Resuelve la ecuación de Bernoulli. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y ecuación de Bernoulli.

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación de la forma

donde n≠0,n≠1.

Esta ecuación se puede reordenar mediante sustitución.

V ecuación lineal

En la practica ecuación diferencial Bernoulli generalmente no conduce a una ecuación lineal, sino que se resuelve inmediatamente utilizando los mismos métodos que una ecuación lineal: ya sea el método de Bernoulli o el método de variación de una constante arbitraria.

Veamos cómo resolver la ecuación diferencial de Bernoulli usando la sustitución y=uv (método de Bernoulli). El esquema de solución es el mismo que para .

Ejemplos. Resolver ecuaciones:

1) y'x+y=-xy².

Esta es la ecuación diferencial de Bernoulli. Llevémoslo a la forma estándar. Para ello, divide ambas partes por x: y’+y/x=-y². Aquí p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Pero no lo necesitamos para resolver vista estándar. Trabajaremos con el formulario de grabación proporcionado en las condiciones.

1) Reemplazo y=uv, donde u=u(x) y v=v(x) son algunas funciones nuevas de x. Entonces y'=(uv)'=u'v+v'u. Sustituimos las expresiones resultantes en la condición: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Abramos los corchetes: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Ahora agrupemos los términos con v: v+v’ux=-xu²v² (I) (no tocamos el término de grado v, que está en el lado derecho de la ecuación). Ahora requerimos que la expresión entre paréntesis sea igual a cero: u’x+u=0. Y esta es una ecuación con variables separables u y x. Una vez resuelto, te encontraremos. Sustituimos u=du/dx y separamos las variables: x·du/dx=-u. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por xu≠0:

(al encontrar u C lo tomamos igual a cero).

3) En la ecuación (I) sustituimos =0 y la función encontrada u=1/x. Tenemos la ecuación: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Después de la simplificación: v’=-(1/x)·v². Esta es una ecuación con variables separables v y x. Reemplazamos v’=dv/dx y separamos las variables: dv/dx=-(1/x)·v². Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por v²≠0:

(Tomamos -C para, al multiplicar ambos lados por -1, eliminar el menos). Entonces, multiplica por (-1):

(se podría tomar no C, sino ln│C│, y en este caso sería v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Asegurémonos de que esta sea la ecuación de Bernoulli. Dividiendo ambas partes por 2, obtenemos y’+y=(x/2) y². Aquí p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Resolvemos la ecuación usando el método de Bernoulli.

1) Reemplazo y=uv, y’=u’v+v’u. Sustituimos estas expresiones en la condición original: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Abrir los corchetes: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Ahora agrupemos los términos que contienen v: +2v’u=xu²v² (II). Requerimos que la expresión entre paréntesis sea igual a cero: 2u’+2u=0, por lo tanto u’+u=0. Esta es una ecuación separable para u y x. Resolvámoslo y encontremoste. Sustituimos u’=du/dx, de donde du/dx=-u. Multiplicando ambos lados de la ecuación por dx y dividiendo por u≠0, obtenemos: du/u=-dx. Integramos:

3) Sustituir en (II) =0 y

Ahora sustituimos v’=dv/dx y separamos las variables:

Integramos:

El lado izquierdo de la igualdad es una integral de tabla, la integral del lado derecho se encuentra usando la fórmula de integración por partes:

Sustituyendo v y du encontrados usando la fórmula de integración por partes tenemos:

Y desde

Hagamos C=-C:

4) Como y=uv, sustituimos las funciones encontradas u y v:

3) Integrar la ecuación x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Dividamos ambos lados de la ecuación por x²(x-1)≠0 y muevamos el término con y² hacia el lado derecho:

Esta es la ecuación de Bernoulli.

1) Reemplazo y=uv, y’=u’v+v’u. Como es habitual, sustituimos estas expresiones en la condición original: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Por lo tanto x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Agrupamos los términos que contienen v (v² - no tocar):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Ahora requerimos que la expresión entre paréntesis sea igual a cero: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, por lo tanto x²(x-1)u’=x(x-2)u. En la ecuación separamos las variables u y x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por x²(x-1)u≠0:

En el lado izquierdo de la ecuación hay una integral tabular. fracción racional en el lado derecho debes descomponerlo en fracciones simples:

Cuando x=1: 1-2=A·0+B·1, de donde B=-1.

En x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, de donde A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Según las propiedades de los logaritmos: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, de donde u=x²/(x-1).

3) En la igualdad (III) sustituimos =0 y u=x²/(x-1). Obtenemos: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, sustituir:

en lugar de C, tomamos - C, de modo que, al multiplicar ambos lados por (-1), nos deshacemos de los inconvenientes:

Ahora reduzcamos las expresiones del lado derecho a un denominador común y encontremos v:

4) Como y=uv, sustituyendo las funciones encontradas u y v, obtenemos:

Ejemplos de autoevaluación:

1) Asegurémonos de que esta sea la ecuación de Bernoulli. Dividiendo ambos lados por x, tenemos:

1) Reemplazo y=uv, de donde y’=u’v+v’u. Sustituimos estos y y y’ en la condición original:

2) Agrupa los términos con v:

Ahora requerimos que la expresión entre paréntesis sea igual a cero y encontrar u a partir de esta condición:

Integramos ambos lados de la ecuación:

3) En la ecuación (*) sustituimos =0 y u=1/x²:

Integramos ambos lados de la ecuación resultante.

Una ecuación de la forma y' + P(x)y = Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones conocidas de x, lineales con respecto a la función y y su derivada y', se llama una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Si q(x)=0, la ecuación se llama ecuación lineal homogénea. q(x)=0 – ecuación lineal no homogénea.

Una ecuación lineal se reduce a dos ecuaciones con variables separables usando la sustitución y = u*v, donde u = u(x) y v = v(x) son algunas funciones continuas auxiliares.

Entonces, y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),

luego reescribimos la ecuación original en la forma: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).

Dado que la función desconocida y se busca como producto de dos funciones, una de ellas puede elegirse arbitrariamente y la otra puede determinarse mediante la ecuación (2).

Elijamos de manera que v’ + P(x)*v = 0 (3). Para esto, es suficiente que v(x) sea una solución parcial de la ecuación (3) (en C = 0). Encontremos esta solución:

V*P(x) ; = -;en |v| = -; v = (4)

Sustituyendo la función (4) en la ecuación (2), obtenemos una segunda ecuación con variables separables, de la cual encontramos la función u(x):

u’* = Q(x) ; du = Q(x) *; tu = +C (5)

Finalmente obtenemos:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

La ecuación de Bernoulli:y’ + y = X* y 3

Esta ecuación tiene la forma: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones continuas.

Si n = 0, entonces la ecuación de Bernoulli se convierte en una ecuación diferencial lineal. Si n = 1, la ecuación se convierte en una ecuación separable.

En general, cuando n ≠ 0, 1, ec. Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal mediante sustitución: z = y 1- n

La nueva ecuación diferencial para la función z(x) tiene la forma: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) y se puede resolver de la misma manera que las diferenciales lineales. Ecuaciones de primer orden.

20. Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores.

Consideremos la ecuación que no contiene la función explícitamente:

El orden de esta ecuación se reduce en uno mediante sustitución:

En efecto, entonces:

Y obtenemos una ecuación en la que el orden se reduce en uno:

Dif. las ecuaciones de orden superior al segundo tienen la forma y , donde son números reales, y la función f(x) continuo en el intervalo de integración X.

No siempre es posible resolver estas ecuaciones analíticamente y normalmente se utilizan métodos aproximados. Sin embargo, en algunos casos es posible encontrar decisión común.

Teorema.

solución general y 0 ecuación diferencial lineal homogénea en el intervalo X con coeficientes continuos en X es una combinación lineal norte soluciones parciales linealmente independientes de LODE con arbitrario coeficientes constantes , eso es .

Teorema.

decisión común y diferencial lineal no homogéneo

ecuaciones en el intervalo X con continuos en el mismo

entre X coeficientes y función f(x) representa la cantidad

Dónde y 0 es la solución general de la LODE correspondiente y es alguna solución particular de la LODE original.

Por tanto, la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea con constantes

buscando coeficientes en la forma , donde - algunos

su solución privada, y – solución general del diferencial homogéneo correspondiente

ecuaciones

21. Pruebas y eventos. Tipos de eventos. Ejemplos.

La prueba es la creación de un cierto conjunto de condiciones para la ocurrencia de eventos. Ejemplo: tirar un dado

Evento – aparición/no aparición de uno u otro resultado de la prueba; resultado de la prueba. Ejemplo: tirar el número 2

Un evento aleatorio es un evento que puede ocurrir o no durante una prueba determinada. Ejemplo: sacar un número mayor que 5

Confiable: un evento que ocurre inevitablemente durante una prueba determinada. Ejemplo: sacar un número mayor o igual a 1

Posible: un evento que puede ocurrir durante una prueba determinada. Ejemplo: sacar el número 6

Imposible: un evento que no puede ocurrir durante una prueba determinada. Ejemplo: tirar el número 7

Sea A algún evento. Por evento opuesto a él, entenderemos un evento consistente en la no ocurrencia del evento A. Designación: Ᾱ. Ejemplo: A – se lanza el número 2, Ᾱ – se lanza cualquier otro número

Los eventos A y B son incompatibles si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia del otro en el mismo ensayo. Ejemplo: sacar los números 1 y 3 en una tirada.

Los eventos A y B se llaman conjuntos si pueden ocurrir en un solo ensayo. Ejemplo: sacar un número mayor que 2 y el número 4 en la misma tirada.

22. Grupo completo de eventos. Ejemplos.

Un grupo completo de eventos: eventos A, B, C, D, ..., L, que se consideran los únicos posibles si, como resultado de cada prueba, al menos uno de ellos ocurrirá definitivamente. Ejemplo: en los dados aparecen el número 1, el número 2, 3, 4, 5, 6.

23. Frecuencia de eventos. Definición estadística de probabilidad.

Sean n pruebas y el evento A ocurre m veces. Esta relación m:n es la frecuencia de ocurrencia del evento A.

Def. La probabilidad de un evento aleatorio es un número constante asociado con un evento dado, alrededor del cual fluctúa la frecuencia de ocurrencia de este evento en largas series de pruebas.

La probabilidad se calcula antes del experimento y la frecuencia después.

24. Definición clásica de probabilidad. Propiedades de la probabilidad de eventos.

La probabilidad de un evento x es la relación entre el número de resultados favorables al evento A y el número total de todos los resultados igualmente posibles, incompatibles por pares y únicamente posibles del experimento. PAG(A) =

Propiedades de probabilidad de eventos:

Para cualquier evento A 0<=m<=n

Dividiendo cada término por n, obtenemos para la probabilidad de cualquier evento A: 0<=Р(А) <=1

Si m=0, entonces el evento es imposible: P(A)=0

Si m=n, entonces el evento es confiable: P(A)=1

si m

25. Definición geométrica de probabilidad. Ejemplos.

La definición clásica de probabilidad requiere la consideración de un número finito de resultados elementales, e igualmente posibles. Pero en la práctica suele haber pruebas en las que el número de resultados posibles es infinito.

AOD. Si un punto aparece aleatoriamente en una región unidimensional, bidimensional o tridimensional de medida S (una medida es su longitud, área o volumen), entonces la probabilidad de que aparezca en parte de esta región de medida S es igual a

donde S es una medida geométrica que expresa el número total todo lo posible e igualmente posible resultados de este ensayo, y S i– una medida que expresa el número de resultados favorables al evento A.

Ejemplo 1. Un círculo de radio R se coloca en un círculo más pequeño de radio R. Encuentre la probabilidad de que un punto lanzado al azar en el círculo más grande también caiga en el círculo pequeño.

Ejemplo 2. Sea un segmento de longitud l incluido en un segmento de longitud L. Encuentre la probabilidad del evento A "un punto lanzado al azar cae sobre un segmento de longitud l".

Ejemplo 3. Se selecciona un punto al azar en el círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que su distancia al centro del círculo sea mayor que la mitad?

Ejemplo 4. Las dos personas acordaron encontrarse en un lugar determinado entre las dos y las tres de la tarde. La primera persona que llega espera a la otra durante 10 minutos y luego se marcha. ¿Cuál es la probabilidad de que estas personas se reúnan si cada una de ellas puede llegar en cualquier momento durante la hora especificada, independientemente de la otra?

26. Elementos de combinatoria: Colocación, permutación, combinaciones.

1) Permutación Se llama orden establecido en un conjunto finito.

El número de todas las permutaciones diferentes se calcula mediante la fórmula

2) Colocación de norte elementos por metro llamado cualquier cosa ordenado un subconjunto del conjunto principal que contiene m elementos.

3) combinación de norte elementos por metro llamado cualquier cosa desordenado un subconjunto del conjunto principal que contiene elementos.

La ecuación diferencial y" +a 0 (x)y=b(x)y n se llama La ecuación de Bernoulli..
Como con n=0 se obtiene una ecuación lineal, y con n=1 - con variables separables, asumimos que n ≠ 0 y n ≠ 1. Dividimos ambos lados de (1) por y n. Luego, poniendo , tenemos . Sustituyendo esta expresión obtenemos , o, lo que es lo mismo, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Esta es una ecuación lineal que sabemos resolver.

Objeto del servicio. Se puede utilizar una calculadora en línea para comprobar la solución. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

=

Ejemplo 1. Encuentre la solución general de la ecuación y" + 2xy = 2xy 3. Esta es la ecuación de Bernoulli para n=3. Dividiendo ambos lados de la ecuación por y 3 obtenemos. Haga un cambio. Entonces y por lo tanto la ecuación se reescribe como -z " + 4xz = 4x. Resolviendo esta ecuación por el método de variación de una constante arbitraria, obtenemos dónde o, lo que es lo mismo, .

Ejemplo 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Dividir por y 2
y"/y 2 + 1/y = -1

Hacemos un reemplazo:
z=1/y n-1, es decir z = 1/año 2-1 = 1/año
z = 1/año
z"= -y"/y 2

Obtenemos: -z" + z = -1 o z" ​​- z = 1

Ejemplo 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Solución.
a) Solución mediante la ecuación de Bernoulli.
Presentémoslo en la forma: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Esta es la ecuación de Bernoulli para n=3. Dividiendo ambos lados de la ecuación por y 3 obtenemos: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Hacemos el reemplazo: z=1/y 2. Entonces z"=-2/y 3 y por lo tanto la ecuación se reescribe en la forma: -xz"/2+2z=-x 5 e x. Esta es una ecuación no homogénea. Considere la ecuación homogénea correspondiente: -xz"/2+2z=0
1. Resolviendolo, obtenemos: z"=4z/x

Integrando obtenemos:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Ahora buscamos una solución a la ecuación original en la forma: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x o C(x)" = 2e x . Integrando obtenemos: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
De la condición y(x)=C(x)y, obtenemos: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) o y = Cx 4 +2x 4 e x. Como z=1/y 2, obtenemos: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

La ecuación de Bernoulli. es uno de los mas famosos ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Está escrito en la forma

Dónde a(X) Y b(X) son funciones continuas. Si metro= 0, entonces la ecuación de Bernoulli se convierte en una ecuación diferencial lineal. En el caso cuando metro= 1, la ecuación se convierte en una ecuación separable. En general, cuando metro≠ 0,1, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal mediante la sustitución

Nueva ecuación diferencial para la función. z(X) tiene la forma

y se puede resolver utilizando los métodos descritos en la página Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

MÉTODO BERNOULI.

La ecuación considerada se puede resolver mediante el método de Bernoulli. Para hacer esto, buscamos una solución a la ecuación original en forma de producto de dos funciones: donde tú, v- funciones de X. Diferenciar: Sustituir en la ecuación original (1): (2) Como v Tomemos cualquier solución distinta de cero a la ecuación: (3) La ecuación (3) es una ecuación con variables separables. Después de que encontramos su solución particular. v = v(x), sustitúyelo en (2). Dado que satisface la ecuación (3), la expresión entre paréntesis se vuelve cero. Obtenemos: Esta también es una ecuación separable. Encontramos su solución general, y con ella la solución de la ecuación original. y = uv.

64. Ecuación en diferenciales totales. Factor integrador. Métodos de solución

Ecuación diferencial de primer orden de la forma

llamado ecuación en diferenciales totales, si su lado izquierdo representa el diferencial total de alguna función, es decir

Teorema. Para que la ecuación (1) sea una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que en algún dominio de cambio de variables simplemente conectado se cumpla la condición

La integral general de la ecuación (1) tiene la forma o

Ejemplo 1. Resolver ecuación diferencial.

Solución. Comprobemos que esta ecuación es una ecuación diferencial total:

así que eso es se cumple la condición (2). Por lo tanto, esta ecuación es una ecuación en diferenciales totales y

por lo tanto, donde todavía es una función indefinida.

Integrando obtenemos . La derivada parcial de la función encontrada debe ser igual a, lo que da de dónde para que Así,.

Integral general de la ecuación diferencial original.

Al integrar algunas ecuaciones diferenciales, los términos se pueden agrupar de tal forma que se obtengan combinaciones fácilmente integrables.

65. Ecuaciones lineales diferenciales ordinarias de órdenes superiores: homogéneas y no homogéneas. Operador diferencial lineal, sus propiedades (con prueba).

Operador diferencial lineal y sus propiedades. El conjunto de funciones que tienen en el intervalo ( a , b ) no menos norte derivadas, forma un espacio lineal. Considere el operador l norte (y ), que muestra la función y (X ), que tiene derivadas, en una función que tiene k - norte derivados.

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación que es lineal con respecto a una función desconocida y su derivada. Parece que

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

donde p(x) y q(x) son funciones dadas de x, continuas en la región en la que se debe integrar la ecuación (1).

Si q(x)\equiv0 , entonces la ecuación (1) se llama lineal homogéneo. Es una ecuación separable y tiene solución general.

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

La solución general a la ecuación no homogénea se puede encontrar. método de variación de una constante arbitraria, que consiste en que la solución a la ecuación (1) se busca en la forma

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), donde C(x) es una nueva función desconocida de x.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación y"+2xy=2xe^(-x^2).

Solución. Utilicemos el método de variación constante. Considere la ecuación homogénea y"+2xy=0, correspondiente a esta ecuación no homogénea. Esta es una ecuación con variables separables. Su solución general tiene la forma y=Ce^(-x^2).

Buscamos una solución general a la ecuación no homogénea en la forma y=C(x)e^(-x^2), donde C(x) es una función desconocida de x. Sustituyendo, obtenemos C"(x)=2x, de donde C(x)=x^2+C. Entonces, la solución general de la ecuación no homogénea será y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , donde C - constante de integración.

Comentario. Puede resultar que la ecuación diferencial sea lineal en x en función de y. La forma normal de tal ecuación es

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Solución. Esta ecuación es lineal si consideramos x en función de y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Usamos el método de variación de una constante arbitraria. Primero resolvemos la ecuación homogénea correspondiente.

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

que es una ecuación con variables separables. Su solución general tiene la forma x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Buscamos una solución general a la ecuación en la forma x=C(y)e^(\sin(y)), donde C(y) es una función desconocida de y. Sustituyendo obtenemos

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y o C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

De aquí integrando por partes tenemos

\begin(alineado)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ pecado(y)),\end(alineado)

Entonces,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Sustituyendo esta ecuación en x=C(y)e^(\sin(y)) , obtenemos una solución general a la ecuación original, y por tanto a esta ecuación:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

La ecuación original también se puede integrar de la siguiente manera. Creemos

Y=u(x)v(x),

donde u(x) y v(x) son funciones desconocidas de x, una de las cuales, por ejemplo v(x), puede elegirse arbitrariamente.

Sustituyendo y=u(x)v(x) en , después de la transformación obtenemos

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Determinando v(x) a partir de la condición v"+pv=0, encontramos entonces a partir de vu"+(pv+v")u=q(x) la función u(x) y, en consecuencia, la solución y=uv de la ecuacion \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Como v(x) podemos tomar cualquier solución frecuente de la ecuación v"+pv=0,~v\no\equiv0.

Ejemplo 3. Resuelva el problema de Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Solución. Buscamos una solución general a la ecuación en la forma y=u(x)v(x) ; tenemos y"=u"v+uv". Sustituyendo la expresión para y e y" en la ecuación original, tendremos

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) o x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Encontramos la función v=v(x) a partir de la condición x(x-1)v"+v=0. Tomando cualquier solución particular de la última ecuación, por ejemplo v=\frac(x)(x-1) y sustituyéndolo, obtenemos la ecuación u"=2x-1, de la cual encontramos la función u(x)=x^2-x+C. Por tanto, la solución general de la ecuación x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) voluntad

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), o y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Usando la condición inicial y|_(x=2)=4, obtenemos la ecuación para encontrar C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, de donde C=0 ; entonces la solución al problema de Cauchy planteado será la función y=x^2.

Ejemplo 4. Se sabe que existe una relación entre la corriente i y la fuerza electromotriz E en un circuito que tiene resistencia R y autoinductancia L. E=Ri+L\frac(di)(dt), donde R y L son constantes. Si consideramos E en función del tiempo t, obtenemos una ecuación lineal no homogénea para la intensidad de corriente i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Encuentre la intensidad actual i(t) para el caso en que E=E_0=\texto(constante) y yo(0)=I_0.

Solución. Tenemos \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. La solución general de esta ecuación tiene la forma i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Usando la condición inicial (13), obtenemos de C=I_0-\frac(E_0)(R), por lo que la solución deseada será

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Esto muestra que en t\to+\infty la intensidad actual i(t) tiende a un valor constante \frac(E_0)(R) .

Ejemplo 5. Se da una familia C_\alpha de curvas integrales de la ecuación lineal no homogénea y"+p(x)y=q(x).

Demuestre que las tangentes en los puntos correspondientes a las curvas C_\alpha definidas por la ecuación lineal se cortan en un punto (Fig. 13).

Solución. Considere la tangente a cualquier curva C_\alpha en el punto M(x,y). La ecuación de la tangente en el punto M(x,y) tiene la forma

\eta-q(x)(\xi-x)=y, donde \xi,\eta son las coordenadas actuales del punto tangente.

Por definición, en los puntos correspondientes x es constante e y es variable. Tomando dos tangentes cualesquiera a las rectas C_\alpha en los puntos correspondientes, para las coordenadas del punto S de su intersección, obtenemos

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Esto muestra que todas las tangentes a las curvas C_\alpha en los puntos correspondientes (x es fijo) se cruzan en el mismo punto

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Eliminando el argumento x en el sistema, obtenemos la ecuación del lugar geométrico de los puntos. S\dos puntos f(\xi,\eta)=0.

Ejemplo 6. Encuentra la solución a la ecuación. y"-y=\cos(x)-\sin(x), cumpliendo la condición: y está limitado en y\to+\infty .

Solución. La solución general de esta ecuación es y=Ce^x+\sin(x) . Cualquier solución a la ecuación obtenida a partir de la solución general para C\ne0 será ilimitada, ya que para x\to+\infty la función \sin(x) está acotada y e^x\to+\infty . De ello se deduce que esta ecuación tiene una solución única y=\sin(x) , acotada en x\to+\infty , que se obtiene de la solución general en C=0 .

La ecuación de Bernoulli.

La ecuación diferencial de Bernoulli parece

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, donde n\ne0;1 (para n=0 y n=1 esta ecuación es lineal).

Usando reemplazo de variables z=\frac(1)(y^(n-1)) La ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal y se integra como lineal.

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación de Bernoulli y"-xy=-xy^3.

Solución. Divide ambos lados de la ecuación por y^3:

\frac(y"))(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Hacer un cambio de variable \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", dónde \frac(y"))(y^3)=-\frac(z"))(2). Después de la sustitución, la última ecuación se convierte en una ecuación lineal.

-\frac(z")(2)-xz=-x o z"+2xz=2x, cuya solución general es z=1+Ce^(-x^2).

De aquí obtenemos la integral general de esta ecuación.

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) o y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Comentario. La ecuación de Bernoulli también se puede integrar mediante el método de variación de una constante, como una ecuación lineal, y usando la sustitución y(x)=u(x)v(x).

Ejemplo 8. Resuelve la ecuación de Bernoulli xy"+y=y^2\ln(x).

Solución. Apliquemos el método de variación de una constante arbitraria. La solución general de la correspondiente ecuación homogénea xy"+y=0 tiene la forma y=\frac(C)(x). Buscamos la solución general de la ecuación en la forma y=\frac(C(x)) (x) , donde C(x) - nueva función desconocida... Sustituyendo en la ecuación original, tendremos

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Para encontrar la función C(x), obtenemos una ecuación con variables separables, de la cual, separando las variables e integrando, encontramos

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Entonces, la solución general de la ecuación original y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Algunas ecuaciones no lineales de primer orden se pueden reducir a ecuaciones lineales o ecuaciones de Bernoulli utilizando un cambio de variables encontrado con éxito.

Ejemplo 9. Resuelve la ecuación y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Solución. Escribamos esta ecuación en la forma y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2\cos^2\frac(y)(2), obtenemos \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Reemplazo \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) reduce esta ecuación a lineal \frac(dz)(dx)+z=-x, cuya solución general es z=1-x+Ce^(-x) .

Reemplazando z por su expresión en términos de y, obtenemos la integral general de esta ecuación \nombredeloperador(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

En algunas ecuaciones, la función deseada y(x) puede estar bajo el signo integral. En estos casos, a veces es posible reducir esta ecuación a una ecuación diferencial por diferenciación.

Ejemplo 10. Resuelve la ecuación x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Solución. Derivando ambos lados de esta ecuación con respecto a x, obtenemos

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) o Fuente de información