Objeto del servicio. La calculadora en línea está diseñada para encontrar una solución fundamental y no trivial al SLAE. La solución resultante se guarda en un archivo de Word (ver solución de ejemplo).
Instrucciones. Seleccionar dimensión de matriz:
Propiedades de sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
Para que el sistema tenga soluciones no triviales, es necesario y suficiente que el rango de su matriz sea menor que el número de incógnitas.Teorema. Un sistema en el caso m=n tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante de este sistema es igual a cero.
Teorema. Cualquier combinación lineal de soluciones a un sistema también es una solución a ese sistema.
Definición. El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas se llama sistema fundamental de soluciones, si este conjunto consta de soluciones linealmente independientes y cualquier solución del sistema es una combinación lineal de estas soluciones.
Teorema. Si el rango r de la matriz del sistema es menor que el número n de incógnitas, entonces existe un sistema fundamental de soluciones que consta de (n-r) soluciones.
Algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
- Encontrar el rango de la matriz.
- Seleccionamos el menor básico. Distinguimos incógnitas dependientes (básicas) y libres.
- Tachamos aquellas ecuaciones del sistema cuyos coeficientes no están incluidos en la base menor, ya que son consecuencias de las demás (según el teorema de la base menor).
- Transferimos los términos de las ecuaciones que contienen incógnitas libres a lado derecho. Como resultado, obtenemos un sistema de r ecuaciones con r incógnitas, equivalente a la dada, cuyo determinante es distinto de cero.
- Resolvemos el sistema resultante eliminando incógnitas. Encontramos relaciones que expresan variables dependientes a través de libres.
- Si el rango de la matriz no es igual al número de variables, entonces encontramos la solución fundamental del sistema.
- En el caso rang = n tenemos una solución trivial.
Ejemplo. Encontrar la base del sistema de vectores (a 1, a 2,...,am), clasificar y expresar los vectores en función de la base. Si a 1 =(0,0,1,-1), y 2 =(1,1,2,0), y 3 =(1,1,1,1), y 4 =(3,2,1 ,4) y 5 =(2,1,0,3).
Anotemos la matriz principal del sistema:
Multiplica la tercera línea por (-3). Agreguemos la cuarta línea a la tercera:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Multiplica la cuarta línea por (-2). Multipliquemos la quinta línea por (3). Agreguemos la quinta línea a la cuarta:
Agreguemos la segunda línea a la primera:
Encontremos el rango de la matriz.
El sistema con los coeficientes de esta matriz es equivalente al sistema original y tiene la forma:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Utilizando el método de eliminación de incógnitas, encontramos una solución no trivial:
Obtuvimos relaciones que expresan las variables dependientes x 1 , x 2 , x 3 a través de las libres x 4 , es decir, encontramos decisión común:
x3 = x4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
El método gaussiano tiene una serie de desventajas: es imposible saber si el sistema es consistente o no hasta que se hayan llevado a cabo todas las transformaciones necesarias en el método gaussiano; El método de Gauss no es adecuado para sistemas con coeficientes de letras.
Consideremos otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estos métodos utilizan el concepto de rango matricial y reducen la solución de cualquier sistema consistente a la solución de un sistema al que se aplica la regla de Cramer.
Ejemplo 1. encontrar una solución general siguiente sistema ecuaciones lineales que utilizan un sistema fundamental de soluciones para el sistema homogéneo reducido y una solución particular para el sistema no homogéneo.
1. Hacer una matriz A y matriz del sistema extendido (1)
2. Explora el sistema (1) por la unión. Para hacer esto, encontramos los rangos de las matrices. A y https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Si resulta que , entonces el sistema (1) incompatible. Si conseguimos eso , entonces este sistema es consistente y lo resolveremos. (El estudio de compatibilidad se basa en el teorema de Kronecker-Capelli).
a. Encontramos real academia de bellas artes.
Encontrar real academia de bellas artes, consideraremos secuencialmente menores distintos de cero del primer, segundo, etc. orden de la matriz A y los menores que los rodean.
M1=1≠0 (tomamos 1 de la esquina superior izquierda de la matriz A).
bordeamos M1 la segunda fila y la segunda columna de esta matriz. 
. Seguimos bordeando M1 la segunda línea y la tercera columna..gif" width="37" height="20 src=">. Ahora bordeamos el menor distinto de cero M2′ segundo orden.
Tenemos: 
(ya que las dos primeras columnas son iguales)
(ya que la segunda y tercera líneas son proporcionales).
Vemos eso ra=2, a es la base menor de la matriz A.
b. Encontramos.
Menor bastante básico M2′ matrices A borde con una columna de términos libres y todas las filas (solo tenemos la última fila).
. Resulta que M3'' sigue siendo el menor básico de la matriz https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Porque M2′- base menor de la matriz A sistemas (2) , entonces este sistema es equivalente al sistema (3) , que consta de las dos primeras ecuaciones del sistema (2) (para M2′ está en las dos primeras filas de la matriz A).
(3)
Desde el menor básico https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
En este sistema hay dos incógnitas libres ( x2 Y x4 ). Es por eso FSR sistemas (4) consta de dos soluciones. Para encontrarlos, asignamos incógnitas libres en (4) valores primero x2=1 , x4=0 , y luego - x2=0 , x4=1 .
En x2=1 , x4=0 obtenemos:
.
Este sistema ya tiene la única cosa solución (se puede encontrar usando la regla de Cramer o cualquier otro método). Restando la primera de la segunda ecuación obtenemos:
Su solución será x1= -1 , x3=0 . dados los valores x2 Y x4 , que sumamos, obtenemos la primera solución fundamental del sistema (2) : .
Ahora creemos en (4) x2=0 , x4=1 . Obtenemos:
.
Resolvemos este sistema usando el teorema de Cramer:
.
Obtenemos la segunda solución fundamental del sistema. (2) : .
Soluciones β1 , β2 y maquillarse FSR sistemas (2) . Entonces su solución general será
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Aquí C1 , C2 – constantes arbitrarias.
4. Busquemos uno privado solución sistema heterogéneo(1) . Como en el párrafo 3 , en lugar del sistema (1) Consideremos un sistema equivalente. (5) , que consta de las dos primeras ecuaciones del sistema (1) .
(5)
Movamos las incógnitas libres hacia los lados correctos. x2 Y x4.
(6)
Demos incógnitas gratis x2 Y x4 valores arbitrarios, por ejemplo, x2=2 , x4=1 y ponerlos en (6) . Consigamos el sistema
Este sistema tiene una solución única (ya que su determinante M2′0). Resolviéndolo (usando el teorema de Cramer o el método de Gauss), obtenemos x1=3 , x3=3 . Dados los valores de las incógnitas libres x2 Y x4 , obtenemos solución particular de un sistema no homogéneo(1)α1=(3,2,3,1).
5. Ahora solo queda anotarlo solución general α de un sistema no homogéneo(1) : es igual a la suma solución privada este sistema y solución general de su sistema homogéneo reducido (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Esto significa: 
(7)
6. Examen. Para comprobar si resolviste el sistema correctamente (1) , necesitamos una solución general (7) sustituir en (1) . Si cada ecuación se convierte en la identidad ( C1 Y C2 debe ser destruido), entonces la solución se encuentra correctamente.
sustituiremos (7) por ejemplo, sólo la última ecuación del sistema (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Obtenemos: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Donde –1=–1. Tenemos una identidad. Hacemos esto con todas las demás ecuaciones del sistema. (1) .
Comentario. El control suele ser bastante engorroso. Se puede recomendar la siguiente “verificación parcial”: en la solución general del sistema (1) asigne algunos valores a constantes arbitrarias y sustituya la solución parcial resultante solo en las ecuaciones descartadas (es decir, en aquellas ecuaciones de (1) , que no estaban incluidos en (5) ). Si obtienes identidades, entonces más como, solución del sistema (1) encontrado correctamente (¡pero dicha verificación no proporciona una garantía total de corrección!). Por ejemplo, si en (7) poner C2=- 1 , C1=1, entonces obtenemos: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Sustituyendo en la última ecuación del sistema (1), tenemos: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , es decir –1=–1. Tenemos una identidad.
Ejemplo 2. Encontrar una solución general a un sistema de ecuaciones lineales. (1) , expresando las incógnitas básicas en términos de libres.
Solución. Como en Ejemplo 1, componer matrices A y https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> de estas matrices. Ahora dejamos solo aquellas ecuaciones del sistema. (1) , cuyos coeficientes están incluidos en este menor básico (es decir, tenemos las dos primeras ecuaciones) y consideramos un sistema formado por ellas, equivalente al sistema (1).
Transfiramos las incógnitas libres al lado derecho de estas ecuaciones.
sistema (9) Resolvemos por el método gaussiano, considerando los lados derechos como términos libres.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" ancho="202 altura=106" altura="106">
Opcion 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opción 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" ancho="172" alto="80">
Opción 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opción 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" ancho="195" alto="106">
Sistema homogéneo de ecuaciones lineales sobre un campo.
DEFINICIÓN. Un sistema fundamental de soluciones de un sistema de ecuaciones (1) es un sistema linealmente independiente no vacío de sus soluciones, cuyo tramo lineal coincide con el conjunto de todas las soluciones del sistema (1).
Tenga en cuenta que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene sólo una solución cero no tiene un sistema fundamental de soluciones.
PROPUESTA 3.11. Dos sistemas fundamentales cualesquiera de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales constan del mismo número de soluciones.
Prueba. De hecho, dos sistemas fundamentales cualesquiera de soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones (1) son equivalentes y linealmente independientes. Por lo tanto, según la Proposición 1.12, sus rangos son iguales. En consecuencia, el número de soluciones incluidas en un sistema fundamental es igual al número de soluciones incluidas en cualquier otro sistema fundamental de soluciones.
Si la matriz principal A del sistema homogéneo de ecuaciones (1) es cero, entonces cualquier vector de es una solución del sistema (1); en este caso, cualquier colección es lineal vectores independientes de es un sistema fundamental de soluciones. Si el rango de la columna de la matriz A es igual a , entonces el sistema (1) tiene solo una solución: cero; por lo tanto, en este caso, el sistema de ecuaciones (1) no tiene un sistema fundamental de soluciones.
TEOREMA 3.12. Si el rango de la matriz principal de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales (1) es menor que el número de variables, entonces el sistema (1) tiene un sistema de solución fundamental que consta de soluciones.
Prueba. Si el rango de la matriz principal A del sistema homogéneo (1) es igual a cero o , entonces se demostró anteriormente que el teorema es verdadero. Por lo tanto, a continuación se supone que Suponiendo, asumiremos que las primeras columnas de la matriz A son linealmente independientes. En este caso, la matriz A es equivalente por filas a una matriz reducida por pasos, y el sistema (1) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones reducido por pasos:
Es fácil comprobar que cualquier sistema de valores libres variables del sistema(2) corresponde a una y sólo una solución al sistema (2) y, por tanto, al sistema (1). En particular, sólo la solución cero del sistema (2) y del sistema (1) corresponde a un sistema de valores cero.
En el sistema (2) asignaremos uno de los libres valor de las variables, igual a 1, y las variables restantes tienen valores cero. Como resultado, obtenemos soluciones al sistema de ecuaciones (2), que escribimos en forma de filas de la siguiente matriz C:
El sistema de filas de esta matriz es linealmente independiente. De hecho, para cualquier escalar de la igualdad
sigue la igualdad
y por tanto la igualdad
Demostremos que el tramo lineal del sistema de filas de la matriz C coincide con el conjunto de todas las soluciones del sistema (1).
Solución arbitraria del sistema (1). Entonces el vector
también es una solución al sistema (1), y
Dejar METRO 0 – conjunto de soluciones a un sistema homogéneo (4) de ecuaciones lineales.
Definición 6.12. Vectores Con 1 ,Con 2 , …, Con p, que son soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales se llaman conjunto fundamental de soluciones(FNR abreviado), si
1) vectores Con 1 ,Con 2 , …, Con p linealmente independientes (es decir, ninguno de ellos puede expresarse en términos de los demás);
2) cualquier otra solución a un sistema homogéneo de ecuaciones lineales se puede expresar en términos de soluciones Con 1 ,Con 2 , …, Con p.
Tenga en cuenta que si Con 1 ,Con 2 , …, Con p– cualquier f.n.r., entonces la expresión k 1× Con 1 + k 2× Con 2 + … + k p× Con p puedes describir todo el conjunto METRO 0 soluciones al sistema (4), por eso se llama vista general de la solución del sistema (4).
Teorema 6.6. Cualquier sistema homogéneo indeterminado de ecuaciones lineales tiene un conjunto fundamental de soluciones.
La forma de encontrar el conjunto fundamental de soluciones es la siguiente:
Encuentre una solución general a un sistema homogéneo de ecuaciones lineales;
Construir ( norte – r) soluciones parciales de este sistema, mientras que los valores de las incógnitas libres deben formar una matriz identidad;
Escribir forma general soluciones incluidas en METRO 0 .
Ejemplo 6.5. Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para el siguiente sistema:
Solución. Encontremos una solución general a este sistema.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Hay cinco incógnitas en este sistema ( norte= 5), de las cuales existen dos incógnitas principales ( r= 2), hay tres incógnitas libres ( norte – r), es decir, el conjunto solución fundamental contiene tres vectores solución. Vamos a construirlos. Tenemos X 1 y X 3 – principales incógnitas, X 2 , X 4 , X 5 – incógnitas libres
Valores de incógnitas libres X 2 , X 4 , X 5 forman la matriz identidad mi tercer orden. Tengo esos vectores Con 1 ,Con 2 , Con 3 formulario f.n.r. de este sistema. Entonces el conjunto de soluciones de este sistema homogéneo será METRO 0 = {k 1× Con 1 + k 2× Con 2 + k 3× Con 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Averigüemos ahora las condiciones para la existencia de soluciones distintas de cero de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, en otras palabras, las condiciones para la existencia de un conjunto fundamental de soluciones.
Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene soluciones distintas de cero, es decir, es incierto si
1) el rango de la matriz principal del sistema es menor que el número de incógnitas;
2) en un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas;
3) si en un sistema homogéneo de ecuaciones lineales el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz principal es igual a cero (es decir, | A| = 0).
Ejemplo 6.6. ¿A qué valor del parámetro? a sistema homogéneo de ecuaciones lineales 
tiene soluciones distintas de cero?
Solución. Compongamos la matriz principal de este sistema y encontremos su determinante: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. El determinante de esta matriz es igual a cero en a = –4.
Respuesta: –4.
7. Aritmética norte-espacio vectorial dimensional
Conceptos básicos
En apartados anteriores ya nos hemos topado con el concepto de conjunto de números reales dispuestos en un orden determinado. Esta es una matriz de filas (o matriz de columnas) y una solución a un sistema de ecuaciones lineales con norte desconocido. Esta información se puede resumir.
Definición 7.1. norte-vector aritmética dimensional llamado conjunto ordenado de norte numeros reales.
Medio A= (un 1, un 2,…, un norte), donde un iО R, i = 1, 2, …, norte– vista general del vector. Número norte llamado dimensión vectores y números a i se llaman suyos coordenadas.
Por ejemplo: A= (1, –8, 7, 4, ) – vector de cinco dimensiones.
Todo listo norte Los vectores -dimensionales generalmente se denotan como Rn.
Definición 7.2. Dos vectores A= (un 1, un 2,…, un norte) Y b= (segundo 1, segundo 2,…, segundo norte) de la misma dimensión igual si y sólo si sus coordenadas correspondientes son iguales, es decir, a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a norte= segundo norte.
Definición 7.3.Cantidad dos norte-vectores dimensionales A= (un 1, un 2,…, un norte) Y b= (segundo 1, segundo 2,…, segundo norte) se llama vector a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2,…, a norte+b norte).
Definición 7.4. La obra Número Real k a vector A= (un 1, un 2,…, un norte) se llama vector k× A = (k×a 1, k×a 2 ,…, k×a norte)
Definición 7.5. Vector oh= (0, 0,…, 0) se llama cero(o vector nulo).
Es fácil comprobar que las acciones (operaciones) de sumar vectores y multiplicarlos por un número real tienen las siguientes propiedades: " a, b, C Î Rn, " k, yo O R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ C) = (a + b) + C;
3) a + oh = a;
4) a+ (–a) = oh;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( yo× a) = yo×( k× a) = (yo× k)× a;
7) (k + yo)× a = k× a + yo× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definición 7.6. Un montón de Rn con las operaciones de sumar vectores y multiplicarlos por un número real dado en él se llama espacio vectorial aritmético n-dimensional.
