Sistema homogéneo ecuaciones lineales sobre el campo
DEFINICIÓN. Un sistema fundamental de soluciones de un sistema de ecuaciones (1) es un sistema linealmente independiente no vacío de sus soluciones, cuyo tramo lineal coincide con el conjunto de todas las soluciones del sistema (1).
Tenga en cuenta que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene sólo una solución cero no tiene un sistema fundamental de soluciones.
PROPUESTA 3.11. Dos sistemas fundamentales cualesquiera de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales constan del mismo número de soluciones.
Prueba. De hecho, dos sistemas fundamentales cualesquiera de soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones (1) son equivalentes y linealmente independientes. Por lo tanto, según la Proposición 1.12, sus rangos son iguales. Por lo tanto, el número de soluciones incluidas en una sistema fundamental, es igual al número de soluciones incluidas en cualquier otro sistema fundamental de soluciones.
Si la matriz principal A del sistema homogéneo de ecuaciones (1) es cero, entonces cualquier vector de es una solución del sistema (1); en este caso, cualquier colección es lineal vectores independientes de es un sistema fundamental de soluciones. Si el rango de la columna de la matriz A es igual a , entonces el sistema (1) tiene solo una solución: cero; por lo tanto, en este caso, el sistema de ecuaciones (1) no tiene un sistema fundamental de soluciones.
TEOREMA 3.12. Si el rango de la matriz principal de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales (1) es menor que el número de variables, entonces el sistema (1) tiene un sistema de solución fundamental que consta de soluciones.
Prueba. Si el rango de la matriz principal A del sistema homogéneo (1) es igual a cero o , entonces se demostró anteriormente que el teorema es verdadero. Por lo tanto, a continuación se supone que Suponiendo, asumiremos que las primeras columnas de la matriz A son linealmente independientes. En este caso, la matriz A es equivalente por filas a una matriz reducida por pasos, y el sistema (1) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones reducido por pasos:
Es fácil comprobar que cualquier sistema de valores libres variables del sistema(2) corresponde a una y sólo una solución al sistema (2) y, por tanto, al sistema (1). En particular, sólo la solución cero del sistema (2) y del sistema (1) corresponde a un sistema de valores cero.
En el sistema (2) asignaremos uno de los libres valor de las variables, igual a 1, y las variables restantes tienen valores cero. Como resultado, obtenemos soluciones al sistema de ecuaciones (2), que escribimos en forma de filas de la siguiente matriz C:
El sistema de filas de esta matriz es linealmente independiente. De hecho, para cualquier escalar de la igualdad
sigue la igualdad
y por tanto la igualdad
Demostremos que el tramo lineal del sistema de filas de la matriz C coincide con el conjunto de todas las soluciones del sistema (1).
Solución arbitraria del sistema (1). Entonces el vector
también es una solución al sistema (1), y
¡¡¡Puede solicitar una solución detallada a su problema!!!Para entender lo que es sistema de decisión fundamental Puedes ver un vídeo tutorial del mismo ejemplo haciendo clic. Ahora pasemos a la descripción del conjunto. trabajo necesario. Esto le ayudará a comprender la esencia de este problema con más detalle.
¿Cómo encontrar el sistema fundamental de soluciones de una ecuación lineal?
Tomemos por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Encontremos la solución a este sistema lineal de ecuaciones. Para empezar, nosotros es necesario escribir la matriz de coeficientes del sistema.
Transformemos esta matriz en una triangular. Reescribimos la primera línea sin cambios. Y todos los elementos que están bajo $a_(11)$ deben convertirse en ceros. Para hacer un cero en lugar del elemento $a_(21)$, debes restar la primera línea de la segunda y escribir la diferencia en la segunda línea. Para hacer un cero en lugar del elemento $a_(31)$, debes restar la primera línea de la tercera y escribir la diferencia en la tercera línea. Para hacer un cero en lugar del elemento $a_(41)$, debes restar el primero multiplicado por 2 de la cuarta línea y escribir la diferencia en la cuarta línea. Para hacer un cero en lugar del elemento $a_(31)$, debes restar el primero multiplicado por 2 de la quinta línea y escribir la diferencia en la quinta línea. 
Reescribimos la primera y segunda línea sin cambios. Y todos los elementos que están bajo $a_(22)$ deben convertirse en ceros. Para hacer un cero en lugar del elemento $a_(32)$, debes restar el segundo multiplicado por 2 de la tercera línea y escribir la diferencia en la tercera línea. Para hacer un cero en lugar del elemento $a_(42)$, debes restar el segundo multiplicado por 2 de la cuarta línea y escribir la diferencia en la cuarta línea. Para hacer un cero en lugar del elemento $a_(52)$, debes restar el segundo multiplicado por 3 de la quinta línea y escribir la diferencia en la quinta línea. 
Vemos eso las ultimas tres lineas son iguales, por lo que si restas el tercero al cuarto y al quinto, se convertirán en cero. 
Según esta matriz anote nuevo sistema ecuaciones.
Vemos que tenemos sólo tres ecuaciones linealmente independientes y cinco incógnitas, por lo que el sistema fundamental de soluciones estará formado por dos vectores. Así que nosotros Necesitamos mover las dos últimas incógnitas a la derecha..
Ahora, comenzamos a expresar aquellas incógnitas que están en el lado izquierdo a través de las que están en el lado derecho. Comenzamos con la última ecuación, primero expresamos $x_3$, luego sustituimos el resultado resultante en la segunda ecuación y expresamos $x_2$, y luego en la primera ecuación y aquí expresamos $x_1$. Así, expresamos todas las incógnitas que están en el lado izquierdo a través de las incógnitas que están en el lado derecho. 
Luego, en lugar de $x_4$ y $x_5$, podemos sustituir cualquier número y encontrar $x_1$, $x_2$ y $x_3$. Cada cinco de estos números serán las raíces de nuestro sistema de ecuaciones original. Para encontrar los vectores que están incluidos en FSR Necesitamos sustituir 1 en lugar de $x_4$, y sustituir 0 en lugar de $x_5$, encontrar $x_1$, $x_2$ y $x_3$, y luego viceversa $x_4=0$ y $x_5=1$.
Seguiremos puliendo nuestra tecnología transformaciones elementales en sistema homogéneo de ecuaciones lineales.
A juzgar por los primeros párrafos, el material puede parecer aburrido y mediocre, pero esta impresión es engañosa. Además de un mayor desarrollo de las técnicas técnicas, habrá muchas nueva información, así que trate de no descuidar los ejemplos de este artículo.
¿Qué es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales?
La respuesta se sugiere por sí sola. Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si el término libre todos la ecuación del sistema es cero. Por ejemplo:
Es absolutamente claro que un sistema homogéneo es siempre consistente, es decir, siempre tiene solución. Y, antes que nada, lo que llama la atención es el llamado trivial solución 
. Trivial, para aquellos que no entienden en absoluto el significado del adjetivo, significa sin alarde. No académicamente, por supuesto, pero sí inteligiblemente =) ...Para qué andarse con rodeos, averigüemos si este sistema tiene otras soluciones:
Ejemplo 1
Solución: para resolver un sistema homogéneo es necesario escribir matriz del sistema y con la ayuda de transformaciones elementales llévelo a una forma escalonada. Tenga en cuenta que aquí no es necesario escribir la barra vertical y la columna cero de términos libres; después de todo, no importa lo que haga con los ceros, seguirán siendo ceros: 
(1) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –2. La primera línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –3.
(2) La segunda línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –1.
Dividir la tercera línea entre 3 no tiene mucho sentido.
Como resultado de transformaciones elementales, se obtiene un sistema homogéneo equivalente. 
, y, aplicando trazo inverso Con el método de Gauss, es fácil verificar que la solución es única.
Respuesta: 
Formulemos un criterio obvio.: un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solo una solución trivial, Si rango de la matriz del sistema(V en este caso 3) igual al número de variables (en este caso – 3 piezas).
Calentemos y sintonicemos nuestra radio con la ola de transformaciones elementales:
Ejemplo 2
Resolver un sistema homogéneo de ecuaciones lineales. 
Para consolidar finalmente el algoritmo, analicemos la tarea final:
Ejemplo 7
Resuelve un sistema homogéneo, escribe la respuesta en forma vectorial. 
Solución: escribamos la matriz del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada: 
(1) Se ha cambiado el signo de la primera línea. Una vez más llamo la atención sobre una técnica que he encontrado muchas veces y que permite simplificar significativamente la siguiente acción.
(1) La primera línea se agregó a la segunda y tercera líneas. La primera línea, multiplicada por 2, se añadió a la cuarta línea.
(3) Las últimas tres líneas son proporcionales, dos de ellas han sido eliminadas.
Como resultado, se obtiene una matriz de pasos estándar y la solución continúa a lo largo de la pista moleteada:
– variables básicas;
– variables libres.
Expresemos las variables básicas en términos de variables libres. De la segunda ecuación:
– sustituir en la primera ecuación:
De este modo, decisión común:
Dado que en el ejemplo considerado hay tres variables libres, el sistema fundamental contiene tres vectores.
Sustituyamos un triple de valores. 
en la solución general y obtener un vector cuyas coordenadas satisfagan cada ecuación del sistema homogéneo. Y nuevamente repito que es muy recomendable verificar cada vector recibido; no le llevará mucho tiempo, pero lo protegerá completamente de errores.
Por un triple de valores 
encontrar el vector
Y finalmente para los tres 
obtenemos el tercer vector:
Respuesta: , Dónde
Aquellos que deseen evitar valores fraccionarios pueden considerar trillizos y obtener la respuesta en forma equivalente:
Hablando de fracciones. Veamos la matriz obtenida en el problema. 
y preguntémonos: ¿es posible simplificar la solución adicional? Después de todo, aquí primero expresamos la variable básica a través de fracciones, luego a través de fracciones la variable básica y, debo decir, este proceso no fue el más simple ni el más agradable.
Segunda solución:
La idea es intentar elegir otras variables base. Miremos la matriz y observemos dos unos en la tercera columna. Entonces, ¿por qué no poner un cero en la parte superior? Realicemos una transformación elemental más:
Un sistema de ecuaciones lineales en el que todos los términos libres son iguales a cero se llama homogéneo :
Cualquier sistema homogéneo es siempre consistente, ya que siempre tiene cero (trivial ) solución. Surge la pregunta bajo qué condiciones un sistema homogéneo tendrá una solución no trivial.
Teorema 5.2.Un sistema homogéneo tiene una solución no trivial si y sólo si el rango de la matriz subyacente es menor que el número de sus incógnitas.
Consecuencia. Un sistema cuadrado homogéneo tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero.
Ejemplo 5.6. Determine los valores del parámetro l en los que el sistema tiene soluciones no triviales y encuentre estas soluciones:
Solución. Este sistema tendrá una solución no trivial cuando el determinante de la matriz principal sea igual a cero:
Por tanto, el sistema no es trivial cuando l=3 o l=2. Para l=3, el rango de la matriz principal del sistema es 1. Luego, dejando solo una ecuación y suponiendo que y=a Y z=b, obtenemos x=b-a, es decir.
Para l=2, el rango de la matriz principal del sistema es 2. Luego, eligiendo la menor como base:
obtenemos un sistema simplificado
A partir de aquí encontramos que x=z/4, y=z/2. Creyendo z=4a, obtenemos
El conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneo tiene una importancia muy importante. propiedad lineal : si las columnas X 1 y X 2 - soluciones a un sistema homogéneo AX = 0, entonces cualquier combinación lineal de ellos a X 1 + b X 2 También será una solución a este sistema.. De hecho, desde HACHA 1 = 0 Y HACHA 2 = 0 , Eso A(a X 1 + b X 2) = un HACHA 1 + b HACHA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Es por esta propiedad que si un sistema lineal tiene más de una solución, entonces habrá un número infinito de estas soluciones.
Columnas linealmente independientes mi 1 , mi 2 , Ek, que son soluciones de un sistema homogéneo, se llaman sistema fundamental de soluciones sistema homogéneo de ecuaciones lineales si la solución general de este sistema se puede escribir como una combinación lineal de estas columnas:
Si un sistema homogéneo tiene norte variables, y el rango de la matriz principal del sistema es igual a r, Eso k = n-r.
Ejemplo 5.7. Encuentre el sistema fundamental de soluciones. siguiente sistema ecuaciones lineales:
Solución. Encontremos el rango de la matriz principal del sistema:
Por tanto, el conjunto de soluciones de este sistema de ecuaciones forma un subespacio lineal de dimensión n-r= 5 - 2 = 3. Elijamos menor como base
.
Luego, dejando solo las ecuaciones básicas (el resto será una combinación lineal de estas ecuaciones) y las variables básicas (movemos el resto, las llamadas variables libres hacia la derecha), obtenemos un sistema simplificado de ecuaciones:
Creyendo X 3 = a, X 4 = b, X 5 = C, encontramos
, 
.
Creyendo a= 1, segundo = c= 0, obtenemos la primera solución básica; creyendo b= 1, a = c= 0, obtenemos la segunda solución básica; creyendo C= 1, a = b= 0, obtenemos la tercera solución básica. Como resultado, el sistema fundamental normal de soluciones tomará la forma
Usando el sistema fundamental, la solución general de un sistema homogéneo se puede escribir como
X = aE 1 + ser 2 + CE 3. a
Observemos algunas propiedades de las soluciones de un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales. HACHA=B y su relación con el correspondiente sistema homogéneo de ecuaciones HACHA = 0.
Solución general de un sistema no homogéneo.es igual a la suma de la solución general del correspondiente sistema homogéneo AX = 0 y una solución particular arbitraria del sistema no homogéneo. De hecho, deja Y 0 es una solución particular arbitraria de un sistema no homogéneo, es decir SÍ 0 = B, Y Y- solución general de un sistema heterogéneo, es decir AY=B. Restando una igualdad de la otra, obtenemos
A(Y-Y 0) = 0, es decir Y-Y 0 es la solución general del sistema homogéneo correspondiente HACHA=0. Por eso, Y-Y 0 = X, o Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Sea el sistema no homogéneo la forma AX = B 1 + B 2 . Entonces la solución general de dicho sistema se puede escribir como X = X 1 + X 2 , donde hacha 1 = B 1 y hacha 2 = B 2. Esta propiedad expresa la propiedad universal de cualquier sistemas lineales(algebraica, diferencial, funcional, etc.). En física esta propiedad se llama principio de superposición, en ingeniería eléctrica y radioeléctrica - principio de superposición. Por ejemplo, en la teoría de circuitos eléctricos lineales, la corriente en cualquier circuito se puede obtener como la suma algebraica de las corrientes provocadas por cada fuente de energía por separado.
Un sistema homogéneo siempre es consistente y tiene una solución trivial. 
. Para que exista una solución no trivial, es necesario que el rango de la matriz 
era menor que el número de incógnitas:
.
Sistema fundamental de soluciones.
sistema homogéneo 
llamar a un sistema de soluciones en forma de vectores columna 
, que corresponden a la base canónica, es decir. base en la que constantes arbitrarias 
se igualan alternativamente a uno, mientras que el resto se fijan a cero.
Entonces la solución general del sistema homogéneo tiene la forma:
Dónde 
- constantes arbitrarias. En otras palabras, la solución global es una combinación lineal del sistema fundamental de soluciones.
Por tanto, se pueden obtener soluciones básicas a partir de la solución general si a las incógnitas libres se les da el valor de una por turno, igualando todas las demás a cero.
Ejemplo. Busquemos una solución al sistema.
Aceptemos, luego obtenemos una solución en la forma:
Construyamos ahora un sistema fundamental de soluciones:
.
La solución general se escribirá como:
Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas tienen las siguientes propiedades:
En otras palabras, cualquier combinación lineal de soluciones de un sistema homogéneo es nuevamente una solución.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales ha interesado a los matemáticos durante varios siglos. Los primeros resultados se obtuvieron en el siglo XVIII. En 1750, G. Kramer (1704-1752) publicó sus trabajos sobre los determinantes de matrices cuadradas y propuso un algoritmo para encontrar la matriz inversa. En 1809, Gauss esbozó un nuevo método de solución conocido como método de eliminación.
El método de Gauss, o método de eliminación secuencial de incógnitas, consiste en que, mediante transformaciones elementales, se reduce un sistema de ecuaciones a un sistema equivalente de forma escalonada (o triangular). Estos sistemas permiten encontrar secuencialmente todas las incógnitas en un orden determinado.
Supongamos que en el sistema (1) 
(lo cual siempre es posible).
(1)
Multiplicando la primera ecuación una por una por los llamados números adecuados
y sumando el resultado de la multiplicación con las ecuaciones correspondientes del sistema, obtenemos un sistema equivalente en el que en todas las ecuaciones excepto la primera no habrá incógnita X 1
(2)
Multipliquemos ahora la segunda ecuación del sistema (2) por números adecuados, suponiendo que 
,
y sumandolo con los inferiores eliminamos la variable 
de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.
Continuando con este proceso, después 
paso obtenemos:
(3)
Si al menos uno de los números 
no es igual a cero, entonces la igualdad correspondiente es contradictoria y el sistema (1) es inconsistente. Por el contrario, para cualquier sistema numérico conjunto 
son iguales a cero. Número 
no es más que el rango de la matriz del sistema (1).
La transición del sistema (1) al (3) se llama directo Método de Gauss y encontrar las incógnitas de (3) – en reversa .
Comentario : Es más conveniente realizar transformaciones no con las ecuaciones en sí, sino con la matriz extendida del sistema (1).
Ejemplo. Busquemos una solución al sistema.
.
Escribamos la matriz extendida del sistema:
.
Sumemos el primero a las líneas 2,3,4, multiplicado por (-2), (-3), (-2) respectivamente:
.
Intercambiemos las filas 2 y 3, luego en la matriz resultante agreguemos la fila 2 a la fila 4, multiplicada por 
:
.
Sumar a la línea 4 la línea 3 multiplicada por 
:
.
Es obvio que 
, por lo tanto, el sistema es consistente. Del sistema de ecuaciones resultante
encontramos la solución por sustitución inversa:
,
,
,
.
Ejemplo 2. Encuentre una solución al sistema:
.
Es obvio que el sistema es inconsistente, porque 
, A 
.
Ventajas del método Gauss :
Menos laborioso que el método de Cramer.
Establece inequívocamente la compatibilidad del sistema y le permite encontrar una solución.
Permite determinar el rango de cualquier matriz.
