Kas jau ir diezgan garlaicīgi. Un jūtu, ka ir pienācis brīdis, kad no teorijas stratēģiskajām rezervēm ir pienācis laiks izvilkt jaunus konservus. Vai ir iespējams kā citādi izvērst funkciju sērijā? Piemēram, izteikt taisnās līnijas segmentu, izmantojot sinusus un kosinusus? Šķiet neticami, bet tik šķietami attālas funkcijas var būt
"atkalapvienošanās". Papildus jau zināmajiem grādiem teorijā un praksē ir arī citas pieejas funkcijas izvēršanai sērijā.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar trigonometriskās sērijas Furjē, mēs pieskarsimies jautājumam par tā konverģenci un summu, un, protams, mēs analizēsim daudzus Furjē sērijas funkciju paplašināšanas piemērus. Es patiesi gribēju rakstu nosaukt par “Furjē sēriju manekeniem”, taču tas būtu neprātīgi, jo problēmu risināšanai būtu nepieciešamas zināšanas par citām matemātiskās analīzes nozarēm un zināma praktiska pieredze. Tāpēc preambula atgādinās astronautu apmācību =)

Pirmkārt, jums vajadzētu pievērsties lapu materiālu izpētei lieliskā formā. Miegains, atpūties un prātīgs. Bez spēcīgām emocijām par lauztu kāmja ķepu un obsesīvas domas par dzīves grūtībām akvārija zivis. Furjē sēriju tomēr nav grūti saprast praktiskie uzdevumi tie vienkārši prasa pastiprinātu uzmanības koncentrāciju - ideālā gadījumā jums vajadzētu pilnībā atraut sevi no ārējiem stimuliem. Situāciju pasliktina tas, ka nav viegli pārbaudīt risinājumu un atbildēt. Tādējādi, ja jūsu veselība ir zem vidējā līmeņa, labāk ir darīt ko vienkāršāku. Tā ir patiesība.

Otrkārt, pirms lidošanas kosmosā ir jāizpēta instrumentu panelis kosmosa kuģis. Sāksim ar to funkciju vērtībām, uz kurām jānoklikšķina uz mašīnas:

Jebkurai dabas vērtībai:

1) . Patiešām, sinusoīds “izšuj” x asi caur katru “pi”:
. Argumenta negatīvu vērtību gadījumā rezultāts, protams, būs tāds pats: .

2) . Bet ne visi to zināja. Kosinuss "pi" ir ekvivalents "mirgotājam":

Negatīvs arguments lietu nemaina: .

Varbūt ar to pietiek.

Un treškārt, dārgais kosmonautu korpuss, jums ir jāspēj... integrēt.
Jo īpaši pārliecinoši iekļaut funkciju zem diferenciālzīmes, integrēt pa daļām un esi mierā ar Ņūtona-Leibnica formula. Sāksim svarīgus pirmslidojuma vingrinājumus. Kategoriski neiesaku to izlaist, lai vēlāk nešķistu bezsvara stāvoklī:

1. piemērs

Aprēķināt noteiktos integrāļus

kur ņem dabas vērtības.

Risinājums: integrācija tiek veikta virs mainīgā “x”, un šajā posmā diskrētais mainīgais “en” tiek uzskatīts par konstanti. Visos integrāļos novietojiet funkciju zem diferenciālzīmes:

Īsa risinājuma versija, kas būtu piemērota mērķauditorijai, izskatās šādi:

Pieradīsim pie tā:

Četri atlikušie punkti ir jūsu pašu. Mēģiniet pieiet uzdevumam apzinīgi un īsi uzrakstiet integrāļus. Risinājumu paraugi nodarbības beigās.

Pēc vingrinājumu KVALITĀTE izpildīšanas uzvelkam skafandrus
un gatavojamies startam!

Funkcijas paplašināšana Furjē sērijā intervālā

Apsveriet kādu funkciju, kas noteikts vismaz uz noteiktu laiku (un, iespējams, ilgāku laiku). Ja šī funkcija ir integrējama intervālā, tad to var izvērst trigonometriskā formā Furjē sērija:
, kur ir ts Furjē koeficienti.

Šajā gadījumā tiek izsaukts numurs sadalīšanās periods, un numurs ir sadalīšanās pusperiods.

Ir skaidrs, ka vispārīgā gadījumā Furjē rinda sastāv no sinusiem un kosinusiem:

Patiešām, pierakstīsim to detalizēti:

Sērijas nulles termiņu parasti raksta formā .

Furjē koeficientus aprēķina, izmantojot šādas formulas:

Es lieliski saprotu, ka tiem, kas sāk pētīt tēmu, joprojām nav skaidrības par jaunajiem terminiem: sadalīšanās periods, puscikls, Furjē koeficienti utt. Nekrītiet panikā, tas nav salīdzināms ar satraukumu pirms došanās kosmosā. Sapratīsim visu šajā piemērā, pirms kura izpildes ir loģiski uzdot aktuālus praktiskus jautājumus:

Kas jums jādara tālāk norādītajos uzdevumos?

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā. Turklāt bieži vien ir nepieciešams attēlot funkcijas grafiku, sērijas summas grafiku, daļēju summu un izsmalcinātu profesora fantāziju gadījumā darīt kaut ko citu.

Kā paplašināt funkciju Furjē sērijā?

Būtībā jums ir jāatrod Furjē koeficienti, tas ir, sastādiet un aprēķiniet trīs noteiktais integrālis.

Lūdzu, kopējiet Furjē sērijas vispārīgo formu un trīs darba formulas savā piezīmju grāmatiņā. Es ļoti priecājos, ka daži vietnes apmeklētāji manā acu priekšā īsteno savu bērnības sapni kļūt par astronautu =)

2. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā uz intervāla. Izveidojiet grafiku, rindas summas un daļējās summas grafiku.

Risinājums: Pirmā uzdevuma daļa ir paplašināt funkciju Furjē sērijā.

Sākums ir standarta, noteikti pierakstiet, ka:

Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods.

Izvērsīsim funkciju Furjē sērijā intervālā:

Izmantojot atbilstošās formulas, mēs atrodam Furjē koeficienti. Tagad mums ir jāsastāda un jāaprēķina trīs noteiktais integrālis. Ērtības labad es numurēšu punktus:

1) Pirmais integrālis ir visvienkāršākais, taču tam ir nepieciešami arī acs āboli:

2) Izmantojiet otro formulu:

Šis integrālis ir labi zināms un viņš to ņem pa gabalu:

Lietots, kad atrasts metode funkcijas iekļaušanai zem diferenciālzīmes.

Apskatāmajā uzdevumā to ir ērtāk izmantot uzreiz formula integrācijai pa daļām noteiktā integrālī :

Pāris tehniskas piezīmes. Pirmkārt, pēc formulas piemērošanas visa izteiksme ir jāiekļauj lielās iekavās, jo pirms sākotnējā integrāļa ir konstante. Nepazaudēsim viņu! Iekavas var paplašināt jebkurā turpmākajā darbībā; es to izdarīju kā pēdējo līdzekli. Pirmajā "gabalā" Mēs izrādām īpašu piesardzību aizstāšanā; kā redzat, konstante netiek izmantota, un integrācijas robežas tiek aizstātas ar produktu. Šī darbība ir iezīmēta kvadrātiekavās. Nu, jūs esat iepazinies ar otrās formulas “gabala” integrāli no apmācības uzdevuma;-)

Un pats galvenais – ekstrēma koncentrēšanās!

3) Mēs meklējam trešo Furjē koeficientu:

Tiek iegūts iepriekšējā integrāļa radinieks, kas arī ir integrējas pa daļām:

Šis gadījums ir nedaudz sarežģītāks, soli pa solim komentēšu turpmākās darbības:

(1) Izteiciens ir pilnībā ievietots lielās iekavās. Es negribēju šķist garlaicīgi, viņi pārāk bieži zaudē konstanti.

(2) V šajā gadījumā Es uzreiz atvēru tās lielās iekavas. Īpaša uzmanība Mēs nododamies pirmajam “gabalam”: nemitīgais smēķē malā un nepiedalās integrācijas (un) robežu aizstāšanā produktā. Ieraksta juceklis dēļ šo darbību atkal vēlams izcelt ar kvadrātiekavām. Ar otro "gabalu" viss ir vienkāršāk: šeit daļa parādījās pēc lielo iekavu atvēršanas, bet konstante - pazīstamā integrāļa integrācijas rezultātā;-)

(3) Kvadrātiekavās veicam transformācijas, bet labajā integrālī - integrācijas robežu aizstāšanu.

(4) Mēs noņemam “mirgojošo gaismu” no kvadrātiekavām: , un pēc tam atveram iekšējās iekavas: .

(5) Mēs atceļam 1 un –1 iekavās un veicam galīgos vienkāršojumus.

Visbeidzot, tiek atrasti visi trīs Furjē koeficienti:

Aizstāsim tos formulā :

Tajā pašā laikā neaizmirstiet sadalīt uz pusēm. Pēdējā solī konstante (“mīnus divi”), kas nav atkarīga no “en”, tiek ņemta ārpus summas.

Tādējādi mēs esam ieguvuši funkcijas paplašināšanu Furjē sērijā intervālā:

Izpētīsim Furjē rindas konverģences jautājumu. Es īpaši izskaidrošu teoriju Dirihleta teorēma, burtiski "uz pirkstiem", tādēļ, ja jums ir nepieciešami stingri formulējumi, lūdzu, skatiet mācību grāmatu par matemātiskā analīze (piemēram, Bohana 2. sējums; vai Fihtenholca 3. sējums, bet tas ir grūtāk).

Otrajā uzdevuma daļā ir jāuzzīmē grafiks, sērijas summas grafiks un daļējas summas grafiks.

Funkcijas grafiks ir parastais taisna līnija plaknē, kas ir novilkta ar melnu punktētu līniju:

Noskaidrosim sērijas summu. Kā jūs zināt, funkciju sērijas saplūst ar funkcijām. Mūsu gadījumā konstruētā Furjē sērija jebkurai "x" vērtībai saplūst ar funkciju, kas ir parādīta sarkanā krāsā. Šī funkcija iztur 1. veida plīsumi punktos, bet ir arī definēts tajos (sarkani punkti zīmējumā)

Tādējādi: . Ir viegli redzēt, ka tā ievērojami atšķiras no sākotnējās funkcijas, tāpēc ierakstā Tiek izmantota tilde, nevis vienādības zīme.

Izpētīsim algoritmu, kas ir ērts sērijas summas konstruēšanai.

Centrālajā intervālā Furjē rinda saplūst ar pašu funkciju (centrālais sarkanais segments sakrīt ar lineārās funkcijas melno punktēto līniju).

Tagad parunāsim nedaudz par aplūkojamās trigonometriskās izplešanās būtību. Furjē sērija ietver tikai periodiskas funkcijas (konstante, sinusus un kosinusus), tātad sērijas summa ir arī periodiska funkcija.

Ko tas nozīmē mūsu konkrētajā piemērā? Un tas nozīmē, ka sērijas summa –noteikti periodiski un intervāla sarkanais segments bezgalīgi jāatkārto pa kreisi un pa labi.

Es domāju, ka frāzes “sadalīšanās periods” nozīme tagad beidzot ir kļuvusi skaidra. Vienkārši sakot, katru reizi, kad situācija atkārtojas atkal un atkal.

Praksē parasti ir pietiekami attēlot trīs sadalīšanās periodus, kā tas ir izdarīts zīmējumā. Nu, un arī kaimiņu periodu “celmi” - lai ir skaidrs, ka grafiks turpinās.

Īpaši interesanti ir 1. veida pārtraukuma punkti. Šādos punktos Furjē rinda saplūst uz izolētām vērtībām, kas atrodas tieši pārtraukuma “lēciena” vidū (zīmējumā sarkani punktiņi). Kā uzzināt šo punktu ordinātas? Pirmkārt, atradīsim “augšējā stāva” ordinātas: lai to izdarītu, mēs aprēķinām funkcijas vērtību paplašināšanas centrālā perioda galējā labajā punktā: . Lai aprēķinātu “apakšējā stāva” ordinātas, vienkāršākais veids ir pieņemt galējo kreisā vērtība no tā paša perioda: . Vidējās vērtības ordināta ir “augšējās un apakšējās” summas vidējais aritmētiskais: . Patīkams fakts ir tas, ka, konstruējot zīmējumu, jūs uzreiz redzēsiet, vai vidus ir aprēķināts pareizi vai nepareizi.

Izveidosim daļēju rindas summu un tajā pašā laikā atkārtosim jēdziena “konverģence” nozīmi. Motīvs ir zināms arī no nodarbības par skaitļu sērijas summa. Sīkāk aprakstīsim mūsu bagātību:

Lai sastādītu daļēju summu, jums jāuzraksta nulle + vēl divi sērijas vārdi. Tas ir,

Zīmējumā parādīts funkcijas grafiks zaļš, un, kā redzams, diezgan cieši “aptin” pilnu daudzumu. Ja ņemam vērā daļēju piecu sērijas vārdu summu, tad šīs funkcijas grafiks vēl precīzāk tuvinās sarkanās līnijas; ja ir simts termini, tad “zaļā čūska” faktiski pilnībā saplūdīs ar sarkanajiem segmentiem, utt. Tādējādi Furjē rinda tuvojas tās summai.

Interesanti atzīmēt, ka jebkura daļēja summa ir nepārtraukta funkcija tomēr sērijas kopējā summa joprojām ir pārtraukta.

Praksē nav tik reti konstruēt daļējas summas grafiku. Kā to izdarīt? Mūsu gadījumā ir jāņem vērā segmenta funkcija, jāaprēķina tās vērtības segmenta galos un starppunktos (jo vairāk punktu ņemsiet vērā, jo precīzāks būs grafiks). Tad jums vajadzētu atzīmēt šos punktus zīmējumā un rūpīgi uzzīmēt perioda grafiku un pēc tam “atkārtot” to blakus intervālos. Kā gan citādi? Galu galā aproksimācija ir arī periodiska funkcija... ...tā grafiks man savā ziņā atgādina vienmērīgu sirds ritmu medicīnas ierīces displejā.

Būvniecības veikšana, protams, nav īpaši ērta, jo jums jābūt īpaši uzmanīgam, saglabājot ne mazāku par pusmilimetru precizitāti. Tomēr es iepriecināšu lasītājus, kuriem zīmēšana nav apmierināta - "īstā" problēmā ne vienmēr ir nepieciešams veikt zīmējumu, aptuveni 50% gadījumu ir nepieciešams paplašināt funkciju Furjē sērijā un viss .

Pēc zīmējuma pabeigšanas mēs izpildām uzdevumu:

Atbilde:

Daudzos uzdevumos funkcija cieš 1. veida plīsums tieši sadalīšanās periodā:

3. piemērs

Izvērsiet intervālā norādīto funkciju Furjē sērijā. Uzzīmējiet funkcijas grafiku un sēriju kopējo summu.

Piedāvātā funkcija ir norādīta pa daļām (un, ņemiet vērā, tikai segmentā) un iztur 1. veida plīsums punktā. Vai ir iespējams aprēķināt Furjē koeficientus? Nekādu problēmu. Funkcijas kreisā un labā puse ir integrējama savos intervālos, tāpēc integrāļi katrā no trim formulām ir jāattēlo kā divu integrāļu summa. Apskatīsim, piemēram, kā tas tiek darīts nulles koeficientam:

Otrais integrālis izrādījās vienāds ar nulli, kas samazināja darbu, taču tas ne vienmēr tā ir.

Pārējie divi Furjē koeficienti ir aprakstīti līdzīgi.

Kā parādīt sērijas summu? Kreisajā intervālā mēs zīmējam taisnas līnijas segmentu, bet intervālā - taisnas līnijas segmentu (ass posmu izceļam treknrakstā un treknrakstā). Tas ir, paplašināšanas intervālā sērijas summa sakrīt ar funkciju visur, izņemot trīs “sliktos” punktus. Funkcijas pārtraukuma punktā Furjē rinda saplūdīs uz izolētu vērtību, kas atrodas tieši pārtraukuma “lēciena” vidū. Nav grūti to redzēt mutiski: kreisās puses ierobežojums: , labās puses ierobežojums: un, protams, viduspunkta ordināta ir 0,5.

Summas periodiskuma dēļ attēls ir “jāreizina” blakus periodos, jo īpaši, tas pats ir jāattēlo intervālos un . Tajā pašā laikā Furjē rindas punktos tuvosies vidējām vērtībām.

Patiesībā šeit nav nekā jauna.

Mēģiniet pats tikt galā ar šo uzdevumu. Aptuvenais gala dizaina paraugs un zīmējums nodarbības beigās.

Funkcijas paplašināšana Furjē rindā patvaļīgā periodā

Patvaļīgam paplašināšanas periodam, kur “el” ir jebkurš pozitīvs skaitlis, Furjē rindas un Furjē koeficientu formulas atšķiras ar nedaudz sarežģītāku sinusa un kosinusa argumentu:

Ja , tad iegūstam intervālu formulas, ar kurām sākām.

Problēmas risināšanas algoritms un principi ir pilnībā saglabāti, taču palielinās aprēķinu tehniskā sarežģītība:

4. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā un uzzīmējiet summu.

Risinājums: faktiski analogs piemēram Nr. 3 ar 1. veida plīsums punktā. Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods. Funkcija tiek definēta tikai pusintervālā, bet tas nemaina lietu - ir svarīgi, lai abas funkcijas daļas būtu integrējamas.

Izvērsīsim funkciju Furjē sērijā:

Tā kā funkcija sākumā ir pārtraukta, katrs Furjē koeficients acīmredzami jāraksta kā divu integrāļu summa:

1) Es uzrakstīšu pirmo integrāli pēc iespējas detalizētāk:

2) Mēs uzmanīgi skatāmies uz Mēness virsmu:

Otrais integrālis ņem pa gabalu:

Kam jāpievērš īpaša uzmanība pēc tam, kad ar zvaigznīti atveram risinājuma turpinājumu?

Pirmkārt, mēs nezaudējam pirmo integrāli , kur mēs nekavējoties izpildām parakstoties uz diferenciālzīmi. Otrkārt, neaizmirstiet neveiksmīgo konstanti pirms lielajām iekavām un nemulsiniet no zīmēm izmantojot formulu . Lielus kronšteinus joprojām ir ērtāk atvērt uzreiz nākamajā darbībā.

Pārējais ir tehnikas jautājums, grūtības var radīt tikai nepietiekama integrāļu risināšanas pieredze.

Jā, ne velti izcilie franču matemātiķa Furjē kolēģi bija sašutuši – kā viņš uzdrošinājās funkcijas sakārtot trigonometriskās rindās?! =) Starp citu, visus droši vien interesē attiecīgā uzdevuma praktiskā nozīme. Pie tā strādāja pats Furjē matemātiskais modelis siltumvadītspēju, un pēc tam viņa vārdā nosaukto sēriju sāka izmantot, lai pētītu daudzus periodiskus procesus, kas ir redzami un neredzami apkārtējā pasaulē. Tagad, starp citu, pieķēru sevi pie domas, ka ne nejauši salīdzināju otrā piemēra grafiku ar periodisko sirds ritmu. Interesenti var iepazīties ar praktisko pielietojumu Furjē transformācija trešo pušu avotos. ...Lai gan labāk to nedarīt - tā paliks atmiņā kā Pirmā mīlestība =)

3) Ņemot vērā vairākkārt pieminētās vājās saites, aplūkosim trešo koeficientu:

Integrēsim pa daļām:

Aizvietosim formulā atrastos Furjē koeficientus , neaizmirstot dalīt nulles koeficientu uz pusēm:

Uzzīmēsim sērijas summu. Īsi atkārtosim procedūru: uz intervāla izveidojam taisni, bet uz intervāla - taisni. Ja “x” vērtība ir nulle, mēs ievietojam punktu spraugas “lēciena” vidū un “atkārtojam” grafiku blakus periodiem:


Periodu “krustojumos” summa būs vienāda arī ar atstarpes “lēciena” viduspunktiem.

Gatavs. Atgādināšu, ka pati funkcija ir ar nosacījumu definēta tikai pusintervālā un acīmredzot sakrīt ar intervālu rindu summu

Atbilde:

Dažreiz pa daļām dota funkcija ir nepārtraukta paplašināšanas periodā. Vienkāršākais piemērs: . Risinājums (skat. Bohana 2. sējumu) tas pats, kas divos iepriekšējos piemēros: neskatoties funkciju nepārtrauktība punktā katrs Furjē koeficients tiek izteikts kā divu integrāļu summa.

Par sadalīšanās intervālu 1. veida pārtraukuma punkti un/vai diagrammā var būt vairāk “savienojuma” punktu (divi, trīs un parasti jebkurš galīgais daudzums). Ja funkcija ir integrējama katrā daļā, tā ir paplašināma arī Furjē sērijā. Bet no praktiskās pieredzes es neatceros tik nežēlīgu lietu. Tomēr ir sarežģītāki uzdevumi, nekā tikko apskatītie, un raksta beigās ir saites uz Furjē sēriju, kas ir īpaši sarežģīta ikvienam.

Tikmēr atpūtīsimies, atlaidīsimies krēslos un pārdomāsim bezgalīgos zvaigžņu plašumus:

5. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā uz intervāla un uzzīmējiet sērijas summu.

Šajā problēmā funkcija nepārtraukts uz paplašināšanas pusintervālu, kas vienkāršo risinājumu. Viss ir ļoti līdzīgs piemēram Nr.2. No kosmosa kuģa nav aizbēgt - jums būs jāizlemj =) Aptuvenais dizaina paraugs nodarbības beigās, grafiks pievienots.

Furjē sērijas pāra un nepāra funkciju paplašināšana

Izmantojot pāra un nepāra funkcijas, problēmas risināšanas process ir ievērojami vienkāršots. Un tāpēc. Atgriezīsimies pie funkcijas paplašināšanas Furjē rindā ar periodu “divi pi” Un patvaļīgs periods"divi el" .

Pieņemsim, ka mūsu funkcija ir pāra. Sērijas vispārīgais termins, kā redzat, satur pāra kosinusus un nepāra sinusus. Un, ja mēs izvēršam PĀRĀT funkciju, tad kāpēc mums ir vajadzīgi nepāra sinusi?! Atiestatīsim nevajadzīgo koeficientu: .

Tādējādi vienmērīgu funkciju Furjē sērijā var paplašināt tikai kosinusos:

Tāpēc ka pāra funkciju integrāļi pa integrācijas segmentu, kas ir simetrisks attiecībā pret nulli, var dubultot, tad atlikušie Furjē koeficienti tiek vienkāršoti.

Par atstarpi:

Patvaļīgam intervālam:

Mācību grāmatu piemēri, ko var atrast gandrīz jebkurā matemātiskās analīzes mācību grāmatā, ietver pāra funkciju izvērsumus . Turklāt manā personīgajā praksē viņi ir sastapušies vairākas reizes:

6. piemērs

Funkcija ir dota. Nepieciešams:

1) izvērsiet funkciju Furjē sērijā ar punktu , kur ir patvaļīgs pozitīvs skaitlis;

2) pierakstiet intervāla izvērsumu, konstruējiet funkciju un grafikā izveidojiet rindas kopējo summu.

Risinājums: pirmajā rindkopā ir ierosināts atrisināt problēmu vispārējs skats, un tas ir ļoti ērti! Ja rodas vajadzība, vienkārši nomainiet savu vērtību.

1) Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods. Laikā turpmākās darbības, jo īpaši integrācijas laikā "el" tiek uzskatīts par konstanti

Funkcija ir vienmērīga, kas nozīmē, ka to var izvērst Furjē sērijā tikai kosinusos: .

Mēs meklējam Furjē koeficientus, izmantojot formulas . Pievērsiet uzmanību to beznosacījuma priekšrocībām. Pirmkārt, integrācija tiek veikta paplašināšanas pozitīvajā segmentā, kas nozīmē, ka mēs droši atbrīvojamies no moduļa , ņemot vērā tikai “X” no diviem gabaliem. Un, otrkārt, integrācija ir ievērojami vienkāršota.

Divi:

Integrēsim pa daļām:

Tādējādi:
, savukārt konstante , kas nav atkarīga no “en”, tiek ņemta ārpus summas.

Atbilde:

2) Šim nolūkam ierakstīsim intervāla paplašinājumu vispārējā formula aizstājējs vēlamo vērtību puscikls:

Periodisku funkciju Furjē rinda ar periodu 2π.

Furjē sērija ļauj mums izpētīt periodiskas funkcijas, sadalot tās komponentos. Raksturīgi ir maiņstrāvas un spriegumi, pārvietojumi, kloķa mehānismu ātrums un paātrinājums un akustiskie viļņi praktiski piemēri periodisko funkciju pielietošana inženiertehniskajos aprēķinos.

Furjē rindas paplašināšana ir balstīta uz pieņēmumu, ka visas praktiski nozīmīgās funkcijas intervālā -π ≤x≤ π var izteikt konverģentu trigonometrisko rindu formā (rindu uzskata par konverģentu, ja daļējo summu secība sastāv no tās vārdiem saplūst):

Standarta (=parastais) apzīmējums caur sinx un cosx summu

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

kur a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ir reālas konstantes, t.i.

Kur diapazonā no -π līdz π Furjē sērijas koeficientus aprēķina, izmantojot formulas:

Tiek izsaukti koeficienti a o , a n un b n Furjē koeficienti, un, ja tos var atrast, tad tiek izsaukta sērija (1). blakus Furjē, kas atbilst funkcijai f(x). Sērijai (1) terminu (a 1 cosx+b 1 sinx) sauc par pirmo vai pamata harmonika,

Vēl viens veids, kā rakstīt sēriju, ir izmantot attiecību acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kur a o ir konstante, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ir dažādu komponentu amplitūdas un ir vienāds ar a n =arctg a n /b n.

Sērijai (1) terminu (a 1 cosx+b 1 sinx) vai c 1 sin(x+α 1) sauc par pirmo vai pamata harmonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) vai c 2 sin(2x+α 2) sauc otrā harmonika un tā tālāk.

Lai precīzi attēlotu sarežģītu signālu, parasti ir nepieciešams bezgalīgs terminu skaits. Tomēr daudzās praktiskās problēmās pietiek ņemt vērā tikai dažus pirmos terminus.

Furjē neperiodisku funkciju rindas ar periodu 2π.

Neperiodisko funkciju paplašināšana.

Ja funkcija f(x) ir neperiodiska, tas nozīmē, ka to nevar izvērst Furjē sērijā visām x vērtībām. Tomēr ir iespējams definēt Furjē sēriju, kas attēlo funkciju jebkurā platuma diapazonā 2π.

Ņemot vērā neperiodisku funkciju, jaunu funkciju var izveidot, atlasot f(x) vērtības noteiktā diapazonā un atkārtojot tās ārpus šī diapazona ar 2π intervāliem. Tā kā jaunā funkcija ir periodiska ar periodu 2π, to var izvērst Furjē sērijā visām x vērtībām. Piemēram, funkcija f(x)=x nav periodiska. Tomēr, ja ir nepieciešams to izvērst Furjē sērijā intervālā no o līdz 2π, tad ārpus šī intervāla tiek konstruēta periodiska funkcija ar periodu 2π (kā parādīts attēlā zemāk).

Neperiodiskām funkcijām, piemēram, f(x)=x, Furjē rindas summa ir vienāda ar f(x) vērtību visos noteiktā diapazona punktos, bet tā nav vienāda ar f(x) punktiem. ārpus diapazona. Lai atrastu neperiodiskas funkcijas Furjē rindu 2π diapazonā, tiek izmantota tā pati Furjē koeficientu formula.

Pāra un nepāra funkcijas.

Viņi saka, ka funkcija y=f(x) pat, ja f(-x)=f(x) visām x vērtībām. Pāra funkciju grafiki vienmēr ir simetriski pret y asi (tas ir, tie ir spoguļattēli). Divi pāra funkciju piemēri: y=x2 un y=cosx.

Viņi saka, ka funkcija y=f(x) dīvaini, ja f(-x)=-f(x) visām x vērtībām. Nepāra funkciju grafiki vienmēr ir simetriski attiecībā uz izcelsmi.

Daudzas funkcijas nav ne pāra, ne nepāra.

Furjē sērijas izplešanās kosinusos.

Pāra periodiskas funkcijas f(x) ar periodu 2π Furjē sērija satur tikai kosinusus (t.i., bez sinusa terminiem) un var ietvert konstantu terminu. Tāpēc

kur ir Furjē sērijas koeficienti,

Furjē sērija nepāra periodiskai funkcijai f(x) ar periodu 2π satur tikai terminus ar sinusiem (tas ir, tajā nav terminu ar kosinusiem).

Tāpēc

kur ir Furjē sērijas koeficienti,

Furjē rinda pusciklā.

Ja funkcija ir definēta diapazonam, piemēram, no 0 līdz π, nevis tikai no 0 līdz 2π, to var izvērst virknē tikai sinusos vai tikai kosinusos. Iegūto Furjē sēriju sauc netālu no Furjē pusciklā.

Ja vēlaties iegūt sadalīšanos Puscikla Furjē pēc kosinusiem funkcijas f(x) diapazonā no 0 līdz π, tad ir jākonstruē pāra periodiska funkcija. Attēlā Zemāk ir funkcija f(x)=x, kas balstīta uz intervālu no x=0 līdz x=π. Tāpēc ka vienmērīga funkcija simetriski ap f(x) asi, novelciet līniju AB, kā parādīts attēlā. zemāk. Ja pieņemam, ka ārpus aplūkotā intervāla iegūtais trīsstūra forma ir periodisks ar periodu 2π, tad galīgais grafiks izskatās, parādīt. attēlā. zemāk. Tā kā mums ir jāiegūst Furjē izplešanās kosinusos, tāpat kā iepriekš, mēs aprēķinām Furjē koeficientus a o un a n

Ja jums ir nepieciešams iegūt Furjē puscikla sinusa izplešanās funkcijas f(x) diapazonā no 0 līdz π, tad ir jākonstruē nepāra periodiska funkcija. Attēlā Zemāk ir funkcija f(x)=x, kas balstīta uz intervālu no x=0 līdz x=π. Tā kā nepāra funkcija ir simetriska attiecībā pret izcelsmi, mēs izveidojam līniju CD, kā parādīts attēlā. Ja pieņemam, ka ārpus apskatāmā intervāla iegūtais zāģa zoba signāls ir periodisks ar periodu 2π, tad galīgajam grafikam ir tāda forma, kā parādīts attēlā. Tā kā mums ir jāiegūst Furjē puscikla izplešanās sinusu izteiksmē, tāpat kā iepriekš, mēs aprēķinām Furjē koeficientu. b

Furjē rindas patvaļīgam intervālam.

Periodiskās funkcijas paplašināšana ar periodu L.

Periodiskā funkcija f(x) atkārtojas, kad x palielinās par L, t.i. f(x+L)=f(x). Pāreja no iepriekš aplūkotajām funkcijām ar periodu 2π uz funkcijām ar periodu L ir diezgan vienkārša, jo to var izdarīt, izmantojot mainīgā lieluma maiņu.

Lai atrastu funkcijas f(x) Furjē sēriju diapazonā -L/2≤x≤L/2, mēs ieviešam jaunu mainīgo u, lai funkcijas f(x) periods attiecībā pret u būtu 2π. Ja u=2πx/L, tad x=-L/2, ja u=-π un x=L/2, ja u=π. Pieņemsim arī f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Furjē sērijai F(u) ir forma

(Integrācijas robežas var aizstāt ar jebkuru L garuma intervālu, piemēram, no 0 līdz L)

Furjē rindas pusciklā funkcijām, kas norādītas intervālā L≠2π.

Aizstāšanai u=πх/L intervāls no x=0 līdz x=L atbilst intervālam no u=0 līdz u=π. Līdz ar to funkciju var izvērst virknē tikai kosinusos vai tikai sinusos, t.i. V Furjē rinda pusciklā.

Kosinusa izvērsumam diapazonā no 0 līdz L ir forma

Pāra periodiskas funkcijas f(x) ar periodu 2p Furjē sērija satur tikai terminus ar kosinusiem (t.i., nesatur terminus ar sinusiem) un var ietvert konstantu terminu. Tāpēc

kur ir Furjē sērijas koeficienti,

Furjē sērijas izplešanās sinusos

Furjē sērija nepāra periodiskai funkcijai f (x) ar periodu 2p satur tikai terminus ar sinusiem (tas ir, tajā nav terminu ar kosinusiem).

Tāpēc

kur ir Furjē sērijas koeficienti,

Furjē rinda pusciklā

Ja funkcija ir definēta diapazonam, piemēram, no 0 līdz p, nevis tikai no 0 līdz 2p, to var izvērst virknē tikai sinusos vai tikai kosinusos. Iegūto Furjē sēriju sauc tuvumā Furjē ieslēgts puscikls

Ja vēlaties iegūt sadalīšanos Furjē ieslēgts puscikls Autors kosinusus funkcijas f (x) diapazonā no 0 līdz p, tad ir jākonstruē pāra periodiska funkcija. Attēlā Zemāk ir funkcija f (x) = x, kas balstīta uz intervālu no x = 0 līdz x = p. Tā kā pāra funkcija ir simetriska pret f (x) asi, mēs novelkam līniju AB, kā parādīts attēlā. zemāk. Ja pieņemam, ka ārpus aplūkotā intervāla iegūtā trīsstūra forma ir periodiska ar periodu 2p, tad galīgais grafiks izskatās šādi: attēlā. zemāk. Tā kā mums ir jāiegūst Furjē izplešanās kosinusos, tāpat kā iepriekš, mēs aprēķinām Furjē koeficientus a o un a n

Ja jums ir nepieciešams iegūt sadalīšanās Furjē ieslēgts puscikls Autors deguna blakusdobumu funkcijas f (x) diapazonā no 0 līdz p, tad ir jākonstruē nepāra periodiska funkcija. Attēlā Zemāk ir funkcija f (x) =x, kas balstīta uz intervālu no x=0 līdz x=p. Tā kā nepāra funkcija ir simetriska attiecībā pret izcelsmi, mēs izveidojam līniju CD, kā parādīts attēlā.

Ja pieņemam, ka ārpus aplūkotā intervāla iegūtais zāģa zoba signāls ir periodisks ar periodu 2p, tad galīgajam grafikam ir tāda forma, kā parādīts attēlā. Tā kā mums ir jāiegūst Furjē puscikla izplešanās sinusu izteiksmē, tāpat kā iepriekš, mēs aprēķinām Furjē koeficientu. b

Furjē rindas ir patvaļīgas funkcijas attēlojums ar noteiktu periodu sērijas formā. Kopumā šo risinājumu sauc par elementa sadalīšanu pa ortogonālu pamatu. Funkciju paplašināšana Furjē sērijās ir diezgan spēcīgs instruments dažādu problēmu risināšanai, pateicoties šīs transformācijas īpašībām integrācijas, diferenciācijas, kā arī izteiksmju maiņas ar argumentu un konvolūciju laikā.

Cilvēks, kurš nepārzina augstāko matemātiku, kā arī franču zinātnieka Furjē darbus, visticamāk, nesapratīs, kas ir šīs “sērijas” un kam tās vajadzīgas. Tikmēr šī transformācija ir kļuvusi diezgan integrēta mūsu dzīvē. To izmanto ne tikai matemātiķi, bet arī fiziķi, ķīmiķi, ārsti, astronomi, seismologi, okeanogrāfi un daudzi citi. Ļaujiet mums arī sīkāk aplūkot izcilā franču zinātnieka darbus, kurš izdarīja atklājumu, kas apsteidza savu laiku.

Cilvēks un Furjē transformācija

Furjē rindas ir viena no metodēm (kopā ar analīzi un citām) Šis process notiek katru reizi, kad cilvēks dzird skaņu. Mūsu auss automātiski veic transformāciju elementārdaļiņas elastīgā vidē ir izkārtotas rindās (pa spektru) secīgas skaļuma līmeņa vērtības dažāda augstuma toņiem. Tālāk smadzenes pārvērš šos datus mums pazīstamās skaņās. Tas viss notiek bez mūsu vēlmes vai apziņas, pats no sevis, taču, lai šos procesus izprastu, būs nepieciešami vairāki gadi, lai apgūtu augstāko matemātiku.

Vairāk par Furjē transformāciju

Furjē transformāciju var veikt, izmantojot analītiskas, skaitliskas un citas metodes. Furjē sērijas attiecas uz jebkādu svārstību procesu sadalīšanas skaitlisko metodi - no okeāna plūdmaiņām un gaismas viļņiem līdz saules (un citu astronomisko objektu) aktivitātes cikliem. Izmantojot šīs matemātiskās metodes, varat analizēt funkcijas, attēlojot visus svārstīgos procesus kā sinusoidālu komponentu virkni, kas pārvietojas no minimuma uz maksimumu un atpakaļ. Furjē transformācija ir funkcija, kas apraksta noteiktai frekvencei atbilstošo sinusoīdu fāzi un amplitūdu. Šo procesu var izmantot, lai atrisinātu ļoti sarežģītus vienādojumus, kas apraksta dinamiskus procesus, kas rodas siltuma, gaismas vai elektriskās enerģijas ietekmē. Tāpat Furjē rindas ļauj izolēt nemainīgus komponentus sarežģītos svārstīgos signālos, ļaujot pareizi interpretēt medicīnā, ķīmijā un astronomijā iegūtos eksperimentālos novērojumus.

Vēsturiska atsauce

Šīs teorijas dibinātājs ir franču matemātiķis Žans Batists Džozefs Furjē. Šī transformācija vēlāk tika nosaukta viņa vārdā. Sākotnēji zinātnieks ar savu metodi pētīja un skaidroja siltumvadītspējas mehānismus – siltuma izplatīšanos iekšā cietvielas. Furjē ierosināja, ka sākotnējo neregulāro sadalījumu var sadalīt vienkāršos sinusoīdos, no kuriem katram būs savs temperatūras minimums un maksimums, kā arī sava fāze. Šajā gadījumā katrs šāds komponents tiks mērīts no minimuma līdz maksimālajam un otrādi. Matemātiskā funkcija, kas apraksta līknes augšējo un apakšējo virsotni, kā arī katras harmonikas fāzi, tiek saukta par temperatūras sadalījuma izteiksmes Furjē transformāciju. Teorijas autors saveda kopā vispārējā funkcija sadalījumu, ko ir grūti aprakstīt matemātiski, līdz ļoti ērtai kosinusa un sinusa rindai, kas kopā dod sākotnējo sadalījumu.

Transformācijas princips un laikabiedru uzskati

Zinātnieka laikabiedri – deviņpadsmitā gadsimta sākuma vadošie matemātiķi – nepieņēma šo teoriju. Galvenais iebildums bija Furjē apgalvojums, ka pārtrauktu funkciju, kas apraksta taisnu līniju vai pārtrauktu līkni, var attēlot kā nepārtrauktu sinusoidālu izteiksmju summu. Kā piemēru apsveriet Heaviside soli: tā vērtība ir nulle pa kreisi no pārtraukuma un viens pa labi. Šī funkcija apraksta elektriskās strāvas atkarību no pagaidu mainīgā, kad ķēde ir aizvērta. Teorijas laikabiedri tajā laikā nekad nebija saskārušies ar līdzīgu situāciju, kad pārtraukta izteiksme tiktu aprakstīta ar nepārtrauktu, parastu funkciju, piemēram, eksponenciāla, sinusa, lineāra vai kvadrātveida, kombināciju.

Kas mulsināja franču matemātiķus Furjē teorijā?

Galu galā, ja matemātiķim bija taisnība savos apgalvojumos, tad, summējot bezgalīgās trigonometriskās Furjē rindas, var iegūt precīzu soļa izteiksmes attēlojumu pat tad, ja tai ir daudz līdzīgu soļu. Deviņpadsmitā gadsimta sākumā šāds apgalvojums šķita absurds. Bet, neskatoties uz visām šaubām, daudzi matemātiķi paplašināja šīs parādības izpētes jomu, pārsniedzot siltumvadītspējas izpēti. Tomēr lielāko daļu zinātnieku turpināja mocīt jautājums: "Vai sinusoidālās rindas summa var saplūst precīza vērtība pārtraukta funkcija?

Furjē rindu konverģence: piemērs

Jautājums par konverģenci rodas ikreiz, kad ir nepieciešams summēt bezgalīgas skaitļu rindas. Lai saprastu šo fenomenu, apsveriet klasisku piemēru. Vai jūs kādreiz varēsit sasniegt sienu, ja katrs nākamais solis būs uz pusi mazāks nekā iepriekšējais? Pieņemsim, ka esat divus metrus no sava mērķa, pirmais solis jūs aizvedīs līdz pusceļa atzīmei, nākamais - līdz trīs ceturtdaļas atzīmei, un pēc piektā jūs būsiet nobraucis gandrīz 97 procentus no ceļa. Tomēr neatkarīgi no tā, cik soļu jūs veicat, jūs nesasniegsiet savu iecerēto mērķi stingrā matemātiskā nozīmē. Izmantojot skaitliskus aprēķinus, var pierādīt, ka galu galā ir iespējams pietuvoties līdz noteiktam attālumam. Šis pierādījums ir līdzvērtīgs pierādīšanai, ka summai puse, viena ceturtdaļa utt. ir tendence uz vienotību.

Konverģences jautājums: otrā atnākšana jeb Lorda Kelvina instruments

Šis jautājums atkal tika izvirzīts deviņpadsmitā gadsimta beigās, kad viņi mēģināja izmantot Furjē sērijas, lai prognozētu plūdmaiņu intensitāti. Šajā laikā lords Kelvins izgudroja ierīci, kas bija analoga skaitļošanas ierīce, kas ļāva militārajiem un tirdzniecības jūras jūrniekiem izsekot šai dabas parādībai. Šis mehānisms noteica fāžu un amplitūdu kopas no plūdmaiņu augstuma un atbilstošo laika punktu tabulas, kas tika rūpīgi mērītas noteiktā ostā visa gada garumā. Katrs parametrs bija plūdmaiņas augstuma izteiksmes sinusoidāls komponents un viens no parastajiem komponentiem. Mērījumi tika ievadīti Lorda Kelvina aprēķina instrumentā, kas sintezēja līkni, kas paredzēja ūdens augstumu kā laika funkciju nākamajam gadam. Ļoti drīz līdzīgas līknes tika sastādītas visām pasaules ostām.

Ko darīt, ja procesu traucē pārtraukta funkcija?

Tolaik šķita pašsaprotami, ka paisuma viļņu prognozētājs ar lielu skaitu skaitīšanas elementu var aprēķināt lielu skaitu fāžu un amplitūdu un tādējādi sniegt precīzākas prognozes. Tomēr izrādījās, ka šis modelis netiek novērots gadījumos, kad sintezējamā paisuma izteiksme saturēja asu lēcienu, tas ir, tas bija pārtraukts. Ja ierīcē tiek ievadīti dati no laika momentu tabulas, tā aprēķina vairākus Furjē koeficientus. Sākotnējā funkcija tiek atjaunota, pateicoties sinusoidālajiem komponentiem (saskaņā ar atrastajiem koeficientiem). Atšķirību starp sākotnējo un rekonstruēto izteiksmi var izmērīt jebkurā punktā. Veicot atkārtotus aprēķinus un salīdzinājumus, ir skaidrs, ka lielākās kļūdas vērtība nesamazinās. Tomēr tie ir lokalizēti reģionā, kas atbilst pārtraukuma punktam, un jebkurā citā punktā tiem ir tendence uz nulli. 1899. gadā šo rezultātu teorētiski apstiprināja Džošua Vilards Gibss no Jēlas universitātes.

Furjē rindu konverģence un matemātikas attīstība kopumā

Furjē analīze nav piemērojama izteiksmēm, kas satur bezgalīgu skaitu smailes noteiktā intervālā. Kopumā Furjē sērija, ja sākotnējo funkciju attēlo reālās funkcijas rezultāts fiziskā dimensija, vienmēr saplūst. Jautājumi par šī procesa konverģenci konkrētām funkciju klasēm noveda pie jaunu nozaru rašanās matemātikā, piemēram, vispārināto funkciju teorijā. Viņa ir saistīta ar tādiem vārdiem kā L. Švarcs, J. Mikusinskis un J. Templs. Šīs teorijas ietvaros skaidri un precīzi teorētiskā bāze ar tādiem izteicieniem kā Diraka delta funkcija (tā apraksta viena apgabala reģionu, kas koncentrēts bezgalīgi mazā punkta apkārtnē) un Heaviside “solis”. Pateicoties šim darbam, Furjē sērija kļuva piemērojama vienādojumu un problēmu risināšanai, kas ietver intuitīvus jēdzienus: punktveida lādiņš, punktveida masa, magnētiskie dipoli un koncentrēta slodze uz staru kūli.

Furjē metode

Furjē sērijas saskaņā ar traucējumu principiem sākas ar sarežģītu formu sadalīšanu vienkāršākos. Piemēram, siltuma plūsmas izmaiņas ir izskaidrojamas ar tās iziešanu cauri dažādiem šķēršļiem, kas izgatavoti no neregulāras formas siltumizolācijas materiāla vai zemes virsmas izmaiņām - zemestrīci, orbītas izmaiņām. debess ķermenis- planētu ietekme. Parasti šādus vienādojumus, kas apraksta vienkāršas klasiskās sistēmas, var viegli atrisināt katram atsevišķam vilnim. Furjē to parādīja vienkāršus risinājumus var arī summēt, lai iegūtu risinājumus sarežģītākām problēmām. Matemātiskā izteiksmē Furjē rindas ir paņēmiens izteiksmes attēlošanai kā harmoniku - kosinusa un sinusa - summa. Tāpēc šī analīze pazīstams arī kā harmoniku analīze.

Furjē sērija - ideāls paņēmiens pirms "datoru laikmeta"

Pirms radīšanas datortehnika Furjē tehnika bija labākais ierocis zinātnieku arsenālā, strādājot ar mūsu pasaules viļņu dabu. Furjē sērija sarežģīta formaļauj izlemt ne tikai vienkāršus uzdevumus, kas ir piemēroti Ņūtona mehānikas likumu tiešai piemērošanai, kā arī fundamentālo vienādojumu. Lielākā daļa Ņūtona zinātnes atklājumu deviņpadsmitajā gadsimtā bija iespējami tikai Furjē tehnikas dēļ.

Furjē sērija šodien

Attīstoties datoriem, Furjē transformācijas ir pacēlušās kvalitatīvi jaunā līmenī. Šī tehnika ir stingri nostiprināta gandrīz visās zinātnes un tehnoloģiju jomās. Piemērs ir digitālais audio un video. Tās īstenošana kļuva iespējama tikai pateicoties teorijai, ko deviņpadsmitā gadsimta sākumā izstrādāja franču matemātiķis. Tādējādi Furjē sērija sarežģītā formā ļāva veikt izrāvienu kosmosa izpētē. Turklāt tas ietekmēja pusvadītāju materiālu un plazmas fizikas izpēti, mikroviļņu akustiku, okeanogrāfiju, radaru un seismoloģiju.

Trigonometriskā Furjē sērija

Matemātikā Furjē rinda ir veids, kā attēlot patvaļīgu sarežģītas funkcijas vienkāršāku summa. IN vispārīgi gadījumišādu izteiksmju skaits var būt bezgalīgs. Turklāt, jo vairāk to skaits tiek ņemts vērā aprēķinā, jo precīzāks ir gala rezultāts. Visbiežāk kā vienkāršākās tiek izmantotas kosinusa vai sinusa trigonometriskās funkcijas. Šajā gadījumā Furjē rindas sauc par trigonometriskām, un šādu izteiksmju risinājumu sauc par harmonisko izplešanos. Šī metode spēlē svarīga loma matemātikā. Pirmkārt, trigonometriskā sērija ir līdzeklis funkciju attēlošanai un arī pētīšanai, tā ir teorijas galvenais aparāts. Turklāt tas ļauj atrisināt vairākas problēmas matemātiskajā fizikā. Visbeidzot, šī teorija veicināja vairāku ļoti svarīgu matemātikas zinātnes nozaru attīstību (integrāļu teorija, periodisko funkciju teorija). Turklāt tas kalpoja kā sākumpunkts turpmāko reālā mainīgā funkciju izstrādei, kā arī lika pamatu harmoniku analīzei.