બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિ c. ન્યુટન-રૅફસન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સ્થિર-સ્થિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

ન્યુટનની પદ્ધતિ (જેને સ્પર્શક પદ્ધતિ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ આપેલ કાર્યના મૂળ (શૂન્ય) શોધવા માટેની પુનરાવર્તિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ છે. આ પદ્ધતિ સૌપ્રથમ ઇંગ્લિશ ભૌતિકશાસ્ત્રી, ગણિતશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી, જેના નામથી તે પ્રખ્યાત બની હતી.

આ પદ્ધતિનું વર્ણન આઇઝેક ન્યુટને હસ્તપ્રત ડી એનાલિસી પર સમીકરણ ન્યુમેરો ટર્મિનોરમ ઇન્ફિનિટાસ (lat. .વિશેઅનંત શ્રેણીના સમીકરણો દ્વારા વિશ્લેષણ), 1669માં બેરોને સંબોધવામાં આવ્યું હતું, અને કાર્યમાં ડી મેટોડિસ ફ્લક્સિઓનમ એટ સીરીઅરમ ઇન્ફિનિટેરમ (લેટિન: પ્રવાહ અને અનંત શ્રેણીની પદ્ધતિ) અથવા જિયોમેટ્રિયા એનાલિટિકા ( lat.વિશ્લેષણાત્મકભૂમિતિ) ન્યુટનના એકત્રિત કાર્યોમાં, જે 1671 માં લખવામાં આવી હતી. જો કે, પદ્ધતિનું વર્ણન તેની વર્તમાન પ્રસ્તુતિથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હતું: ન્યૂટને તેની પદ્ધતિને ફક્ત બહુપદી પર લાગુ કરી. તેણે x n ની અનુક્રમિક અંદાજની ગણતરી કરી ન હતી, પરંતુ બહુપદીનો ક્રમ અને પરિણામે x નું અંદાજિત સોલ્યુશન મેળવ્યું હતું.

આ પદ્ધતિ સૌપ્રથમ 1685 માં જ્હોન વોલિસ દ્વારા ગ્રંથ બીજગણિતમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી, જેની વિનંતી પર ન્યૂટને પોતે તેનું ટૂંકમાં વર્ણન કર્યું હતું. 1690 માં, જોસેફ રાફસને તેમના કાર્ય વિશ્લેષણ એક્વેશનમ યુનિવર્સાલિસ (lat. સામાન્ય વિશ્લેષણસમીકરણો).રેફસને ન્યૂટનની પદ્ધતિને સંપૂર્ણ રીતે બીજગણિતીય ગણી હતી અને તેનો ઉપયોગ બહુપદી સુધી મર્યાદિત રાખ્યો હતો, પરંતુ તેણે ન્યૂટન દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા બહુપદીના ક્રમને સમજવામાં વધુ મુશ્કેલને બદલે ક્રમિક અંદાજ x nના સંદર્ભમાં પદ્ધતિનું વર્ણન કર્યું હતું.

છેલ્લે, 1740 માં, થોમસ સિમ્પસન દ્વારા ન્યુટનની પદ્ધતિને ઉકેલવા માટેની પ્રથમ ક્રમની પુનરાવર્તિત પદ્ધતિ તરીકે વર્ણવવામાં આવી હતી. બિનરેખીય સમીકરણોઅહીં પ્રસ્તુત કર્યા મુજબ વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને. એ જ પ્રકાશનમાં, સિમ્પસને પદ્ધતિને બે સમીકરણોની સિસ્ટમના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણ કર્યું અને નોંધ્યું કે ન્યૂટનની પદ્ધતિને વ્યુત્પન્ન અથવા ઢાળના શૂન્યને શોધીને ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પણ લાગુ કરી શકાય છે.

આ પદ્ધતિ અનુસાર, ફંક્શનના રુટને શોધવાનું કાર્ય ફંક્શનના આલેખ પર રચાયેલ સ્પર્શકના x-અક્ષ સાથે આંતરછેદના બિંદુને શોધવાના કાર્ય સુધી ઘટાડવામાં આવે છે.

ફિગ.1 . કાર્ય પરિવર્તન ગ્રાફ

ફંક્શનના ગ્રાફ પર કોઈપણ બિંદુએ દોરવામાં આવેલી સ્પર્શરેખા, વિચારણા હેઠળના બિંદુ પર આ ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે બદલામાં કોણ α () ની સ્પર્શક દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે. એબ્સીસા અક્ષ સાથે સ્પર્શકના આંતરછેદનું બિંદુ નીચેના સંબંધના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે જમણો ત્રિકોણ: કોણની સ્પર્શકકાટકોણ ત્રિકોણમાં ત્રિકોણની બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આમ, દરેક પગલા પર, ફંક્શનના આલેખ માટે એક સ્પર્શક આગામી અંદાજના બિંદુ પર બાંધવામાં આવે છે. . અક્ષ સાથે સ્પર્શકના આંતરછેદનું બિંદુબળદ આગામી અભિગમ બિંદુ હશે. વિચારણા હેઠળની પદ્ધતિ અનુસાર, રુટની અંદાજિત કિંમતની ગણતરી કરવીi- પુનરાવર્તનો સૂત્ર અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:

સીધી રેખાના ઢોળાવને દરેક પગલા પર શક્ય તેટલી શ્રેષ્ઠ રીતે ગોઠવવામાં આવે છે, જો કે, તમારે એ હકીકત પર ધ્યાન આપવું જોઈએ કે અલ્ગોરિધમ ગ્રાફની વક્રતાને ધ્યાનમાં લેતું નથી અને તેથી, ગણતરી પ્રક્રિયા દરમિયાન તે અજ્ઞાત રહે છે. ગ્રાફ કઈ દિશામાં વિચલિત થઈ શકે છે.

પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાના અંત માટેની શરત એ નીચેની શરતની પરિપૂર્ણતા છે:

જ્યાં ˗ રુટ નક્કી કરવામાં અનુમતિપાત્ર ભૂલ.

પદ્ધતિમાં ચતુર્ભુજ કન્વર્જન્સ છે. કન્વર્જન્સના ચતુર્ભુજ દરનો અર્થ એ છે કે અંદાજમાં સાચા ચિહ્નોની સંખ્યા દરેક પુનરાવર્તન સાથે બમણી થાય છે.

ગાણિતિક સમર્થન

એક વાસ્તવિક કાર્ય આપવા દો, જે વિચારણા હેઠળના વિસ્તારમાં વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે. પ્રશ્નમાં ફંક્શનનું વાસ્તવિક મૂળ શોધવું જરૂરી છે.

સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ પદ્ધતિ પર આધારિત છે સરળ પુનરાવર્તનો, જે મુજબ સમીકરણ કોઈપણ કાર્ય માટે સમકક્ષ સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવે છે. ચાલો સંકોચન મેપિંગનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ, જે સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

પદ્ધતિના શ્રેષ્ઠ સંકલન માટે, આગામી અંદાજના બિંદુએ સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોવી આવશ્યક છે. આ જરૂરિયાતનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનનું રુટ ફંક્શનની સીમાને અનુરૂપ હોવું જોઈએ.

સંકોચન નકશાનું વ્યુત્પન્નનીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

ચાલો આ અભિવ્યક્તિમાંથી ચલ વ્યક્ત કરીએઅગાઉ સ્વીકૃત નિવેદનને આધીન કે જ્યારે તે શરતની ખાતરી કરવી જરૂરી છે. પરિણામે, અમે ચલ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે એક અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

આને ધ્યાનમાં લેતા, કમ્પ્રેશન કાર્ય નીચે મુજબ છે:

આમ, સમીકરણ માટે સંખ્યાત્મક ઉકેલ શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ પુનરાવર્તિત ગણતરી પ્રક્રિયામાં ઘટાડવામાં આવે છે:

પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણનું મૂળ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ

1. ફંક્શનના રુટના અંદાજિત મૂલ્યના પ્રારંભિક બિંદુને સેટ કરો, તેમજ ગણતરીની ભૂલ (નાની હકારાત્મક સંખ્યા) અને પ્રારંભિક પુનરાવર્તન પગલું ().

2. સૂત્ર અનુસાર ફંક્શનના મૂળના અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરી કરો:

3. અમે ઉલ્લેખિત ચોકસાઈ માટે રુટનું અંદાજિત મૂલ્ય તપાસીએ છીએ, આ કિસ્સામાં:

જો બે અનુગામી અંદાજો વચ્ચેનો તફાવત નિર્દિષ્ટ ચોકસાઈ કરતા ઓછો થઈ જાય, તો પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા સમાપ્ત થાય છે.

જો બે અનુગામી અંદાજો વચ્ચેનો તફાવત જરૂરી ચોકસાઈ સુધી પહોંચતો નથી, તો પછી પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ચાલુ રાખવી અને વિચારણા હેઠળના અલ્ગોરિધમના સ્ટેપ 2 પર જવું જરૂરી છે.

સમીકરણો ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

પદ્ધતિ દ્વારાએક ચલ સાથેના સમીકરણ માટે ન્યૂટન

ઉદાહરણ તરીકે, પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણ હલ કરવાનું વિચારોએક ચલ સાથેના સમીકરણ માટે ન્યૂટન. પ્રથમ અંદાજ તરીકે રુટ સચોટતા સાથે શોધવું આવશ્યક છે.

સોફ્ટવેર પેકેજમાં બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલવા માટેનો વિકલ્પMathCADઆકૃતિ 3 માં પ્રસ્તુત.

ગણતરીના પરિણામો, એટલે કે મૂળના અંદાજિત મૂલ્યમાં ફેરફારોની ગતિશીલતા, તેમજ પુનરાવૃત્તિના પગલાને આધારે ગણતરીની ભૂલો, ગ્રાફિકલ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે (ફિગ 2 જુઓ).

ફિગ.2. એક ચલ સાથેના સમીકરણ માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીના પરિણામો

શ્રેણીમાં સમીકરણના મૂળના અંદાજિત મૂલ્યની શોધ કરતી વખતે ઉલ્લેખિત ચોકસાઈની ખાતરી કરવા માટે, 4 પુનરાવર્તનો કરવા જરૂરી છે. છેલ્લા પુનરાવૃત્તિના પગલા પર, બિનરેખીય સમીકરણના મૂળનું અંદાજિત મૂલ્ય મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે: .

ફિગ.3 . માં કાર્યક્રમ યાદીMathCad

એક ચલ સાથેના સમીકરણ માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં ફેરફાર

ન્યુટનની પદ્ધતિમાં ઘણા ફેરફારો છે જેનો હેતુ કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયાને સરળ બનાવવાનો છે.

ન્યૂટનની સરળ પદ્ધતિ

ન્યુટનની પદ્ધતિ અનુસાર, દરેક પુનરાવૃત્તિના પગલા પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે કોમ્પ્યુટેશનલ ખર્ચમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે. દરેક ગણતરીના પગલા પર વ્યુત્પન્નની ગણતરી સાથે સંકળાયેલ ખર્ચ ઘટાડવા માટે, તમે સૂત્રમાં બિંદુ x n પર વ્યુત્પન્ન f’(x n) ને બિંદુ x 0 પર વ્યુત્પન્ન f’(x 0) સાથે બદલી શકો છો. આ ગણતરી પદ્ધતિ અનુસાર, મૂળનું અંદાજિત મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:ન્યુટનની પદ્ધતિમાં ફેરફાર કર્યો

ન્યુટનની તફાવત પદ્ધતિ

પરિણામે, ફંક્શન f(x) ના મૂળનું અંદાજિત મૂલ્ય ન્યૂટનની તફાવત પદ્ધતિની અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે:

ન્યૂટનની બે-પગલાની પદ્ધતિ

ન્યુટનની પદ્ધતિ અનુસાર, દરેક પુનરાવૃત્તિના પગલા પર ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે હંમેશા અનુકૂળ હોતું નથી અને કેટલીકવાર વ્યવહારીક રીતે અશક્ય પણ હોય છે. આ પદ્ધતિફંક્શનના વ્યુત્પન્નને તફાવત ગુણોત્તર (અંદાજે મૂલ્ય) દ્વારા બદલવાની મંજૂરી આપે છે:

પરિણામે, ફંક્શન f(x) ના રુટનું અંદાજિત મૂલ્ય નીચેના અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે:

જ્યાં

ફિગ.5 . ન્યૂટનની બે-પગલાની પદ્ધતિ

સેકન્ટ પદ્ધતિ એ બે-પગલાની પદ્ધતિ છે, એટલે કે, એક નવો અંદાજઅગાઉના બે પુનરાવર્તનો દ્વારા નિર્ધારિતઅને . પદ્ધતિમાં બે પ્રારંભિક અંદાજોનો ઉલ્લેખ કરવો આવશ્યક છેઅને . પદ્ધતિનો કન્વર્જન્સ દર રેખીય હશે.

• પાછળ
• આગળ

લેખમાં તમારી ટિપ્પણી ઉમેરવા માટે, કૃપા કરીને સાઇટ પર નોંધણી કરો.

2. બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિ.

આ પદ્ધતિમાં સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ કરતાં વધુ ઝડપી સંપાત છે. સમીકરણોની સિસ્ટમ (1.1) માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિ કાર્ય વિસ્તરણના ઉપયોગ પર આધારિત છે

, ક્યાં
(2.1)

ટેલર શ્રેણીમાં, બીજા અથવા વધુને સમાવતા શબ્દો સાથે ઉચ્ચ ઓર્ડરડેરિવેટિવ્ઝ કાઢી નાખવામાં આવે છે. આ અભિગમ એક બિનરેખીય સિસ્ટમ (1.1) ના ઉકેલને સંખ્યાબંધ રેખીય સિસ્ટમોના ઉકેલ દ્વારા બદલવાની મંજૂરી આપે છે.

તેથી, અમે ન્યુટનની પદ્ધતિ દ્વારા સિસ્ટમ (1.1) ઉકેલીશું. પ્રદેશ D ​​માં, કોઈપણ બિંદુ પસંદ કરો
અને તેને મૂળ સિસ્ટમના ચોક્કસ ઉકેલ માટે શૂન્ય અંદાજ કહો. હવે ચાલો બિંદુના પડોશમાં ટેલર શ્રેણીમાં ફંક્શન્સ (2.1) ને વિસ્તૃત કરીએ. અમારી પાસે હશે

કારણ કે (2.2) ની ડાબી બાજુઓ (1.1) અનુસાર અદૃશ્ય થઈ જવી જોઈએ, પછી (2.2) ની જમણી બાજુઓ પણ અદૃશ્ય થઈ જવી જોઈએ. તેથી, (2.2) થી અમારી પાસે છે

(2.3) માંના તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્સની ગણતરી બિંદુ પર થવી જોઈએ.

(2.3) રેખીય સિસ્ટમ છે બીજગણિતીય સમીકરણોઅજાણ્યાઓને સંબંધિત આ સિસ્ટમ ક્રેમરની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે જો તેનું મુખ્ય નિર્ણાયક શૂન્ય ન હોય અને જથ્થાઓ શોધી શકાય.

હવે આપણે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્રથમ અંદાજ બાંધીને શૂન્ય અંદાજને શુદ્ધ કરી શકીએ છીએ

તે
. (2.6)

ચાલો જોઈએ કે શું અંદાજ (2.6) પૂરતી માત્રામાં ચોકસાઈ સાથે મેળવવામાં આવ્યો છે. આ કરવા માટે, ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

,
(2.7)

જ્યાં પૂર્વનિર્ધારિત નાની સકારાત્મક સંખ્યા (ચોક્કસતા કે જેની સાથે સિસ્ટમ (1.1) ઉકેલવી આવશ્યક છે). જો સ્થિતિ (2.7) સંતુષ્ટ છે, તો અમે સિસ્ટમ (1.1) માટે અંદાજિત ઉકેલ તરીકે (2.6) પસંદ કરીએ છીએ અને ગણતરીઓ પૂર્ણ કરીએ છીએ. જો શરત (2.7) સંતુષ્ટ નથી, તો અમે નીચેની ક્રિયા કરીએ છીએ. સિસ્ટમમાં (2.3), તેના બદલે
ચાલો અપડેટ કરેલ મૂલ્યો લઈએ

, (2.8)

તે ચાલો તે કરીએ આગળનાં પગલાં

. (2.9)

આ પછી, સિસ્ટમ (2.3) એ જથ્થાઓ માટે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ હશે આ જથ્થાઓ નક્કી કર્યા પછી, આગામી બીજા અંદાજ
સિસ્ટમના ઉકેલ માટે (1.1) આપણે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ

હવે સ્થિતિ તપાસીએ (2.7)

જો આ શરત પૂરી થાય છે, તો અમે સિસ્ટમના અંદાજિત ઉકેલ તરીકે બીજા અંદાજને લઈને ગણતરીઓ પૂર્ણ કરીએ છીએ (1.1)
. જો આ શરત પૂરી ન થાય, તો અમે આગળનું અનુમાન બાંધવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ, (2.3)
જ્યાં સુધી સ્થિતિ સંતુષ્ટ ન થાય ત્યાં સુધી અંદાજો બાંધવો જરૂરી છે.

ન્યુટનની સોલ્વિંગ સિસ્ટમ (1.1) માટેની પદ્ધતિના કાર્યકારી સૂત્રો ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

ક્રમની ગણતરી કરો

અહીં
સિસ્ટમ માટે ઉકેલ છે

ચાલો સૂત્રો (2.11)-(2.13) નો ઉપયોગ કરીને એક ગણતરી અલ્ગોરિધમ ઘડીએ.

1. ચાલો પ્રદેશ D ​​સાથે સંબંધિત શૂન્ય અંદાજ પસંદ કરીએ.

2. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમમાં (2.13) આપણે સેટ કરીએ છીએ
, એ.

3. ચાલો સિસ્ટમ ઉકેલીએ (2.13) અને માત્રાઓ શોધીએ
.

4. સૂત્રોમાં (2.12) આપણે મુકીએ છીએ
અને આગામી અંદાજના ઘટકોની ગણતરી કરો.

5. ચાલો આ માટે શરત (2.7) તપાસીએ: (અધિકતમ કેટલાંક જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે અલ્ગોરિધમ જુઓ.)

6. જો આ શરત પૂરી થાય, તો અમે સિસ્ટમના અંદાજિત ઉકેલ તરીકે અંદાજ પસંદ કરીને ગણતરીઓ પૂર્ણ કરીએ છીએ (1.1). જો આ શરત પૂરી ન થાય, તો પછી પગલું 7 પર આગળ વધો.

7. ચાલો મૂકીએ
દરેક માટે.

8. ચાલો પગલું 3 હાથ ધરીએ, મૂકીને
.

ભૌમિતિક રીતે, આ અલ્ગોરિધમ આ રીતે લખી શકાય છે:

અલ્ગોરિધમ. અનેક જથ્થાઓની મહત્તમ ગણતરી.

ઉદાહરણ. ચાલો બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું વિચારીએ.

ચોકસાઈ સુધી ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો નીચેની સિસ્ટમબિનરેખીય સમીકરણો

, (2.14)

અહીં
. ચાલો શૂન્ય અંદાજ પસંદ કરીએ
, ડોમેન D સાથે સંબંધિત છે. ચાલો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ (2.3). તેણી જેવો દેખાશે

(2.15)

ચાલો સૂચિત કરીએ

ચાલો આપણે અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં સિસ્ટમ (2.15) ઉકેલીએ
, ઉદાહરણ તરીકે ક્રેમર પદ્ધતિ. અમે ફોર્મમાં ક્રેમરના સૂત્રો લખીએ છીએ

(2.17)

સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક ક્યાં છે (2.15)

(2.18)

અને સિસ્ટમના સહાયક નિર્ધારકો (2.15) ફોર્મ ધરાવે છે

.

અમે મળેલા મૂલ્યોને (2.16) માં બદલીએ છીએ અને પ્રથમ અંદાજના ઘટકો શોધીએ છીએ
સિસ્ટમના ઉકેલ માટે (2.15).

ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

, (2.19)

જો આ શરત પૂરી થાય છે, તો અમે સિસ્ટમ (2.15) ના અંદાજિત ઉકેલ તરીકે પ્રથમ અંદાજ લઈને ગણતરીઓ પૂર્ણ કરીએ છીએ, એટલે કે.
. જો શરત (2.19) સંતુષ્ટ નથી, તો અમે સેટ કરીએ છીએ
,
અને અમે બનાવીશું નવી સિસ્ટમરેખીય બીજગણિત સમીકરણો (2.15). તેને હલ કર્યા પછી, અમને બીજો અંદાજ મળે છે
. ચાલો તેને તપાસીએ. જો આ સ્થિતિ સંતોષાય છે, તો અમે સિસ્ટમના અંદાજિત ઉકેલ તરીકે પસંદ કરીએ છીએ (2.15)
. જો શરત સંતુષ્ટ ન હોય, તો અમે સેટ કરીએ છીએ
,
અને શોધવા માટે નીચેની સિસ્ટમ (2.15) બનાવો
વગેરે

ક્વેસ્ટ્સ

બધા કાર્યોની જરૂર છે:

સૂચિત અલ્ગોરિધમ અનુસાર પદ્ધતિના સંખ્યાત્મક અમલીકરણ માટે એક પ્રોગ્રામ દોરો.

ગણતરીના પરિણામો મેળવો.

તમારા પરિણામો તપાસો.

બે બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

પ્રકરણ 3. રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAEs) ની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ.

કાર્યનો હેતુ. SLAE ને ઉકેલવા માટેની કેટલીક અંદાજિત પદ્ધતિઓનો પરિચય અને PC પર તેમના સંખ્યાત્મક અમલીકરણ.

પ્રારંભિક ટિપ્પણી. SLAE ને ઉકેલવા માટેની તમામ પદ્ધતિઓ સામાન્ય રીતે બે ભાગમાં વહેંચાયેલી હોય છે મોટા જૂથો. પ્રથમ જૂથમાં એવી પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે જેને સામાન્ય રીતે સચોટ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિઓ અમને કોઈપણ સિસ્ટમ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે ચોક્કસ મૂલ્યોમર્યાદિત સંખ્યામાં અંકગણિત કામગીરી પછી અજ્ઞાત, જેમાંથી દરેક બરાબર કરવામાં આવે છે.

બીજા જૂથમાં તમામ પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે જે સચોટ નથી. તેમને પુનરાવર્તિત, અથવા સંખ્યાત્મક અથવા અંદાજિત કહેવામાં આવે છે. ચોક્કસ ઉકેલ, આવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરતી વખતે, અંદાજની અનંત પ્રક્રિયાના પરિણામે મેળવવામાં આવે છે. આવી પદ્ધતિઓની એક આકર્ષક સુવિધા એ પીસી પર તેમની સ્વ-સુધારણા અને અમલીકરણની સરળતા છે.

ચાલો SLAE ને ઉકેલવા માટેની કેટલીક અંદાજિત પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીએ અને તેમના સંખ્યાત્મક અમલીકરણ માટે અલ્ગોરિધમ્સ બનાવીએ. અમે ની ચોકસાઈ સાથે SLAE નું અંદાજિત સોલ્યુશન મેળવીશું, જ્યાં થોડી ઘણી ઓછી હકારાત્મક સંખ્યા છે.

1. પુનરાવર્તન પદ્ધતિ.

SLAE ફોર્મમાં આપવા દો

(1.1)

આ સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે

, (1.2)

જ્યાં
- સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ (1.1),
- મફત સભ્યોની કૉલમ,
- સિસ્ટમના અજાણ્યાઓની કૉલમ (1.1).

. (1.3)

ચાલો પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ (1.1) ઉકેલીએ. આ કરવા માટે, અમે નીચેના પગલાંઓ કરીશું.

સૌપ્રથમ. ચાલો શૂન્ય અંદાજ પસંદ કરીએ

(1.4)

સિસ્ટમ (1.1) ના ચોક્કસ ઉકેલ (1.3) માટે. શૂન્ય અંદાજના ઘટકો કોઈપણ સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. પરંતુ શૂન્ય અંદાજના ઘટકો માટે ક્યાં તો શૂન્ય લેવાનું વધુ અનુકૂળ છે
, અથવા સિસ્ટમની મફત શરતો (1.1)

બીજું. અમે શૂન્ય અંદાજના ઘટકોને આમાં બદલીએ છીએ જમણી બાજુસિસ્ટમ (1.1) અને ગણતરી

(1.5)

(1.5) માં ડાબી બાજુની માત્રા એ પ્રથમ અંદાજના ઘટકો છે
પ્રથમ અંદાજમાં પરિણમેલી ક્રિયાઓને પુનરાવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે.

ત્રીજું. ચાલો શૂન્ય અને પ્રથમ અંદાજો તપાસીએ

(1.6)

જો બધી શરતો (1.6) પૂરી થાય છે, તો સિસ્ટમ (1.1) ના અંદાજિત ઉકેલ માટે અમે કાં તો પસંદ કરીએ છીએ, અથવા તે કોઈ વાંધો નથી, કારણ કે તેઓ એકબીજાથી વધુ અલગ નથી અને ચાલો ગણતરીઓ પૂર્ણ કરીએ. જો ઓછામાં ઓછી એક શરતો (1.6) પૂરી ન થાય, તો અમે આગળની ક્રિયા પર આગળ વધીએ છીએ.

ચોથું. ચાલો આગામી પુનરાવર્તન કરીએ, એટલે કે. સિસ્ટમની જમણી બાજુએ (1.1) અમે પ્રથમ અંદાજના ઘટકોને બદલીએ છીએ અને બીજા અંદાજના ઘટકોની ગણતરી કરીએ છીએ
, ક્યાં

પાંચમું. ચાલો તપાસીએ
અને ચાલુ, એટલે કે ચાલો આ અંદાજો માટે સ્થિતિ (1.6) તપાસીએ. જો બધી શરતો (1.6) પૂરી થાય છે, તો સિસ્ટમ (1.1) ના અંદાજિત ઉકેલ માટે અમે કાં તો પસંદ કરીશું, અથવા તે કોઈ વાંધો નથી, કારણ કે તેઓ એકબીજાથી વધુ કરતાં અલગ નથી. નહિંતર, અમે બીજા અંદાજના ઘટકોને સિસ્ટમની જમણી બાજુએ બદલીને આગળનું પુનરાવર્તન બનાવીશું (1.1).

બે સંલગ્ન અંદાજો સુધી પુનરાવૃત્તિઓ બાંધવાની જરૂર છે
કરતાં વધુ નહીં અને એકબીજાથી અલગ પડશે.

સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનું કાર્યકારી સૂત્ર (1.1) આ રીતે લખી શકાય છે

સૂત્ર (1.7) ના સંખ્યાત્મક અમલીકરણ માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ હોઈ શકે છે.

સિસ્ટમ (1.1) માટે પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ માટે પૂરતી શરતો ફોર્મ ધરાવે છે

1.
, .

2.
,
.

3.

2. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAE) ની સિસ્ટમ ફોર્મમાં આપીએ

(2.1)

સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ (2.1) ઉકેલવા માટે, તેને પ્રથમ ફોર્મમાં ઘટાડવું આવશ્યક છે

(2.2)

સિસ્ટમમાં (2.2) -મું સમીકરણ એ સિસ્ટમનું -મું સમીકરણ છે (2.1), જે -th અજાણ્યા (
).

સિસ્ટમ (2.1) ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ, જેમાં તેને સિસ્ટમ (2.2) પર ઘટાડવાનો સમાવેશ થાય છે અને ત્યારબાદ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને (2.2) ઉકેલવાની પદ્ધતિને સિસ્ટમ (2.1) માટે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

આમ, સિસ્ટમ (2.1) ઉકેલવા માટેની સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના કાર્યકારી સૂત્રોનું સ્વરૂપ હશે

(2.3)

ફોર્મ્યુલા (2.3) ફોર્મમાં લખી શકાય છે

સૂત્રો (2.4) અનુસાર સિસ્ટમ (2.1) માટે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના સંખ્યાત્મક અમલીકરણ માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ હોઈ શકે છે.

આ અલ્ગોરિધમ ભૌમિતિક રીતે લખી શકાય છે.

સિસ્ટમ (2.1) માટે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ માટે પૂરતી શરતો ફોર્મ ધરાવે છે

1.
, .

2.
,
.

3.

3. સ્થિર સીડેલ પદ્ધતિ.

SLAE ને ઉકેલવા માટેની સીડેલ પદ્ધતિ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિથી અલગ છે જેમાં -th ઘટક માટે અમુક અંદાજો મળ્યા પછી, અમે તરત જ તેનો ઉપયોગ આગામી શોધવા માટે કરીએ છીએ.
,
, …, -મો ઘટક. આ અભિગમ વધુ માટે પરવાનગી આપે છે ઊંચી ઝડપપુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિની તુલનામાં સીડેલ પદ્ધતિનું સંકલન.

SLAE ફોર્મમાં આપવા દો

(3.1)

દો
- ચોક્કસ ઉકેલ માટે શૂન્ય અંદાજ
સિસ્ટમ્સ (3.1). અને તેને શોધવા દો મી આશરે
. ચાલો ઘટકોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ
સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને th અંદાજ

(3.2)

સૂત્રો (3.2) કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે

,
,
(3.3)

ફોર્મ્યુલા (3.3) નો ઉપયોગ કરીને સોલ્વિંગ સિસ્ટમ (3.1) માટે સીડેલ પદ્ધતિના આંકડાકીય અમલીકરણ માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ હોઈ શકે છે.

1. ચાલો પસંદ કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે,
,

2. ચાલો મૂકીએ.

3. ચાલો દરેક માટે ગણતરી કરીએ.

4. અમે દરેક માટે શરતો તપાસીશું
.

5. જો કલમ 4 માંની બધી શરતો પૂરી થાય છે, તો અમે સિસ્ટમ (3.1) ના અંદાજિત ઉકેલ તરીકે અથવા તો પસંદ કરીશું અને ગણતરીઓ પૂર્ણ કરીશું. જો પગલું 4 માં ઓછામાં ઓછી એક શરત પૂરી ન થઈ હોય, તો પગલું 6 પર આગળ વધો.

6. ચાલો તેને નીચે મૂકીએ અને પગલું 3 પર આગળ વધીએ.

આ અલ્ગોરિધમ ભૌમિતિક રીતે લખી શકાય છે.

સિસ્ટમ (3.1) માટે સીડેલ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ માટે પૂરતી સ્થિતિ ફોર્મ ધરાવે છે
, .

4. બિન-સ્થિર સીડેલ પદ્ધતિ.

SLAE (3.1) ઉકેલવાની આ પદ્ધતિ સીડેલ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સની વધુ ઝડપ પૂરી પાડે છે.

ચાલો આપણે કોઈક રીતે સિસ્ટમ (3.1) માટે મી અંદાજ અને મી અંદાજના ઘટકો શોધીએ.

ચાલો કરેક્શન વેક્ટરની ગણતરી કરીએ

ચાલો મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ

, (4.2)

ચાલો જથ્થાઓ ગોઠવીએ
, ઉતરતા ક્રમમાં.

તે જ ક્રમમાં, અમે સિસ્ટમમાં સમીકરણો (3.1) અને આ સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓને ફરીથી લખીએ છીએ: રેખીયબીજગણિતઅને બિનરેખીય ... મેનેજમેન્ટમાટેપ્રયોગશાળા કામ કરે છેદ્વારા ... પદ્ધતિસરનીસૂચનાઓ માટેવ્યવહારુકામ કરે છેદ્વારા માટેવિદ્યાર્થીઓ ...

શૈક્ષણિક સાહિત્ય (કુદરતી વિજ્ઞાન અને તકનીકી) 2000-2011 ઓપી ચક્ર - 10 વર્ષ સીડી ચક્ર - 5 વર્ષ

સાહિત્ય

... કુદરતીવિજ્ઞાનસામાન્ય રીતે 1. ખગોળશાસ્ત્ર [ટેક્સ્ટ]: મેન્યુઅલ માટે ... સંખ્યાત્મકપદ્ધતિઓ: રેખીયબીજગણિતઅને બિનરેખીય ... મેનેજમેન્ટમાટેપ્રયોગશાળા કામ કરે છેદ્વારા ... પદ્ધતિસરનીસૂચનાઓ માટેવ્યવહારુકામ કરે છેદ્વારાશિસ્ત "પરિવહન અર્થશાસ્ત્ર" માટેવિદ્યાર્થીઓ ...

- કુદરતી વિજ્ઞાન (1)

ટ્યુટોરીયલ

... સંચાલનમાટેવિદ્યાર્થીઓઅને શિક્ષકો, હેતુ માટેમાત્ર અભ્યાસ માટે જ નહીં પદ્ધતિઓકામ... ઉત્પાદન વ્યવહારુવાસ્તવિક ડેટાનો ઉપયોગ કરવાની કુશળતા. પદ્ધતિસરનીભલામણો દ્વારાપરીક્ષણની પરિપૂર્ણતા કામદ્વારાઆ...

- કુદરતી વિજ્ઞાન - ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાન - રાસાયણિક વિજ્ઞાન - પૃથ્વી વિજ્ઞાન (ભૌગોલિક ભૂ-ભૌતિક ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય અને ભૌગોલિક વિજ્ઞાન)

દસ્તાવેજ

... માટેવિદ્યાર્થીઓકુદરતી રીતે- ... કામ કરે છેદ્વારાશિસ્ત "જિનેટિક્સ અને પસંદગી", સમર્પિત વર્તમાન સમસ્યાઓઆ વિજ્ઞાન. વ્યવસ્થિત સ્વતંત્ર જોબવિદ્યાર્થીઓદ્વારાસૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ ... રેખીય, બિનરેખીય, ગતિશીલ. બધા પદ્ધતિઓ ...

- કુદરતી વિજ્ઞાન - ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાન - રાસાયણિક વિજ્ઞાન - પૃથ્વી વિજ્ઞાન (ભૌગોલિક ભૂ-ભૌતિક ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય અને ભૌગોલિક વિજ્ઞાન) (7)

પાઠ્યપુસ્તકોની યાદી

Eremin ના નિર્ણાયક રેખીયઅને બિનરેખીયબીજગણિત : રેખીયઅને બિનરેખીયપ્રોગ્રામિંગ: નવું પદ્ધતિ/ એરેમિન, મિખાઇલ... માટેવિદ્યાર્થીઓઅને યુનિવર્સિટીઓમાં ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય વિશેષતાઓના શિક્ષકો. kh-1 1794549 99. D3 P 693 વ્યવહારુસંચાલનદ્વારા ...



મુખ્ય શબ્દો:

કાર્યનો હેતુ: એક અજાણ્યા સાથે બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરો અને પ્રાયોગિક કાર્યમાં તેનું પરીક્ષણ કરો.

નોકરીના ઉદ્દેશ્યો:

1. વિશ્લેષણ કરો વિશેષ સાહિત્યઅને બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે સૌથી વધુ તર્કસંગત પદ્ધતિઓ પસંદ કરો, જેનાથી તમે ઊંડો અભ્યાસ કરી શકો અને આત્મસાત કરી શકો આ વિષયબધા ઉચ્ચ શાળા સ્નાતકો.
2. ICT નો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિના કેટલાક પાસાઓ વિકસાવો.
3. બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનું અન્વેષણ કરો:

- પગલું પદ્ધતિ

- અડધી કરવાની પદ્ધતિ

- ન્યુટનની પદ્ધતિ

પરિચય.

ગાણિતિક સાક્ષરતા વિના, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન અને અન્ય વિષયોમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સફળતાપૂર્વક માસ્ટર કરવી અશક્ય છે. પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનનું સમગ્ર સંકુલ ગાણિતિક જ્ઞાનના આધારે બનાવવામાં આવ્યું છે અને વિકસાવવામાં આવ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સંખ્યાબંધ સ્થાનિક સમસ્યાઓનો અભ્યાસ બિનરેખીય સમીકરણોને ઉકેલવાની જરૂરિયાત તરફ દોરી જાય છે. નોનલાઇનર ઓપ્ટિક્સ, પ્લાઝ્મા ફિઝિક્સ, સુપરકન્ડક્ટિવિટી થિયરી અને લો-ટેમ્પેરેચર ફિઝિક્સમાં બિનરેખીય સમીકરણોનો ઉકેલ જરૂરી છે. આ વિષય પર સાહિત્યનો પૂરતો જથ્થો છે, પરંતુ ઘણા પાઠ્યપુસ્તકો અને લેખો હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થી માટે સમજવા મુશ્કેલ છે. આ પેપર બિનરેખીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે જેનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં લાગુ પડતી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે. એક રસપ્રદ પાસું એપ્લિકેશન છે માહિતી ટેકનોલોજીગણિતમાં સમીકરણો અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે.

પગલું પદ્ધતિ.

F(x)=0 ફોર્મના બિનરેખીય સમીકરણને ઉકેલવા માટે તે જરૂરી છે. ચાલો એ પણ માની લઈએ કે આપણને ચોક્કસ શોધ અંતરાલ આપવામાં આવ્યો છે. શોધ અંતરાલની ડાબી કિનારીથી શરૂ કરીને, સમીકરણનું પ્રથમ મૂળ ધરાવતું, h લંબાઈનું અંતરાલ [a,b] શોધવાનું જરૂરી છે.

ચોખા. 1. પગલું પદ્ધતિ

આવી સમસ્યા હલ કરવાની ઘણી રીતો છે. અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓમાં પગલું પદ્ધતિ એ સૌથી સરળ છે, પરંતુ ઉચ્ચ ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે પગલાને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડવું જરૂરી છે, અને આ ગણતરીના સમયને મોટા પ્રમાણમાં વધારે છે. ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ આ પદ્ધતિબે તબક્કાઓ સમાવે છે.

આઈસ્ટેજ રુટ અલગ.

આ તબક્કે, વિભાગો નક્કી કરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં સમીકરણનું માત્ર એક જ મૂળ હોય છે. આ તબક્કાના અમલીકરણ માટે ઘણા વિકલ્પો છે:

• અમે X ના મૂલ્યોને બદલીએ છીએ (પ્રાધાન્યમાં કેટલાક એકદમ નાના પગલા સાથે) અને જુઓ કે કાર્યમાં ક્યાં ફેરફાર થાય છે. જો ફંક્શને તેનું ચિહ્ન બદલ્યું હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે X ના પહેલાના અને વર્તમાન મૂલ્યની વચ્ચેના ક્ષેત્રમાં એક રુટ છે (જો ફંક્શન તેના વધારા/ઘટાડાની પ્રકૃતિને બદલતું નથી, તો આપણે કહી શકીએ કે ત્યાં માત્ર એક જ છે. આ અંતરાલમાં રુટ).
• ગ્રાફિક પદ્ધતિ. અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ અને મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ કે કયા અંતરાલ પર એક મૂળ રહેલું છે.
• ચાલો ચોક્કસ ફંક્શનના ગુણધર્મોનું અન્વેષણ કરીએ.

IIસ્ટેજ મૂળની શુદ્ધિકરણ.

આ તબક્કે, અગાઉ નિર્ધારિત સમીકરણના મૂળનો અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે. એક નિયમ તરીકે, આ તબક્કે પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પદ્ધતિ અર્ધ વિભાગ(ડિકોટોમીઝ) અથવા ન્યૂટનની પદ્ધતિ.

અર્ધ વિભાજન પદ્ધતિ

સમીકરણો ઉકેલવા માટેની એક ઝડપી અને એકદમ સરળ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ, જ્યાં સુધી નિર્દિષ્ટ ચોકસાઈ E પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી સમીકરણ F(x) = 0 ના એકમાત્ર રુટ ધરાવતા અંતરાલના ક્રમિક સંકુચિતતા પર આધારિત છે ચતુર્ભુજ સમીકરણોઅને ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો. જો કે, આ પદ્ધતિમાં નોંધપાત્ર ખામી છે - જો સેગમેન્ટ [a,b] માં એક કરતાં વધુ રુટ હોય, તો તે સારા પરિણામો પ્રાપ્ત કરી શકશે નહીં.

ચોખા. 2. ડિકોટોમી પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ માટે અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

‒ સેગમેન્ટ [a;b] ની મધ્યમાં રુટ x નો નવો અંદાજ નક્કી કરો: x=(a+b)/2.

‒ પોઈન્ટ a અને x પર ફંક્શનની કિંમતો શોધો: F(a) અને F(x).

‒ સ્થિતિ F(a)*F(x) તપાસો

‒ સ્ટેપ 1 પર જાઓ અને ફરીથી સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચો. શરત |F(x)| સુધી અલ્ગોરિધમ ચાલુ રાખો

ન્યુટનની પદ્ધતિ

સંખ્યાત્મક ઉકેલ પદ્ધતિઓમાં સૌથી સચોટ; ખૂબ જટિલ સમીકરણો ઉકેલવા માટે યોગ્ય છે, પરંતુ દરેક પગલા પર ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાતને કારણે જટિલ છે. તે છે કે જો x n એ સમીકરણના મૂળની થોડી નજીક છે , પછી આગામી અંદાજને x n બિંદુ પર દોરેલા ફંક્શન f(x) માટે સ્પર્શકના મૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

બિંદુ x n પર ફંક્શન f(x) માટે સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

સ્પર્શક સમીકરણમાં આપણે y = 0 અને x = x n +1 મુકીએ છીએ.

પછી ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં અનુક્રમિક ગણતરીઓ માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

સ્પર્શક પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ ચતુર્ભુજ છે, કન્વર્જન્સનો ક્રમ 2 છે.

આમ, ન્યૂટનની સ્પર્શક પદ્ધતિનું સંપાત ખૂબ જ ઝડપી છે.

કોઈપણ ફેરફારો વિના, પદ્ધતિને જટિલ કેસમાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે. જો રૂટ x i બીજા ગુણાકારનું મૂળ હોય અથવા વધુ હોય, તો કન્વર્જન્સનો ક્રમ ઘટીને રેખીય બને છે.

ન્યૂટનની પદ્ધતિના ગેરફાયદામાં તેની સ્થાનિકતાનો સમાવેશ થાય છે, કારણ કે જો સ્થિતિ દરેક જગ્યાએ સંતુષ્ટ હોય તો જ તે એક મનસ્વી શરૂઆતના અંદાજ માટે કન્વર્જ થવાની ખાતરી આપે છે. , વિપરીત પરિસ્થિતિમાં, કન્વર્જન્સ માત્ર મૂળના ચોક્કસ પડોશમાં જ થાય છે.

ન્યૂટનની પદ્ધતિ (ટેન્જેન્ટ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે થાય છે જ્યારે સમીકરણ f(x) = 0રુટ ધરાવે છે અને નીચેની શરતો પૂરી થાય છે:

1) કાર્ય y=f(x)પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે;

2) f(a) f(b) (ફંક્શન સેગમેન્ટના છેડે વિવિધ ચિહ્નોના મૂલ્યો લે છે [ a;b]);

3) ડેરિવેટિવ્ઝ f"(x)અને f""(x)અંતરાલ પર નિશાની સાચવો [ a;b] (એટલે ​​​​કે કાર્ય f(x)કાં તો સેગમેન્ટ પર વધે છે અથવા ઘટે છે [ a;b], બહિર્મુખતાની દિશા જાળવી રાખતી વખતે);

પદ્ધતિનો અર્થ નીચે મુજબ છે: સેગમેન્ટ પર [ a;b] આવી સંખ્યા પસંદ કરેલ છે x 0 ,જેના પર f(x 0)જેવી જ નિશાની ધરાવે છે f""(x 0),એટલે કે સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે f(x 0) f""(x) > 0. આમ, abscissa સાથે બિંદુ પસંદ થયેલ છે x 0, જેમાં વક્રની સ્પર્શક છે y=f(x)સેગમેન્ટ પર [ a;b] ધરીને છેદે છે બળદ. બિંદુ દીઠ x 0પ્રથમ, સેગમેન્ટના છેડાઓમાંથી એક પસંદ કરવાનું અનુકૂળ છે.

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ.

ચાલો આપણે એક વધતું કાર્ય આપીએ y = f(x) =x 2– 2,સેગમેન્ટ પર સતત (0;2), અને ધરાવે છે f "(x) =2x>0અને f ""(x) = 2> 0.

અમારા કિસ્સામાં, સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: y-y 0 =2x 0 · (x-x 0). IN બિંદુ x 0 તરીકે આપણે બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ B 1 (b; f(b)) = (2,2).કાર્ય માટે સ્પર્શક દોરો y = f(x)બિંદુ B 1 પર, અને સ્પર્શક અને અક્ષના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવો બળદબિંદુ x 1. આપણને પ્રથમ સ્પર્શકનું સમીકરણ મળે છે: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. બળદ: x 1 =

ચોખા. 3. ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફના પ્રથમ સ્પર્શકનું નિર્માણ

y=f(x) બળદબિંદુ દ્વારા x 1, અમને મુદ્દો મળે છે B 2 =(1.5; 0.25). ફંક્શન માટે ફરીથી સ્પર્શક દોરો y = f(x)બિંદુ B 2 પર, અને સ્પર્શકના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવો અને બળદબિંદુ x 2.

બીજા સ્પર્શકનું સમીકરણ: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25.સ્પર્શક અને અક્ષનું આંતરછેદ બિંદુ બળદ: x 2 =.

પછી આપણે ફંક્શનનું આંતરછેદ બિંદુ શોધીએ છીએ y=f(x)અને અક્ષ તરફ દોરવામાં આવેલ કાટખૂણે બળદબિંદુ x 2 દ્વારા, આપણને બિંદુ B 3 અને તેથી વધુ મળે છે.

ચોખા. 4. ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફના બીજા સ્પર્શકનું નિર્માણ

મૂળનો પ્રથમ અંદાજ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

= 1.5.

મૂળનો બીજો અંદાજ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

=

મૂળનો ત્રીજો અંદાજ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

આમ , iમૂળની અંદાજિતતા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ગણતરીઓ જ્યાં સુધી જવાબમાં જરૂરી હોય તેવા દશાંશ સ્થાનો સાથે મેળ ન ખાય અથવા નિર્દિષ્ટ ચોકસાઇ ઇ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી - અસમાનતા સંતોષાય ત્યાં સુધી |xi-xi-1|

અમારા કિસ્સામાં, ચાલો વાસ્તવિક જવાબ સાથે ત્રીજા પગલામાં મેળવેલા અંદાજની તુલના કરીએ. જેમ તમે જોઈ શકો છો, પહેલાથી જ ત્રીજા પગલા પર અમને 0.000002 કરતા ઓછી ભૂલ મળી છે.

CAD નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવુંMathCAD

ફોર્મના સરળ સમીકરણો માટે f(x) = 0 ગણિતમાં ઉકેલ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે મૂળ.

મૂળ(f (એક્સ 1 , x 2 , … ) , એક્સ 1 , a, b ) - મૂલ્ય પરત કરે છે એક્સ 1 , સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે [ a, b ] , જેમાં અભિવ્યક્તિ અથવા કાર્ય f (એક્સ ) 0 પર જાય છે. આ ફંક્શનની બંને દલીલો સ્કેલર હોવી જોઈએ. ફંક્શન સ્કેલર પરત કરે છે.

ચોખા. 5. MathCAD (રુટ ફંક્શન) માં બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલવું

જો આ ફંક્શન લાગુ કરવાના પરિણામે કોઈ ભૂલ થાય છે, તો તેનો અર્થ એ થઈ શકે છે કે સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, અથવા સમીકરણના મૂળ પ્રારંભિક અંદાજથી દૂર સ્થિત છે, અભિવ્યક્તિમાં સ્થાનિક છે મહત્તમઅને મિનિટપ્રારંભિક અંદાજ અને મૂળ વચ્ચે.

ભૂલનું કારણ સ્થાપિત કરવા માટે, કાર્યના ગ્રાફની તપાસ કરવી જરૂરી છે f(x). તે સમીકરણના મૂળની હાજરી શોધવામાં મદદ કરશે f(x) = 0 અને, જો તેઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, તો પછી તેમના મૂલ્યો લગભગ નક્કી કરો. રુટનો પ્રારંભિક અંદાજ જેટલો વધુ સચોટ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, તેટલી ઝડપથી તેનું ચોક્કસ મૂલ્ય શોધી શકાશે.

જો પ્રારંભિક અંદાજ અજ્ઞાત છે, તો પછી ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે હલ કરો . તદુપરાંત, જો સમીકરણમાં ઘણા ચલો હોય, તો તમારે પછી સૂચવવાની જરૂર છે કીવર્ડઉકેલ એ ચલોની યાદી છે જેના માટે સમીકરણ ઉકેલાય છે.

ચોખા. 6. MathCAD માં બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલવું (કાર્ય હલ કરો)

નિષ્કર્ષ

અભ્યાસમાં કેવી રીતે તપાસ કરવામાં આવી ગાણિતિક પદ્ધતિઓ, અને CAD સિસ્ટમ MathCAD માં પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા. વિવિધ પદ્ધતિઓતેમના ફાયદા અને ગેરફાયદા છે. એ નોંધવું જોઇએ કે ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ આપેલ સમીકરણની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત છે. તે સમીકરણો કે જે શાળામાં જાણીતા ફેક્ટરાઇઝેશન વગેરે પદ્ધતિઓ દ્વારા સારી રીતે ઉકેલી શકાય છે, તે વધુ ઉકેલવાનો અર્થ નથી. જટિલ રીતે. એપ્લાઇડ ગણિતની સમસ્યાઓ કે જે ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માટે મહત્વપૂર્ણ છે અને જ્યારે સમીકરણો સફળતાપૂર્વક હલ કરવામાં આવે ત્યારે જટિલ કોમ્પ્યુટેશનલ ઓપરેશન્સની જરૂર પડે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ કરીને. ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને ઉકેલવું સારું છે.

મૂળને સ્પષ્ટ કરવા માટે, તમે સમાન સમીકરણને ઉકેલવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તે આ સંશોધન હતું જેણે આ કાર્યનો આધાર બનાવ્યો. તે જ સમયે, સમીકરણના દરેક તબક્કાને હલ કરતી વખતે કઈ પદ્ધતિ સૌથી સફળ છે તે જોવાનું સરળ છે અને આ તબક્કે કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ન કરવો તે વધુ સારું છે.

અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી, એક તરફ, ગાણિતિક જ્ઞાનને વિસ્તૃત અને ગહન કરવામાં અને ગણિતમાં રસ જગાડવામાં મદદ કરે છે. બીજી બાજુ, જેઓ ટેકનિકલ અને એન્જિનિયરિંગ વ્યવસાયો હસ્તગત કરવાની યોજના બનાવી રહ્યા છે તેમના માટે વાસ્તવિક ગણિતની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સક્ષમ બનવું મહત્વપૂર્ણ છે. તેથી જ આ કામમાટે બાબતો વધુ શિક્ષણ(ઉદાહરણ તરીકે, ઉચ્ચ શિક્ષણ સંસ્થામાં).

સાહિત્ય:

1. મિત્યાકોવ એસ.એન. ઇન્ફોર્મેટિક્સ. જટિલ શૈક્ષણિક સામગ્રી. - એન. નોવગોરોડ: નિઝની નોવગોરોડ. રાજ્ય ટેક યુનિવર્સિટી, 2006
2. વેનબર્ગ એમ. એમ., ટ્રેનોગિન વી. એ. નોનલાઇનર સમીકરણોના બ્રાન્ચિંગ સોલ્યુશનનો સિદ્ધાંત. એમ.: નૌકા, 1969. - 527 પૃષ્ઠ.
3. બ્રોન્શટેઈન આઈ.એન., સેમેન્દ્યાયેવ કે.એ. ટેક્નિકલ કોલેજોના ઈજનેરો અને વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક - એમ.: નૌકા, 1986.
4. ઓમેલચેન્કો વી. પી., કુર્બતોવા ઇ.વી. ગણિત: તાલીમ માર્ગદર્શિકા. - રોસ્ટોવ એન/ડી.: ફોનિક્સ, 2005.
5. સવિન એ.પી. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશયુવાન ગણિતશાસ્ત્રી. - એમ.: શિક્ષણ શાસ્ત્ર, 1989.
6. કોર્ન જી., કોર્ન ટી. વૈજ્ઞાનિકો અને એન્જિનિયરો માટે ગણિતની હેન્ડબુક. - એમ.: નૌકા, 1973.
7. કિર્યાનોવ ડી. મેથકેડ 15/મેથકેડપ્રાઈમ 1.0. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: BHV-પીટર્સબર્ગ, 2012.
8. ચેર્નાયક એ., ચેર્નાયક ઝેડ., ડોમેનોવા યુ. મેથકેડ પર આધારિત ઉચ્ચ ગણિત. સામાન્ય અભ્યાસક્રમ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: BHV-પીટર્સબર્ગ, 2004.
9. પોર્શનેવ એસ., બેલેન્કોવા I. મેથકેડ પર આધારિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: BHV-પીટર્સબર્ગ, 2012.

મુખ્ય શબ્દો: બિનરેખીય સમીકરણો, લાગુ ગણિત, CAD MathCAD, ન્યૂટનની પદ્ધતિ, પગલું પદ્ધતિ, દ્વિભાષી પદ્ધતિ..

ટીકા: લેખ MathCAD કોમ્પ્યુટર-સહાયિત ડિઝાઇન સિસ્ટમનો ઉપયોગ સહિત બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે. સ્ટેપ મેથડ, અર્ધભાગ અને ન્યૂટન પદ્ધતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, આ પદ્ધતિઓ લાગુ કરવા માટે વિગતવાર અલ્ગોરિધમ્સ આપવામાં આવે છે, અને તુલનાત્મક વિશ્લેષણઉલ્લેખિત પદ્ધતિઓ.

ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો શોધવા માટે કાર્ય સેટ કરીએ માન્યઆ સમીકરણના મૂળ.

અને ત્યાં ચોક્કસપણે છે! - વિશેના લેખોમાંથી કાર્ય આલેખઅને ઉચ્ચ ગણિતના સમીકરણોતમે સારી રીતે જાણો છો કે શેડ્યૂલ શું છે બહુપદી કાર્ય વિચિત્ર ડિગ્રીઅક્ષને ઓછામાં ઓછા એક વખત છેદે છે, તેથી આપણું સમીકરણ છે ઓછામાં ઓછુંએક વાસ્તવિક મૂળ. એક. અથવા બે. અથવા ત્રણ.

પ્રથમ, તે ઉપલબ્ધતા તપાસવા માટે વિનંતી કરે છે તર્કસંગતમૂળ અનુસાર અનુરૂપ પ્રમેય, ફક્ત 1, -1, 3, -3 નંબરો આ "શીર્ષક" નો દાવો કરી શકે છે, અને સીધા અવેજીકરણ દ્વારા તે ખાતરી કરવી સરળ છે કે તેમાંથી કોઈ પણ "સુટ" નથી. આમ, અતાર્કિક મૂલ્યો રહે છે. ડિગ્રી 3 ના બહુપદીના અતાર્કિક મૂળ(ઓ) શોધી શકાય છે બરાબર (રેડિકલ દ્વારા વ્યક્ત કરો)કહેવાતા ની મદદ સાથે કાર્ડાનો સૂત્રો જો કે, આ પદ્ધતિ તદ્દન બોજારૂપ છે. પરંતુ 5મી અને ઉચ્ચ ડિગ્રીના બહુપદીઓ માટે કોઈ સામાન્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ નથી, અને વધુમાં, વ્યવહારમાં અન્ય ઘણા સમીકરણો છે જેમાં ચોક્કસ મૂલ્યોવાસ્તવિક મૂળ મેળવવાનું અશક્ય છે (જો કે તેઓ અસ્તિત્વમાં છે).

જો કે, અરજીમાં (ઉદાહરણ તરીકે, એન્જિનિયરિંગ)સમસ્યાઓ, ગણતરી કરેલ અંદાજિત મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવો તે સ્વીકાર્ય કરતાં વધુ છે ચોક્કસ ચોકસાઈ સાથે.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ માટે ચોકસાઈ સેટ કરીએ. તેનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે આપણે રૂટનું આટલું અંદાજિત મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે (મૂળ)જેમાં અમે અમે 0.001 કરતા વધારે ખોટા હોવાની ખાતરી આપીએ છીએ (એક હજારમો) .

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સોલ્યુશન "રેન્ડમ" શરૂ કરી શકાતું નથી અને તેથી પ્રથમ પગલામાં મૂળ અલગ. રુટને અલગ કરવાનો અર્થ એ છે કે પૂરતા પ્રમાણમાં નાના (સામાન્ય રીતે સિંગલ) સેગમેન્ટ શોધવાનું છે કે જેના પર આ રુટ છે અને જેના પર કોઈ અન્ય મૂળ નથી. સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ સુલભ રુટ અલગ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ. ચાલો બાંધીએ બિંદુ દ્વારા બિંદુકાર્યનો ગ્રાફ :

ડ્રોઇંગ પરથી તે અનુસરે છે કે સમીકરણ, દેખીતી રીતે, સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે. આ અંતરાલના અંતે કાર્ય વિવિધ ચિહ્નોના મૂલ્યો લે છે: , અને હકીકતમાંથી સેગમેન્ટ પર કાર્યની સાતત્યતરત જ દેખાય છે પ્રાથમિક માર્ગરુટ રિફાઇનમેન્ટ: અંતરાલને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરો અને ફંક્શન લે છે તેના છેડે સેગમેન્ટ પસંદ કરો વિવિધ ચિહ્નો. IN આ કિસ્સામાંઆ દેખીતી રીતે એક સેગમેન્ટ છે. અમે પરિણામી અંતરાલને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને ફરીથી "વિવિધ ચિહ્ન" સેગમેન્ટ પસંદ કરીએ છીએ. અને તેથી વધુ. આવી ક્રમિક ક્રિયાઓ કહેવામાં આવે છે પુનરાવર્તનો. આ કિસ્સામાં, જ્યાં સુધી સેગમેન્ટની લંબાઈ ગણતરીની ચોકસાઈ કરતા બમણી કરતા ઓછી ન થઈ જાય ત્યાં સુધી તે હાથ ધરવામાં આવવી જોઈએ, અને છેલ્લા "વિવિધ-ચિહ્ન" સેગમેન્ટની મધ્યને મૂળના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે પસંદ કરવી જોઈએ.

માનવામાં આવેલ યોજનાને કુદરતી નામ પ્રાપ્ત થયું - અર્ધ વિભાજન પદ્ધતિ. અને આ પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ ઝડપ છે. ધીમે ધીમે. ખૂબ ધીમું. અમે જરૂરી ચોકસાઈ હાંસલ કરીએ તે પહેલાં ઘણી બધી પુનરાવર્તનો થશે. વિકાસ સાથે કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીઆ, અલબત્ત, કોઈ સમસ્યા નથી, પરંતુ સૌથી વધુ તર્કસંગત ઉકેલો શોધવા માટે ગણિત આ જ છે.

અને વધુ એક અસરકારક રીતોરુટની અંદાજિત કિંમત શોધવાનું ચોક્કસ છે સ્પર્શક પદ્ધતિ. પદ્ધતિનો સંક્ષિપ્ત ભૌમિતિક સાર નીચે મુજબ છે: પ્રથમ, વિશિષ્ટ માપદંડનો ઉપયોગ કરીને (થોડી વાર પછી તેના પર વધુ)સેગમેન્ટનો એક છેડો પસંદ કરેલ છે. આ અંત કહેવાય છે પ્રારંભિકઅમારા ઉદાહરણમાં, રુટનો અંદાજ: . હવે આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરીએ છીએ abscissa ખાતે (વાદળી બિંદુ અને જાંબલી સ્પર્શક):

આ સ્પર્શક પીળા બિંદુ પર એક્સ-અક્ષને પાર કરે છે, અને નોંધ કરો કે પ્રથમ પગલામાં આપણે લગભગ "મૂળને હિટ" કર્યું છે! હશે પ્રથમમૂળ અભિગમ. આગળ, આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ પર પીળા લંબને નીચે કરીએ છીએ અને નારંગી બિંદુ પર "ગેટ" કરીએ છીએ. અમે ફરીથી નારંગી બિંદુ દ્વારા સ્પર્શક દોરીએ છીએ, જે અક્ષને મૂળની નજીક પણ છેદશે! અને તેથી વધુ. તે સમજવું મુશ્કેલ નથી કે સ્પર્શક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કૂદકે ને ભૂસકે લક્ષ્ય સુધી પહોંચી રહ્યા છીએ, અને ચોકસાઈ હાંસલ કરવા માટે તે શાબ્દિક રીતે અનેક પુનરાવર્તનો લેશે.

કારણ કે સ્પર્શક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન, પછી આ પાઠ "ડેરિવેટિવ્ઝ" વિભાગમાં તેની એક એપ્લિકેશન તરીકે સમાપ્ત થયો. અને વિગતમાં ગયા વિના પદ્ધતિનું સૈદ્ધાંતિક સમર્થન, હું મુદ્દાની તકનીકી બાજુને ધ્યાનમાં લઈશ. વ્યવહારમાં, ઉપર વર્ણવેલ સમસ્યા લગભગ નીચેની રચનામાં જોવા મળે છે:

ઉદાહરણ 1

ઉપયોગ કરીને ગ્રાફિક પદ્ધતિઅંતરાલ શોધો કે જેના પર સમીકરણનું વાસ્તવિક મૂળ સ્થિત છે. ન્યુટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે રૂટનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવો

અહીં કાર્યનું "સ્પેરિંગ વર્ઝન" છે, જેમાં એક જ માન્ય રુટની હાજરી તરત જ જણાવવામાં આવે છે.

ઉકેલ: પ્રથમ પગલા પરરુટ ગ્રાફિકલી અલગ હોવું જોઈએ. આ કાવતરું કરીને કરી શકાય છે (ઉપરના ચિત્રો જુઓ), પરંતુ આ અભિગમમાં સંખ્યાબંધ ગેરફાયદા છે. પ્રથમ, તે હકીકત નથી કે આલેખ સરળ છે (અમે અગાઉથી જાણતા નથી), એ સોફ્ટવેર- તે હંમેશા હાથમાં નથી. અને બીજું (1લી થી પરિણામ), નોંધપાત્ર સંભાવના સાથે પરિણામ યોજનાકીય રેખાંકન પણ નહીં હોય, પરંતુ રફ ડ્રોઇંગ હશે, જે, અલબત્ત, સારું નથી.

સારું, શા માટે આપણને બિનજરૂરી મુશ્કેલીઓની જરૂર છે? ચાલો કલ્પના કરીએ સમીકરણફોર્મમાં, કાળજીપૂર્વક આલેખ બનાવો અને ડ્રોઇંગમાં મૂળને ચિહ્નિત કરો (આલેખના આંતરછેદના બિંદુનું "X" સંકલન):

સ્પષ્ટ ફાયદો આ પદ્ધતિતે છે કે આ કાર્યોના આલેખ હાથ દ્વારા વધુ સચોટ અને વધુ ઝડપી બનાવવામાં આવે છે. માર્ગ દ્વારા, તે નોંધો સીધાપાર ક્યુબિક પેરાબોલાએક બિંદુ પર, જેનો અર્થ છે કે સૂચિત સમીકરણ વાસ્તવમાં માત્ર એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે. વિશ્વાસ કરો, પણ ચકાસો ;-)

તેથી, અમારો "ક્લાયન્ટ" સેગમેન્ટનો છે અને "આંખ દ્વારા" લગભગ 0.65-0.7 ની બરાબર છે.

બીજા પગલા પરપસંદ કરવાની જરૂર છે પ્રારંભિક અંદાજમૂળ સામાન્ય રીતે આ સેગમેન્ટના છેડાઓમાંથી એક છે. પ્રારંભિક અંદાજ સંતોષવા જ જોઈએ આગામી શરત:

ચાલો શોધીએ પ્રથમઅને બીજુંવ્યુત્પન્ન કાર્યો :

અને સેગમેન્ટનો ડાબો છેડો તપાસો:

આમ, શૂન્ય "ફિટ ન થયું."

સેગમેન્ટનો જમણો છેડો તપાસી રહ્યું છે:

- બધું સારું છે! અમે પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે પસંદ કરીએ છીએ.

ત્રીજા પગલા પરમૂળ સુધીનો રસ્તો આપણી રાહ જુએ છે. દરેક અનુગામી રૂટ અંદાજની ગણતરી નીચેનાનો ઉપયોગ કરીને અગાઉના ડેટામાંથી કરવામાં આવે છે આવર્તકસૂત્રો:

જ્યારે શરત પૂરી થાય ત્યારે પ્રક્રિયા સમાપ્ત થાય છે, જ્યાં ગણતરીની પૂર્વનિર્ધારિત ચોકસાઈ હોય છે. પરિણામે, "nth" અંદાજને મૂળના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે: .

આગળ નિયમિત ગણતરીઓ છે:

(રાઉન્ડિંગ સામાન્ય રીતે 5-6 દશાંશ સ્થાનો પર કરવામાં આવે છે)

મેળવેલ મૂલ્ય કરતાં વધારે હોવાથી, અમે મૂળના 1લા અંદાજ પર આગળ વધીએ છીએ:

અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

, તેથી 2જી અંદાજ પર જવાની જરૂર છે:

ચાલો આગળના રાઉન્ડમાં આગળ વધીએ:

, આમ, પુનરાવૃત્તિઓ પૂર્ણ થાય છે, અને 2જી અંદાજને મૂળના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે લેવું જોઈએ, જે આપેલ ચોકસાઈ અનુસાર, એક હજારમાં ગોળાકાર હોવું જોઈએ:

વ્યવહારમાં, ગણતરીના પરિણામોને કંઈક અંશે ટૂંકી કરવા માટે કોષ્ટકમાં દાખલ કરવું અનુકૂળ છે, અપૂર્ણાંક ઘણીવાર આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

જો શક્ય હોય તો, એક્સેલમાં ગણતરીઓ જાતે હાથ ધરવાનું વધુ સારું છે - તે વધુ અનુકૂળ અને ઝડપી છે:

જવાબ આપો: 0.001 માટે સચોટ

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે આ વાક્ય એ હકીકત સૂચવે છે કે અમે અમારા મૂલ્યાંકનમાં ભૂલ કરી છે સાચો અર્થરૂટ 0.001 કરતાં વધુ નહીં. જેઓ શંકામાં છે તેઓ માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર લઈ શકે છે અને ફરી એક વખત 0.674 ના અંદાજિત મૂલ્યને બદલી શકે છે. ડાબી બાજુસમીકરણો

હવે ટેબલના જમણા સ્તંભને ઉપરથી નીચે સુધી "સ્કેન" કરીએ અને નોંધ લો કે મૂલ્યો સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સતત ઘટી રહ્યા છે. આ અસર કહેવાય છે કન્વર્જન્સએક પદ્ધતિ જે આપણને મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ચોકસાઈ સાથે રૂટની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. પરંતુ કન્વર્જન્સ હંમેશા થતું નથી - તે સુનિશ્ચિત થાય છે સંખ્યાબંધ શરતો, જેના વિશે મેં મૌન સેવ્યું. ખાસ કરીને, સેગમેન્ટ કે જેના પર રુટ અલગ છે તે હોવું આવશ્યક છે પર્યાપ્ત નાના- અન્યથા મૂલ્યો અવ્યવસ્થિત રીતે બદલાશે અને અમે અલ્ગોરિધમ પૂર્ણ કરી શકીશું નહીં.

આવા કિસ્સાઓમાં શું કરવું? તપાસો કે ઉલ્લેખિત શરતો પૂરી થઈ છે (ઉપરની લિંક જુઓ), અને, જો જરૂરી હોય તો, સેગમેન્ટમાં ઘટાડો. તેથી, પ્રમાણમાં કહીએ તો, જો વિશ્લેષણ કરેલ ઉદાહરણમાં અંતરાલ આપણા માટે યોગ્ય ન હતો, તો આપણે ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. વ્યવહારમાં, મેં આવા કિસ્સાઓનો સામનો કર્યો છે, અને આ તકનીક ખરેખર મદદ કરે છે! જો "વિશાળ" સેગમેન્ટના બંને છેડા સ્થિતિને સંતોષતા ન હોય તો તે જ કરવું આવશ્યક છે (એટલે ​​કે, તેમાંથી કોઈ પણ પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે યોગ્ય નથી).

પરંતુ સામાન્ય રીતે બધું ઘડિયાળની જેમ કામ કરે છે, જોકે મુશ્કેલીઓ વિના નહીં:

ઉદાહરણ 2

સમીકરણના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા ગ્રાફિકલી નક્કી કરો, આ મૂળોને અલગ કરો અને, ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, મૂળના અંદાજિત મૂલ્યો સચોટતા સાથે શોધો

સમસ્યાની સ્થિતિ નોંધપાત્ર રીતે કડક બની છે: પ્રથમ, તેમાં એક મજબૂત સંકેત છે કે સમીકરણમાં એક પણ મૂળ નથી, બીજું, ચોકસાઈની જરૂરિયાત વધી છે, અને ત્રીજું, કાર્યના ગ્રાફ સાથે. સામનો કરવો વધુ મુશ્કેલ.

અને તેથી ઉકેલચાલો બચતની યુક્તિથી શરૂઆત કરીએ: ફોર્મમાં સમીકરણની કલ્પના કરો અને આલેખ દોરો:


ડ્રોઇંગ પરથી તે અનુસરે છે કે આપણા સમીકરણમાં બે વાસ્તવિક મૂળ છે:

અલ્ગોરિધમ, જેમ તમે સમજો છો, તેને બે વાર "ક્રેન્ક" કરવાની જરૂર છે. પરંતુ આ સૌથી ગંભીર કિસ્સાઓમાં પણ છે; કેટલીકવાર તમારે 3-4 મૂળની તપાસ કરવી પડે છે.

1) માપદંડનો ઉપયોગ કરવો ચાલો શોધી કાઢીએ કે સેગમેન્ટનો કયો છેડો પ્રથમ રુટના પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે પસંદ કરવો. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવી :

સેગમેન્ટના ડાબા છેડાનું પરીક્ષણ:

- ઉપર આવ્યા!

આમ, પ્રારંભિક અંદાજ છે.

અમે રિકરન્ટ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મૂળને શુદ્ધ કરીશું:
- અપૂર્ણાંક સુધી મોડ્યુલોજરૂરી ચોકસાઈ કરતાં ઓછી નહીં હોય:

અને અહીં "મોડ્યુલ" શબ્દ બિન-ભ્રામક મહત્વ મેળવે છે, કારણ કે મૂલ્યો નકારાત્મક છે:


આ જ કારણસર, દરેક આગલા અંદાજ પર જતી વખતે વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ:

પૂરતી હોવા છતાં ઉચ્ચ જરૂરિયાતચોકસાઈ માટે, પ્રક્રિયા ફરીથી 2જી અંદાજે સમાપ્ત થઈ: , તેથી:

0.0001 સુધી સચોટ

2) ચાલો મૂળની અંદાજિત કિંમત શોધીએ.

અમે જૂ માટે સેગમેન્ટના ડાબા છેડાને તપાસીએ છીએ:

, તેથી, તે પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે યોગ્ય નથી.