2. NODARBĪBA
2.1. OTRĀ RĪKOJUMA NOTEIKTĀJI
Otrās kārtas noteicējs(atbilst šai matricai
) sauc par numuru 
1. piemērs: Aprēķināsim matricas determinantu
2. piemērs. Aprēķiniet otrās kārtas determinantus:
2(-4)
- 5(-3) = -8 + 15 = 7
=
2.2. TREŠĀS LĪDZEKĻA NOTEIKŠANAS DARBĪBAS
Dota trešās kārtas kvadrātveida matrica:
A=
Trešās kārtas determinants (vai determinants). kas atbilst dotajai matricai, ir skaitlis
detA =
=
3. piemērs
Pirmais risinājums:
Formula ir gara, un neuzmanības dēļ ir viegli kļūdīties. Kā izvairīties no kaitinošām kļūdām? Šim nolūkam tika izgudrota otrā determinanta aprēķināšanas metode, kas faktiski sakrīt ar pirmo. To sauc par Sarrus metodi vai “paralēlo sloksņu” metodi. Apakšējā līnija ir tāda, ka pa labi no determinanta piešķiriet pirmo un otro kolonnu un uzmanīgi zīmējiet līnijas ar zīmuli:
Reizinātāji, kas atrodas uz “sarkanajām” diagonālēm, ir iekļauti formulā ar “plus” zīmi. Reizinātāji, kas atrodas uz “zilajām” diagonālēm, formulā ir iekļauti ar mīnusa zīmi:
3. piemērs
Otrais risinājums:
Salīdziniet abus risinājumus. Ir viegli saprast, ka tas ir TAS PATS, tikai otrajā gadījumā formulas faktori ir nedaudz pārkārtoti, un, pats galvenais, iespēja kļūdīties ir daudz mazāka.
4. piemērs
Aprēķiniet trešās kārtas determinantu:
5. piemērs
Aprēķināt trešās kārtas determinantu
PRAKTIKA 2
UZDEVUMS N 1
, Tas…
Risinājums:
Tas
Pēc nosacījuma 
, Tad
UZDEVUMS N 2Tēma: Otrās kārtas determinanti Ja otrās kārtas noteicējs
, Tas…
Risinājums:
Mūsu gadījumā mums ir
Pēc nosacījuma 
, Tad
UZDEVUMS N 3
Tēma: Otrās kārtas determinanti Ja otrās kārtas noteicējs
, Tas…
Risinājums: Tā kā otrās kārtas determinants ir vienāds ar skaitli, kas iegūts ar noteikumu:
Tas
Pēc nosacījuma 
, Tad
UZDEVUMS N 4Tēma: Otrās kārtas determinanti Ja determinants ir otrās kārtas, tad...
Risinājums: Atgādinām, ka otrās kārtas determinants ir vienāds ar skaitli, kas iegūts ar noteikumu:
Mūsu gadījumā mums ir
Pēc nosacījuma 
, Tad
UZDEVUMS N 5Tēma: Trešās kārtas noteicošie faktori Trešās kārtas determinanta vērtību var aprēķināt, izmantojot "trijstūra likumu", kas shematiski norādīts attēlos. 
Tad noteicošais ir...
Risinājums:
UZDEVUMS N 6
Tēma: Trešās kārtas noteicošie faktori Trešās kārtas determinanta vērtību var aprēķināt, izmantojot "trijstūra likumu", kas shematiski norādīts attēlos. 
Tad noteicošais ir...
Risinājums: Trešās kārtas determinants vienāds ar summu seši termini, no kuriem trīs ir ņemti ar “+” zīmi un trīs ar “−” zīmi. Noteikums terminu aprēķināšanai ar “+” zīmi shematiski parādīts attēlā. 1. Viens no vārdiem ir vienāds ar determinanta elementu reizinājumu, kas atrodas uz galvenās diagonāles. Katrs no pārējiem diviem tiek atrasts kā elementu reizinājums, kas atrodas paralēli šai diagonālei, pievienojot trešo faktoru no determinanta pretējā stūra. Termini ar “−” zīmi tiek iegūti tādā pašā veidā, bet attiecībā pret otro diagonāli (2. att.). Tad
PATSTĀVĪGS DARBS 2
UZDEVUMS N 1Tēma: Otrās kārtas determinanti Ja otrās kārtas noteicējs 
, Tas…
2. lekcija.kvalifikācijas
Otrās kārtas noteicošie faktori
Trešās kārtas noteicošie faktori
Algebriskie papildinājumi un nepilngadīgie
Determinanta paplašināšana pēc rindas vai kolonnas
Determinantu īpašības
apgrieztā matrica
Apgrieztās matricas īpašības
1. Otrās kārtas determinanti
Tiek ieviests determinanta jēdziens tikai kvadrātveida matricai.
Noteicējs ir skaitlis, kas tiek aprēķināts saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Noteicošā secība ir kvadrātveida matricas secība. Ja matricu precizēšanai tika izmantotas apaļās iekavas, tad determinantu teorijā tiek izmantotas taisnās iekavas.
Saistīsim katru kvadrātmatricu ar noteiktu skaitli, ko mēs sauksim matricas noteicējs, un norāda tā aprēķināšanas noteikumu. Apzīmējumi :
.
1. piemērs.
.
2. Trešās kārtas determinanti
Katrs produkts nesatur skaitļus no vienas kolonnas vai vienas rindas.
Dosim diagrammu, kā atcerēties terminu iegūšanas secību determinantā.
Skaitļu reizinājums uz vienas diagonāles tiek ņemts ar zīmi “+” (tā ir matricas galvenā diagonāle), bet otrā – ar pretējo zīmi.
2. piemērs.
3. Algebriskie papildinājumi un nepilngadīgie
Lai aprēķinātu determinantus, kuru secība ir lielāka par trim, tiek izmantotas citas aprēķina metodes.
3. piemērs. Nepilngadīga 
noteicējs 
Tur ir.
.
Ir lietderīgi to atcerēties 
Un 
.
4. piemērs. 3. piemērā algebriskā saskaitīšana
4. Determinanta paplašināšana rindā vai kolonnā
Determinanta aprēķins 
secību var reducēt līdz secības noteicošo faktoru aprēķināšanai 
izmantojot šādas formulas.
Šis skaitlis ir vienāds ar produktu summu elementi jebkura
th līnijas ieslēgtas to algebriskie papildinājumi.
5. piemērs. Aprēķināt trešās kārtas determinantu 
izplešanās pa pirmo rindu.
Risinājums
Šis skaitlis ir vienāds ar jebkura elementa reizinājumu summu 
kolonnā par tiem algebriskie papildinājumi.
Neatkarīgi no sadalīšanas metodes vienmēr tiek iegūta viena un tā pati atbilde.
5. Determinantu īpašības
1.
Transponējot kvadrātveida matricu
tā noteicošais faktors nemainās: 
.
Secinājums. Rindām formulēto determinantu īpašības ir derīgas arī kolonnām.
2.
Pārkārtojot divas stīgas
(kolonnas) determinants maina zīmi uz pretējo. Piemēram, 
.
3. Determinants ir nulle , Ja:
a) tajā ir nulles rinda (kolonna) 
;
b) tajā ir proporcionālas (identiskas) rindas (kolonnas) 
.
4.
Kopējais faktors rindā (kolonnā)
var izņemt kā noteicošo zīmi. Piemēram, 
.
5. Noteicējs nemainās , ja rindas elementiem pievieno (atņem) atbilstošos citas rindas elementus, kas reizināti ar jebkuru skaitli.
Piemēram, 
.
6. Ja noteicējā ik rindas elements ir summa divi termini, tad šis determinants ir vienāds ar divu determinantu summu:
.
7. Divu kvadrātveida matricu reizinājuma determinants tādā pašā secībā ir vienāds ar šo matricu determinantu reizinājumu:
.
8. Kvadrātveida trīsstūra matricas determinants vienāds ar elementu reizinājumu galvenajā diagonālē:
.
6. Apgrieztā matrica
Matricas dalīšanas operācijas vietā tiek ieviests jēdziens apgrieztā matrica.
Apzīmē ar apgriezto matricu
,
tas ir .
Līdzība ar skaitļiem ir acīmredzama: skaitlim 2 skaitlis ½ ir apgriezts, jo 
. Tāpēc tiek apzīmēta A apgrieztā matrica
.
Teorēma “Nepieciešams un pietiekams pastāvēšanas nosacījums apgrieztā matrica».
Lai kvadrātveida matrica 
bija apgrieztā matrica 
, ir nepieciešams un pietiekams, ka matricas determinants 
nebija vienāds ar nulli.
Noteikums apgrieztās matricas atrašanai
0) Apskatīsim, vai matrica ir kvadrātveida. Ja nē, tad apgrieztā matrica neeksistē; ja tas ir kvadrāts, pārejiet uz 1. darbību.
1)
Matricas determinanta aprēķināšana 
: ja tā nav nulle, tad pastāv apgrieztā matrica: 
;
ja vienāds ar nulli, tad apgrieztās matricas nav.
2)
Katram matricas elementam 
mēs aprēķinām tā algebrisko papildinājumu 
.
3)
Mēs veidojam algebrisko papildinājumu matricu, ko pēc tam transponējam: 
.
4)
Katrs matricas elements 
dalīt ar determinantu 
:
Mēs iegūstam šīs matricas apgriezto vērtību.
7. Apgrieztās matricas atrašana otrās kārtas matricām
6. piemērs. Dota matrica 
. Atrodiet apgriezto matricu.
Risinājums.
Pārbaude. Pārliecināsimies, ka apgrieztā matrica tiešām ir atrasta. Atradīsim matricu reizinājumu 
Un 
.
8. Apgrieztās matricas īpašības
1.
,
kur A un B ir tādas pašas kārtas nevienskaitļa kvadrātveida matricas.
2.
.
3.
.
4.
.
Kontroles jautājumi
Kas ir otrās kārtas determinants?
Kā aprēķināt trešās kārtas determinantu?
Kā aprēķināt 3. kārtas determinantu, izmantojot trijstūra noteikumu?
Kāds ir determinanta elementa algebriskais papildinājums? Sniedziet piemērus 2. un 3. kārtas determinantiem.
Uzrakstiet trešās kārtas determinanta paplašinājumus virs patvaļīgas rindas un patvaļīgas kolonnas elementiem.
Praktiskā nodarbība
Temats: Determinantu aprēķins.
Mērķi: h stiprināt determinantu jēdzienus un to īpašības, veidot un nostiprināt prasmes un iemaņas aprēķina 2. un 3. kārtas determinantus; attīstīt prasmi apkopot iegūtās zināšanas, veikt analīzi un salīdzinājumus, veicināt attīstību loģiskā domāšana; audzināt skolēnos apzinātu attieksmi pret mācību procesu.
I. Vispārīgie teorētiskie principi
Otrās kārtas determinants ir skaitlis
Trešās kārtas determinants ir skaitlis
Determinantu īpašības
1. īpašums.
Noteicošais faktors nemainīsies, ja visas rindas tiks aizstātas ar atbilstošajām kolonnām un otrādi.
2. īpašums.
Kad tiek apmainītas jebkuras divas rindas vai kolonnas, determinants maina zīmi.
3. īpašums.
Determinants ir vienāds ar nulli, ja tam ir divas vienādas rindas (kolonnas).
4. īpašums.
No noteicošās zīmes var izņemt reizinātāju, kas ir kopīgs visiem rindas vai kolonnas elementiem.
5. īpašums.
Ja rindas vai kolonnas elementiem tiek pievienoti atbilstošie citas rindas vai kolonnas elementi, determinants nemainīsies.
Secinājums no 4. un 5. rekvizīta: ja rindas vai kolonnas elementiem pievienojat atbilstošos citas rindas vai kolonnas elementus, kas reizināti ar noteiktu skaitli, determinants nemainīsies.
1. Sniedziet matricas definīciju.
2. Ko nozīmē simbols? 
?
3. Kuru matricu sauc par transponētu attiecībā pret matricu A?
4. Kādu matricu sauc par n kārtas kvadrātu?
5. Definējiet 2. kārtas determinantu.
6. Definējiet 3. kārtas determinantu.
7. Kas ir transponētās matricas determinants?
8. Kā mainīsies determinanta vērtība, ja matricā tiks apmainītas 2 rindas (kolonnas)?
9. Vai no noteicošās zīmes var izņemt rindas vai kolonnas kopējo koeficientu?
10. Kas ir determinants, ja visi noteiktas rindas (kolonnas) elementi ir vienādi ar 0?
11. Ar ko vienāds determinants, ja tam ir divas identiskas rindas (kolonnas)?
12. Formulējiet noteikumu 2. kārtas determinanta aprēķināšanai.
13. Formulējiet noteikumu 3. kārtas determinanta aprēķināšanai.
II . Prasmju un iemaņu veidošanās.
1. piemērs. Jūs numurējat noteicēju : a) pēc trijstūra likuma b) pēc Sarrusa likuma;
c) ar paplašināšanas metodi ar pirmās rindas elementiem
Risinājums:
b) pievienojiet pirmās divas kolonnas un aprēķiniet trīs elementu reizinājumu pa galveno diagonāli un paralēli tai ar zīmi (+), un pēc tam pa sekundāro diagonāli un paralēli tai ar zīmi (-):
mēs iegūstam:
2. piemērs. Aprēķināt determinantu 
divos veidos: izmantojot pirmās rindas izvēršanu un trīsstūra noteikumu.
Risinājums:
3. piemērs. Aprēķiniet determinantu, izmantojot īpašības: 
III .Izpētītā materiāla pastiprināšana.
Nr.1. Aprēķināt determinantus:
№ 2. Atrisiniet vienādojumus: 
Nr. 4. Aprēķiniet determinantus, izmantojot īpašības:
1
. 
. 2. 
. 3. 
. 4
. 
.
Literatūra
1. Pismenny, D. T. Lekciju piezīmes par augstāko matemātiku: pilnīgs D. T. Pismenny kurss. – 9. izd. – M.: Iris-press, 2009. 608 lpp.: ill. – ( Augstākā izglītība).
2. Lungu, K. N. Augstākās matemātikas uzdevumu krājums. 1. gads / K. N. Lungu, D. T. Pismenny, S. N. Fedin, Yu A. Shevchenko. – 7. izd. – M.: Iris-press, 2008. 576 lpp.: – (Augstākā izglītība).
Praksē pētniekam bieži nākas saskarties ar nezināmiem lielumiem, kas ir savstarpēji saistīti ar noteiktām iepriekš noteiktām atkarībām, kuras var izteikt ar jebkādām formulām. Ja ir izpildīti vairāki nosacījumi:
- koeficienti formulās ir nemainīgi,
- nezināmie ir iekļauti formulās tikai līdz pirmajai pakāpei,
- starp pašiem nezināmajiem nav darbu,
tad šādas atkarības sauc par lineārām.
Piemērs. Laboratorijā 10 paraugu kopējais svars ir 280 g. Noskaidrojiet viena parauga vidējo svaru, ja konteiners sver 15 g.
Risinājums. Lai atbildētu uz jautājumu, mēs izmantosim vienkāršu vienādojumu:
ar x apzīmējot viena parauga vidējo svaru. Sastādītā vienādojuma risinājums būs 26,5 g.
Piemērs. Laboratorijā 10 paraugi, kas saņemti no 1. nodaļas, un 10 paraugi, kas saņemti no 2. nodaļas, ir ar kopējo svaru 280 g, un 5 paraugi no pirmā komplekta un 2 paraugi no otrā komplekta ir 128 g paraugu vidējais svars katrā komplektā.
Risinājums. Lai atbildētu uz jautājumu, izveidosim divus vienādojumus, kas ar x apzīmē 1. iežu parauga vidējo svaru un ar y apzīmē 2. iežu parauga vidējo svaru,
10x+10y=280; 5x+2y=128,
risinot kuru kopā, iegūstam x=24 g; y = 4 g.
Abos aplūkotajos piemēros mums bija darīšana ar lineārās atkarības: pirmajā gadījumā – ar lineāro vienādojums, bet otrajā – ar lineāro vienādojumu sistēma.
Aizstāsim koeficientus ar burtiem un iegūsim lineārā sistēma vienādojumi:
1. definīcija. Matrica mēs sauksim jebkuru taisnstūra tabulu, kas sastāv no skaitļiem a ij
2. definīcija. Elementi a ij no kuriem sastāv matrica, sauc par šīs matricas elementiem
3. definīcija. Otrās kārtas noteicējs vai noteicējs, atbilst matricai (1.2) zvanīsim uz numuru D tāds, ka
| (1.3) |
Determinants tiek apzīmēts ar burtiem D vai un rakstīts
Jāņem vērā, ka, lai gan determinants ir skaitlis, pēc definīcijas 3, bet līdz tā vērtība nav atrasta vienskaitļa skaitļa formā (izmantojot formulu 1.2 vai kādu citu derīgu metodi), to raksta tabulas veidā. Tad mēs varam teikt, piemēram, par rindu vai kolonnu pārkārtošanu šajā tabulā. Šajā gadījumā jāsaka "determinants, kas atbilst matricai". Bet praksē parasti šīs frāzes otro daļu vienkāršības labad izlaiž, un tad paliek tikai viens vārds - noteicējs. Lai atšķirtu, kas ir domāts - pats determinants tabulas veidā vai tā atrastā vērtība, otrajā gadījumā tiek lietots vārds determinants. Tāpēc, ja viņi saka, piemēram, “rindu skaits determinantā...”, tad ar to tiek domāts determinants, kas atbilst matricai, bet vēl nav aprēķināts vienam skaitlim. Un, ja viņi saka, ka noteicošais, tas nozīmē, ka šis noteicējs ir pārstāvēts vienskaitlis, ko aprēķina vai nu pēc formulas, vai kādā citā pieņemamā veidā.
Piemērs. Dota vienādojumu sistēma
Sastādiet sistēmas matricu un aprēķiniet determinantu.
Risinājums. No sistēmas koeficienti izveidosim matricu: 
un tam atbilstošais determinants 
Veiksim aprēķinus, izmantojot formulu (2), iegūstam
4. definīcija. Tiek izsaukts determinantā esošo rindu (vai kolonnu) skaits pēc noteicēja rīkojuma
Piemērā tika aprēķināts otrās kārtas determinants.
Determinantiem ir šādas īpašības.
1. īpašums. Noteicošais faktors nemainīsies, ja tā rindas tiks aizstātas ar kolonnām un otrādi.
Parādīsim to. Dots otrās kārtas determinants
Aizstāsim rindas ar kolonnām un vēlreiz aprēķināsim iegūto determinantu
Salīdzinot D ar D *, mēs redzam, ka D = D * .
5. definīcija. Darbību rindu aizstāšanai ar kolonnām (vai otrādi) determinantā sauc par transponēšanu.
2. īpašums. Pārkārtojot divas rindas vai kolonnas, determinants maina savu zīmi.
Mēs pārbaudīsim šo īpašību, izmantojot piemēru, tāpat kā 1. īpašībai. Ļaujiet determinants ir dots
Apmainīsim tajā esošās kolonnas un aprēķināsim iegūto determinantu.
Salīdzinot rezultātus, mēs esam pārliecināti, ka noteicējs patiešām ir mainījis savu zīmi. Tagad apmainīsim rindas un vēlreiz pārbaudīsim šī īpašuma derīgumu.
Noteicējs kvadrātveida matrica ir skaitlis, ko aprēķina šādi:
a) Ja kvadrātveida matricas secība ir 1, t.i. tas sastāv no 1 skaitļa, tad determinants ir vienāds ar šo skaitli;
b) Ja kvadrātmatricas secība ir 2, t.i. tas sastāv no 4 skaitļiem, tad determinants ir vienāds ar starpību starp galvenās diagonāles elementu reizinājumu un sekundārās diagonāles elementu reizinājumu;
c) Ja kvadrātmatricas secība ir 3, t.i. tas sastāv no 9 skaitļiem, tad determinants ir vienāds ar galvenās diagonāles un divu šai diagonālei paralēlu trijstūru elementu reizinājumu summu, no kuriem sekundārās diagonāles un divu paralēlu trīsstūru elementu reizinājumu summa no šīs diagonāles tiek atņemta.
Piemēri
Determinantu īpašības
1. Determinants nemainīsies, ja rindas tiks aizstātas ar kolonnām un kolonnas ar rindām.
- Determinants, kuram ir 2 identiskas sērijas, ir vienāds ar nulli
- Jebkuras determinanta rindas (rindas vai kolonnas) kopējo faktoru var izņemt no determinanta zīmes
4. Pārkārtojot divas paralēlas sērijas, determinants maina zīmi uz pretējo
5. Ja jebkuras determinanta sērijas elementi ir divu terminu summas, tad determinantu var izvērst par divu atbilstošu determinantu summu.
6. Determinants nemainīsies, ja vienas sērijas elementiem pievienos atbilstošos paralēlās sērijas elementus, reizinot ar jebkuru skaitli.
Determinanta mazais elements un tā algebriskais papildinājums
Neliels elements a IJ n-tās kārtas determinants ir n-1 kārtas determinants, kas iegūts no sākotnējā, izsvītrojot i-to rindu un j-to kolonnu
Elementa a IJ algebriskais papildinājums determinants ir tā minors, kas reizināts ar (-1) i+ j
Piemērs
apgrieztā matrica
Matricu sauc nedeģenerēts, ja tā determinants nav vienāds ar nulli, pretējā gadījumā matricu sauc par vienskaitli
Matricu sauc savienība, ja tas sastāv no atbilstošajiem algebriskajiem papildinājumiem un ir transponēts
Matricu sauc otrādi uz doto matricu, ja to reizinājums ir vienāds ar tādas pašas kārtas identitātes matricu kā dotā matrica
Teorēma par apgrieztās matricas esamību
Jebkurai nevienskaitļa matricai ir apgrieztā vērtība, kas vienāda ar savienības matricu, kas dalīta ar šīs matricas determinantu
Algoritms apgrieztās matricas A atrašanai
- Aprēķināt determinantu
- Transponēt matricu
- Izveidojiet savienības matricu, aprēķiniet visus transponētās matricas algebriskos papildinājumus
- Izmantojiet formulu:
Matrix minor ir determinants, kas sastāv no elementiem, kas atrodas atlasīto k rindu un k kolonnu krustpunktā noteiktai matricai ar izmēru mxn
Matricas rangs ir matricas minora augstākā pakāpe, kas nav nulle
Apzīmējums r(A), rangA
Rangs ir vienāds ar soļu matricas rindu skaitu, kas nav nulle.
Piemērs
Sistēmas lineārie vienādojumi.
Lineāru vienādojumu sistēmu, kas satur m vienādojumus un n nezināmo, sauc par formas sistēmu
kur ir cipari a IJ - sistēmas koeficienti, skaitļi b i - brīvie termini
Matricas ierakstīšanas forma lineāro vienādojumu sistēmas
Sistēmas risinājums Tiek izsauktas n vērtības nezināmajiem c 1, c 2,…, c n, aizvietojot tos sistēmā, visi sistēmas vienādojumi pārvēršas patiesās vienādībās. Sistēmas risinājumu var uzrakstīt kā kolonnu vektoru.
Vienādojumu sistēmu sauc locītavu, ja tam ir vismaz viens risinājums, un nav locītavu, ja nav risinājumu.
Kronekera-Kapella teorēma
LU sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu
LU sistēmas risināšanas metodes
1. Gausa metode(izmantojot elementāras transformācijas, samazināt paplašināto matricu uz soļu matricu un pēc tam uz kanonisku)
Elementārajās transformācijās ietilpst:
Rindu (kolonnu) pārkārtošana
Vienai rindai (kolonnai) pievienojot citu, reizinot ar skaitli, kas nav 0.
Izveidosim paplašinātu matricu:
Izvēlēsimies vadošo elementu pirmajā kolonnā un pirmajā rindā, elementu 1. un nosauksim to par vadošo. Rinda, kurā ir vadošais elements, nemainīsies. Atiestatīsim elementus zem galvenās diagonāles. Lai to izdarītu, pievienojiet pirmo rindiņu otrajai rindai, reizinot ar (-2). Pievienojiet pirmo rindiņu trešajai rindai, reizinot ar (-1), iegūstam:
Apmainīsim otro un trešo rindu. Garīgi izsvītrojiet pirmo kolonnu un pirmo rindu un turpiniet atlikušās matricas algoritmu. Trešajai rindai pievienojam 2., kas reizināts ar 5.
Mēs izveidojām paplašināto matricu pakāpju formā. Atgriežoties pie sistēmas vienādojumiem, sākot no pēdējās rindas un virzoties uz augšu, nezināmos nosaka pa vienam.
2. Matricas metode (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; matrica apgriezta galvenajai matricai, kas reizināta ar brīvo terminu kolonnu)
3. Krāmera metode.
Sistēmas risinājums tiek atrasts pēc formulas:
Kur ir modificētās galvenās matricas determinants, kurā i-tā kolonna ir mainīta uz brīvo terminu kolonnu, un ir galvenais determinants, kas sastāv no nezināmo koeficientiem.
Vektori.
Vektors ir virzīts segments
Jebkurš vektors ir norādīts pēc garuma (modulis) un virziena.
Apzīmējums: vai
kur A ir vektora sākums, B ir vektora beigas un ir vektora garums.
Vektoru klasifikācija
Nulles vektors ir vektors, kura garums ir nulle
Vienības vektors ir vektors, kura garums ir vienāds ar vienu
Vienlīdzīgi vektori– tie ir divi vektori, kuriem ir vienāds garums un virziens
Pretēji vektori– tie ir divi vektori, kuru garumi ir vienādi un virzieni pretēji
Kolineārie vektori– tie ir divi vektori, kas atrodas uz vienas taisnes vai uz paralēlām taisnēm
Līdzvirziena vektori ir divi kolineāri vektori ar vienādu virzienu
Pretēji virzīts vektori ir divi kolineāri vektori ar pretējiem virzieniem
Kopplanārs vektori ir trīs vektori, kas atrodas vienā plaknē vai paralēlās plaknēs
Taisnstūra sistēma koordinātas plaknē ir divas savstarpēji perpendikulāras līnijas ar izvēlētu virzienu un sākumu, ar horizontālo līniju, ko sauc par abscisu asi, un vertikālo līniju sauc par ordinātu asi
Katram punktam taisnstūra koordinātu sistēmā mēs piešķiram divus skaitļus: abscisu un ordinātu
Taisnstūra sistēma koordinātas telpā ir trīs savstarpēji perpendikulāras taisnes ar izvēlētu virzienu un sākumu, savukārt horizontālo taisni, kas vērsta pret mums, sauc par abscisu asi, horizontālo taisni, kas vērsta pa labi no mums, ir ordinātu ass, bet vertikālo taisni. vērstu uz augšu sauc par aplikācijas asi
Katram punktam taisnstūra koordinātu sistēmā mēs piešķiram trīs skaitļus: abscisu, ordinātu un aplikāciju.
