صفحه اصلی بهداشت نحوه محاسبه واریانس محاسبه واریانس در مایکروسافت اکسل

بهداشت

نحوه محاسبه واریانس محاسبه واریانس در مایکروسافت اکسل

بیایید محاسبه کنیمام‌اسEXCELواریانس و انحراف معیارنمونه ها بیایید واریانس را نیز محاسبه کنیم متغیر تصادفی، اگر توزیع آن مشخص باشد.

بیایید ابتدا در نظر بگیریم پراکندگی، سپس انحراف معیار.

واریانس نمونه

واریانس نمونه (واریانس نمونه،نمونهواریانس) گسترش مقادیر در آرایه را نسبت به .

هر 3 فرمول از نظر ریاضی معادل هستند.

از فرمول اول مشخص است که واریانس نمونهمجموع مجذور انحرافات هر مقدار در آرایه است از متوسطتقسیم بر حجم نمونه منهای 1.

واریانس ها نمونه هاتابع DISP() انگلیسی استفاده می شود. نام VAR، یعنی واریانس از نسخه MS EXCEL 2010، توصیه می شود از آنالوگ DISP.V()، انگلیسی آن استفاده کنید. نام VARS، یعنی. واریانس نمونه علاوه بر این، با شروع از نسخه MS EXCEL 2010، یک تابع DISP.Г()، انگلیسی وجود دارد. نام VARP، یعنی. Population VARiance که محاسبه می کند پراکندگیبرای جمعیت . کل تفاوت به مخرج برمی گردد: به جای n-1 مانند DISP.V()، DISP.G() فقط n در مخرج دارد. قبل از MS EXCEL 2010، از تابع VAR() برای محاسبه واریانس جامعه استفاده می شد.

واریانس نمونه
=QUADROTCL(نمونه)/(COUNT(نمونه)-1)
=(SUM(Sample)-COUNT(Sample)*AVERAGE(Sample)^2)/ (COUNT(Sample)-1)- فرمول معمولی
=SUM((Sample -AVERAGE(Sample))^2)/ (COUNT(Sample)-1) –

واریانس نمونهبرابر 0 است، فقط در صورتی که همه مقادیر با یکدیگر برابر و بر این اساس برابر باشند مقدار متوسط. معمولاً هر چه مقدار آن بزرگتر باشد واریانس ها، گسترش مقادیر در آرایه بیشتر است.

واریانس نمونهاست تخمین نقطه ای واریانس هاتوزیع متغیر تصادفی که از آن ساخته شده است نمونه. در مورد ساخت و ساز فواصل اطمینان هنگام ارزیابی واریانس هارا می توان در مقاله خواند.

واریانس یک متغیر تصادفی

برای محاسبه پراکندگیمتغیر تصادفی، شما باید آن را بدانید.

برای واریانس هامتغیر تصادفی X اغلب Var(X) نشان داده می شود. پراکندگیبرابر مربع انحراف از میانگین E(X): Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]

پراکندگیبا فرمول محاسبه می شود:

که در آن x i مقداری است که یک متغیر تصادفی می تواند بگیرد، و μ مقدار متوسط ()، p(x) احتمال این است که متغیر تصادفی مقدار x را بگیرد.

اگر یک متغیر تصادفی دارای پراکندگیبا فرمول محاسبه می شود:

بعد واریانس هامربوط به مربع واحد اندازه گیری مقادیر اصلی است. به عنوان مثال، اگر مقادیر در نمونه نشان دهنده اندازه گیری وزن قطعه (به کیلوگرم) باشد، بعد واریانس کیلوگرم 2 خواهد بود. تفسیر این می تواند دشوار باشد، بنابراین برای مشخص کردن گسترش ارزش ها، مقداری برابر با ریشه دوم است واریانس ها – انحراف معیار.

برخی از خواص واریانس ها:

Var(X+a)=Var(X)، که در آن X یک متغیر تصادفی و a یک ثابت است.

Var(aХ)=a 2 Var(X)

Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

این خاصیت پراکندگی در مقاله در مورد رگرسیون خطی.

Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y)، که در آن X و Y متغیرهای تصادفی هستند، Cov(X;Y) کوواریانس این متغیرهای تصادفی است.

اگر متغیرهای تصادفی مستقل باشند، آنها کوواریانسبرابر 0 است و بنابراین Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). این خاصیت پراکندگی در اشتقاق استفاده می شود.

اجازه دهید نشان دهیم که برای مقادیر مستقل Var(X-Y)=Var(X+Y). در واقع، Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+(- 1) 2 Var(Y)= Var(X)+Var(Y)= Var(X+Y). از این خاصیت پراکندگی برای ساخت استفاده می شود.

انحراف استاندارد نمونه

انحراف استاندارد نمونهاندازه گیری میزان پراکندگی گسترده مقادیر در یک نمونه نسبت به آنها است.

طبق تعریف، انحراف معیاربرابر با جذر واریانس ها:

انحراف معیاربزرگی مقادیر موجود در آن را در نظر نمی گیرد نمونه، اما فقط درجه پراکندگی مقادیر در اطراف آنها متوسط. برای روشن شدن این موضوع مثالی می زنیم.

بیایید انحراف معیار را برای 2 نمونه محاسبه کنیم: (1؛ 5؛ 9) و (1001؛ 1005؛ 1009). در هر دو مورد s=4. بدیهی است که نسبت انحراف استاندارد به مقادیر آرایه بین نمونه ها به طور قابل توجهی متفاوت است. برای چنین مواردی استفاده می شود ضریب تغییرات(ضریب تغییرات، CV) - نسبت انحراف معیاربه میانگین حسابی، به صورت درصد بیان می شود.

در MS EXCEL 2007 و نسخه های قبلی برای محاسبه انحراف استاندارد نمونهتابع =STDEVAL() انگلیسی استفاده می شود. نام STDEV، یعنی. انحراف استاندارد از نسخه MS EXCEL 2010، توصیه می شود از آنالوگ آن = STANDDEV.B() ، انگلیسی استفاده کنید. نام STDEV.S، یعنی. نمونه انحراف استاندارد.

علاوه بر این، با شروع از نسخه MS EXCEL 2010، یک تابع STANDARDEV.G()، انگلیسی وجود دارد. نام STDEV.P، یعنی. انحراف استاندارد جمعیت، که محاسبه می کند انحراف معیاربرای جمعیت. کل تفاوت به مخرج برمی گردد: به جای n-1 مانند STANDARDEV.V()، STANDARDEVAL.G() فقط n در مخرج دارد.

انحراف معیارهمچنین می توان مستقیماً با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کرد (به فایل نمونه مراجعه کنید)
=ROOT(QUADROTCL(نمونه)/(COUNT(نمونه)-1))
=ROOT((SUM(Sample)-COUNT(Sample)*AVERAGE(Sample)^2)/(COUNT(Sample)-1))

سایر معیارهای پراکندگی

تابع SQUADROTCL() با محاسبه می شود مجموع مجذور انحراف مقادیر از آنها متوسط. این تابع همان نتیجه را با فرمول =DISP.G( نمونه)*بررسی( نمونه) ، کجا نمونه- ارجاع به محدوده ای حاوی آرایه ای از مقادیر نمونه (). محاسبات در تابع QUADROCL() طبق فرمول انجام می شود:

تابع SROTCL() نیز اندازه گیری گسترش مجموعه ای از داده ها است. تابع SROTCL() میانگین را محاسبه می کند ارزش های مطلقانحراف مقادیر از متوسط. این تابع همان نتیجه فرمول را برمی گرداند =SUMPRODUCT(ABS(Sample-AVERAGE(Sample)))/COUNT(Sample)، کجا نمونه- ارجاع به یک محدوده حاوی آرایه ای از مقادیر نمونه.

محاسبات در تابع SROTCL () طبق فرمول انجام می شود:

برعکس، اگر یک a.e غیر منفی است. عملکرد به گونه ای است که ، پس یک اندازه گیری احتمال کاملاً پیوسته بر روی آن وجود دارد که چگالی آن باشد.

جایگزینی اندازه گیری در انتگرال Lebesgue:

هر تابع بورل که با توجه به اندازه‌گیری احتمال ادغام‌پذیر باشد کجاست.

پراکندگی، انواع و خواص پراکندگی مفهوم پراکندگی

پراکندگی در آماربه عنوان انحراف استاندارد مقادیر فردی مشخصه مجذور میانگین حسابی یافت می شود. بسته به داده های اولیه، با استفاده از فرمول های واریانس ساده و وزنی تعیین می شود:

1. واریانس ساده(برای داده های گروه بندی نشده) با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

2. واریانس وزنی (برای سری تغییرات):

جایی که n فرکانس است (تکرارپذیری عامل X)

نمونه ای از یافتن واریانس

این صفحه یک مثال استاندارد از یافتن واریانس را توضیح می دهد، همچنین می توانید مشکلات دیگر را برای یافتن آن بررسی کنید

مثال 1. تعیین گروه، میانگین گروه، بین گروهی و واریانس کل

مثال 2. یافتن واریانس و ضریب تغییرات در جدول گروه بندی

مثال 3. یافتن واریانس در سری گسسته

مثال 4. داده های زیر برای یک گروه 20 دانش آموز در دسترس است بخش مکاتبات. نیاز به ساختن سری بازه ایتوزیع یک مشخصه، مقدار میانگین مشخصه را محاسبه کرده و واریانس آن را مطالعه کنید

بیایید یک گروه بندی فاصله ای بسازیم. بیایید محدوده فاصله را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

که در آن X max حداکثر مقدار مشخصه گروه بندی است. X min - حداقل مقدار مشخصه گروه بندی. n – تعداد فواصل:

ما n=5 را می پذیریم. مرحله این است: h = (192 - 159) / 5 = 6.6

بیایید یک گروه بندی فاصله ایجاد کنیم

برای محاسبات بیشتر، یک جدول کمکی می سازیم:

X"i - وسط فاصله. (به عنوان مثال، وسط فاصله 159 - 165.6 = 162.3)

میانگین قد دانش آموزان را با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی تعیین می کنیم:

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

فرمول را می توان به شکل زیر تبدیل کرد:

از این فرمول نتیجه می شود که واریانس برابر است تفاوت بین میانگین مربع های گزینه ها و مربع و میانگین.

واریانس در سری تغییرات با در فواصل مساویبا استفاده از روش گشتاورها می توان با استفاده از خاصیت دوم پراکندگی (تقسیم همه گزینه ها بر مقدار بازه) به روش زیر محاسبه کرد. تعیین واریانسمحاسبه شده با استفاده از روش گشتاورها، استفاده از فرمول زیر زحمت کمتری دارد:

جایی که i مقدار بازه است. A یک صفر معمولی است که برای آن استفاده از وسط بازه با بالاترین فرکانس راحت است. m1 مربع لحظه مرتبه اول است. متر مربع - لحظه سفارش دوم

واریانس صفت جایگزین (اگر در یک جامعه آماری یک مشخصه به گونه ای تغییر کند که فقط دو گزینه متقابل وجود داشته باشد، آنگاه چنین تنوعی جایگزین نامیده می شود) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

با جایگزینی q = 1-p در این فرمول پراکندگی، به دست می آوریم:

انواع واریانس

واریانس کلتغییرات یک مشخصه را در کل جمعیت تحت تأثیر همه عواملی که باعث این تنوع می شوند اندازه گیری می کند. این برابر با میانگین مربع انحراف مقادیر فردی یک مشخصه x از مقدار میانگین کلی x است و می تواند به عنوان واریانس ساده یا واریانس وزنی تعریف شود.

واریانس درون گروهی تغییرات تصادفی را مشخص می کند، یعنی. بخشی از تغییرات که ناشی از تأثیر عوامل حساب نشده است و به ویژگی عاملی که اساس گروه را تشکیل می دهد بستگی ندارد. چنین پراکندگی برابر است با میانگین مربع انحراف مقادیر فردی ویژگی در گروه X از میانگین حسابی گروه و می تواند به عنوان پراکندگی ساده یا پراکندگی وزنی محاسبه شود.

بنابراین، اندازه گیری های واریانس درون گروهیتنوع یک صفت در یک گروه و با فرمول تعیین می شود:

جایی که xi میانگین گروه است. ni تعداد واحدهای گروه است.

به عنوان مثال، واریانس‌های درون گروهی که باید در کار مطالعه تأثیر صلاحیت‌های کارگران بر سطح بهره‌وری نیروی کار در یک کارگاه تعیین شوند، تغییرات در بازده در هر گروه را نشان می‌دهند که ناشی از همه عوامل ممکن (وضعیت فنی تجهیزات، در دسترس بودن تجهیزات) است. ابزار و مواد، سن کارگران، شدت کار، و غیره.) به جز تفاوت در رده صلاحیت (در یک گروه همه کارگران دارای شرایط یکسان هستند).

میانگین واریانس های درون گروهی منعکس کننده تغییرات تصادفی است، یعنی بخشی از تغییرات که تحت تأثیر همه عوامل دیگر به استثنای عامل گروه بندی رخ داده است. با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

واریانس بین گروهیتغییر سیستماتیک مشخصه حاصل را مشخص می کند، که به دلیل تأثیر عامل-ویژگی است که اساس گروه را تشکیل می دهد. برابر است با مجذور میانگین انحراف میانگین های گروه از میانگین کلی. واریانس بین گروهی با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

این صفحه توضیح می دهد مثال استانداردبا پیدا کردن واریانس، می توانید به مشکلات دیگر نیز نگاه کنید تا آن را پیدا کنید

مثال 1. تعیین گروه، میانگین گروه، بین گروهی و واریانس کل

مثال 2. یافتن واریانس و ضریب تغییرات در جدول گروه بندی

مثال 3. یافتن واریانس در یک سری گسسته

مثال 4. داده های زیر برای یک گروه 20 دانشجوی مکاتبه ای موجود است. ساخت یک سری بازه ای از توزیع مشخصه، محاسبه میانگین مقدار مشخصه و مطالعه پراکندگی آن ضروری است.

بیایید یک گروه بندی فاصله ای بسازیم. بیایید محدوده فاصله را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

که در آن X max حداکثر مقدار مشخصه گروه بندی است.
X min - حداقل مقدار مشخصه گروه بندی.
n – تعداد فواصل:

ما n=5 را می پذیریم. مرحله این است: h = (192 - 159) / 5 = 6.6

بیایید یک گروه بندی فاصله ایجاد کنیم

برای محاسبات بیشتر، یک جدول کمکی می سازیم:

X"i - وسط فاصله. (به عنوان مثال، وسط فاصله 159 - 165.6 = 162.3)

میانگین قد دانش آموزان را با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی تعیین می کنیم:

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

فرمول را می توان به شکل زیر تبدیل کرد:

از این فرمول نتیجه می شود که واریانس برابر است تفاوت بین میانگین مربع های گزینه ها و مربع و میانگین.

پراکندگی در سری تغییراتبا فواصل مساوی با استفاده از روش گشتاورها را می توان با استفاده از خاصیت دوم پراکندگی (تقسیم همه گزینه ها بر مقدار بازه) به روش زیر محاسبه کرد. تعیین واریانسمحاسبه شده با استفاده از روش گشتاورها، استفاده از فرمول زیر زحمت کمتری دارد:

جایی که i مقدار بازه است.
A یک صفر معمولی است که برای آن استفاده از وسط بازه با بالاترین فرکانس راحت است.
m1 مربع لحظه مرتبه اول است.
متر مربع - لحظه سفارش دوم

با جایگزینی q = 1-p در این فرمول پراکندگی، به دست می آوریم:

انواع واریانس

بنابراین، اندازه گیری های واریانس درون گروهیتنوع یک صفت در یک گروه و با فرمول تعیین می شود:

جایی که xi میانگین گروه است.
ni تعداد واحدهای گروه است.

به عنوان مثال، واریانس‌های درون گروهی که باید در مسئله مطالعه تأثیر صلاحیت‌های کارگر بر سطح بهره‌وری نیروی کار در کارگاه تعیین شوند، تغییراتی را در بازده در هر گروه نشان می‌دهند که ناشی از همه عوامل احتمالی(وضعیت فنی تجهیزات، در دسترس بودن ابزار و مواد، سن کارگران، شدت کار و غیره)، به جز تفاوت در رده صلاحیت (در یک گروه، همه کارگران دارای صلاحیت های یکسان هستند).

همراه با مطالعه تغییرات یک مشخصه در کل جمعیت به عنوان یک کل، اغلب لازم است تغییرات کمی در ویژگی در گروه هایی که جمعیت به آنها تقسیم شده و همچنین بین گروه ها ردیابی شود. این مطالعه تغییرات از طریق محاسبه و تجزیه و تحلیل به دست می آید انواع مختلفواریانس ها
واریانس کل، بین گروهی و درون گروهی وجود دارد.
واریانس کل σ 2تغییرات یک صفت را در کل جمعیت تحت تأثیر همه عواملی که باعث این تنوع شده اند اندازه گیری می کند.

واریانس بین گروهی (δ) تنوع سیستماتیک را مشخص می کند، به عنوان مثال. تفاوت در ارزش صفت مورد مطالعه که تحت تأثیر صفت عاملی ایجاد می شود که اساس گروه را تشکیل می دهد. با استفاده از فرمول محاسبه می شود:
.

واریانس درون گروهی (σ)منعکس کننده تغییرات تصادفی است، به عنوان مثال. بخشی از تغییرات که تحت تأثیر عوامل محاسبه نشده رخ می دهد و به ویژگی عاملی که اساس گروه را تشکیل می دهد بستگی ندارد. با فرمول محاسبه می شود:
.

میانگین واریانس های درون گروهی: .

قانونی وجود دارد که 3 نوع پراکندگی را به هم متصل می کند. واریانس کل برابر است با مجموع میانگین واریانس درون گروهی و بین گروهی: .
این نسبت نامیده می شود قانون برای اضافه کردن واریانس.

یک شاخص پرکاربرد در تحلیل، نسبت واریانس بین گروهی در واریانس کل است. نام دارد ضریب تعیین تجربی (η 2): .
جذر ضریب تعیین تجربی نامیده می شود نسبت همبستگی تجربی (η):
.
این تأثیر مشخصه ای را مشخص می کند که اساس گروه را بر تغییر ویژگی حاصل تشکیل می دهد. نسبت همبستگی تجربی از 0 تا 1 متغیر است.
اجازه دهید کاربرد عملی آن را با استفاده از مثال زیر نشان دهیم (جدول 1).

مثال شماره 1. جدول 1 - بهره وری نیروی کار دو گروه از کارگران در یکی از کارگاه های NPO Cyclone

بیایید میانگین ها و واریانس های کلی و گروهی را محاسبه کنیم:

داده های اولیه برای محاسبه میانگین واریانس درون گروهی و بین گروهی در جدول ارائه شده است. 2.
جدول 2
محاسبه و δ 2 برای دو گروه از کارگران.

گروه های کارگری	تعداد کارگران، افراد	میانگین، کودکان / شیفت	پراکندگی
آموزش فنی را گذرانده است	5	95	42,0
کسانی که آموزش فنی را گذرانده اند	5	81	231,2
همه کارگران	10	88	185,6

بیایید شاخص ها را محاسبه کنیم. میانگین واریانس های درون گروهی:

.
واریانس بین گروهی

واریانس کل:
بنابراین، نسبت همبستگی تجربی: .

در کنار تنوع در ویژگی های کمی، تنوع در ویژگی های کیفی نیز قابل مشاهده است. این مطالعه تغییرات با محاسبه انواع واریانس های زیر به دست می آید:

پراکندگی درون گروهی سهم با فرمول تعیین می شود

کجا n من- تعداد واحدها در گروه های جداگانه.
سهم ویژگی مورد مطالعه در کل جمعیت که با فرمول تعیین می شود:
سه نوع واریانس به شرح زیر با یکدیگر مرتبط هستند:

این رابطه واریانس را قضیه جمع واریانس سهم صفت می نامند.

با این حال، این ویژگی به تنهایی برای مطالعه یک متغیر تصادفی کافی نیست. بیایید دو تیرانداز را تصور کنیم که به یک هدف شلیک می کنند. یکی با دقت شلیک می کند و نزدیک به مرکز ضربه می زند، در حالی که دیگری ... فقط سرگرم می شود و حتی هدف نمی گیرد. اما آنچه خنده دار است این است که او متوسطنتیجه دقیقاً مشابه تیرانداز اول خواهد بود! این وضعیت به طور معمول با متغیرهای تصادفی زیر نشان داده می شود:

انتظار ریاضی "تک تیرانداز" برابر است، اما برای "فرد جالب": - همچنین صفر است!

بنابراین، نیاز به تعیین کمیت تا کجا وجود دارد پراکنده شده استگلوله ها (مقادیر متغیر تصادفی) نسبت به مرکز هدف ( انتظارات ریاضی). خوب پراکندگیترجمه از لاتین راهی جز این نیست پراکندگی .

بیایید ببینیم که چگونه این مشخصه عددی با استفاده از یکی از مثال‌های قسمت اول درس تعیین می‌شود:

در آنجا یک انتظار ریاضی ناامیدکننده از این بازی پیدا کردیم و اکنون باید واریانس آن را محاسبه کنیم که نشان داده شده بااز طریق .

بیایید دریابیم که بردها/باخت ها تا چه اندازه نسبت به مقدار متوسط "پراکنده" هستند. بدیهی است که برای این باید محاسبه کنیم تفاوت هابین مقادیر متغیر تصادفیو او انتظارات ریاضی:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

اکنون به نظر می رسد که باید نتایج را جمع بندی کنید، اما این راه مناسب نیست - به این دلیل که نوسانات به سمت چپ با نوسانات سمت راست یکدیگر را خنثی می کنند. بنابراین، برای مثال، یک تیرانداز "آماتور". (مثال بالا)تفاوت ها خواهد بود ، و هنگامی که به آنها اضافه شوند صفر می دهند، بنابراین ما هیچ تخمینی از پراکندگی تیراندازی او نخواهیم گرفت.

برای دور زدن این مشکل می توانید در نظر بگیرید ماژول هاتفاوت‌ها، اما به دلایل فنی، این رویکرد زمانی ریشه دوانده است که آنها مربع شوند. فرموله کردن راه حل در جدول راحت تر است:

و در اینجا آن را التماس برای محاسبه میانگین وزنیمقدار انحرافات مجذور و این چیست؟ مال آنهاست انتظارات ریاضی، که معیاری برای پراکندگی است:

– تعریفواریانس ها از تعریف بلافاصله مشخص است که واریانس نمی تواند منفی باشد- برای تمرین توجه داشته باشید!

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه مقدار مورد انتظار را پیدا کنیم. مجذور اختلافات را در احتمالات مربوطه ضرب کنید (جدول ادامه دارد):
- به بیان مجازی، این "نیروی کششی" است.
و نتایج را خلاصه کنید:

فکر نمی کنید در مقایسه با بردها، نتیجه خیلی بزرگ بود؟ درست است - ما آن را مربع کردیم و برای بازگشت به بعد بازی خود، باید استخراج کنیم ریشه مربع. این مقدار نامیده می شود انحراف معیار و با حرف یونانی "سیگما" نشان داده می شود:

این مقدار گاهی اوقات نامیده می شود انحراف معیار .

معنی آن چیست؟ اگر با انحراف معیار از انتظار ریاضی به چپ و راست منحرف شویم:

- سپس محتمل ترین مقادیر متغیر تصادفی روی این بازه متمرکز می شود. آنچه در واقع مشاهده می کنیم:

با این حال، این اتفاق می افتد که هنگام تجزیه و تحلیل پراکندگی، تقریباً همیشه با مفهوم پراکندگی عمل می شود. بیایید بفهمیم که در رابطه با بازی ها چه معنایی دارد. اگر در مورد فلش ها در مورد "دقت" ضربه ها نسبت به مرکز هدف صحبت می کنیم ، در اینجا پراکندگی دو چیز را مشخص می کند:

اولاً، بدیهی است که با افزایش شرط بندی ها، پراکندگی نیز افزایش می یابد. بنابراین، برای مثال، اگر 10 برابر افزایش دهیم، انتظار ریاضی 10 برابر و واریانس 100 برابر افزایش می یابد. (چون این یک کمیت درجه دوم است). اما توجه داشته باشید که قوانین بازی خود تغییر نکرده است! فقط نرخ ها تغییر کرده اند، به طور کلی، قبل از اینکه ما 10 روبل شرط بندی کنیم، اکنون 100.

دومین نکته جالب تر این است که واریانس سبک بازی را مشخص می کند. به صورت ذهنی شرط های بازی را اصلاح کنید در یک سطح معینو بیایید ببینیم چیست:

یک بازی با واریانس کم یک بازی محتاطانه است. بازیکن تمایل دارد که قابل اعتمادترین طرح ها را انتخاب کند، جایی که در یک زمان زیاد از دست نمی دهد/برنده می شود. به عنوان مثال، سیستم قرمز/مشکی در رولت (نمونه 4 مقاله را ببینید متغیرهای تصادفی) .

بازی با واریانس بالا او اغلب نامیده می شود پراکندهبازی این یک سبک بازی ماجراجویانه یا تهاجمی است که در آن بازیکن طرح های "آدرنالین" را انتخاب می کند. حداقل یادمون باشه "مارتینگل"، که در آن مقادیر مورد نظر مرتبه‌ای بزرگتر از بازی "آرام" نقطه قبلی است.

وضعیت در پوکر نشان دهنده است: به اصطلاح وجود دارد تنگبازیکنانی که تمایل دارند نسبت به آنها محتاط و "متزلزل" باشند بازی یعنی (بانک). جای تعجب نیست که سرمایه آنها به طور قابل توجهی نوسان نمی کند (واریانس کم). برعکس، اگر بازیکنی واریانس بالایی داشته باشد، مهاجم است. او اغلب ریسک می‌کند، شرط‌بندی بزرگ می‌کند و می‌تواند یک بانک بزرگ را بشکند یا به اسمیترنز ببازد.

همین اتفاق در فارکس و غیره رخ می دهد - نمونه های زیادی وجود دارد.

علاوه بر این، در همه موارد فرقی نمی‌کند که بازی با پنی یا هزاران دلار انجام شود. هر سطح دارای بازیکنان با پراکندگی کم و زیاد است. خوب، برای میانگین بردهمانطور که به یاد داریم، "جواب می دهد" انتظارات ریاضی.

احتمالا متوجه شده اید که یافتن واریانس یک فرآیند طولانی و پر دردسر است. اما ریاضیات سخاوتمندانه است:

فرمول یافتن واریانس

این فرمولمستقیماً از تعریف واریانس مشتق شده است و ما بلافاصله آن را مورد استفاده قرار می دهیم. من علامت را با بازی ما در بالا کپی می کنم:

و انتظارات ریاضی پیدا شده

بیایید واریانس را به روش دوم محاسبه کنیم. ابتدا، بیایید انتظار ریاضی را پیدا کنیم - مربع متغیر تصادفی. توسط تعیین انتظارات ریاضی:

در در این مورد:

بنابراین، طبق فرمول:

همانطور که می گویند، تفاوت را احساس کنید. و البته در عمل بهتر است از فرمول استفاده شود (مگر اینکه شرط اقتضا کند).

ما بر تکنیک حل و طراحی مسلط هستیم:

مثال 6

انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار آن را بیابید.

این وظیفه در همه جا یافت می شود و، به عنوان یک قاعده، بدون معنی است.
می توانید چندین لامپ با اعداد را تصور کنید که در یک دیوانه خانه با احتمالات خاص روشن می شوند :)

راه حل: خلاصه کردن محاسبات اولیه در یک جدول راحت است. ابتدا داده های اولیه را در دو خط بالا می نویسیم. سپس محصولات را محاسبه می کنیم، سپس و در نهایت مجموع ستون سمت راست را محاسبه می کنیم:

در واقع، تقریبا همه چیز آماده است. خط سوم یک انتظار ریاضی آماده را نشان می دهد: .

ما واریانس را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

و در نهایت انحراف معیار:
- من شخصاً معمولاً 2 رقم اعشار گرد می کنم.

تمام محاسبات را می توان در یک ماشین حساب یا حتی بهتر از آن در اکسل انجام داد:

اینجا اشتباه کردن سخته :)

پاسخ دهید:

آنهایی که می خواهند می توانند زندگی خود را بیشتر ساده کنند و از من استفاده کنند ماشین حساب (دمو)، که نه تنها فوراً حل می شود این وظیفه، بلکه خواهد ساخت گرافیک موضوعی (به زودی به آنجا خواهیم رسید). برنامه می تواند باشد از کتابخانه دانلود کنید- اگر حداقل یکی را دانلود کرده اید مطالب آموزشی، یا دریافت کنید راه دیگری. با تشکر برای حمایت از پروژه!

چند کار برای تصمیم مستقل:

مثال 7

واریانس متغیر تصادفی در مثال قبلی را بر اساس تعریف محاسبه کنید.

و مثال مشابه:

مثال 8

یک متغیر تصادفی گسسته توسط قانون توزیع آن مشخص می شود:

بله، مقادیر متغیر تصادفی می توانند بسیار بزرگ باشند (نمونه ای از کار واقعی)و در اینجا در صورت امکان از Excel استفاده کنید. همانطور که، به هر حال، در مثال 7 - سریعتر، قابل اعتمادتر و لذت بخش تر است.

راه حل ها و پاسخ ها در پایین صفحه.

در پایان قسمت دوم درس، یک مورد دیگر را بررسی خواهیم کرد کار معمولی، حتی می توان گفت، یک ربوس کوچک:

مثال 9

یک متغیر تصادفی گسسته می تواند تنها دو مقدار بگیرد: و، و. احتمال، انتظارات ریاضی و واریانس مشخص است.

راه حل: بیایید با یک احتمال مجهول شروع کنیم. از آنجایی که یک متغیر تصادفی می تواند تنها دو مقدار بگیرد، مجموع احتمالات رویدادهای مربوطه برابر است با:

و از آن پس .

تنها چیزی که باقی می ماند یافتن است...، گفتن آن آسان است :) اما اوه خوب، به اینجا می رسیم. با تعریف انتظارات ریاضی:
- جایگزین مقادیر شناخته شده:

- و هیچ چیز دیگری نمی توان از این معادله خارج کرد، به جز اینکه می توانید آن را در جهت معمول بازنویسی کنید:

یا:

در مورد اقدامات بعدی، فکر می کنم می توانید حدس بزنید. بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

اعشاری- البته این مایه شرمساری کامل است. هر دو معادله را در 10 ضرب کنید:

و تقسیم بر 2:

این بهتر است. از معادله 1 بیان می کنیم:
(این راه ساده تر است)- جایگزین معادله 2:

ما در حال ساختن هستیم مربعو ساده سازی کنید:

ضرب در:

نتیجه شد معادله درجه دوم، تمایز آن را پیدا می کنیم:
- عالی!

و دو راه حل می گیریم:

1) اگر ، آن ;

2) اگر ، آن

اولین جفت مقادیر شرط را برآورده می کند. با احتمال زیاد همه چیز درست است، اما، با این وجود، اجازه دهید قانون توزیع را بنویسیم:

و یک بررسی انجام دهید، یعنی انتظار را پیدا کنید: