El método de Cramer se basa en el uso de determinantes en la resolución de sistemas. ecuaciones lineales. Esto acelera significativamente el proceso de solución.
El método de Cramer se puede utilizar para resolver un sistema de tantas ecuaciones lineales como incógnitas haya en cada ecuación. Si el determinante del sistema no es igual a cero, entonces se puede utilizar el método de Cramer en la solución, pero si es igual a cero, entonces no. Además, el método de Cramer se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales que tienen una solución única.
Definición. Un determinante formado por coeficientes de incógnitas se llama determinante del sistema y se denota (delta).
Determinantes
se obtienen reemplazando los coeficientes de las incógnitas correspondientes por términos libres:
;
.
teorema de cramer. Si el determinante del sistema es distinto de cero, entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única y la incógnita es igual a la razón de los determinantes. El denominador contiene el determinante del sistema y el numerador contiene el determinante obtenido del determinante del sistema reemplazando los coeficientes de esta incógnita con términos libres. Este teorema es válido para un sistema de ecuaciones lineales de cualquier orden.
Ejemplo 1. Resolver un sistema de ecuaciones lineales:
De acuerdo a teorema de cramer tenemos:
Entonces, la solución al sistema (2):
calculadora online, método decisivo Kramer.
Tres casos al resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Como se desprende claramente de teorema de cramer, al resolver un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar tres casos:
Primer caso: un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única
(el sistema es consistente y definido)
Segundo caso: un sistema de ecuaciones lineales tiene un número infinito de soluciones
(el sistema es consistente e incierto)
** 
,
aquellos. los coeficientes de las incógnitas y los términos libres son proporcionales.
Tercer caso: el sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones.
(el sistema es inconsistente)
Entonces el sistema metro ecuaciones lineales con norte llamadas variables no conjunto, si no tiene una solución única, y articulación, si tiene al menos una solución. Un sistema simultáneo de ecuaciones que tiene una sola solución se llama cierto, y más de uno – incierto.
Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer.
Deja que el sistema se dé.
.
Basado en el teorema de Cramer
………….
,
Dónde 
-
determinante del sistema. Obtenemos los determinantes restantes reemplazando la columna con los coeficientes de la variable correspondiente (desconocida) con términos libres:
Ejemplo 2.
.
Por tanto, el sistema es definitivo. Para encontrar su solución, calculamos los determinantes.
Usando las fórmulas de Cramer encontramos:
Entonces, (1; 0; -1) es la única solución del sistema.
Para comprobar las soluciones de los sistemas de ecuaciones 3 X 3 y 4 X 4, puede utilizar una calculadora en línea que utilice el método de resolución de Cramer.
Si en un sistema de ecuaciones lineales no hay variables en una o más ecuaciones, entonces en el determinante los elementos correspondientes son iguales a cero. Este es el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer:
.
Solución. Encontramos el determinante del sistema:
Observe atentamente el sistema de ecuaciones y el determinante del sistema y repita la respuesta a la pregunta en qué casos uno o más elementos del determinante son iguales a cero. Entonces, el determinante no es igual a cero, por lo tanto el sistema es definido. Para encontrar su solución, calculamos los determinantes de las incógnitas.
Usando las fórmulas de Cramer encontramos:
Entonces, la solución del sistema es (2; -1; 1).
Para comprobar las soluciones de los sistemas de ecuaciones 3 X 3 y 4 X 4, puede utilizar una calculadora en línea que utilice el método de resolución de Cramer.
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Seguimos resolviendo sistemas usando el método de Cramer juntos.
Como ya se mencionó, si el determinante del sistema es igual a cero y los determinantes de las incógnitas no son iguales a cero, el sistema es inconsistente, es decir, no tiene soluciones. Ilustrémoslo con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer:
Solución. Encontramos el determinante del sistema:
El determinante del sistema es igual a cero, por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y definido, o inconsistente, es decir, no tiene soluciones. Para aclarar, calculamos determinantes para incógnitas.
Los determinantes de las incógnitas no son iguales a cero, por tanto, el sistema es inconsistente, es decir, no tiene soluciones.
Para comprobar las soluciones de los sistemas de ecuaciones 3 X 3 y 4 X 4, puede utilizar una calculadora en línea que utilice el método de resolución de Cramer.
En los problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales, también existen aquellos en los que, además de letras que denotan variables, también hay otras letras. Estas letras representan un número, generalmente real. En la práctica, tales ecuaciones y sistemas de ecuaciones plantean problemas de búsqueda de propiedades generales de cualquier fenómeno y objeto. Es decir, ¿has inventado alguna nuevo material o un dispositivo, y para describir sus propiedades, que son comunes independientemente del tamaño o número de una instancia, es necesario resolver un sistema de ecuaciones lineales, donde en lugar de algunos coeficientes para las variables hay letras. No es necesario buscar muy lejos para encontrar ejemplos.
El siguiente ejemplo es para un problema similar, solo aumenta el número de ecuaciones, variables y letras que denotan un determinado número real.
Ejemplo 8. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer:
Solución. Encontramos el determinante del sistema:
Encontrar determinantes para incógnitas
El método de Cramer se utiliza para resolver sistemas de líneas lineales. ecuaciones algebraicas(SLAE), en el que el número de variables desconocidas es igual al número de ecuaciones y el determinante de la matriz principal es distinto de cero. En este artículo veremos cómo se encuentran las variables desconocidas utilizando el método de Cramer y cómo obtendremos fórmulas. Después de esto, pasemos a los ejemplos y describamos en detalle la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer.
Navegación de páginas.
Método de Cramer: derivación de fórmulas.
Necesitamos resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma
Donde x 1, x 2,…, x n son variables desconocidas, a i j, yo = 1, 2,…, norte, j = 1, 2,…, norte- coeficientes numéricos, b 1, b 2, ..., b n - términos libres. Una solución a un SLAE es un conjunto de valores x 1 , x 2 ,…, x n para el cual todas las ecuaciones del sistema se convierten en identidades.
En forma matricial, este sistema se puede escribir como A ⋅ X = B, donde 
- la matriz principal del sistema, sus elementos son los coeficientes de variables desconocidas, - la matriz es una columna de términos libres y - la matriz es una columna de variables desconocidas. Después de encontrar las variables desconocidas x 1, x 2,…, x n, la matriz se convierte en una solución del sistema de ecuaciones y la igualdad A ⋅ X = B se convierte en una identidad.
Supondremos que la matriz A es no singular, es decir, su determinante es distinto de cero. En este caso, el sistema de ecuaciones algebraicas lineales tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método de Cramer. (Los métodos para resolver sistemas se analizan en la sección resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales).
El método de Cramer se basa en dos propiedades del determinante matricial:
Entonces, comencemos a encontrar la variable desconocida x 1. Para hacer esto, multiplicamos ambas partes de la primera ecuación del sistema por A 1 1, ambas partes de la segunda ecuación por A 2 1, y así sucesivamente, ambas partes de la enésima ecuación por A n 1 (es decir, multiplicar las ecuaciones del sistema por los complementos algebraicos correspondientes de la primera columna de la matriz A): 
Sumemos todos los lados izquierdos de la ecuación del sistema, agrupando los términos con variables desconocidas x 1, x 2, ..., x n, y equiparemos esta suma con la suma de todos los lados derechos de las ecuaciones: 
Si recurrimos a las propiedades del determinante mencionadas anteriormente, tenemos 
y la igualdad anterior toma la forma 
dónde 
De manera similar, encontramos x 2. Para ello multiplicamos ambos lados de las ecuaciones del sistema por los complementos algebraicos de la segunda columna de la matriz A: 
Sumamos todas las ecuaciones del sistema, agrupamos los términos de las variables desconocidas x 1, x 2, ..., x n y aplicamos las propiedades del determinante: 
Dónde 
.
Las variables desconocidas restantes se encuentran de manera similar.
Si designamos
Entonces obtenemos Fórmulas para encontrar variables desconocidas usando el método de Cramer. 
.
Comentario.
Si el sistema de ecuaciones algebraicas lineales es homogéneo, es decir 
, entonces sólo tiene una solución trivial (en ). De hecho, para cero términos libres, todos los determinantes 
serán iguales a cero, ya que contendrán una columna de elementos cero. Por tanto, las fórmulas daré .
Algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.
vamos a escribirlo algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer.
Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.
Veamos soluciones a varios ejemplos.
Ejemplo.
Encuentre una solución a un sistema no homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer. 
.
Solución.
La matriz principal del sistema tiene la forma. Calculemos su determinante usando la fórmula. 
:
Dado que el determinante de la matriz principal del sistema es diferente de cero, el SLAE tiene una solución única y se puede encontrar mediante el método de Cramer. Anotemos los determinantes y . Sustituimos la primera columna de la matriz principal del sistema por una columna de términos libres y obtenemos el determinante 
. De manera similar, reemplazamos la segunda columna de la matriz principal con la columna de términos libres y obtenemos.
Calculamos estos determinantes: 
Encuentra las variables desconocidas x 1 y x 2 usando las fórmulas 
:
Vamos a revisar. Sustituyamos los valores obtenidos x 1 y x 2 en el sistema de ecuaciones original: 
Ambas ecuaciones del sistema se vuelven identidades, por lo tanto, la solución se encontró correctamente.
Respuesta:
.
Algunos elementos de la matriz principal del SLAE pueden ser iguales a cero. En este caso, las variables desconocidas correspondientes estarán ausentes de las ecuaciones del sistema. Veamos un ejemplo.
Ejemplo.
Encuentra la solución a un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer. 
.
Solución.
Reescribamos el sistema en la forma 
, de modo que la matriz principal del sistema se vuelve visible 
. Encontremos su determinante usando la fórmula. 
Tenemos 
El determinante de la matriz principal es distinto de cero, por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única. Encontrémoslo usando el método de Cramer. Calculemos los determinantes. 
:
De este modo, 
Respuesta:
Las designaciones de variables desconocidas en las ecuaciones del sistema pueden diferir de x 1, x 2, ..., x n. Esto no afecta el proceso de decisión. Pero el orden de las variables desconocidas en las ecuaciones del sistema es muy importante a la hora de compilar la matriz principal y los determinantes necesarios del método de Cramer. Aclaremos este punto con un ejemplo.
Ejemplo.
Usando el método de Cramer, encuentre una solución a un sistema de tres ecuaciones algebraicas lineales con tres incógnitas. 
.
Solución.
En este ejemplo, las variables desconocidas tienen una notación diferente (x, y y z en lugar de x 1, x 2 y x 3). Esto no afecta la solución, pero tenga cuidado con las notaciones variables. NO PUEDES tomarlo como matriz principal del sistema. 
. Primero es necesario ordenar las variables desconocidas en todas las ecuaciones del sistema. Para hacer esto, reescribimos el sistema de ecuaciones como 
. Ahora la matriz principal del sistema es claramente visible. 
. Calculemos su determinante: 
El determinante de la matriz principal es distinto de cero, por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene solución única. Encontrémoslo usando el método de Cramer. Anotemos los determinantes. 
(presta atención a la notación) y calcúlalos: 
Queda por encontrar las variables desconocidas usando las fórmulas. 
:
Vamos a revisar. Para hacer esto, multiplique la matriz principal por la solución resultante (si es necesario, consulte la sección): 
Como resultado, obtuvimos una columna de términos libres del sistema de ecuaciones original, por lo que la solución se encontró correctamente.
Respuesta:
x = 0, y = -2, z = 3.
Ejemplo.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer. 
, donde a y b son algunos números reales.
Solución.
Respuesta:
Ejemplo.
Encuentra la solución al sistema de ecuaciones. 
según el método de Cramer, algún número real.
Solución.
Calculemos el determinante de la matriz principal del sistema: . La expresión es un intervalo, por lo tanto, para cualquier valor real. En consecuencia, el sistema de ecuaciones tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método de Cramer. Calculamos y: 
Para dominar este párrafo, debes poder revelar los determinantes “dos por dos” y “tres por tres”. Si eres malo con los clasificatorios, estudia la lección. ¿Cómo calcular el determinante?
Primero, veremos más de cerca la regla de Cramer para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ¿Para qué? - Después de todo el sistema más simple puede ser resuelto metodo escolar, ¡por el método de suma término por término!
El hecho es que a veces, pero a veces existe tal tarea: resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer. En segundo lugar, un ejemplo más sencillo le ayudará a comprender cómo utilizar la regla de Cramer para obtener más información. caso complejo– sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, ¡que es recomendable resolver utilizando la regla de Cramer!
Considere el sistema de ecuaciones.
En el primer paso, calculamos el determinante, se llama principal determinante del sistema.
Método de Gauss.
Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces debemos calcular dos determinantes más:
Y
En la práctica, los calificativos anteriores también pueden denotarse letra latina.
Encontramos las raíces de la ecuación usando las fórmulas:
,
Ejemplo 7
Resolver un sistema de ecuaciones lineales. 
Solución: Vemos que los coeficientes de la ecuación son bastante grandes, en el lado derecho hay decimales con una coma. La coma es un invitado bastante raro en tareas practicas En matemáticas, tomé este sistema de un problema econométrico.
¿Cómo resolver tal sistema? Puede intentar expresar una variable en términos de otra, pero en este caso probablemente terminará con fracciones terriblemente extravagantes con las que es extremadamente incómodo trabajar, y el diseño de la solución se verá simplemente terrible. Puedes multiplicar la segunda ecuación por 6 y restar término por término, pero aquí también surgirán las mismas fracciones.
¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer acuden al rescate.
;
;
Respuesta: ,
Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.
No son necesarios comentarios aquí, ya que el problema se resuelve utilizando fórmulas ya preparadas, pero hay una advertencia. Cuándo usar este método, obligatorio Un fragmento del diseño de la tarea es el siguiente fragmento: “Esto significa que el sistema tiene una solución única”. De lo contrario, el revisor puede castigarlo por faltarle el respeto al teorema de Cramer.
No sería superfluo comprobar lo que conviene realizar en una calculadora: sustituimos valores aproximados en lado izquierdo cada ecuación del sistema. Como resultado, con un pequeño error, deberías obtener números que están en el lado derecho.
Ejemplo 8
Presenta la respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un control.
Este es un ejemplo para decisión independiente(ejemplo de finalización y respuesta al final de la lección).
Pasemos a considerar la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 
Encontramos el principal determinante del sistema: 
Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará; es necesario utilizar el método de Gauss.
Si , entonces el sistema tiene solución única y para encontrar las raíces debemos calcular tres determinantes más: 
, 
, 
Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas: 
Como puede ver, el caso "tres por tres" no es fundamentalmente diferente del caso "dos por dos" la columna de términos libres "camina" secuencialmente de izquierda a derecha a lo largo de las columnas del determinante principal;
Ejemplo 9
Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer. 
Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer. 
, lo que significa que el sistema tiene una solución única.
Respuesta: 
.
En realidad, tampoco aquí hay nada especial que comentar, debido a que la solución sigue fórmulas ya preparadas. Pero hay un par de comentarios.
Sucede que como resultado de los cálculos se obtienen fracciones irreducibles “malas”, por ejemplo: .
Recomiendo el siguiente algoritmo de "tratamiento". Si no tienes una computadora a mano, haz esto:
1) Puede haber un error en los cálculos. Tan pronto como encuentre una fracción "mala", debe verificarla inmediatamente ¿Se reescribe la condición correctamente?. Si la condición se reescribe sin errores, entonces es necesario recalcular los determinantes mediante la expansión en otra fila (columna).
2) Si no se identifican errores como resultado de la verificación, lo más probable es que haya un error tipográfico en las condiciones de la tarea. En este caso, trabaje con calma y CUIDADO en la tarea hasta el final, y luego asegúrese de comprobar y lo redactamos en blanco después de la decisión. Por supuesto, verificar una respuesta fraccionaria es una tarea desagradable, pero será un argumento convincente para el maestro, a quien realmente le gusta dar un menos por cualquier tontería como . Cómo manejar fracciones se describe en detalle en la respuesta al Ejemplo 8.
Si tiene una computadora a mano, use un programa automatizado para verificar, que puede descargar de forma gratuita al comienzo de la lección. Por cierto, lo más rentable es utilizar el programa de inmediato (incluso antes de iniciar la solución, verá inmediatamente el paso intermedio en el que cometió un error); La misma calculadora calcula automáticamente la solución al sistema. método matricial.
Segunda observación. De vez en cuando hay sistemas en cuyas ecuaciones faltan algunas variables, por ejemplo: 
Aquí en la primera ecuación no hay variable, en la segunda no hay variable. En tales casos, es muy importante anotar correcta y CUIDADOSAMENTE el determinante principal: 
– Se colocan ceros en lugar de las variables que faltan.
Por cierto, es racional abrir determinantes con ceros según la fila (columna) en la que se encuentra el cero, ya que hay notablemente menos cálculos.
Ejemplo 10
Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer. 
Este es un ejemplo de una solución independiente (una muestra del diseño final y la respuesta al final de la lección).
Para el caso de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, las fórmulas de Cramer se escriben según principios similares. Puedes ver un ejemplo en vivo en la lección Propiedades de los determinantes. Reducir el orden del determinante: cinco determinantes de cuarto orden son bastante solucionables. Aunque la tarea ya recuerda mucho al zapato de un profesor en el pecho de un estudiante afortunado.
Resolver el sistema usando una matriz inversa.
Método matriz inversa- esto es esencialmente caso especial ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).
Para estudiar esta sección, debes poder expandir determinantes, encontrar la inversa de una matriz y realizar multiplicaciones de matrices. Se proporcionarán enlaces relevantes a medida que avancen las explicaciones.
Ejemplo 11
Resolver el sistema usando el método matricial. 
Solución: Escribamos el sistema en forma matricial:
, Dónde 
Mire el sistema de ecuaciones y matrices. Creo que todo el mundo comprende el principio mediante el cual escribimos elementos en matrices. El único comentario: si faltaran algunas variables en las ecuaciones, entonces habría que colocar ceros en los lugares correspondientes de la matriz.
Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:
, donde está la matriz transpuesta sumas algebraicas elementos de la matriz correspondientes.
Primero, veamos el determinante:
Aquí el determinante se expande en la primera línea.
¡Atención! Si , entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema utilizando el método matricial. En este caso, el sistema se resuelve mediante el método de eliminación de incógnitas (método de Gauss).
Ahora necesitamos calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores. 
Referencia: Es útil conocer el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de la línea en la que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento: 
Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna y, por ejemplo, el elemento está en 3 filas, 2 columnas.
Durante la solución, es mejor describir en detalle el cálculo de los menores, aunque con algo de experiencia podrás acostumbrarte a calcularlos con errores de forma oral.
El método de Cramer o la llamada regla de Cramer es un método para buscar cantidades desconocidas a partir de sistemas de ecuaciones. Se puede utilizar sólo si el número de valores buscados es equivalente al número de ecuaciones algebraicas del sistema, es decir, la matriz principal formada a partir del sistema debe ser cuadrada y no contener filas cero, y también si su determinante debe no ser cero.
Teorema 1
teorema de cramer Si el determinante principal $D$ de la matriz principal, elaborado sobre la base de los coeficientes de las ecuaciones, no es igual a cero, entonces el sistema de ecuaciones es consistente y tiene una solución única. La solución de dicho sistema se calcula mediante las llamadas fórmulas de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales: $x_i = \frac(D_i)(D)$
¿Qué es el método Cramer?
La esencia del método de Cramer es la siguiente:
- Para encontrar una solución al sistema usando el método de Cramer, primero calculamos el determinante principal de la matriz $D$. Cuando el determinante calculado de la matriz principal, calculado según el método de Cramer, resulta igual a cero, entonces el sistema no tiene una única solución o tiene un número infinito de soluciones. En este caso, para encontrar una respuesta general o básica para el sistema, se recomienda utilizar el método gaussiano.
- Luego debes reemplazar la columna más externa de la matriz principal con una columna de términos libres y calcular el determinante $D_1$.
- Repita lo mismo para todas las columnas, obteniendo determinantes de $D_1$ a $D_n$, donde $n$ es el número de la columna más a la derecha.
- Después de encontrar todos los determinantes $D_1$...$D_n$, las variables desconocidas se pueden calcular usando la fórmula $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Técnicas para calcular el determinante de una matriz.
Para calcular el determinante de una matriz con una dimensión mayor que 2 por 2, puedes utilizar varios métodos:
- La regla de los triángulos, o regla de Sarrus, recuerda a la misma regla. La esencia del método del triángulo es que al calcular el determinante, los productos de todos los números conectados en la figura por la línea roja de la derecha se escriben con un signo más, y todos los números conectados de manera similar en la figura de la izquierda. se escriben con un signo menos. Ambas reglas son adecuadas para matrices de tamaño 3 x 3. En el caso de la regla de Sarrus, primero se reescribe la propia matriz y, junto a ella, se reescriben de nuevo la primera y la segunda columna. Las diagonales se dibujan a través de la matriz y estas columnas adicionales de la matriz que se encuentran en la diagonal principal o paralelas a ella se escriben con un signo más, y los elementos que se encuentran en la diagonal secundaria o paralelas a ella se escriben con un signo menos.
Figura 1. Regla del triángulo para calcular el determinante del método de Cramer
- Utilizando un método conocido como método gaussiano, este método a veces también se denomina reducción del orden del determinante. En este caso, la matriz se transforma y se reduce a vista triangular, y luego se multiplican todos los números de la diagonal principal. Cabe recordar que al buscar un determinante de esta forma, no se pueden multiplicar ni dividir filas o columnas por números sin sacarlos como multiplicador o divisor. En el caso de buscar un determinante, sólo es posible restar y sumar filas y columnas entre sí, habiendo multiplicado previamente la fila restada por un factor distinto de cero. Además, siempre que reorganices las filas o columnas de la matriz, debes recordar la necesidad de cambiar el signo final de la matriz.
- Al resolver un SLAE con 4 incógnitas usando el método de Cramer, lo mejor es usar el método de Gauss para buscar y encontrar determinantes o determinar el determinante buscando menores.
Resolver sistemas de ecuaciones usando el método de Cramer.
Apliquemos el método de Cramer para un sistema de 2 ecuaciones y dos cantidades requeridas:
$\begin(casos) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(casos)$
Mostrémoslo en forma ampliada para mayor comodidad:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Encontremos el determinante de la matriz principal, también llamado determinante principal del sistema:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Si el determinante principal no es igual a cero, entonces para resolver el problema usando el método de Cramer es necesario calcular un par de determinantes más a partir de dos matrices con las columnas de la matriz principal reemplazadas por una fila de términos libres:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Ahora encontremos las incógnitas $x_1$ y $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Ejemplo 1
Método de Cramer para la resolución de SLAE con una matriz principal de 3er orden (3 x 3) y tres requeridas.
Resuelve el sistema de ecuaciones:
$\begin(casos) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(casos)$
Calculemos el determinante principal de la matriz usando la regla indicada anteriormente en el punto número 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
Y ahora otros tres determinantes:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ punto 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 y 21 y 4 \\3 y 9 y 2 \\ 2 y 10 y 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60
Encontremos las cantidades requeridas:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
En la primera parte, analizamos algo de material teórico, el método de sustitución, así como el método de suma término por término de ecuaciones del sistema. Recomiendo a todos los que accedieron al sitio a través de esta página que lean la primera parte. Quizás algunos visitantes encuentren el material demasiado simple, pero en el proceso de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, hice una serie de comentarios y conclusiones muy importantes sobre la solución de problemas matemáticos en general.
Ahora analizaremos la regla de Cramer, además de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa (método matricial). Todos los materiales se presentan de forma sencilla, detallada y clara; casi todos los lectores podrán aprender a resolver sistemas utilizando los métodos anteriores.
Primero, veremos más de cerca la regla de Cramer para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ¿Para qué? – Después de todo, el sistema más simple se puede resolver utilizando el método escolar, ¡el método de suma término por término!
El hecho es que a veces, pero a veces existe tal tarea: resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer. En segundo lugar, un ejemplo más sencillo le ayudará a comprender cómo utilizar la regla de Cramer para un caso más complejo: un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, ¡que es recomendable resolver utilizando la regla de Cramer!
Considere el sistema de ecuaciones.
En el primer paso, calculamos el determinante, se llama principal determinante del sistema.
Método de Gauss.
Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces debemos calcular dos determinantes más:
Y
En la práctica, los calificativos anteriores también pueden indicarse con una letra latina.
Encontramos las raíces de la ecuación usando las fórmulas:
,
Ejemplo 7
Resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Solución: Vemos que los coeficientes de la ecuación son bastante grandes; en el lado derecho hay fracciones decimales con coma. La coma es un invitado bastante raro en las tareas prácticas de matemáticas; tomé este sistema de un problema econométrico.
¿Cómo resolver tal sistema? Puede intentar expresar una variable en términos de otra, pero en este caso probablemente terminará con fracciones terriblemente extravagantes con las que es extremadamente incómodo trabajar, y el diseño de la solución se verá simplemente terrible. Puedes multiplicar la segunda ecuación por 6 y restar término por término, pero aquí también surgirán las mismas fracciones.
¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer acuden al rescate.
;
;
Respuesta: ,
Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.
No son necesarios comentarios aquí, ya que el problema se resuelve utilizando fórmulas ya preparadas, pero hay una advertencia. Al utilizar este método, obligatorio Un fragmento del diseño de la tarea es el siguiente fragmento: “Esto significa que el sistema tiene una solución única”. De lo contrario, el revisor puede castigarlo por faltarle el respeto al teorema de Cramer.
No sería superfluo comprobar lo que se puede hacer cómodamente en una calculadora: sustituimos valores aproximados en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema. Como resultado, con un pequeño error, deberías obtener números que están en el lado derecho.
Ejemplo 8
Presenta la respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un control.
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (un ejemplo del diseño final y la respuesta al final de la lección).
Pasemos a considerar la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 
Encontramos el principal determinante del sistema: 
Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará; es necesario utilizar el método de Gauss.
Si , entonces el sistema tiene solución única y para encontrar las raíces debemos calcular tres determinantes más: 
, , 
Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas: 
Como puede ver, el caso "tres por tres" no es fundamentalmente diferente del caso "dos por dos" la columna de términos libres "camina" secuencialmente de izquierda a derecha a lo largo de las columnas del determinante principal;
Ejemplo 9
Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer.
Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer. 
, lo que significa que el sistema tiene una solución única.
Respuesta: 
.
En realidad, tampoco aquí hay nada especial que comentar, debido a que la solución sigue fórmulas ya preparadas. Pero hay un par de comentarios.
Sucede que como resultado de los cálculos se obtienen fracciones irreducibles “malas”, por ejemplo: .
Recomiendo el siguiente algoritmo de "tratamiento". Si no tienes una computadora a mano, haz esto:
1) Puede haber un error en los cálculos. Tan pronto como encuentre una fracción "mala", debe verificarla inmediatamente ¿Se reescribe la condición correctamente?. Si la condición se reescribe sin errores, entonces es necesario recalcular los determinantes mediante la expansión en otra fila (columna).
2) Si no se identifican errores como resultado de la verificación, lo más probable es que haya un error tipográfico en las condiciones de la tarea. En este caso, trabaje con calma y CUIDADO en la tarea hasta el final, y luego asegúrese de comprobar y lo redactamos en blanco después de la decisión. Por supuesto, verificar una respuesta fraccionaria es una tarea desagradable, pero será un argumento convincente para el maestro, a quien realmente le gusta dar un menos por cualquier tontería como . Cómo manejar fracciones se describe en detalle en la respuesta al Ejemplo 8.
Si tiene una computadora a mano, use un programa automatizado para verificar, que puede descargar de forma gratuita al comienzo de la lección. Por cierto, lo más rentable es utilizar el programa de inmediato (incluso antes de iniciar la solución, verá inmediatamente el paso intermedio en el que cometió un error); La misma calculadora calcula automáticamente la solución del sistema mediante el método matricial.
Segunda observación. De vez en cuando hay sistemas en cuyas ecuaciones faltan algunas variables, por ejemplo: 
Aquí en la primera ecuación no hay variable, en la segunda no hay variable. En tales casos, es muy importante anotar correcta y CUIDADOSAMENTE el determinante principal: 
– Se colocan ceros en lugar de las variables que faltan.
Por cierto, es racional abrir determinantes con ceros según la fila (columna) en la que se encuentra el cero, ya que hay notablemente menos cálculos.
Ejemplo 10
Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer. 
Este es un ejemplo de una solución independiente (una muestra del diseño final y la respuesta al final de la lección).
Para el caso de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, las fórmulas de Cramer se escriben según principios similares. Puedes ver un ejemplo en vivo en la lección Propiedades de los determinantes. Reducir el orden del determinante: cinco determinantes de cuarto orden son bastante solucionables. Aunque la tarea ya recuerda mucho al zapato de un profesor en el pecho de un estudiante afortunado.
Resolver el sistema usando una matriz inversa.
El método de la matriz inversa es esencialmente un caso especial. ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).
Para estudiar esta sección, debes poder expandir determinantes, encontrar la inversa de una matriz y realizar multiplicaciones de matrices. Se proporcionarán enlaces relevantes a medida que avancen las explicaciones.
Ejemplo 11
Resolver el sistema usando el método matricial.
Solución: Escribamos el sistema en forma matricial:
, Dónde 
Mire el sistema de ecuaciones y matrices. Creo que todo el mundo comprende el principio mediante el cual escribimos elementos en matrices. El único comentario: si faltaran algunas variables en las ecuaciones, entonces habría que colocar ceros en los lugares correspondientes de la matriz.
Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:
, donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.
Primero, veamos el determinante:
Aquí el determinante se expande en la primera línea.
¡Atención! Si , entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema utilizando el método matricial. En este caso, el sistema se resuelve mediante el método de eliminación de incógnitas (método de Gauss).
Ahora necesitamos calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores.
Referencia: Es útil conocer el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de la línea en la que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento: 
Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna y, por ejemplo, el elemento está en 3 filas, 2 columnas.
