3.4.1. Conceptos básicos de la teoría de juegos.
Actualmente, muchas soluciones a problemas en las actividades productivas, económicas o comerciales dependen de las cualidades subjetivas de quien toma las decisiones. Al elegir decisiones en condiciones de incertidumbre, siempre es inevitable un elemento de arbitrariedad y, por tanto, de riesgo.
Los problemas de la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre total o parcial se tratan mediante la teoría de juegos y soluciones estadísticas. La incertidumbre puede tomar la forma de oposición de la otra parte, que persigue objetivos opuestos, interfiere con determinadas acciones o estados. ambiente externo. En tales casos, es necesario tener en cuenta las posibles opciones de comportamiento de la parte contraria.
Las posibles opciones de comportamiento para ambas partes y sus resultados para cada combinación de alternativas y estados se pueden representar en la forma modelo matemático lo que se llama juego. Ambos lados del conflicto no pueden predecir con precisión acciones mutuas. A pesar de tal incertidumbre, cada lado del conflicto tiene que tomar decisiones.
Teoría de juego- Este teoría matemática situaciones de conflicto. Las principales limitaciones de esta teoría son la suposición de la racionalidad completa (“ideal”) del enemigo y la adopción de la decisión “reaseguradora” más cautelosa a la hora de resolver el conflicto.
Las partes en conflicto se llaman jugadores, una implementación del juego – fiesta, resultado del juego - ganar o perder.
En movimiento En teoría de juegos es la elección de una de las acciones previstas por las reglas y su implementación.
Personalmente llamó la elección consciente del jugador de uno de opciones posibles acciones y su implementación.
movimiento aleatorio llamada elección de un jugador que no se hace por decisión volitiva jugador, sino por algún mecanismo de selección aleatoria (lanzamiento de una moneda, reparto de cartas, etc.) de una de las posibles opciones para una acción y su implementación.
Estrategia del jugador es un conjunto de reglas que determinan la elección de acción para cada movimiento personal de este jugador, dependiendo de la situación que surge durante el juego.
Estrategia optima jugador es una estrategia que, cuando se repite varias veces en un juego que contiene movimientos personales y aleatorios, proporciona al jugador el máximo potencial posible. promedio ganancias (o, lo que es lo mismo, el mínimo posible promedio pérdida).
Dependiendo de las razones que causan incertidumbre en los resultados, los juegos se pueden dividir en los siguientes grupos principales:
- Combinacional Juegos en los que las reglas, en principio, permiten a cada jugador analizarlo todo. varias opciones comportamiento y, comparando estas opciones, elegir la mejor. La incertidumbre aquí es que hay demasiadas opciones que deben analizarse.
- Juego Juegos en los que el resultado es incierto debido a la influencia de factores aleatorios.
- Estratégico juegos en los que la incertidumbre del resultado se debe a que cada jugador, al tomar una decisión, no sabe qué estrategia seguirán los demás participantes en el juego, ya que no hay información sobre las acciones posteriores del oponente (compañero ).
- El juego se llama dobles., si el juego involucra a dos jugadores.
- El juego se llama múltiple., si hay más de dos jugadores en el juego.
- El juego se llama suma cero., si cada jugador gana a expensas de los demás, y la suma de las ganancias y pérdidas de un lado es igual a la del otro.
- Juego de dobles de suma cero llamado juego antagónico.
- El juego se llama finito., si cada jugador tiene sólo un número finito de estrategias. De lo contrario es un juego sin fin.
- juegos de un paso cuando el jugador elige una de las estrategias y realiza un movimiento.
- En juegos de varios pasos Los jugadores realizan una serie de movimientos para lograr sus objetivos, que pueden estar limitados por las reglas del juego o pueden continuar hasta que a uno de los jugadores no le queden recursos para continuar el juego.
- Juegos de negocios imitar las interacciones organizativas y económicas en diversas organizaciones y empresas. Las ventajas de un juego de simulación sobre un objeto real son:
Visibilidad de las secuelas de las decisiones tomadas;
Escala de tiempo variable;
Repetición de la experiencia existente con cambios en la configuración;
Cobertura variable de fenómenos y objetos.
Elementos modelo de juego son:
- Participantes del juego.
- Reglas del juego.
- Matriz de información, reflejando el estado y movimiento del sistema modelado.
La realización de una clasificación y agrupación de juegos permite encontrar métodos generales buscar alternativas en la toma de decisiones, desarrollar recomendaciones sobre el curso de acción más racional durante el desarrollo de situaciones de conflicto en diversos campos de actividad.
3.4.2. Establecer objetivos del juego
Consideremos un juego finito de pares de suma cero. El jugador A tiene m estrategias (A 1 A 2 A m), y el jugador B tiene n estrategias (B 1, B 2 Bn). Un juego de este tipo se llama juego de dimensión m x n. Sea a ij el pago del jugador A en una situación en la que el jugador A eligió la estrategia A i y el jugador B eligió la estrategia B j. El pago del jugador en esta situación se denotará por b ij . Un juego de suma cero, por tanto, a ij = - b ij . Para realizar el análisis basta con conocer el pago de sólo uno de los jugadores, digamos A.
Si el juego consiste únicamente en movimientos personales, entonces la elección de la estrategia (A i, B j) determina de forma única el resultado del juego. Si el juego también contiene movimientos aleatorios, entonces la ganancia esperada es el valor promedio (expectativa matemática).
Supongamos que se conocen los valores de a ij para cada par de estrategias (A i, B j). Creemos una tabla rectangular, cuyas filas correspondan a las estrategias del jugador A y las columnas correspondan a las estrategias del jugador B. Esta tabla se llama matriz de pago.
El objetivo del jugador A es maximizar sus ganancias y el objetivo del jugador B es minimizar sus pérdidas.
Así, la matriz de pagos queda así:
La tarea es determinar:
1) La mejor estrategia (óptima) del jugador A de las estrategias A 1 A 2 A m;
2) La mejor estrategia (óptima) del jugador B a partir de las estrategias B 1, B 2 Bn.
Para solucionar el problema se aplica el principio según el cual los participantes en el juego son igualmente inteligentes y cada uno de ellos hace todo lo posible para lograr su objetivo.
3.4.3. Métodos para resolver problemas de juegos.
Principio minimax
Analicemos secuencialmente cada estrategia del jugador A. Si el jugador A elige la estrategia A 1, entonces el jugador B puede elegir la estrategia B j, en la que el pago del jugador A será igual al menor de los números a 1j. Denotémoslo con 1:
es decir, un 1 es el valor mínimo de todos los números de la primera línea.
Esto se puede extender a todas las filas. Por lo tanto, el jugador A debe elegir la estrategia para la cual el número a i sea el máximo.
El valor a es una ganancia garantizada que el jugador a puede conseguir por cualquier comportamiento del jugador B. El valor a se denomina precio más bajo del juego.
El jugador B está interesado en reducir sus pérdidas, es decir, reducir al mínimo las ganancias del jugador A. Para elegir la estrategia óptima, debe encontrar el valor de pago máximo en cada columna y seleccionar la más pequeña entre ellas.
Denotemos por b j el valor máximo en cada columna:
Valor más bajo b j denota por b.
b = mín máx a ij
b se llama limite superior juegos. El principio que dicta que los jugadores elijan las estrategias adecuadas se llama principio minimax.
Hay juegos matriciales en los que el precio inferior del juego es igual al precio superior; estos juegos se denominan juegos de punto silla. En este caso, g=a=b se llama precio neto del juego, y las estrategias A * i, B * j, que permiten alcanzar este valor, se llaman óptimas. El par (A * i, B * j) se llama punto de silla de la matriz, ya que el elemento a ij .= g es simultáneamente el mínimo en la fila i y el máximo en la columna j. Estrategias óptimas A*i, B*j y el precio neto son la solución del juego en estrategias puras, es decir, sin que intervenga un mecanismo de selección aleatoria.
Ejemplo 1.
Dejemos que se proporcione una matriz de pagos. Encuentre una solución al juego, es decir, determine los precios superior e inferior del juego y las estrategias minimax.
Aquí a 1 =min a 1 j =min(5,3,8,2) =2
a =máx mínimo a ij = máx(2,1,4) =4
b = mín máx a ij =mín(9,6,8,7) =6
De este modo, precios má bajo del juego (a=4) corresponde a la estrategia A 3. Al elegir esta estrategia, el jugador A obtendrá un pago de al menos 4 por cualquier comportamiento del jugador B. El precio superior del juego (b=6) corresponde al estrategia del jugador B. Estas estrategias son minimax. Si ambas partes siguen estas estrategias, el pago será 4 (a 33).
Ejemplo 2.
Se da la matriz de pago. Encuentra los precios superior e inferior del juego.
a =máx mínimo a ij = máx(1,2,3) =3
b = mín máx a ij =mín(5,6,3) =3
Por lo tanto, a =b=g=3. El punto silla es el par (A * 3, B * 3). Si un juego matricial contiene un punto silla, entonces su solución se encuentra utilizando el principio minimax.
Resolver juegos de estrategia mixta
Si la matriz de pago no contiene un punto de silla (un
Para utilizar estrategias mixtas se requieren las siguientes condiciones:
1) No hay punto de silla en el juego.
2) Los jugadores utilizan una mezcla aleatoria de estrategias puras con las probabilidades correspondientes.
3) El juego se repite muchas veces en las mismas condiciones.
4) Durante cada movimiento, el jugador no es informado sobre la elección de estrategia por parte del otro jugador.
5) Se permite promediar los resultados del juego.
Está demostrado en la teoría de juegos que todo juego pareado de suma cero tiene al menos una solución de estrategia mixta, lo que implica que todo juego finito tiene un costo g. gramo- ganancias promedio, por lote, que cumpla la condición a<=g<=b . Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии.
Las estrategias de los jugadores en sus estrategias mixtas óptimas se denominan activas.
Teorema sobre estrategias activas.
La aplicación de una estrategia mixta óptima proporciona al jugador una ganancia promedio máxima (o una pérdida promedio mínima) igual al costo del juego g, independientemente de las acciones que realice el otro jugador, siempre que no supere los límites de sus estrategias activas.
Introduzcamos la siguiente notación:
P 1 P 2 ... P m - la probabilidad de que el jugador A use las estrategias A 1 A 2 ..... A m ;
Q 1 Q 2 …Q n la probabilidad de que el jugador B utilice las estrategias B 1, B 2….. Bn
Escribimos la estrategia mixta del jugador A en la forma:
Un 1 Un 2…. Soy
Р 1 Р 2 … Р m
Escribimos la estrategia mixta del jugador B como:
B 1 B 2…. mil millones
Conociendo la matriz de pagos A, se pueden determinar las ganancias promedio (expectativa matemática) M(A,P,Q):
M(A,P,Q)=S Sa ij P i Q j
Ganancias promedio del jugador A:
a =máx.mín.M(A,P,Q)
Pérdida media del jugador B:
b = mín máxM(A,P,Q)
Denotemos por P A * y Q B * los vectores correspondientes a las estrategias mixtas óptimas bajo las cuales:
máx mínM(A,P,Q) = mín máxM(A,P,Q)= M(A,P A * ,Q B *)
En este caso se cumple la siguiente condición:
máxM(A,P,Q B *)<=maxМ(А,P А * ,Q В *)<= maxМ(А,P А * ,Q)
Resolver un juego significa encontrar el precio del juego y las estrategias óptimas.
Método geométrico para determinar precios de juegos y estrategias óptimas.
(Para el juego 2X2)
En el eje de abscisas se traza un segmento de longitud 1. El extremo izquierdo de este segmento corresponde a la estrategia A 1, el extremo derecho a la estrategia A 2.
El eje y muestra las ganancias un 11 y un 12.
Las ganancias a 21 y a 22 se trazan a lo largo de una línea paralela al eje de ordenadas desde el punto 1.
Si el jugador B usa la estrategia B 1, entonces conectamos los puntos a 11 y a 21, si B 2, entonces un 12 y un 22.
La ganancia promedio está representada por el punto N, el punto de intersección de las líneas rectas B 1 B 1 y B 2 B 2. La abscisa de este punto es igual a P 2 y la ordenada del precio del juego es g.
En comparación con la tecnología anterior, la ganancia es del 55%.
La teoría de juegos es un método matemático para estudiar estrategias óptimas en los juegos. El término "juego" debe entenderse como la interacción de dos o más partes que buscan realizar sus intereses. Cada bando también tiene su propia estrategia, que puede conducir a la victoria o a la derrota, lo que depende de cómo se comporten los jugadores. Gracias a la teoría de juegos, es posible encontrar la estrategia más eficaz, teniendo en cuenta las ideas sobre otros jugadores y su potencial.
La teoría de juegos es una rama especial de la investigación de operaciones. En la mayoría de los casos, los métodos de la teoría de juegos se utilizan en economía, pero a veces también en otras ciencias sociales, por ejemplo, ciencias políticas, sociología, ética y algunas otras. Desde los años 70 del siglo XX también empezó a ser utilizado por los biólogos para estudiar el comportamiento animal y la teoría de la evolución. Además, hoy en día la teoría de juegos es muy importante en el campo de la cibernética y. Por eso queremos contártelo.
Historia de la teoría de juegos.
Las estrategias más óptimas en el campo de la modelización matemática los científicos propusieron ya en el siglo XVIII. En el siglo XIX, científicos como Joseph Bertrand y Antoine Cournot consideraron los problemas de precios y producción en un mercado con poca competencia, que luego se convirtieron en ejemplos clásicos de la teoría de juegos. Y a principios del siglo XX, los destacados matemáticos Emil Borel y Ernst Zermelo propusieron la idea de una teoría matemática del conflicto de intereses.
Los orígenes de la teoría matemática de juegos deben buscarse en la economía neoclásica. Inicialmente, los fundamentos y aspectos de esta teoría fueron esbozados en el trabajo de Oscar Morgenstern y John von Neumann, “La teoría de los juegos y el comportamiento económico” en 1944.
El campo matemático presentado también encontró algún reflejo en la cultura social. Por ejemplo, en 1998, Sylvia Nasar (periodista y escritora estadounidense) publicó un libro dedicado a John Nash, premio Nobel de economía y teórico de juegos. En 2001, sobre la base de este trabajo, se realizó la película "A Beautiful Mind". Y varios programas de televisión estadounidenses, como “NUMB3RS”, “Alias” y “Friend or Foe” también hacen referencia de vez en cuando a la teoría de juegos en sus retransmisiones.
Pero cabe hacer una mención especial a John Nash.
En 1949 escribió una disertación sobre teoría de juegos y 45 años después recibió el Premio Nobel de Economía. En los primeros conceptos de la teoría de juegos se analizaban juegos de tipo antagónico, en los que hay jugadores que ganan a expensas de los perdedores. Pero John Nash desarrolló métodos analíticos según los cuales todos los jugadores pierden o ganan.
Las situaciones desarrolladas por Nash se denominaron más tarde “equilibrios de Nash”. Se diferencian en que todos los lados del juego utilizan las estrategias más óptimas, lo que crea un equilibrio estable. Mantener el equilibrio es muy beneficioso para los jugadores, porque de lo contrario un cambio puede afectar negativamente a su posición.
Gracias al trabajo de John Nash, la teoría de juegos recibió un poderoso impulso en su desarrollo. Además, las herramientas matemáticas de modelización económica fueron sometidas a una importante revisión. John Nash pudo demostrar que el punto de vista clásico sobre el tema de la competencia, donde cada uno juega solo para sí mismo, no es óptimo, y las estrategias más efectivas son aquellas en las que los jugadores se mejoran a sí mismos mejorando inicialmente a los demás.
A pesar de que la teoría de juegos inicialmente incluía modelos económicos en su campo de visión, hasta los años 50 del siglo pasado era sólo una teoría formal limitada por el marco de las matemáticas. Sin embargo, desde la segunda mitad del siglo XX se ha intentado utilizarlo en economía, antropología, tecnología, cibernética y biología. Durante la Segunda Guerra Mundial y después de su fin, la teoría de juegos comenzó a ser considerada por los militares, que vieron en ella un aparato serio para el desarrollo de decisiones estratégicas.
Durante los años 60 y 70, el interés por esta teoría se desvaneció, a pesar de que daba buenos resultados matemáticos. Pero a partir de los años 80 se inició la aplicación activa de la teoría de juegos en la práctica, principalmente en la gestión y la economía. En las últimas décadas, su relevancia ha aumentado significativamente y algunas tendencias económicas modernas son completamente imposibles de imaginar sin él.
Tampoco sería superfluo decir que una contribución significativa al desarrollo de la teoría de juegos la hizo el trabajo de 2005 “Estrategia de conflicto” del Premio Nobel de Economía Thomas Schelling. En su trabajo, Schelling examinó muchas estrategias utilizadas por los participantes en interacciones de conflicto. Estas estrategias coincidieron con las tácticas de gestión de conflictos y los principios analíticos utilizados, así como con las tácticas que se utilizan para gestionar los conflictos en las organizaciones.
En la ciencia psicológica y en otras disciplinas, el concepto de "juego" tiene un significado ligeramente diferente al de las matemáticas. La interpretación cultural del término "juego" fue presentada en el libro "Homo Ludens" de Johan Huizinga, donde el autor habla sobre el uso de los juegos en la ética, la cultura y la justicia, y también señala que el juego en sí es significativamente superior a los humanos en edad, porque los animales también están inclinados al juego.
Además, el concepto de "juego" se puede encontrar en el concepto de Eric Byrne, conocido por el libro "". Aquí, sin embargo, estamos hablando de juegos exclusivamente psicológicos, cuya base es el análisis transaccional.
Aplicación de la teoría de juegos.
Si hablamos de teoría matemática de juegos, actualmente se encuentra en una etapa de desarrollo activo. Pero la base matemática es inherentemente muy costosa, por lo que se utiliza principalmente sólo si el fin justifica los medios, a saber: en política, la economía de los monopolios y la distribución del poder de mercado, etc. Por lo demás, la teoría de juegos se utiliza en estudios del comportamiento humano y animal en una gran cantidad de situaciones.
Como ya se mencionó, la teoría de juegos se desarrolló por primera vez dentro de los límites de la ciencia económica, permitiendo determinar e interpretar el comportamiento de los agentes económicos en diversas situaciones. Pero más tarde, el alcance de su aplicación se amplió significativamente y comenzó a incluir muchas ciencias sociales, gracias a las cuales la teoría de juegos hoy explica el comportamiento humano en psicología, sociología y ciencias políticas.
Los expertos utilizan la teoría de juegos no sólo para explicar y predecir el comportamiento humano: se han hecho muchos intentos de utilizar esta teoría para desarrollar un comportamiento de referencia. Además, los filósofos y economistas lo han utilizado durante mucho tiempo para intentar comprender lo mejor posible el comportamiento bueno o digno.
Así, podemos concluir que la teoría de juegos se ha convertido en un verdadero punto de inflexión en el desarrollo de muchas ciencias, y hoy es una parte integral del proceso de estudio de diversos aspectos del comportamiento humano.
EN LUGAR DE CONCLUSIÓN: Como habrás notado, la teoría de juegos está estrechamente interconectada con la conflictología, una ciencia dedicada al estudio del comportamiento humano en el proceso de interacción de conflictos. Y, en nuestra opinión, esta área es una de las más importantes no solo entre aquellas en las que se debe aplicar la teoría de juegos, sino también entre las que la propia persona debe estudiar, porque los conflictos, digan lo que digan, son parte de nuestra vida. .
Si quieres entender qué estrategias comportamentales existen en general, te sugerimos realizar nuestro curso de autoconocimiento, que te proporcionará plenamente dicha información. Pero, además de esto, al realizar nuestro curso podrás realizar una evaluación integral de tu personalidad en general. Esto significa que sabrá cómo comportarse en caso de conflicto, cuáles son sus ventajas y desventajas personales, valores y prioridades de vida, predisposiciones al trabajo y la creatividad, y mucho más. En general, esta es una herramienta muy útil y necesaria para cualquiera que se esfuerce por desarrollarse.
Nuestro curso está en marcha: siéntete libre de comenzar a conocerte a ti mismo y mejorarte.
¡Te deseamos éxito y la posibilidad de ser un ganador en cualquier juego!
La sección de Teoría de Juegos está representada por tres calculadoras en línea:
- Resolver un juego de matrices. En tales problemas, se especifica una matriz de pago. Se requiere encontrar estrategias puras o mixtas de los jugadores y, precio del juego. Para resolver, debes especificar la dimensión de la matriz y el método de solución.
- Juego bimatriz. Por lo general, en un juego de este tipo se especifican dos matrices del mismo tamaño de pagos del primer y segundo jugador. Las filas de estas matrices corresponden a las estrategias del primer jugador y las columnas de las matrices corresponden a las estrategias del segundo jugador. En este caso, la primera matriz representa las ganancias del primer jugador y la segunda matriz representa las ganancias del segundo.
- Juegos con la naturaleza. Se utiliza cuando es necesario seleccionar una decisión de gestión según los criterios de Maximax, Bayes, Laplace, Wald, Savage, Hurwitz.
En la práctica, a menudo nos encontramos con problemas en los que es necesario tomar decisiones en condiciones de incertidumbre, es decir, Surgen situaciones en las que dos partes persiguen objetivos diferentes y los resultados de las acciones de cada parte dependen de las actividades del enemigo (o socio).
Una situación en la que la efectividad de una decisión tomada por una parte depende de las acciones de la otra parte se llama conflicto. El conflicto siempre está asociado con algún tipo de desacuerdo (esto no es necesariamente una contradicción antagónica).
La situación de conflicto se llama. antagonista, si un aumento de las ganancias de una de las partes en una determinada cantidad conduce a una disminución de las ganancias de la otra parte en la misma cantidad, y viceversa.
En economía, las situaciones de conflicto ocurren con mucha frecuencia y son de diversa naturaleza. Por ejemplo, la relación entre proveedor y consumidor, comprador y vendedor, banco y cliente. Cada uno de ellos tiene sus propios intereses y se esfuerza por tomar decisiones óptimas que ayuden a alcanzar sus objetivos en la mayor medida posible. Al mismo tiempo, cada uno debe tener en cuenta no sólo sus propios objetivos, sino también los objetivos de su pareja y tener en cuenta las decisiones que tomarán estos socios (pueden ser desconocidas de antemano). Para tomar decisiones óptimas en situaciones de conflicto, se ha creado una teoría matemática de situaciones de conflicto, que se llama teoría de juego . El surgimiento de esta teoría se remonta a 1944, cuando se publicó la monografía de J. von Neumann "Teoría de juegos y comportamiento económico".
El juego es un modelo matemático de una situación de conflicto real.. Las partes involucradas en el conflicto se llaman jugadores. El resultado del conflicto se llama victoria. Las reglas del juego son un sistema de condiciones que determinan las opciones de acción de los jugadores; la cantidad de información que cada jugador tiene sobre el comportamiento de sus compañeros; la recompensa a la que conduce cada conjunto de acciones.
el juego se llama cuarto de vapor, si se trata de dos jugadores, y múltiple, si el número de jugadores es superior a dos. Sólo consideraremos juegos de dobles. Los jugadores son designados. A Y B.
el juego se llama antagonista (suma cero), si la ganancia de uno de los jugadores es igual a la pérdida del otro.
La elección e implementación de una de las opciones previstas por las reglas se denomina progreso jugador. Los movimientos pueden ser personales y aleatorios.
mudanza personal- se trata de una elección consciente por parte de un jugador de una de las opciones de acción (por ejemplo, en el ajedrez).
movimiento aleatorio es una acción seleccionada al azar (por ejemplo, tirar un dado). Sólo consideraremos movimientos personales.
Estrategia del jugador Es un conjunto de reglas que determinan el comportamiento del jugador durante cada movimiento personal. Por lo general, durante el juego, en cada etapa, el jugador elige un movimiento dependiendo de la situación específica. También es posible que todas las decisiones hayan sido tomadas por el jugador de antemano (es decir, que el jugador haya elegido una determinada estrategia).
el juego se llama último, si cada jugador tiene un número finito de estrategias, y sin fin- de lo contrario.
Propósito de la teoría de juegos– desarrollar métodos para determinar la estrategia óptima para cada jugador.
La estrategia del jugador se llama óptimo, si proporciona a este jugador con múltiples repeticiones del juego la máxima ganancia promedio posible (o la mínima pérdida promedio posible independientemente del comportamiento del oponente).
Ejemplo 1. cada uno de los jugadores A o B, puede anotar, independientemente del otro, los números 1, 2 y 3. Si la diferencia entre los números anotados por los jugadores es positiva, entonces A gana el número de puntos igual a la diferencia entre los números. Si la diferencia es menor que 0, gana. B. Si la diferencia es 0, es empate.
El jugador A tiene tres estrategias (opciones de acción): A 1 = 1 (escribe 1), A 2 = 2, A 3 = 3, el jugador también tiene tres estrategias: B 1, B 2, B 3.
| B A | B 1 = 1 | B2=2 | B 3 = 3 |
| Un 1 = 1 | 0 | -1 | -2 |
| Un 2 = 2 | 1 | 0 | -1 |
| Un 3 = 3 | 2 | 1 | 0 |
La tarea del jugador A es maximizar sus ganancias. La tarea del jugador B es minimizar su pérdida, es decir minimizar la ganancia A. Este juego de dobles de suma cero.
Prefacio
El propósito de este artículo es familiarizar al lector con los conceptos básicos de la teoría de juegos. A partir del artículo, el lector aprenderá qué es la teoría de juegos, considerará una breve historia de la teoría de juegos y se familiarizará con los principios básicos de la teoría de juegos, incluidos los principales tipos de juegos y sus formas de representación. El artículo abordará el problema clásico y el problema fundamental de la teoría de juegos. La última sección del artículo está dedicada a la consideración de los problemas del uso de la teoría de juegos para la toma de decisiones de gestión y la aplicación práctica de la teoría de juegos en la gestión.
Introducción.
Siglo 21. La era de la información, tecnologías de la información en rápido desarrollo, innovaciones e innovaciones tecnológicas. Pero ¿por qué la era de la información? ¿Por qué la información juega un papel clave en casi todos los procesos que ocurren en la sociedad? Todo es muy sencillo. La información nos brinda un tiempo invaluable y, en algunos casos, incluso la oportunidad de adelantarnos. Después de todo, no es ningún secreto que en la vida a menudo tienes que enfrentarte a tareas en las que necesitas tomar decisiones en condiciones de incertidumbre, en ausencia de información sobre las reacciones a tus acciones, es decir, surgen situaciones en las que dos (o más) partes persiguen objetivos diferentes, y los resultados de cualquier acción de cada parte dependen de las actividades del socio. Situaciones así surgen todos los días. Por ejemplo, al jugar al ajedrez, damas, dominó, etc. A pesar de que los juegos son principalmente de naturaleza entretenida, por su naturaleza se relacionan con situaciones de conflicto en las que el conflicto ya es inherente al objetivo del juego: la victoria de uno de los socios. Al mismo tiempo, el resultado del movimiento de cada jugador depende de la respuesta del oponente. En economía, las situaciones de conflicto ocurren con mucha frecuencia y son de diversa naturaleza, y su número es tan grande que es imposible contar todas las situaciones de conflicto que surgen en el mercado al menos en un día. Las situaciones de conflicto en la economía incluyen, por ejemplo, las relaciones entre proveedor y consumidor, comprador y vendedor, banco y cliente. En todos los ejemplos anteriores, una situación de conflicto se genera por la diferencia de intereses de los socios y el deseo de cada uno de ellos de tomar decisiones óptimas que logren sus objetivos en la mayor medida posible. Al mismo tiempo, cada uno debe tener en cuenta no sólo sus propios objetivos, sino también los de su pareja, y tener en cuenta las decisiones desconocidas de antemano que tomarán estos socios. Para resolver de manera competente problemas en situaciones de conflicto, se necesitan métodos con base científica. Dichos métodos son desarrollados por la teoría matemática de situaciones de conflicto, que se llama teoría de juego.
¿Qué es la teoría de juegos?
La teoría de juegos es un concepto complejo y multidimensional, por lo que parece imposible interpretar la teoría de juegos utilizando una sola definición. Veamos tres enfoques para definir la teoría de juegos.
1.La teoría de juegos es un método matemático para estudiar estrategias óptimas en los juegos. Un juego es un proceso en el que participan dos o más partes, luchando por la realización de sus intereses. Cada bando tiene su propio objetivo y utiliza alguna estrategia que puede llevar a ganar o perder, dependiendo del comportamiento de los demás jugadores. La teoría de juegos ayuda a elegir las mejores estrategias, teniendo en cuenta ideas sobre los demás participantes, sus recursos y sus posibles acciones.
2. La teoría de juegos es una rama de las matemáticas aplicadas o, más precisamente, de la investigación de operaciones. La mayoría de las veces, los métodos de la teoría de juegos se utilizan en economía y, un poco menos, en otras ciencias sociales: sociología, ciencias políticas, psicología, ética y otras. Desde la década de 1970, los biólogos lo han adoptado para estudiar el comportamiento animal y la teoría de la evolución. La teoría de juegos es muy importante para la inteligencia artificial y la cibernética.
3. Una de las variables más importantes de las que depende el éxito de una organización es la competitividad. Evidentemente, la capacidad de predecir las acciones de los competidores supone una ventaja para cualquier organización. La teoría de juegos es un método para modelar el impacto de una decisión en los competidores.
Historia de la teoría de juegos.
Ya en el siglo XVIII se propusieron soluciones o estrategias óptimas en la modelización matemática. Los problemas de producción y fijación de precios en condiciones de oligopolio, que más tarde se convirtieron en ejemplos de libros de texto de teoría de juegos, se consideraron en el siglo XIX. A. Cournot y J. Bertrand. A principios del siglo XX. E. Lasker, E. Zermelo, E. Borel propusieron la idea de una teoría matemática del conflicto de intereses.
La teoría de juegos matemáticos tiene su origen en la economía neoclásica. Los aspectos matemáticos y las aplicaciones de la teoría se describieron por primera vez en el libro clásico de 1944 de John von Neumann y Oscar Morgenstern, Game Theory and Economic Behavior.
John Nash, después de graduarse del Instituto Politécnico Carnegie con dos títulos, una licenciatura y una maestría, ingresó a la Universidad de Princeton, donde asistió a las conferencias de John von Neumann. En sus escritos, Nash desarrolló los principios de la "dinámica gerencial". Los primeros conceptos de la teoría de juegos analizaban los juegos de suma cero, donde hay perdedores y ganadores a su costa. Nash desarrolla métodos de análisis en los que todos los involucrados ganan o pierden. Estas situaciones se denominan “equilibrio de Nash” o “equilibrio no cooperativo”; en la situación, las partes utilizan la estrategia óptima, que conduce a la creación de un equilibrio estable. Es beneficioso para los jugadores mantener este equilibrio, ya que cualquier cambio empeorará su situación. Estos trabajos de Nash hicieron una importante contribución al desarrollo de la teoría de juegos y se revisaron las herramientas matemáticas del modelado económico. John Nash muestra que el enfoque clásico de A. Smith hacia la competencia, donde cada uno es por sí mismo, no es óptimo. Las estrategias más óptimas son aquellas en las que todos intentan hacerlo mejor para sí mismos y al mismo tiempo hacerlo mejor para los demás. En 1949, John Nash escribió una disertación sobre teoría de juegos y 45 años después recibió el Premio Nobel de Economía.
Aunque la teoría de juegos originalmente se ocupaba de modelos económicos, siguió siendo una teoría formal dentro de las matemáticas hasta la década de 1950. Pero ya desde los años cincuenta. Están empezando a intentarse aplicar métodos de la teoría de juegos no sólo en economía, sino también en biología, cibernética, tecnología y antropología. Durante la Segunda Guerra Mundial e inmediatamente después, los militares se interesaron seriamente por la teoría de juegos, quienes vieron en ella una poderosa herramienta para estudiar decisiones estratégicas.
En 1960 - 1970 El interés por la teoría de juegos se está desvaneciendo, a pesar de los importantes resultados matemáticos obtenidos en ese momento. Desde mediados de los años 1980. Comienza el uso práctico activo de la teoría de juegos, especialmente en economía y gestión. Durante los últimos 20 a 30 años, la importancia y el interés de la teoría de juegos ha aumentado significativamente; algunas áreas de la teoría económica moderna no pueden presentarse sin el uso de la teoría de juegos.
Una contribución importante a la aplicación de la teoría de juegos fue el trabajo de Thomas Schelling, premio Nobel de Economía en 2005, “La estrategia del conflicto”. T. Schelling considera varias "estrategias" de comportamiento de los participantes en el conflicto. Estas estrategias coinciden con las tácticas de gestión de conflictos y los principios del análisis de conflictos en la conflictología y la gestión de conflictos organizacionales.
Principios básicos de la teoría de juegos.
Conozcamos los conceptos básicos de la teoría de juegos. El modelo matemático de una situación de conflicto se llama juego, partes involucradas en el conflicto - jugadores. Para describir un juego, primero debes identificar a sus participantes (jugadores). Esta condición se cumple fácilmente cuando se trata de juegos ordinarios como el ajedrez, etc. La situación es diferente con los “juegos de mercado”. Aquí no siempre es fácil reconocer a todos los jugadores, es decir. competidores actuales o potenciales. La práctica demuestra que no es necesario identificar a todos los actores; es necesario descubrir a los más importantes. Los juegos suelen abarcar varios períodos durante los cuales los jugadores realizan acciones secuenciales o simultáneas. La elección y ejecución de una de las acciones previstas por las normas se denomina progreso jugador. Los movimientos pueden ser personales y aleatorios. mudanza personal- se trata de una elección consciente por parte del jugador de una de las posibles acciones (por ejemplo, un movimiento en una partida de ajedrez). movimiento aleatorio es una acción seleccionada al azar (por ejemplo, elegir una carta de un mazo barajado). Las acciones pueden estar relacionadas con precios, volúmenes de ventas, costos de investigación y desarrollo, etc. Los períodos durante los cuales los jugadores realizan sus movimientos se llaman etapas juegos. Los movimientos elegidos en cada etapa determinan en última instancia "pagos"(ganancia o pérdida) de cada jugador, que puede expresarse en bienes materiales o dinero. Otro concepto en esta teoría es la estrategia del jugador. Estrategia Un jugador es un conjunto de reglas que determinan la elección de su acción en cada movimiento personal, dependiendo de la situación actual. Por lo general, durante el juego, con cada movimiento personal, el jugador toma una decisión dependiendo de la situación específica. Sin embargo, en principio es posible que todas las decisiones las tome el jugador de antemano (en respuesta a cualquier situación dada). Esto significa que el jugador ha elegido una estrategia específica, que puede especificarse como una lista de reglas o un programa. (De esta manera puedes jugar usando una computadora). En otras palabras, la estrategia se refiere a posibles acciones que permiten al jugador en cada etapa del juego elegir entre un cierto número de opciones alternativas la jugada que le parece la “mejor respuesta” a las acciones de otros jugadores. En cuanto al concepto de estrategia, cabe señalar que el jugador determina sus acciones no sólo para las etapas que realmente ha alcanzado un juego en particular, sino también para todas las situaciones, incluidas aquellas que pueden no surgir durante el transcurso de un juego determinado. el juego se llama cuarto de vapor, si se trata de dos jugadores, y múltiple, si el número de jugadores es superior a dos. Para cada juego formalizado, se introducen reglas, es decir un sistema de condiciones que determina: 1) opciones para las acciones de los jugadores; 2) la cantidad de información que cada jugador tiene sobre el comportamiento de sus compañeros; 3) la ganancia a la que conduce cada conjunto de acciones. Normalmente, ganar (o perder) puede cuantificarse; por ejemplo, puedes valorar una pérdida como cero, una victoria como uno y un empate como ½. Un juego se llama juego de suma cero, o antagónico, si la ganancia de uno de los jugadores es igual a la pérdida del otro, es decir, para completar el juego basta con indicar el valor de uno de ellos. Si designamos A- ganancias de uno de los jugadores, b- las ganancias del otro, luego para un juego de suma cero segundo = -a, Por lo tanto, basta considerar, por ejemplo. A. el juego se llama último, si cada jugador tiene un número finito de estrategias, y sin fin- de lo contrario. Con el fin de decidir juego, o encontrar solución de juego, debes elegir una estrategia para cada jugador que satisfaga la condición optimidad, aquellos. uno de los jugadores debe recibir ganancia máxima cuando el segundo se apega a su estrategia. Al mismo tiempo, el segundo jugador debe tener pérdida mínima, si el primero se apega a su estrategia. Semejante estrategias son llamados óptimo. Las estrategias óptimas también deben satisfacer la condición. sostenibilidad, es decir, debe ser desventajoso para cualquiera de los jugadores abandonar su estrategia en este juego. Si el juego se repite varias veces, entonces los jugadores pueden estar interesados no en ganar y perder en cada juego específico, sino en ganancia (pérdida) promedio en todos los lotes. Objetivo La teoría de juegos es determinar el óptimo. estrategias para cada jugador. Al elegir una estrategia óptima, es natural suponer que ambos jugadores se comportan razonablemente en términos de sus intereses.
Cooperativo y no cooperativo
El juego se llama cooperativo, o coalición, si los jugadores pueden unirse en grupos, asumiendo algunas obligaciones con otros jugadores y coordinando sus acciones. Esto difiere de los juegos no cooperativos en los que todos deben jugar por sí mismos. Los juegos de entretenimiento rara vez son cooperativos, pero estos mecanismos no son infrecuentes en la vida cotidiana.
A menudo se supone que lo que diferencia a los juegos cooperativos es la capacidad de los jugadores de comunicarse entre sí. En general esto no es cierto. Hay juegos en los que se permite la comunicación, pero los jugadores persiguen objetivos personales y viceversa.
De los dos tipos de juegos, los no cooperativos describen situaciones con gran detalle y producen resultados más precisos. Las cooperativas consideran el proceso del juego como un todo.
Los juegos híbridos incluyen elementos de juegos cooperativos y no cooperativos. Por ejemplo, los jugadores pueden formar grupos, pero el juego se jugará en un estilo no cooperativo. Esto significa que cada jugador perseguirá los intereses de su grupo, mientras al mismo tiempo intentará lograr un beneficio personal.
Simétrico y asimétrico
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juego asimétrico |
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El juego será simétrico cuando las estrategias correspondientes de los jugadores sean iguales, es decir, tengan los mismos pagos. En otras palabras, si los jugadores pueden cambiar de lugar y sus ganancias por los mismos movimientos no cambiarán. Muchos juegos de dos jugadores estudiados son simétricos. En particular, estos son: "El dilema del prisionero", "Caza de ciervos". En el ejemplo de la derecha, el juego a primera vista puede parecer simétrico debido a estrategias similares, pero no es así; al fin y al cabo, la recompensa del segundo jugador con perfiles estratégicos (A, A) y (B, B) será mayor que el del primero.
Suma cero y suma distinta de cero
Los juegos de suma cero son un tipo especial de juegos de suma constante, es decir, aquellos en los que los jugadores no pueden aumentar o disminuir los recursos disponibles o el fondo del juego. En este caso, la suma de todas las victorias es igual a la suma de todas las pérdidas de cualquier movimiento. Mire a la derecha: los números representan pagos a los jugadores y su suma en cada celda es cero. Ejemplos de este tipo de juegos incluyen el póquer, donde uno gana todas las apuestas de los demás; reversi, donde se capturan las piezas enemigas; o banal robo.
Muchos juegos estudiados por los matemáticos, incluido el ya mencionado “dilema del prisionero”, son de otro tipo: en juegos de suma distinta de cero La victoria de un jugador no significa necesariamente la pérdida de otro, y viceversa. El resultado de tal juego puede ser menor o mayor que cero. Estos juegos se pueden convertir en juegos de suma cero; esto se hace introduciendo jugador ficticio, que se “apropia” del superávit o suple la falta de fondos.
Otro juego con una suma distinta de cero es comercio, donde todos los participantes se benefician. Esto también incluye damas y ajedrez; en los dos últimos, el jugador puede convertir su pieza habitual en una más fuerte, obteniendo una ventaja. En todos estos casos, el importe del juego aumenta. Un ejemplo bien conocido donde disminuye es guerra.
Paralelo y en serie
En los juegos paralelos, los jugadores se mueven simultáneamente, o al menos no son conscientes de las decisiones de los demás hasta que Todo no harán su movimiento. En secuencia, o dinámica En los juegos, los participantes pueden realizar movimientos en un orden predeterminado o aleatorio, pero al mismo tiempo reciben cierta información sobre las acciones anteriores de los demás. Esta información puede incluso ser no del todo completo, por ejemplo, un jugador puede descubrir que su oponente a partir de diez de sus estrategias Definitivamente no elegí quinto, sin saber nada de los demás.
Las diferencias en la presentación de juegos paralelos y secuenciales se discutieron anteriormente. Los primeros suelen presentarse en forma normal y los segundos en forma extensiva.
Con información completa o incompleta
Un subconjunto importante de juegos secuenciales son los juegos con información completa. En un juego de este tipo, los participantes conocen todos los movimientos realizados hasta el momento, así como las posibles estrategias de sus oponentes, lo que les permite en cierta medida predecir el desarrollo posterior del juego. La información completa no está disponible en juegos paralelos, ya que se desconocen los movimientos actuales de los oponentes. La mayoría de los juegos estudiados en matemáticas implican información incompleta. Por ejemplo, toda la "sal" Los dilemas del prisionero reside en su carácter incompleto.
Ejemplos de juegos con información completa: ajedrez, damas y otros.
El concepto de información completa a menudo se confunde con otro similar: información perfecta. Para este último, basta con conocer todas las estrategias disponibles para los oponentes; no es necesario conocer todos sus movimientos.
Juegos con un número infinito de pasos.
Los juegos del mundo real, o los juegos estudiados en economía, tienden a durar final número de movimientos. Las matemáticas no son tan limitadas y la teoría de conjuntos, en particular, se ocupa de juegos que pueden continuar indefinidamente. Además, el ganador y sus ganancias no se determinan hasta el final de todos los movimientos.
La tarea que suele plantearse en este caso no es encontrar una solución óptima, sino encontrar al menos una estrategia ganadora.
Juegos discretos y continuos.
La mayoría de los juegos estudiados. discreto: tienen un número finito de jugadores, movimientos, eventos, resultados, etc. Sin embargo, estos componentes se pueden extender a muchos números reales. Los juegos que incluyen estos elementos suelen denominarse juegos diferenciales. Están asociados con algún tipo de escala material (generalmente una escala de tiempo), aunque los eventos que ocurren en ellos pueden ser de naturaleza discreta. Los juegos diferenciales encuentran su aplicación en ingeniería, tecnología y física.
Metajuegos
Son juegos que resultan en un conjunto de reglas para otro juego (llamado objetivo o objeto de juego). El objetivo de los metajuegos es aumentar la utilidad del conjunto de reglas dado.
Formulario de presentación del juego
En la teoría de juegos, junto con la clasificación de los juegos, la forma de presentación del juego juega un papel muy importante. Por lo general, se distingue entre una forma normal o matricial y una forma expandida, especificada en forma de árbol. Estas formas para un juego simple se muestran en la Fig. 1a y 1b.
Para establecer una primera conexión con el ámbito del control, el juego se puede describir de la siguiente manera. Dos empresas que fabrican productos similares se enfrentan a una elección. En un caso, pueden afianzarse en el mercado fijando un precio alto, lo que les proporcionará una ganancia promedio del cártel P K . Al entrar en competencia feroz, ambos reciben una ganancia P W . Si uno de los competidores fija un precio alto y el segundo fija un precio bajo, entonces este último obtiene una ganancia de monopolio P M , mientras que el otro incurre en pérdidas P G . Una situación similar puede surgir, por ejemplo, cuando ambas empresas deben anunciar su precio, que posteriormente no puede revisarse.
En ausencia de condiciones estrictas, resulta beneficioso para ambas empresas fijar un precio bajo. La estrategia de “precio bajo” es la dominante para cualquier empresa: no importa qué precio elija una empresa competidora, siempre es preferible fijar un precio bajo. Pero en este caso, las empresas enfrentan un dilema, ya que no se logra el beneficio P K (que para ambos jugadores es mayor que el beneficio P W).
La combinación estratégica de “precios bajos/precios bajos” con los pagos correspondientes representa un equilibrio de Nash, en el que es desventajoso para cualquiera de los jugadores desviarse por separado de la estrategia elegida. Este concepto de equilibrio es fundamental para resolver situaciones estratégicas, pero en determinadas circunstancias aún requiere mejoras.
En cuanto al dilema anterior, su resolución depende, en particular, de la originalidad de las jugadas de los jugadores. Si la empresa tiene la oportunidad de reconsiderar sus variables estratégicas (en este caso el precio), entonces se puede encontrar una solución cooperativa al problema incluso sin un acuerdo rígido entre los actores. La intuición sugiere que con el contacto repetido entre jugadores, surgen oportunidades para lograr una "compensación" aceptable. Por lo tanto, en determinadas circunstancias, es inapropiado esforzarse por obtener elevadas ganancias a corto plazo mediante el dumping de precios si puede surgir una “guerra de precios” en el futuro.
Como se señaló, ambas imágenes caracterizan el mismo juego. Presentar el juego en forma normal en el caso normal refleja "sincronicidad". Sin embargo, esto no significa la "simultaneidad" de los eventos, sino que indica que la elección de estrategia por parte del jugador se lleva a cabo ignorando la elección de estrategia del oponente. De forma ampliada, esta situación se expresa a través de un espacio ovalado (campo de información). En ausencia de este espacio, la situación del juego adquiere un carácter diferente: primero, un jugador tendría que tomar una decisión y el otro podría hacerlo después de él.
Problema clásico en teoría de juegos.
Consideremos un problema clásico de la teoría de juegos. Cacería de venados es un juego simétrico cooperativo de la teoría de juegos que describe el conflicto entre intereses personales e intereses públicos. El juego fue descrito por primera vez por Jean-Jacques Rousseau en 1755:
"Si estaban cazando un ciervo, entonces todos entendían que para ello estaba obligado a permanecer en su puesto; pero si una liebre corría cerca de uno de los cazadores, entonces no había duda de que este cazador, sin un remordimiento de conciencia, Partió tras él y, habiendo alcanzado la presa, muy pocos lamentarán que de esta manera privó a sus compañeros de la presa".
La caza de ciervos es un ejemplo clásico del desafío que supone proporcionar un bien público y al mismo tiempo tentar al hombre a ceder ante el interés propio. ¿Debería el cazador permanecer con sus camaradas y apostar por una oportunidad menos favorable para entregar grandes presas a toda la tribu, o debería dejar a sus camaradas y confiarse a una oportunidad más confiable que promete una liebre a su propia familia?
Problema fundamental en la teoría de juegos.
Consideremos un problema fundamental de la teoría de juegos llamado el dilema del prisionero.
El dilema del prisionero Un problema fundamental en la teoría de juegos es que los jugadores no siempre cooperarán entre sí, incluso si hacerlo es lo mejor para ellos. Se supone que el jugador (el “prisionero”) maximiza su propia ganancia sin preocuparse por la ganancia de los demás. La esencia del problema fue formulada por Meryl Flood y Melvin Drescher en 1950. El nombre del dilema lo dio el matemático Albert Tucker.
En el dilema del prisionero, la traición domina estrictamente por encima de la cooperación, por lo que el único equilibrio posible es la traición de ambos participantes. En pocas palabras, no importa lo que haga el otro jugador, todos ganarán más si traicionan. Dado que en cualquier situación es más rentable traicionar que cooperar, todos los jugadores racionales elegirán la traición.
Mientras se comportan individualmente de manera racional, los participantes juntos llegan a una decisión irracional: si ambos traicionan, recibirán una recompensa total menor que si cooperaran (el único equilibrio en este juego no conduce a Óptimo de Pareto decisión, es decir una decisión que no se puede mejorar sin empeorar la situación de otros elementos). Ahí radica el dilema.
En un dilema del prisionero repetido, el juego ocurre periódicamente y cada jugador puede "castigar" al otro por no cooperar antes. En un juego así, la cooperación puede convertirse en un equilibrio y el incentivo para traicionar puede verse contrarrestado por la amenaza de castigo.
El clásico dilema del prisionero
En todos los sistemas judiciales, el castigo por bandidaje (cometer delitos como parte de un grupo organizado) es mucho más severo que por los mismos delitos cometidos solo (de ahí el nombre alternativo: "el dilema del bandido").
La formulación clásica del dilema del prisionero es:
Dos delincuentes, A y B, fueron capturados aproximadamente al mismo tiempo por delitos similares. Hay motivos para creer que actuaron en conspiración, y la policía, aislándolos unos de otros, les ofrece el mismo trato: si uno testifica contra el otro y él guarda silencio, el primero queda en libertad por ayudar en la investigación, y el segundo recibe la pena máxima de prisión (10 años) (20 años). Si ambos guardan silencio, su acto se imputa con arreglo a un artículo más leve y se les condena a 6 meses (1 año). Si ambos testifican uno contra el otro, reciben una pena mínima de 2 años (5 años). Cada preso elige si guardar silencio o testificar contra el otro. Sin embargo, ninguno de los dos sabe exactamente qué hará el otro. ¿Lo que sucederá?
El juego se puede representar en la forma de la siguiente tabla:
El dilema surge si asumimos que a ambos sólo les preocupa minimizar su propia pena de prisión.
Imaginemos el razonamiento de uno de los prisioneros. Si su pareja guarda silencio, entonces es mejor traicionarlo y quedar libre (de lo contrario, seis meses de prisión). Si la pareja testifica, entonces es mejor testificar también contra él para recibir 2 años (de lo contrario, 10 años). La estrategia de “testificar” domina estrictamente a la estrategia de “guardar silencio”. Otro prisionero llega a la misma conclusión.
Desde el punto de vista del grupo (estos dos presos), lo mejor es cooperar entre sí, guardar silencio y recibir seis meses cada uno, ya que esto reducirá la pena total de prisión. Cualquier otra solución será menos rentable.
Forma generalizada
- El juego consta de dos jugadores y un banquero. Cada jugador tiene 2 cartas: una dice "cooperar" y la otra dice "defectar" (esta es la terminología estándar del juego). Cada jugador coloca una carta boca abajo frente al banquero (es decir, nadie conoce la decisión de los demás, aunque conocer la decisión de los demás no afecta el análisis de dominancia). El banquero abre las cartas y reparte las ganancias.
- Si ambos deciden cooperar, ambos reciben C. Si uno elige "traicionar", el otro "cooperar", el primero recibe D, segundo Con. Si ambos eligen “traicionar”, ambos reciben d.
- Los valores de las variables C, D, c, d pueden ser de cualquier signo (en el ejemplo anterior, todos son menores o iguales a 0). La desigualdad D > C > d > c debe cumplirse para que el juego sea un Dilema del Prisionero (PD).
- Si el juego se repite, es decir, se juega más de una vez seguida, el beneficio total de la cooperación debe ser mayor que el beneficio total en una situación en la que uno traiciona y el otro no, es decir, 2C > D + c. .
Estas reglas fueron establecidas por Douglas Hofstadter y forman la descripción canónica del típico dilema del prisionero.
Juego similar pero diferente.
Hofstadter sugirió que la gente entiende más fácilmente problemas como el dilema del prisionero si se presentan como un juego separado o como un proceso de negociación. Un ejemplo es " intercambio de bolsas cerradas»:
Dos personas se encuentran e intercambian bolsas cerradas, dándose cuenta de que en una de ellas hay dinero y en la otra mercancías. Cada jugador puede respetar el trato y poner en la bolsa lo acordado, o engañar al compañero dándole una bolsa vacía.
En este juego, hacer trampa siempre será la mejor solución, lo que también significa que los jugadores racionales nunca jugarán y que no habrá mercado para intercambiar bolsas cerradas.
Aplicación de la teoría de juegos a la toma de decisiones estratégicas de gestión.
Los ejemplos incluyen decisiones relacionadas con la implementación de una política de precios basada en principios, la entrada a nuevos mercados, la cooperación y la creación de empresas conjuntas, la identificación de líderes y actores en el campo de la innovación, la integración vertical, etc. En principio, los principios de la teoría de juegos pueden utilizarse para todo tipo de decisiones si están influenciados por otros actores. Estos individuos, o actores, no necesariamente tienen que ser competidores del mercado; su papel puede ser el de subproveedores, clientes líderes, empleados de organizaciones y compañeros de trabajo.
Es especialmente recomendable utilizar herramientas de teoría de juegos cuando existen dependencias importantes entre los participantes en el proceso. en el campo de los pagos. La situación con posibles competidores se muestra en la Fig. 2.
Cuadrantes 1 Y 2 caracterizar una situación en la que la reacción de los competidores no tiene un impacto significativo en los pagos de la empresa. Esto sucede en los casos en que el competidor no tiene motivación (campo 1 ) o capacidades (campo 2 ) golpear de vuelta. Por tanto, no es necesario un análisis detallado de la estrategia de acciones motivadas de los competidores.
Se sigue una conclusión similar, aunque por una razón diferente, y por la situación reflejada por el cuadrante 3 . En este caso, la reacción de los competidores podría tener un impacto significativo en la empresa, pero como sus propias acciones no pueden afectar en gran medida los pagos de un competidor, no hay que temer su reacción. Un ejemplo son las decisiones de entrar en un nicho de mercado: en determinadas circunstancias, los grandes competidores no tienen motivos para reaccionar ante la decisión de una empresa pequeña.
Sólo la situación que se muestra en el cuadrante. 4 (la posibilidad de medidas de represalia por parte de los socios del mercado) requiere el uso de disposiciones de la teoría de juegos. Sin embargo, estas son sólo condiciones necesarias, pero no suficientes, para justificar la aplicación de un marco de teoría de juegos para combatir a los competidores. Hay situaciones en las que una estrategia sin duda dominará a todas las demás, independientemente de las acciones que emprenda el competidor. Si tomamos, por ejemplo, el mercado de los medicamentos, entonces a menudo es importante que una empresa sea la primera en introducir un nuevo producto en el mercado: el beneficio del "primero en actuar" resulta ser tan significativo que todos los demás " “Los actores” sólo pueden intensificar rápidamente las actividades de innovación.
Un ejemplo trivial de una “estrategia dominante” desde el punto de vista de la teoría de juegos es la decisión sobre penetración en un nuevo mercado. Tomemos como ejemplo una empresa que actúa como monopolista en cualquier mercado (por ejemplo, IBM en el mercado de las computadoras personales a principios de los años 80). Otra empresa, que opera, por ejemplo, en el mercado de equipos periféricos informáticos, está considerando la posibilidad de penetrar en el mercado de los ordenadores personales reconfigurando su producción. Una empresa externa puede decidir ingresar o no al mercado. Una empresa monopolista puede reaccionar de forma agresiva o amistosa ante la aparición de un nuevo competidor. Ambas empresas entran en un juego de dos etapas en el que la empresa externa da el primer paso. La situación del juego que indica los pagos se muestra en forma de árbol en la Fig. 3.
La misma situación de juego se puede presentar en forma normal (Fig. 4).
Aquí se indican dos estados: “entrada/reacción amistosa” y “no entrada/reacción agresiva”. Obviamente, el segundo equilibrio es insostenible. De la forma ampliada se deduce que para una empresa que ya se ha afianzado en el mercado, no es apropiado reaccionar agresivamente ante la aparición de un nuevo competidor: con un comportamiento agresivo, el monopolista actual recibe 1 (pago), y con un comportamiento amistoso comportamiento - 3. La empresa externa también sabe que no es racional que el monopolista inicie acciones para desplazarla, y por ello decide ingresar al mercado. La empresa externa no soportará las pérdidas amenazadas de (-1).
Este equilibrio racional es característico de un juego “parcialmente mejorado”, que excluye deliberadamente movimientos absurdos. En la práctica, estos estados de equilibrio son, en principio, bastante fáciles de encontrar. Las configuraciones de equilibrio se pueden identificar utilizando un algoritmo especial del campo de la investigación de operaciones para cualquier juego finito. Quien toma las decisiones procede de la siguiente manera: primero, se elige el "mejor" movimiento en la última etapa del juego, luego se selecciona el "mejor" movimiento en la etapa anterior, teniendo en cuenta la elección en la última etapa, y así sucesivamente, hasta llegar al nodo inicial del árbol de juegos.
¿Cómo pueden las empresas beneficiarse del análisis basado en la teoría de juegos? Por ejemplo, existe un caso bien conocido de conflicto de intereses entre IBM y Telex. En relación con el anuncio de los planes preparatorios de este último para ingresar al mercado, se celebró una reunión de "crisis" de la dirección de IBM, en la que se analizaron medidas destinadas a obligar al nuevo competidor a abandonar su intención de penetrar en el nuevo mercado. Al parecer, Telex tuvo conocimiento de estos hechos. Un análisis basado en la teoría de juegos demostró que las amenazas a IBM debido a los altos costes son infundadas. Esto sugiere que es útil que las empresas consideren las posibles reacciones de sus socios de juego. Los cálculos económicos aislados, incluso aquellos basados en la teoría de la toma de decisiones, son a menudo, como en la situación descrita, de naturaleza limitada. Por lo tanto, una empresa externa podría optar por la medida de “no entrada” si un análisis preliminar la convenciera de que la penetración en el mercado provocaría una reacción agresiva por parte del monopolista. En este caso, de acuerdo con el criterio del valor esperado, es razonable elegir la medida de “no intervención” con una probabilidad de respuesta agresiva de 0,5.
El siguiente ejemplo está relacionado con la rivalidad de empresas en el rubro Liderazgo tecnológico. La situación inicial es cuando la empresa 1 Anteriormente tenía superioridad tecnológica, pero actualmente tiene menos recursos financieros para investigación y desarrollo (I+D) que su competidor. Ambas empresas deben decidir si intentan lograr el dominio del mercado global en sus respectivas áreas tecnológicas a través de grandes inversiones de capital. Si ambos competidores invierten grandes cantidades de dinero en el negocio, entonces las perspectivas de éxito de la empresa 1 será mejor, aunque incurrirá en grandes gastos financieros (como la empresa 2 ). En la Fig. 5 esta situación está representada por pagos con valores negativos.
Para empresas 1 Sería mejor si la empresa 2 se negó a competir. Su beneficio en este caso sería de 3 (pagos). Lo más probable es que la empresa 2 ganaría la competencia cuando la empresa 1 aceptaría un programa de inversión reducido y la empresa 2 - más amplio. Esta posición se refleja en el cuadrante superior derecho de la matriz.
El análisis de la situación muestra que el equilibrio se produce con altos costos de investigación y desarrollo de la empresa. 2 y empresas bajas 1 . En cualquier otro escenario, uno de los competidores tiene una razón para desviarse de la combinación estratégica: por ejemplo, para una empresa 1 Es preferible un presupuesto reducido si la empresa 2 se negará a participar en la competición; al mismo tiempo a la empresa 2 Se sabe que cuando los costos de un competidor son bajos, le resulta rentable invertir en investigación y desarrollo.
Una empresa con una ventaja tecnológica puede recurrir al análisis de la situación basándose en la teoría de juegos para, en última instancia, lograr el resultado óptimo para sí misma. Con la ayuda de una determinada señal, debe demostrar que está dispuesta a realizar grandes gastos en investigación y desarrollo. Si no se recibe dicha señal, entonces para la empresa 2 está claro que la empresa 1 elige la opción de bajo coste.
La fiabilidad de la señal debe quedar demostrada por las obligaciones de la empresa. En este caso, puede ser decisión de la empresa. 1 en la compra de nuevos laboratorios o la contratación de personal de investigación adicional.
Desde el punto de vista de la teoría de juegos, tales obligaciones equivalen a cambiar el curso del juego: la situación de toma de decisiones simultánea es reemplazada por una situación de movimientos secuenciales. Compañía 1 demuestra firmemente la intención de realizar grandes gastos, la empresa 2 registra este paso y ya no tiene ningún motivo para participar en la rivalidad. El nuevo equilibrio se deriva del escenario “no participación de la empresa 2 " y "altos costos de investigación y desarrollo de la empresa 1 ".
Las áreas bien conocidas de aplicación de los métodos de la teoría de juegos también incluyen estrategia de precios, creación de empresas conjuntas, calendario de desarrollo de nuevos productos.
Importantes contribuciones al uso de la teoría de juegos provienen de trabajo experimental. Muchos cálculos teóricos se prueban en condiciones de laboratorio y los resultados obtenidos sirven de impulso para los profesionales. En teoría, se aclaró en qué condiciones es aconsejable que dos socios egoístas cooperen y logren mejores resultados para ellos mismos.
Este conocimiento se puede utilizar en la práctica empresarial para ayudar a dos empresas a lograr una situación en la que todos ganen. Hoy en día, los consultores capacitados en juegos identifican rápida y claramente oportunidades que las empresas pueden aprovechar para asegurar contratos estables y a largo plazo con clientes, subproveedores, socios de desarrollo y similares.
Problemas de aplicación práctica en la gestión.
Por supuesto, cabe señalar que existen ciertos límites a la aplicación de las herramientas analíticas de la teoría de juegos. En los siguientes casos, sólo se podrá utilizar si se obtiene información adicional.
En primer lugar, Este es el caso cuando las empresas tienen ideas diferentes sobre el juego que juegan o cuando no están suficientemente informadas sobre las capacidades de cada una. Por ejemplo, puede haber información poco clara sobre los pagos de un competidor (estructura de costos). Si la información no demasiado compleja se caracteriza por estar incompleta, entonces se puede operar comparando casos similares, teniendo en cuenta ciertas diferencias.
En segundo lugar, La teoría de juegos es difícil de aplicar a muchas situaciones de equilibrio. Este problema puede surgir incluso durante juegos sencillos con decisiones estratégicas simultáneas.
Tercero, Si la situación de toma de decisiones estratégicas es muy compleja, los jugadores a menudo no pueden elegir las mejores opciones para sí mismos. Es fácil imaginar una situación de penetración de mercado más compleja que la analizada anteriormente. Por ejemplo, varias empresas pueden ingresar al mercado en diferentes momentos, o la reacción de las empresas que ya operan allí puede ser más compleja que ser agresiva o amistosa.
Se ha demostrado experimentalmente que cuando el juego se expande a diez o más etapas, los jugadores ya no pueden utilizar los algoritmos adecuados y continuar el juego con estrategias de equilibrio.
La teoría de juegos no se utiliza con mucha frecuencia. Desafortunadamente, las situaciones del mundo real suelen ser muy complejas y cambian tan rápidamente que es imposible predecir con precisión cómo reaccionarán los competidores ante las tácticas cambiantes de una empresa. Sin embargo, la teoría de juegos es útil cuando se trata de identificar los factores más importantes a considerar en una situación de toma de decisiones competitiva. Esta información es importante porque permite a la dirección considerar variables o factores adicionales que pueden afectar la situación, aumentando así la eficacia de la decisión.
En conclusión, cabe destacar especialmente que la teoría de juegos es un campo de conocimiento muy complejo. A la hora de manipularlo hay que tener cuidado y tener claro los límites de su uso. Las interpretaciones demasiado simples, ya sea que las adopte la propia empresa o con la ayuda de consultores, están plagadas de peligros ocultos. Debido a su complejidad, el análisis y la consulta de la teoría de juegos se recomiendan sólo para áreas problemáticas particularmente importantes. La experiencia de las empresas muestra que es preferible utilizar las herramientas adecuadas cuando se toman decisiones estratégicas planificadas únicas y de importancia fundamental, incluso cuando se preparan grandes acuerdos de cooperación.
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En las actividades prácticas, a menudo es necesario tomar decisiones frente a la oposición de la otra parte, que puede perseguir objetivos opuestos u otros, o dificultar el logro del objetivo previsto mediante determinadas acciones o estados del entorno externo. Además, estas influencias del lado opuesto pueden ser pasivas o activas. En tales casos, es necesario tener en cuenta las posibles opciones de comportamiento de la parte contraria, las acciones de represalia y sus posibles consecuencias.
Las posibles opciones de comportamiento para ambas partes y sus resultados para cada combinación de opciones y estados a menudo se presentan en forma de modelo matemático. que se llama juego .
Si la parte contraria es una parte inactiva y pasiva que no se opone conscientemente al logro del objetivo previsto, entonces este juego se llama jugando con la naturaleza. La naturaleza suele entenderse como un conjunto de circunstancias en las que se deben tomar decisiones (incertidumbre de las condiciones climáticas, comportamiento desconocido de los clientes en las actividades comerciales, incertidumbre de la reacción de la población ante nuevos tipos de bienes y servicios, etc.)
En otras situaciones, la parte contraria se opone activa y conscientemente al logro del objetivo previsto. En tales casos, hay un choque de intereses, opiniones e ideas opuestos. Tales situaciones se llaman conflictos , y la toma de decisiones en una situación de conflicto es difícil debido a la incertidumbre del comportamiento del enemigo. Se sabe que el enemigo busca deliberadamente tomar las acciones menos beneficiosas para usted con el fin de garantizar el mayor éxito. Se desconoce hasta qué punto el enemigo sabe valorar la situación y sus posibles consecuencias, cómo valora tus capacidades e intenciones. Ambas partes no pueden predecir acciones mutuas. A pesar de tal incertidumbre, cada lado del conflicto tiene que tomar una decisión
En economía, las situaciones de conflicto ocurren con mucha frecuencia y son de diversa naturaleza. Estos incluyen, por ejemplo, la relación entre proveedor y consumidor, comprador y vendedor, banco y cliente, etc. En todos estos ejemplos, una situación de conflicto se genera por la diferencia en los intereses de los socios y el deseo de cada uno de ellos de hacer decisiones óptimas. Al mismo tiempo, cada uno debe tener en cuenta no sólo sus propios objetivos, sino también los de su pareja y tener en cuenta sus posibles acciones desconocidas de antemano.
La necesidad de justificar decisiones óptimas en situaciones de conflicto ha llevado al surgimiento teoría de juego.
Teoría de juego - Esta es una teoría matemática de situaciones de conflicto.. Los puntos de partida de esta teoría son la asunción de la completa racionalidad “ideal” del enemigo y la adopción de la decisión más cautelosa a la hora de resolver el conflicto.
Las partes en conflicto se llaman jugadores , una implementación del juego – fiesta , el resultado del juego es ganando o perdiendo . Cualquier acción posible para un jugador (dentro de las reglas del juego dadas) se llama su estrategia .
El objetivo del juego es que cada jugador, dentro de las reglas del juego dadas, se esfuerce por aplicar la estrategia que sea óptima para él, es decir, la estrategia que le conducirá al mejor resultado. Uno de los principios del comportamiento óptimo (conveniente) es lograr una situación de equilibrio, cuya violación ninguno de los jugadores está interesado.
Es la situación de equilibrio la que puede ser objeto de acuerdos estables entre los actores. Además, las situaciones de equilibrio son beneficiosas para cada jugador: en una situación de equilibrio, cada jugador recibe la mayor recompensa, en la medida en que dependa de él.
Modelo matemático de una situación de conflicto. llamado un juego , las partes involucradas en el conflicto, se llaman jugadores.
Para cada juego formalizado, se introducen reglas. En general, las reglas del juego establecen las opciones de acción de los jugadores; la cantidad de información que cada jugador tiene sobre el comportamiento de sus compañeros; la recompensa a la que conduce cada conjunto de acciones.
El desarrollo del juego en el tiempo se produce de forma secuencial, por etapas o jugadas. Un movimiento en la teoría de juegos se llama selección de una de las acciones previstas por las reglas del juego y su implementación. Los movimientos son personales y aleatorios. Personalmente llame a la elección consciente del jugador de una de las posibles opciones de acción y su implementación. movimiento aleatorio llaman a una elección hecha no por la decisión volitiva del jugador, sino por algún tipo de mecanismo de selección aleatoria (lanzar una moneda, pasar, repartir cartas, etc.).
Dependiendo de las razones que causan incertidumbre en los resultados, los juegos se pueden dividir en los siguientes grupos principales:
juegos combinados, en el que las reglas brindan, en principio, la oportunidad para que cada jugador analice las distintas opciones de comportamiento y, después de compararlas, elija la que conduzca al mejor resultado para este jugador. La incertidumbre del resultado suele deberse al hecho de que el número de posibles opciones de comportamiento (movimientos) es demasiado grande y el jugador es prácticamente incapaz de clasificarlas y analizarlas todas.
Juego , en el que el resultado es incierto debido a la influencia de varios factores aleatorios. Los juegos de azar consisten únicamente en movimientos aleatorios, cuyo análisis utiliza la teoría de la probabilidad. La teoría matemática de juegos no se ocupa del juego.
Juegos de estrategia , en el que la total incertidumbre en la elección se justifica por el hecho de que cada uno de los jugadores, al tomar una decisión sobre la elección del próximo movimiento, no sabe qué estrategia seguirán los demás participantes en el juego, y el desconocimiento del jugador de el comportamiento e intenciones de los socios es fundamental, ya que no hay información sobre acciones posteriores del enemigo (socio).
Hay juegos que combinan las propiedades de los juegos combinados y de apuestas, el carácter estratégico de los juegos se puede combinar con la combinatoria, etc.
Dependiendo del número de participantes en el juego. se dividen en pares y múltiples. En un juego de dobles el número de participantes es dos, en un juego múltiple el número de participantes es más de dos. Los participantes en un juego múltiple pueden formar coaliciones. En este caso los juegos se llaman coalición . Un juego múltiple se convierte en juego doble si sus participantes forman dos coaliciones permanentes.
Uno de los conceptos básicos de la teoría de juegos es la estrategia. Estrategia del jugador Es un conjunto de reglas que determinan la elección de acción para cada movimiento personal de este jugador, dependiendo de la situación que se presente durante el juego.
Estrategia optima Se llama jugador a una estrategia que, cuando se repite muchas veces en un juego que contiene movimientos personales y aleatorios, le proporciona al jugador la máxima ganancia promedio posible o la mínima pérdida posible, independientemente del comportamiento del oponente.
el juego se llama último , si el número de estrategias de los jugadores es finito, y sin fin , si al menos uno de los jugadores tiene un número infinito de estrategias.
En los problemas de teoría de juegos de múltiples movimientos, los conceptos de "estrategia" y "opción de acciones posibles" son significativamente diferentes entre sí. En problemas de juego simples (de un movimiento), cuando en cada juego cada jugador puede realizar un movimiento, estos conceptos coinciden y, por tanto, el conjunto de estrategias del jugador cubre todas las acciones posibles que puede realizar en cualquier situación posible y bajo cualquier posible situación. situación real información.
Los juegos también se diferencian por la cantidad de ganancias. el juego se llama juego con cero suma th, si cada jugador gana a expensas de los demás, y la cantidad de ganancias de un lado es igual a la cantidad de pérdidas del otro. En un juego de dobles de suma cero, los intereses de los jugadores están directamente opuestos. Un juego de parejas de suma cero se llama Ijuego antagónico .
Juegos en los que las ganancias de un jugador y las pérdidas de otro no son iguales son llamadosjuegos de suma distinta de cero .
Hay dos formas de describir juegos: posicional y normal . El método posicional está asociado a la forma ampliada del juego y se reduce a un gráfico de pasos sucesivos (árbol de juego). La forma normal es representar explícitamente el conjunto de estrategias del jugador y función de pago . La función de pago en el juego determina las ganancias de cada lado para cada conjunto de estrategias elegidas por los jugadores.
