Ինչպես գտնել երկարությունը, եթե կոորդինատները հայտնի են: Գտնելով հատվածի միջնակետի կոորդինատները՝ օրինակներ, լուծումներ

Ստորև բերված հոդվածում կքննարկվեն հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու հարցերը, եթե դրա ծայրահեղ կետերի կոորդինատները հասանելի են որպես նախնական տվյալներ։ Բայց նախքան հարցի ուսումնասիրությունը սկսելը, ներկայացնենք մի շարք սահմանումներ։

Yandex.RTB R-A-339285-1 Սահմանում 1

Գծային հատված– երկու կամայական կետեր միացնող ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է հատվածի ծայրեր: Որպես օրինակ, թող դրանք լինեն A և B կետերը և, համապատասխանաբար, A B հատվածը:

Եթե ​​A B հատվածը A և B կետերից շարունակվում է երկու ուղղություններով, ապա մենք ստանում ենք A B ուղիղ գիծ: Այնուհետև A B հատվածը ստացված ուղիղ գծի մի մասն է, որը սահմանափակված է A և B կետերով: A B հատվածը միավորում է A և B կետերը, որոնք նրա ծայրերն են, ինչպես նաև դրանց միջև ընկած կետերի բազմությունը: Եթե, օրինակ, վերցնենք ցանկացած կամայական K կետ, որը գտնվում է A և B կետերի միջև, ապա կարող ենք ասել, որ K կետը գտնվում է A B հատվածի վրա:

Սահմանում 2

Բաժնի երկարությունը– տվյալ մասշտաբով հատվածի ծայրերի միջև հեռավորությունը (միավոր երկարության հատված): A B հատվածի երկարությունը նշանակենք հետևյալ կերպ՝ A B .

Սահմանում 3

Հատվածի միջնակետը- կետ, որը ընկած է հատվածի վրա և նրա ծայրերից հավասար հեռավորության վրա: Եթե ​​A B հատվածի կեսը նշանակված է C կետով, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ A C = C B.

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային O x և դրա վրա չհամընկնող կետեր՝ A և B։ Այս կետերը համապատասխանում են իրական թվերին x Ա և x Բ. C կետը A B հատվածի միջինն է. անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը x C.

Քանի որ C կետը A B հատվածի միջնակետն է, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ | A C | = | Գ Բ | . Կետերի միջև հեռավորությունը որոշվում է դրանց կոորդինատների տարբերության մոդուլով, այսինքն.

| A C | = | Գ Բ | ⇔ x C - x A = x B - x C

Այնուհետև հնարավոր է երկու հավասարություն՝ x C - x A = x B - x C և x C - x A = - (x B - x C)

Առաջին հավասարությունից բխում ենք C կետի կոորդինատների բանաձեւը՝ x C = x A + x B 2 (հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը):

Երկրորդ հավասարությունից ստանում ենք՝ x A = x B, ինչը անհնար է, քանի որ սկզբնաղբյուրում` չհամընկնող կետեր. Այսպիսով, A (x A) ծայրերով A B հատվածի միջնամասի կոորդինատները որոշելու բանաձևը B (xB):

Ստացված բանաձևը հիմք կհանդիսանա հարթության վրա կամ տարածության վրա հատվածի միջին հատվածի կոորդինատները որոշելու համար։

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y հարթության վրա, երկու կամայական չհամընկնող կետեր՝ տրված A x A, y A և B x B, y B կոորդինատներով: C կետը A B հատվածի միջինն է: C կետի համար անհրաժեշտ է որոշել x C և y C կոորդինատները:

Վերլուծության համար վերցնենք այն դեպքը, երբ A և B կետերը չեն համընկնում և չեն գտնվում նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա։ A x, A y; B x, B y և C x, C y - A, B և C կետերի կանխատեսումներ կոորդինատային առանցքների վրա (ուղիղ գծեր O x և O y):

Ըստ կառուցվածքի՝ A A x, B B x, C C x ուղիղները զուգահեռ են; գծերը նույնպես զուգահեռ են միմյանց: Դրա հետ մեկտեղ, ըստ Թալեսի թեորեմի, A C = C B հավասարությունից հետևում են հավասարությունները. A x C x = C x B x և A y C y = C y B y, և նրանք իրենց հերթին ցույց են տալիս, որ C x կետը. A x B x հատվածի կեսը, իսկ C y-ը A y B y հատվածի միջինն է: Եվ հետո, հիմնվելով ավելի վաղ ստացված բանաձևի վրա, մենք ստանում ենք.

x C = x A + x B 2 և y C = y A + y B 2

Նույն բանաձևերը կարող են օգտագործվել այն դեպքում, երբ A և B կետերը գտնվում են նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա։ Վարքագիծ մանրամասն վերլուծությունՄենք չենք դիտարկի այս դեպքը, մենք այն կդիտարկենք միայն գրաֆիկորեն.

Ամփոփելով վերը նշված բոլորը՝ A B հատվածի կեսի կոորդինատները հարթության վրա ծայրերի կոորդինատներով A (x A, y A) Եվ B (xB, yB) սահմանվում են որպես:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային համակարգ O x y z և երկու կամայական կետեր A (x A, y A, z A) և B (x B, y B, z B) կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է որոշել C կետի կոորդինատները, որը A B հատվածի միջինն է։

A x, A y, A z; B x, B y, B z և C x, C y, C z - բոլորի կանխատեսումներ տրված միավորներկոորդինատային համակարգի առանցքի վրա։

Համաձայն Թալեսի թեորեմի՝ ճշմարիտ են հետևյալ հավասարումները՝ A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z.

Հետեւաբար, C x, C y, C z կետերը համապատասխանաբար A x B x, A y B y, A z B z հատվածների միջնակետերն են: Հետո, Տիեզերքում հատվածի միջնամասի կոորդինատները որոշելու համար ճիշտ են հետևյալ բանաձևերը.

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Ստացված բանաձևերը կիրառելի են նաև այն դեպքերում, երբ A և B կետերը գտնվում են կոորդինատային գծերից մեկի վրա. առանցքներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա; մեկ կոորդինատային հարթությունում կամ կոորդինատային հարթություններից մեկին ուղղահայաց հարթությունում:

Հատվածի միջին հատվածի կոորդինատների որոշում նրա ծայրերի շառավղային վեկտորների կոորդինատների միջոցով

Հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու բանաձևը կարող է ստացվել նաև ըստ վեկտորների հանրահաշվական մեկնաբանության։

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ O x y, տրված A (x A, y A) և B (x B, x B) կոորդինատներով կետեր: C կետը A B հատվածի միջինն է:

Վեկտորների վրա գործողությունների երկրաչափական սահմանման համաձայն՝ ճշմարիտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ O C → = 1 2 · O A → + O B → . C կետը ժամը այս դեպքում– O A → և O B → վեկտորների հիման վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետը, այսինքն. անկյունագծերի կեսի կետը Կետի շառավիղի վեկտորի կոորդինատները հավասար են կետի կոորդինատներին, ապա ճիշտ են հավասարությունները՝ O A → = (x A, y A), O B → = (x B): , y B). Կատարենք մի քանի գործողություններ վեկտորների վրա կոորդինատներով և ստացենք.

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Հետևաբար, C կետն ունի կոորդինատներ.

x A + x B 2, y A + y B 2

Անալոգիայով որոշվում է բանաձև՝ տարածության մեջ հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու համար.

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները գտնելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Խնդիրներից, որոնք ներառում են վերը ստացված բանաձևերի օգտագործումը, կան այնպիսիք, որոնցում ուղղակի հարց է տրված հատվածի կեսի կոորդինատները հաշվարկելն է, և նրանք, որոնք ներառում են տվյալ պայմանները այս հարցին բերելը. «միջին» տերմինը: հաճախ օգտագործվում է, նպատակը հատվածի ծայրերից մեկի կոորդինատները գտնելն է, տարածված են նաև սիմետրիայի խնդիրները, որոնց լուծումն ընդհանուր առմամբ նույնպես չպետք է դժվարություններ առաջացնի այս թեման ուսումնասիրելուց հետո։ Դիտարկենք բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ 1

Նախնական տվյալներ.հարթության վրա՝ կետեր A (- 7, 3) և B (2, 4) տրված կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է գտնել A B հատվածի միջնակետի կոորդինատները։

Լուծում

A B հատվածի կեսը նշանակենք C կետով։ Դրա կոորդինատները կորոշվեն որպես հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը, այսինքն. A և B կետերը.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Պատասխանել A B հատվածի կեսի կոորդինատները - 5 2, 7 2:

Օրինակ 2

Նախնական տվյալներ.Հայտնի են A B C եռանկյան կոորդինատները՝ A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8): Անհրաժեշտ է գտնել A M միջնագծի երկարությունը:

Լուծում

1. Ըստ խնդրի պայմանների՝ A M-ը միջինն է, ինչը նշանակում է, որ M-ը B C հատվածի միջնակետն է: Նախ, եկեք գտնենք B C հատվածի կեսի կոորդինատները, այսինքն. M միավորներ:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Քանի որ մենք այժմ գիտենք մեդիանայի երկու ծայրերի կոորդինատները (կետ A և M), մենք կարող ենք օգտագործել բանաձևը կետերի միջև հեռավորությունը որոշելու և A M միջնայի երկարությունը հաշվարկելու համար.

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Պատասխան. 58

Օրինակ 3

Նախնական տվյալներ.ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռաչափ տարածությունտրված parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1: Տրված են C 1 կետի կոորդինատները (1, 1, 0), սահմանվում է նաև M կետը, որը B D 1 անկյունագծի միջնակետն է և ունի M կոորդինատներ (4, 2, - 4)։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել Ա կետի կոորդինատները։

Լուծում

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում, որը բոլոր անկյունագծերի միջնակետն է: Ելնելով այս պնդումից՝ կարող ենք նկատի ունենալ, որ խնդրի պայմաններից հայտնի M կետը A C 1 հատվածի միջնակետն է։ Տիեզերքում հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու բանաձևի հիման վրա գտնում ենք A կետի կոորդինատները՝ x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Պատասխան.Ա կետի կոորդինատները (7, 3, - 8).

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Երկրաչափության մեջ օգտագործվում են երեք հիմնական կոորդինատային համակարգեր. տեսական մեխանիկա, ֆիզիկայի այլ ճյուղեր՝ դեկարտյան, բևեռային և գնդաձև։ Այս կոորդինատային համակարգերում ամբողջ կետն ունի երեք կոորդինատ։ Իմանալով 2 կետերի կոորդինատները՝ կարող եք որոշել այս երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Հատվածի ծայրերի դեկարտյան, բևեռային և գնդաձև կոորդինատները

Հրահանգներ

1. Նախ դիտարկենք ուղղանկյուն Դեկարտյան կոորդինատային համակարգը: Որոշվում է այս կոորդինատային համակարգում տարածության կետի գտնվելու վայրը կոորդինատները x, y և z. Շառավիղի վեկտորը գծված է սկզբնակետից մինչև կետը: Այս շառավղային վեկտորի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա կլինեն կոորդինատներըԱյս կետը Այժմ թույլ տվեք ունենալ երկու միավոր կոորդինատները x1,y1,z1 և x2,y2 և z2 համապատասխանաբար: r1-ով և r2-ով նշեք համապատասխանաբար առաջին և 2-րդ կետերի շառավղային վեկտորները: Ըստ երևույթին, այս երկու կետերի միջև հեռավորությունը հավասար կլինի r = r1-r2 վեկտորի մոդուլին, որտեղ (r1-r2) վեկտորի տարբերությունն է։ r վեկտորի կոորդինատները, ըստ երևույթին, կլինեն հետևյալը՝ x1-x2, y1-y2, z1-z2. Այնուհետև r վեկտորի մեծությունը կամ երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը հավասար կլինի՝ r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )):

2. Հիմա դիտարկենք բևեռային կոորդինատային համակարգը, որտեղ կետի կոորդինատը տրվելու է r ճառագայթային կոորդինատով (շառավիղի վեկտոր XY հարթությունում), անկյունային կոորդինատով: (r վեկտորի և X առանցքի միջև անկյունը) և z կոորդինատը, որը նման է z կոորդինատին Դեկեկարտյան համակարգում: Կետի բևեռային կոորդինատները կարող են վերածվել դեկարտյան կոորդինատների հետևյալ կերպ. x = r*cos? , յ = ր*մեղք?, զ = զ. Այնուհետև երկու կետերի միջև հեռավորությունը հետ կոորդինատները r1, ?1 ,z1 և r2, ?2, z2 հավասար կլինի R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. Այժմ նայեք գնդաձև կոորդինատային համակարգին: Դրանում կետի գտնվելու վայրը նշվում է երեքով կոորդինատները r, ? Իսկ?. r – հեռավորությունը սկզբնակետից մինչև կետը, ? Իսկ. – համապատասխանաբար ազիմուտալ և զենիթային անկյուն: Անկյուն? նման է բևեռային կոորդինատային համակարգում նույն նշանակմամբ անկյան, հա՞: – շառավղով վեկտորի r և Z առանցքի միջև անկյունը 0-ով<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с կոորդինատները r1, ?1, ?1 և r2, ?2 և ?2-ը հավասար կլինեն R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 * sin?1* sin?1-r2* sin?2* sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin ?1 )^2)+((r2* sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1* sin?2*(cos?1*cos?2+մեղ?1*մեղ?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Կոորդինատային հարթության հետ կապված առաջադրանքների մի ամբողջ խումբ կա (ներառված է քննական խնդիրների տեսակներում): Սրանք խնդիրներ են՝ սկսած ամենահիմնականներից, որոնք լուծվում են բանավոր (տվյալ կետի օրդինատի կամ աբսցիսայի որոշում, կամ տվյալ կետի սիմետրիկ կետը և այլն), վերջացրած առաջադրանքներով, որոնք պահանջում են բարձրորակ գիտելիքներ, ըմբռնում և լավ հմտություններ (ուղիղ գծի անկյունային գործակցի հետ կապված խնդիրներ):

Աստիճանաբար մենք կքննարկենք դրանք բոլորը: Այս հոդվածում մենք կսկսենք հիմունքներից: Սրանք պարզ առաջադրանքներ են՝ որոշելու համար՝ կետի աբսցիսա և օրդինատ, հատվածի երկարություն, հատվածի միջնակետ, ուղիղ գծի թեքության սինուս կամ կոսինուս:Մարդկանց մեծամասնությանը չեն հետաքրքրի այս առաջադրանքները: Բայց հարկ եմ համարում ներկայացնել դրանք։

Փաստն այն է, որ ոչ բոլորն են դպրոց հաճախում։ Շատերը միասնական պետական ​​քննություն են հանձնում ուսումն ավարտելուց 3-4 և ավելի տարի անց, և նրանք աղոտ հիշում են, թե ինչ է աբսցիսա և օրդինատ: Մենք նաև կվերլուծենք կոորդինատային հարթության հետ կապված այլ առաջադրանքներ, մի կարոտեք այն, բաժանորդագրվեք բլոգի թարմացումներին: Այժմ nմի փոքր տեսություն.

Կառուցենք A կետը կոորդինատային հարթության վրա x=6, y=3 կոորդինատներով։

Ասում են՝ Ա կետի աբսցիսան հավասար է վեցի, Ա կետի օրդինատը՝ երեքի։

Պարզ ասած, ox առանցքը աբսցիսային առանցքն է, y առանցքը օրդինատների առանցքն է։

Այսինքն՝ աբսցիսան x առանցքի մի կետ է, որի մեջ նախագծված է կոորդինատային հարթության վրա տրված կետը. Օրդինատը y առանցքի այն կետն է, որի վրա նախագծված է նշված կետը:

Կոորդինատային հարթության վրա հատվածի երկարությունը

Հատվածի երկարությունը որոշելու բանաձևը, եթե հայտնի են նրա ծայրերի կոորդինատները.

Ինչպես տեսնում եք, հատվածի երկարությունը հավասար ոտքեր ունեցող ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի երկարությունն է

X B - X A և U B - U A

* * *

Սեգմենտի կեսը. Նրա կոորդինատները.

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները գտնելու բանաձևը.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարման բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

որտեղ (x 1;y 1) և (x 2;y 2 ) տրված կետերի կոորդինատները.

Փոխարինելով կոորդինատային արժեքները բանաձևի մեջ, այն վերածվում է ձևի.

y = kx + b, որտեղ k-ը գծի թեքությունն է

Այս տեղեկատվությունը մեզ անհրաժեշտ կլինի կոորդինատային հարթության հետ կապված խնդիրների մեկ այլ խումբ լուծելիս։ Այս մասին հոդված կլինի, բաց մի՛ թողեք:

Էլ ի՞նչ կարող եք ավելացնել:

Ուղիղ գծի (կամ հատվածի) թեքության անկյունը oX առանցքի և այս ուղիղ գծի միջև ընկած անկյունն է, որը տատանվում է 0-ից մինչև 180 աստիճան:

Դիտարկենք առաջադրանքները.

(6;8) կետից ուղղահայաց է գցվում օրդինատների առանցքի վրա։ Գտե՛ք ուղղահայաց հիմքի օրդինատը:

Օրդինատների առանցքի վրա իջեցված ուղղահայաց հիմքը կունենա կոորդինատներ (0;8): Օրդինատը հավասար է ութի։

Պատասխան՝ 8

Գտեք հեռավորությունը կետից Ակոորդինատներով (6;8) օրդինատով։

A կետից մինչև օրդինատների առանցքը հեռավորությունը հավասար է A կետի աբսցիսային:

Պատասխան՝ 6.

Ա(6;8) առանցքի նկատմամբ Եզ.

OX առանցքի նկատմամբ A կետի սիմետրիկ կետն ունի կոորդինատներ (6;– 8):

Օրդինատը հավասար է մինուս ութի։

Պատասխան՝ - 8

Գտի՛ր կետի նկատմամբ սիմետրիկ կետի օրդինատը Ա(6;8) ծագման համեմատ:

A կետին սիմետրիկ կետը ծագման հետ ունի կոորդինատներ (– 6;– 8):

Նրա օրդինատն է – 8։

Պատասխան՝ -8

Գտե՛ք կետերը միացնող հատվածի միջնակետի աբսցիսանՕ(0;0) և Ա(6;8).

Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել հատվածի միջնամասի կոորդինատները։ Մեր հատվածի ծայրերի կոորդինատներն են (0;0) և (6;8):

Մենք հաշվարկում ենք բանաձևով.

Մենք ստացանք (3;4): Աբսցիսան հավասար է երեքի։

Պատասխան՝ 3

*Հատվածի միջնամասի աբսցիսան կարող է որոշվել առանց հաշվարկի՝ օգտագործելով բանաձև՝ այս հատվածը կոորդինատային հարթության վրա կառուցելով քառակուսի թղթի թերթիկի վրա: Հատվածի կեսը հեշտ կլինի որոշել բջիջներով:

Գտե՛ք կետերը միացնող հատվածի միջնակետի աբսցիսան Ա(6;8) և Բ(–2;2).

Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել հատվածի միջնամասի կոորդինատները։ Մեր հատվածի ծայրերի կոորդինատներն են (–2;2) և (6;8):

Մենք հաշվարկում ենք բանաձևով.

Մենք ստացանք (2;5): Աբսցիսան հավասար է երկուսի։

Պատասխան՝ 2

*Հատվածի միջնամասի աբսցիսան կարող է որոշվել առանց հաշվարկի՝ օգտագործելով բանաձև՝ այս հատվածը կոորդինատային հարթության վրա կառուցելով քառակուսի թղթի թերթիկի վրա:

Գտե՛ք (0;0) և (6;8) կետերը միացնող հատվածի երկարությունը։

Հատվածի երկարությունը նրա ծայրերի տրված կոորդինատներում հաշվարկվում է բանաձևով.

մեր դեպքում ունենք O(0;0) և A(6;8): Նշանակում է,

*Կորդինատների հերթականությունը հանելիս նշանակություն չունի: Դուք կարող եք հանել A կետի աբսցիսան և օրդինատը O կետի աբսցիսայից և օրդինատից.

Պատասխան՝ 10

Գտե՛ք կետերը միացնող հատվածի լանջի կոսինուսը Օ(0;0) և Ա(6;8), x առանցքով:

Հատվածի թեքության անկյունը այս հատվածի և oX առանցքի միջև եղած անկյունն է:

A կետից իջեցնում ենք oX առանցքին ուղղահայաց.

Այսինքն՝ հատվածի թեքության անկյունը անկյունն էSAIABO ուղղանկյուն եռանկյունում:

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան կոսինուսն է

հարակից ոտքի և հիպոթենուզայի հարաբերակցությունը

Մենք պետք է գտնենք հիպոթենուսըՕԱ.

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.Ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին:

Այսպիսով, լանջի անկյան կոսինուսը 0,6 է

Պատասխան՝ 0.6

(6;8) կետից աբսցիսայի առանցքի վրա ուղղահայաց է ընկնում: Գտե՛ք ուղղահայաց հիմքի աբսցիսսը:

(6;8) կետով գծվում է աբսցիսայի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ։ Գտի՛ր առանցքի հետ նրա հատման կետի օրդինատը OU.

Գտեք հեռավորությունը կետից Ակոորդինատներով (6;8) դեպի աբսցիսային առանցքը:

Գտեք հեռավորությունը կետից Ասկզբնակետին (6;8) կոորդինատներով։

Եթե ​​լավ սրած մատիտով դիպչեք նոթատետրի թերթիկին, ապա կմնա հետք, որը պատկերացում է տալիս կետի մասին: (նկ. 3):

Թղթի վրա նշենք A և B երկու կետերը, որոնք կարելի է միացնել տարբեր գծերով (նկ. 4): Ինչպե՞ս միացնել A և B կետերը ամենակարճ գծով: Դա կարելի է անել քանոնի միջոցով (նկ. 5): Ստացված տողը կոչվում է հատված.

Կետ և գիծ - օրինակներ երկրաչափական ձևեր.

A և B կետերը կոչվում են հատվածի ծայրերը.

Գոյություն ունի առանձին հատված, որի ծայրերը A և B կետերն են: Հետևաբար, հատվածը նշանակում են այն կետերը, որոնք հանդիսանում են դրա ծայրերը գրի առնելով: Օրինակ, Նկար 5-ում հատվածը նշանակված է երկու եղանակներից մեկով՝ AB կամ BA: Կարդացեք «հատված AB» կամ «հատված BA»:

Նկար 6-ը ցույց է տալիս երեք հատված: AB հատվածի երկարությունը 1 սմ է, MN հատվածում այն ​​տեղավորվում է ուղիղ երեք անգամ, իսկ EF հատվածում՝ ուղիղ 4 անգամ։ Ասենք, որ հատվածի երկարությունը MN-ը հավասար է 3 սմ-ի, իսկ EF հատվածի երկարությունը 4 սմ է։

Ընդունված է նաև ասել՝ «MN հատվածը հավասար է 3 սմ», «EF հատվածը հավասար է 4 սմ»։ Գրում են՝ MN = 3 սմ, EF = 4 սմ:

Մենք չափեցինք MN և EF հատվածների երկարությունները մեկ հատված, որի երկարությունը 1 սմ է։Հատվածները չափելու համար կարող եք ընտրել այլ երկարության միավորներ, օրինակ՝ 1 մմ, 1 դմ, 1 կմ։ Նկար 7-ում հատվածի երկարությունը 17 մմ է: Այն չափվում է մեկ հատվածով, որի երկարությունը 1 մմ է, աստիճանավոր քանոնի միջոցով: Բացի այդ, քանոն օգտագործելով, կարող եք կառուցել (գծել) տրված երկարության հատված (տե՛ս նկ. 7):

Ընդհանրապես, չափել հատվածը նշանակում է հաշվել, թե քանի միավոր հատված է տեղավորվում դրա մեջ.

Հատվածի երկարությունն ունի հետևյալ հատկությունը.

Եթե ​​AB հատվածի վրա նշեք C կետը, ապա AB հատվածի երկարությունը հավասար է AC և CB հատվածների երկարությունների գումարին:(նկ. 8):

Գրեք՝ AB = AC + CB:

Նկար 9-ում ներկայացված են երկու հատվածներ AB և CD: Այս հատվածները կհամընկնեն, երբ վերադրվեն:

Երկու հատված կոչվում են հավասար, եթե դրանք համընկնում են, երբ վերադրվում են:

Հետևաբար AB և CD հատվածները հավասար են: Գրում են՝ AB = CD:

Հավասար հատվածներն ունեն հավասար երկարություններ:

Երկու անհավասար հատվածներից մենք ավելի մեծ կհամարենք ավելի մեծ երկարությամբ հատվածը: Օրինակ, Նկար 6-ում EF հատվածն ավելի մեծ է, քան MN հատվածը:

AB հատվածի երկարությունը կոչվում է հեռավորությունը A և B կետերի միջև:

Եթե ​​մի քանի հատված դասավորված են այնպես, ինչպես ցույց է տրված Նկար 10-ում, դուք կստանաք երկրաչափական պատկեր, որը կոչվում է կոտրված գիծ. Նկատի ունեցեք, որ Նկար 11-ի բոլոր հատվածները կոտրված գիծ չեն կազմում: Հատվածները համարվում են կոտրված գիծ կազմող, եթե առաջին հատվածի վերջը համընկնում է երկրորդի վերջի հետ, իսկ երկրորդ հատվածի մյուս ծայրը երրորդի վերջի հետ և այլն։

A, B, C, D, E կետերը − կոտրված գծի գագաթները ABCDE, A և E կետերը − պոլիգծի ծայրերը, իսկ AB, BC, CD, DE հատվածներն են հղումներ(տես նկ. 10):

Գծի երկարությունըանվանել նրա բոլոր կապերի երկարությունների գումարը:

Նկար 12-ը ցույց է տալիս երկու կոտրված գիծ, ​​որոնց ծայրերը համընկնում են: Նման կոտրված գծերը կոչվում են փակված.

Օրինակ 1 . BC հատվածը 3 սմ-ով փոքր է AB հատվածից, որի երկարությունը 8 սմ է (նկ. 13): Գտեք AC հատվածի երկարությունը:

Լուծում. Ունենք՝ BC = 8 − 3 = 5 (սմ):

Օգտագործելով հատվածի երկարության հատկությունը՝ կարող ենք գրել AC = AB + BC: Հետեւաբար AC = 8 + 5 = 13 (սմ):

Պատասխան՝ 13 սմ։

Օրինակ 2 . Հայտնի է, որ MK = 24 սմ, NP = 32 սմ, MP = 50 սմ (նկ. 14): Գտե՛ք NK հատվածի երկարությունը:

Լուծում. Մենք ունենք՝ MN = MP − NP:

Հետեւաբար MN = 50 − 32 = 18 (սմ):

Մենք ունենք՝ NK = MK − MN:

Ուստի NK = 24 − 18 = 6 (սմ):

Պատասխան՝ 6 սմ։

Ըստ հատվածիկոչել ուղիղ գծի մի մասը, որը բաղկացած է այս գծի բոլոր կետերից, որոնք գտնվում են այս երկու կետերի միջև, դրանք կոչվում են հատվածի ծայրեր:

Դիտարկենք առաջին օրինակը։ Թույլ տվեք որոշակի հատված սահմանել կոորդինատային հարթության երկու կետով: Այս դեպքում մենք կարող ենք գտնել դրա երկարությունը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը։

Այսպիսով, կոորդինատային համակարգում մենք գծում ենք հատված նրա ծայրերի տրված կոորդինատներով(x1; y1) Եվ (x2; y2) . Առանցքի վրա X Եվ Յ Հատվածի ծայրերից գծե՛ք ուղղահայացներ: Կարմիրով նշենք այն հատվածները, որոնք կոորդինատային առանցքի վրա սկզբնական հատվածից կանխատեսումներ են: Սրանից հետո պրոյեկցիոն հատվածները փոխանցում ենք հատվածների ծայրերին զուգահեռ։ Մենք ստանում ենք եռանկյուն (ուղղանկյուն): Այս եռանկյան հիպոթենուսը կլինի հենց AB հատվածը, իսկ նրա ոտքերը՝ փոխանցված պրոյեկցիաները:

Եկեք հաշվարկենք այս կանխատեսումների երկարությունը: Այսպիսով, առանցքի վրա Յ պրոյեկցիայի երկարությունն է y2-y1 , և առանցքի վրա X պրոյեկցիայի երկարությունն է x2-x1 . Եկեք կիրառենք Պյութագորասի թեորեմը. |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Այս դեպքում |ԱԲ| հատվածի երկարությունն է:

Եթե ​​դուք օգտագործում եք այս գծապատկերը հատվածի երկարությունը հաշվարկելու համար, ապա դուք նույնիսկ ստիպված չեք լինի կառուցել հատվածը: Հիմա եկեք հաշվարկենք հատվածի երկարությունը կոորդինատներով (1;3) Եվ (2;5) . Կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը՝ մենք ստանում ենք. |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Սա նշանակում է, որ մեր հատվածի երկարությունը հավասար է 5:1/2 .

Դիտարկենք հատվածի երկարությունը գտնելու հետևյալ մեթոդը. Դա անելու համար մենք պետք է իմանանք ինչ-որ համակարգի երկու կետերի կոորդինատները: Դիտարկենք այս տարբերակը՝ օգտագործելով երկչափ դեկարտյան կոորդինատային համակարգը։

Այսպիսով, երկչափ կոորդինատային համակարգում տրված են հատվածի ծայրահեղ կետերի կոորդինատները։ Եթե ​​այս կետերով ուղիղ գծեր գծենք, դրանք պետք է ուղղահայաց լինեն կոորդինատային առանցքին, ապա ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյուն։ Բնօրինակ հատվածը կլինի ստացված եռանկյունու հիպոթենուսը: Եռանկյան ոտքերը կազմում են հատվածներ, դրանց երկարությունը հավասար է կոորդինատային առանցքների վրա հիպոթենուսի նախագծմանը: Ելնելով Պյութագորասի թեորեմից՝ մենք եզրակացնում ենք, որ տվյալ հատվածի երկարությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել երկու կոորդինատային առանցքների վրա գտնվող պրոյեկցիաների երկարությունները:

Գտնենք պրոյեկցիայի երկարությունները (X և Y) սկզբնական հատվածը կոորդինատային առանցքների վրա: Մենք դրանք հաշվարկում ենք՝ գտնելով առանձին առանցքի երկայնքով կետերի կոորդինատների տարբերությունը. X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Հաշվեք հատվածի երկարությունը Ա , դրա համար մենք գտնում ենք քառակուսի արմատը.

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Եթե ​​մեր հատվածը գտնվում է այն կետերի միջև, որոնց կոորդինատները 2;4 Եվ 4;1 , ապա դրա երկարությունը համապատասխանաբար հավասար է √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .