Puede resultar difícil contar directamente los casos que favorecen un acontecimiento determinado. Por lo tanto, para determinar la probabilidad de un evento, puede resultar ventajoso imaginarlo como una combinación de otros eventos más simples. Sin embargo, en este caso es necesario conocer las reglas que gobiernan las probabilidades en combinaciones de eventos. Es a estas reglas a las que se relacionan los teoremas mencionados en el título del párrafo.
El primero de ellos se relaciona con el cálculo de la probabilidad de que ocurra al menos uno de varios eventos.
Teorema de la suma.
Sean A y B dos eventos incompatibles. Entonces la probabilidad de que ocurra al menos uno de estos dos eventos es igual a la suma de sus probabilidades:
Prueba. Sea un grupo completo de eventos incompatibles por pares. Entonces, si entre estos eventos elementales hay exactamente eventos favorables a A y exactamente eventos favorables a B. Dado que los eventos A y B son incompatibles, entonces ningún evento puede favorecer a ambos eventos. Un evento (A o B), que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos dos eventos, es obviamente favorecido tanto por cada uno de los eventos que favorecen a A como por cada uno de los eventos.
Favorable B. Por lo tanto, el número total de eventos favorables al evento (A o B) es igual a la suma que sigue:
Q.E.D.
Es fácil ver que el teorema de la suma formulado anteriormente para el caso de dos eventos puede transferirse fácilmente al caso de cualquier número finito de ellos. Precisamente si hay eventos incompatibles por pares, entonces
Para el caso de tres eventos, por ejemplo, se puede escribir
Una consecuencia importante del teorema de la suma es el enunciado: si los eventos son incompatibles por pares y únicamente posibles, entonces
De hecho, el evento o o o es, por supuesto, cierto y su probabilidad, como se indica en el § 1, es igual a uno. En particular, si se refieren a dos eventos mutuamente opuestos, entonces
Ilustremos el teorema de la suma con ejemplos.
Ejemplo 1. Al disparar a un objetivo, la probabilidad de realizar un tiro excelente es 0,3 y la probabilidad de realizar un tiro "bueno" es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de al menos “bueno” en un tiro?
Solución. Si el evento A significa recibir una calificación de “excelente” y el evento B significa recibir una calificación de “buena”, entonces
Ejemplo 2. En una urna que contiene bolas blancas, rojas y negras, hay bolas blancas y yo bolas rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea negra?
Solución. Si el evento A consiste en la aparición de una bola blanca y el evento B consiste en una bola roja, entonces la apariencia de la bola no es negra.
significa la apariencia de una bola blanca o roja. Dado que por definición de probabilidad
entonces, según el teorema de la suma, la probabilidad de que aparezca una bola que no sea negra es igual;
Este problema se puede solucionar de esta manera. Sea el evento C la aparición de una bola negra. El número de bolas negras es igual de modo que P (C) La aparición de una bola no negra es el evento opuesto de C, por lo tanto, con base en el corolario anterior del teorema de la suma, tenemos:
como antes.
Ejemplo 3. En una lotería de dinero en efectivo, para una serie de 1000 boletos hay 120 ganancias en efectivo y 80 ganancias materiales. ¿Cuál es la probabilidad de ganar algo con un billete de lotería?
Solución. Si denotamos por A un evento que consiste en una ganancia monetaria y por B una ganancia material, entonces de la definición de probabilidad se sigue
El evento que nos interesa está representado por (A o B), por lo que se deduce del teorema de la suma
Por tanto, la probabilidad de ganar es 0,2.
Antes de pasar al siguiente teorema, es necesario familiarizarse con un nuevo concepto importante: el concepto de probabilidad condicional. Para ello, comenzaremos considerando el siguiente ejemplo.
Supongamos que hay 400 bombillas en un almacén, fabricadas en dos fábricas diferentes, y la primera produce el 75% de todas las bombillas y la segunda, el 25%. Supongamos que entre las bombillas fabricadas por la primera planta, el 83% satisfacen las condiciones de una determinada norma, y para los productos de la segunda planta este porcentaje es del 63. Determinemos la probabilidad de que una bombilla extraída aleatoriamente de la El almacén cumplirá las condiciones de la norma.
Tenga en cuenta que el número total de bombillas estándar disponibles se compone de las bombillas fabricadas por la primera
fábrica y 63 bombillas fabricadas en la segunda planta, es decir, 312. Dado que la elección de cualquier bombilla debe considerarse igualmente posible, tenemos 312 casos favorables de 400, por lo que
donde el evento B es que la bombilla que hemos elegido es estándar.
Durante este cálculo no se hicieron suposiciones sobre el producto de a qué planta pertenecía la bombilla que elegimos. Si hacemos suposiciones de este tipo, entonces es obvio que la probabilidad que nos interesa puede cambiar. Así, por ejemplo, si se sabe que la bombilla seleccionada fue fabricada en la primera planta (evento A), entonces la probabilidad de que sea estándar ya no será 0,78, sino 0,83.
Este tipo de probabilidad, es decir, la probabilidad del evento B dado que ocurre el evento A, se llama probabilidad condicional del evento B dada la ocurrencia del evento A y se denota
Si en el ejemplo anterior denotamos por A el evento de que la bombilla seleccionada se fabrica en la primera planta, entonces podemos escribir
Ahora podemos formular un teorema importante relacionado con el cálculo de la probabilidad de combinar eventos.
Teorema de la multiplicación.
La probabilidad de combinar los eventos A y B es igual al producto de la probabilidad de uno de los eventos por la probabilidad condicional del otro, suponiendo que el primero ocurrió:
En este caso, la combinación de los eventos A y B significa la ocurrencia de cada uno de ellos, es decir, la ocurrencia tanto del evento A como del evento B.
Prueba. Consideremos un grupo completo de eventos incompatibles por pares igualmente posibles, cada uno de los cuales puede ser favorable o desfavorable tanto para el evento A como para el evento B.
Dividamos todos estos eventos en cuatro. varios grupos de la siguiente manera. El primer grupo incluye aquellos eventos que favorecen tanto el evento A como el evento B; El segundo y tercer grupo incluyen aquellos eventos que favorecen a uno de los dos eventos que nos interesan y no favorecen al otro, por ejemplo, el segundo grupo incluye aquellos que favorecen a A pero no favorecen a B, y el tercer grupo incluye aquellos que favorecer a B pero no favorecer a A; finalmente a
El cuarto grupo incluye aquellos eventos que no favorecen ni a A ni a B.
Dado que la numeración de los eventos no importa, podemos suponer que esta división en cuatro grupos se ve así:
Grupo I:
Grupo II:
IV grupo:
Así, entre eventos igualmente posibles e incompatibles por pares, hay eventos que favorecen tanto al evento A como al evento B, eventos que favorecen al evento A, pero no favorecen al evento A, eventos que favorecen a B, pero no favorecen a A y, finalmente, Eventos que no favorecen ni a A ni a B.
Notemos, dicho sea de paso, que cualquiera de los cuatro grupos que hemos considerado (e incluso más de uno) no puede contener un solo evento. En este caso, el número correspondiente que indica el número de eventos en dicho grupo será igual a cero.
Nuestro desglose en grupos le permite escribir inmediatamente
pues la combinación de los eventos A y B se ve favorecida por los eventos del primer grupo y sólo por ellos. El número total de eventos que favorecen a A es igual al número total de eventos en el primer y segundo grupo, y los que favorecen a B es igual al número total de eventos en el primer y tercer grupo.
Calculemos ahora la probabilidad, es decir, la probabilidad del evento B, siempre que haya ocurrido el evento A. Ahora los eventos incluidos en el tercer y cuarto grupo desaparecen, ya que su aparición contradeciría la ocurrencia del evento A, y el número posibles casos resulta ser igual ya no. De estos, el evento B se ve favorecido sólo por los eventos del primer grupo, por lo que obtenemos:
Para demostrar el teorema, basta ahora escribir la identidad obvia:
y reemplace las tres fracciones con las probabilidades calculadas anteriormente. Llegamos a la igualdad establecida en el teorema:
Está claro que la identidad que escribimos anteriormente sólo tiene sentido si es siempre verdadera, a menos que A sea un evento imposible.
Dado que los eventos A y B son iguales, al intercambiarlos obtenemos otra forma del teorema de la multiplicación:
Sin embargo, esta igualdad se puede obtener de la misma forma que la anterior, si observas que usando la identidad
Comparando los lados derechos de las dos expresiones para la probabilidad P(A y B), obtenemos una igualdad útil:
Consideremos ahora ejemplos que ilustran el teorema de la multiplicación.
Ejemplo 4. En los productos de una determinada empresa, el 96% de los productos se consideran aptos (evento A). 75 productos de cada cien adecuados resultan pertenecer al primer grado (evento B). Determine la probabilidad de que un producto seleccionado al azar sea adecuado y pertenezca al primer grado.
Solución. La probabilidad deseada es la probabilidad de combinar los eventos A y B. Por condición tenemos: . Por lo tanto, el teorema de la multiplicación da
Ejemplo 5. La probabilidad de dar en el blanco de un solo disparo (evento A) es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco si falla el 2% de las mechas (es decir, en el 2% de los casos el disparo no alcanza el objetivo)?
Solución. Sea el evento B que ocurrirá un disparo, y sea B el evento opuesto. Luego por condición y según el corolario del teorema de la suma. Además, según la condición.
Dar en el blanco significa la combinación de los eventos A y B (el tiro se disparará y dará en el blanco), por lo tanto, según el teorema de la multiplicación
Importante caso especial Los teoremas de multiplicación se pueden obtener utilizando el concepto de independencia de eventos.
Dos eventos se llaman independientes si la probabilidad de uno de ellos no cambia como resultado de si el otro ocurre o no.
Ejemplos de eventos independientes son el abandono escolar. varios numeros puntos al volver a lanzar un dado o una u otra cara de las monedas al volver a lanzar una moneda, ya que es obvio que la probabilidad de que un escudo se caiga en el segundo lanzamiento es igual independientemente de si el escudo se cayó o no en el primero.
De manera similar, la probabilidad de sacar una bola blanca por segunda vez de una urna que contiene bolas blancas y negras si la primera bola extraída se devuelve previamente no depende de si la bola fue extraída la primera vez, blanca o negra. Por tanto, los resultados de la primera y segunda eliminación son independientes entre sí. Por el contrario, si la bola extraída primero no regresa a la urna, entonces el resultado de la segunda extracción depende de la primera, porque la composición de las bolas en la urna después de la primera extracción cambia según su resultado. Aquí tenemos un ejemplo de eventos dependientes.
Usando la notación adoptada para las probabilidades condicionales, podemos escribir la condición para la independencia de los eventos A y B en la forma
Usando estas igualdades, podemos reducir el teorema de la multiplicación para eventos independientes a la siguiente forma.
Si los eventos A y B son independientes, entonces la probabilidad de su combinación es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:
De hecho, basta con poner la expresión inicial del teorema de la multiplicación, que se deriva de la independencia de los eventos, y obtendremos la igualdad requerida.
Consideremos ahora varios eventos: los llamaremos colectivamente independientes si la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos no depende de si otros eventos considerados ocurrieron o no.
En el caso de eventos que son colectivamente independientes, el teorema de la multiplicación se puede extender a cualquier número finito de ellos, por lo que se puede formular de la siguiente manera:
La probabilidad de combinar eventos independientes en conjunto es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:
Ejemplo 6. Un trabajador está dando servicio a tres máquinas automáticas, y debe acercarse a cada una de ellas para corregir un mal funcionamiento si la máquina se detiene. La probabilidad de que la primera máquina no se detenga en una hora es 0,9. La misma probabilidad para la segunda máquina es 0,8 y para la tercera, 0,7. Determine la probabilidad de que dentro de una hora el trabajador no necesite acercarse a ninguna de las máquinas a las que está dando servicio.
Ejemplo 7. Probabilidad de derribar un avión con un disparo de rifle ¿Cuál es la probabilidad de destruir un avión enemigo si se disparan 250 rifles al mismo tiempo?
Solución. La probabilidad de que el avión no sea derribado con un solo disparo es igual al teorema de la suma. Luego podemos calcular, usando el teorema de la multiplicación, la probabilidad de que el avión no sea derribado con 250 disparos, como la probabilidad de combinar. eventos. Es igual a Después de esto, podemos usar nuevamente el teorema de la suma y encontrar la probabilidad de que el avión sea derribado como la probabilidad del evento opuesto.
De esto se puede ver que, aunque la probabilidad de derribar un avión con un solo disparo de rifle es insignificante, sin embargo, cuando se dispara con 250 rifles, la probabilidad de derribar un avión ya es muy notable. Aumenta significativamente si se aumenta el número de rifles. Entonces, cuando se dispara con 500 rifles, la probabilidad de derribar un avión, como es fácil de calcular, es igual a cuando se dispara con 1000 rifles, incluso.
El teorema de la multiplicación demostrado anteriormente nos permite ampliar un poco el teorema de la suma, extendiéndolo al caso de eventos compatibles. Está claro que si los eventos A y B son compatibles, entonces la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos no es igual a la suma de sus probabilidades. Por ejemplo, si el evento A significa un número par
el número de puntos al lanzar un dado, y el evento B es la pérdida de un número de puntos que es múltiplo de tres, entonces el evento (A o B) se ve favorecido por la pérdida de 2, 3, 4 y 6 puntos, eso es
Por otro lado, eso es. Entonces en este caso
De esto se desprende claramente que en el caso de eventos compatibles se debe cambiar el teorema de la suma de probabilidades. Como veremos ahora, se puede formular de tal manera que sea válido tanto para eventos compatibles como para eventos incompatibles, de modo que el teorema de la suma considerado anteriormente resulta ser un caso especial del nuevo.
Eventos que no son favorables a A.
Todos los eventos elementales que favorecen a un evento (A o B) deben favorecer solo a A, o solo a B, o tanto a A como a B. Por lo tanto, el número total de tales eventos es igual a
y la probabilidad
Q.E.D.
Aplicando la fórmula (9) al ejemplo anterior del número de puntos que aparecen al lanzar un dado, obtenemos:
que coincide con el resultado del cálculo directo.
Obviamente, la fórmula (1) es un caso especial de (9). De hecho, si los eventos A y B son incompatibles, entonces la probabilidad de combinación
Por ejemplo. Dos fusibles están conectados en serie al circuito eléctrico. La probabilidad de falla del primer fusible es 0,6 y la del segundo es 0,2. Determinemos la probabilidad de un corte de energía como resultado de una falla de al menos uno de estos fusibles.
Solución. Dado que los eventos A y B, consistentes en el fallo del primero y segundo de los fusibles, son compatibles, la probabilidad requerida vendrá determinada por la fórmula (9):
Ejercicios
El concepto de evento y la probabilidad de un evento. Eventos confiables e imposibles. Definición clásica de probabilidad. Teorema de la suma de probabilidades. Teorema de la multiplicación de probabilidades. Resolver los problemas más simples de determinar la probabilidad mediante la suma de probabilidades.
Directrices para el tema 3.1:
El concepto de evento y la probabilidad de un evento. Eventos confiables e imposibles. Definición clásica de probabilidades:
El estudio de cada fenómeno en el orden de observación o experimentación está asociado a la implementación de un determinado conjunto de condiciones (pruebas). Cada resultado o resultado de una prueba se llama evento.
Si un evento bajo determinadas condiciones puede ocurrir o no ocurrir, entonces se llama aleatorio. Cuando un evento es seguro que sucederá, se llama confiable, y en el caso en que obviamente no pueda suceder, - imposible.
Los eventos se llaman incompatible, si sólo uno de ellos es posible que aparezca cada vez. Los eventos se llaman articulación, si, en determinadas condiciones, la ocurrencia de uno de estos eventos no excluye la ocurrencia de otro durante la misma prueba.
Los eventos se llaman opuesto, si bajo las condiciones de la prueba, siendo sus únicos resultados, son incompatibles.
La probabilidad de un evento se considera como una medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento aleatorio.
Probabilidad eventos se llama relación entre el número de resultados metro, favorable para la ocurrencia de un evento determinado, al número n de todos los resultados (incompatibles, solo posibles e igualmente posibles), es decir
La probabilidad de cualquier evento no puede ser menor que cero y mayor que uno, es decir . Un evento imposible corresponde a una probabilidad y un evento confiable corresponde a una probabilidad
Ejemplo 1. En una lotería de 1000 boletos, hay 200 ganadores. Se saca un boleto al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este boleto sea ganador?
El número total de resultados diferentes es norte= 1000. El número de resultados favorables para ganar es metro= 200. Según la fórmula, obtenemos .
Ejemplo 2. Se extrae una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Calcula la probabilidad de que la bola sea negra.
Denotaremos el evento consistente en la aparición de una bola negra por . Número total de casos. Numero de casos metro, favorable para la ocurrencia del evento, es igual a 3. Usando la fórmula obtenemos .
Ejemplo 3. De una urna que contiene 12 bolas blancas y 8 negras, se extraen dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean negras?
Denotaremos el evento consistente en la aparición de dos bolas negras por . Número total de casos posibles norte igual al número de combinaciones de 20 elementos (12 + 8) por dos:
Numero de casos metro, favorable al evento, es
Usando la fórmula, encontramos la probabilidad de que aparezcan dos bolas negras:
Teorema de la suma de probabilidades. Resolver los problemas más simples para determinar la probabilidad utilizando el teorema de la suma de probabilidades:
Teorema para sumar las probabilidades de eventos incompatibles. La probabilidad de que ocurra uno de varios eventos incompatibles por pares, sin importar cuál, es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:
Teorema para sumar probabilidades de eventos conjuntos. La probabilidad de que ocurra al menos uno de dos eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin la probabilidad de que ocurran juntos:
Ejemplo 4. Hay 20 piezas dispuestas en orden aleatorio en una caja, cinco de las cuales son estándar. Un trabajador toma tres piezas al azar. Encuentre la probabilidad de que al menos una de las piezas seleccionadas sea estándar.
Evidentemente, al menos una de las piezas tomadas será estándar si se produce alguno de tres eventos incompatibles: B- una parte es estándar, dos no estándar; C- dos piezas estándar, una no estándar y D- tres partes son estándar.
Entonces el evento A se puede representar como la suma de estos tres eventos: A = B + C + D. Por el teorema de la suma tenemos P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Encuentre la probabilidad de cada uno de estos eventos:
Sumando los valores encontrados obtenemos 
Ejemplo 5. Encuentre la probabilidad de que un resultado tomado al azar número de dos dígitos será un múltiplo de 3 o 5, o ambos.
Dejar A- un evento que consiste en el hecho de que un número elegido al azar es múltiplo de 3, y B- es que es múltiplo de 5. Encontremos Desde A Y B eventos conjuntos, entonces usamos la fórmula:
Hay un total de 90 números de dos cifras: 10, 11, 98, 99. De ellos, 30 son múltiplos de 3 (favorecen la ocurrencia del evento A); 18 - múltiplos de 5 (favorecen la ocurrencia de un evento B) y 6 - múltiplos de 3 y 5 al mismo tiempo (favorecen la ocurrencia del evento AB). Así, es decir
Teorema de la multiplicación de probabilidades:
Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos independientes. La probabilidad de que dos eventos independientes ocurran conjuntamente es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:
La probabilidad de que ocurran varios eventos que son independientes en conjunto se calcula mediante la fórmula:
Teorema para multiplicar las probabilidades de eventos dependientes. La probabilidad de que ocurran conjuntamente dos eventos dependientes es igual al producto de uno de ellos por la probabilidad condicional del segundo:
Ejemplo 6. Una urna contiene 4 bolas blancas y 8 negras, la otra contiene 3 bolas blancas y 9 negras. De cada urna se sacó una bola. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.
Sea la aparición de una bola blanca de la primera urna y sea la aparición de una bola blanca de la segunda urna. Es obvio que los eventos son independientes. Lo encontraremos
Usando la fórmula obtenemos:
Preguntas de autoevaluación sobre el tema 3.1:
1. ¿Qué es un evento?
2. ¿Qué eventos se llaman confiables?
3. ¿Qué eventos se llaman imposibles?
4. Defina probabilidad.
5. Formule el teorema para sumar probabilidades.
6. Formule el teorema de la multiplicación de probabilidades.
Tareas para decisión independiente sobre el tema 3.1:
1. Una caja contiene 10 piezas en orden aleatorio, de las cuales 4 son estándar. El inspector tomó 3 piezas al azar. Encuentre la probabilidad de que al menos una de las piezas tomadas resulte ser estándar.
2. Una urna contiene 10 bolas blancas, 15 negras, 20 azules y 25 rojas. Encuentre la probabilidad de que la bola extraída sea: 1) blanca; 2) negro o rojo.
3. Calcula la probabilidad de que un número de dos dígitos elegido al azar sea múltiplo de 4, 5 o ambos.
4. Un trabajador da servicio a dos máquinas que funcionan independientemente una de otra. La probabilidad de que la primera máquina no requiera la atención de un trabajador dentro de una hora es 0,8, y para la segunda máquina esta probabilidad es 0,7. Encuentre la probabilidad de que dentro de una hora ni una sola máquina requiera la atención de un trabajador.
5. La urna contiene 6 bolas, 3 de las cuales son blancas. Se extraen dos bolas al azar, una tras otra. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.
6. Una urna contiene 10 bolas blancas y 6 negras. Calcula la probabilidad de que tres bolas extraídas al azar una tras otra resulten negras.
Se está considerando un experimento. mi. Se supone que se puede realizar repetidamente. Como resultado del experimento, pueden aparecer varios eventos que componen un conjunto determinado. F. Los eventos observables se dividen en tres tipos: confiables, imposibles y aleatorios.
Confiable Un evento que seguramente ocurrirá como resultado de un experimento se llama. mi. Denotado por Ω.
Imposible Un evento que se sabe que no ocurre como resultado de un experimento se llama mi. Denotado por .
Aleatorio Un evento que puede ocurrir o no como resultado de un experimento se llama mi.
Adicional (opuesto) evento A es un evento, denotado por , que ocurre si y sólo si el evento no ocurre A.
Suma (combinación) eventos es un evento que ocurre si y sólo si ocurre al menos uno de estos eventos (Figura 3.1). Notación.
Figura 3.1
Producto (intersección) eventos es un evento que ocurre si y sólo si todos estos eventos ocurren juntos (simultáneamente) (Figura 3.2). Notación. Es obvio que los eventos A y B incompatible , Si .
Figura 3.2
Grupo completo de eventos. es un conjunto de eventos cuya suma es un evento determinado:
Evento EN llamado un caso especial de un evento A, si con la ocurrencia de un evento EN el evento aparece A. También dicen que el evento EN implica un evento A(Figura 3.3). Designación
Figura 3.3
Eventos A Y EN son llamados equivalente , si ocurren o no juntos durante el experimento mi. Designación Obviamente, si...
Un evento difícil llamar a un evento observado expresado a través de otros eventos observados en el mismo experimento usando operaciones algebraicas.
La probabilidad de que ocurra un evento complejo particular se calcula utilizando las fórmulas para sumar y multiplicar probabilidades.
Teorema de la suma de probabilidades
Consecuencias:
1) si eventos A Y EN son inconsistentes, el teorema de la suma toma la forma:
2) en el caso de tres términos, el teorema de la suma se escribe en la forma
3) la suma de las probabilidades de eventos mutuamente opuestos es igual a 1:
El conjunto de eventos ,,..., se llama grupo completo de eventos , Si
La suma de las probabilidades de eventos que forman un grupo completo es igual a 1:
Probabilidad de ocurrencia del evento A siempre que el evento EN sucedió, lo llaman la probabilidad condicional y denota o.
A Y EN – eventos dependientes , Si .
A Y EN – eventos independientes , Si .
Teorema de la multiplicación de probabilidades
Consecuencias:
1) para eventos independientes A Y EN
2) en caso general para el producto de tres eventos, el teorema de la multiplicación de probabilidades tiene la forma:
Ejemplos de resolución de problemas
Ejemplo1 - Tres elementos se conectan en serie al circuito eléctrico, funcionando independientemente entre sí. Las probabilidades de falla del primer, segundo y tercer elemento son respectivamente iguales a ,. Encuentre la probabilidad de que no haya corriente en el circuito.
Solución
Primera manera.
Designemos los siguientes eventos: - Se produjo una falla en el primer, segundo y tercer elemento del circuito, respectivamente.
Evento A– no habrá corriente en el circuito (al menos uno de los elementos fallará, ya que están conectados en serie).
Evento: hay corriente en el circuito (tres elementos están funcionando), . La probabilidad de eventos opuestos está relacionada con la fórmula (3.4). Un evento es el producto de tres eventos que son independientes por pares. Usando el teorema para multiplicar las probabilidades de eventos independientes, obtenemos
Entonces la probabilidad del evento deseado es .
Segunda vía.
Teniendo en cuenta la notación previamente aceptada, anotamos el evento deseado. A– al menos uno de los elementos fallará:
Dado que los términos incluidos en la suma son compatibles, se debe aplicar el teorema de la suma de probabilidades en vista general para el caso de tres términos (3.3):
Respuesta: 0,388.
Problemas para resolver de forma independiente.
1 La sala de lectura cuenta con seis libros de texto sobre teoría de la probabilidad, tres de los cuales están encuadernados. El bibliotecario tomó dos libros de texto al azar. Encuentre la probabilidad de que ambos libros de texto estén encuadernados.
2 Hay hilos mezclados en la bolsa, el 30% de los cuales son blancos y el resto rojos. Determine las probabilidades de que dos hilos extraídos al azar sean: del mismo color; Colores diferentes.
3 El dispositivo consta de tres elementos que funcionan de forma independiente. Las probabilidades de funcionamiento sin fallos durante un determinado período de tiempo del primer, segundo y tercer elemento, respectivamente, son 0,6; 0,7; 0.8. Encuentre las probabilidades de que durante este tiempo solo un elemento funcione sin fallar; sólo dos elementos; los tres elementos; al menos dos elementos.
4 tres tirados dado. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:
a) aparecerán cinco puntos en cada lado sorteado;
b) aparecerá el mismo número de puntos en todos los lados descartados;
c) un punto aparecerá en dos lados eliminados y otro número de puntos aparecerá en el tercer lado;
d) aparecerá una cantidad diferente de puntos en todas las caras eliminadas.
5 La probabilidad de que un tirador acierte en el objetivo de un solo disparo es 0,8. ¿Cuántos tiros debe realizar el tirador para que, con una probabilidad inferior a 0,4, se pueda esperar que no falle?
6 De los números 1, 2, 3, 4, 5, primero se selecciona uno y luego, de los cuatro restantes, el segundo dígito. Se supone que los 20 resultados posibles son igualmente probables. Encuentre la probabilidad de que se elija un número impar: por primera vez; por segunda vez; ambas veces.
7 La probabilidad de que un par de zapatos talla 46 se vuelva a vender en la sección de zapatos para hombres de la tienda es 0,01. ¿Cuántos pares de zapatos se deben vender en una tienda para que, con una probabilidad de al menos 0,9, se pueda esperar que se venda al menos un par de zapatos talla 46?
8 La caja contiene 10 piezas, incluidas dos no estándar. Encuentre la probabilidad de que de seis piezas seleccionadas al azar no haya más de una no estándar.
9 El departamento de control técnico comprueba la calidad de los productos. La probabilidad de que el producto no sea estándar es 0,1. Encuentre la probabilidad de que:
a) de tres productos probados, solo dos resultarán no estándar;
b) sólo el cuarto producto probado en orden resultará no ser estándar.
10 32 letras del alfabeto ruso están escritas en tarjetas del alfabeto recortadas:
a) Se sacan tres cartas al azar una tras otra y se colocan sobre la mesa en el orden de aparición. Encuentre la probabilidad de que salga la palabra "mundo";
b) las tres cartas retiradas se pueden intercambiar de cualquier forma. ¿Cuál es la probabilidad de que puedan usarse para formar la palabra “mundo”?
11 Un caza ataca a un bombardero y le dispara dos ráfagas independientes. La probabilidad de derribar un bombardero con la primera ráfaga es de 0,2 y la segunda, de 0,3. Si el bombardero no es derribado, dispara al caza desde sus cañones traseros y lo derriba con una probabilidad de 0,25. Calcula la probabilidad de que un bombardero o un caza sea derribado como resultado de una batalla aérea.
Tarea
1 Fórmula de probabilidad total. La fórmula de Bayes.
2 Resolver problemas
Tarea1 . Un trabajador opera tres máquinas que funcionan independientemente una de otra. La probabilidad de que la primera máquina no requiera la atención del trabajador en una hora es 0,9, la segunda – 0,8 y la tercera – 0,85. Encuentre la probabilidad de que dentro de una hora al menos una máquina requiera la atención de un trabajador.
Tarea2 . El centro de computación, que debe procesar continuamente la información entrante, tiene dos dispositivos informáticos. Se sabe que cada uno de ellos tiene una probabilidad de falla en un tiempo igual a 0,2. Necesitas determinar la probabilidad:
a) el hecho de que uno de los dispositivos fallará y el segundo estará operativo;
b) funcionamiento sin problemas de cada dispositivo.
Tarea3 . Cuatro cazadores acordaron disparar a la presa en una secuencia determinada: el siguiente cazador dispara un tiro sólo si el anterior falla. La probabilidad de acierto para el primer cazador es 0,6, para el segundo – 0,7, para el tercero – 0,8. Encuentre la probabilidad de que se realicen disparos:
d) cuatro.
Tarea4 . La pieza pasa por cuatro operaciones de procesamiento. La probabilidad de sufrir un defecto durante la primera operación es 0,01, durante la segunda - 0,02, durante la tercera - 0,03 y durante la cuarta - 0,04. Encuentre la probabilidad de recibir una pieza sin defectos después de cuatro operaciones, suponiendo que los eventos de recibir defectos en operaciones individuales son independientes.
Institución educativa "Estado bielorruso
Academia Agrícola"
Departamento de Matemáticas Superiores
SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES. PRUEBAS INDEPENDIENTES REPETIDAS
Conferencia para estudiantes de la Facultad de Ordenación del Territorio.
cursos por correspondencia
Gorki, 2012
Suma y multiplicación de probabilidades. Repetido
pruebas independientes
Suma de probabilidades
La suma de dos eventos conjuntos A Y EN evento llamado CON, consistente en la ocurrencia de al menos uno de los eventos A o EN. De manera similar, la suma de varios eventos conjuntos es un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos eventos.
La suma de dos eventos incompatibles A Y EN evento llamado CON consistente en un suceso o evento A, o eventos EN. De manera similar, la suma de varios eventos incompatibles es un evento que consiste en la ocurrencia de cualquiera de estos eventos.
El teorema para sumar las probabilidades de eventos incompatibles es válido: la probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos , es decir. . Este teorema se puede extender a cualquier número finito de eventos incompatibles.
De este teorema se sigue:
la suma de las probabilidades de eventos que forman un grupo completo es igual a uno;
la suma de las probabilidades de eventos opuestos es igual a uno, es decir 
.
Ejemplo 1 . La caja contiene 2 bolas blancas, 3 rojas y 5 azules. Se mezclan las bolas y se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la pelota sea de color?
Solución . Denotemos los eventos:
A=(bola de color extraída);
B=(bola blanca extraída);
C=(bola roja extraída);
D=(bola azul extraída).
Entonces A= C+ D. Desde los acontecimientos C, D son inconsistentes, entonces usaremos el teorema para sumar las probabilidades de eventos incompatibles: .
Ejemplo 2 . La urna contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Se extraen 3 bolas al azar de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean todos del mismo color?
Solución . Denotemos los eventos:
A=(se extraen bolas del mismo color);
B=(se sacan bolas blancas);
C=(se sacan las bolas negras).
Porque A=
B+
C y eventos EN Y CON son inconsistentes, entonces por el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles 
. probabilidad de evento EN igual a 
, Dónde 
4,
. sustituyamos k Y norte en la fórmula y obtenemos 
De manera similar, encontramos la probabilidad del evento. CON:
, Dónde 
,
, es decir. 
. Entonces 
.
Ejemplo 3 . De una baraja de 36 cartas se extraen 4 cartas al azar. Calcula la probabilidad de que haya al menos tres ases entre ellos.
Solución . Denotemos los eventos:
A=(entre las cartas sacadas hay al menos tres ases);
B=(entre las cartas sacadas hay tres ases);
C=(entre las cartas sacadas hay cuatro ases).
Porque A=
B+
C y eventos EN Y CON son incompatibles, entonces 
. Encontremos las probabilidades de eventos. EN Y CON:
,
. Por tanto, la probabilidad de que entre las cartas extraídas haya al menos tres ases es igual a
0.0022.
Multiplicar probabilidades
La obra
dos eventos A Y EN evento llamado CON, consistente en la ocurrencia conjunta de estos eventos: 
. Esta definición se aplica a cualquier número finito de eventos.
Los dos eventos se llaman independiente
, si la probabilidad de que ocurra uno de ellos no depende de si el otro evento ocurrió o no. Eventos 
,
,
… ,
son llamados colectivamente independiente
, si la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos no depende de si ocurrieron o no otros eventos.
Ejemplo 4 . Dos tiradores disparan a un objetivo. Denotemos los eventos:
A=(el primer tirador dio en el blanco);
B=(el segundo tirador dio en el blanco).
Obviamente, la probabilidad de que el primer tirador acierte en el blanco no depende de si el segundo tirador acertó o falló, y viceversa. Por lo tanto, los acontecimientos A Y EN independiente.
El teorema para multiplicar las probabilidades de eventos independientes es válido: la probabilidad del producto de dos eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de estos eventos : .
Este teorema también es válido para norte Eventos colectivamente independientes: .
Ejemplo 5 . Dos tiradores disparan al mismo objetivo. La probabilidad de acertar al primer tirador es 0,9 y al segundo es 0,7. Ambos tiradores disparan un tiro a la vez. Determine la probabilidad de que se produzcan dos impactos en el objetivo.
Solución . Denotemos los eventos:
A
B
C=(ambos tiradores darán en el blanco).
Porque 
y eventos A Y EN son independientes, entonces 
, es decir..
Eventos A Y EN son llamados dependiente
, si la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende de si ocurrió o no otro evento. Probabilidad de que ocurra un evento A siempre que el evento EN ya llego, se llama la probabilidad condicional
y es designado 
o 
.
Ejemplo 6 . La urna contiene 4 bolas blancas y 7 negras. Se extraen bolas de la urna. Denotemos los eventos:
A=(bola blanca extraída);
B=(bola negra extraída).
Antes de empezar a sacar bolas de la urna 
. Se sacó una bola de la urna y resultó ser negra. Entonces la probabilidad del evento A después del evento EN habrá otro igual 
. Esto significa que la probabilidad de un evento A depende del evento EN, es decir. Estos eventos serán dependientes.
El teorema para multiplicar las probabilidades de eventos dependientes es válido: La probabilidad de que ocurran dos eventos dependientes es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, calculada bajo el supuesto de que el primer evento ya ha ocurrido., es decir. o.
Ejemplo 7 . La urna contiene 4 bolas blancas y 8 bolas rojas. Se extraen secuencialmente dos bolas al azar. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean negras.
Solución . Denotemos los eventos:
A=(bola negra extraída primero);
B=(se extrae la segunda bola negra).
Eventos A Y EN dependiente porque 
, A 
. Entonces 
.
Ejemplo 8 . Tres tiradores disparan al objetivo de forma independiente. La probabilidad de acertar en el blanco para el primer tirador es 0,5, para el segundo – 0,6 y para el tercero – 0,8. Encuentre la probabilidad de que haya dos aciertos en el objetivo si cada tirador dispara un tiro.
Solución . Denotemos los eventos:
A=(habrá dos impactos en el objetivo);
B=(el primer tirador dará en el blanco);
C=(el segundo tirador dará en el blanco);
D=(el tercer tirador dará en el blanco);
=(el primer tirador no dará en el blanco);
=(el segundo tirador no dará en el blanco);
=(el tercer tirador no dará en el blanco).
Según la condición del ejemplo. 
,
,
,
,
,
. Dado que, utilizando el teorema de suma de probabilidades de eventos incompatibles y el teorema de multiplicación de probabilidades de eventos independientes, obtenemos:
dejar eventos 
formar un grupo completo de eventos de alguna prueba, y los eventos A puede ocurrir con sólo uno de estos eventos. Si se conocen las probabilidades y probabilidades condicionales del evento. A, entonces la probabilidad del evento A se calcula mediante la fórmula:
o 
. Esta fórmula se llama fórmula de probabilidad total
y eventos 
hipótesis
.
Ejemplo 9
. La línea de montaje recibe 700 piezas de la primera máquina y 300 piezas 
desde el segundo. La primera máquina produce un 0,5% de chatarra y la segunda, un 0,7%. Encuentre la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa.
Solución . Denotemos los eventos:
A=(el artículo recibido será defectuoso);
=(la pieza fue hecha en la primera máquina);
=(la pieza se fabrica en la segunda máquina).
La probabilidad de que la pieza se fabrique en la primera máquina es igual a 
. Para la segunda máquina 
. Según la condición, la probabilidad de recibir una pieza defectuosa fabricada en la primera máquina es igual a 
. Para la segunda máquina esta probabilidad es igual a 
. Luego, la probabilidad de que la pieza adquirida sea defectuosa se calcula utilizando la fórmula de probabilidad total. 
Si se sabe que algún evento ocurrió como resultado de la prueba A, entonces la probabilidad de que este evento haya ocurrido con la hipótesis 
, es igual 
, Dónde 
- probabilidad total de un evento A. Esta fórmula se llama fórmula de bayes
y le permite calcular las probabilidades de eventos 
después de que se supo que el evento A ya ha llegado.
Ejemplo 10 . El mismo tipo de piezas de automóvil se producen en dos fábricas y se entregan en la tienda. La primera planta produce el 80% del número total de piezas y la segunda, el 20%. Los productos de la primera planta contienen el 90% de piezas estándar y los de la segunda, el 95%. El comprador compró una pieza y resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de que esta pieza haya sido fabricada en la segunda planta.
Solución . Denotemos los eventos:
A=(pieza estándar comprada);
=(la pieza fue fabricada en la primera planta);
=(la pieza fue fabricada en la segunda planta).
Según la condición del ejemplo. 
,
,
Y 
. Calculemos la probabilidad total del evento. A: 0,91. Calculamos la probabilidad de que la pieza haya sido fabricada en la segunda planta mediante la fórmula de Bayes: 
.
Tareas para el trabajo independiente.
La probabilidad de acertar en el blanco para el primer tirador es 0,8, para el segundo – 0,7 y para el tercero – 0,9. Los tiradores dispararon un tiro cada uno. Encuentre la probabilidad de que haya al menos dos aciertos en el objetivo.
El taller recibió 15 tractores. Se sabe que en 6 de ellos es necesario reemplazar el motor y en el resto es necesario reemplazar componentes individuales. Se seleccionan tres tractores al azar. Encuentre la probabilidad de que sea necesario reemplazar el motor de no más de dos tractores seleccionados.
La planta de hormigón armado produce paneles, el 80% de los cuales son de la máxima calidad. Encuentre la probabilidad de que de tres paneles seleccionados al azar, al menos dos sean del grado más alto.
Tres trabajadores están ensamblando rodamientos. La probabilidad de que el rodamiento montado por el primer trabajador sea de la mejor calidad es de 0,7, del segundo de 0,8 y del tercero de 0,6. Para el control se tomó al azar un rodamiento de los ensamblados por cada trabajador. Encuentre la probabilidad de que al menos dos de ellos sean de la más alta calidad.
La probabilidad de ganar con un billete de lotería de la primera emisión es de 0,2, del segundo de 0,3 y del tercero de 0,25. Hay un billete para cada emisión. Calcula la probabilidad de que ganen al menos dos boletos.
El contador realiza cálculos utilizando tres libros de referencia. La probabilidad de que los datos que le interesan estén en el primer directorio es 0,6, en el segundo - 0,7 y en el tercero - 0,8. Encuentre la probabilidad de que los datos que le interesan al contador estén contenidos en no más de dos directorios.
Tres máquinas producen piezas. La primera máquina produce una pieza de máxima calidad con probabilidad 0,9, la segunda con probabilidad 0,7 y la tercera con probabilidad 0,6. Se toma al azar una pieza de cada máquina. Encuentre la probabilidad de que al menos dos de ellos sean de la más alta calidad.
El mismo tipo de piezas se procesan en dos máquinas. La probabilidad de producir una pieza no estándar para la primera máquina es de 0,03, para la segunda, de 0,02. Las piezas procesadas se almacenan en un solo lugar. De ellos, el 67% son de la primera máquina y el resto de la segunda. La pieza tomada al azar resultó ser estándar. Calcula la probabilidad de que se haya fabricado en la primera máquina.
El taller recibió dos cajas del mismo tipo de condensadores. La primera caja contenía 20 condensadores, de los cuales 2 estaban defectuosos. La segunda caja contiene 10 condensadores, de los cuales 3 están defectuosos. Los condensadores se colocaron en una caja. Encuentre la probabilidad de que un capacitor tomado al azar de una caja esté en buenas condiciones.
Tres máquinas producen el mismo tipo de piezas, que se suministran a un transportador común. Del total de piezas, el 20% son de la primera máquina, el 30% de la segunda y 505 de la tercera. La probabilidad de producir una pieza estándar en la primera máquina es de 0,8, en la segunda de 0,6 y en la tercera de 0,7. La pieza tomada resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de que esta pieza se haya fabricado en la tercera máquina.
El ensamblador recibe el 40% de las piezas de fábrica para su montaje. A, y el resto - de fábrica EN. La probabilidad de que la pieza sea de fábrica. A– calidad superior, igual a 0,8, y de fábrica EN– 0,9. El ensamblador tomó una pieza al azar y resultó ser de mala calidad. Encuentre la probabilidad de que esta pieza sea de fábrica. EN.
10 estudiantes del primer grupo y 8 del segundo fueron asignados para participar en competiciones deportivas estudiantiles. La probabilidad de que un estudiante del primer grupo sea incluido en el equipo de la academia es de 0,8 y del segundo, de 0,7. Se incluyó en el equipo a un estudiante seleccionado al azar. Calcula la probabilidad de que sea del primer grupo.
La fórmula de Bernoulli.
Las pruebas se llaman independiente
, si para cada uno de ellos el evento A ocurre con la misma probabilidad 
, independientemente de si este evento apareció o no en otros ensayos. Probabilidad del evento opuesto. 
en este caso es igual 
.
Ejemplo 11
. Lanzamiento de dados norte una vez. Denotemos el evento A=(tirando tres puntos). Probabilidad de que ocurra un evento A en cada ensayo es igual y no depende de si este evento ocurrió o no en otros ensayos. Por tanto, estas pruebas son independientes. Probabilidad del evento opuesto. 
(sin sacar tres puntos) es igual a 
.
La probabilidad de que en norte ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de que ocurra el evento A igual a pag, el evento ocurrirá exactamente k veces (no importa en qué orden), calculado por la fórmula 
, Dónde 
. Esta fórmula se llama La fórmula de Bernoulli.
y es conveniente si el número de pruebas n no es demasiado grande.
Ejemplo 12 . La proporción de frutos infectados con la enfermedad en forma latente es del 25%. Se seleccionan 6 frutas al azar. Encuentre la probabilidad de que entre los seleccionados haya: a) exactamente 3 frutos infectados; b) no más de dos frutos infectados.
Solución . Según las condiciones del ejemplo.
a) Según la fórmula de Bernoulli, la probabilidad de que entre seis frutos seleccionados exactamente tres estén infectados es igual a
0.132.
b) Denotemos el evento A=(no se infectarán más de dos frutas). Entonces . Según la fórmula de Bernoulli:
0.297.
Por eso, 
0.178+0.356+0.297=0.831.
Teoremas de Laplace y Poisson
La fórmula de Bernoulli se utiliza para encontrar la probabilidad de que un evento A vendrá k una vez cada norte ensayos independientes y en cada ensayo la probabilidad de un evento A es constante. Para valores grandes de n, los cálculos utilizando la fórmula de Bernoulli resultan laboriosos. En este caso, para calcular la probabilidad de un evento. A Sería mejor utilizar una fórmula diferente.
Teorema local de Laplace . deja que la probabilidad pag ocurrencia de un evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno. Entonces la probabilidad de que el evento A vendrá exactamente k veces con un número suficientemente grande n de pruebas, se calcula mediante la fórmula
, Dónde 
, y los valores de la función 
se dan en la tabla.
Principales propiedades de la función. 
son:
Función 
definido y continuo en el intervalo 
.
Función 
es positivo, es decir 
>0.
Función 
incluso, es decir 
.
Desde la función 
es par, entonces la tabla muestra sus valores solo para valores positivos X.
Ejemplo 13 . La tasa de germinación de las semillas de trigo es del 80%. Se seleccionan 100 semillas para el experimento. Calcula la probabilidad de que broten exactamente 90 de las semillas seleccionadas.
Solución
. Según el ejemplo norte=100,
k=90,
pag=0.8,
q=1-0,8=0,2. Entonces 
. Usando la tabla encontramos el valor de la función. 
:
. La probabilidad de que broten exactamente 90 de las semillas seleccionadas es igual a 
0.0044.
Al resolver problemas prácticos, se hace necesario encontrar la probabilidad de que ocurra un evento. A en norte pruebas independientes nada menos 
una vez y no más 
una vez. Este problema se resuelve usando Teorema integral de Laplace
: Sea la probabilidad pag ocurrencia de un evento A en cada norte pruebas independientes es constante y diferente de cero y uno. Entonces la probabilidad de que el evento ocurra es al menos 
una vez y no más 
veces con un número suficientemente grande de pruebas, se calcula mediante la fórmula
Dónde 
,
.
Función 
llamado función de Laplace
y no se expresa a través de funciones elementales. Los valores de esta función se dan en tablas especiales.
Principales propiedades de la función. 
son:
.
Función 
aumenta en el intervalo 
.
en 
.
Función 
extraño, es decir 
.
Ejemplo 14 . La empresa produce productos, el 13% de los cuales no son de la más alta calidad. Determine la probabilidad de que en un lote no probado de 150 unidades del producto de mayor calidad haya no menos de 125 ni más de 135.
Solución
. Denotemos. calculemos 
,
Teoremas de suma y multiplicación de probabilidades.
Teorema para sumar las probabilidades de dos eventos.. La probabilidad de la suma de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin la probabilidad de que ocurran juntos.:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Teorema para sumar las probabilidades de dos eventos incompatibles. La probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos:
P(A+B)=P(A)+P(B).
Ejemplo 2.16. El tirador dispara a un objetivo dividido en 3 zonas. La probabilidad de acertar en la primera zona es de 0,45 y en la segunda de 0,35. Encuentre la probabilidad de que el tirador acierte en la primera o segunda área con un solo disparo.
Solución.
Eventos A- “el tirador alcanzó la primera zona” y EN- “el tirador acertó en la segunda área” - son inconsistentes (un acierto en un área excluye un acierto en otra), por lo tanto, se aplica el teorema de la suma.
La probabilidad requerida es:
P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.
Teorema de la suma de probabilidades PAG eventos incompatibles. La probabilidad de una suma de n eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos:
P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).
La suma de las probabilidades de eventos opuestos es igual a uno:
probabilidad de evento EN siempre que el hecho haya ocurrido A, se llama probabilidad condicional del evento. EN y se denota de la siguiente manera: P(V/A), o RA (B).
. La probabilidad de que ocurran dos eventos es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, siempre que ocurra el primer evento:
P(AB)=P(A)P A (B).
Evento EN no depende del evento A, Si
R A (V) = R (V),
aquellos. probabilidad de evento EN no depende de si el evento ocurrió A.
El teorema para multiplicar las probabilidades de dos eventos independientes.La probabilidad del producto de dos eventos independientes es igual al producto de sus probabilidades:
P(AB)=P(A)P(B).
Ejemplo 2.17. Las probabilidades de dar en el blanco al disparar el primer y segundo cañón son respectivamente iguales: página 1 = 0,7; página 2= 0,8. Encuentre la probabilidad de que al menos uno de los cañones acierte con una salva (de ambos cañones).
Solución.
La probabilidad de que cada arma dé en el blanco no depende del resultado del disparo de la otra arma, por lo que los eventos A– “alcanzado por el primer arma” y EN– “alcanzado por el segundo arma” son independientes.
probabilidad de evento AB- “ambas armas impactaron”:
Probabilidad requerida
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.
Teorema de la multiplicación de probabilidades PAG eventos.La probabilidad de un producto de n eventos es igual al producto de uno de ellos por las probabilidades condicionales de todos los demás, calculadas bajo el supuesto de que todos los eventos anteriores ocurrieron:
Ejemplo 2.18. En la urna hay 5 bolas blancas, 4 negras y 3 azules. Cada prueba consiste en sacar una bola al azar sin volver a colocarla. Encuentre la probabilidad de que en el primer ensayo aparezca una bola blanca (evento A), en el segundo – una bola negra (evento B) y en el tercero – una bola azul (evento C).
Solución.
Probabilidad de que aparezca una bola blanca en el primer intento:
La probabilidad de que aparezca una bola negra en el segundo intento, calculada bajo el supuesto de que apareció una bola blanca en el primer intento, es decir, probabilidad condicional:
La probabilidad de que aparezca una bola azul en el tercer intento, calculada bajo el supuesto de que apareció una bola blanca en el primer intento y una negra en el segundo, es decir, probabilidad condicional:
La probabilidad requerida es:
Teorema de la multiplicación de probabilidades PAG eventos independientes.La probabilidad de un producto de n eventos independientes es igual al producto de sus probabilidades:
P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).
La probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos. La probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos A 1, A 2, ..., A n, independientes en conjunto, es igual a la diferencia entre la unidad y el producto de las probabilidades de eventos opuestos.:
.
Ejemplo 2.19. Las probabilidades de dar en el blanco al disparar con tres armas son las siguientes: página 1 = 0,8; página 2 = 0,7;página 3= 0,9. Encuentre la probabilidad de al menos un acierto (evento A) con una salva de todos los cañones.
Solución.
La probabilidad de que cada arma dé en el blanco no depende de los resultados de los disparos de otras armas, por lo que los eventos considerados un 1(golpeado por el primer arma), un 2(golpeado por el segundo arma) y un 3(golpeados por el tercer arma) son independientes en conjunto.
Probabilidades de eventos opuestos a eventos. un 1, un 2 Y un 3(es decir, la probabilidad de errores) son respectivamente iguales a:
, , 
.
La probabilidad requerida es:
Si eventos independientes A 1, A 2, …, A p tener la misma probabilidad de R, entonces la probabilidad de que ocurra al menos uno de estos eventos se expresa mediante la fórmula:
Р(А)= 1 – q norte ,
Dónde q=1-p
2.7. Fórmula de probabilidad total. La fórmula de Bayes.
deja que el evento A puede ocurrir sujeto a la ocurrencia de uno de los eventos incompatibles norte 1, norte 2,…, norte p, formando un grupo completo de eventos. Como no se sabe de antemano cuál de estos eventos ocurrirá, se les llama hipótesis.
Probabilidad de ocurrencia del evento A calculado por fórmula de probabilidad total:
P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).
Supongamos que se ha llevado a cabo un experimento como resultado del cual el evento A sucedió. Probabilidades condicionales de eventos. norte 1, norte 2,…, norte p con respecto al evento A están determinadas Fórmulas de Bayes:
,
Ejemplo 2.20. De un grupo de 20 estudiantes que acudieron al examen, 6 estaban excelentemente preparados, 8 bien preparados, 4 satisfactorios y 2 mal preparados. Los exámenes contienen 30 preguntas. Un estudiante excelentemente preparado puede responder las 30 preguntas, un estudiante bien preparado puede responder 24, uno satisfactorio puede responder 15 y un estudiante mal preparado puede responder 7.
Un estudiante llamado al azar respondió tres al azar. preguntas hechas. Encuentre la probabilidad de que este estudiante esté preparado: a) excelente; b) malo.
Solución.
Hipótesis – “el estudiante está bien preparado”;
– “el alumno está bien preparado”;
– “el estudiante está preparado satisfactoriamente”;
– “el estudiante está mal preparado”.
Antes de la experiencia:
; ; ; ;
7. ¿Cómo se llama un grupo completo de eventos?
8. ¿Qué eventos se llaman igualmente posibles? Dé ejemplos de tales eventos.
9. ¿Qué se llama resultado elemental?
10. ¿Qué resultados considero favorables para este evento?
11. ¿Qué operaciones se pueden realizar sobre eventos? Definirlos. ¿Cómo se designan? Dar ejemplos.
12. ¿Qué se llama probabilidad?
13. ¿Cuál es la probabilidad de un evento confiable?
14. ¿Cuál es la probabilidad de un evento imposible?
15. ¿Cuáles son los límites de la probabilidad?
16. ¿Cómo se determina la probabilidad geométrica en un plano?
17. ¿Cómo se determina la probabilidad en el espacio?
18. ¿Cómo se determina la probabilidad en línea recta?
19. ¿Cuál es la probabilidad de la suma de dos eventos?
20. ¿Cuál es la probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles?
21. ¿Cuál es la probabilidad de la suma de n eventos incompatibles?
22. ¿Qué probabilidad se llama condicional? Dar un ejemplo.
23. Enuncie el teorema de la multiplicación de probabilidades.
24. ¿Cómo encontrar la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos?
25. ¿Qué eventos se llaman hipótesis?
26. ¿Cuándo se utilizan la fórmula de probabilidad total y la fórmula de Bayes?
