El término general de la secuencia es $u_n=n^2$. Sustituyendo $n=1$, obtenemos:

$$ u_1=1^2=1. $$

Este es el primer término de la secuencia. Sustituyendo $n=2$ en $u_n=n^2$, obtenemos el segundo término de la secuencia:

$$u_2=2^2=4. $$

Si sustituimos $n=3$, obtenemos el tercer término de la secuencia:

$$u_3=3^2=9. $$

De la misma forma encontramos el cuarto, quinto, sexto y otros términos de la secuencia. Así obtenemos los números correspondientes:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; dieciséis;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \lpuntos $$

También vale la pena tener en cuenta los términos de la secuencia $u_n=n^3$. Éstos son algunos de sus primeros miembros:

\begin(ecuación)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(ecuación)

Además, para formar el término general de una serie, se suele utilizar la secuencia $u_n=n!$, cuyos primeros términos son los siguientes:

\begin(ecuación)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(ecuación)

Grabando "n!" (léase "en factorial") denota el producto de todos números naturales de 1 a n, es decir

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Por definición, se supone que $0!=1!=1$. Por ejemplo, ¡busquemos 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

También se suelen utilizar progresiones aritméticas y geométricas. Si el primer término de una progresión aritmética es igual a $a_1$, y la diferencia es igual a $d$, entonces el término general de la progresión aritmética se escribe usando la siguiente fórmula:

\begin(ecuación)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(ecuación)

¿Qué es una progresión aritmética? mostrar ocultar

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre el término anterior y el siguiente es constante. Esta diferencia constante se llama diferencia de progresión

$$3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \lpuntos $$

Tenga en cuenta que no importa qué par de elementos vecinos tomemos, la diferencia entre los miembros anteriores y posteriores siempre será constante e igual a 7:

\begin(alineado) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(alineado)

Este número, es decir 7, y hay una diferencia de progresión. Generalmente se denota con la letra $d$, es decir $d=7$. El primer elemento de la progresión es $a_1=3$. Escribimos el término general de esta progresión usando la fórmula. Sustituyendo $a_1=3$ y $d=7$, tendremos:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Para mayor claridad, usemos la fórmula $a_n=7n-4$ para encontrar los primeros términos de la progresión aritmética:

\begin(alineado) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(alineado)

Al sustituir cualquier valor del número $n$ en la fórmula $a_n=7n-4$, puedes obtener cualquier miembro de la progresión aritmética.

También cabe destacar la progresión geométrica. Si el primer término de la progresión es igual a $b_1$ y el denominador es igual a $q$, entonces el término general de la progresión geométrica viene dado por la siguiente fórmula:

\begin(ecuación)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(ecuación)

Qué ha pasado progresión geométrica? mostrar ocultar

La progresión geométrica es una secuencia de números en la que la relación entre los términos anterior y posterior es constante. Esta relación constante se llama denominador de progresión. Por ejemplo, considere la siguiente secuencia:

$$6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \lpuntos $$

Tenga en cuenta que no importa qué par de elementos vecinos tomemos, la relación entre el siguiente y el anterior siempre será constante e igual a 3:

\begin(alineado) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(alineado)

Este número, es decir 3 es el denominador de la progresión. Generalmente se denota con la letra $q$, es decir $q=3$. El primer elemento de la progresión es $b_1=6$. Escribimos el término general de esta progresión usando la fórmula. Sustituyendo $b_1=6$ y $q=3$, tendremos:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Para mayor claridad, usemos la fórmula $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ para encontrar los primeros términos de la progresión geométrica:

\begin(alineado) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(alineado)

Al sustituir cualquier valor del número $n$ en la fórmula $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, puedes obtener cualquier término de la progresión geométrica.

En todos los ejemplos siguientes, indicaremos los miembros de la serie con las letras $u_1$ (el primer miembro de la serie), $u_2$ (el segundo miembro de la serie), y así sucesivamente. La notación $u_n$ denotará el término común de la serie.

Ejemplo No. 1

Encuentra el término común de la serie $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

La esencia de tales tareas es notar el patrón inherente a los primeros participantes de la serie. Y basándose en este patrón, saque una conclusión sobre el tipo de miembro común. ¿Qué significa la frase "encontrar el término común"? Significa que es necesario encontrar dicha expresión, sustituyendo $n=1$ en la que obtenemos el primer término de la serie, es decir $\frac(1)(7)$; Sustituyendo $n=2$ obtenemos el segundo término de la serie, es decir $\frac(2)(9)$; Sustituyendo $n=3$ obtenemos el tercer término de la serie, es decir $\frac(3)(11)$ y así sucesivamente. Conocemos los primeros cuatro términos de la serie:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Avancemos gradualmente. Todos los miembros de la serie que conocemos son fracciones, por lo que es razonable suponer que el miembro común de la serie también está representado por una fracción:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Nuestra tarea es descubrir qué se esconde debajo de los signos de interrogación en el numerador y el denominador. Veamos primero el numerador. Los numeradores de los miembros de la serie que conocemos son los números 1, 2, 3 y 4. Observe que el número de cada miembro de la serie es igual al numerador. El primer término tiene un numerador de uno, el segundo tiene un dos, el tercero tiene un tres y el cuarto tiene un cuatro.

Es lógico suponer que el enésimo término tendrá $n$ en su numerador:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Por cierto, podemos llegar a esta conclusión de otra manera, más formalmente. ¿Cuál es la secuencia 1, 2, 3, 4? Tenga en cuenta que cada miembro posterior de esta secuencia es 1 mayor que el anterior. Estamos tratando con cuatro términos de una progresión aritmética, el primer término de los cuales es $a_1=1$, y la diferencia es $d=1$. Usando la fórmula obtenemos la expresión para el término general de la progresión:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Entonces, adivinar o realizar cálculos formales es una cuestión de gustos. Lo principal es que anotamos el numerador del término común de la serie. Pasemos al denominador.

En los denominadores tenemos la secuencia 7, 9, 11, 13. Estos son cuatro términos de una progresión aritmética, cuyo primer término es igual a $b_1=7$, y la diferencia es $d=2$. Encontramos el término general de la progresión usando la fórmula:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

La expresión resultante, es decir $2n+5$, y será el denominador del término común de la serie. Entonces:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Se obtiene el término general de la serie. Comprobemos si la fórmula que encontramos $u_n=\frac(n)(2n+5)$ es adecuada para calcular los términos ya conocidos de la serie. Encontremos los términos $u_1$, $u_2$, $u_3$ y $u_4$ usando la fórmula $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Los resultados, naturalmente, deben coincidir con los primeros cuatro términos de la serie que nos da la condición.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Así es, los resultados son los mismos. La serie especificada en la condición ahora se puede escribir de la siguiente forma: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. El término general de la serie tiene la forma $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\lpuntos $$

¿No tiene derecho a existir una serie así? Todavía lo tiene. Y para esta serie podemos escribir eso.

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥5). $$

Puedes escribir otra continuación. Por ejemplo, esto:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

Y tal continuación no contradice nada. En este caso podemos escribir que

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥5). $$

Si las dos primeras opciones le parecieron demasiado formales, le sugeriré una tercera. Escribamos el término común de la siguiente manera:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Calculemos los primeros cuatro términos de la serie usando la fórmula de términos generales propuesta:

\begin(alineado) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(alineado)

Como puede ver, la fórmula propuesta para el término general es bastante correcta. Y puedes encontrar un número infinito de tales variaciones, su número es ilimitado. EN ejemplos estándar Por supuesto, se utiliza un conjunto estándar de determinadas secuencias conocidas (progresiones, potencias, factoriales, etc.). Sin embargo, en este tipo de tareas siempre hay incertidumbre y conviene recordarlo.

En todos los ejemplos siguientes no se especificará esta ambigüedad. Lo resolveremos utilizando métodos estándar que se aceptan en la mayoría de los libros de problemas.

Respuesta: término común de la serie: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Ejemplo No. 2

Escribe el término común de la serie $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Conocemos los primeros cinco términos de la serie:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Todos los términos de la serie que conocemos son fracciones, lo que significa que buscaremos el término común de la serie en forma de fracción:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Prestemos atención inmediatamente al numerador. Todos los numeradores contienen unidades, por lo tanto el numerador del término común de la serie también contendrá una, es decir

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Ahora miremos el denominador. Los denominadores de los primeros términos de la serie que conocemos contienen los productos de números: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Los primeros de estos números son: 1, 3, 5, 7, 9. Esta secuencia tiene el primer término $a_1=1$, y cada uno de los siguientes se obtiene del anterior sumando el número $d=2$. En otras palabras, estos son los cinco primeros términos de una progresión aritmética, cuyo término general se puede escribir mediante la fórmula:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

En los productos $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ los segundos números son: 5, 8, 11, 14, 17. Estos son los elementos de una progresión aritmética, cuyo primer término es $b_1=5$, y el denominador es $d=3$. Escribimos el término general de esta progresión usando la misma fórmula:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Juntemos los resultados. El producto en el denominador del término común de la serie es: $(2n-1)(3n+2)$. Y el término general de la serie en sí tiene la siguiente forma:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Para comprobar el resultado obtenido utilizamos la fórmula $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ para encontrar los primeros cuatro términos de la serie que conocemos:

\begin(alineado) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end(alineado)

Entonces, la fórmula $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ le permite calcular con precisión los términos de la serie, conocidos por la condición. Si lo desea, la serie dada se puede escribir así:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Respuesta: término común de la serie: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Continuaremos este tema en la segunda y tercera parte.

Mucha gente ha oído hablar de la progresión aritmética, pero no todo el mundo tiene una buena idea de qué es. En este artículo daremos la definición correspondiente y también consideraremos la cuestión de cómo encontrar la diferencia de una progresión aritmética y daremos varios ejemplos.

Definición matemática

Entonces, si estamos hablando de una progresión aritmética o algebraica (estos conceptos definen lo mismo), entonces esto significa que hay una determinada serie de números que satisface la siguiente ley: cada dos números adyacentes en la serie difieren en el mismo valor. Matemáticamente se escribe así:

Aquí n significa el número del elemento a n en la secuencia, y el número d es la diferencia de la progresión (su nombre se deriva de la fórmula presentada).

¿Qué significa saber la diferencia d? Acerca de qué tan "lejos" están los números vecinos entre sí. Sin embargo, el conocimiento de d es necesario, pero no condición suficiente para determinar (restaurar) toda la progresión. Es necesario conocer un número más, que puede ser absolutamente cualquier elemento de la serie considerada, por ejemplo, un 4, un10, pero, por regla general, utilizan el primer número, es decir, un 1.

Fórmulas para determinar los elementos de progresión.

En general, la información anterior ya es suficiente para pasar a la solución de problemas específicos. Sin embargo, antes de dar la progresión aritmética, y será necesario encontrar su diferencia, presentamos un par fórmulas útiles, facilitando así el posterior proceso de resolución de problemas.

Es fácil demostrar que cualquier elemento de la secuencia con el número n se puede encontrar de la siguiente manera:

un norte = un 1 + (norte - 1) * re

De hecho, cualquiera puede comprobar esta fórmula mediante una simple búsqueda: si sustituyes n = 1, obtienes el primer elemento, si sustituyes n = 2, la expresión da la suma del primer número y la diferencia, y así sucesivamente.

Las condiciones de muchos problemas están compuestas de tal manera que, dado un par de números conocidos, cuyos números también se dan en la secuencia, es necesario reconstruir toda la serie numérica (encontrar la diferencia y el primer elemento). Ahora resolveremos este problema en forma general.

Entonces, sean dados dos elementos con números n y m. Usando la fórmula obtenida anteriormente, puedes crear un sistema de dos ecuaciones:

un norte = un 1 + (norte - 1) * re;

un metro = un 1 + (metro - 1) * re

Para encontrar cantidades desconocidas utilizamos las conocidas. truco sencillo soluciones a tal sistema: reste los lados izquierdo y derecho en pares, la igualdad seguirá siendo válida. Tenemos:

un norte = un 1 + (norte - 1) * re;

un norte - un metro = (n - 1) * re - (metro - 1) * re = re * (norte - metro)

Por tanto, hemos excluido una incógnita (un 1). Ahora podemos escribir la expresión final para determinar d:

d = (a n - a m) / (n - m), donde n > m

tenemos muy fórmula sencilla: para calcular la diferencia d de acuerdo con las condiciones del problema, solo es necesario tomar la relación de las diferencias entre los elementos mismos y sus números seriales. Debería prestar atención a uno punto importante Atención: las diferencias se toman entre los miembros “senior” y “junior”, es decir, n > m (“senior” significa estar más lejos del comienzo de la secuencia, su valor absoluto puede ser mayor o menor que el elemento “junior”).

La expresión de la diferencia d progresión debe sustituirse en cualquiera de las ecuaciones al comienzo de la resolución del problema para obtener el valor del primer término.

En nuestra era de desarrollo de la tecnología informática, muchos escolares intentan encontrar soluciones a sus tareas en Internet, por lo que a menudo surgen preguntas de este tipo: encontrar la diferencia de una progresión aritmética en línea. Para tal solicitud, el motor de búsqueda devolverá una serie de páginas web, al acceder a las cuales deberá ingresar los datos conocidos de la condición (pueden ser dos términos de la progresión o la suma de un cierto número de ellos). ) y reciba instantáneamente una respuesta. Sin embargo, este enfoque para resolver el problema es improductivo en términos del desarrollo y la comprensión por parte del estudiante de la esencia de la tarea que se le asigna.

Solución sin utilizar fórmulas.

Resolvamos el primer problema sin utilizar ninguna de las fórmulas dadas. Sean dados los elementos de la serie: a6 = 3, a9 = 18. Calcula la diferencia de la progresión aritmética.

Los elementos conocidos se encuentran uno al lado del otro en una fila. ¿Cuántas veces se debe sumar la diferencia d a la menor para obtener la mayor? Tres veces (la primera vez que sumamos d, obtenemos el séptimo elemento, la segunda vez, el octavo, finalmente, la tercera vez, el noveno). ¿Qué número se debe sumar tres veces a tres para obtener 18? Este es el número cinco. En realidad:

Por tanto, la diferencia desconocida d = 5.

Por supuesto, la solución se podría haber llevado a cabo utilizando la fórmula adecuada, pero no se hizo intencionadamente. Explicación detallada La solución al problema debe ser clara y un ejemplo brillante¿Qué es una progresión aritmética?

Una tarea similar a la anterior

Ahora resolvamos un problema similar, pero cambiemos los datos de entrada. Entonces, deberías encontrar si a3 = 2, a9 = 19.

Por supuesto, puedes volver a recurrir al método de solución "frontal". Pero como se dan elementos de la serie que están relativamente alejados entre sí, este método no será del todo conveniente. Pero usar la fórmula resultante nos llevará rápidamente a la respuesta:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Aquí hemos redondeado el número final. En qué medida este redondeo condujo a un error se puede juzgar comprobando el resultado:

un 9 = un 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Este resultado difiere sólo en un 0,1% del valor indicado en la condición. Por lo tanto, el redondeo utilizado a las centésimas más cercanas puede considerarse una elección acertada.

Problemas relacionados con la aplicación de la fórmula para el término an.

Consideremos un ejemplo clásico de un problema para determinar la incógnita d: encontrar la diferencia de una progresión aritmética si a1 = 12, a5 = 40.

Cuando se dan dos números de una secuencia algebraica desconocida, y uno de ellos es el elemento a 1, entonces no es necesario pensar mucho, sino que se debe aplicar inmediatamente la fórmula para el término a n. EN en este caso tenemos:

un 5 = un 1 + d * (5 - 1) => d = (un 5 - un 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Obtuvimos el número exacto al dividir, por lo que no tiene sentido verificar la exactitud del resultado calculado, como se hizo en el párrafo anterior.

Resolvamos otro problema similar: necesitamos encontrar la diferencia de una progresión aritmética si a1 = 16, a8 = 37.

Usamos un enfoque similar al anterior y obtenemos:

un 8 = un 1 + d * (8 - 1) => d = (un 8 - un 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

¿Qué más debes saber sobre la progresión aritmética?

Además de los problemas de encontrar una diferencia desconocida o elementos individuales, a menudo es necesario resolver problemas de la suma de los primeros términos de una secuencia. La consideración de estas tareas está más allá del alcance del artículo; sin embargo, para completar la información presentamos formula general para la suma de n números en una serie:

∑ n yo = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Instrucciones

Una progresión aritmética es una secuencia de la forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Número d paso progresión.Es obvio que el general de un n-ésimo término arbitrario de la aritmética progresión tiene la forma: An = A1+(n-1)d. Entonces conociendo a uno de los miembros progresión, miembro progresión y paso progresión, puede, es decir, el número del miembro de progreso. Evidentemente vendrá determinado por la fórmula n = (An-A1+d)/d.

Que ahora se conozca el término enésimo. progresión y otro miembro progresión- nésimo, pero n , como en el caso anterior, pero se sabe que n y m no coinciden. progresión se puede calcular mediante la fórmula: d = (An-Am)/(n-m). Entonces n = (An-Am+md)/d.

Si se conoce la suma de varios elementos de una ecuación aritmética progresión, además del primero y el último, también se puede determinar el número de estos elementos. progresión será igual a: S = ((A1+An)/2)n. Entonces n = 2S/(A1+An) - chdenov progresión. Utilizando el hecho de que An = A1+(n-1)d, esta fórmula se puede reescribir como: n = 2S/(2A1+(n-1)d). De esto podemos expresar n resolviendo ecuación cuadrática.

Una secuencia aritmética es un conjunto ordenado de números, cada miembro del cual, excepto el primero, difiere del anterior en la misma cantidad. Este valor constante se llama diferencia de progresión o su paso y se puede calcular a partir de los términos conocidos de la progresión aritmética.

Instrucciones

Si los valores del primero y segundo o cualquier otro par de términos adyacentes se conocen a partir de las condiciones del problema, para calcular la diferencia (d) simplemente resta el anterior del término posterior. El valor resultante puede ser positivo o numero negativo- Depende de si la progresión está aumentando. EN forma general Escribe la solución para un par elegido arbitrariamente (aᵢ y aᵢ₊₁) de términos vecinos de la progresión de la siguiente manera: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Para un par de términos de dicha progresión, uno de los cuales es el primero (a₁) y el otro es cualquier otro elegido arbitrariamente, también es posible crear una fórmula para encontrar la diferencia (d). Sin embargo, en este caso, se debe conocer el número de serie (i) de un miembro de la secuencia seleccionado arbitrariamente. Para calcular la diferencia, suma ambos números y divide el resultado resultante por el número ordinal de un término arbitrario reducido a uno. En general, escribe esta fórmula de la siguiente manera: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Si, además de un miembro arbitrario de una progresión aritmética con número ordinal i, se conoce otro miembro con número ordinal u, cambie la fórmula del paso anterior en consecuencia. En este caso, la diferencia (d) de la progresión será la suma de estos dos términos dividida por la diferencia de sus números ordinales: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

La fórmula para calcular la diferencia (d) se vuelve algo más complicada si las condiciones del problema dan el valor de su primer término (a₁) y la suma (Sᵢ) de un número dado (i) de los primeros términos de la secuencia aritmética. Para obtener el valor deseado, se divide la suma por el número de términos que la componen, se resta el valor del primer número de la secuencia y se duplica el resultado. Divide el valor resultante por el número de términos que forman la suma reducido en uno. En general, escribe la fórmula para calcular el discriminante de la siguiente manera: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Objetivos:

1. Introducir el concepto de progresión aritmética.
2. Considere los principales tipos de problemas utilizando la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética.
3. Utilice elementos del aprendizaje del desarrollo en la lección.
4. Desarrollar el pensamiento analítico de los estudiantes.

durante las clases

Maestro. En la lección anterior, introdujimos el concepto de una secuencia numérica infinita como una función definida sobre el conjunto de números naturales y descubrimos que las secuencias pueden ser infinitas y finitas, crecientes y decrecientes, y también aprendimos cómo definirlas. Ponlos en una lista.

Estudiantes.

1. Analítico (usando una fórmula).
2. Verbal (establecer una secuencia con una descripción).
3. Recurrente (cuando cualquier miembro de la secuencia, a partir de algunos, se expresa a través de miembros anteriores).

Ejercicio 1. Indique, si es posible, el séptimo término de cada secuencia.

(an): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(mil millones): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2.2…
(sín): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Maestro. ¿Por qué es imposible responder la pregunta para las secuencias b n e y n?

Estudiantes. No existe un patrón específico en estas secuencias, aunque (b n) consta de cuadrados de números naturales, pero se toman en orden arbitrario y (y n) representa serie arbitraria números, por lo que el séptimo lugar puede ser cualquier número.

Maestro. Para secuencias (an); (cn); (x n) todos pudieron encontrar correctamente el séptimo término.

Tarea 2. Piensa en tu propio ejemplo de tal secuencia. Indique sus primeros 4 miembros. Intercambia cuadernos con tu vecino de escritorio y determina el quinto término de esta secuencia.

Maestro.¿Qué propiedad común tienen tales secuencias?

Alumno. Cada término subsiguiente difiere del anterior en el mismo número.

Maestro. Las secuencias de este tipo se llaman progresiones aritméticas. Serán el tema de nuestro estudio de hoy. Formule el tema de la lección.

(El alumno puede formular fácilmente la primera parte del tema. El profesor puede formular él mismo la segunda parte)

Maestro. Formule los objetivos de la lección en base a este tema.

(Es importante que los estudiantes formulen sus objetivos de aprendizaje de la manera más completa y precisa posible, luego los acepten y se esfuercen por alcanzarlos)

Estudiantes.

1. Definir progresión aritmética.
2. Derive la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética.
3. Aprenda a resolver problemas sobre un tema (considere Varios tipos tareas).

Entonces resulta útil proyectar los objetivos del profesor para los estudiantes en la pantalla para garantizar que tengan objetivos comunes.

Maestro. Una pequeña historia. El término "progresión" proviene del latín progresión, que significa "avanzar", y fue introducido por el autor romano Boecio en el siglo VI d.C. y recibido mayor desarrollo en los trabajos de Fibonacci, Chuquet, Gauss y otros científicos.

Definición. Una progresión aritmética es una secuencia en la que cada miembro, a partir del segundo, es igual al miembro anterior sumado al mismo número. Este número se llama diferencia de una progresión aritmética y se denota por d.

(un norte): un 1 ; un 2 ; un 3 ; ...una n ...progresión aritmética.
d = un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = … = un n+1 - un n

Tarea 3. Sea a 1 = 7; re = 0.

Nombra los siguientes 3 términos de la secuencia.

Estudiantes. 7; 7; 7

Maestro. Estas secuencias se denominan constantes o estacionarias.

Sea a 1 = -12; d = 3. Nombra 3 miembros de esta secuencia.

Alumno. -9; -6; -3

Maestro. ¿Tendré razón si nombro los números: -15; -18; -21?

Como regla general, la mayoría de los estudiantes piensan que esto es correcto. Luego deberás pedirles que identifiquen el número de cada integrante. Dado que el número de un miembro de la secuencia debe expresarse como un número natural, los números nombrados no pueden estar presentes en esta secuencia.

Tarea 4. En progresión aritmética a 1 ; un 2 ; 6; 4; un 5 encuentra un 1; un 2 ; un 5.

La tarea se realiza en parejas, un alumno, si lo desea, la completa con reverso tableros.

Solución:

re = 4 – 6 = -2
un 5 = un 4 + re = 4 – 2 = 2
un 2 = un 3 – d = 6 – (-2) = 8
un 1 = un 2 – d = 8 – (-2) = 10

Especifica para esta secuencia un 8 y un 126

Estudiantes. Se puede especificar un 8 = -4 y 126, pero lleva demasiado tiempo contarlo.

Maestro. Esto significa que necesitamos encontrar una manera que nos permita encontrar rápidamente cualquier miembro de la secuencia. Intenta derivar la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética.

Puedes llamar a un estudiante fuerte a la pizarra y, a través de preguntas claramente planteadas y la ayuda de la clase, derivar la fórmula.

Derivación de la fórmula:

un 2 = un 1 + d
un 3 = un 2 + d = un 1 + 2d
un 4 = un 3 + d = un 1 + 3d
etc.

A norte = un 1 + (norte – 1) d- fórmulaenésimo término de una progresión aritmética.

Maestro. Entonces, ¿qué necesitas saber para determinar cualquier miembro de una progresión aritmética?

Estudiantes. un 1 y d

Maestro. Usando esta fórmula, encuentra un 126.

Estudiantes. un 126 = un 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

Tarea 5. Sea (b n): una progresión aritmética en la que b 1 es el primer término y d es la diferencia. Encontrar errores:

segundo 4 = segundo 1 + 3d		segundo 2k = segundo 1 + (2k – 1)∙d
segundo 9 = segundo 1 + 10d		segundo k-4 = segundo 1 + (k – 3)∙d
segundo -3 = segundo 1 - 4d		segundo k+7 = segundo 1 + (k – 6)∙d

Tarea 6. Consideremos la fórmula del enésimo término de una progresión aritmética. Averigüemos qué tipos de problemas se pueden resolver con esta fórmula. Formule un problema directo.

Estudiantes. Dados los valores de a 1 y d, encuentre a n.

Maestro.¿Qué problemas inversos se pueden plantear?

Estudiantes.

1. Dado un 1 y un n. Encuentra d.
2. Dados d y a n. Encuentra un 1.
3. Dado un 1, d y un n. encontrar n.

Tarea 7. Encuentra la diferencia de la progresión aritmética en la que y 1 = 10; y 5 = 22

Solución en el tablero:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
re=3

Tarea 8. ¿La progresión aritmética contiene 2? 9; ... número 156?

Análisis: razonando llegamos a la conclusión de que debido a cada número de la secuencia tiene su propio número, expresado como un número natural, entonces necesitas encontrar el número del miembro de la secuencia y averiguar si pertenece al conjunto de los números naturales. Si pertenece, entonces la secuencia contiene el número dado; de lo contrario, no.

Solución en el tablero:

un norte = un 1 + (norte – 1) re
156 = 2 + 7 (norte – 1)
7 (norte – 1) = 154
norte – 1 = 22
norte = 23

Respuesta: a 23 = 156

Tarea 9. Encuentre los primeros tres términos de la progresión aritmética en la que

un 1 + un 5 = 24;
a 2 ∙a 3 =60

Analizamos la tarea, creamos un sistema de ecuaciones que proponemos resolver en casa.

un 1 + un 1 + 4d = 24;
(a 1 + d)∙(a 1 + 4d)= 60.

Resumiendo total lección.

¿Qué nuevo aprendiste hoy en clase? ¿Que has aprendido?

Tarea. Lea el material en el párrafo 25 del libro de texto. Aprenda la definición de progresión aritmética y la fórmula para el enésimo término. Ser capaz de expresar a partir de una fórmula todas las cantidades incluidas en ella. Resuelva el sistema para la tarea 9. Siga el libro de texto No. 575 (a, b); 576; 578a); 579(a).

Tarea de evaluación adicional: sea un 1 ; un 2 ; un 3 ; ...una n ...progresión aritmética. Demuestre que a n+1 = (an + a n+2): 2

Primer nivel

Progresión aritmética. Teoría detallada con ejemplos (2019)

secuencia numérica

Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos decir cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

secuencia numérica
Por ejemplo, para nuestra secuencia:

El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo.
El número con número se llama décimo término de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Digamos que tenemos una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
Por ejemplo:

etc.
Esta secuencia numérica se llama progresión aritmética.
El término "progresión" fue introducido por el autor romano Boecio en el siglo VI y se entendió en un sentido más amplio como una secuencia numérica infinita. El nombre "aritmética" proviene de la teoría de las proporciones continuas, que fue estudiada por los antiguos griegos.

Esta es una secuencia numérica, cada miembro de la cual es igual al anterior sumado al mismo número. Este número se llama diferencia de una progresión aritmética y se designa.

Intente determinar qué secuencias numéricas son una progresión aritmética y cuáles no:

a)
b)
C)
d)

¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas:
Es progresión aritmética - b, c.
No es progresión aritmética - a, d.

Volvamos a la progresión dada () e intentemos encontrar el valor de su enésimo término. existe dos manera de encontrarlo.

1. Método

Podemos sumar el número de progresión al valor anterior hasta llegar al décimo término de la progresión. Es bueno que no tengamos mucho que resumir: sólo tres valores:

Entonces, el término de la progresión aritmética descrita es igual a.

2. Método

¿Qué pasaría si necesitáramos encontrar el valor del enésimo término de la progresión? La suma nos llevaría más de una hora, y no es un hecho que no cometeremos errores al sumar números.
Por supuesto, los matemáticos han ideado una forma en la que no es necesario sumar la diferencia de una progresión aritmética al valor anterior. Eche un vistazo más de cerca a la imagen dibujada... Seguramente ya habrás notado cierto patrón, a saber:

Por ejemplo, veamos en qué consiste el valor del término enésimo de esta progresión aritmética:


En otras palabras:

Intente encontrar usted mismo el valor de un miembro de una progresión aritmética determinada de esta manera.

¿Calculaste? Compara tus notas con la respuesta:

Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando sumamos secuencialmente los términos de la progresión aritmética al valor anterior.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula- vamos a traerla a forma general y obtenemos:

Ecuación de progresión aritmética.

Las progresiones aritméticas pueden ser crecientes o decrecientes.

Creciente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es mayor que el anterior.
Por ejemplo:

Descendente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es menor que el anterior.
Por ejemplo:

La fórmula derivada se utiliza en el cálculo de términos tanto crecientes como decrecientes de una progresión aritmética.
Comprobemos esto en la práctica.
Se nos da una progresión aritmética que consta de los siguientes números: Comprobemos cuál será el enésimo número de esta progresión aritmética si usamos nuestra fórmula para calcularlo:

Desde entonces:

Por tanto, estamos convencidos de que la fórmula opera tanto en progresión aritmética decreciente como creciente.
Intenta encontrar tú mismo los términos enésimo y enésimo de esta progresión aritmética.

Comparemos los resultados:

Propiedad de progresión aritmética

Compliquemos el problema: derivaremos la propiedad de la progresión aritmética.
Digamos que se nos da la siguiente condición:
- progresión aritmética, encuentra el valor.
Fácil, dices y empiezas a contar según la fórmula que ya conoces:

Vamos, ah, entonces:

Absolutamente correcto. Resulta que primero encontramos, luego lo sumamos al primer número y obtenemos lo que estamos buscando. Si la progresión está representada por valores pequeños, entonces no tiene nada de complicado, pero ¿qué pasa si nos dan números en la condición? De acuerdo, existe la posibilidad de cometer un error en los cálculos.
Ahora piense si es posible resolver este problema en un solo paso usando alguna fórmula. Por supuesto que sí, y eso es lo que intentaremos sacar a la luz ahora.

Denotemos el término requerido de la progresión aritmética como, conocemos la fórmula para encontrarlo; esta es la misma fórmula que derivamos al principio:
, Entonces:

• el término anterior de la progresión es:
• el siguiente término de la progresión es:

Resumamos los términos anteriores y posteriores de la progresión:

Resulta que la suma de los términos de progresión anterior y posterior es el valor doble del término de progresión ubicado entre ellos. En otras palabras, para encontrar el valor de un término de progresión con valores anteriores y sucesivos conocidos, es necesario sumarlos y dividirlos por.

Así es, tenemos el mismo número. Aseguremos el material. Calcula tú mismo el valor de la progresión, no es nada difícil.

¡Bien hecho! ¡Sabes casi todo sobre la progresión! Sólo queda descubrir una fórmula que, según la leyenda, fue fácilmente deducida por uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el "rey de los matemáticos": Karl Gauss...

Cuando Carl Gauss tenía 9 años, un profesor, ocupado comprobando el trabajo de los alumnos de otras clases, asignó en clase la siguiente tarea: "Calcular la suma de todos los números naturales desde hasta (según otras fuentes hasta) inclusive". Imagínese la sorpresa del profesor cuando uno de sus alumnos (este era Karl Gauss) un minuto después dio la respuesta correcta a la tarea, mientras que la mayoría de los compañeros del temerario, después de largos cálculos, recibieron el resultado equivocado...

El joven Carl Gauss notó un cierto patrón que usted también puede notar fácilmente.
Digamos que tenemos una progresión aritmética que consta de -ésimos términos: Necesitamos encontrar la suma de estos términos de la progresión aritmética. Por supuesto, podemos sumar manualmente todos los valores, pero ¿qué pasa si la tarea requiere encontrar la suma de sus términos, como buscaba Gauss?

Representemos la progresión que se nos ha dado. Mire más de cerca los números resaltados e intente realizar varias operaciones matemáticas con ellos.


¿Lo has probado? ¿Qué notaste? ¡Bien! sus sumas son iguales

Ahora dime, ¿cuántos pares de este tipo hay en total en la progresión que se nos ha dado? Por supuesto, exactamente la mitad de todos los números, es decir.
Partiendo del hecho de que la suma de dos términos de una progresión aritmética es igual y los pares semejantes son iguales, obtenemos que cantidad total es igual a:
.
Así, la fórmula para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

En algunos problemas no conocemos el término décimo, pero conocemos la diferencia de la progresión. Intente sustituir la fórmula del enésimo término en la fórmula de la suma.
¿Qué obtuviste?

¡Bien hecho! Ahora volvamos al problema que le plantearon a Carl Gauss: calcula por ti mismo a qué es igual la suma de los números a partir del ésimo y la suma de los números a partir del ésimo.

¿Cuanto conseguiste?
Gauss encontró que la suma de los términos es igual, y la suma de los términos. ¿Es eso lo que decidiste?

De hecho, la fórmula para la suma de los términos de una progresión aritmética fue probada por el antiguo científico griego Diofanto en el siglo III, y durante todo este tiempo, personas ingeniosas aprovecharon al máximo las propiedades de la progresión aritmética.
Por ejemplo, imagina Antiguo Egipto y el proyecto de construcción más grande de esa época: la construcción de una pirámide... La imagen muestra un lado.

¿Dónde está la progresión aquí, dices? Mire con atención y encuentre un patrón en la cantidad de bloques de arena en cada fila de la pared de la pirámide.


¿Por qué no una progresión aritmética? Calcule cuántos bloques se necesitan para construir una pared si se colocan bloques de ladrillos en la base. Espero que no cuentes mientras mueves el dedo por el monitor, ¿recuerdas la última fórmula y todo lo que dijimos sobre la progresión aritmética?

En este caso, la progresión se ve así: .
Diferencia de progresión aritmética.
El número de términos de una progresión aritmética.
Sustituyamos nuestros datos en las últimas fórmulas (calculemos el número de bloques de 2 formas).

Método 1.

Método 2.

Y ahora puedes calcular en el monitor: compara los valores obtenidos con la cantidad de bloques que hay en nuestra pirámide. ¿Entiendo? Bien hecho, dominas la suma de los enésimos términos de una progresión aritmética.
Por supuesto, no se puede construir una pirámide a partir de bloques en la base, pero ¿desde? Intente calcular cuántos ladrillos de arena se necesitan para construir un muro con esta condición.
¿Lograste?
La respuesta correcta es bloques:

Capacitación

Tareas:

1. Masha se está poniendo en forma para el verano. Cada día aumenta el número de sentadillas. ¿Cuántas veces Masha hará sentadillas en una semana si las hizo en la primera sesión de entrenamiento?
2. ¿Cuál es la suma de todos los números impares que contiene?
3. Al almacenar troncos, los registradores los apilan de tal manera que cada capa superior contiene un registro menos que el anterior. ¿Cuántos troncos hay en una mampostería, si la base de la mampostería son troncos?

Respuestas:

1. Definamos los parámetros de la progresión aritmética. En este caso
   (semanas = días).

   Respuesta: En dos semanas, Masha debería hacer sentadillas una vez al día.

2. Primer número impar, último número.
   Diferencia de progresión aritmética.
   El número de números impares es la mitad, sin embargo, verifiquemos este hecho usando la fórmula para encontrar el término enésimo de una progresión aritmética:

   Los números contienen números impares.
   Sustituyamos los datos disponibles en la fórmula:

   Respuesta: La suma de todos los números impares contenidos en es igual.

3. Recordemos el problema de las pirámides. Para nuestro caso, a , dado que cada capa superior se reduce en un registro, entonces en total hay un montón de capas, es decir.
   Sustituyamos los datos en la fórmula:

   Respuesta: Hay troncos en la mampostería.

resumámoslo

1. - una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual. Puede ser creciente o decreciente.
2. Encontrar fórmula El décimo término de una progresión aritmética se escribe mediante la fórmula - , donde es el número de números en la progresión.
3. Propiedad de los miembros de una progresión aritmética.- - donde está el número de números en progresión.
4. La suma de los términos de una progresión aritmética. se puede encontrar de dos maneras:
   
   , donde está el número de valores.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. NIVEL PROMEDIO

secuencia numérica

Sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee. Pero siempre podemos decir cuál es primero, cuál es segundo, y así sucesivamente, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica.

secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

Es decir, a cada número se le puede asociar un número natural determinado, y uno único. Y no asignaremos este número a ningún otro número de este conjunto.

El número con número se llama el ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

Es muy conveniente que el enésimo término de la secuencia pueda especificarse mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula

establece la secuencia:

Y la fórmula es la siguiente secuencia:

Por ejemplo, una progresión aritmética es una secuencia (el primer término aquí es igual y la diferencia es). O (, diferencia).

fórmula del enésimo término

Llamamos recurrente a una fórmula en la que, para conocer el décimo término, es necesario conocer el anterior o varios anteriores:

Para encontrar, por ejemplo, el término enésimo de la progresión usando esta fórmula, tendremos que calcular los nueve anteriores. Por ejemplo, déjalo. Entonces:

Bueno, ¿está claro ahora cuál es la fórmula?

En cada línea sumamos, multiplicamos por algún número. ¿Cuál? Muy simple: este es el número del miembro actual menos:

Mucho más conveniente ahora, ¿verdad? Verificamos:

Decide por ti mismo:

En una progresión aritmética, encuentra la fórmula para el enésimo término y encuentra el centésimo término.

Solución:

El primer término es igual. ¿Cuál es la diferencia? Esto es lo que:

(Por eso se llama diferencia porque es igual a la diferencia de términos sucesivos de la progresión).

Entonces, la fórmula:

Entonces el centésimo término es igual a:

¿Cuál es la suma de todos los números naturales desde hasta?

Según la leyenda, el gran matemático Carl Gauss, cuando tenía 9 años, calculó esta cantidad en unos minutos. Observó que la suma del primero y ultima cita es igual, la suma del segundo y el penúltimo es la misma, la suma del tercero y el tercero desde el final es la misma, y ​​así sucesivamente. ¿Cuántos pares de este tipo hay en total? Así es, exactamente la mitad de todos los números, es decir. Entonces,

La fórmula general para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

Ejemplo:
Encuentra la suma de todos números de dos dígitos, múltiplos.

Solución:

El primero de esos números es este. Cada número subsiguiente se obtiene sumando al número anterior. Así, los números que nos interesan forman una progresión aritmética con el primer término y la diferencia.

Fórmula del décimo término de esta progresión:

¿Cuántos términos hay en la progresión si todos tienen que ser de dos dígitos?

Muy fácil: .

El último término de la progresión será igual. Entonces la suma:

Respuesta: .

Ahora decide por ti mismo:

1. Cada día el deportista corre más metros que el día anterior. ¿Cuántos kilómetros totales correrá en una semana si corrió km m el primer día?
2. Un ciclista recorre cada día más kilómetros que el día anterior. El primer día recorrió el km. ¿Cuántos días necesita viajar para recorrer un kilómetro? ¿Cuántos kilómetros recorrerá durante el último día de su viaje?
3. El precio de un frigorífico en una tienda disminuye en la misma cantidad cada año. Determine cuánto disminuyó el precio de un refrigerador cada año si, puesto a la venta por rublos, seis años después se vendió por rublos.

Respuestas:

1. Lo más importante aquí es reconocer la progresión aritmética y determinar sus parámetros. En este caso, (semanas = días). Debes determinar la suma de los primeros términos de esta progresión:
   .
   Respuesta:
2. Aquí se da: , debe ser encontrado.
   Obviamente, necesitas usar la misma fórmula de suma que en el problema anterior:
   .
   Sustituye los valores:

   La raíz obviamente no encaja, entonces la respuesta es.
   Calculemos el camino recorrido durante el último día usando la fórmula del décimo término:
   (kilómetros).
   Respuesta:

3. Dado: . Encontrar: .
   No podría ser más sencillo:
   (frotar).
   Respuesta:

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Esta es una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.

La progresión aritmética puede ser creciente () y decreciente ().

Por ejemplo:

Fórmula para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética

está escrito por la fórmula, donde es el número de números en progresión.

Propiedad de los miembros de una progresión aritmética.

Le permite encontrar fácilmente un término de una progresión si se conocen sus términos vecinos: ¿dónde está el número de números en la progresión?

Suma de términos de una progresión aritmética

Hay dos formas de encontrar la cantidad:

¿Dónde está el número de valores?

¿Dónde está el número de valores?