El objetivo final del análisis ACS es resolver (si es posible) o estudiar la ecuación diferencial del sistema en su conjunto. Habitualmente se conocen las ecuaciones de los eslabones individuales que forman el SCA, y surge la tarea intermedia de obtener la ecuación diferencial del sistema a partir de las DE conocidas de sus eslabones. En la forma clásica de representar las ED, esta tarea está plagada de dificultades significativas. Usar el concepto de función de transferencia lo simplifica enormemente.

Describa algún sistema mediante una ecuación diferencial de la forma.

Introduciendo la notación = p, donde p se llama operador o símbolo de diferenciación, y ahora tratando este símbolo como un símbolo ordinario. número algebraico, después de quitar x y x de los paréntesis, obtenemos ecuación diferencial de este sistema en forma de operador:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x fuera = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x adentro. (3.38)

El polinomio en p en el valor de salida es

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

se llama operador propio y el polinomio en el valor de entrada se llama operador de influencia

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

La función de transferencia es la relación entre el operador de influencia y propio operador:

W(p) = K(p)/D(p) = x afuera / x adentro. (3.41)

En lo que sigue, usaremos casi en todas partes la forma de operador para escribir ecuaciones diferenciales.

Tipos de conexiones de enlaces y álgebra de funciones de transferencia.

Obtener la función de transferencia de un sistema de control automático requiere conocimiento de las reglas para encontrar las funciones de transferencia de grupos de enlaces en los que los enlaces están conectados entre sí de una determinada manera. Hay tres tipos de conexiones.

1. Secuencial, en el que la salida del enlace anterior es la entrada del siguiente (Fig. 3.12):

x fuera

Arroz. 3.14. Espalda con espalda: conexión paralela.

Dependiendo de si la señal de retroalimentación x se suma a la señal de entrada xin o se resta de ella, se distingue entre retroalimentación positiva y negativa.

Aún basándonos en la propiedad de la función de transferencia, podemos escribir

W 1 (p) =x salida /(x entrada ±x); W 2 (p) = x/x fuera; W c =x salida /x entrada. (3.44)

Eliminando la coordenada interna x de las dos primeras ecuaciones, obtenemos la función de transferencia para tal conexión:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Hay que tener en cuenta que en la última expresión el signo más corresponde a negativo comentario.

En el caso de que un enlace tenga varias entradas (como, por ejemplo, un objeto de control), se consideran varias funciones de transferencia de este enlace, correspondientes a cada una de las entradas, por ejemplo, si la ecuación del enlace tiene la forma

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

donde K x (p) y K z (p) son operadores de influencia en las entradas x y z, respectivamente, entonces este enlace tiene funciones de transferencia en las entradas x y z:

W x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)

En el futuro, para reducir las entradas en las expresiones de funciones de transferencia y operadores correspondientes, omitiremos el argumento "p".

De una consideración conjunta de las expresiones (3.46) y (3.47) se deduce que

y = W x x+W z z, (3.48)

es decir, en caso general el valor de salida de cualquier enlace con varias entradas es igual a la suma de los productos de los valores de entrada y las funciones de transferencia para las entradas correspondientes.

Función de transmisión SAR sobre la indignación.

La forma habitual de la estructura ACS, que opera sobre la desviación de una variable controlada, es la siguiente:

W o z =K z /D objeto W o x =K x /D

W p y

z

y

-X

Fig.3.15. ATS cerrado.

Prestemos atención al hecho de que la influencia reguladora se aplica al objeto con un signo cambiado. La conexión entre la salida de un objeto y su entrada a través del regulador se llama principal comentario(a diferencia de una posible retroalimentación adicional en el propio regulador). Según el significado mismo filosófico de regulación, la acción del regulador tiene como objetivo reducción de la desviación variable controlada, y por lo tanto La retroalimentación principal es siempre negativa. En la Fig. 3.15:

W o z - función de transferencia del objeto por perturbación;

W o x - función de transferencia del objeto según la influencia reguladora;

W p y - función de transferencia del controlador según la desviación y.

Las ecuaciones diferenciales de la planta y el controlador se ven así:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3.49)

Sustituyendo x de la segunda ecuación en la primera y realizando la agrupación, obtenemos la ecuación ATS:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

De ahí la función de transferencia del ACS para la perturbación.

W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)

De manera similar se puede obtener la función de transferencia del ACS para la acción de control:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

donde W p u es la función de transferencia del controlador según la acción de control.

3.4 Oscilaciones forzadas y características de frecuencia del ACS.

En condiciones reales de funcionamiento, el ACS suele estar expuesto a fuerzas perturbadoras periódicas, que van acompañadas de cambios periódicos en cantidades controladas e influencias regulatorias. Se trata, por ejemplo, de vibraciones del barco cuando navega en mares agitados, fluctuaciones en la velocidad de rotación de la hélice y otras cantidades. En algunos casos, las amplitudes de las oscilaciones de las cantidades de salida del sistema pueden alcanzar valores inaceptablemente grandes, y esto corresponde al fenómeno de resonancia. Las consecuencias de la resonancia suelen ser desastrosas para el sistema que la experimenta, por ejemplo, volcar un barco o destruir un motor. En los sistemas de control, tales fenómenos son posibles cuando las propiedades de los elementos cambian debido al desgaste, reemplazo, reconfiguración o fallas. Entonces existe la necesidad de determinar rangos seguros de condiciones operativas o configurar adecuadamente el ACS. Estas cuestiones se considerarán aquí tal como se aplican a los sistemas lineales.

Deje que algún sistema tenga la estructura que se muestra a continuación:

x=A x senωt

y=A y pecado(ωt+φ)

Fig.3.16. ACS en modo de oscilación forzada.

Si el sistema está sujeto a una influencia periódica x con amplitud A x y frecuencia circular w, luego del final del proceso de transición, se producirán oscilaciones de la misma frecuencia con amplitud A y y desplazadas con respecto a las oscilaciones de entrada en un ángulo de fase j. establecerse en la salida. Los parámetros de oscilación de salida (amplitud y cambio de fase) dependen de la frecuencia de la fuerza impulsora. La tarea consiste en determinar los parámetros de las oscilaciones de salida a partir de los parámetros conocidos de las oscilaciones en la entrada.

De acuerdo con la función de transferencia ACS que se muestra en la figura 3.14, su ecuación diferencial tiene la forma

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Sustituyamos en (3.53) las expresiones para xey que se muestran en la figura. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x senwt. (3.54)

Si consideramos el patrón de oscilación desplazado un cuarto del período, entonces en la ecuación (3.54) las funciones seno serán reemplazadas por funciones coseno:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Multipliquemos la ecuación (3.54) por i = y sumemos el resultado con (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Usando la fórmula de Euler

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Reduzcamos la ecuación (3.56) a la forma

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Realicemos la operación de diferenciación con respecto al tiempo proporcionada por el operador p=d/dt:

A y exp=

A x exp(iwt). (3.58)

Después de transformaciones simples relacionadas con la reducción por exp(iwt), obtenemos

parte derecha La expresión (3.59) es similar a la expresión de la función de transferencia ACS y se puede obtener a partir de ella reemplazando p=iw. Por analogía, se denomina función de transferencia compleja W(iw), o característica de fase de amplitud (APC). También se utiliza con frecuencia el término respuesta de frecuencia. Está claro que esta fracción es función de un argumento complejo y también se puede representar de esta forma:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)

donde M(w) y N(w) son características de frecuencia real e imaginaria, respectivamente.

La relación A y / A x es el módulo AFC y es función de la frecuencia:

A y / A x = R (w)

y se llama respuesta de amplitud-frecuencia (AFC). Fase

el desplazamiento j =j (w) también es función de la frecuencia y se denomina respuesta de frecuencia de fase (PFC). Calculando R(w) y j(w) para el rango de frecuencia (0…¥), es posible construir un gráfico AFC en el plano complejo en las coordenadas M(w) e iN(w) (Fig. 3.17).

ω

R(ω)

ω cp

ω res

Fig.3.18. Características amplitud-frecuencia.

La respuesta de frecuencia del sistema 1 muestra un pico resonante correspondiente a la mayor amplitud de oscilaciones forzadas. El trabajo en un área cercana a la frecuencia de resonancia puede ser desastroso y, a menudo, es completamente inaceptable según las reglas de funcionamiento de un objeto regulado en particular. La respuesta de frecuencia tipo 2 no tiene un pico resonante y es más preferible para sistemas mecánicos. También se puede observar que a medida que aumenta la frecuencia, la amplitud de las oscilaciones de salida disminuye. Físicamente, esto se explica fácilmente: cualquier sistema, debido a sus propiedades inerciales inherentes, está más fácilmente sujeto a oscilaciones por bajas frecuencias que por altas frecuencias. A partir de una determinada frecuencia, la oscilación de salida se vuelve insignificante y esta frecuencia se denomina frecuencia de corte, y el rango de frecuencias por debajo de la frecuencia de corte se denomina ancho de banda. En teoria regulación automática Se considera que la frecuencia de corte es aquella en la que el valor de respuesta de frecuencia es 10 veces menor que en la frecuencia cero. La propiedad de un sistema de amortiguar las vibraciones de alta frecuencia se denomina propiedad de un filtro de paso bajo.

Consideremos el método para calcular la respuesta de frecuencia usando el ejemplo de un enlace de segundo orden, cuya ecuación diferencial

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

En problemas de oscilación forzada, a menudo se usa una forma más visual de la ecuación.

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

donde se llama frecuencia natural de oscilaciones en ausencia de amortiguación, x =T 1 w 0 /2 es el coeficiente de amortiguación.

La función de transferencia se ve así:

Reemplazando p = iw obtenemos la característica de fase de amplitud

Usando la regla para dividir números complejos, obtenemos la expresión para la respuesta en frecuencia:

Determinemos la frecuencia de resonancia a la que la respuesta de frecuencia tiene un máximo. Esto corresponde al mínimo denominador de la expresión (3.66). Igualando la derivada del denominador con respecto a la frecuencia w a cero, tenemos:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

de donde obtenemos el valor de la frecuencia de resonancia, que no es igual a cero:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Analicemos esta expresión, para lo cual consideramos casos individuales que corresponden a diferentes valores del coeficiente de atenuación.

1. x = 0. La frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia natural y la magnitud de la respuesta de frecuencia se vuelve infinita. Este es un caso de la llamada resonancia matemática.

2. . Dado que la frecuencia se expresa como un número positivo, y de (68) para este caso se obtiene cero o un número imaginario, se deduce que con tales valores del coeficiente de atenuación la respuesta de frecuencia no tiene un pico resonante (curva 2 en la figura 3.18).

3. . La respuesta de frecuencia tiene un pico resonante y con una disminución en el coeficiente de atenuación, la frecuencia resonante se acerca a la suya y el pico resonante se vuelve más alto y más agudo.

Enlaces típicos sistemas lineales se puede determinar de varias formas equivalentes, en particular utilizando la llamada función de transferencia, que, por regla general, tiene una forma fraccionaria-racional, es decir que es la razón de dos polinomios:

donde b i y a j son los coeficientes de los polinomios. Este es el llamado parámetros de la función de transferencia o enlace.

La función de transferencia conecta la imagen Y(p) de la señal de salida y(t) de un enlace con la imagen X(p) de su señal de entrada x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

aquellos. le permite encontrar la salida y(t) de cualquier señal de entrada conocida x(t). Esto significa que desde el punto de vista de TAU, la función de transferencia caracteriza completamente el sistema de control o su enlace. Lo mismo puede decirse respecto del conjunto de coeficientes de los polinomios del numerador y denominador de la función de transferencia.

Función de transferencia de enlaceW.(pag) es la relación entre la transformada de Laplace de la cantidad de salida y la transformada de Laplace de la cantidad de entrada

2. Breve información sobre enlaces posicionales

Los enlaces posicionales incluyen los siguientes enlaces dinámicos típicos:

Enlace sin inercia,

Enlace aperiódico de primer orden,

Enlace aperiódico de segundo orden,

Enlace oscilatorio

Vínculo conservador.

Las características temporales de los enlaces posicionales se resumen en la Tabla. 1. Aquí también se indican las funciones de transferencia de los enlaces.

A).Enlace sin inercia.

Este vínculo se describe no sólo en estática, sino también en dinámica mediante la ecuación algebraica.

X afuera =k X aporte (2.1)

La función de transferencia del enlace es igual a un valor constante.

W(p) = x afuera (p)/x aporte (pag) = k (2.2)

Un ejemplo de dicho vínculo es: una caja de cambios mecánica (sin tener en cuenta el fenómeno de torsión y juego), un amplificador electrónico sin inercia (banda ancha), un divisor de voltaje, etc. Muchos sensores de señal, como sensores potenciométricos, sensores de inducción, transformadores y sincronizadores giratorios, fotocélulas, etc., también pueden considerarse enlaces libres de inercia.

En general, un vínculo libre de inercia es una cierta idealización de los vínculos reales. De hecho, todos los enlaces se caracterizan por cierta inercia, por lo que ningún enlace es capaz de pasar uniformemente todas las frecuencias de 0 a . Por lo general, uno de los vínculos reales que se analizan a continuación, por ejemplo, aperiódico u oscilatorio, se reduce a este tipo de vínculo, si se puede despreciar la influencia de los procesos dinámicos en este vínculo (es decir, las constantes de tiempo).

b)Enlace aperiódico de 1er orden.

Este vínculo se describe mediante la ecuación diferencial.

, (2.3)

Dónde t- constante de tiempo, s,

k- coeficiente de transmisión del enlace.

La función de transferencia de enlace tiene la forma

(2.4)

Un enlace aperiódico es el más simple de los enlaces que tienen inercia. De hecho, este vínculo no reacciona de inmediato, al principio rápidamente y luego cada vez más gradualmente a una influencia gradual. Esto sucede porque en el original físico del enlace aperiódico hay un elemento acumulador (así como uno o más elementos consumidores de energía), cuya energía almacenada no puede cambiar abruptamente en el tiempo; esto requeriría un poder infinito.

Ejemplos de enlaces aperiódicos de primer orden incluyen: un motor de cualquier tipo (eléctrico, hidráulico, neumático), un generador de CC, eléctrico RC- Y LR- circuitos, amplificador magnético, tanque de gas, horno de calefacción. Los procesos de trabajo en estas unidades se describen mediante la ecuación general (2.3).

V)Enlace aperiódico de segundo orden.

La ecuación diferencial del enlace tiene la forma:

(2.5)

En este caso, las raíces de la ecuación característica.

pag 2 + t 1  pag+1=0 (2.6)

debe ser real, que se cumplirá bajo la condición

t 1  2  t 2 (2.7)

Supondremos que los procesos que tienen lugar en el ACS se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Así, nos limitaremos a considerar SCA lineal con parámetros constantes, es decir parámetros que no dependen ni del tiempo ni del estado del sistema.

Sea para un sistema dinámico (ver figura)

la ecuación diferencial está escrita en forma de operador

donde D(P) y M(P) son polinomios en P.

P – operador de diferenciación;

x(t) – coordenada de salida del sistema;

g(t) – influencia de entrada.

Transformemos (1) según Laplace, suponiendo condiciones iniciales cero.

Introduzcamos la notación

;
,

obtenemos, teniendo en cuenta que

Usamos la notación

, (5)

entonces la ecuación (3) tomará la forma:

. (6)

La ecuación (6) conecta la imagen X (S) de la coordenada de salida del sistema con la imagen G(S) de la acción de entrada. Función Ф(S) Caracteriza las propiedades dinámicas del sistema. Como se desprende de (4) y (5), esta función no depende del impacto aplicado al sistema, sino que depende únicamente de los parámetros del sistema. Teniendo en cuenta (6) la función F(S) se puede escribir de la siguiente manera

Función Ф(S) se llama función de transferencia del sistema. De (7) se desprende claramente que la función de transferencia es la relación entre la imagen de Laplace de la coordenada de entrada del sistema y la imagen de Laplace de la acción de entrada en condiciones iniciales cero.

Conocer la función de transferencia del sistema. Ф(S) Habiendo determinado la imagen G(S) de la influencia g(t) aplicada al sistema, se puede encontrar en (6) la imagen X(S) de la coordenada de salida del sistema x (t), luego, moviéndose desde la imagen X(S) a la x(t) original obtiene el proceso de cambiar la coordenada de salida de un sistema cuando se aplica una influencia de entrada a este sistema.

El polinomio en el denominador de la función de transferencia se llama polinomio característico y la ecuación

Ecuación característica.

Para un sistema descrito por una ecuación de enésimo orden, Ecuación característica es una ecuación algebraica de enésimo grado y tiene n raíces, S 1 S 2... S n, entre las cuales puede haber conjugadas tanto reales como complejas.

La raíz del polinomio en el denominador de la función de transferencia se llama polos de esta función de transferencia, y en el numerador, ceros.

Representemos los polinomios en la forma:

Por lo tanto la función de transferencia

. (11)

De ello se deduce que especificar ceros y polos determina la función de transferencia hasta un factor constante .

En el caso de que las partes reales de todos los polos de la función de transferencia sean negativas, es decir

, k=1,2…n, el sistema se llama estable. En él, el componente de transición de la cantidad de salida (movimiento propio) se desvanece con el tiempo.

Características de frecuencia del sistema.

Conversión de una señal de entrada armónica por un sistema lineal.

La función de transferencia del sistema automático con respecto a la acción de control g(t) es

(1)

deja que el impacto

g(t) = A 1 pecado ω 1 t,

Y se requiere determinar el cambio en X(t) en un proceso estacionario, es decir Encuentre una solución particular a la ecuación (1), analizada anteriormente.

Tenga en cuenta que como resultado de la aplicación de una influencia, ocurre un proceso transitorio en el sistema, que tiende a 0 con el tiempo, porque se supone que el sistema es estable. No lo estamos considerando. Tal transición nos permite considerar la acción g(t) tal como se especifica en todo el eje del tiempo (no se considera el momento inicial de aplicación de la acción de control al sistema) y utilizar la expresión obtenida previamente para la característica espectral de la sinusoide. .

Para determinar x(t) en estado estacionario, transformamos ambos lados de la ecuación diferencial (1) según Fourier. Con esto queremos decir que

;

,

Darse cuenta de

función de transferencia en la que S

Además

Luego, la característica espectral de las oscilaciones forzadas de la cantidad controlada se determina a partir de (3) en la forma

En (4) el multiplicador funcional Ф(jω) tiene en cuenta el cambio en la característica espectral cuando la influencia g(t) pasa a través de un sistema dinámico lineal.

imaginemos función compleja Ф(jω) en forma demostrativa

y encuentre x(t) usando la fórmula de la transformada de Fourier inversa:

utilizando las propiedades de filtrado de la función delta, y teniendo en cuenta (5), tendremos

Porque
,,

(6)

De ello se deduce que en estado estacionario la respuesta x(t) de un sistema automático lineal a influencias sinusoidales también es sinusoide. Las frecuencias angulares de las señales de entrada y salida son las mismas. La amplitud en la salida del sistema es A 1 │ Ф(jω)│, y la fase inicial es arg Ф(jω).

Si la entrada de un sistema lineal recibe una influencia periódica en la forma

,

luego, usando el principio de superposición, que es válido para un sistema lineal, encontramos que en este caso el movimiento estacionario forzado del sistema

(7)

Además, al valor de ω aquí se le deben dar valores discretos, es decir asumir ω=kω 1

Conociendo los espectros de frecuencia de la señal de entrada, puede determinar fácilmente los espectros de frecuencia de la señal en la entrada del sistema. Si, por ejemplo, se conoce el espectro de frecuencia de amplitud A k de la señal de entrada g(t), entonces el espectro de frecuencia de amplitud de la señal de salida es A k │ Ф(jkω 1 ) │.

En las expresiones consideradas, la función Ф(jω) caracteriza las propiedades dinámicas del propio sistema automático y no depende de la naturaleza de las influencias aplicadas al sistema. Se puede obtener fácilmente a partir de la función de transferencia reemplazando formalmente S con jω

Función Ф(jω) del argumento continuo ω se denomina característica de fase de amplitud del sistema AFC en relación con la acción de control g(t) aplicada al sistema.

Con base en (3), AFC también se puede definir como la relación de las características espectrales de la señal en su entrada. Módulo AF  Ф(j )  caracteriza el cambio en la amplitud de una señal armónica a su paso por el sistema, y ​​su argumento es el desfase de la señal.

Función  Ф(j ) recibió el nombre de respuesta de frecuencia de amplitud (AFC) y la función arg Ф(j ) – respuesta de fase-frecuencia (PFC).

Sea la influencia g(t) aplicada al sistema automático un armónico complejo con frecuencia  1, es decir

La respuesta del sistema a tal impacto en un estado estacionario está determinada por la igualdad

O usando la fórmula de Euler

y también eso

;

Encontraremos la integral en el lado derecho de la igualdad usando las propiedades de filtrado de la función delta.

determina en forma compleja la respuesta en estado estacionario del sistema a la influencia en forma de un armónico complejo con frecuencia 1.

El AFC se puede utilizar no sólo para analizar oscilaciones de estado estable en la salida de un sistema automático, sino también para determinar el proceso de control en su conjunto. En este último caso, conviene considerar el momento de tiempo t 0 de aplicación al sistema de control como el momento de tiempo cero y utilizar las fórmulas de la transformada de Fourier unilateral. Habiendo determinado la característica espectral.
y encontrar la característica espectral de la variable controlada usando la fórmula

El cambio en la variable controlada x(t) después de aplicar la influencia g(t) se encuentra utilizando la fórmula de la transformada inversa de Fourier.

1. Funciones de transferencia y características de frecuencia. Dispositivos de equipos de comunicación analógica.

1. Funciones de transferencia y características de frecuencia.

Un circuito eléctrico de cualquier complejidad, que tiene dos pares de terminales para conectarse a una fuente y un receptor de energía eléctrica, se denomina en tecnología de las comunicaciones. cuadripolo. Los terminales a los que está conectada la fuente se llaman aporte, y los terminales a los que está conectado el receptor (carga) son terminales de salida (polos).

EN vista general El cuadripolo se representa como se muestra en la Fig. 1.1. Se conecta una fuente a la entrada del cuadrupolo de 1–1" energía eléctrica con valor de voltaje efectivo complejo y resistencia interna. Se conecta una carga con resistencia a los terminales de salida 2–2". Se aplica un voltaje con un valor efectivo complejo a los terminales de entrada y un valor efectivo complejo a los terminales de salida. Una corriente con un valor efectivo complejo fluye a través de los terminales de entrada, y un valor efectivo complejo fluye a través de los terminales de salida. Tenga en cuenta que otras redes de cuatro terminales pueden actuar como fuente y receptor de energía eléctrica.

En la Fig. 1.1 Se utilizan designaciones simbólicas para tensiones y corrientes. Esto significa que el análisis de un circuito eléctrico se realiza para una vibración armónica de una determinada frecuencia. Para una oscilación armónica dada, se puede determinar función de transferencia de una red cargada de cuatro puertos, que será la relación entre el valor efectivo complejo de la cantidad eléctrica de salida y el valor efectivo complejo de la cantidad eléctrica de entrada.

Si se considera que la influencia de entrada es un voltaje del generador con un valor efectivo complejo, y la reacción de una red de dos terminales a esta influencia es un voltaje con un valor efectivo complejo o una corriente con un valor efectivo complejo, entonces obtenemos funciones de transferencia complejas de forma general:

, (1.1)

. (1.2)

En casos particulares, cuando las influencias especificadas son el voltaje en los terminales de entrada de un cuadripolo o la corriente que fluye a través de estos terminales, se obtienen los siguientes cuatro tipos de funciones de transferencia:

– coeficiente de transferencia de voltaje complejo (para redes activas de dos terminales, por ejemplo amplificadores, se llama ganancia de voltaje);

– coeficiente de transferencia de corriente complejo (para circuitos activos – ganancia de corriente);

– resistencia a la transferencia compleja;

– conductividad de transferencia compleja.

A menudo utilizado en teoría de circuitos. función de transferencia normalizada o de trabajo cuadripolo:

, (1.3)

que se obtiene normalizando (1.1) por el factor .

Como cualquier cantidad compleja norte se puede representar en forma demostrativa:

, (1.4)

donde es el módulo de la función de transferencia compleja y j es su argumento.

Considere la compleja función de transferencia de voltaje.

Sustituyendo en (1.5) la notación de valores efectivos complejos

.

De una comparación de esta expresión con (1.4) queda claro que

,

es decir, el módulo de la función de transferencia de voltaje compleja (o ganancia de voltaje compleja) muestra cuántas veces cambia el valor efectivo (amplitud) de la oscilación de voltaje armónico en la salida del circuito en comparación con el mismo valor en la entrada del circuito, y el argumento de esta función determina el cambio de fase entre las oscilaciones armónicas de voltaje en la entrada y la salida.

De la misma manera podrás encontrar:

.

Todo lo dicho anteriormente sobre el coeficiente de transferencia de voltaje también es válido para el coeficiente de transferencia de corriente.

Si cambiamos la frecuencia de la oscilación armónica, entonces la expresión (1.4) debe escribirse en la forma:

. (1.6)

La función de frecuencia se llama característica amplitud-frecuencia del circuito(AFC). Muestra qué cambios realiza el circuito en las amplitudes de las oscilaciones armónicas en cada frecuencia.

La función de frecuencia se llama característica de frecuencia de fase del circuito(FCHH). En consecuencia, esta característica muestra qué desfase adquiere la oscilación armónica de cada frecuencia a medida que se propaga a través del circuito.

La función de transferencia compleja también se puede representar en forma algebraica:

donde Re e Im denotan las partes real e imaginaria de la cantidad compleja.

De la teoría de cantidades complejas se sabe que

Ejemplo 1.1

Determine el coeficiente de transmisión de voltaje, la respuesta de frecuencia y la respuesta de fase del circuito que se muestra en la Fig. 1.2, A.

Según (1.5) escribimos

Encontremos la función compleja en la salida del circuito:

Sustituyendo en la fórmula , obtenemos una función de transferencia compleja:

;

Al cambiar la frecuencia w de 0 a Ґ, podemos mostrar gráficos de la respuesta de frecuencia y la respuesta de fase del circuito (Fig. 1.2, b Y V).

La respuesta de frecuencia y la respuesta de fase del circuito se pueden representar mediante un solo gráfico si trazamos la dependencia de la función de transferencia compleja de la frecuencia w en el plano complejo. En este caso, el final del vector describirá una determinada curva, que se llama hodógrafa función de transferencia compleja (Fig. 1.3).

Los expertos suelen utilizar el concepto. característica logarítmica de amplitud-frecuencia(LAH):

.

Valores A se miden en decibeles (dB). En circuitos activos que contienen amplificadores, el valor A también llamado ganancia logarítmica. Para circuitos pasivos, en lugar del factor de ganancia, se introduce el concepto aflojando la cadena:

, (1.7)

que también se mide en decibeles.

Ejemplo 1.2

Se sabe que el módulo del coeficiente de transmisión de tensión del circuito toma los siguientes valores:

F= 0 kilociclos norte(F) = 1

F= 1kHz norte(F) = 0,3

F= 2 kilociclos norte(F) = 0,01

F= 4kHz norte(F) = 0,001

F= 8kHz norte(F) = 0,0001

Dibuja una gráfica del debilitamiento del circuito.

Los valores de debilitamiento de la cadena calculados según (1.7) se dan en la tabla:

F, kilociclos
A(F), dB

Cronograma A(F) se muestra en la Fig. 1.4.

Si en lugar de las complejas resistencias de capacitancia e inductancia nos ocupamos de las resistencias del operador de capacitancia e inductancia pl, luego en la expresión debes reemplazarlo con R.

La función de transferencia de operadores de la cadena se puede escribir en forma general como una función racional fraccionaria con coeficientes reales:

o en la forma

Dónde – ceros; – polos de la función de transferencia; .

Reemplazo del operador en (1.8) R en jw, obtenemos nuevamente la función de transferencia compleja del circuito

,

¿Dónde está la respuesta de frecuencia del circuito?

Teniendo en cuenta lo que es una función irracional, normalmente al analizar y sintetizar circuitos nos ocupamos del cuadrado de la respuesta en frecuencia:

donde los coeficientes se obtienen combinando los coeficientes a las mismas potencias de la variable w.

Ejemplo 1.3

Encuentre el coeficiente de transferencia de voltaje y el cuadrado de la respuesta de frecuencia del circuito que se muestra en la figura. 1,5, A.

El coeficiente de transferencia de voltaje de este circuito es igual a

Dónde norte = 1, , .

Las raíces del numerador de esta fracción racional, es decir, los ceros de la función de transferencia,

.

Las raíces del denominador, o los polos de la función de transferencia,

.

En la Fig. 1,5, b muestra la ubicación de los ceros y polos de la función en .

Por el teorema de Vieta

.

La respuesta amplitud-frecuencia se determina reemplazando R y calcular el módulo de la función resultante

.

El cuadrado de la respuesta en frecuencia se escribirá en la forma

Dónde ; ;

.

La respuesta en frecuencia del circuito se muestra en la Fig. 1,5, V.

Enumeremos las principales propiedades de las funciones de transferencia de operadores y la respuesta de frecuencia al cuadrado de los circuitos pasivos:

1. La función de transferencia es una función racional fraccionaria con coeficientes reales. La materialidad de los coeficientes se explica por el hecho de que están determinados por los elementos del circuito.

2. Los polos de la función de transferencia se encuentran en el semiplano izquierdo de la variable compleja. R. No existen restricciones sobre la ubicación de los ceros. Demostremos esta propiedad usando la función de transferencia como ejemplo. Elijamos la acción de entrada o en forma de operador. La imagen del voltaje de salida en este caso es numéricamente igual, es decir

¿Dónde está el polinomio del numerador de la función de transferencia? – coeficientes de expansión de una función racional fraccionaria en una suma de fracciones simples.

Pasemos de la imagen al original:

donde en el caso general.

En cuadripolos pasivos y activos estables, las oscilaciones en la salida del cuadripolo después del cese de la influencia deben tener un carácter amortiguado. Esto significa que en (1.13) las partes reales de los polos deben ser negativas, es decir, los polos deben estar en el semiplano izquierdo de la variable R.

3. Los grados de polinomios de los numeradores de la función de transferencia y el cuadrado de la respuesta de frecuencia no exceden los grados de polinomios de los denominadores, es decir norte F metro. Si esta propiedad no se cumpliera, entonces a frecuencias infinitamente altas la respuesta en frecuencia tomaría infinitamente gran importancia(ya que el numerador crecería con una frecuencia cada vez mayor más rápido que el denominador), es decir, el circuito tendría una ganancia infinita, lo que contradice el significado físico.

4. La respuesta en frecuencia al cuadrado es una función racional par de la variable w con coeficientes reales. Esta propiedad se desprende claramente del método para obtener la respuesta de frecuencia al cuadrado a partir de la función de transferencia.

5. La respuesta de frecuencia al cuadrado no puede tomar valores negativos e infinitamente grandes para w > 0. La no negatividad se deriva de las propiedades del módulo al cuadrado de una cantidad compleja. La finitud de los valores de respuesta de frecuencia en frecuencias reales se explica de la misma manera que en la propiedad 3.

La mayoría de los circuitos fuente dependientes tienen al menos dos rutas de señal: directa (de entrada a salida) e inversa (de salida a entrada). La ruta de la señal inversa se implementa mediante un circuito especial. comentario(SO). Puede haber varias rutas de este tipo y, por lo tanto, circuitos del sistema operativo. La presencia de OS en circuitos con fuentes dependientes les confiere nuevas cualidades valiosas que los circuitos sin OS no poseen. Por ejemplo, utilizando circuitos OS, es posible lograr la estabilización de la temperatura del modo de funcionamiento del circuito, reducir las distorsiones no lineales que ocurren en circuitos con elementos no lineales, etc.

Cualquier circuito con retroalimentación se puede representar como si consta de dos redes de cuatro terminales (figura 1.6).

Una red lineal activa de dos puertos con una función de transferencia de voltaje es un amplificador. A veces se le llama el elemento principal del circuito y se dice que forma el canal de amplificación directa.

Una red pasiva de cuatro terminales con una función de transferencia de voltaje se llama circuito de retroalimentación. En la entrada del circuito, se suman el voltaje de entrada y el voltaje de retroalimentación.

Derivemos la fórmula para la función de transferencia para el voltaje del circuito que se muestra en la figura. 1.6. Deje que se aplique voltaje a la entrada. Su imagen de cámara. Aparece un voltaje en la salida del circuito. Según la Fig. 1.6 la imagen de su cámara

La imagen del operador se puede escribir a través de la función de transferencia del circuito de retroalimentación.

Entonces la expresión (1.14) se puede reescribir como

Función de transferencia de operador para voltaje de circuito con OS (ver Fig. 1.6).

. (1.16)

Ejemplo 1.4

En la Fig. La Figura 1.7 muestra un circuito amplificador operacional (OPA) diseñado para escalamiento de voltaje. Encuentre la función de transferencia de este circuito.

Obtengamos la función de transferencia de este circuito como circuito de retroalimentación usando la fórmula (1.16).

El circuito de retroalimentación en el diagrama de la Fig. 1.7 sirve como divisor de voltaje en forma de L, compuesto por resistencias resistivas y. El voltaje de salida del amplificador se suministra a la entrada del circuito OS; El voltaje del sistema operativo se elimina de la resistencia. Función de transferencia para voltaje del circuito OS

Usemos la fórmula (1.16) y tengamos en cuenta que el voltaje de entrada y el voltaje de retroalimentación no se suman, sino que se restan. Luego obtenemos la función de transferencia del amplificador de escala:

.

Considerando que en amplificadores operacionales reales el valor >> 1, finalmente tenemos:

Ejemplo 1.5

En la figura 2.3 se muestra un enlace en un amplificador operacional con retroalimentación dependiente de la frecuencia. 1.8. Encuentre la función de transferencia de este enlace.

Para analizar la ruta de la señal directa y la ruta de la señal del sistema operativo, es necesario utilizar el método de superposición. Para hacer esto, es necesario eliminar alternativamente las fuentes de voltaje de entrada y voltaje de retroalimentación, reemplazándolas con resistencia interna. En el caso de fuentes de voltaje ideales, su resistencia interna es cero. El voltaje aplicado al enlace se debilita mediante el circuito de entrada, que es un divisor de voltaje en forma de L con resistencias en los hombros. La función de transferencia de voltaje de dicho divisor es igual a

El circuito de retroalimentación también es una red de cuatro puertos en forma de L con función de transferencia.

Ganancia del amplificador operacional.

De acuerdo con la fórmula (1.16), obtenemos la función de transferencia de enlace:

Considerando que >> 1, obtenemos:

.

Este enlace puede realizar varias funciones dependiendo del tipo de resistencia y. En y el enlace se convierte en un amplificador de escala inversora; en y – al integrador; en y – dentro del diferenciador.

Ejemplo 1.6

En la figura 2.3 se muestra un enlace de segundo orden con ganancia ajustable. 1.9, A. Encuentre la función de transferencia de este enlace.

El análisis del paso de la señal de entrada y la señal en el circuito OS muestra que el enlace tiene un circuito de entrada que se muestra en la Fig. 1.9, b y el circuito OS que se muestra en la Fig. 1.9, V. Las funciones de transferencia de estos circuitos se pueden obtener. método matricial, por ejemplo, considerando cada circuito como una conexión en cascada de los correspondientes cuadripolos en forma de L.

Para circuito de entrada

Para circuito OS

. (1.18)

Teniendo en cuenta (1.16), obtenemos la función de transferencia de enlace.

. (1.19)

Ganancia del amplificador. Luego, sustituyendo (1.17) y (1.18) en (1.19), después de la transformación tenemos

.

Pasando a (1.16) del operador R al operador, obtenemos una función de transferencia compleja

. (1.20)

El producto es la función de transferencia compleja del amplificador y el circuito de retroalimentación, siempre que se interrumpa la retroalimentación (figura 1.10). La función se llama función de transferencia de bucle del sistema operativo o ganancia de bucle. Introduzcamos los conceptos de retroalimentación positiva y negativa. Estos conceptos juegan un papel destacado en la teoría de los circuitos de retroalimentación.

Supongamos primero que las funciones de transferencia , , no dependen de la frecuencia y son números reales. Esta situación es posible cuando no hay LC-elementos. Esto puede ser tanto positivo como numero negativo. En el primer caso, el cambio de fase entre los voltajes de entrada y salida o, en otras palabras, el cambio de fase a lo largo del circuito de retroalimentación es cero o . k= 0, 1, 2, ... En el segundo caso, cuando , el cambio de fase a lo largo de este bucle es igual a o .

Si en un circuito con retroalimentación el cambio de fase a lo largo del circuito es cero, entonces la retroalimentación se llama positivo, si el cambio de fase es igual a , entonces dicha retroalimentación se llama negativo.

La función de transferencia se puede representar como vectores y mostrarse en el plano complejo. Con retroalimentación positiva, el vector está en el semieje real positivo, y con retroalimentación negativa, en el semieje real negativo.

La curva que describe el extremo del vector a medida que cambia la frecuencia w (figura 1.11) se llama, como se sabe, hodógrafa.

La representación en forma de hodógrafa permite determinar el tipo de realimentación en caso de realimentación dependiente de la frecuencia.

Introduzcamos los conceptos de cadenas estables e inestables. La cadena se llama sostenible, si las oscilaciones libres tienden a cero con el tiempo. De lo contrario la cadena se llama inestable. De la teoría de procesos transitorios se deduce que la cadena es estable si las raíces de la ecuación característica se encuentran en el semiplano izquierdo de la variable compleja p. Si las raíces de dicha ecuación se encuentran en el semiplano derecho, entonces el circuito es inestable, es decir, está en modo de autoexcitación. Así, para determinar las condiciones de estabilidad de una cadena, basta con encontrar la ecuación característica y sus raíces. Como vemos, las condiciones de estabilidad se pueden determinar sin introducir el concepto de retroalimentación. Sin embargo, aquí surgen una serie de problemas. El hecho es que derivar la ecuación característica y determinar sus raíces es un procedimiento engorroso, especialmente para circuitos. alto orden. La introducción del concepto de retroalimentación facilita la obtención de la ecuación característica o incluso permite prescindir de ella. También es muy importante que el concepto de retroalimentación sea adecuado a los procesos físicos que ocurren en el circuito, para que queden más claros. Una comprensión profunda de los procesos físicos facilita la creación de autoosciladores, amplificadores, etc.

Consideremos el circuito (ver figura 1.6) y derivemos su ecuación característica. Dejemos y, por tanto, . Luego de (1.15) se sigue:

. (1.22)

Si escribimos la función de transferencia del circuito principal en la forma , y los circuitos del sistema operativo son , entonces la ecuación (1.22) se reescribirá de la siguiente manera:

Esta igualdad se cumple cuando

La expresión del lado izquierdo de esta igualdad es un polinomio, por lo tanto (1.23) se puede escribir en forma general:

Esta es la ecuación característica del circuito.

Las raíces de la ecuación (1.24) en el caso general son cantidades complejas.

Dónde . Conociendo las raíces de la ecuación característica, podemos escribir el voltaje de salida:

Para que la tensión no aumente ilimitadamente, todas las raíces La ecuación característica debe tener partes reales negativas, es decir, las raíces deben ubicarse en el semiplano izquierdo de la variable compleja. Un circuito con un sistema operativo que tiene tales propiedades se llama absolutamente estable.

Al estudiar circuitos de bucle cerrado, pueden surgir dos problemas. Si el circuito diseñado debe ser estable, entonces es necesario tener un criterio que, en función del tipo de funciones, permita juzgar la ausencia de raíces de la ecuación característica en el semiplano derecho. R. Si se utiliza retroalimentación para crear un circuito autooscilante inestable, entonces debe asegurarse de que las raíces de la ecuación (1.24) estén ubicadas, por el contrario, en el semiplano derecho. En este caso, es necesario disponer de una disposición de raíces tal que la autoexcitación se produzca con la frecuencia requerida.

Consideremos un criterio para la estabilidad de un circuito, llamado criterio de Nyquist, que nos permite juzgar la estabilidad de un circuito con retroalimentación en función de las propiedades de un circuito abierto (figura 1.10).

La función de transferencia en circuito abierto, o ganancia de bucle, se incluye en la ecuación característica (1.22):

, (1.26)

Si hay una frecuencia w para la cual el final del vector cae en el punto con coordenadas (1, j 0), entonces esto significará que se cumple la condición (1.26), es decir, que se producirá autoexcitación en el circuito a esta frecuencia. Esto significa que se puede utilizar la hodógrafa para determinar si la cadena es estable o no. Para ello se utiliza el criterio de Nyquist, que queda formulado de la siguiente manera: si la hodógrafa de la función de transferencia en circuito abierto no cubre el punto con coordenadas(1, j 0), entonces, con un circuito de retroalimentación cerrado, el circuito es estable. En el caso de que la hodógrafa cubra el punto (1, j X 1 se puede escribir en forma de dos condiciones: en modo estacionario. A= 2, curva 1) e inestable ( A= 3, curva 2; A= 4, curva 3) de la cadena.

Preguntas y tareas para la autoevaluación.

1. ¿Qué es una función de transferencia compleja? ¿Qué tipos de funciones de transferencia complejas de una red cuadripolo se conocen?

2. Determine el coeficiente de transmisión de voltaje, la respuesta de frecuencia y la respuesta de fase del circuito que se muestra en la Fig. 1.2, A, si el voltaje de salida es el voltaje a través de la resistencia R. Construya gráficas de respuesta de frecuencia y respuesta de fase.

Respuesta: ; ; 90° – arctán w RC.

3. Determine el coeficiente de transferencia de voltaje sin carga y el coeficiente de transferencia de corriente durante un cortocircuito para una red de cuatro puertos en forma de U en la que la inductancia está incluida en la rama longitudinal. l, y en las ramas transversales - capacidad CON. Respuesta: .

4. Determinar la atenuación introducida por el circuito Fig. 1.2, A, en R= 31,8 kOhmios y = 10 kOhmios.

Respuesta: 12 dB.

5. ¿Qué es la función de transferencia de operador? ¿Cómo se relaciona con la función de transferencia compleja? ¿Cómo determinar los ceros y polos de la función de transferencia del operador?

6. Determine la función de transferencia del operador, el coeficiente de transferencia de voltaje complejo, la respuesta de frecuencia y el cuadrado de la respuesta de frecuencia del circuito oscilatorio en serie que se muestra en la Fig. 1,5, A, si el voltaje de salida es el voltaje a través del capacitor CON. Dibuja una gráfica de la respuesta de frecuencia del circuito.

Respuesta: ; .

7. Enumere las principales propiedades de las funciones de transferencia de operadores de circuitos pasivos.

8. ¿Cómo se calcula la función de transferencia de un circuito cerrado?

9. Demuestre que la función de transferencia de operador del diferenciador en el amplificador operacional es igual a (– República Popular China). Construya una gráfica de la respuesta de frecuencia de dicho diferenciador.

11. Determine la función de transferencia del filtro que se muestra en la Fig. 1.13.

Respuesta: .

12. ¿Qué es la hodógrafa de ganancia de bucle? ¿Cómo determinar el tipo de retroalimentación utilizando una hodógrafa?

13. ¿Cómo se formula el criterio de estabilidad de Nyquist? ¿Para qué circuitos se utiliza?

14. Determine la función de transferencia compleja del circuito abierto que se muestra en la Fig. 1.13. Explore la dependencia de la estabilidad del circuito del valor de ganancia. A.

SISTEMAS LINEALES

CONTROL AUTOMÁTICO

Editorial Universidad Técnica Estatal de Omsk

Ministerio de Educación y Ciencia Federación Rusa

Estado institución educativa

más alto educación vocacional

"Universidad Técnica Estatal de Omsk"

SISTEMAS LINEALES

CONTROL AUTOMÁTICO

Pautas para el trabajo práctico.

Editorial Universidad Técnica Estatal de Omsk

Compilado por E. V. Shendaleva, Doctor. tecnología. ciencias

La publicación contiene pautas Realizar trabajos prácticos sobre la teoría del control automático.

Destinado a estudiantes de la especialidad 200503, “Normalización y Certificación”, que cursan la disciplina “Fundamentos del Control Automático”.

Publicado por decisión del consejo editorial y editorial.

Universidad Técnica Estatal de Omsk

© GOU VPO "Estado de Omsk

Universidad Técnica", 2011

La necesidad de utilizar la metodología de la teoría de la gestión por parte de los especialistas en normalización y certificación surge al determinar:

1) características cuantitativas y (o) cualitativas de las propiedades del objeto de prueba como resultado de la influencia sobre él durante su funcionamiento, al modelar el objeto y (o) influencias, cuya ley de cambio debe garantizarse mediante un sistema automático. sistema de control;

2) propiedades dinámicas del objeto de medición y prueba;

3) la influencia de las propiedades dinámicas de los instrumentos de medición en los resultados de las mediciones y pruebas del objeto.

Los métodos para estudiar objetos se analizan en trabajos prácticos.

Trabajo práctico 1

Funciones dinámicas

Ejercicio 1.1

Encuentra la función de ponderación. w(t) según la función de transición conocida

h(t) = 2(1–e –0,2 t).

Solución

w(t)=h¢( t), por lo tanto, al diferenciar la expresión original

w(t)=0,4e –0,2 t .

Ejercicio 1.2

Encuentre la función de transferencia del sistema usando la ecuación diferencial 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5X(t). Las condiciones iniciales son cero.

Solución

La ecuación diferencial se convierte a la forma estándar dividiendo por el coeficiente del término y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5X(t).

La ecuación resultante se transforma según Laplace.

0,4s 2 y(s) + 0,2si(s) + y(s) = 0,5X(s)

y luego escrito como una función de transferencia:

Dónde s= un + i w es el operador de Laplace.

Ejercicio 1.3

Encuentra la función de transferencia W.(s) sistemas que utilizan una función de peso conocida w(t)=5–t.

Solución

transformada de Laplace

. (1.1)

Usando la relación entre la función de transferencia y la función de ponderación W.(s) = w(s), obtenemos

.

La transformada de Laplace se puede obtener mediante el cálculo (1.1), utilizando las tablas de transformada de Laplace o utilizando el paquete software Matlab. El programa en Matlab se proporciona a continuación.

sims s t

x=5-t función % de tiempo

y=laplace(x)% Función transformada de Laplace.

Ejercicio 1.4

Usando la función de transferencia del sistema, encuentre su respuesta a una acción de un solo paso (función de transición)

.

Solución

Transformada inversa de Laplace

, (1.2)

donde c es la abscisa de convergencia X(s).

Según el principio de superposición, válido para sistemas lineales.

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

Dónde h(t) – función de transición de todo el sistema;

h 1 (t) – función de transición del enlace integrador

;

h 2 (t) – función transitoria de la sección del amplificador

.

Se sabe que h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2×δ( t), Entonces h(t)=k 1× t+k 2×δ( t).

La transformada inversa de Laplace se puede obtener mediante el cálculo (1.2), utilizando las tablas de transformada de Laplace o utilizando el paquete de software Matlab. El programa en Matlab se proporciona a continuación.

sims s k1 k2% designación de variable simbólica

y=k1/s+k2% Función transformada de Laplace

x=ilaplace(y) Función % de tiempo.

Ejercicio 1.5

Encuentre las características de amplitud-frecuencia y fase-frecuencia utilizando la función de transferencia conocida del sistema.

.

Solución

Para determinar las características de amplitud-frecuencia (AFC) y fase-frecuencia (PFC), es necesario pasar de la función de transferencia a la característica de amplitud-fase W.(i w), ¿por qué cambiar el argumento? s → i w

.

Luego representa la AFC en la forma W.(i w)= PAG(w)+ coeficiente intelectual(w), donde PAG(w) – parte real, q(w) es la parte imaginaria de la AFC. Para obtener las partes real e imaginaria del AFC es necesario multiplicar el numerador y el denominador por Número complejo, conjugado a la expresión en el denominador:

La respuesta de frecuencia y la respuesta de fase están determinadas respectivamente por las fórmulas

, ;

,

Característica amplitud-fase W.(j w) se puede representar en la forma

.

Ejercicio 1.6

Definir señal y(t) en la salida del sistema basándose en una señal de entrada conocida y la función de transferencia del sistema

X(t)=2sin10 t; .

Se sabe que cuando se expone a una señal de entrada X(t)=B pecado t señal de salida al sistema y(t) también será armónico, pero diferirá de la amplitud y fase de entrada

y(t) = B× A(w) pecado

Dónde A(w) – respuesta de frecuencia del sistema; j(w) – respuesta de fase del sistema.

Usando la función de transferencia determinamos la respuesta de frecuencia y la respuesta de fase.

j(w)=–arctg0.1w.

En frecuencia w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 y j(10) = –arctg1=–0.25p.

Entonces y(t) = 2×2 pecado(10 t–0,25p) = 4 pecado(10 t–0,25p).

Preguntas de control :

1. Defina el concepto de función de peso.

2. Defina el concepto de función de transición.

3. ¿Con qué propósito se utiliza la transformada de Laplace al describir enlaces dinámicos?

4. ¿Qué ecuaciones se llaman diferencial lineal?

5. ¿Con qué propósito, al pasar a una ecuación en forma de operador, se transforma la ecuación diferencial original a la forma estándar?

6. ¿Cómo se elimina la expresión con un número imaginario del denominador de la característica amplitud-fase?

7. Especifique el comando de transformación directa de Laplace en el paquete de software Matlab.

8. Especifique el comando de transformación inversa de Laplace en el paquete de software Matlab.

Trabajo práctico 2

Funciones de transferencia

Ejercicio 2.1

Encuentre la función de transferencia del sistema con base en su diagrama estructural.

Solución

Los principales métodos para conectar enlaces en diagramas de bloques son: enlaces paralelos, en serie y enlaces con retroalimentación (secciones típicas de enlaces).

La función de transferencia de un sistema de enlaces conectados en paralelo es igual a la suma de las funciones de transferencia de enlaces individuales (Fig. 2.1)

. (2.1)

Arroz. 2.1. Conexión paralela de enlaces.

La función de transferencia de un sistema de enlaces conectados en serie es igual al producto de las funciones de transferencia de enlaces individuales (figura 2.2)

(2.2)

Arroz. 2.2. Conexión en serie de enlaces.

La retroalimentación es la transferencia de una señal desde la salida de un enlace a su entrada, donde la señal de retroalimentación se suma algebraicamente con una señal externa (Fig. 2.3).

Arroz. 2.3 Conexión con retroalimentación: a) positiva, b) negativa

Función de transferencia de una conexión de retroalimentación positiva.

, (2.3)

función de transferencia de una conexión de retroalimentación negativa

. (2.4)

Definición de función de transferencia sistema complejo La gestión se realiza por etapas. Para ello, se identifican secciones que contienen conexiones en serie, en paralelo y conexiones con retroalimentación (secciones típicas de enlaces) (Fig. 2.4)

W. 34 (s)=W. 3 (s)+W. 4 (s); .

Arroz. 2.4. Diagrama de bloques del sistema de control.

Luego, la sección de enlaces típica seleccionada se reemplaza por un enlace con la función de transferencia calculada y se repite el procedimiento de cálculo (Fig. 2.5 - 2.7).

Arroz. 2.5. Reemplazo de conexiones paralelas y de circuito cerrado con un enlace

Arroz. 2.6. Reemplazo de una conexión de retroalimentación con un enlace

Arroz. 2.7. Reemplazo de una conexión en serie con un enlace

(2.5)

Ejercicio 2.2

Determine la función de transferencia si las funciones de transferencia de sus partes constituyentes son:

Solución

Al sustituir en (2.5) las funciones de transferencia de los enlaces

La transformación del diagrama de bloques con respecto a la acción de control de entrada (Fig. 2.7, 2.11) se puede obtener mediante el cálculo (2.5) o utilizando el paquete de software Matlab. El programa en Matlab se proporciona a continuación.

W1=tf(,)% Función de transmisión W. 1

W2=tf(,)% Función de transmisión W. 2

W3=tf(,)% Función de transmisión W. 3

W4=tf(,)% Función de transmisión W. 4

W5=tf(,)% Función de transmisión W. 5

W34=paralelo(W3,W4)% coneccion paralela ( W. 3 + W. 4)

W25=retroalimentación(W2,W5)

W134=retroalimentación(W1,W34)% retroalimentación negativa

W12345=serie(W134,W25)% conexión serie ( W. 134× W. 25)

W=retroalimentación(W12345,1)

Ejercicio 2.3.

Encuentre la función de transferencia de un sistema de circuito cerrado basado en perturbaciones.

Solución

Para determinar la función de transferencia de un sistema complejo a partir de una influencia perturbadora, es necesario simplificarla y considerarla en relación con la influencia perturbadora de la entrada (Fig. 2.8 - 2.12).

Fig.2.8. Diagrama de bloques inicial del sistema automático.

Arroz. 2.9. Simplificación del diagrama de bloques.

Arroz. 2.10. Diagrama de bloques simplificado

Arroz. 2.11. Diagrama de bloques relativo a la acción de control de entrada.

Arroz. 2.12. Diagrama de bloques del sistema en relación con la influencia perturbadora.

Después de llevar el diagrama estructural a uno de circuito único, la función de transferencia para la influencia perturbadora F(t)

(2.6)

La transformación del diagrama estructural con respecto a la influencia perturbadora (Fig. 2.12) se puede obtener mediante el cálculo (2.6) o utilizando el paquete de software Matlab.

W1=tf(,)% Función de transmisión W. 1

W2=tf(,)% Función de transmisión W. 2

W3=tf(,)% Función de transmisión W. 3

W4=tf(,)% Función de transmisión W. 4

W5=tf(,)% Función de transmisión W. 5

W34=paralelo(W3,W4)% coneccion paralela

W25=retroalimentación(W2,W5)% retroalimentación negativa

W134=retroalimentación(W1,W34)% retroalimentación negativa

Wf=retroalimentación(W25,W134)% retroalimentación negativa.

Ejercicio 2. 4

Determine la función de transferencia del sistema de circuito cerrado para el error.

Solución

En la figura 2.3 se muestra un diagrama de bloques para determinar la función de transferencia de un sistema de circuito cerrado para un error de control. 2.13.

Arroz. 2.13. Diagrama de bloques del sistema respecto al error de control.

Función de transferencia de circuito cerrado para errores.

(2.7)

Al sustituir valores numéricos

La transformación del diagrama de bloques con respecto a la señal de error de control (Fig. 2.13) se puede obtener mediante el cálculo (2.7) o utilizando el paquete de software Matlab.

W1=tf(,)% Función de transmisión W. 1

W2=tf(,)% Función de transmisión W. 2

W3=tf(,)% Función de transmisión W. 3

W4=tf(,)% Función de transmisión W. 4

W5=tf(,)% Función de transmisión W. 5

W34=paralelo(W3,W4)% coneccion paralela)

W25=retroalimentación(W2,W5)% retroalimentación negativa

W134=retroalimentación(W1,W34)% retroalimentación negativa

Nosotros=comentarios(1,W134*W25)% retroalimentación negativa

Preguntas de control:

1. Enumere las principales formas de conectar enlaces en diagramas de bloques.

2. Determine la función de transferencia de un sistema de enlaces conectados en paralelo.

3. Determine la función de transferencia de un sistema de enlaces conectados en serie.

4. Defina la función de transferencia de retroalimentación positiva.

5. Defina la función de transferencia de retroalimentación negativa.

6. Determine la función de transferencia de la línea de comunicación.

7. ¿Qué comando de Matlab se utiliza para determinar la función de transferencia de dos enlaces conectados en paralelo?

8. ¿Qué comando de Matlab se utiliza para determinar la función de transferencia de dos enlaces conectados en serie?

9. ¿Qué comando de Matlab se utiliza para determinar la función de transferencia de un enlace cubierto por retroalimentación?

10. Dibuje un diagrama de bloques del sistema para determinar la función de transferencia para la acción de control.

11. Escriba la función de transferencia para la acción de control.

12. Dibuje un diagrama de bloques del sistema para determinar la función de transferencia en función del parámetro perturbador.

13. Escriba la función de transferencia para el parámetro perturbador.

14. Dibuje un diagrama de bloques del sistema para determinar la función de transferencia para el error de control.

15. Escriba la función de transferencia para el error de control.

Trabajo práctico 3

Descomposición de una función de transferencia compleja.