صفحه اصلی زبان روکش دار یک شکل محدود به خطوط حول یک محور می چرخد. نحوه محاسبه حجم یک بدنه انقلاب

زبان روکش دار

یک شکل محدود به خطوط حول یک محور می چرخد. نحوه محاسبه حجم یک بدنه انقلاب

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

در فرمول، عدد باید قبل از انتگرال باشد. بنابراین این اتفاق افتاد - هر چیزی که در زندگی می چرخد با این ثابت مرتبط است.

من فکر می کنم حدس زدن نحوه تنظیم محدودیت های ادغام "a" و "be" از نقشه تکمیل شده آسان است.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی در بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - انتگرال در فرمول مربع است: بنابراین انتگرال همیشه غیر منفی است ، که بسیار منطقی است.

بیایید حجم یک بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنیم:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ خود باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کنید. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این همان تعداد مرد سبز است که تصور شما می تواند در بشقاب پرنده قرار دهد.

مثال 2

حجم بدن را پیدا کنید، با چرخش تشکیل شده استحول محور شکل، محدود به خطوط،

این یک مثال برای تصمیم مستقل. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آن مواجه می شویم.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل: اجازه دهید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط،،، محدود شده است، بدون اینکه فراموش کنیم که این معادله محور را مشخص می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور خود می چرخد، معلوم می شود که یک دونات سورئال با چهار گوشه است.

بیایید حجم بدنه انقلاب را به صورت محاسبه کنیم تفاوت در حجم اجسام.

ابتدا به شکل دایره شده با رنگ قرمز نگاه می کنیم. هنگامی که حول یک محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. اجازه دهید حجم این مخروط کوتاه شده را با علامت گذاری کنیم.

شکل دایره شده را در نظر بگیرید سبز. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در در این موردراه حل را می توان با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر نوشته می شود، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی به شما بگوییم.

مردم اغلب توهمات مربوط به حجم ها را دارند که توسط پرلمن (یکی دیگر) در کتاب مورد توجه قرار گرفت هندسه سرگرم کننده. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در کل زندگی خود معادل یک اتاق 18 متر مربعی مایع می نوشد که برعکس حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 منتشر شد، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی تفکر را توسعه می دهد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های اصلی و غیر استاندارد برای مشکلات باشید. من اخیراً برخی از فصل ها را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان گرایان نیز قابل دسترسی است. نه، نیازی به لبخند زدن ندارید که من وقت آزاد را ارائه دادم، علم و دانش و افق های گسترده در ارتباطات چیز بزرگی است.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. لطفا توجه داشته باشید که همه موارد در باند رخ می دهد، به عبارت دیگر، محدودیت های آماده ادغام در واقع داده شده است. نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید، بگذارید مطالب درسی در مورد آن را به شما یادآوری کنم تبدیل هندسی نمودارها : اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. توصیه می شود حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتی تا ترسیم با دقت بیشتری تکمیل شود. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

همانند مشکل یافتن منطقه، به مهارت های ترسیمی مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با استفاده از تکنیک های رسم نمودار ماهر و سریع تسلط پیدا کنید مواد آموزشیو تبدیل هندسی نمودارها. اما، در واقع، من قبلاً چندین بار در کلاس در مورد اهمیت نقاشی صحبت کرده ام.

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال با استفاده از آن وجود دارد انتگرال معینمی توانید مساحت یک شکل، حجم یک بدنه چرخش، طول قوس، مساحت سطح چرخش و موارد دیگر را محاسبه کنید. بنابراین سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوش بین باشید!

یک شکل صاف را روی صفحه مختصات تصور کنید. معرفی کرد؟ ... من تعجب می کنم که چه کسی ... =))) ما قبلاً منطقه آن را پیدا کرده ایم. اما، علاوه بر این، این رقم نیز می تواند چرخش، و به دو صورت چرخش:

- حول محور آبسیسا؛
- حول محور ارتین.

این مقاله هر دو مورد را بررسی خواهد کرد. روش دوم چرخش به خصوص جالب است؛ این روش بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان پاداش به آن باز خواهم گشت مشکل پیدا کردن مساحت یک شکل، و من به شما خواهم گفت که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. این خیلی مزیت نیست زیرا مطالب به خوبی با موضوع مطابقت دارد.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

شکل صاف حول یک محور

مثال 1

حجم جسمی را که با چرخاندن شکلی که با خطوط حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل: همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با یک نقاشی شروع می شود شکل تخت . یعنی در صفحه لازم است یک شکل محدود شده با خطوط ساخته شود و فراموش نکنید که معادله محور را مشخص می کند. چگونه می توان یک طراحی را با کارآمدتر و سریع تر کامل کرد را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتداییو انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. این یک یادآوری چینی است، و در ادامه در این لحظهمن دیگر متوقف نمی شوم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است؛ این شکلی است که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، نتیجه یک بشقاب پرنده کمی بیضی شکل است که به صورت متقارن حول محور است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما من خیلی تنبل هستم که چیزی را در کتاب مرجع توضیح دهم، بنابراین ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه چرخشی را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم حدس زدن نحوه تنظیم محدودیت های ادغام "a" و "be" از نقشه تکمیل شده آسان است.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل صفحه با نمودار سهمی در بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - انتگرال در فرمول مربع است:، بنابراین انتگرال همیشه غیر منفی است، که بسیار منطقی است.

بیایید حجم یک بدنه چرخشی را با استفاده از آن محاسبه کنیم این فرمول:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ خود باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کنید. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، متر مکعب باشد، کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این همان تعداد مرد سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده قرار دهد.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول محور شکلی که با خطوط محدود شده است را بیابید،

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

محاسبه حجم جسم به دست آمده از چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل: بیایید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط , , , , , , , , , , محصور شده است، بدون اینکه فراموش کنیم که معادله محور را مشخص می کند:

بیایید حجم بدنه انقلاب را به صورت محاسبه کنیم تفاوت در حجم اجسام.

ابتدا به شکل دایره شده با رنگ قرمز نگاه می کنیم. هنگامی که حول یک محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. بیایید حجم این مخروط کوتاه شده را با .

شکلی را که به رنگ سبز دایره شده است در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر نوشته می شود، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی به شما بگوییم.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح محدود شده با خطوط , , که در آن .

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. لطفا توجه داشته باشید که همه موارد در باند رخ می دهد، به عبارت دیگر، محدودیت های آماده ادغام در واقع داده شده است. نمودارها را به درستی رسم کنید توابع مثلثاتی، بگذارید مطالب درسی در مورد را به شما یادآوری کنم تبدیل هندسی نمودارها: اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. توصیه می شود حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتیتا ترسیم با دقت بیشتری تکمیل شود. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
شکل صاف حول یک محور

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور ارتین نیز مهمان نسبتاً مکرر در تست ها. در طول مسیر مورد توجه قرار خواهد گرفت مشکل پیدا کردن مساحت یک شکلروش دوم ادغام در امتداد محور است، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که سودآورترین مسیر راه حل را پیدا کنید. معنای زندگی عملی نیز در این وجود دارد! همانطور که معلم من در مورد روش های تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

من آن را به همه توصیه می کنم، حتی آدمک های کامل. علاوه بر این، مطالب آموخته شده در پاراگراف دوم کمک ارزنده ای در محاسبه انتگرال های دوگانه می کند..

مثال 5

با توجه به یک شکل صاف محدود به خطوط , , .

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط نکته دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل: کار از دو قسمت تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید یک نقاشی بکشیم:

به راحتی می توان فهمید که تابع شاخه بالایی سهمی را مشخص می کند و تابع شاخه پایینی سهمی را مشخص می کند. در مقابل ما سهمی کوچکی وجود دارد که "روی آن قرار دارد."

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول"، که در کلاس مورد بحث قرار گرفت، پیدا کرد انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. علاوه بر این، مساحت شکل به صورت مجموع مساحت ها به دست می آید:
- در بخش ;
- در بخش

از همین رو:

چرا راه حل معمول در این مورد بد است؟ ابتدا دو انتگرال گرفتیم. ثانیاً انتگرال ها ریشه هستند و ریشه در انتگرال ها موهبتی نیستند و علاوه بر این می توانید در جایگزینی حدود یکپارچگی دچار سردرگمی شوید. در واقع، انتگرال ها، البته، قاتل نیستند، اما در عمل همه چیز می تواند بسیار غم انگیزتر باشد، من فقط توابع "بهتر" را برای مشکل انتخاب کردم.

راه حل منطقی تری وجود دارد: شامل تغییر به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس برسیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی نگاه می کنیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم راحت تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. در این مورد، در بخش، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشناست پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و دیگر هیچ.

! توجه داشته باشید: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شود به شدت از پایین به بالا!

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

لطفاً توجه داشته باشید که من چگونه ادغام را انجام دادم ، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی کار مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

تابع انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنیم.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

برای یافتن حجم یک بدنه چرخش، در امتداد محور ادغام می کنیم. ابتدا باید به سراغ توابع معکوس برویم. این کار قبلا انجام شده و در پاراگراف قبل به تفصیل توضیح داده شده است.

حالا دوباره سرمان را به سمت راست خم می کنیم و شکل خود را مطالعه می کنیم. بدیهی است که حجم یک بدنه چرخش را باید به عنوان اختلاف در حجم ها یافت.

شکل دایره شده به رنگ قرمز را حول محور می چرخانیم و در نتیجه یک مخروط کوتاه ایجاد می کنیم. اجازه دهید این حجم را با علامت گذاری کنیم.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و آن را با حجم بدنه چرخش حاصل نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

تفاوت فرمول پاراگراف قبل چیست؟ فقط در نامه

اما مزیت یکپارچه سازی، که اخیراً در مورد آن صحبت کردم، بسیار ساده تر است ، به جای اینکه ابتدا انتگرال را به توان 4 برسانید.

پاسخ:

با این حال، نه یک پروانه بیمار.

لطفاً توجه داشته باشید که اگر همان شکل صاف حول محور بچرخد، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی خواهید داشت که به طور طبیعی حجم متفاوتی دارد.

مثال 6

یک شکل مسطح که با خطوط و یک محور محدود شده است.

1) به توابع معکوس بروید و با ادغام روی متغیر، مساحت شکل صفحه ای را که با این خطوط محدود شده است، پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، محاسبه کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. علاقه مندان همچنین می توانند مساحت یک شکل را به روش "معمول" پیدا کنند و بدین ترتیب نقطه 1 را بررسی کنند). اما اگر، تکرار می کنم، یک شکل صاف را حول محور بچرخانید، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی با حجم متفاوت به دست خواهید آورد، اتفاقاً پاسخ صحیح (همچنین برای کسانی که دوست دارند مسائل را حل کنند).

راه حل کامل دو نکته پیشنهادی تکلیف در انتهای درس است.

بله، و فراموش نکنید که برای درک بدنه های چرخش و محدودیت های یکپارچه سازی، سر خود را به سمت راست خم کنید!

چگونه با استفاده از یک انتگرال معین حجم یک بدنه چرخشی را محاسبه کنیم؟

بعلاوه پیدا کردن مساحت یک شکل صفحه با استفاده از یک انتگرال معین مهمترین کاربرد موضوع است محاسبه حجم یک بدنه چرخشی. مطالب ساده است، اما خواننده باید آماده باشد: شما باید بتوانید حل کنید انتگرال های نامعین پیچیدگی متوسط و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس در انتگرال معین . همانند مشکل یافتن منطقه، به مهارت های ترسیمی مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با کمک مواد روش شناختی بر تکنیک های رسم نمودار ماهر و سریع تسلط پیدا کنید . اما، در واقع، من قبلاً چندین بار در کلاس در مورد اهمیت نقاشی صحبت کرده ام. .

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال وجود دارد؛ با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید مساحت یک شکل، حجم بدنه چرخش، طول قوس، مساحت سطح را محاسبه کنید. یک بدن و خیلی بیشتر. بنابراین سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوش بین باشید!

– حول محور x؛ - حول محور ارتین.

این مقاله هر دو مورد را بررسی خواهد کرد. روش دوم چرخش به خصوص جالب است؛ این روش بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان پاداش به آن باز خواهم گشت مشکل پیدا کردن مساحت یک شکل ، و من به شما خواهم گفت که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. این خیلی مزیت نیست زیرا مطالب به خوبی با موضوع مطابقت دارد.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

مثال 1

حجم جسمی را که با چرخاندن شکلی که با خطوط حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل:همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف آغاز می شود. یعنی در یک صفحه لازم است یک شکل محدود شده با خطوط ساخته شود و فراموش نکنید که این معادله محور را مشخص می کند. چگونه می توان یک طراحی را با کارآمدتر و سریع تر کامل کرد را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتدایی و انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . این یک یادآوری چینی است و در این مرحله من بیشتر از این صحبت نمی کنم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است؛ این شکلی است که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، نتیجه یک بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل است که حول محور متقارن است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما من خیلی تنبل هستم که در کتاب مرجع نگاه کنم، بنابراین ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه چرخشی را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم حدس زدن نحوه تنظیم محدودیت های ادغام "a" و "be" از نقشه تکمیل شده آسان است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است: بنابراین حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که بسیار منطقی است.

بیایید حجم یک بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنیم:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

مثال 2

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکلی که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آن مواجه می شویم.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل:اجازه دهید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط،،، محدود شده است، بدون اینکه فراموش کنیم که این معادله محور را مشخص می کند:

بیایید حجم بدنه انقلاب را به صورت محاسبه کنیم تفاوت در حجم اجسام.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر نوشته می شود، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی به شما بگوییم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند که توسط پرلمن (نه آن یکی) در کتاب مورد توجه قرار گرفته است. هندسه سرگرم کننده. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در کل زندگی خود معادل یک اتاق 18 متر مربعی مایع می نوشد که برعکس حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 توسط او نوشته شد، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی توسعه می یابد و به فرد می آموزد که به دنبال راه حل های اصلی و غیر استاندارد برای مشکلات باشد. من اخیراً برخی از فصل ها را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان گرایان نیز قابل دسترسی است. نه، نیازی به لبخند زدن ندارید که من وقت آزاد را ارائه دادم، علم و دانش و افق های گسترده در ارتباطات چیز بزرگی است.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های عملا آماده ادغام داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید؛ اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتی و با دقت بیشتری نقشه را کامل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که از چرخش یک شکل صاف به دور یک محور تشکیل شده است

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور ارتین نیز یک مهمان نسبتاً رایج در کار آزمایشی است. در طول مسیر مورد توجه قرار خواهد گرفت مشکل پیدا کردن مساحت یک شکل روش دوم ادغام در امتداد محور است، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که سودآورترین مسیر راه حل را پیدا کنید. معنای زندگی عملی نیز در این وجود دارد! همانطور که معلم من در مورد روش های تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

مثال 5

با توجه به یک شکل صاف محدود شده با خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید. 2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط نکته دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل:کار از دو بخش تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید یک نقاشی بکشیم:

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول"، که در کلاس مورد بحث قرار گرفت، پیدا کرد انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . علاوه بر این، مساحت شکل به صورت مجموع مساحت ها به دست می آید: - در بخش ; - در بخش

از همین رو:

راه حل منطقی تری وجود دارد: شامل تغییر به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس برسیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی نگاه می کنیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم راحت تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. علاوه بر این، در قسمت، خط مستقیم در بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشناست پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و دیگر هیچ.

! توجه: محدودیت های یکپارچه سازی در امتداد محور باید تنظیم شودبه شدت از پایین به بالا !

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

تابع انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنیم.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و با حجم چرخش حاصل نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

تفاوت فرمول پاراگراف قبل چیست؟ فقط در نامه

نوع درس: ترکیبی

هدف از درس:یاد بگیرید که حجم اجسام انقلاب را با استفاده از انتگرال محاسبه کنید.

وظایف:

ادغام توانایی شناسایی ذوزنقه های منحنی از تعدادی شکل هندسی و توسعه مهارت محاسبه مساحت ذوزنقه های منحنی.
با مفهوم یک شکل سه بعدی آشنا شوید.
یاد بگیرید که حجم بدنه های انقلاب را محاسبه کنید.
توسعه را ترویج دهند تفکر منطقی، گفتار ریاضی شایسته ، دقت در هنگام ساختن نقشه ها.
پرورش علاقه به موضوع، عمل کردن با مفاهیم و تصاویر ریاضی، پرورش اراده، استقلال و پشتکار در دستیابی به نتیجه نهایی.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

با سلام از طرف گروه اهداف درس را به دانش آموزان منتقل کنید.

انعکاس. ملودی آرام

- می خواهم درس امروز را با یک تمثیل شروع کنم. «روزی روزگاری مرد خردمندی زندگی می کرد که همه چیز را می دانست. مردی می خواست ثابت کند که حکیم همه چیز را نمی داند. پروانه ای را در دستانش گرفت و پرسید: حکیم بگو کدام پروانه در دست من است مرده یا زنده؟ و خودش فکر می کند: «اگر زنده بگوید او را می کشم، مرده بگوید او را آزاد می کنم». حکیم پس از تفکر، پاسخ داد: "همه چیز در دستان شماست". (ارائه.اسلاید)

- پس بیایید امروز مثمر ثمر کار کنیم، ذخیره جدیدی از دانش به دست آوریم و مهارت ها و توانایی های کسب شده را در زندگی آینده و فعالیت های عملی به کار ببریم. "همه چیز در دستان شماست".

II. تکرار مطالبی که قبلا مطالعه شده است.

- نکات اصلی مطالب قبلاً مورد مطالعه را به خاطر بسپاریم. برای انجام این کار، بیایید کار را کامل کنیم "کلمات اضافی را حذف کنید."(اسلاید.)

(دانش آموز به I.D می رود. از پاک کن برای حذف کلمه اضافی استفاده می کند.)

- درست "دیفرانسیل". سعی کنید کلمات باقی مانده را به عنوان یک نام ببرید به طور کلی. (حساب انتگرال.)

– بیایید مراحل و مفاهیم اصلی مرتبط با حساب انتگرال را به خاطر بسپاریم..

” دسته ریاضی ” .

ورزش. شکاف ها را بازیابی کنید. (دانش آموز بیرون می آید و کلمات مورد نیاز را با خودکار می نویسد.)

- بعداً چکیده ای در مورد کاربرد انتگرال ها خواهیم شنید.

در نوت بوک کار کنید.

- فرمول نیوتن-لایبنیتس توسط فیزیکدان انگلیسی ایزاک نیوتن (1643-1727) و فیلسوف آلمانی گوتفرید لایب نیتس (1646-1716) مشتق شده است. و این تعجب آور نیست، زیرا ریاضیات زبانی است که خود طبیعت به آن صحبت می کند.

- بیایید در هنگام حل، چگونگی را در نظر بگیریم وظایف عملیاین فرمول استفاده می شود.

مثال 1: مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

راه حل: بیایید نمودارهایی از توابع را در صفحه مختصات بسازیم . بیایید مساحت شکلی را که باید پیدا شود انتخاب می کنیم.

III. یادگیری مطالب جدید.

- به صفحه نمایش توجه کنید. در تصویر اول چه چیزی نشان داده شده است؟ (اسلاید) (شکل یک شکل صاف را نشان می دهد.)

- در تصویر دوم چه چیزی نشان داده شده است؟ آیا این رقم صاف است؟ (اسلاید) (شکل یک شکل سه بعدی را نشان می دهد.)

- در فضا، روی زمین و در زندگی روزمرهما نه تنها با ارقام مسطح، بلکه سه بعدی نیز مواجه هستیم، اما چگونه می توان حجم چنین اجسامی را محاسبه کرد؟ مثلا حجم یک سیاره، دنباله دار، شهاب سنگ و غیره.

- مردم هم هنگام ساختن خانه و هم هنگام ریختن آب از یک ظرف به ظرف دیگر به حجم فکر می کنند. قواعد و تکنیک‌های محاسبه حجم‌ها باید پدیدار می‌شد، اینکه چقدر دقیق و معقول بودند، بحث دیگری است.

پیام یک دانش آموز (تیورینا ورا.)

سال 1612 برای ساکنان شهر لینز اتریش، جایی که اخترشناس مشهور یوهانس کپلر در آن زندگی می کرد، به ویژه برای انگور بسیار پربار بود. مردم در حال آماده کردن بشکه های شراب بودند و می خواستند بدانند که چگونه به طور عملی حجم آنها را تعیین کنند. (اسلاید 2)

- بنابراین، آثار مورد توجه کپلر پایه و اساس یک جریان کامل از تحقیقات را که در ربع آخر قرن هفدهم به اوج خود رسید، گذاشت. طراحی در آثار I. Newton و G.V. لایب نیتس حساب دیفرانسیل و انتگرال. از آن زمان به بعد، ریاضیات متغیرها جایگاه پیشرو در سیستم دانش ریاضی را به خود اختصاص داد.

- امروز من و شما در چنین فعالیت های عملی شرکت خواهیم کرد، بنابراین،

موضوع درس ما: "محاسبه حجم اجسام چرخش با استفاده از یک انتگرال معین." (اسلاید)

– با انجام کار زیر با تعریف بدنه چرخشی آشنا خواهید شد.

"هزارتو".

هزارتو ( کلمه یونانی) یعنی رفتن به سیاه چال. هزارتو شبکه پیچیده ای از مسیرها، گذرگاه ها و اتاق های به هم پیوسته است.

اما این تعریف "شکسته" بود و سرنخ هایی به شکل فلش باقی گذاشت.

ورزش. راهی برای خروج از موقعیت گیج کننده پیدا کنید و تعریف را یادداشت کنید.

اسلاید. "دستورالعمل نقشه" محاسبه حجم ها.

با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید حجم یک جسم خاص، به ویژه، یک بدنه چرخشی را محاسبه کنید.

جسم چرخشی جسمی است که از چرخاندن یک ذوزنقه منحنی به دور قاعده آن به دست می آید (شکل 1 و 2).

حجم چرخش با یکی از فرمول های زیر محاسبه می شود:

1. حول محور OX

2. ، اگر چرخش ذوزنقه منحنی حول محور op-amp.

هر دانش آموز کارت آموزشی دریافت می کند. معلم بر نکات اصلی تأکید می کند.

– معلم راه حل های مثال های روی تخته را توضیح می دهد.

گزیده ای از آن را در نظر بگیرید افسانه معروفپوشکین "داستان تزار سالتان، قهرمان باشکوه و توانا شاهزاده گویدون سالتانوویچ و شاهزاده زیبای سوان" (اسلاید 4):

…..
و قاصد مست آورد
در همان روز دستور به شرح زیر است:
"پادشاه به پسران خود دستور می دهد،
بدون اتلاف وقت،
و ملکه و اولاد
مخفیانه به ورطه آب بینداز.»
کاری برای انجام دادن وجود ندارد: پسران،
نگران حاکمیت
و به ملکه جوان،
جمعیتی به اتاق خواب او آمدند.
آنها اراده پادشاه را اعلام کردند -
او و پسرش سهم بدی دارند،
ما فرمان را با صدای بلند خواندیم،
و ملکه در همان ساعت
مرا با پسرم در بشکه گذاشتند،
قیر زدند و راندند
و آنها مرا به اوکیان راه دادند -
این همان چیزی است که تزار سلطان دستور داد.

حجم بشکه چقدر باید باشد تا ملکه و پسرش در آن جا شوند؟

- وظایف زیر را در نظر بگیرید

1. حجم جسمی را که با چرخش حول محور منحنی ذوزنقه منحنی محدود شده با خطوط به دست می آید، بیابید: x 2 + y 2 = 64، y = -5، y = 5، x = 0.

جواب: 1163 سانتی متر 3 .

حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه سهموی حول محور آبسیسا را بیابید. y =، x = 4، y = 0.

IV. ادغام مواد جدید

مثال 2. حجم جسمی را که از چرخش گلبرگ به دور محور x تشکیل شده است محاسبه کنید. y = x 2، y 2 = x.

بیایید نمودارهایی از تابع بسازیم. y = x 2، y 2 = x. برنامه y2 = xتبدیل به فرم y= .

ما داریم V = V 1 – V 2بیایید حجم هر تابع را محاسبه کنیم

- اکنون، بیایید به برج ایستگاه رادیویی در مسکو در Shabolovka نگاه کنیم که بر اساس طرح مهندس برجسته روسی، آکادمیک افتخاری V. G. Shukhov ساخته شده است. از بخش هایی تشکیل شده است - هیپربولوئیدهای چرخش. علاوه بر این، هر یک از آنها از میله های فلزی مستقیم ساخته شده است که دایره های مجاور را به هم متصل می کند (شکل 8، 9).

- بیایید مشکل را در نظر بگیریم.

حجم جسمی که با چرخش کمان های هذلولی به دست می آید را بیابید حول محور خیالی آن، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 8، کجا

مکعب واحدها

تکالیف گروهی دانش آموزان با کارها قرعه کشی می کنند، روی کاغذ واتمن نقاشی می کشند و یکی از نمایندگان گروه از کار دفاع می کند.

گروه 1.

اصابت! اصابت! ضربه ای دیگر!
توپ به سمت دروازه پرواز می کند - BALL!
و این یک توپ هندوانه است
سبز، گرد، خوش طعم.
بهتر نگاه کن - چه توپی!
از چیزی جز دایره ساخته نشده است.
هندوانه را دایره ای برش دهید
و طعم آنها را بچشید.

حجم جسم حاصل از چرخش حول محور OX تابع محدود را به دست آورید

خطا! نشانک تعریف نشده است.

- لطفا به من بگویید که این رقم را کجا می بینیم؟

خانه وظیفه برای 1 گروه سیلندر (اسلاید) .

"سیلندر - چیست؟" - از بابام پرسیدم.
پدر خندید: کلاه بالا کلاه است.
برای داشتن یک ایده درست،
یک استوانه، فرض کنید، یک قوطی حلبی است.
لوله قایق بخار - سیلندر،
لوله روی پشت بام ما هم

همه لوله ها شبیه یک سیلندر هستند.
و مثالی مثل این زدم -
کلیدوسکوپ عشق من,
نمی توانی چشم از او بردار،
و همچنین شبیه یک استوانه است.

- ورزش. مشق شبتابع را رسم کنید و حجم را محاسبه کنید.

گروه 2. مخروط (اسلاید).

مامان گفت: و حالا
داستان من در مورد مخروط خواهد بود.
ستارگان با کلاه بلند
در تمام طول سال ستاره ها را می شمارد.
مخروط - کلاه ستارگان.
او اینگونه است. فهمیده شد؟ خودشه.
مامان پشت میز ایستاده بود
داخل بطری ها روغن ریختم.
-قیف کجاست؟ بدون قیف
دنبالش بگرد. در حاشیه نمانید.
- مامان، من تکون نمی خورم.
در مورد مخروط بیشتر توضیح دهید.
– قیف به شکل مخروط آبخوری است.
بیا زود برام پیداش کن
من نتونستم قیف رو پیدا کنم
اما مامان یک کیف درست کرد،
مقوا را دور انگشتم پیچیدم
و او به طرز ماهرانه ای آن را با یک گیره ثابت کرد.
روغن جاری است، مامان خوشحال است،
مخروط درست بیرون آمد.

ورزش. حجم جسمی که با چرخش حول محور آبسیسا به دست می آید را محاسبه کنید

خانه وظیفه گروه دوم هرم(اسلاید).

من عکس رو دیدم در این تصویر
در صحرای شنی یک هرم وجود دارد.
همه چیز در هرم فوق العاده است،
نوعی رمز و راز در آن نهفته است.
و برج اسپاسکایا در میدان سرخ
هم برای کودکان و هم برای بزرگسالان بسیار آشناست.
اگر به برج نگاه کنید، معمولی به نظر می رسد،
چه چیزی بالای آن است؟ هرم!

ورزش.تکلیف: تابع را رسم کنید و حجم هرم را محاسبه کنید

– حجم اجسام مختلف را بر اساس فرمول اولیه حجم اجسام با استفاده از یک انتگرال محاسبه کردیم.

این تأیید دیگری است بر اینکه انتگرال معین پایه ای برای مطالعه ریاضیات است.

-خب حالا یه کم استراحت کنیم.

یک جفت پیدا کن

ملودی ریاضی دومینوی پخش می شود.

جاده ای که خودم دنبالش بودم هرگز فراموش نمی شود...

کار تحقیقاتی. کاربرد انتگرال در اقتصاد و فناوری.

تست برای دانش آموزان قوی و فوتبال ریاضی.

شبیه ساز ریاضی

2. مجموعه تمام پاد مشتق های یک تابع معین نامیده می شود

الف) انتگرال نامعین،

ب) عملکرد،

ب) تمایز

7. حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیس یک ذوزنقه منحنی شکل که با خطوط محدود شده است، بدست آورید:

D/Z. حجم بدنه های انقلاب را محاسبه کنید.

انعکاس.

دریافت انعکاس در فرم سنک واین(پنج خط).

خط 1 - نام موضوع (یک اسم).

خط دوم - شرح موضوع در دو کلمه، دو صفت.

خط 3 - شرح عمل در این موضوع در سه کلمه.

خط 4 عبارتی از چهار کلمه است که نگرش به موضوع (یک جمله کامل) را نشان می دهد.

خط 5 مترادفی است که اصل موضوع را تکرار می کند.

جلد.
انتگرال معین، تابع انتگرال پذیر.
ما می سازیم، می چرخیم، محاسبه می کنیم.
جسمی که از چرخش ذوزنقه خمیده (در اطراف قاعده آن) به دست می آید.
بدنه چرخشی (جسم هندسی حجمی).

نتیجه (اسلاید).

یک انتگرال معین پایه خاصی برای مطالعه ریاضیات است که کمکی بی بدیل در حل مسائل عملی می کند.
موضوع "انتگرال" به وضوح ارتباط بین ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی، اقتصاد و فناوری را نشان می دهد.
توسعه علم مدرنبدون استفاده از انتگرال غیر قابل تصور است. در این راستا لازم است مطالعه آن در چارچوب آموزش متوسطه تخصصی آغاز شود!

درجه بندی. (همراه با تفسیر.)

عمر خیام بزرگ - ریاضیدان، شاعر، فیلسوف. او ما را تشویق می کند که بر سرنوشت خود مسلط باشیم. گزیده ای از آثار او را بشنویم: