Plan de estudios.
1. Momento organizacional.
2. Presentación del material.
3. Tarea.
4. Resumiendo la lección.
durante las clases
I. Momento organizacional.
II. Presentación del material.
Motivación.
La expansión del conjunto de los números reales consiste en sumar nuevos números (imaginarios) a los números reales. La introducción de estos números se debe a la imposibilidad de extraer la raíz de un número negativo en el conjunto de los números reales.
Introducción del concepto Número complejo.
Los números imaginarios, con los que complementamos los números reales, se escriben en la forma bi, Dónde i es una unidad imaginaria, y yo 2 = - 1.
En base a esto, obtenemos la siguiente definición de número complejo.
Definición. Un número complejo es una expresión de la forma a+bi, Dónde a Y b- numeros reales. En este caso, se cumplen las siguientes condiciones:
a) Dos números complejos a 1 + b 1 yo Y a 2 + b 2 yo igual si y solo si un 1 = un 2, segundo 1 = segundo 2.
b) La suma de números complejos está determinada por la regla:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) La multiplicación de números complejos está determinada por la regla:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
forma algebraica Número complejo.
Escribir un número complejo en la forma a+bi se llama forma algebraica de un número complejo, donde A– parte real, bi es la parte imaginaria, y b- Número Real.
Número complejo a+bi se considera igual a cero si sus partes real e imaginaria son iguales a cero: a = b = 0
Número complejo a+bi en segundo = 0 Se considera igual a un número real. a: a + 0i = a.
Número complejo a+bi en un = 0 se llama puramente imaginario y se denota bi: 0 + bi = bi.
Dos números complejos z = a + bi Y = a – bi, que difieren sólo en el signo de la parte imaginaria, se llaman conjugados.
Operaciones con números complejos en forma algebraica.
Puede realizar las siguientes operaciones con números complejos en forma algebraica.
1) Adición.
Definición. Suma de números complejos z 1 = un 1 + segundo 1 yo Y z 2 = una 2 + segundo 2 yo se llama numero complejo z, cuya parte real es igual a la suma de las partes reales z 1 Y z 2, y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los números. z 1 Y z 2, eso es z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Números z 1 Y z 2 se llaman términos.
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
1º. Conmutatividad: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Asociatividad: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Número complejo –a –bi llamado lo opuesto de un número complejo z = a + bi. Número complejo, opuesto a número complejo z, denotado -z. Suma de números complejos z Y -z igual a cero: z + (-z) = 0
Ejemplo 1: realizar la suma (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Resta.
Definición. Restar de un número complejo z 1 Número complejo z 2 z, Qué z + z 2 = z 1.
Teorema. La diferencia entre números complejos existe y es única.
Ejemplo 2: realizar una resta (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Multiplicación.
Definición. Producto de números complejos z 1 =a 1 +b 1 yo Y z 2 =a 2 +b 2 yo se llama numero complejo z, definido por la igualdad: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Números z 1 Y z 2 se llaman factores.
La multiplicación de números complejos tiene las siguientes propiedades:
1º. Conmutatividad: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Asociatividad: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributividad de la multiplicación relativa a la suma:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- Número Real.
En la práctica, la multiplicación de números complejos se realiza según la regla de multiplicar una suma por una suma y separar las partes real e imaginaria.
En el siguiente ejemplo, consideraremos multiplicar números complejos de dos maneras: por regla y multiplicando suma por suma.
Ejemplo 3: Haz la multiplicación (2 + 3i) (5 – 7i).
1 vía. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )yo = 31 + yo.
Método 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) División.
Definición. dividir un número complejo z 1 a un número complejo z 2, significa encontrar un número tan complejo z, Qué z·z2 = z1.
Teorema. El cociente de números complejos existe y es único si z2 ≠ 0 + 0i.
En la práctica, el cociente de números complejos se encuentra multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Dejar z 1 = un 1 + segundo 1 yo, z 2 = una 2 + segundo 2 yo, Entonces
.
En el siguiente ejemplo, realizaremos la división usando la fórmula y la regla de multiplicación por el número conjugado al denominador.
Ejemplo 4. Encuentra el cociente 
.
5) Elevar a una potencia entera positiva.
a) Potencias de la unidad imaginaria.
Aprovechando la igualdad yo 2 = -1, es fácil definir cualquier potencia entera positiva de la unidad imaginaria. Tenemos:
yo 3 = yo 2 yo = -yo,
yo 4 = yo 2 yo 2 = 1,
yo 5 = yo 4 yo = yo,
yo 6 = yo 4 yo 2 = -1,
yo 7 = yo 5 yo 2 = -yo,
yo 8 = yo 6 yo 2 = 1 etc.
Esto muestra que los valores de grado en, Dónde norte– un número entero positivo, que se repite periódicamente a medida que el indicador aumenta en 4 .
Por lo tanto, para aumentar el número i a una potencia entera positiva, debemos dividir el exponente entre 4 y construir i a una potencia cuyo exponente es igual al resto de la división.
Ejemplo 5: Calcular: (yo 36 + yo 17) yo 23.
yo 36 = (yo 4) 9 = 1 9 = 1,
yo 17 = yo 4 × 4+1 = (yo 4) 4 × yo = 1 · yo = yo.
yo 23 = yo 4 × 5+3 = (yo 4) 5 × yo 3 = 1 · yo 3 = - yo.
(yo 36 + yo 17) · yo 23 = (1 + yo) (- yo) = - yo + 1= 1 – yo.
b) La elevación de un número complejo a una potencia entera positiva se realiza según la regla de elevar un binomio a la potencia correspondiente, ya que representa caso especial multiplicación de factores complejos idénticos.
Ejemplo 6: Calcular: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Los números complejos son una extensión del conjunto de los números reales, normalmente denotados por . Cualquier número complejo se puede representar como una suma formal, donde y son números reales y es la unidad imaginaria.
Escribir un número complejo en la forma , , se llama forma algebraica de un número complejo.
Propiedades de los números complejos. Interpretación geométrica de un número complejo.
Acciones sobre números complejos dados en forma algebraica:
Veamos las reglas por las cuales operaciones aritmeticas sobre números complejos.
Si se dan dos números complejos α = a + bi y β = c + di, entonces
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (once)
Esto se desprende de la definición de las operaciones de suma y resta de dos pares ordenados de números reales (ver fórmulas (1) y (3)). Hemos recibido las reglas para sumar y restar números complejos: para sumar dos números complejos, debemos sumar por separado sus partes reales y, en consecuencia, sus partes imaginarias; Para restar otro de un número complejo, es necesario restar sus partes real e imaginaria, respectivamente.
El número – α = – a – bi se llama opuesto al número α = a + bi. La suma de estos dos números es cero: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
Para obtener la regla de multiplicación de números complejos utilizamos la fórmula (6), es decir, el hecho de que i2 = -1. Teniendo en cuenta esta relación, encontramos (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, es decir
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
Esta fórmula corresponde a la fórmula (2), que determinaba la multiplicación de pares ordenados de números reales.
Tenga en cuenta que la suma y el producto de dos números conjugados complejos son números reales. De hecho, si α = a + bi, = a – bi, entonces α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a ) + (b - b)i= 2a, es decir
α+ = 2a, α = a2 + b2. (13)
Al dividir dos números complejos en forma algebraica, se debe esperar que el cociente también se exprese mediante un número del mismo tipo, es decir, α/β = u + vi, donde u, v R. Derivemos la regla para dividir números complejos . Sean dados los números α = a + bi, β = c + di, y β ≠ 0, es decir, c2 + d2 ≠ 0. La última desigualdad significa que cyd no desaparecen simultáneamente (el caso se excluye cuando c = 0 , d = 0). Aplicando la fórmula (12) y la segunda de igualdades (13), encontramos:
Por tanto, el cociente de dos números complejos viene determinado por la fórmula:
correspondiente a la fórmula (4).
Usando la fórmula resultante para el número β = c + di, puedes encontrar su número inverso β-1 = 1/β. Suponiendo a = 1, b = 0 en la fórmula (14), obtenemos
Esta fórmula determina el inverso de un número complejo determinado distinto de cero; este número también es complejo.
Por ejemplo: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Operaciones con números complejos en forma algebraica.
55. Argumento de un número complejo. Forma trigonométrica de escribir un número complejo (derivación).
Arg.com.números. – entre la dirección positiva del eje X real y el vector que representa el número dado.
Fórmula del trigono. Números: ,
Forma algebraica de escribir un número complejo................................................. ......... ................... | |||
El plano de los números complejos................................................ ............................ ................................ ............................ ... | |||
Números conjugados complejos................................................ .................... ................................ .......................... | |||
Operaciones con números complejos en forma algebraica................................................. ......... .... | |||
Suma de números complejos................................................ ........................................................... ................. | |||
Restar números complejos................................................ .................... ................................ .................... | |||
Multiplicación de números complejos................................................ ................................. ................................. ................. | |||
División de números complejos................................................. ......................................... ................ ... | |||
Forma trigonométrica de escribir un número complejo................................................. ......... .......... | |||
Operaciones con números complejos en forma trigonométrica.................................... ......... | |||
Multiplicar números complejos en forma trigonométrica.................................... ........ | |||
División de números complejos en forma trigonométrica.................................... ........ ... | |||
Elevar un número complejo a una potencia entera positiva.................................... ........... | |||
Extrayendo la raíz de un número entero positivo de grado de un número complejo.................................... | |||
Elevar un número complejo a una potencia racional................................. .................. ..... | |||
Serie compleja................................................ .................................................... ......... .................... | |||
Serie de números complejos................................................. .................... ................................ .......................... | |||
Serie de potencias en el plano complejo................................................ ........................................ | |||
Doble cara serie de potencias en el plano complejo................................................ ..... | |||
Funciones de una variable compleja................................................ ....... ........................................ | |||
Funciones elementales básicas................................................ ......................................... . | |||
Fórmulas de Euler................................................ .................................................... ......... .................... | |||
Forma exponencial de representar un número complejo................................................. ........................ . | |||
Relación entre funciones trigonométricas e hiperbólicas................................. | |||
Función logarítmica................................................ .................................................... ......... ... | |||
Funciones exponenciales generales y funciones generales de potencia.................................... ........ ................. | |||
Diferenciación de funciones de una variable compleja................................................. ......... ... | |||
Condiciones de Cauchy-Riemann................................................ ..... ................................................. ............. ............ | |||
Fórmulas para calcular la derivada................................................ ....... .................................... | |||
Propiedades de la operación de diferenciación................................................ ............................ ................................ ... | |||
Propiedades de las partes real e imaginaria de una función analítica................................. | |||
Reconstrucción de una función de una variable compleja a partir de su real o imaginaria |
|||
Método número 1. Usando una integral de curva................................................ ...... ....... | |||
Método número 2. Aplicación directa de las condiciones de Cauchy-Riemann................................. | |||
Método número 3. A través de la derivada de la función buscada................................................ ........ ......... | |||
Integración de funciones de una variable compleja................................................ ......... .......... | |||
Fórmula integral de Cauchy................................................ ..... ................................................. ........... ... | |||
Expansión de funciones en series de Taylor y Laurent................................................ .......... ........................... | |||
Ceros y puntos singulares de una función de una variable compleja.................................... ............. ..... | |||
Ceros de una función de una variable compleja................................................ .......... ....................... | |||
Puntos singulares aislados de una función de una variable compleja................................. | |||
14.3 Un punto en el infinito como punto singular de una función de una variable compleja
Deducciones................................................. ....................................................... ............. ................................................. ... | |||
Deducción en el punto final................................................ ............................................................ ............ ...... | |||
Residuo de una función en un punto del infinito.................................... ............. ................. | |||
Cálculo de integrales utilizando residuos................................................. ....... ................................ | |||
Preguntas de autoevaluación.................................. ................................. ................................. ................................. ....... | |||
Literatura................................................. ................................................. ...... .................................... | |||
Índice de materias................................................ ................................................. ...... ................ | |||
Prefacio
Distribuir correctamente el tiempo y el esfuerzo a la hora de preparar las partes teórica y práctica de un examen o certificación de módulo es bastante difícil, sobre todo porque siempre no hay suficiente tiempo durante la sesión. Y como muestra la práctica, no todo el mundo puede afrontar esto. Como resultado, durante el examen, algunos estudiantes resuelven los problemas correctamente, pero les resulta difícil responder los más simples. cuestiones teóricas, mientras que otros pueden formular el teorema, pero no pueden aplicarlo.
Estas pautas de preparación para el examen de la asignatura “Teoría de Funciones de una Variable Compleja” (TFCP) son un intento de resolver esta contradicción y asegurar la repetición simultánea del material teórico y práctico del curso. Guiados por el principio "La teoría sin práctica está muerta, la práctica sin teoría es ciega", contienen tanto las disposiciones teóricas del curso a nivel de definiciones y formulaciones, como también ejemplos que ilustran la aplicación de cada posición teórica dada, y así facilitan su memorización y comprensión.
El propósito de la propuesta. recomendaciones metodológicas– ayudar al estudiante a prepararse para el examen en un nivel básico. En otras palabras, se ha elaborado un libro de referencia de trabajo ampliado que contiene los puntos principales utilizados en las clases del curso TFKP y necesarios a la hora de realizar tarea y preparación para eventos de control. Además Trabajo independiente estudiantes, esta publicación educativa electrónica se puede utilizar al realizar clases en formulario interactivo utilizando una pizarra electrónica o para su colocación en un sistema de aprendizaje a distancia.
Tenga en cuenta que este trabajo no reemplaza ni los libros de texto ni los apuntes de conferencias. Para un estudio en profundidad del material, se recomienda consultar las secciones relevantes publicadas por MSTU. NORDESTE. Libro de texto básico de Bauman.
Al final del manual hay una lista de literatura recomendada y un índice de materias, que incluye todo lo resaltado en el texto. negrita cursiva términos. El índice consta de hipervínculos a secciones en las que estos términos se definen o describen estrictamente y donde se dan ejemplos para ilustrar su uso.
El manual está destinado a estudiantes de segundo año de todas las facultades de MSTU. NORDESTE. Bauman.
1. Forma algebraica de escribir un número complejo
Notación de la forma z = x + iy, donde x,y son números reales, i es una unidad imaginaria (es decir, i 2 = − 1)
se llama forma algebraica de escribir un número complejo z. En este caso, x se llama parte real de un número complejo y se denota por Re z (x = Re z), y se llama parte imaginaria de un número complejo y se denota por Im z (y = Im z).
Ejemplo. El número complejo z = 4− 3i tiene una parte real Rez = 4 y una parte imaginaria Imz = − 3.
2. Plano de números complejos
EN Se consideran teorías de funciones de una variable compleja.plano de números complejos, que se denota mediante letras o mediante letras que denotan números complejos z, w, etc.
El eje horizontal del plano complejo se llama eje real, sobre él se colocan números reales z = x + 0i = x.
El eje vertical del plano complejo se llama eje imaginario;
3. Números conjugados complejos
Los números z = x + iy y z = x − iy se llaman complejo conjugado. En el plano complejo corresponden a puntos que son simétricos con respecto al eje real.
4. Operaciones con números complejos en forma algebraica.
4.1 Suma de números complejos
La suma de dos números complejos. | z 1= x 1+ iy 1 | y z 2 = x 2 + iy 2 se llama número complejo |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + yo (y 1+ y 2) . | operación | suma |
||||||||||
Los números complejos es similar a la operación de suma de binomios algebraicos. | |||||||||||||
Ejemplo. La suma de dos números complejos z 1 = 3+ 7i y z 2 | = −1 +2 yo | será un número complejo |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 yo ) +(−1 +2 yo ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) yo =2 +9 yo . | |||||||||||||
Obviamente, | cantidad total | conjugado | es | real | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Resta de números complejos | |||||||||||||
La diferencia de dos números complejos z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | llamado | integral |
||||||||||
número z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Ejemplo. La diferencia de dos números complejos. | z 1 = 3 −4 yo | yz 2 | = −1 +2 yo | habrá una completa |
|||||||||
número z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Por diferencia | complejo conjugado | es | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iSoy z. | |||||||||||||
4.3 Multiplicación de números complejos | |||||||||||||
Producto de dos números complejos | z 1= x 1+ iy 1 | y z 2= x 2+ iy 2 | llamado complejo |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + yo (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Así, la operación de multiplicar números complejos es similar a la operación de multiplicar binomios algebraicos, teniendo en cuenta que i 2 = − 1.
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Forma algebraica de un número complejo.
Suma, resta, multiplicación y división de números complejos.
Ya nos hemos familiarizado con la forma algebraica de un número complejo: esta es la forma algebraica de un número complejo. ¿Por qué hablamos de forma? El hecho es que también existen formas trigonométricas y exponenciales de números complejos, que se analizarán en el siguiente párrafo.
Las operaciones con números complejos no son particularmente difíciles y no se diferencian mucho del álgebra ordinaria.
Suma de números complejos
Ejemplo 1
Suma dos números complejos,
Para sumar dos números complejos, debes sumar sus partes real e imaginaria:
Sencillo, ¿no? La acción es tan obvia que no requiere comentarios adicionales.
De esta sencilla forma puedes encontrar la suma de cualquier número de términos: suma las partes reales y suma las partes imaginarias.
Para números complejos, es válida la regla de primera clase: 
– reorganizar los términos no cambia la suma.
Restar números complejos
Ejemplo 2
Encuentra las diferencias entre números complejos y, si,
La acción es similar a la suma, la única peculiaridad es que el sustraendo se debe poner entre paréntesis, y luego los paréntesis se deben abrir de la forma estándar con un cambio de signo:
El resultado no debe ser confuso; el número resultante tiene dos, no tres partes. Simplemente la parte real es la compuesta: . Para mayor claridad, la respuesta se puede reescribir de la siguiente manera: .
Calculemos la segunda diferencia:
Aquí la parte real también es compuesta:
Para evitar cualquier subestimación, daré ejemplo corto con una parte imaginaria “mala”: . Aquí ya no puedes prescindir de los paréntesis.
Multiplicar números complejos
Ha llegado el momento de presentaros la famosa igualdad:
Ejemplo 3
Encuentra el producto de números complejos,
Evidentemente, el trabajo debería escribirse así:
¿Qué sugiere esto? Se pide abrir los corchetes según la regla de multiplicación de polinomios. ¡Eso es lo que debes hacer! Todas las operaciones algebraicas te son familiares, lo principal es recordar que y ten cuidado.
Repitamos, Dios mío, la regla escolar para multiplicar polinomios: para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio.
Lo anotaré detalladamente:
Espero que haya quedado claro para todos que
Atención, y nuevamente atención, la mayoría de las veces se cometen errores en las señales.
Al igual que la suma, el producto de números complejos es conmutable, es decir, la igualdad es verdadera: .
EN literatura educativa Y en Internet es fácil encontrar una fórmula especial para calcular el producto de números complejos. Úsalo si quieres, pero me parece que el enfoque con la multiplicación de polinomios es más universal y claro. No daré la fórmula, creo que en en este caso- Esto es llenarte la cabeza de aserrín.
División de números complejos
Ejemplo 4
Dados números complejos, . Encuentra el cociente.
Hagamos un cociente:
La división de números se realiza. multiplicando el denominador y el numerador por la expresión conjugada del denominador.
Recordemos la fórmula barbuda y miremos nuestro denominador: . El denominador ya tiene, por lo que la expresión conjugada en este caso es, es decir
Según la regla, el denominador debe multiplicarse por y, para que nada cambie, el numerador debe multiplicarse por el mismo número:
Lo anotaré detalladamente:
Elegí un "buen" ejemplo: si tomas dos números "desde cero", como resultado de la división casi siempre obtendrás fracciones, algo así como .
En algunos casos, antes de dividir una fracción, es recomendable simplificarla, por ejemplo, considere el cociente de números: . Antes de dividir, nos deshacemos de los menos innecesarios: en el numerador y en el denominador sacamos los menos de los paréntesis y los reducimos: 
. Para aquellos a quienes les gusta resolver problemas, aquí está la respuesta correcta:
Rara vez, pero ocurre la siguiente tarea:
Ejemplo 5
Se da un número complejo. Escribe este número en forma algebraica (es decir, en la forma).
La técnica es la misma: multiplicamos el denominador y el numerador por la expresión conjugada al denominador. Miremos la fórmula nuevamente. El denominador ya contiene , por lo que es necesario multiplicar el denominador y el numerador por la expresión conjugada, es decir, por:
En la práctica, pueden ofrecer fácilmente un ejemplo sofisticado en el que es necesario realizar muchas operaciones con números complejos. Sin pánico: ten cuidado, sigue las reglas del álgebra, el procedimiento algebraico habitual, y recuerda eso.
Forma trigonométrica y exponencial de número complejo.
Hay más en este párrafo. hablaremos sobre la forma trigonométrica de un número complejo. forma demostrativa en tareas practicas ocurre con mucha menos frecuencia. Recomiendo descargar y, si es posible, imprimir tablas trigonométricas, material metodológico se puede encontrar en la pagina Fórmulas matemáticas y mesas. No puedes ir muy lejos sin mesas.
Cualquier número complejo (excepto el cero) se puede escribir en forma trigonométrica: 
, Dónde está módulo de un número complejo, A - argumento de número complejo. No huyamos, todo es más sencillo de lo que parece.
Representemos el número en el plano complejo. Para mayor precisión y simplicidad de la explicación, lo colocaremos en el primer cuadrante de coordenadas, es decir creemos que:
Módulo de un número complejo es la distancia desde el origen al punto correspondiente en el plano complejo. Simplemente pon, el módulo es la longitud vector de radio, que se indica en rojo en el dibujo.
El módulo de un número complejo generalmente se denota por: o
Utilizando el teorema de Pitágoras, es fácil derivar una fórmula para encontrar el módulo de un número complejo: . Esta fórmula justo para cualquier significa "a" y "ser".
Nota: El módulo de un número complejo es una generalización del concepto módulo de un número real, como la distancia desde un punto al origen.
Argumento de un número complejo llamado esquina entre semieje positivo el eje real y el vector de radio dibujado desde el origen hasta el punto correspondiente. Argumento no definido para singular: .
El principio en cuestión es en realidad similar a coordenadas polares, donde el radio polar y el ángulo polar definen únicamente el punto.
El argumento de un número complejo se denota estándar: o
A partir de consideraciones geométricas, obtenemos la siguiente fórmula para encontrar el argumento:
. ¡Atención!¡Esta fórmula sólo funciona en el semiplano derecho! Si el número complejo no se encuentra en el primer o cuarto cuadrante de coordenadas, la fórmula será ligeramente diferente. También analizaremos estos casos.
Pero primero, veamos los ejemplos más simples cuando los números complejos se ubican en ejes de coordenadas.
Ejemplo 7
Hagamos el dibujo:
De hecho, la tarea es oral. Para mayor claridad, reescribiré la forma trigonométrica de un número complejo: 
Recordemos firmemente, el módulo – longitud(que siempre es no negativo), el argumento es esquina.
1) Representemos el número en forma trigonométrica. Encontremos su módulo y argumento. Es obvio que . Cálculo formal mediante la fórmula: .
Es obvio que (el número se encuentra directamente sobre el semieje positivo real). Entonces el número en forma trigonométrica es: 
.
La acción de verificación inversa es tan clara como el día:
2) Representemos el número en forma trigonométrica. Encontremos su módulo y argumento. Es obvio que . Cálculo formal mediante la fórmula: .
Obviamente (o 90 grados). En el dibujo, la esquina está indicada en rojo. Entonces el número en forma trigonométrica es: 
.
Usando una tabla de valores funciones trigonométricas, es fácil recuperar la forma algebraica del número (al mismo tiempo que se realiza una verificación):
3) Representemos el número en forma trigonométrica. Encontremos su módulo y argumento. Es obvio que . Cálculo formal mediante la fórmula: .
Obviamente (o 180 grados). En el dibujo la esquina está indicada en azul. Entonces el número en forma trigonométrica es: 
.
Examen:
4) Y el cuarto caso interesante. Representemos el número en forma trigonométrica. Encontremos su módulo y argumento. Es obvio que . Cálculo formal mediante la fórmula: .
El argumento se puede escribir de dos formas: Primera forma: (270 grados) y, en consecuencia: 
. Examen:
Sin embargo, la siguiente regla es más estándar: Si el ángulo es mayor a 180 grados, luego se escribe con un signo menos y la orientación opuesta (“desplazamiento”) del ángulo: (menos 90 grados), el ángulo está marcado en el dibujo verde. Es fácil ver eso y están en el mismo ángulo.
Así, la entrada toma la forma: 
¡Atención! En ningún caso se debe utilizar la paridad del coseno, la imparidad del seno y “simplificar” aún más la notación:
Por cierto, es útil recordar apariencia y propiedades de funciones trigonométricas y trigonométricas inversas, los materiales de referencia se encuentran en los últimos párrafos de la página. Gráficos y propiedades de los principales. funciones elementales . ¡Y los números complejos se aprenderán mucho más fácilmente!
En el diseño de los ejemplos más simples se debe escribir: “es obvio que el módulo es igual... es obvio que el argumento es igual a...”. Esto es realmente obvio y fácil de resolver verbalmente.
Pasemos a considerar casos más comunes. Como ya señalé, no hay problemas con el módulo, siempre debes usar la fórmula. Pero las fórmulas para encontrar el argumento serán diferentes, depende del cuarto de coordenadas en el que se encuentre el número. En este caso, son posibles tres opciones (conviene anotarlas en la libreta):
1) Si (primer y cuarto cuarto de coordenadas, o semiplano derecho), entonces el argumento debe encontrarse usando la fórmula.
2) Si (segundo cuarto de coordenadas), entonces el argumento debe encontrarse usando la fórmula 
.
3) Si (tercer cuarto de coordenadas), entonces el argumento debe encontrarse usando la fórmula 
.
Ejemplo 8
Representar números complejos en forma trigonométrica: , , , .
Dado que existen fórmulas ya preparadas, no es necesario completar el dibujo. Pero hay un punto: cuando te piden que representes un número en forma trigonométrica, entonces Es mejor hacer el dibujo de todos modos.. El hecho es que los profesores a menudo rechazan una solución sin un dibujo; la ausencia de un dibujo es una razón grave para un inconveniente y un fracaso.
Eh, hace cien años que no dibujo nada a mano, aquí lo tenéis:
Como siempre, quedó un poco sucio =)
Presentaré los números y en forma compleja, el primer y tercer número serán para solución independiente.
Representemos el número en forma trigonométrica. Encontremos su módulo y argumento.
