelven exactamente esto simplificado.
ecuación (sistema), obtenemos una solución que contiene un cierto número de constantes arbitrarias, dependiendo del orden de la ecuación (el número
ecuaciones del sistema). Entonces se supone que las constantes de la solución encontrada no son en realidad constantes la solución encontrada;
se sustituye en la ecuación (sistema) original, se obtiene una ecuación diferencial (o sistema de ecuaciones) para determinar las “constantes”.
Existe una cierta especificidad al aplicar el método de variación de una constante arbitraria a diferentes problemas, pero estos ya son detalles que
demostrado con ejemplos.

Consideremos por separado la solución de ecuaciones lineales no homogéneas de órdenes superiores, es decir ecuaciones de la forma
.
La solución general de una ecuación lineal no homogénea es la suma de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y una solución particular.
de esta ecuación. Supongamos que ya se ha encontrado una solución general a la ecuación homogénea, es decir, se ha construido un sistema fundamental de soluciones (FSS)
. Entonces la solución general de la ecuación homogénea es igual a .
Necesitamos encontrar cualquier solución particular a la ecuación no homogénea. Para ello se considera que las constantes dependen de una variable.
Lo siguiente que necesitas para resolver el sistema de ecuaciones.
.
La teoría garantiza que este sistema ecuaciones algebraicas en cuanto a derivadas de funciones existe una solución única.
Al encontrar las funciones mismas, las constantes de integración no aparecen: después de todo, se busca cualquier solución.

En el caso de resolver sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden de la forma

el algoritmo permanece casi sin cambios. Primero necesitas encontrar el FSR correspondiente. sistema homogéneo ecuaciones, crear una matriz fundamental
sistema, cuyas columnas representan los elementos del IEF. A continuación se elabora la ecuación.
.
Al resolver el sistema determinamos las funciones, encontrando así una solución particular al sistema original
(la matriz fundamental se multiplica por la columna de funciones encontradas).
Lo agregamos a la solución general del correspondiente sistema de ecuaciones homogéneas, que se construye sobre la base del FSR ya encontrado.
Se obtiene la solución general del sistema original.

Ejemplos.

Ejemplo 1. Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden..

Consideremos la ecuación homogénea correspondiente (denotamos la función deseada):
.
Esta ecuación se puede resolver fácilmente utilizando el método de separación de variables:

.
Ahora imaginemos la solución de la ecuación original en la forma , donde aún no se ha encontrado la función.
Sustituimos este tipo de solución en la ecuación original:
.
Como puede ver, los términos segundo y tercero del lado izquierdo se cancelan entre sí; esto es característica método de variación de una constante arbitraria.

Aquí ya se trata de una constante verdaderamente arbitraria. De este modo,
.

Ejemplo 2. La ecuación de Bernoulli..

Procedemos de manera similar al primer ejemplo: resolvemos la ecuación

método de separación de variables. Resulta que buscamos una solución a la ecuación original en la forma
.
Sustituimos esta función en la ecuación original:
.
Y nuevamente se producen las reducciones:
.
Aquí debe recordar asegurarse de que al dividir por la solución no se pierda. Y la solución a la original corresponde al caso.
ecuaciones Recordémoslo. Entonces,
.
Anotémoslo.
Esta es la solución. Al anotar la respuesta también se debe indicar la solución encontrada anteriormente, ya que no se corresponde con ningún valor final.
constantes

Ejemplo 3. Ecuaciones lineales no homogéneas de órdenes superiores..

Observemos de inmediato que esta ecuación se puede resolver de manera más simple, pero es conveniente demostrar el método usándola. Aunque algunas ventajas
El método de variación también tiene una constante arbitraria en este ejemplo.
Entonces, debes comenzar con el FSR de la ecuación homogénea correspondiente. Recordemos que para encontrar el FSR se elabora una curva característica.
la ecuacion
.
Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea.
.
Las constantes incluidas aquí deben variarse. Construyendo un sistema

Método de variación de constantes arbitrarias.

Método de variación de constantes arbitrarias para construir una solución a una ecuación diferencial lineal no homogénea.

a norte (t)z (norte) (t) + a norte − 1 (t)z (norte − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = F(t)

consiste en reemplazar constantes arbitrarias C k en la solución general

z(t) = C 1 z 1 (t) + C 2 z 2 (t) + ... + C norte z norte (t)

ecuación homogénea correspondiente

a norte (t)z (norte) (t) + a norte − 1 (t)z (norte − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

para funciones auxiliares C k (t) , cuyas derivadas satisfacen el sistema algebraico lineal

El determinante del sistema (1) es el Wronskiano de las funciones z 1 ,z 2 ,...,z norte , lo que asegura su solvencia única con respecto a .

Si son primitivas para , tomadas en valores fijos de las constantes de integración, entonces la función

es una solución a la ecuación diferencial lineal no homogénea original. La integración de una ecuación no homogénea en presencia de una solución general de la ecuación homogénea correspondiente se reduce así a cuadraturas.

Método de variación de constantes arbitrarias para construir soluciones a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en forma vectorial normal.

consiste en construir una solución particular (1) de la forma

Dónde z(t) es la base de las soluciones de la ecuación homogénea correspondiente, escrita en forma de matriz, y la función vectorial , que reemplazó al vector de constantes arbitrarias, está definida por la relación . La solución particular requerida (con valores iniciales cero en t = t 0 parece

Para un sistema con coeficientes constantes, la última expresión se simplifica:

Matriz z(t)z− 1 (τ) llamado matriz de cauchy operador l = A(t) .

enlaces externos

• exponenta.ru - Información teórica con ejemplos.

Fundación Wikimedia. 2010.

El método de variación de una constante arbitraria, o método de Lagrange, es otra forma de resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli.

Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son ecuaciones de la forma y’+p(x)y=q(x). Si hay un cero en el lado derecho: y’+p(x)y=0, entonces este es un lineal homogéneo Ecuación de primer orden. En consecuencia, una ecuación con distinto de cero lado derecho, y’+p(x)y=q(x), — heterogéneo ecuación lineal 1er pedido.

Método de variación de una constante arbitraria (método de Lagrange) es como sigue:

1) Buscamos una solución general a la ecuación homogénea y’+p(x)y=0: y=y*.

2) En la solución general, consideramos C no una constante, sino una función de x: C = C (x). Encontramos la derivada de la solución general (y*)’ y sustituimos la expresión resultante por y* y (y*)’ en la condición inicial. De la ecuación resultante encontramos la función C(x).

3) En la solución general de la ecuación homogénea, en lugar de C, sustituimos la expresión encontrada C(x).

Veamos ejemplos del método de variar una constante arbitraria. Tomemos las mismas tareas que en, comparemos el progreso de la solución y asegurémonos de que las respuestas obtenidas coincidan.

1) y'=3x-y/x

Reescribamos la ecuación en forma estándar (a diferencia del método de Bernoulli, donde necesitábamos la forma de notación solo para ver que la ecuación es lineal).

y’+y/x=3x (I). Ahora procedemos según el plan.

1) Resuelve la ecuación homogénea y’+y/x=0. Esta es una ecuación con variables separables. Imagine y'=dy/dx, sustituya: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por xy≠0: dy/y=-dx/x. Integramos:

2) En la solución general resultante de la ecuación homogénea, consideraremos C no una constante, sino una función de x: C=C(x). De aquí

Sustituimos las expresiones resultantes en la condición (I):

Integramos ambos lados de la ecuación:

aquí C ya es una nueva constante.

3) En la solución general de la ecuación homogénea y=C/x, donde asumimos C=C(x), es decir, y=C(x)/x, en lugar de C(x) sustituimos la expresión encontrada x³ +C: y=(x³ +C)/x o y=x²+C/x. Obtuvimos la misma respuesta que cuando resolvimos mediante el método de Bernoulli.

Respuesta: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Aquí la ecuación ya está escrita en forma estándar; no es necesario transformarla.

1) Resolver la ecuación lineal homogénea y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integramos:

Para obtener una forma de notación más conveniente, tomamos el exponente elevado a C como el nuevo C:

Esta transformación se realizó para que fuera más conveniente encontrar la derivada.

2) En la solución general resultante de la ecuación lineal homogénea, consideramos que C no es una constante, sino una función de x: C=C(x). Bajo esta condición

Sustituimos las expresiones resultantes y y y’ en la condición:

Multiplica ambos lados de la ecuación por

Integramos ambos lados de la ecuación usando la fórmula de integración por partes, obtenemos:

Aquí C ya no es una función, sino una constante ordinaria.

3) En la solución general de la ecuación homogénea.

sustituya la función encontrada C(x):

Obtuvimos la misma respuesta que cuando resolvimos mediante el método de Bernoulli.

El método de variación de una constante arbitraria también es aplicable para resolver.

y'x+y=-xy².

Reducimos la ecuación a vista estándar: y’+y/x=-y² (II).

1) Resuelve la ecuación homogénea y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por y: dy/y=-dx/x. Ahora integremos:

Sustituimos las expresiones resultantes en la condición (II):

Simplifiquemos:

Obtuvimos una ecuación con variables separables para C y x:

Aquí C ya es una constante ordinaria. Durante el proceso de integración, escribimos simplemente C en lugar de C(x), para no sobrecargar la notación. Y al final volvimos a C(x), para no confundir C(x) con el nuevo C.

3) En la solución general de la ecuación homogénea y=C(x)/x sustituimos la función encontrada C(x):

Obtuvimos la misma respuesta que al resolverlo mediante el método de Bernoulli.

Ejemplos de autoevaluación:

1. Reescribamos la ecuación en forma estándar: y’-2y=x.

1) Resuelve la ecuación homogénea y’-2y=0. y’=dy/dx, por lo tanto dy/dx=2y, multiplica ambos lados de la ecuación por dx, divide por y e integra:

Desde aquí encontramos y:

Sustituimos las expresiones para y e y’ en la condición (por brevedad usaremos C en lugar de C(x) y C’ en lugar de C"(x)):

Para encontrar la integral del lado derecho, usamos la fórmula de integración por partes:

Ahora sustituimos u, du y v en la fórmula:

Aquí C = constante.

3) Ahora sustituimos homogéneos en la solución.