método de gauss perfecto para resolver sistemas lineales ecuaciones algebraicas(SLAU). Tiene una serie de ventajas respecto a otros métodos:
- en primer lugar, no es necesario examinar primero la coherencia del sistema de ecuaciones;
- en segundo lugar, el método de Gauss puede resolver no solo SLAE en los que el número de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y la matriz principal del sistema no es singular, sino también sistemas de ecuaciones en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o el determinante de la matriz principal es igual a cero;
- En tercer lugar, el método gaussiano produce resultados con un número relativamente pequeño de operaciones computacionales.
Breve reseña del artículo.
Primero, damos las definiciones necesarias e introducimos notaciones.
A continuación, describiremos el algoritmo del método de Gauss para el caso más simple, es decir, para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, cuyo número de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es no igual a cero. Al resolver tales sistemas de ecuaciones, la esencia del método de Gauss es más claramente visible, que es la eliminación secuencial de variables desconocidas. Por lo tanto, el método gaussiano también se denomina método de eliminación secuencial de incógnitas. Mostraremos soluciones detalladas de varios ejemplos.
En conclusión, consideraremos la solución por el método de Gauss de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, cuya matriz principal es rectangular o singular. La solución a estos sistemas tiene algunas características que examinaremos en detalle mediante ejemplos.
Navegación de páginas.
Definiciones y notaciones básicas.
Considere un sistema de p ecuaciones lineales con n incógnitas (p puede ser igual a n):
Donde son variables desconocidas, son números (reales o complejos) y son términos libres.
Si 
, entonces el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.
El conjunto de valores de variables desconocidas para el cual todas las ecuaciones del sistema se vuelven identidades se llama decisión de la SLAU.
Si existe al menos una solución para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, entonces se llama articulación, de lo contrario - no conjunto.
Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto. Si hay más de una solución, entonces el sistema se llama incierto.
Dicen que el sistema está escrito en forma coordinada, si tiene la forma
.
Este sistema en forma matricial registros tiene la forma donde 
- la matriz principal de la SLAE, - la matriz de la columna de variables desconocidas, - la matriz de términos libres.
Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Normalmente, una matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada por una línea vertical de las columnas restantes, es decir, 
La matriz cuadrada A se llama degenerar, si su determinante es cero. Si , entonces la matriz A se llama no degenerado.
Cabe señalar el siguiente punto.
Si actuamos con un sistema de ecuaciones algebraicas lineales las siguientes acciones
- intercambiar dos ecuaciones,
- multiplicar ambos lados de cualquier ecuación por un número real (o complejo) arbitrario y distinto de cero k,
- a ambos lados de cualquier ecuación sume las partes correspondientes de otra ecuación, multiplicadas por un número arbitrario k,
entonces obtienes un sistema equivalente que tiene las mismas soluciones (o, al igual que el original, no tiene soluciones).
Para una matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, estas acciones supondrán realizar transformaciones elementales con las filas:
- intercambiando dos líneas,
- multiplicar todos los elementos de cualquier fila de la matriz T por un número k distinto de cero,
- sumando a los elementos de cualquier fila de una matriz los elementos correspondientes de otra fila, multiplicados por un número arbitrario k.
Ahora podemos proceder a la descripción del método de Gauss.
Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y la matriz principal del sistema es no singular, mediante el método de Gauss.
¿Qué haríamos en la escuela si nos dieran la tarea de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones? 
.
Algunos harían eso.
Tenga en cuenta que sumar al lado izquierdo de la segunda ecuación lado izquierdo primero, y en el lado derecho, el derecho, puede deshacerse de las variables desconocidas x 2 y x 3 e inmediatamente encontrar x 1: 
Sustituimos el valor encontrado x 1 =1 en la primera y tercera ecuaciones del sistema: 
Si multiplicamos ambos lados de la tercera ecuación del sistema por -1 y los sumamos a las partes correspondientes de la primera ecuación, nos deshacemos de la variable desconocida x 3 y podemos encontrar x 2: 
Sustituimos el valor resultante x 2 = 2 en la tercera ecuación y encontramos la variable desconocida restante x 3: 
Otros hubieran hecho lo contrario.
Resolvamos la primera ecuación del sistema con respecto a la variable desconocida x 1 y sustituimos la expresión resultante en la segunda y tercera ecuaciones del sistema para excluir esta variable de ellas: 
Ahora resolvamos la segunda ecuación del sistema para x 2 y sustituyamos el resultado resultante en la tercera ecuación para eliminar la variable desconocida x 2: 
De la tercera ecuación del sistema queda claro que x 3 =3. De la segunda ecuación encontramos 
, y de la primera ecuación obtenemos .
Soluciones familiares, ¿verdad?
Lo más interesante aquí es que el segundo método de solución es esencialmente el método de eliminación secuencial de incógnitas, es decir, el método gaussiano. Cuando expresamos las variables desconocidas (primero x 1, en la siguiente etapa x 2) y las sustituimos en las ecuaciones restantes del sistema, las excluimos. Realizamos eliminación hasta que solo quedó una variable desconocida en la última ecuación. El proceso de eliminación secuencial de incógnitas se llama método gaussiano directo. Despues de terminar golpe hacia adelante ahora tenemos la oportunidad de calcular la variable desconocida en la última ecuación. Con su ayuda, encontramos la siguiente variable desconocida de la penúltima ecuación, y así sucesivamente. El proceso de encontrar secuencialmente variables desconocidas mientras se pasa de la última ecuación a la primera se llama en reversa método de gauss.
Cabe señalar que cuando expresamos x 1 en términos de x 2 y x 3 en la primera ecuación, y luego sustituimos la expresión resultante en la segunda y tercera ecuaciones, las siguientes acciones conducen al mismo resultado:
De hecho, este procedimiento también permite eliminar la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema: 
Los matices con la eliminación de variables desconocidas mediante el método gaussiano surgen cuando las ecuaciones del sistema no contienen algunas variables.
Por ejemplo, en SLAU 
en la primera ecuación no hay ninguna variable desconocida x 1 (en otras palabras, el coeficiente delante de ella es cero). Por lo tanto, no podemos resolver la primera ecuación del sistema para x 1 para eliminar esta variable desconocida de las ecuaciones restantes. La salida a esta situación es intercambiar las ecuaciones del sistema. Dado que estamos considerando sistemas de ecuaciones lineales cuyos determinantes de las matrices principales son diferentes de cero, siempre hay una ecuación en la que está presente la variable que necesitamos y podemos reorganizar esta ecuación en la posición que necesitamos. Para nuestro ejemplo, basta con intercambiar la primera y la segunda ecuaciones del sistema. 
, entonces puedes resolver la primera ecuación para x 1 y excluirla de las ecuaciones restantes del sistema (aunque x 1 ya no está presente en la segunda ecuación).
Esperamos que entiendas la esencia.
describamos Algoritmo del método gaussiano.
Supongamos que necesitamos resolver un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas. variables de la forma 
, y sea el determinante de su matriz principal distinto de cero.
Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo reordenando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma 
dónde y 
.
Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.
A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura. 
Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , a la cuarta ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma 
dónde y 
. Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.
A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, mientras actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura. 
Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma 
A partir de este momento comenzamos al revés del método gaussiano: calculamos x n de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .
Veamos el algoritmo con un ejemplo.
Ejemplo.
Método de Gauss.
Solución.
El coeficiente a 11 es distinto de cero, por lo que procedemos a la progresión directa del método gaussiano, es decir, a la exclusión de la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema excepto la primera. Para hacer esto, a los lados izquierdo y derecho de la segunda, tercera y cuarta ecuaciones, sumamos los lados izquierdo y derecho de la primera ecuación, multiplicados por , respectivamente. 
Y : 
La variable desconocida x 1 ha sido eliminada, pasemos a eliminar x 2. A los lados izquierdo y derecho de la tercera y cuarta ecuaciones del sistema sumamos los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por respectivamente 
Y 
:
Para completar la progresión directa del método gaussiano, necesitamos eliminar la variable desconocida x 3 de la última ecuación del sistema. Sumemos a los lados izquierdo y derecho de la cuarta ecuación, respectivamente, los lados izquierdo y derecho lado derecho tercera ecuación multiplicada por 
:
Puede comenzar a la inversa del método gaussiano.
De la última ecuación tenemos 
,
de la tercera ecuación obtenemos,
desde el segundo,
desde el primero.
Para comprobarlo, puede sustituir los valores obtenidos de las variables desconocidas en el sistema de ecuaciones original. Todas las ecuaciones se convierten en identidades, lo que indica que la solución utilizando el método de Gauss se encontró correctamente.
Respuesta:
Ahora demos una solución al mismo ejemplo usando el método gaussiano en notación matricial.
Ejemplo.
Encuentra la solución al sistema de ecuaciones. Método de Gauss.
Solución.
La matriz extendida del sistema tiene la forma 
. En la parte superior de cada columna están las variables desconocidas que corresponden a los elementos de la matriz.
El enfoque directo del método gaussiano aquí implica reducir la matriz extendida del sistema a una forma trapezoidal mediante transformaciones elementales. Este proceso es similar a la eliminación de variables desconocidas que hicimos con el sistema en forma de coordenadas. Ahora verás esto.
Transformemos la matriz para que todos los elementos de la primera columna, comenzando por la segunda, se vuelvan cero. Para ello, a los elementos de la segunda, tercera y cuarta línea le sumamos los elementos correspondientes de la primera línea multiplicados por , y, en consecuencia: 
A continuación, transformamos la matriz resultante para que en la segunda columna todos los elementos, comenzando por la tercera, se vuelvan cero. Esto correspondería a eliminar la variable desconocida x 2. Para ello, a los elementos de la tercera y cuarta fila sumamos los elementos correspondientes de la primera fila de la matriz, multiplicados por respectivamente Y :
Queda por excluir la variable desconocida x 3 de la última ecuación del sistema. Para ello, a los elementos de la última fila de la matriz resultante le sumamos los elementos correspondientes de la penúltima fila, multiplicados por :
Cabe señalar que esta matriz corresponde a un sistema de ecuaciones lineales 
que se obtuvo anteriormente después de un movimiento hacia adelante.
Es hora de dar marcha atrás. En notación matricial, lo inverso del método gaussiano implica transformar la matriz resultante de modo que la matriz marcada en la figura 
se volvió diagonal, es decir, tomó la forma 
¿Dónde están algunos números?
Estas transformaciones son similares a las transformaciones directas del método gaussiano, pero no se realizan desde la primera línea hasta la última, sino desde la última hasta la primera.
Suma a los elementos de la tercera, segunda y primera línea los elementos correspondientes de la última línea, multiplicados por 
, incesantemente 
respectivamente: 
Ahora agreguemos a los elementos de la segunda y primera línea los elementos correspondientes de la tercera línea, multiplicados por y por, respectivamente: 
En el último paso del movimiento inverso del método gaussiano, a los elementos de la primera fila sumamos los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicados por: 
La matriz resultante corresponde al sistema de ecuaciones. 
, de donde encontramos las variables desconocidas.
Respuesta:
NOTA.
Cuando se utiliza el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, se deben evitar los cálculos aproximados, ya que esto puede conducir a resultados completamente incorrectos. Recomendamos no redondear decimales. mejor de decimales pasemos a las fracciones ordinarias.
Ejemplo.
Resolver un sistema de tres ecuaciones usando el método de Gauss. 
.
Solución.
Tenga en cuenta que en este ejemplo las variables desconocidas tienen una designación diferente (no x 1, x 2, x 3, sino x, y, z). Pasemos a las fracciones ordinarias: 
Excluimos la incógnita x de la segunda y tercera ecuaciones del sistema: 
En el sistema resultante, la variable desconocida y está ausente en la segunda ecuación, pero y está presente en la tercera ecuación, por lo tanto, intercambiemos la segunda y la tercera ecuación: 
Esto completa la progresión directa del método de Gauss (no es necesario excluir y de la tercera ecuación, ya que esta variable desconocida ya no existe).
Comencemos el movimiento inverso.
De la última ecuación encontramos 
,
desde el penúltimo 
de la primera ecuación tenemos 
Respuesta:
X = 10, y = 5, z = -20.
Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de incógnitas o la matriz principal del sistema es singular, mediante el método de Gauss.
Los sistemas de ecuaciones, cuya matriz principal es rectangular o cuadrada singular, pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener un número infinito de soluciones.
Ahora entenderemos cómo el método de Gauss nos permite establecer la compatibilidad o inconsistencia de un sistema de ecuaciones lineales, y en el caso de su compatibilidad, determinar todas las soluciones (o una sola solución).
En principio, el proceso de eliminación de variables desconocidas en el caso de tales SLAE sigue siendo el mismo. Sin embargo, vale la pena entrar en detalle sobre algunas situaciones que pueden surgir.
Pasemos a la etapa más importante.
Entonces, supongamos que el sistema de ecuaciones algebraicas lineales, después de completar la progresión directa del método de Gauss, toma la forma 
y no se redujo ni una sola ecuación (en este caso concluiríamos que el sistema es incompatible). Surge una pregunta lógica: "¿Qué hacer a continuación"?
Anotemos las variables desconocidas que aparecen primero en todas las ecuaciones del sistema resultante: 
En nuestro ejemplo, estos son x 1, x 4 y x 5. En los lados izquierdos de las ecuaciones del sistema dejamos solo aquellos términos que contienen las variables desconocidas escritas x 1, x 4 y x 5, los términos restantes se transfieren al lado derecho de las ecuaciones con el signo opuesto: 
Démosle valores arbitrarios a las variables desconocidas que están en el lado derecho de las ecuaciones, donde 
- números arbitrarios: 
Después de esto, los lados derechos de todas las ecuaciones de nuestro SLAE contienen números y podemos proceder a la inversa del método gaussiano.
De la última ecuación del sistema tenemos, de la penúltima ecuación encontramos, de la primera ecuación obtenemos 
La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de variables desconocidas. 
Dando números diferentes valores, obtendremos diferentes soluciones al sistema de ecuaciones. Es decir, nuestro sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.
Respuesta:
Dónde - números arbitrarios.
Para consolidar el material, analizaremos en detalle las soluciones de varios ejemplos más.
Ejemplo.
Decidir sistema homogéneo ecuaciones algebraicas lineales 
Método de Gauss.
Solución.
Excluyamos la variable desconocida x de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para hacer esto, a los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, sumamos, respectivamente, los lados izquierdo y derecho de la primera ecuación, multiplicados por, y a los lados izquierdo y derecho de la tercera ecuación, sumamos los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, respectivamente. lados derechos de la primera ecuación, multiplicados por: 
Ahora excluyamos y de la tercera ecuación del sistema de ecuaciones resultante: 
El SLAE resultante es equivalente al sistema 
.
Dejamos en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema solo los términos que contienen las variables desconocidas x e y, y movemos los términos con la variable desconocida z al lado derecho: 
Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que debe resolverse (encuentre los valores de las incógnitas xi que conviertan cada ecuación del sistema en una igualdad).
Sabemos que un sistema de ecuaciones algebraicas lineales puede:
1) No tener soluciones (ser no conjunto).
2) Tener infinitas soluciones.
3) Tener una solución única.
Como recordamos, la regla de Cramer y método matricial no son adecuados en los casos en que el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente. método de gauss – la herramienta más poderosa y versátil para encontrar soluciones a cualquier sistema de ecuaciones lineales, cual en cada caso¡Nos llevará a la respuesta! El algoritmo del método en sí en todos. tres casos Funciona igual. Si los métodos de Cramer y matriciales requieren conocimiento de los determinantes, entonces para aplicar el método de Gauss solo necesitas conocimiento operaciones aritmeticas, lo que lo hace accesible incluso para estudiantes de primaria.
Transformaciones matriciales aumentadas ( esta es la matriz del sistema - una matriz compuesta sólo por los coeficientes de las incógnitas, más una columna de términos libres) sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en el método de Gauss:
1) Con troki matrices Poder reorganizar en algunos lugares.
2) si los proporcionales aparecieron (o existen) en la matriz (como caso especial– idénticas) líneas, luego sigue borrar de la matriz todas estas filas excepto una.
3) si aparece una fila cero en la matriz durante las transformaciones, entonces también debería ser borrar.
4) una fila de la matriz puede ser multiplicar (dividir) a cualquier número distinto de cero.
5) a una fila de la matriz puedes agregar otra cadena multiplicada por un número, diferente de cero.
En el método de Gauss, las transformaciones elementales no cambian la solución del sistema de ecuaciones.
El método de Gauss consta de dos etapas:
- "Movimiento directo": mediante transformaciones elementales, lleva la matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a una forma escalonada "triangular": los elementos de la matriz extendida ubicados debajo de la diagonal principal son iguales a cero (movimiento de arriba hacia abajo). Por ejemplo, a este tipo:
Para hacer esto, realice los siguientes pasos:
1) Consideremos la primera ecuación de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y el coeficiente para x 1 es igual a K. La segunda, tercera, etc. Transformamos las ecuaciones de la siguiente manera: dividimos cada ecuación (coeficientes de las incógnitas, incluidos los términos libres) por el coeficiente de la incógnita x 1, que está en cada ecuación, y multiplicamos por K. Después de esto, restamos el primero de la segunda ecuación (coeficientes de incógnitas y términos libres). Para x 1 en la segunda ecuación obtenemos el coeficiente 0. De la tercera ecuación transformada restamos la primera ecuación hasta que todas las ecuaciones excepto la primera, para x 1 desconocida, tengan un coeficiente 0.
2) Pasemos a la siguiente ecuación. Sea esta la segunda ecuación y el coeficiente para x 2 igual a M. Procedemos con todas las ecuaciones “inferiores” como se describió anteriormente. Por tanto, “debajo” de la incógnita x 2 habrá ceros en todas las ecuaciones.
3) Pasar a la siguiente ecuación y así sucesivamente hasta que quede una última incógnita y el término libre transformado.
- El “movimiento inverso” del método de Gauss consiste en obtener una solución a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (el movimiento “de abajo hacia arriba”). De la última ecuación “inferior” obtenemos una primera solución: la incógnita x n. Para hacer esto, resolvemos la ecuación elemental A * x n = B. En el ejemplo anterior, x 3 = 4. Sustituimos el valor encontrado en la siguiente ecuación "superior" y lo resolvemos con respecto a la siguiente incógnita. Por ejemplo, x 2 – 4 = 1, es decir x 2 = 5. Y así sucesivamente hasta encontrar todas las incógnitas.
Ejemplo.
Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss, como aconsejan algunos autores:
Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:
Nos fijamos en el “paso” superior izquierdo. Deberíamos tener uno allí. El problema es que no hay ninguna unidad en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no resolverá nada. En tales casos, la unidad debe organizarse mediante una transformación elemental. Por lo general, esto se puede hacer de varias maneras. Hagámoslo:
1 paso
. A la primera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –1. Es decir, multiplicamos mentalmente la segunda línea por –1 y sumamos la primera y la segunda línea, mientras que la segunda línea no cambió.
Ahora arriba a la izquierda aparece “menos uno”, lo que nos viene bastante bien. Cualquiera que quiera obtener +1 puede realizar una acción adicional: multiplicar la primera línea por –1 (cambiar su signo).
Paso 2 . La primera línea, multiplicada por 5, se añadió a la segunda línea. La primera línea, multiplicada por 3, se añadió a la tercera línea.
Paso 3 . La primera línea se multiplicó por –1, en principio, esto es por belleza. También se cambió el signo de la tercera línea y se pasó al segundo lugar, de modo que en el segundo “escalón” tuviéramos la unidad requerida.
Etapa 4 . La tercera línea se sumó a la segunda línea, multiplicada por 2.
Paso 5 . La tercera línea se dividió por 3.
Una señal que indica un error en los cálculos (más raramente, un error tipográfico) es un resultado final “malo”. Es decir, si obtuvimos algo como (0 0 11 |23) a continuación y, en consecuencia, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, entonces con un alto grado de probabilidad podemos decir que se cometió un error durante la primaria. transformaciones.
Hagamos lo contrario; en el diseño de ejemplos, el sistema en sí a menudo no se reescribe, sino que las ecuaciones se “toman directamente de la matriz dada”. El movimiento inverso, les recuerdo, funciona de abajo hacia arriba. En este ejemplo, el resultado fue un regalo:
x3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, por lo tanto x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Respuesta:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Resolvamos el mismo sistema usando el algoritmo propuesto. Obtenemos
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Dividimos la segunda ecuación por 5 y la tercera por 3. Obtenemos:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Multiplicando la segunda y tercera ecuaciones por 4 obtenemos:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Reste la primera ecuación de la segunda y tercera ecuaciones, tenemos:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divide la tercera ecuación por 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multiplica la tercera ecuación por 0,4.
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Restando la segunda de la tercera ecuación, obtenemos una matriz extendida “escalonada”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Así, dado el error acumulado durante los cálculos, obtenemos x 3 = 0,96 o aproximadamente 1.
x2 = 3 y x1 = –1.
Resolviendo de esta forma, nunca te confundirás en los cálculos y, a pesar de los errores de cálculo, obtendrás el resultado.
Este método para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es fácil de programar y no tiene en cuenta características específicas coeficientes para incógnitas, porque en la práctica (en cálculos económicos y técnicos) hay que tratar con coeficientes no enteros.
¡Te deseo éxito! ¡Te veo en clases! Tutor.
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Sea el sistema dado, ∆≠0. (1)método de gauss es un método para eliminar secuencialmente incógnitas.
La esencia del método de Gauss es transformar (1) en un sistema con una matriz triangular, a partir del cual se obtienen secuencialmente (a la inversa) los valores de todas las incógnitas. Consideremos uno de los esquemas computacionales. Este circuito se llama circuito de división simple. Así que veamos este diagrama. Sea 11 ≠0 (elemento principal) divida la primera ecuación por 11. Obtenemos
(2)
Utilizando la ecuación (2), es fácil eliminar las incógnitas x 1 del resto de ecuaciones del sistema (para ello basta con restar la ecuación (2) de cada ecuación, previamente multiplicada por el coeficiente correspondiente a x 1) , es decir, en el primer paso obtenemos
.
En otras palabras, en el paso 1, cada elemento de las filas siguientes, comenzando por la segunda, es igual a la diferencia entre el elemento original y el producto de su "proyección" en la primera columna y la primera fila (transformada).
A continuación, dejando la primera ecuación sola, realizamos una transformación similar sobre las ecuaciones restantes del sistema obtenido en el primer paso: seleccionamos de entre ellas la ecuación con el elemento principal y, con su ayuda, excluimos x 2 del resto ecuaciones (paso 2).
Después de n pasos, en lugar de (1), obtenemos un sistema equivalente 
(3)
Así, en la primera etapa obtenemos un sistema triangular (3). Esta etapa se llama carrera hacia adelante.
En la segunda etapa (inversa), encontramos secuencialmente de (3) los valores x n, x n -1, ..., x 1.
Denotaremos la solución resultante como x 0 . Entonces la diferencia ε=b-A x 0 llamado residual.
Si ε=0, entonces la solución encontrada x 0 es correcta.
Los cálculos mediante el método gaussiano se realizan en dos etapas:
- La primera etapa se llama método directo. En la primera etapa, el sistema original se convierte a una forma triangular.
- La segunda etapa se llama carrera inversa. En la segunda etapa se resuelve un sistema triangular equivalente al original.
En cada paso, se supuso que el elemento principal era distinto de cero. Si este no es el caso, entonces se puede utilizar cualquier otro elemento como elemento principal, como si se reorganizaran las ecuaciones del sistema.
Propósito del método de Gauss
El método de Gauss está diseñado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se refiere a métodos de solución directa.Tipos de método gaussiano
- Método gaussiano clásico;
- Modificaciones del método de Gauss. Una de las modificaciones del método gaussiano es un esquema con elección del elemento principal. Una característica del método de Gauss con la elección del elemento principal es una reordenación de las ecuaciones de modo que en el k-ésimo paso el elemento principal resulta ser el elemento más grande en la k-ésima columna.
- método Jordano-Gauss;
Ilustremos la diferencia Método Jordano-Gauss del método gaussiano con ejemplos.
Ejemplo de solución utilizando el método de Gauss
Resolvamos el sistema: 
Para facilitar el cálculo, intercambiemos las líneas: 
Multipliquemos la segunda línea por (2). Añade la tercera línea a la segunda. 
Multiplica la segunda línea por (-1). Añade la segunda línea a la primera. 
Desde la 1ª línea expresamos x 3:
Desde la 2da línea expresamos x 2:
Desde la 3ª línea expresamos x 1: 
Un ejemplo de solución utilizando el método Jordano-Gauss.
Resolvamos el mismo SLAE usando el método Jordano-Gauss. 
Seleccionaremos secuencialmente el elemento de resolución RE, que se encuentra en la diagonal principal de la matriz.
El elemento de resolución es igual a (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemento de resolución (1), A y B - elementos matriciales que forman un rectángulo con los elementos STE y RE.
Presentemos el cálculo de cada elemento en forma de tabla:
| x1 | x2 | x3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
El elemento resolutivo es igual a (3).
En lugar del elemento de resolución obtenemos 1, y en la propia columna escribimos ceros.
Todos los demás elementos de la matriz, incluidos los elementos de la columna B, están determinados por la regla del rectángulo.
Para ello seleccionamos cuatro números que se ubican en los vértices del rectángulo y siempre incluyen el elemento resolutivo RE.
| x1 | x2 | x3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
El elemento de resolución es (-4).
En lugar del elemento de resolución obtenemos 1, y en la propia columna escribimos ceros.
Todos los demás elementos de la matriz, incluidos los elementos de la columna B, están determinados por la regla del rectángulo.
Para ello seleccionamos cuatro números que se ubican en los vértices del rectángulo y siempre incluyen el elemento resolutivo RE.
Presentemos el cálculo de cada elemento en forma de tabla:
| x1 | x2 | x3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Respuesta: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1
Implementación del método gaussiano.
El método gaussiano se implementa en muchos lenguajes de programación, en particular: Pascal, C++, php, Delphi, y también existe una implementación en línea del método gaussiano.Usando el método gaussiano
Aplicación del método Gauss en la teoría de juegos.
En la teoría de juegos, al encontrar la estrategia óptima máxima de un jugador, se compila un sistema de ecuaciones que se resuelve mediante el método gaussiano.Aplicación del método de Gauss en la resolución de ecuaciones diferenciales.
Para encontrar una solución particular a una ecuación diferencial, primero encuentre las derivadas del grado apropiado para la solución parcial escrita (y=f(A,B,C,D)), que se sustituyen en ecuación original. Siguiente para encontrar variables A,B,C,D Se compila y resuelve un sistema de ecuaciones mediante el método gaussiano.Aplicación del método Jordano-Gauss en programación lineal.
EN programación lineal, en particular, en el método simplex, la regla del rectángulo, que utiliza el método Jordano-Gauss, se utiliza para transformar la tabla simplex en cada iteración.Carl Friedrich Gauss, el mayor matemático por mucho tiempo Dudó, eligiendo entre filosofía y matemáticas. Quizás fue precisamente esta mentalidad la que le permitió dejar un "legado" tan notable en la ciencia mundial. En particular, creando el "Método Gauss"...
Durante casi 4 años, los artículos de este sitio trataron sobre la educación escolar, principalmente desde el punto de vista de la filosofía, los principios de (mal)comprensión introducidos en la mente de los niños. Llega el momento de más detalles, ejemplos y métodos... Creo que este es exactamente el enfoque hacia lo familiar, confuso y importanteáreas de la vida da mejores resultados.
Nosotros, las personas, estamos diseñados de tal manera que no importa cuánto hablemos de pensamiento abstracto, Pero comprensión Siempre sucede a través de ejemplos. Si no hay ejemplos, entonces es imposible captar los principios... Así como es imposible llegar a la cima de una montaña excepto caminando toda la pendiente desde el pie.
Lo mismo con la escuela: por ahora historias vivas No basta con que instintivamente sigamos considerándolo como un lugar donde se enseña a los niños a comprender.
Por ejemplo, enseñar el método gaussiano...
Método Gauss en 5º de primaria.
Permítanme hacer una reserva de inmediato: el método gaussiano tiene mucho más aplicación amplia, por ejemplo, al resolver sistemas de ecuaciones lineales. De lo que hablaremos ocurre en 5to grado. Este comenzó, una vez entendido cuál, es mucho más fácil comprender las "opciones avanzadas". En este artículo estamos hablando de Método de Gauss (método) para encontrar la suma de una serie
Aquí un ejemplo que traje del colegio. hijo más joven, cursando quinto grado en un gimnasio de Moscú.
Demostración escolar del método Gauss.
Profesor de matemáticas usando tablero interactivo (métodos modernos formación) mostró a los niños una presentación de la historia de la “creación del método” del pequeño Gauss.
La maestra de escuela azotó al pequeño Karl (un método anticuado, que hoy en día no se usa en las escuelas) porque
en lugar de sumar secuencialmente números del 1 al 100, encuentre su suma observó que pares de números equidistantes de los bordes de una progresión aritmética suman el mismo número. por ejemplo, 100 y 1, 99 y 2. Habiendo contado el número de esos pares, el pequeño Gauss resolvió casi instantáneamente el problema propuesto por el maestro. Por lo que fue ejecutado ante un público atónito. Para que otros se desanimen de pensar.
¿Qué hizo el pequeño Gauss? desarrollado sentido de los números? Observó alguna característica Serie numérica con paso constante (progresión aritmética). Y exactamente esto más tarde lo convirtió en un gran científico, los que saben darse cuenta, teniendo sentimiento, instinto de comprensión.
Por eso las matemáticas son valiosas, desarrollando capacidad de ver generales en particular - pensamiento abstracto . Por lo tanto, la mayoría de los padres y empleadores Consideran instintivamente las matemáticas como una disciplina importante. ...
“Entonces necesitas aprender matemáticas, porque eso pone tu mente en orden.
M.V.Lomonósov".
Sin embargo, los seguidores de aquellos que azotaron con varas a los futuros genios convirtieron el Método en algo opuesto. Como dijo mi amigo hace 35 años. consejero científico: "Aprendieron la pregunta". O como dijo ayer mi hijo menor sobre el método de Gauss: “Tal vez no valga la pena hacer de esto una gran ciencia, ¿eh?”
Las consecuencias de la creatividad de los “científicos” son visibles en el nivel de las matemáticas escolares actuales, el nivel de su enseñanza y la comprensión de la “Reina de las Ciencias” por parte de la mayoría.
Sin embargo, sigamos...
Métodos para explicar el método Gauss en 5to grado.
Un profesor de matemáticas en un gimnasio de Moscú, al explicar el método de Gauss según Vilenkin, complicó la tarea.
¿Qué pasa si la diferencia (paso) de una progresión aritmética no es uno, sino otro número? Por ejemplo, 20.
El problema que les planteó a los alumnos de quinto grado:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Antes de familiarizarnos con el método del gimnasio, echemos un vistazo a Internet: ¿cómo lo hacen los profesores de escuela y los tutores de matemáticas?
Método gaussiano: explicación número 1
Un conocido tutor en su canal de YOUTUBE da el siguiente razonamiento:
"Escribamos los números del 1 al 100 de la siguiente manera:
primero una serie de números del 1 al 50, y estrictamente debajo otra serie de números del 50 al 100, pero en orden inverso"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Tenga en cuenta: ¡la suma de cada par de números de las filas superior e inferior es la misma y equivale a 101! ¡Contemos el número de pares, es 50 y multipliquemos la suma de un par por el número de pares! Voilá: El ¡La respuesta está lista!"
“¡Si no pudiste entender, no te enojes!”, repitió la maestra tres veces durante la explicación. "¡Estudiarás este método en noveno grado!"
Método gaussiano: explicación número 2
Otro tutor, menos conocido (a juzgar por el número de visitas), adopta un enfoque más científico y ofrece un algoritmo de solución de 5 puntos que debe completarse de forma secuencial.
Para los no iniciados, el 5 es uno de los números de Fibonacci tradicionalmente considerados mágicos. Un método de 5 pasos siempre es más científico que un método de 6 pasos, por ejemplo. ...Y esto no es una casualidad, lo más probable es que el autor sea un partidario oculto de la teoría de Fibonacci.
Dana progresión aritmética: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritmo para encontrar la suma de números de una serie mediante el método de Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Al mismo tiempo, debes recordar. más una regla : debemos sumar uno al cociente resultante: de lo contrario obtendremos un resultado menor en uno que el número real de pares: 42 + 1 = 43.
¡Esta es la suma requerida de la progresión aritmética de 4 a 256 con una diferencia de 6!
Método Gauss: explicación en quinto grado en un gimnasio de Moscú
A continuación se explica cómo resolver el problema de encontrar la suma de una serie:
20+40+60+ ... +460+480+500
en quinto grado en un gimnasio de Moscú, el libro de texto de Vilenkin (según mi hijo).
Después de mostrar la presentación, el profesor de matemáticas mostró un par de ejemplos usando el método gaussiano y le dio a la clase la tarea de encontrar la suma de los números de una serie en incrementos de 20.
Esto requirió lo siguiente:
Como puedes ver, este es más compacto y técnica efectiva: el número 3 también es miembro de la secuencia de Fibonacci
Mis comentarios sobre la versión escolar del método Gauss.
El gran matemático definitivamente habría elegido la filosofía si hubiera previsto en qué convertirían sus seguidores su “método” profesor aleman, que azotó a Karl con varas. Habría visto el simbolismo, la espiral dialéctica y la eterna estupidez de los "maestros", tratando de medir la armonía del pensamiento matemático vivo con el álgebra del malentendido ....
Por cierto: ¿lo sabías? ¿Que nuestro sistema educativo tiene sus raíces en la escuela alemana de los siglos XVIII y XIX?
Pero Gauss eligió las matemáticas.
¿Cuál es la esencia de su método?
EN simplificación. EN observando y captando patrones simples de números. EN convertir la aritmética escolar seca en actividad interesante y emocionante , activando en el cerebro el deseo de continuar, en lugar de bloquear la actividad mental de alto costo.
¿Es posible utilizar una de las “modificaciones del método de Gauss” dadas para calcular la suma de los números de una progresión aritmética casi instantáneamente? Según los “algoritmos”, el pequeño Karl tendría garantizado evitar los azotes, desarrollar una aversión a las matemáticas y suprimir de raíz sus impulsos creativos.
¿Por qué el tutor aconsejaba con tanta insistencia a los alumnos de quinto grado que “no tuvieran miedo de malinterpretar” el método, convenciéndolos de que resolverían “tales” problemas ya en noveno grado? Acción psicológicamente analfabeta.. Fue un buen movimiento para notar.: "Nos vemos ya en 5to grado puedes¡Resuelve problemas que completarás solo en 4 años! ¡Qué gran tipo eres!
Para utilizar el método gaussiano es suficiente un nivel de clase 3, cuando los niños normales ya saben sumar, multiplicar y dividir números de 2-3 cifras. Los problemas surgen debido a la incapacidad de los profesores adultos que están "fuera de contacto" para explicar las cosas más simples en el lenguaje humano normal, sin mencionar las matemáticas... No logran que la gente se interese por las matemáticas y desaniman por completo incluso a aquellos que " capaz."
O, como comentó mi hijo: “hacer de ello una gran ciencia”.
Método Gauss, mis explicaciones.
Mi esposa y yo le explicamos este “método” a nuestro hijo, al parecer, incluso antes de ir a la escuela...
Simplicidad en lugar de complejidad o juego de preguntas y respuestas
"Mira, aquí están los números del 1 al 100. ¿Qué ves?"
La cuestión no es qué ve exactamente el niño. El truco consiste en hacer que mire.
"¿Cómo puedes juntarlos?" El hijo se dio cuenta de que esas preguntas no se hacen "así" y que hay que mirar la pregunta "de alguna manera diferente, diferente a como lo hace habitualmente".
No importa si el niño ve la solución de inmediato, es poco probable. Es importante que el dejó de tener miedo de mirar, o como digo: “moví la tarea”. Este es el comienzo del viaje hacia la comprensión.
“¿Qué es más fácil: sumar, por ejemplo, 5 y 6 o 5 y 95?” Una pregunta capciosa... Pero cualquier formación se reduce a "guiar" a una persona hacia la "respuesta", de cualquier forma que sea aceptable para él.
En esta etapa, es posible que ya surjan conjeturas sobre cómo "ahorrar" en los cálculos.
Todo lo que hicimos fue insinuar: el método de conteo “frontal, lineal” no es el único posible. Si un niño entiende esto, más adelante se le ocurrirán muchos más métodos similares. ¡¡¡porque es interesante!!! Y definitivamente evitará "malinterpretar" las matemáticas y no se sentirá disgustado por ellas. ¡Obtuvo la victoria!
Si niño descubierto que sumar pares de números que suman cien es pan comido, entonces "progresión aritmética con diferencia 1"- algo bastante aburrido y poco interesante para un niño - de repente encontró vida para él . Del caos surgió el orden, y esto siempre provoca entusiasmo: así es como estamos hechos!
Pregunta para responder: ¿por qué, después de la comprensión que ha recibido un niño, debería ser conducido nuevamente al marco de algoritmos secos, que en este caso también son funcionalmente inútiles?
¿Por qué forzar reescrituras estúpidas? Números secuenciales en un cuaderno: ¿para que ni siquiera los capaces tengan la menor posibilidad de entenderlos? Estadísticamente, por supuesto, pero la educación de masas está orientada hacia las “estadísticas”...
¿A dónde se fue el cero?
Y, sin embargo, sumar números que suman 100 es mucho más aceptable para la mente que aquellos que suman 101...
El "Método de la Escuela Gauss" requiere exactamente esto: doblar sin pensar pares de números equidistantes del centro de la progresión, A pesar de todo.
¿Y si miras?
Aún así, el cero es el mayor invento de la humanidad, que tiene más de 2.000 años. Y los profesores de matemáticas siguen ignorándolo.
Es mucho más fácil convertir una serie de números que empiezan con 1 en una serie que empieza con 0. La suma no cambiará, ¿verdad? Tienes que dejar de “pensar en los libros de texto” y empezar a buscar...¡Y observe que los pares con una suma de 101 se pueden reemplazar completamente por pares con una suma de 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
¿Cómo abolir la "regla más 1"?
Para ser honesto, escuché por primera vez sobre esa regla gracias a ese tutor de YouTube...
¿Qué debo hacer todavía cuando necesito determinar el número de miembros de una serie?
Miro la secuencia:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
y cuando estés completamente cansado, pasa a una fila más sencilla:
1, 2, 3, 4, 5
y yo calculo: si a 5 le restas uno, obtienes 4, pero lo tengo absolutamente claro Veo¡5 números! ¡Por lo tanto, debes agregar uno! El sentido numérico desarrollado en escuela primaria, sugiere: incluso si hubiera todo un Google de miembros de la serie (10 elevado a la centésima), el patrón seguirá siendo el mismo.
¿Cuáles carajo son las reglas?...
¿Para que en un par de años llenar todo el espacio entre la frente y la nuca y dejar de pensar? ¿Cómo ganarse el pan y la mantequilla? Después de todo, ¡nos estamos moviendo en filas iguales hacia la era de la economía digital!
Más sobre el método escolar de Gauss: "¿por qué hacer ciencia de esto?"
No en vano publiqué una captura de pantalla del cuaderno de mi hijo...
"¿Qué pasó en clase?"
“Bueno, enseguida conté, levanté la mano, pero ella no preguntó. Por eso, mientras los demás contaban, yo comencé a hacer los deberes en ruso para no perder el tiempo. Luego, cuando los demás terminaron de escribir (? ??), me llamó a la junta y le dije la respuesta."
“Así es, muéstrame cómo lo resolviste”, dijo la maestra. Lo mostré. Ella dijo: "¡Mal, debes contar como te mostré!"
“Qué bueno que no puso mala nota. Y me hizo escribir en su cuaderno “el curso de la solución” a su manera. ¿Por qué hacer de esto una gran ciencia?...”
El principal delito de un profesor de matemáticas.
Apenas después ese incidente Carl Gauss sentía un gran respeto por el profesor de matemáticas de su escuela. Pero si supiera cómo seguidores de ese maestro distorsionará la esencia misma del método...rugiría de indignación y a través de la Organización Mundial propiedad intelectual¡La OMPI ha logrado prohibir el uso de su nombre en los libros de texto escolares!
En que error principal enfoque escolar? ¿O, como yo digo, un crimen de los profesores de matemáticas de las escuelas contra los niños?
Algoritmo de malentendido
¿Qué hacen los metodólogos escolares, la gran mayoría de los cuales no saben pensar?
Crean métodos y algoritmos (ver). Este una reacción defensiva que protege a los profesores de las críticas (“Todo se hace según…”) y a los niños de la comprensión. Y así, ¡por el deseo de criticar a los profesores!(El segundo derivado de la “sabiduría” burocrática, un enfoque científico del problema). Una persona que no comprende el significado preferirá culpar a su propio malentendido, en lugar de a la estupidez del sistema escolar.
Esto es lo que sucede: los padres culpan a sus hijos, y los profesores… ¡hacen lo mismo con los niños que “no entienden matemáticas!”
¿Eres inteligente?
¿Qué hizo el pequeño Karl?
Un enfoque completamente poco convencional para una tarea formulada. Ésta es la esencia de Su enfoque. Este Lo principal que se debe enseñar en la escuela es pensar no con los libros de texto, sino con la cabeza.. Por supuesto, también hay un componente instrumental que se puede utilizar... en busca de más simple y métodos efectivos cuentas.
Método de Gauss según Vilenkin
En la escuela enseñan que el método de Gauss consiste en
Qué, si el número de elementos de la serie es impar, como en el problema que le asignaron a mi hijo?..
El "truco" es que en este caso deberías encontrar un número "extra" en la serie y sumarlo a la suma de los pares. En nuestro ejemplo este número es 260.
¿Cómo detectarlo? ¡Copiando todos los pares de números en un cuaderno!(Es por eso que el maestro obligó a los niños a hacer este estúpido trabajo de tratar de enseñar "creatividad" usando el método gaussiano... Y es por eso que tal "método" es prácticamente inaplicable a grandes series de datos, Y es por eso que es no el método gaussiano.)
Un poco de creatividad en la rutina escolar...
El hijo actuó de manera diferente.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
No es difícil, ¿verdad?
Pero en la práctica se vuelve aún más fácil, lo que permite dedicar 2-3 minutos a la teledetección en ruso, mientras el resto "cuenta". Además, mantiene el número de pasos del método: 5, lo que no permite criticar el enfoque por no ser científico.
Evidentemente este enfoque es más sencillo, más rápido y más universal, al estilo del Método. Pero... el profesor no sólo no me elogió, sino que también me obligó a reescribirlo “de la manera correcta” (ver captura de pantalla). Es decir, ¡hizo un intento desesperado de sofocar el impulso creativo y la capacidad de comprender las matemáticas desde la raíz! Al parecer, para que luego la contrataran como tutora... Atacó a la persona equivocada...
Todo lo que describí tan larga y tediosamente se puede explicar. a un niño normal en media hora máximo. Junto con ejemplos.
Y de tal manera que nunca lo olvidará.
Y será paso hacia la comprensión...no sólo los matemáticos.
Admítelo: ¿cuántas veces en tu vida has sumado usando el método Gaussiano? ¡Y nunca lo hice!
Pero instinto de comprensión, que se desarrolla (o se extingue) en el proceso de aprendizaje. métodos matemáticos en la escuela... ¡Oh!... ¡Esto es realmente algo insustituible!
Especialmente en la era de la digitalización universal, en la que hemos entrado silenciosamente bajo la estricta dirección del Partido y el Gobierno.
Unas palabras en defensa de los docentes...
Es injusto y equivocado asignar toda la responsabilidad de este estilo de enseñanza únicamente a los profesores de escuela. El sistema está vigente.
Alguno Los profesores comprenden lo absurdo de lo que está pasando, pero ¿qué hacer? Ley de Educación, Normas Educativas del Estado Federal, métodos, mapas tecnológicos lecciones... Todo debe hacerse “de acuerdo con y sobre la base de” y todo debe estar documentado. Hazte a un lado: hizo cola para ser despedido. No seamos hipócritas: los salarios de los profesores de Moscú son muy buenos... Si te despiden, ¿adónde ir?...
Por lo tanto este sitio no sobre educación. el esta a punto educación individual, solo Una salida posible salir de la multitud generación Z ...
En este artículo, el método se considera un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales (SLAE). El método es analítico, es decir, permite escribir un algoritmo de solución en vista general y luego sustituya valores de ejemplos específicos allí. A diferencia del método matricial o las fórmulas de Cramer, al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, también se puede trabajar con aquellos que tienen un número infinito de soluciones. O no lo tienen en absoluto.
¿Qué significa resolver mediante el método gaussiano?
Primero, necesitamos escribir nuestro sistema de ecuaciones. Se ve así. Toma el sistema:
Los coeficientes se escriben en forma de tabla y los términos libres se escriben en una columna separada a la derecha. La columna con miembros libres está separada por conveniencia. La matriz que incluye esta columna se llama extendida.
A continuación, la matriz principal con coeficientes debe reducirse a una forma triangular superior. Este es el punto principal de resolver el sistema utilizando el método gaussiano. En pocas palabras, después de ciertas manipulaciones, la matriz debería verse de modo que su parte inferior izquierda contenga solo ceros:
Luego, si escribes la nueva matriz nuevamente como un sistema de ecuaciones, notarás que la última fila ya contiene el valor de una de las raíces, que luego se sustituye en la ecuación anterior, se encuentra otra raíz, y así sucesivamente.
Esta es una descripción de la solución por el método gaussiano en la forma más bosquejo general. ¿Qué pasa si de repente el sistema no tiene solución? ¿O hay infinitos de ellos? Para responder a estas y muchas otras preguntas, es necesario considerar por separado todos los elementos utilizados para resolver el método gaussiano.
Matrices, sus propiedades.
Ninguno Significado oculto no en la matriz. Esta es simplemente una forma conveniente de registrar datos para operaciones posteriores con él. Incluso los escolares no deben tenerles miedo.
La matriz siempre es rectangular, porque es más conveniente. Incluso en el método gaussiano, donde todo se reduce a construir una matriz de apariencia triangular, la entrada contiene un rectángulo, solo que con ceros en el lugar donde no hay números. Es posible que los ceros no estén escritos, pero están implícitos.
La matriz tiene un tamaño. Su “ancho” es el número de filas (m), “largo” es el número de columnas (n). Luego, el tamaño de la matriz A (generalmente se usan letras mayúsculas para indicarlos) letras) se denotará como A m×n. Si m = n, entonces esta matriz es cuadrada y m = n es su orden. En consecuencia, cualquier elemento de la matriz A puede denotarse por sus números de fila y columna: a xy ; x - número de fila, cambios, y - número de columna, cambios.
B no es el punto principal de la decisión. En principio, todas las operaciones se pueden realizar directamente con las propias ecuaciones, pero la notación será mucho más engorrosa y será mucho más fácil confundirse.
Determinante
La matriz también tiene un determinante. Esto es muy característica importante. No es necesario descubrir su significado ahora; basta con mostrar cómo se calcula y luego decir qué propiedades de la matriz determina. La forma más sencilla de encontrar el determinante es mediante diagonales. En la matriz se dibujan diagonales imaginarias; se multiplican los elementos ubicados en cada uno de ellos, y luego se suman los productos resultantes: diagonales con pendiente hacia la derecha - con signo más, con pendiente hacia la izquierda - con signo menos.
Es extremadamente importante tener en cuenta que el determinante sólo se puede calcular para una matriz cuadrada. Para una matriz rectangular, puede hacer lo siguiente: elija la más pequeña entre el número de filas y el número de columnas (sea k), y luego marque aleatoriamente k columnas y k filas en la matriz. Los elementos en la intersección de las columnas y filas seleccionadas formarán una nueva matriz cuadrada. Si el determinante de dicha matriz es un número distinto de cero, se denomina base menor de la matriz rectangular original.
Antes de empezar a resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método gaussiano, no está de más calcular el determinante. Si resulta ser cero, entonces podemos decir inmediatamente que la matriz tiene un número infinito de soluciones o ninguna. En un caso tan triste, es necesario ir más allá y conocer el rango de la matriz.
Clasificación del sistema
Existe algo llamado el rango de una matriz. Este orden máxima su determinante, distinto de cero (si recordamos la base menor, podemos decir que el rango de la matriz es el orden de la base menor).
Según la situación con el rango, SLAE se puede dividir en:
- Articulación. Ud. En los sistemas conjuntos, el rango de la matriz principal (que consta únicamente de coeficientes) coincide con el rango de la matriz extendida (con una columna de términos libres). Estos sistemas tienen una solución, pero no necesariamente una, por lo que los sistemas conjuntos se dividen además en:
- - cierto- tener una única solución. En determinados sistemas, el rango de la matriz y el número de incógnitas (o el número de columnas, que es lo mismo) son iguales;
- - indefinido - con un número infinito de soluciones. El rango de las matrices en tales sistemas es menor que el número de incógnitas.
- Incompatible. Ud. En tales sistemas, los rangos de las matrices principal y extendida no coinciden. Los sistemas incompatibles no tienen solución.
El método de Gauss es bueno porque durante la solución permite obtener una prueba inequívoca de la inconsistencia del sistema (sin calcular los determinantes de matrices grandes) o una solución en forma general para un sistema con un número infinito de soluciones.
Transformaciones elementales
Antes de proceder directamente a resolver el sistema, puede hacerlo menos engorroso y más conveniente para los cálculos. Esto se logra mediante transformaciones elementales, de modo que su implementación no cambie la respuesta final de ninguna manera. Cabe señalar que algunas de las transformaciones elementales dadas son válidas sólo para matrices cuya fuente fue la SLAE. Aquí hay una lista de estas transformaciones:
- Reorganizar líneas. Obviamente, si cambia el orden de las ecuaciones en el registro del sistema, esto no afectará la solución de ninguna manera. En consecuencia, las filas de la matriz de este sistema también se pueden intercambiar, sin olvidar, por supuesto, la columna de términos libres.
- Multiplicar todos los elementos de una cadena por un determinado coeficiente. ¡Muy útil! Se puede utilizar para acortar números grandes en la matriz o eliminar ceros. Muchas decisiones, como de costumbre, no cambiarán, pero operaciones adicionales será más conveniente. Lo principal es que el coeficiente no es igual a cero.
- Eliminando filas con factores proporcionales. Esto se desprende en parte del párrafo anterior. Si dos o más filas de una matriz tienen coeficientes proporcionales, entonces cuando una de las filas se multiplica/divide por el coeficiente de proporcionalidad, se obtienen dos (o, de nuevo, más) filas absolutamente idénticas, y las sobrantes se pueden eliminar, dejando sólo uno.
- Eliminando una línea nula. Si durante la transformación se obtiene una fila en algún lugar en la que todos los elementos, incluido el miembro libre, son cero, entonces dicha fila se puede llamar cero y eliminarse de la matriz.
- Sumando a los elementos de una fila los elementos de otra (en las columnas correspondientes), multiplicados por un determinado coeficiente. La transformación más no obvia y más importante de todas. Vale la pena detenerse en ello con más detalle.
Sumar una cadena multiplicada por un factor
Para facilitar la comprensión, vale la pena desglosar este proceso paso a paso. Se toman dos filas de la matriz:
un 11 un 12... un 1n | b1
un 21 un 22... un 2n | segundo 2
Digamos que necesitas sumar el primero al segundo, multiplicado por el coeficiente "-2".
un" 21 = un 21 + -2×un 11
un" 22 = un 22 + -2×un 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Luego, la segunda fila de la matriz se reemplaza por una nueva y la primera permanece sin cambios.
un 11 un 12... un 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Cabe señalar que el coeficiente de multiplicación se puede seleccionar de tal manera que, como resultado de sumar dos filas, uno de los elementos de la nueva fila sea igual a cero. En consecuencia, es posible obtener una ecuación en un sistema donde habrá una incógnita menos. Y si obtiene dos de esas ecuaciones, entonces la operación se puede realizar nuevamente y obtener una ecuación que contendrá dos incógnitas menos. Y si cada vez conviertes a cero un coeficiente de todas las filas que están debajo del original, entonces puedes, como escaleras, bajar hasta el final de la matriz y obtener una ecuación con una incógnita. A esto se le llama resolver el sistema usando el método gaussiano.
En general
Que haya un sistema. Tiene m ecuaciones yn raíces desconocidas. Puedes escribirlo de la siguiente manera:
La matriz principal se compila a partir de los coeficientes del sistema. Se agrega una columna de términos libres a la matriz extendida y, por conveniencia, se separa por una línea.
- la primera fila de la matriz se multiplica por el coeficiente k = (-a 21 /a 11);
- se suman la primera fila modificada y la segunda fila de la matriz;
- en lugar de la segunda fila, se inserta en la matriz el resultado de la suma del párrafo anterior;
- ahora el primer coeficiente en nuevo segundo la recta es a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Ahora se realiza la misma serie de transformaciones, solo están involucradas la primera y tercera filas. En consecuencia, en cada paso del algoritmo, el elemento a 21 se reemplaza por un 31. Luego se repite todo para un 41,... un m1. El resultado es una matriz donde el primer elemento de las filas es cero. Ahora debes olvidarte de la línea número uno y realizar el mismo algoritmo, comenzando desde la línea dos:
- coeficiente k = (-a 32 /a 22);
- la segunda línea modificada se agrega a la línea "actual";
- el resultado de la suma se sustituye en la tercera, cuarta y así sucesivamente líneas, mientras que la primera y la segunda permanecen sin cambios;
- en las filas de la matriz los dos primeros elementos ya son iguales a cero.
El algoritmo debe repetirse hasta que aparezca el coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm). Esto significa que en ultima vez el algoritmo se realizó sólo para la ecuación inferior. Ahora la matriz parece un triángulo o tiene forma escalonada. En la línea inferior está la igualdad a mn × x n = b m. Se conocen el coeficiente y el término libre, y a través de ellos se expresa la raíz: x n = b m /a mn. La raíz resultante se sustituye en la línea superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Y así sucesivamente por analogía: en cada línea posterior hay una nueva raíz y, al llegar a la "cima" del sistema, se pueden encontrar muchas soluciones. Será el único.
Cuando no hay soluciones
Si en una de las filas de la matriz todos los elementos, excepto el término libre, son iguales a cero, entonces la ecuación correspondiente a esta fila parece 0 = b. No tiene solución. Y dado que tal ecuación está incluida en el sistema, entonces el conjunto de soluciones de todo el sistema está vacío, es decir, degenerado.
Cuando hay un número infinito de soluciones.
Puede suceder que en la matriz triangular dada no haya filas con un elemento coeficiente de la ecuación y un término libre. Sólo hay líneas que, al reescribirse, parecerían una ecuación con dos o más variables. Esto significa que el sistema tiene un número infinito de soluciones. En este caso, la respuesta se puede dar en forma de solución general. ¿Cómo hacerlo?
Todas las variables de la matriz se dividen en básicas y libres. Los básicos son aquellos que se encuentran "en el borde" de las filas de la matriz de pasos. El resto son gratis. En la solución general, las variables básicas se escriben mediante variables libres.
Por conveniencia, la matriz primero se reescribe en un sistema de ecuaciones. Luego, en el último de ellos, donde exactamente solo queda una variable básica, ésta permanece en un lado y todo lo demás se transfiere al otro. Esto se hace para cada ecuación con una variable básica. Luego, en las ecuaciones restantes, cuando sea posible, se sustituye la expresión obtenida para ello en lugar de la variable básica. Si el resultado es nuevamente una expresión que contiene solo una variable básica, se expresa nuevamente a partir de ahí, y así sucesivamente, hasta que cada variable básica se escriba como una expresión con variables libres. Eso es lo que es decisión común SLAU.
También puede encontrar la solución básica del sistema: asigne cualquier valor a las variables libres y luego, para este caso específico, calcule los valores de las variables básicas. Hay una infinidad de soluciones particulares que se pueden dar.
Solución con ejemplos específicos.
Aquí hay un sistema de ecuaciones.
Por conveniencia, es mejor crear inmediatamente su matriz.
Se sabe que cuando se resuelve por el método gaussiano, la ecuación correspondiente a la primera fila permanecerá sin cambios al final de las transformaciones. Por lo tanto, será más rentable si el elemento superior izquierdo de la matriz es el más pequeño; entonces los primeros elementos de las filas restantes después de las operaciones se volverán cero. Esto significa que en la matriz compilada será ventajoso colocar la segunda fila en lugar de la primera.
segunda línea: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
tercera línea: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Ahora, para no confundirse, es necesario anotar una matriz con los resultados intermedios de las transformaciones.
Obviamente, dicha matriz puede hacerse más conveniente para la percepción mediante determinadas operaciones. Por ejemplo, puedes eliminar todos los "menos" de la segunda línea multiplicando cada elemento por "-1".
También vale la pena señalar que en la tercera línea todos los elementos son múltiplos de tres. Luego puedes acortar la cadena por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - al mismo tiempo, para eliminar los valores negativos).
Se ve mucho mejor. Ahora debemos dejar la primera línea sola y trabajar con la segunda y la tercera. La tarea es sumar la segunda línea a la tercera línea, multiplicada por un coeficiente tal que el elemento a 32 se vuelva igual a cero.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (si durante algunas transformaciones la respuesta no resulta ser un número entero, se recomienda mantener la precisión de los cálculos para dejar "tal cual", en la forma fracción común, y solo entonces, cuando se reciban las respuestas, decidir si redondear y convertir a otra forma de registro)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
La matriz se vuelve a escribir con nuevos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como puede ver, la matriz resultante ya tiene forma escalonada. Por lo tanto, no se requieren más transformaciones del sistema utilizando el método gaussiano. Lo que se puede hacer aquí es eliminar de la tercera línea. coeficiente global "-1/7".
Ahora todo es hermoso. Sólo queda escribir nuevamente la matriz en forma de sistema de ecuaciones y calcular las raíces.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
El algoritmo mediante el cual se encontrarán ahora las raíces se denomina movimiento inverso en el método gaussiano. La ecuación (3) contiene el valor z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Y la primera ecuación nos permite encontrar x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Tenemos derecho a llamar a este sistema conjunto, e incluso definitivo, es decir, que tiene una solución única. La respuesta está escrita de la siguiente forma:
x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Un ejemplo de un sistema incierto
Se ha analizado la variante de resolver un determinado sistema mediante el método de Gauss; ahora es necesario considerar el caso si el sistema es incierto, es decir, se pueden encontrar infinitas soluciones para él.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
La apariencia misma del sistema ya es alarmante, porque el número de incógnitas es n = 5, y el rango de la matriz del sistema ya es exactamente menor que este número, porque el número de filas es m = 4, es decir, el orden más alto del determinante cuadrado es 4. Esto significa que hay un número infinito de soluciones y hay que buscar su apariencia general. El método de Gauss para ecuaciones lineales le permite hacer esto.
Primero, como de costumbre, se compila una matriz extendida.
Segunda línea: coeficiente k = (-a 21 /a 11) = -3. En la tercera línea, el primer elemento está antes de las transformaciones, por lo que no necesitas tocar nada, debes dejarlo como está. Cuarta línea: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Multiplicando los elementos de la primera fila por cada uno de sus coeficientes y sumándolos a las filas requeridas, obtenemos una matriz de la siguiente forma:
Como puede ver, la segunda, tercera y cuarta filas constan de elementos proporcionales entre sí. El segundo y el cuarto son generalmente idénticos, por lo que uno de ellos se puede eliminar inmediatamente y el restante se puede multiplicar por el coeficiente "-1" y obtener la línea número 3. Y nuevamente, de dos líneas idénticas, dejar una.
El resultado es una matriz como esta. Si bien el sistema aún no se ha escrito, es necesario determinar aquí las variables básicas: las que se encuentran en los coeficientes a 11 = 1 y a 22 = 1, y las libres, todo lo demás.
En la segunda ecuación solo hay una variable básica: x 2. Esto quiere decir que se puede expresar a partir de ahí escribiéndolo a través de las variables x 3 , x 4 , x 5 , que son libres.
Sustituimos la expresión resultante en la primera ecuación.
El resultado es una ecuación en la que la única variable básica es x 1. Hagamos con él lo mismo que con x 2.
Todas las variables básicas, de las cuales hay dos, se expresan en términos de tres libres; ahora podemos escribir la respuesta en forma general.
También puede especificar una de las soluciones particulares del sistema. Para tales casos, generalmente se eligen ceros como valores para las variables libres. Entonces la respuesta será:
16, 23, 0, 0, 0.
Un ejemplo de un sistema no cooperativo
Resolver sistemas de ecuaciones incompatibles utilizando el método de Gauss es el más rápido. Termina inmediatamente tan pronto como en una de las etapas se obtiene una ecuación que no tiene solución. Es decir, se elimina la etapa de cálculo de las raíces, que es bastante larga y tediosa. Se considera el siguiente sistema:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Como es habitual, se elabora la matriz:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Y se reduce a una forma gradual:
k1 = -2k2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Después de la primera transformación, la tercera línea contiene una ecuación de la forma
sin solución. En consecuencia, el sistema es inconsistente y la respuesta será el conjunto vacío.
Ventajas y desventajas del método.
Si elige qué método resolver los SLAE en papel con un bolígrafo, entonces el método que se analizó en este artículo parece el más atractivo. Es mucho más difícil confundirse en transformaciones elementales que si tienes que buscar manualmente un determinante o alguna matriz inversa complicada. Sin embargo, si utiliza programas para trabajar con este tipo de datos, por ejemplo, hojas de cálculo, entonces resulta que dichos programas ya contienen algoritmos para calcular los parámetros principales de las matrices: determinante, menor, inversa, etc. Y si estás seguro de que la máquina calculará estos valores por sí misma y no cometerá errores, es más recomendable utilizar el método matricial o las fórmulas de Cramer, porque su uso comienza y termina con el cálculo de determinantes y matrices inversas.
Solicitud
Dado que la solución gaussiana es un algoritmo y la matriz es en realidad una matriz bidimensional, se puede utilizar en programación. Pero dado que el artículo se posiciona como una guía "para principiantes", hay que decir que el lugar más fácil para implementar el método son las hojas de cálculo, por ejemplo Excel. Nuevamente, Excel considerará cualquier SLAE ingresado en una tabla en forma de matriz como una matriz bidimensional. Y para operar con ellos hay muchos comandos interesantes: suma (¡solo puedes sumar matrices del mismo tamaño!), multiplicación por un número, multiplicación de matrices (también con ciertas restricciones), encontrar matrices inversas y transpuestas y, lo más importante , calculando el determinante. Si esta laboriosa tarea se sustituye por un único comando, es posible determinar el rango de la matriz mucho más rápidamente y, por tanto, establecer su compatibilidad o incompatibilidad.
