Hogar Odontología Tipos particulares de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y órdenes superiores.

Odontología

Tipos particulares de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y órdenes superiores.

Conceptos básicos para resolver lineales no homogéneos. ecuaciones diferenciales segundo orden (LNDU-2) con coeficientes constantes(ORDENADOR PERSONAL)

Un LDDE de segundo orden con coeficientes constantes $p$ y $q$ tiene la forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, donde $f\left(x \right)$ es una función continua.

Con respecto a LNDU 2 con PC, las dos afirmaciones siguientes son ciertas.

Supongamos que alguna función $U$ es una solución parcial arbitraria de una ecuación diferencial no homogénea. Supongamos también que alguna función $Y$ es la solución general (GS) de la correspondiente ecuación diferencial lineal homogénea (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Entonces la GS de LHDE-2 es igual a la suma de las soluciones privadas y generales indicadas, es decir, $y=U+Y$.

Si lado derecho El LPDE de segundo orden es la suma de funciones, es decir, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, entonces primero podemos encontrar los PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ que corresponden a cada una de las funciones $f_ (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, y después de eso escribe el CR LNDU-2 en la forma $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solución de LPDE de 2do orden con PC

Es obvio que el tipo de uno u otro PD $U$ de un LNDU-2 dado depende de la forma específica de su lado derecho $f\left(x\right)$. Los casos más simples de búsqueda de PD LNDU-2 se formulan en forma de las siguientes cuatro reglas.

Regla #1.

El lado derecho de LNDU-2 tiene la forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, donde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, es decir, se llama a polinomio de grado $n$. Entonces su PD $U$ se busca en la forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, donde $Q_(n) \left(x\right)$ es otra polinomio de ese mismo grado que $P_(n) \left(x\right)$, y $r$ es el número de raíces ecuación característica correspondiente a LOD-2, igual a cero. Los coeficientes del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ se encuentran mediante el método de coeficientes indefinidos (UK).

Regla número 2.

El lado derecho de LNDU-2 tiene la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, donde $P_(n) \left( x\right)$ es un polinomio de grado $n$. Entonces su PD $U$ se busca en la forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, donde $Q_(n ) \ left(x\right)$ es otro polinomio del mismo grado que $P_(n) \left(x\right)$, y $r$ es el número de raíces de la ecuación característica del correspondiente LODE-2 igual a $\alfa $. Los coeficientes del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ se encuentran mediante el método NC.

Regla número 3.

El lado derecho de LNDU-2 tiene la forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, donde $a$, $b$ y $\beta$ son números conocidos. Entonces su PD $U$ se busca en la forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, donde $A$ y $B$ son coeficientes desconocidos, y $r$ es el número de raíces de la ecuación característica de la LODE-2 correspondiente, igual a $i\cdot \beta$. Los coeficientes $A$ y $B$ se encuentran utilizando el método no destructivo.

Regla número 4.

El lado derecho de LNDU-2 tiene la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, donde $P_(n) \left(x\right)$ es un polinomio de grado $ n$, y $P_(m) \left(x\right)$ es un polinomio de grado $m$. Entonces su PD $U$ se busca en la forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, donde $Q_(s) \left(x\right)$ y $ R_(s) \left(x\right)$ son polinomios de grado $s$, el número $s$ es el máximo de dos números $n$ y $m$, y $r$ es el número de raíces de la ecuación característica de la LODE-2 correspondiente, igual a $\alpha +i\cdot \beta $. Los coeficientes de los polinomios $Q_(s) \left(x\right)$ y $R_(s) \left(x\right)$ se encuentran mediante el método NC.

El método NK consiste en aplicar la siguiente regla. Para encontrar los coeficientes desconocidos del polinomio que forman parte de la solución parcial de la ecuación diferencial no homogénea LNDU-2, es necesario:

sustituir el PD $U$ escrito en vista general, V. lado izquierdo LNDU-2;
en el lado izquierdo de LNDU-2, realice simplificaciones y agrupe términos con las mismas potencias $x$;
en la identidad resultante, igualar los coeficientes de términos con las mismas potencias $x$ de los lados izquierdo y derecho;
resuelva el sistema resultante de ecuaciones lineales para coeficientes desconocidos.

Ejemplo 1

Tarea: encontrar OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Encuentra también PD , satisfaciendo las condiciones iniciales $y=6$ para $x=0$ y $y"=1$ para $x=0$.

Anotamos el LOD-2 correspondiente: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Ecuación característica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Las raíces de la ecuación característica son: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Estas raíces son válidas y distintas. Por lo tanto, el OR de la LODE-2 correspondiente tiene la forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

El lado derecho de este LNDU-2 tiene la forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Es necesario considerar el coeficiente del exponente $\alpha =3$. Este coeficiente no coincide con ninguna de las raíces de la ecuación característica. Por lo tanto, la PD de este LNDU-2 tiene la forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Buscaremos los coeficientes $A$, $B$ usando el método NC.

Encontramos la primera derivada de la República Checa:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Encontramos la segunda derivada de la República Checa:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(() ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Sustituimos las funciones $U""$, $U"$ y $U$ en lugar de $y""$, $y"$ y $y$ en el NLDE-2 $y""-3\cdot y" dado -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Además, dado que el exponente $e^(3\cdot x) $ se incluye como factor. en todos los componentes, entonces se puede omitir. Obtenemos:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Realizamos las acciones en el lado izquierdo de la igualdad resultante:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Utilizamos el método END. Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

La solución a este sistema es: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para nuestro problema se ve así: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

El OR $y=Y+U$ para nuestro problema se ve así: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ izquierda(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Para buscar una PD que satisfaga las condiciones iniciales dadas, encontramos la derivada $y"$ del OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Sustituimos en $y$ y $y"$ las condiciones iniciales $y=6$ por $x=0$ y $y"=1$ por $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Recibimos un sistema de ecuaciones:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Resolvámoslo. Encontramos $C_(1) $ usando la fórmula de Cramer, y $C_(2) $ lo determinamos a partir de la primera ecuación:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ comenzar(matriz)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Por lo tanto, la PD de esta ecuación diferencial tiene la forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Aquí aplicaremos el método de variación de las constantes de Lagrange para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden. Descripción detallada este método para resolver ecuaciones de orden arbitrario se describe en la página
Solución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de órdenes superiores por el método de Lagrange >>>.

Ejemplo 1

Resuelva una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes utilizando el método de variación de las constantes de Lagrange:
(1)

Solución

Primero resolvemos la ecuación diferencial homogénea:
(2)

Esta es una ecuación de segundo orden.

Resolviendo la ecuación cuadrática:
.
Múltiples raíces: .
(3) .
El sistema fundamental de soluciones de la ecuación (2) tiene la forma: De aquí obtenemos la solución general. (2):
(4) .

ecuación homogénea 1 Variando las constantes C 2 y C
.
. Es decir, reemplazamos las constantes en (4) con funciones: Buscando una solución
(5) .

ecuación original
.
(1) como:
(6) .
Encontrar la derivada:
.

Conectemos las funciones y la ecuación:
.
Entonces
(1) ;

.
Encontramos la segunda derivada:
(7) .
Sustituya en la ecuación original (1):

Dado que y satisfacen la ecuación homogénea (2), la suma de los términos en cada columna de las últimas tres filas da cero y la ecuación anterior toma la forma:
(6) :
(7) .

Aquí .

Junto con la ecuación (6) obtenemos un sistema de ecuaciones para determinar las funciones y:
.
Resolver un sistema de ecuaciones
;
.

Resolvemos el sistema de ecuaciones (6-7) usando el método de Cramer. Calculamos el determinante de la matriz del sistema:

.
Usando las fórmulas de Cramer encontramos:
;
.

Entonces, encontramos las derivadas de las funciones:
;
.
Integremos (ver Métodos para integrar raíces). Hacer una sustitución
; ; ; .

.
.

;
.

Respuesta

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación diferencial por el método de variación de las constantes de Lagrange:
(8)

Solución

Paso 1. Resolver la ecuación homogénea.

Resolvemos la ecuación diferencial homogénea:

(9)
Estamos buscando una solución en el formulario.

Hacemos la ecuación característica:
.
Esta ecuación tiene raíces complejas:
(10) .
El sistema fundamental de soluciones correspondiente a estas raíces tiene la forma:
(11) .

Solución general de la ecuación homogénea (9):

Paso 2. Variación de constantes: sustitución de constantes por funciones 1 Variando las constantes C 2 Ahora variamos las constantes C
.
.
(12) .

Es decir, reemplazamos las constantes en (11) con funciones: Buscamos una solución a la ecuación original (8) en la forma: Además, el progreso de la solución es el mismo que en el ejemplo 1. Llegamos a
(13) :
(14) .
Sustituya en la ecuación original (1):

Aquí .

siguiente sistema
.
ecuaciones para determinar funciones y:
;
.

Resolvamos este sistema. Escribamos las expresiones de las funciones y:

.
Usando las fórmulas de Cramer encontramos:
;
.

.
De la tabla de derivadas encontramos:
.
Encontrar la derivada:
.

Resolvemos el sistema de ecuaciones (13-14) usando el método de Cramer. Determinante de la matriz del sistema:

.

Dado que , se puede omitir el signo del módulo debajo del signo del logaritmo. Multiplica el numerador y denominador por: Solución general a la ecuación original:

Ecuación diferencial lineal de segundo orden."" + llamada ecuación de la forma(y)Ecuación diferencial lineal de segundo orden." + pag(y)Ecuación diferencial lineal de segundo orden. = incógnita(y) ,

q Ecuación diferencial lineal de segundo orden. F llamada ecuación de la forma(y) , pag(y Dónde incógnita(y es la función a encontrar, y ) Y) .

) - funciones continuas en un intervalo determinado ( incógnita(y a, b Si el lado derecho de la ecuación es cero ( ) = 0), entonces la ecuación se llama incógnita(y ecuación lineal homogénea

. La parte práctica de esta lección estará dedicada principalmente a este tipo de ecuaciones. Si el lado derecho de la ecuación no es igual a cero ( Ecuación diferencial lineal de segundo orden."" :

Ecuación diferencial lineal de segundo orden."" = −llamada ecuación de la forma(y)Ecuación diferencial lineal de segundo orden." − pag(y)Ecuación diferencial lineal de segundo orden. + incógnita(y) .

) ≠ 0), entonces la ecuación se llama . En los problemas se nos pide que resuelvamos la ecuación para .

Las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden tienen una solución única

problemas de cauchy

Si Ecuación diferencial lineal de segundo orden.1 (y) Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y su solución. Ecuación diferencial lineal de segundo orden.2 (y) Considere una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:

1) Ecuación diferencial lineal de segundo orden.1 (y) + Ecuación diferencial lineal de segundo orden. 2 (y) Y

2) son soluciones particulares de esta ecuación, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:1 (y) - es también una solución a esta ecuación; cy, Dónde

cy1 Ecuación diferencial lineal de segundo orden. 1 (y) + cy 2 Ecuación diferencial lineal de segundo orden. 2 (y)

- una constante arbitraria (constante), también es una solución a esta ecuación.

De estas dos afirmaciones se deduce que la función también es una solución a esta ecuación. Surge una pregunta justa: ¿es esta solución? cy1 Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y su solución. cy2 ¿Es posible obtener todas las soluciones posibles a la ecuación?

La respuesta a esta pregunta es: tal vez, pero bajo ciertas condiciones. Este Condición sobre qué propiedades deben tener soluciones particulares. Ecuación diferencial lineal de segundo orden.1 (y) Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y su solución. Ecuación diferencial lineal de segundo orden.2 (y) .

Y esta condición se llama condición. independencia lineal soluciones privadas.

Teorema. Función cy1 Ecuación diferencial lineal de segundo orden. 1 (y) + cy 2 Ecuación diferencial lineal de segundo orden. 2 (y) es una solución general a una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden si las funciones Ecuación diferencial lineal de segundo orden.1 (y) Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y su solución. Ecuación diferencial lineal de segundo orden.2 (y) linealmente independiente.

Definición. Funciones Ecuación diferencial lineal de segundo orden.1 (y) Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y su solución. Ecuación diferencial lineal de segundo orden.2 (y) se llaman linealmente independientes si su relación es una constante distinta de cero:

Ecuación diferencial lineal de segundo orden.1 (y)/Ecuación diferencial lineal de segundo orden. 2 (y) = k ; k = constante ; k ≠ 0 .

Sin embargo, determinar por definición si estas funciones son linealmente independientes suele ser muy laborioso. Existe una manera de establecer la independencia lineal utilizando el determinante de Wronski. W.(y) :

Si el determinante de Wronski no es igual a cero, entonces las soluciones son linealmente independientes . Si el determinante de Wronski es cero, entonces las soluciones son linealmente dependientes.

Ejemplo 1. Encuentre la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea.

Solución. Integramos dos veces y, como es fácil comprobar, para que la diferencia entre la segunda derivada de una función y la propia función sea igual a cero, las soluciones deben estar asociadas a una exponencial cuya derivada sea igual a ella misma. Es decir, las soluciones parciales son y .

Desde el determinante de Wronski

no es igual a cero, entonces estas soluciones son linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación se puede escribir como

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes: teoría y práctica

Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes Solución general a la ecuación original:

Ecuación diferencial lineal de segundo orden."" + py" + qy = 0 ,

q llamada ecuación de la forma Y pag- valores constantes.

El hecho de que se trata de una ecuación de segundo orden se indica por la presencia de la segunda derivada de la función deseada, y su homogeneidad se indica por el cero en el lado derecho. Los valores ya mencionados anteriormente se denominan coeficientes constantes.

A resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes , primero debes resolver la llamada ecuación característica de la forma

k² + pq + pag = 0 ,

que, como puede verse, es una ecuación cuadrática ordinaria.

Dependiendo de la solución de la ecuación característica, son posibles tres opciones diferentes. soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes , que ahora analizaremos. Para mayor precisión, asumiremos que todas las soluciones particulares han sido probadas por el determinante de Wronski y que no es igual a cero en todos los casos. Quienes lo duden, sin embargo, pueden comprobarlo ellos mismos.

Las raíces de la ecuación característica son reales y distintas.

En otras palabras, . En este caso, la solución a una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma

Ejemplo 2. Resolver una ecuación diferencial lineal homogénea

Ejemplo 3. Resolver una ecuación diferencial lineal homogénea

Solución. La ecuación característica tiene la forma , sus raíces y son reales y distintas. Las soluciones parciales correspondientes de la ecuación son: y . La solución general de esta ecuación diferencial tiene la forma

Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales.

Eso es, . En este caso, la solución a una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma

Ejemplo 4. Resolver una ecuación diferencial lineal homogénea

Solución. Ecuación característica tiene raíces iguales. Las soluciones parciales correspondientes de la ecuación son: y . La solución general de esta ecuación diferencial tiene la forma

Ejemplo 5. Resolver una ecuación diferencial lineal homogénea

Solución. La ecuación característica tiene raíces iguales. Las soluciones parciales correspondientes de la ecuación son: y . La solución general de esta ecuación diferencial tiene la forma

Institución educativa "Estado bielorruso

Academia Agrícola"

Departamento de Matemáticas Superiores

Pautas

estudiar el tema “Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden” por estudiantes de la facultad de contabilidad de educación por correspondencia (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuaciones diferenciales lineales

segundo orden con constantescoeficientes

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. llamada ecuación de la forma

aquellos. una ecuación que contiene la función deseada y sus derivadas solo hasta el primer grado y no contiene sus productos. En esta ecuación Y
- algunos números y una función
dado en un cierto intervalo
.

Si
en el intervalo
, entonces la ecuación (1) tomará la forma

, (2)

y se llama lineal homogéneo . De lo contrario, la ecuación (1) se llama lineal no homogéneo .

Considere la función compleja

, (3)

Dónde
Y
- funciones reales. Si la función (3) es una solución compleja de la ecuación (2), entonces la parte real
, y parte imaginaria
soluciones
por separado son soluciones de la misma ecuación homogénea. Así, todo solución integral La ecuación (2) genera dos soluciones reales a esta ecuación.

Soluciones de homogéneas. ecuación lineal tener propiedades:

Si es una solución a la ecuación (2), entonces la función
, Dónde CON– una constante arbitraria también será una solución a la ecuación (2);

Si Y hay soluciones a la ecuación (2), entonces la función
también será una solución a la ecuación (2);

Si Y hay soluciones a la ecuación (2), entonces su combinación lineal
también será una solución a la ecuación (2), donde Y
– constantes arbitrarias.

Funciones
Y
son llamados linealmente dependiente en el intervalo
, si tales números existen Y
, no igual a cero al mismo tiempo, que en este intervalo la igualdad

Si la igualdad (4) ocurre sólo cuando
Y
, entonces las funciones
Y
son llamados linealmente independiente en el intervalo
.

Ejemplo 1 . Funciones
Y
son linealmente dependientes, ya que
en toda la recta numérica. En este ejemplo
.

Ejemplo 2 . Funciones
Y
son linealmente independientes en cualquier intervalo, ya que la igualdad
sólo es posible en el caso de que
, Y
.

Construcción solución general lineal homogéneo

ecuaciones

Para encontrar una solución general a la ecuación (2), es necesario encontrar dos de sus soluciones linealmente independientes. Y . Combinación lineal de estas soluciones.
, Dónde Y
son constantes arbitrarias y darán una solución general a una ecuación lineal homogénea.

Buscaremos soluciones linealmente independientes a la ecuación (2) en la forma

, (5)

Dónde – un cierto número. Entonces
,
. Sustituyamos estas expresiones en la ecuación (2):

o
.

Porque
, Eso
. Entonces la función
será una solución a la ecuación (2) si satisfará la ecuación

. (6)

La ecuación (6) se llama ecuación característica para la ecuación (2). Esta ecuación es una ecuación cuadrática algebraica.

Dejar Y hay raíces de esta ecuación. Pueden ser reales y diferentes, complejos o reales e iguales. Consideremos estos casos.

deja que las raices Y las ecuaciones características son reales y distintas. Entonces las soluciones a la ecuación (2) serán las funciones
Y
. Estas soluciones son linealmente independientes, ya que la igualdad
sólo puede llevarse a cabo cuando
, Y
. Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma

Dónde Y
- constantes arbitrarias.

Ejemplo 3
.

Solución . La ecuación característica de este diferencial será
. Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, encontramos sus raíces.
Y
. Funciones
Y
son soluciones de la ecuación diferencial. La solución general de esta ecuación es
.

numero complejo llamada expresión de la forma
, Dónde Y son números reales y
llamada unidad imaginaria. Si
, entonces el número
Se llama puramente imaginario. Si
, entonces el número
se identifica con un número real .

Número se llama parte real de un número complejo, y - parte imaginaria. Si dos números complejos se diferencian entre sí sólo por el signo de la parte imaginaria, se llaman conjugados:
,
.

Ejemplo 4 . Resolver ecuación cuadrática
.

Solución . Ecuación discriminante
. Entonces. Asimismo,
. Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene raíces complejas conjugadas.

Sean complejas las raíces de la ecuación característica, es decir
,
, Dónde
.
,
Las soluciones de la ecuación (2) se pueden escribir en la forma
,
o

,
.

.
Y
Según las fórmulas de Euler

Entonces ,. Como se sabe, si una función compleja es una solución de una ecuación lineal homogénea, entonces las soluciones de esta ecuación son tanto la parte real como la imaginaria de esta función. Por tanto, las soluciones a la ecuación (2) serán las funciones
Y
. Desde la igualdad

Dónde Y
- constantes arbitrarias.

sólo se puede ejecutar si , entonces estas soluciones son linealmente independientes. Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma
.

Solución Ejemplo 5
. Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
,
. Funciones
Y
. Ecuación

es característico de un diferencial dado. Resolvámoslo y consigamos raíces complejas.
son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial. La solución general de esta ecuación es:
Y
Sean reales e iguales las raíces de la ecuación característica, es decir
Y
. Entonces las soluciones a la ecuación (2) son las funciones
.

. Estas soluciones son linealmente independientes, ya que la expresión puede ser idénticamente igual a cero sólo cuando , entonces estas soluciones son linealmente independientes. Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma
.

Solución . Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma
Ejemplo 6
. Ecuación característica
Y
tiene raíces iguales
.

. En este caso, las soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial son las funciones

. La solución general tiene la forma

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
y el lado derecho especial
La solución general de la ecuación lineal no homogénea (1) es igual a la suma de la solución general:
.

la ecuación homogénea correspondiente y cualquier solución particular
ecuación no homogénea

En algunos casos, una solución particular a una ecuación no homogénea se puede encontrar simplemente mediante la forma del lado derecho ecuación (1). Veamos casos en los que esto es posible. aquellos. el lado derecho de la ecuación no homogénea es un polinomio de grado
metro ecuación (1). Veamos casos en los que esto es posible.. Si

no es una raíz de la ecuación característica, entonces se debe buscar una solución particular a la ecuación no homogénea en forma de un polinomio de grado
, es decir.

Impares
se determinan en el proceso de encontrar una solución particular.

Si , entonces estas soluciones son linealmente independientes. Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma
.

Solución es la raíz de la ecuación característica, entonces se debe buscar una solución particular a la ecuación no homogénea en la forma
Ejemplo 7
. La ecuación homogénea correspondiente a esta ecuación es
Y
. Su ecuación característica
.

Porque
no es raíz de la ecuación característica, entonces buscaremos una solución particular de la ecuación no homogénea en forma de función
. Encontremos las derivadas de esta función.
,
y sustituirlos en esta ecuación:

o . Igualemos los coeficientes para y miembros gratuitos:
Habiendo decidido este sistema, obtenemos
,
. Entonces una solución particular de la ecuación no homogénea tiene la forma
, y la solución general de una ecuación no homogénea dada será la suma de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y la solución particular de la no homogénea:
.

Sea la ecuación no homogénea la forma

Si
no es una raíz de la ecuación característica, entonces se debe buscar en la forma una solución particular a la ecuación no homogénea. Si
es la raíz de la ecuación de multiplicidad característica k (k=1 o k=2), entonces en este caso una solución particular de la ecuación no homogénea tendrá la forma .

Ejemplo 8 , entonces estas soluciones son linealmente independientes. Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma
.

Solución . La ecuación característica de la ecuación homogénea correspondiente tiene la forma
. sus raices
,
. En este caso, la solución general de la ecuación homogénea correspondiente se escribe en la forma
.

Dado que el número 3 no es raíz de la ecuación característica, se debe buscar una solución particular a la ecuación no homogénea en la forma
. Encontremos las derivadas de primer y segundo orden:

Sustituyamos en la ecuación diferencial:
+ +,
+,.

Igualemos los coeficientes para y miembros gratuitos:

Desde aquí
,
. Entonces una solución particular de esta ecuación tiene la forma
y la solución general

Método de Lagrange de variación de constantes arbitrarias.

El método de variación de constantes arbitrarias se puede aplicar a cualquier ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes, independientemente del tipo de lado derecho. Este método le permite encontrar siempre una solución general a una ecuación no homogénea si se conoce la solución general de la ecuación homogénea correspondiente.

Dejar
Y
son soluciones linealmente independientes de la ecuación (2). Entonces la solución general de esta ecuación es
, Dónde Y
- constantes arbitrarias. La esencia del método de variación de constantes arbitrarias es que la solución general a la ecuación (1) se busca en la forma

Dónde
Y
- nuevas funciones desconocidas que es necesario encontrar. Como hay dos funciones desconocidas, para encontrarlas se necesitan dos ecuaciones que contengan estas funciones. Estas dos ecuaciones forman el sistema.

que es un sistema algebraico lineal de ecuaciones con respecto a
Y
. Resolviendo este sistema encontramos
Y
. Integrando ambos lados de las igualdades obtenidas, encontramos

Y
.

Sustituyendo estas expresiones en (9), obtenemos una solución general a la ecuación lineal no homogénea (1).

Ejemplo 9 , entonces estas soluciones son linealmente independientes. Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma
.

Solución. La ecuación característica de la ecuación homogénea correspondiente a una ecuación diferencial dada es
. Sus raíces son complejas
,
. Porque
Y
, Eso
,
, y la solución general de la ecuación homogénea tiene la forma. Luego buscaremos una solución general a esta ecuación no homogénea en la forma donde
Y
- funciones desconocidas.

El sistema de ecuaciones para encontrar estas funciones desconocidas tiene la forma

Resolviendo este sistema encontramos
,
. Entonces

,
. Sustituyamos las expresiones resultantes en la fórmula de la solución general:

Esta es la solución general de esta ecuación diferencial, obtenida mediante el método de Lagrange.

Preguntas para el autocontrol del conocimiento.

¿Qué ecuación diferencial se llama ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes?

¿Qué ecuación diferencial lineal se llama homogénea y cuál no homogénea?

¿Qué propiedades tiene una ecuación lineal homogénea?

¿Qué ecuación se llama característica de una ecuación diferencial lineal y cómo se obtiene?

¿De qué forma se escribe la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes en el caso de diferentes raíces de la ecuación característica?

¿De qué forma se escribe la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes en el caso de raíces iguales de la ecuación característica?

¿De qué forma se escribe la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes en el caso de raíces complejas de la ecuación característica?

¿Cómo se escribe la solución general de una ecuación lineal no homogénea?

¿De qué forma se busca una solución particular a una ecuación lineal no homogénea si las raíces de la ecuación característica son diferentes y distintas de cero, y el lado derecho de la ecuación es un polinomio de grado? ecuación (1). Veamos casos en los que esto es posible.?

¿De qué forma se busca una solución particular a una ecuación lineal no homogénea si hay un cero entre las raíces de la ecuación característica y el lado derecho de la ecuación es un polinomio de grado? ecuación (1). Veamos casos en los que esto es posible.?

¿Cuál es la esencia del método de Lagrange?

Este párrafo discutirá caso especial ecuaciones lineales de segundo orden, cuando los coeficientes de la ecuación son constantes, es decir, son números. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones con coeficientes constantes. Este tipo de ecuaciones encuentra una aplicación particularmente amplia.

1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

segundo orden con coeficientes constantes

Considere la ecuación

en el que los coeficientes son constantes. Suponiendo que dividir todos los términos de la ecuación por y denotar

Escribamos esta ecuación en la forma

Como se sabe, para encontrar una solución general a una ecuación lineal homogénea de segundo orden, basta con conocerla. sistema fundamental soluciones privadas. Muestremos cómo encontrar un sistema fundamental de soluciones parciales para una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes. Buscaremos una solución particular a esta ecuación en la forma

Derivando esta función dos veces y sustituyendo expresiones en la ecuación (59), obtenemos

Como entonces, reduciendo por obtenemos la ecuación

A partir de esta ecuación, se determinan aquellos valores de k para los cuales la función será una solución a la ecuación (59).

La ecuación algebraica (61) para determinar el coeficiente k se denomina ecuación característica de esta ecuación diferencial (59).

La ecuación característica es una ecuación de segundo grado y por tanto tiene dos raíces. Estas raíces pueden ser reales distintas, reales e iguales o conjugadas complejas.

Consideremos qué forma tiene el sistema fundamental de soluciones particulares en cada uno de estos casos.

1. Las raíces de la ecuación característica son reales y diferentes: . En este caso, usando la fórmula (60) encontramos dos soluciones parciales:

Estas dos soluciones particulares forman un sistema fundamental de soluciones en todo el eje numérico, ya que el determinante de Wronski no desaparece en ninguna parte:

En consecuencia, la solución general de la ecuación según la fórmula (48) tiene la forma

2. Las raíces de la ecuación característica son iguales: . En este caso ambas raíces serán reales. Usando la fórmula (60), obtenemos solo una solución particular

Demostremos que la segunda solución particular, que junto con la primera forma un sistema fundamental, tiene la forma

En primer lugar, comprobemos que la función es una solución de la ecuación (59). En realidad,

Pero, dado que existe una raíz de la ecuación característica (61). Además, según el teorema de Vieta, Por lo tanto. En consecuencia, es decir, la función es de hecho una solución a la ecuación (59).

Demostremos ahora que las soluciones parciales encontradas forman un sistema fundamental de soluciones. En realidad,

Así, en este caso la solución general de la ecuación lineal homogénea tiene la forma

3. Las raíces de la ecuación característica son complejas. Como es sabido, las raíces complejas ecuación cuadrática con coeficientes reales son conjugados números complejos, es decir, se parecen a: . En este caso, las soluciones parciales de la ecuación (59), según la fórmula (60), tendrán la forma:

Utilizando las fórmulas de Euler (ver Capítulo XI, § 5, párrafo 3), las expresiones para se pueden escribir como:

Estas soluciones son integrales. Para obtener soluciones válidas, considere las nuevas funciones.

Son combinaciones lineales de soluciones y, por lo tanto, son en sí mismas soluciones de la ecuación (59) (ver § 3, punto 2, Teorema 1).

Es fácil demostrar que el determinante de Wronski para estas soluciones es distinto de cero y, por tanto, las soluciones forman un sistema fundamental de soluciones.

Así, la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea en el caso de raíces complejas de la ecuación característica tiene la forma

En conclusión, presentamos una tabla de fórmulas para la solución general de la ecuación (59) dependiendo del tipo de raíces de la ecuación característica.