Entonces a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Sumar cero no cambia el número, pero la suma de los números opuestos es cero.
Esto significa que para cualquier número racional tenemos: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
La multiplicación de números racionales también tiene propiedades conmutativas y asociativas. En otras palabras, si a, b y c son números racionales, entonces ab - ba, a(bc) - (ab)c.
La multiplicación por 1 no cambia un número racional, pero el producto de un número por su inverso es igual a 1.
Esto significa que para cualquier número racional a tenemos:
a) x + 8 - x - 22; c) am + 7-8+m;
b) -xa + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Habiendo elegido un procedimiento de cálculo conveniente, encuentre el valor de la expresión:
1191. Formule en palabras la propiedad conmutativa de la multiplicación ab = ba y verifíquela cuando:
1192. Formule con palabras la propiedad asociativa de la multiplicación a(bc)=(ab)c y verifíquela cuando:
1193. Eligiendo un orden de cálculo conveniente, encuentre el valor de la expresión:
1194. ¿Qué número obtendrás (positivo o negativo) si multiplicas:
a) un número negativo y dos números positivos;
b) dos números negativos y uno positivo;
c) 7 números negativos y varios positivos;
d) ¿20 negativos y varios positivos? Tirar las tablas.
1195. Determinar el signo del producto:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) B gimnasia Se reunieron Vitya, Kolya, Petya, Seryozha y Maxim (Fig. 91, a). Resultó que cada uno de los chicos sólo conocía a otros dos. ¿Quién sabe a quién? (El borde del gráfico significa "nos conocemos").
b) Los hermanos y hermanas de una familia caminan por el patio. ¿Cuáles de estos niños son niños y cuáles son niñas (Fig. 91, b)? (Los bordes punteados del gráfico significan "Soy una hermana" y los bordes sólidos significan "Soy un hermano").
1205. Calcular:
1206. Comparar:
a) 2 3 y 3 2; b) (-2) 3 y (-3) 2; c) 1 3 y 1 2; d) (-1) 3 y (-1) 2.
1207. Redondea 5,2853 a milésimas; a centésimas; hasta décimas; hasta unidades.
1208. Resuelve el problema:
1) Un motociclista alcanza a un ciclista. Ahora hay 23,4 km entre ellos. La velocidad de un motociclista es 3,6 veces la velocidad de un ciclista. Encuentre las velocidades del ciclista y del motociclista si se sabe que el motociclista alcanzará al ciclista en una hora.
2) Un automóvil está alcanzando a un autobús. Ahora hay 18 km entre ellos. La velocidad del autobús es la misma que la de un turismo. Encuentre las velocidades del autobús y del automóvil si se sabe que el automóvil alcanzará al autobús en una hora.
1209. Encuentra el significado de la expresión:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Comprueba tus cálculos con microcalculadora.
1210. Habiendo elegido un orden de cálculo conveniente, encuentre el valor de la expresión: 
1211. Simplifica la expresión:
1212. Encuentra el significado de la expresión:
1213. Sigue estos pasos:
1214. Los estudiantes tuvieron la tarea de recolectar 2,5 toneladas de chatarra. Recogieron 3,2 toneladas de chatarra. ¿En qué porcentaje completaron la tarea los estudiantes y en qué porcentaje la superaron?
1215. El coche recorrió 240 km. De ellos, 180 kilómetros los recorrió por un camino rural y el resto por la carretera. El consumo de gasolina por cada 10 km en carretera rural fue de 1,6 litros, y en carretera, un 25% menos. ¿Cuántos litros de gasolina se consumieron en promedio por cada 10 km de recorrido?
1216. Al salir del pueblo, el ciclista vio a un peatón en el puente que caminaba en la misma dirección y lo alcanzó 12 minutos después. Encuentre la velocidad de un peatón si la velocidad de un ciclista es de 15 km/h y la distancia del pueblo al puente es de 1 km 800 m?
1217. Sigue estos pasos:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Como usted sabe, la gente se familiarizó gradualmente con los números racionales. Al principio, al contar objetos, surgieron los números naturales. Al principio eran pocos. Así, hasta hace poco, los nativos de las islas del Estrecho de Torres (que separa Nueva Guinea de Australia) tenían en su lengua los nombres de sólo dos números: “urapun” (uno) y “okaz” (dos). Los isleños contaban así: “Okaza-urapun” (tres), “Okaza-Okaza” (cuatro), etc. Los nativos llamaban a todos los números, empezando por el siete, con una palabra que significa “muchos”.
Los científicos creen que la palabra cientos apareció hace más de 7.000 años, miles, hace 6.000 años y hace 5.000 años en Antiguo Egipto y en Babilonia antigua Los nombres aparecen para números enormes, hasta un millón. Pero durante mucho tiempo la serie natural de números se consideró finita: la gente pensaba que existía un número mayor.
Al mayor matemático y físico griego antiguo, Arquímedes (287-212 a. C.), se le ocurrió una forma de describir números enormes. El número más grande que Arquímedes pudo nombrar fue tan grande que para él grabación digital Se necesitaría una cinta dos mil veces más larga que la distancia de la Tierra al Sol.
Pero todavía no habían podido anotar cifras tan enormes. Esto sólo fue posible después de los matemáticos indios en el siglo VI. Se inventó el número cero y empezó a denotar la ausencia de unidades en los decimales de un número.
Al dividir el botín y más tarde al medir los valores, y en otros casos similares, se encontró con la necesidad de introducir “números quebrados” - fracciones comunes. Las operaciones con fracciones ya en la Edad Media se consideraban las más área compleja matemáticas. Hasta el día de hoy, los alemanes dicen que una persona que se encuentra en una situación difícil "se ha dividido en fracciones".
Para facilitar el trabajo con fracciones, se inventaron los decimales. fracciones. En Europa fueron introducidos en X585 por el matemático e ingeniero holandés Simon Stevin.
Los números negativos aparecieron más tarde que las fracciones. Por mucho tiempo tales números se consideraron "inexistentes", "falsos" principalmente debido al hecho de que la interpretación aceptada de positivo y números negativos“propiedad - deuda” generó confusión: se pueden sumar o restar “propiedad” o “deudas”, pero ¿cómo entender el producto o cociente de “propiedad” y “deuda”?
Sin embargo, a pesar de tales dudas y perplejidades, en el siglo III se propusieron reglas para multiplicar y dividir números positivos y negativos. el matemático griego Diofanto (en la forma: “Lo que se resta, multiplicado por lo que se suma, da el sustraendo; lo que se resta por el sustraendo da lo que se suma”, etc.), y más tarde el matemático indio Bhaskar (siglo XII) expresó las mismas reglas en los conceptos de “propiedad”, “deuda” (“El producto de dos bienes o dos deudas es propiedad; el producto de propiedad y deuda es deuda”. La misma regla se aplica a la división).
Se encontró que las propiedades de las operaciones con números negativos son las mismas que las de números positivos (por ejemplo, la suma y la multiplicación tienen la propiedad conmutativa). Y finalmente, desde principios del siglo pasado, los números negativos se han vuelto iguales a los números positivos.
Más tarde, aparecieron nuevos números en matemáticas: irracionales, complejos y otros. Aprendes sobre ellos en la escuela secundaria.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matemáticas para sexto grado, Libro de texto para la escuela secundaria
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El concepto de números hace referencia a abstracciones que caracterizan a un objeto desde un punto de vista cuantitativo. Incluso en la sociedad primitiva, la gente tenía la necesidad de contar objetos, por lo que aparecieron las notaciones numéricas. Posteriormente se convirtieron en la base de las matemáticas como ciencia.
Para operar con conceptos matemáticos es necesario, en primer lugar, imaginar qué tipo de números existen. Hay varios tipos principales de números. Este:
1. Naturales: los que obtenemos al numerar objetos (su conteo natural). Su conjunto se denota por N.
2. Números enteros (su conjunto se indica con la letra Z). Esto incluye los números naturales, sus opuestos, los enteros negativos y el cero.
3. Números racionales (letra Q). Son aquellas que se pueden representar como una fracción, cuyo numerador es igual a un número entero y el denominador es igual a un número natural. Todos son completos y clasificados como racionales.
4. Reales (se designan con la letra R). Incluyen números racionales e irracionales. Números obtenidos de números racionales por varias operaciones(calcular el logaritmo, extraer la raíz), que en sí mismos no son racionales.
Por tanto, cualquiera de los conjuntos enumerados es un subconjunto de los siguientes. Esta tesis se ilustra mediante un diagrama en forma del llamado. Círculos de Euler. La estructura consta de varios óvalos concéntricos, cada uno de los cuales está situado dentro del otro. El óvalo (área) interior y más pequeño denota el conjunto números naturales. Está completamente abarcado e incluye la región que simboliza el conjunto de los números enteros, que, a su vez, está contenida dentro de la región de los números racionales. El óvalo exterior, más grande, que incluye a todos los demás, denota una matriz
En este artículo veremos el conjunto de números racionales, sus propiedades y características. Como ya se mencionó, todos los números existentes (positivos, negativos y cero) les pertenecen. Los números racionales forman una serie infinita con las siguientes propiedades:
Este conjunto está ordenado, es decir, tomando cualquier par de números de esta serie, siempre podemos saber cuál es mayor;
Tomando cualquier par de tales números, siempre podemos colocar al menos uno más entre ellos y, en consecuencia, toda una serie de ellos; por tanto, los números racionales representan una serie infinita;
Las cuatro operaciones aritméticas con tales números son posibles, su resultado es siempre un número determinado (también racional); la excepción es la división por 0 (cero); es imposible;
Cualquier número racional se puede representar como fracciones decimales. Estas fracciones pueden ser finitas o infinitamente periódicas.
Para comparar dos números que pertenecen al conjunto racional, debes recordar:
Cualquier número positivo mayor que cero;
Cualquier número negativo es siempre menor que cero;
Al comparar dos números racionales negativos, aquel cuyo valor absoluto (módulo) es menor es mayor.
¿Cómo se realizan las operaciones con números racionales?
Para sumar dos de estos números que tienen el mismo signo, debes sumar sus valores absolutos y ponerlos delante de la suma. signo general. Para sumar números con diferentes signos se debe restar el menor al valor mayor y poner el signo de aquel cuyo valor absoluto es mayor.
Para restar un número racional de otro basta con sumar al primer número el opuesto del segundo. Para multiplicar dos números, necesitas multiplicar sus valores. valores absolutos. El resultado obtenido será positivo si los factores tienen el mismo signo, y negativo si son diferentes.
La división se realiza de forma similar, es decir, se encuentra el cociente de valores absolutos, y el resultado va precedido de un signo “+” si los signos del dividendo y divisor coinciden, y un signo “-” si no coinciden.
Las potencias de números racionales parecen productos de varios factores iguales entre sí.
Este artículo proporciona una descripción general propiedades de las operaciones con números racionales. En primer lugar, se anuncian las propiedades básicas en las que se basan todas las demás propiedades. Después de esto, se dan algunas otras propiedades de operaciones con números racionales que se utilizan con frecuencia.
Navegación de páginas.
hagamos una lista propiedades básicas de las operaciones con números racionales(a, byc son números racionales arbitrarios):
- Propiedad conmutativa de la suma a+b=b+a.
- Propiedad combinativa de la suma (a+b)+c=a+(b+c) .
- La existencia de un elemento neutro por suma: cero, cuya suma con cualquier número no cambia este número, es decir, a+0=a.
- Para cada número racional a existe un número opuesto −a tal que a+(−a)=0.
- Propiedad conmutativa de la multiplicación de números racionales a·b=b·a.
- Propiedad combinativa de la multiplicación (a·b)·c=a·(b·c) .
- La existencia de un elemento neutro para la multiplicación es una unidad, multiplicación por la cual cualquier número no cambia este número, es decir, a·1=a.
- Para cada número racional a distinto de cero existe un número inverso a −1 tal que a·a −1 =1 .
- Finalmente, la suma y la multiplicación de números racionales están relacionadas por la propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma: a·(b+c)=a·b+a·c.
Las propiedades enumeradas de las operaciones con números racionales son básicas, ya que a partir de ellas se pueden obtener todas las demás propiedades.
Otras propiedades importantes
Además de las nueve propiedades básicas enumeradas de las operaciones con números racionales, hay una serie de propiedades muy utilizadas. vamos a darles breve descripción general.
Comencemos con la propiedad, que se escribe usando letras como a·(−b)=−(a·b) o en virtud de la propiedad conmutativa de la multiplicación como (−a) b=−(a b). La regla para multiplicar números racionales con diferentes signos se deriva directamente de esta propiedad; su demostración también se proporciona en este artículo. Esta propiedad explica la regla "más multiplicado por menos es menos y menos multiplicado por más es menos".
Aquí está la siguiente propiedad: (−a)·(−b)=a·b. Sigue la regla para multiplicar números racionales negativos; en este artículo también encontrarás una prueba de la igualdad anterior. Esta propiedad corresponde a la regla de multiplicación “menos por menos es más”.
Sin duda, vale la pena centrarse en multiplicar un número racional arbitrario a por cero: a·0=0 o 0 a=0. Demostremos esta propiedad. Sabemos que 0=d+(−d) para cualquier d racional, entonces a·0=a·(d+(−d)) . La propiedad de distribución permite reescribir la expresión resultante como a·d+a·(−d) , y dado que a·(−d)=−(a·d) , entonces a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Entonces llegamos a la suma de dos números opuestos, iguales a a·d y −(a·d), su suma da cero, lo que demuestra la igualdad a·0=0.
Es fácil notar que arriba enumeramos solo las propiedades de la suma y la multiplicación, mientras que no se dijo una palabra sobre las propiedades de la resta y la división. Esto se debe a que en el conjunto de los números racionales, las acciones de resta y división se especifican como la inversa de la suma y la multiplicación, respectivamente. Es decir, la diferencia a−b es la suma de a+(−b), y el cociente a:b es el producto a·b−1 (b≠0).
Dadas estas definiciones de resta y división, así como las propiedades básicas de la suma y la multiplicación, puedes probar cualquier propiedad de las operaciones con números racionales.
Como ejemplo, demostremos la propiedad de distribución de la multiplicación relativa a la resta: a·(b−c)=a·b−a·c. Se cumple la siguiente cadena de igualdades: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, que es la prueba.
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Esta lección cubre la suma y resta de números racionales. El tema se clasifica como complejo. Aquí es necesario utilizar todo el arsenal de conocimientos previamente adquiridos.
Las reglas para sumar y restar números enteros también se aplican a los números racionales. Recuerde que los números racionales son números que se pueden representar como una fracción, donde a - este es el numerador de la fracción, b es el denominador de la fracción. Al mismo tiempo, b no debe ser cero.
En esta lección, llamaremos cada vez más a las fracciones y números mixtos mediante una frase común: numeros racionales.
Navegación de lecciones:Ejemplo 1. Encuentra el significado de la expresión:
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos. Tenemos en cuenta que el más dado en la expresión es un signo de operación y no se aplica a la fracción. Esta fracción tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo anotaremos para mayor claridad:
Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Para sumar números racionales con diferentes signos, debes restar el módulo más pequeño del módulo más grande, y antes de la respuesta resultante poner el signo del número racional cuyo módulo es mayor.
El módulo de un número racional es mayor que el módulo de un número racional. Por lo tanto, restamos de . Recibimos una respuesta. Luego, reduciendo esta fracción a 2, obtuvimos la respuesta final.
Se pueden omitir algunas acciones primitivas, como poner números entre paréntesis y agregar módulos. Este ejemplo se puede escribir brevemente:
Ejemplo 2. Encuentra el significado de la expresión:
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos. Tenemos en cuenta que el signo menos entre números racionales es un signo de operación y no se aplica a una fracción. Esta fracción tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo anotaremos para mayor claridad:
Reemplacemos la resta con la suma. Te recordamos que para hacer esto necesitas sumar al minuendo el número opuesto al sustraendo:
Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Para sumar números racionales negativos, debes sumar sus módulos y poner un menos delante de la respuesta resultante:
Nota. No es necesario encerrar todos los números racionales entre paréntesis. Esto se hace por conveniencia, para ver claramente qué signos tienen los números racionales.
Ejemplo 3. Encuentra el significado de la expresión:
En esta expresión, las fracciones tienen diferentes denominadores. Para facilitar nuestra tarea, reduzcamos estas fracciones a un denominador común. No nos detendremos en detalles sobre cómo hacer esto. Si tiene dificultades, asegúrese de repetir la lección.
Después de reducir las fracciones a un denominador común, la expresión tomará la siguiente forma:
Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:
Anotemos brevemente la solución a este ejemplo:
Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión.
Calculemos esta expresión de la siguiente manera: sumamos los números racionales y luego restamos el número racional del resultado resultante. 
Primera acción:
Segunda acción:
Ejemplo 5. Encuentra el significado de la expresión:
Representemos el número entero −1 como una fracción y convirtamos el número mixto en una fracción impropia:
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:
Obtuvimos la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:
Recibimos una respuesta.
Hay una segunda solución. Consiste en juntar partes enteras por separado.
Entonces, volvamos a la expresión original:
Incluyamos cada número entre paréntesis. Para ello, el número mixto es temporal:
Calculemos las partes enteras:
(−1) + (+2) = 1
En la expresión principal, en lugar de (−1) + (+2), escribimos la unidad resultante:
La expresión resultante es. Para hacer esto, escribe la unidad y la fracción juntas:
Escribamos la solución de esta manera de forma más breve:
Ejemplo 6. Encuentra el valor de una expresión.
Convertimos el número mixto a una fracción impropia. Reescribiremos el resto de la parte sin cambios:
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:
Reemplacemos la resta con la suma:
Anotemos brevemente la solución a este ejemplo:
Ejemplo 7. Encuentra el valor de una expresión.
Representemos el número entero −5 como una fracción y convirtamos el número mixto en una fracción impropia:
Llevemos estas fracciones a un denominador común. Una vez reducidos a un denominador común, adoptarán la siguiente forma:
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:
Reemplacemos la resta con la suma:
Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Sumemos los módulos de estos números y pongamos un menos delante de la respuesta resultante:
Por tanto, el valor de la expresión es .
Resolvamos este ejemplo de la segunda forma. Volvamos a la expresión original:
Escribamos el número mixto en forma desarrollada. Reescribamos el resto sin cambios:
Encerramos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:
Calculemos las partes enteras:
En la expresión principal, en lugar de escribir el número resultante −7
La expresión es una forma ampliada de escribir un número mixto. Escribimos el número −7 y la fracción juntos para formar la respuesta final:
Escribamos esta solución brevemente:
Ejemplo 8. Encuentra el valor de una expresión.
Encerramos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:
Reemplacemos la resta con la suma:
Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Sumemos los módulos de estos números y pongamos un menos delante de la respuesta resultante:
Entonces el valor de la expresión es
Este ejemplo se puede resolver de la segunda forma. Consiste en sumar partes enteras y fraccionarias por separado. Volvamos a la expresión original:
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos:
Reemplacemos la resta con la suma:
Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Sumemos los módulos de estos números y pongamos un menos delante de la respuesta resultante. Pero esta vez sumemos las partes enteras (−1 y −2), tanto fraccionarias como
Escribamos esta solución brevemente:
Ejemplo 9. Encuentra expresiones de expresión. 
Convertimos números mixtos a fracciones impropias:
Incluyamos un número racional entre paréntesis junto con su signo. No es necesario poner un número racional entre paréntesis, ya que ya está entre paréntesis:
Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Sumemos los módulos de estos números y pongamos un menos delante de la respuesta resultante:
Entonces el valor de la expresión es
Ahora intentemos resolver este mismo ejemplo de la segunda manera, es decir, sumando números enteros y partes fraccionarias por separado.
Esta vez, para obtener una solución breve, intentemos omitir algunos pasos, como escribir un número mixto en forma desarrollada y reemplazar la resta por la suma:
Tenga en cuenta que las partes fraccionarias se han reducido a un denominador común.
Ejemplo 10. Encuentra el valor de una expresión. 
Reemplacemos la resta con la suma:
La expresión resultante no contiene números negativos, que son la principal causa de errores. Y como no hay números negativos, podemos quitar el más delante del sustraendo y también quitar los paréntesis:
El resultado es una expresión sencilla y fácil de calcular. Calculémoslo de la forma que más nos convenga:
Ejemplo 11. Encuentra el valor de una expresión.
Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:
Ejemplo 12. Encuentra el valor de una expresión. 
La expresión consta de varios números racionales. Según, primero que nada debes realizar los pasos entre paréntesis.
Primero calculamos la expresión y luego sumamos los resultados obtenidos.
Primera acción:
Segunda acción:
Tercera acción:
Respuesta: valor de expresión es igual
Ejemplo 13. Encuentra el valor de una expresión. 
Convertimos números mixtos a fracciones impropias:
Pongamos entre paréntesis el número racional junto con su signo. No es necesario poner entre paréntesis el número racional, ya que ya está entre paréntesis:
Llevemos estas fracciones a un denominador común. Una vez reducidos a un denominador común, adoptarán la siguiente forma:
Reemplacemos la resta con la suma:
Obtuvimos la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta resultante ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:
Así, el significado de la expresión es igual
Veamos cómo sumar y restar decimales, que también son números racionales y pueden ser positivos o negativos.
Ejemplo 14. Encuentra el valor de la expresión −3,2 + 4,3
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos. Tenemos en cuenta que el signo más dado en la expresión es un signo de operación y no se aplica a la fracción decimal 4.3. Esta fracción decimal tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo anotaremos para mayor claridad:
(−3,2) + (+4,3)
Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Para sumar números racionales con diferentes signos, debes restar el módulo más pequeño del módulo más grande y antes de la respuesta resultante poner el número racional cuyo módulo es mayor.
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Y para entender qué módulo es mayor y cuál es menor, debes poder comparar los módulos de estas fracciones decimales antes de calcularlas:
El módulo del número 4,3 es mayor que el módulo del número −3,2, por lo que restamos 3,2 de 4,3. Recibimos la respuesta 1.1. La respuesta es positiva, ya que la respuesta debe ir precedida del signo del número racional cuyo módulo es mayor. Y el módulo del número 4,3 es mayor que el módulo del número −3,2
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Así, el valor de la expresión −3,2 + (+4,3) es 1,1 Ejemplo 15.
Encuentra el valor de la expresión 3,5 + (−8,3)
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Como en el ejemplo anterior, restamos el menor al módulo mayor y antes de la respuesta ponemos el signo del número racional cuyo módulo es mayor:
Así, el valor de la expresión 3,5 + (−8,3) es −4,8
3,5 + (−8,3) = −4,8
Este ejemplo se puede escribir brevemente: Encuentra el valor de la expresión −7,2 + (−3,11)
Esta es la suma de números racionales negativos. Para sumar números racionales negativos, debes sumar sus módulos y poner un menos delante de la respuesta resultante.
Puedes omitir la entrada con módulos para no saturar la expresión:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Así, el valor de la expresión −7,2 + (−3,11) es −10,31
Así, el valor de la expresión 3,5 + (−8,3) es −4,8
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Ejemplo 17. Encuentra el valor de la expresión −0,48 + (−2,7)
Esta es la suma de números racionales negativos. Agreguemos sus módulos y pongamos un menos delante de la respuesta resultante. Puedes omitir la entrada con módulos para no saturar la expresión:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Ejemplo 18. Encuentra el valor de la expresión −4,9 − 5,9
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos. Tenemos en cuenta que el menos, que se encuentra entre los números racionales −4,9 y 5,9, es un signo de operación y no pertenece al número 5,9. Este número racional tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo anotaremos para mayor claridad:
(−4,9) − (+5,9)
Reemplacemos la resta con la suma:
(−4,9) + (−5,9)
Obtuvimos la suma de números racionales negativos. Agreguemos sus módulos y pongamos un menos delante de la respuesta resultante:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Por tanto, el valor de la expresión −4,9 − 5,9 es −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Ejemplo 19. Encuentra el valor de la expresión 7 − 9,3
Pongamos cada número entre paréntesis junto con sus signos.
(+7) − (+9,3)
Reemplacemos la resta con la suma.
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Por tanto, el valor de la expresión 7 − 9,3 es −2,3
Anotemos brevemente la solución a este ejemplo:
7 − 9,3 = −2,3
Ejemplo 20. Encuentra el valor de la expresión −0,25 − (−1,2)
Reemplacemos la resta con la suma:
−0,25 + (+1,2)
Obtuvimos la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo menor del módulo mayor, y antes de la respuesta ponemos el signo del número cuyo módulo es mayor:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Anotemos brevemente la solución a este ejemplo:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Ejemplo 21. Encuentra el valor de la expresión −3,5 + (4,1 − 7,1)
Realicemos las acciones entre paréntesis, luego agreguemos la respuesta resultante con el número −3.5
Primera acción:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Segunda acción:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Respuesta: el valor de la expresión −3,5 + (4,1 − 7,1) es −6,5.
Ejemplo 22. Encuentra el valor de la expresión (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Hagamos los pasos entre paréntesis. Luego, del número que se obtuvo como resultado de ejecutar los primeros paréntesis, reste el número que se obtuvo como resultado de ejecutar los segundos paréntesis:
Primera acción:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Segunda acción:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
tercer acto
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Respuesta: el valor de la expresión (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) es 6.
Ejemplo 23. Encuentra el valor de una expresión. −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Incluyamos cada número racional entre paréntesis junto con sus signos.
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Reemplacemos la resta con la suma cuando sea posible:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
La expresión consta de varios términos. Según la ley combinatoria de la suma, si una expresión consta de varios términos, la suma no dependerá del orden de las acciones. Esto significa que los términos se pueden agregar en cualquier orden.
No reinventemos la rueda, sino agreguemos todos los términos de izquierda a derecha en el orden en que aparecen:
Primera acción:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Segunda acción:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Tercera acción:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Respuesta: el valor de la expresión −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 es 1.
Ejemplo 24. Encuentra el valor de una expresión.
traduzcamos decimal−1,8 en un número mixto. Reescribamos el resto sin cambiar:
