Lekcja na temat: „Standardowa forma jednomianu. Definicja. Przykłady”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Podręcznik elektroniczny „Zrozumiała Geometria” dla klas 7-9
Podręcznik multimedialny „Geometria w 10 minut” dla klas 7-9
Jednomian. Definicja
Jednomian jest wyrażeniem matematycznym będącym iloczynem czynnika pierwszego i jednej lub większej liczby zmiennych.Jednomiany obejmują wszystkie liczby, zmienne, ich potęgi z wykładnikiem naturalnym:
42; 3; 0; 6 2 ; 2 3 ; b3; topór 4; 4x 3 ; 5a 2 ; 12xyz 3 .
Dość często trudno jest określić, czy dane wyrażenie matematyczne odnosi się do jednomianu, czy nie. Na przykład $\frac(4a^3)(5)$. Czy to jest jednomian czy nie? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy uprościć wyrażenie, tj. występuje w postaci: $\frac(4)(5)*a^3$.
Możemy z całą pewnością powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem.
Standardowa forma jednomianu
Podczas obliczeń pożądane jest zmniejszenie jednomianu do standardowy widok. Jest to najbardziej zwięzły i zrozumiały zapis jednomianu.Procedura redukcji jednomianu do postaci standardowej jest następująca:
1. Pomnóż współczynniki jednomianu (lub współczynniki numeryczne) i umieść wynikowy wynik na pierwszym miejscu.
2. Wybierz wszystkie potęgi o tej samej podstawie i pomnóż je.
3. Powtórz punkt 2 dla wszystkich zmiennych.
Przykłady.
I. Sprowadź podany jednomian $3x^2zy^3*5y^2z^4$ do postaci standardowej.
Rozwiązanie.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Teraz przedstawiamy podobne terminy $15x^2y^5z^5$.
II. Sprowadź podany jednomian $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ do postaci standardowej.
Rozwiązanie.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Teraz przedstawimy podobne terminy $\frac(10)(7)a^5b^5c$.
W tej lekcji podamy ścisłą definicję jednomianu i przyjrzymy się różnym przykładom z podręcznika. Przypomnijmy sobie zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie. Zdefiniujmy standardową formę jednomianu, współczynnik jednomianu i jego część literową. Rozważmy dwie główne typowe operacje na jednomianach, a mianowicie redukcję do postaci standardowej i obliczenie określonej wartości liczbowej jednomianu dla danych wartości zawartych w nim zmiennych dosłownych. Sformułujmy regułę redukcji jednomianu do postaci standardowej. Nauczmy się rozwiązywać typowe zadania z dowolnymi jednomianami.
Temat:Jednomiany. Działania arytmetyczne na jednomianach
Lekcja:Pojęcie jednomianu. Standardowa forma jednomianu
Rozważ kilka przykładów:
3. 
;
Znajdziemy wspólne cechy dla podanych wyrażeń. We wszystkich trzech przypadkach wyrażenie jest iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do potęgi. Na tej podstawie dajemy definicja jednomianu : jednomian nazywa się mniej więcej tak wyrażenie algebraiczne, który składa się z iloczynu potęg i liczb.
Teraz podajemy przykłady wyrażeń, które nie są jednomianami:
Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi. Polega to na tym, że w przykładach 4-7 występują operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia, natomiast w przykładach 1-3, które są jednomianami, tych operacji nie ma.
Oto kilka dodatkowych przykładów:
Wyrażenie numer 8 jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem potęgi i liczby, podczas gdy przykład 9 nie jest jednomianem.
Teraz dowiedzmy się działania na jednomianach .
1. Uproszczenie. Spójrzmy na przykład nr 3 ;i przykład nr 2 /
W drugim przykładzie widzimy tylko jeden współczynnik – każda zmienna występuje tylko raz, czyli zmienna „ A„ jest reprezentowane w pojedynczym egzemplarzu jako „”, podobnie zmienne „” i „” pojawiają się tylko raz.
W przykładzie nr 3 natomiast są dwa różne współczynniki - i , zmienną „” widzimy dwukrotnie – jako „” i jako „”, podobnie zmienna „” pojawia się dwukrotnie. Oznacza to, że wyrażenie to należy uprościć i w ten sposób dochodzimy do pierwszą czynnością wykonywaną na jednomianach jest redukcja jednomianu do postaci standardowej . W tym celu sprowadzimy wyrażenie z Przykładu 3 do postaci standardowej, następnie zdefiniujemy tę operację i nauczymy się jak sprowadzić dowolny jednomian do postaci standardowej.
Rozważmy więc przykład:
Pierwszą czynnością w operacji redukcji do postaci standardowej jest zawsze pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych:
;
Wynik tej akcji zostanie wywołany współczynnik jednomianu .
Następnie musisz pomnożyć potęgi. Pomnóżmy potęgi zmiennej „ X„zgodnie z zasadą mnożenia potęg o tej samej podstawie, która stanowi, że przy mnożeniu wykładniki dodawane są:
Teraz pomnóżmy potęgi ” Na»:
;
Oto uproszczone wyrażenie:
;
Każdy jednomian można sprowadzić do postaci standardowej. Sformułujmy zasada standaryzacji :
Pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;
Umieść wynikowy współczynnik na pierwszym miejscu;
Pomnóż wszystkie stopnie, to znaczy uzyskaj część literową;
Oznacza to, że każdy jednomian charakteryzuje się współczynnikiem i częścią literową. Patrząc w przyszłość, zauważamy, że jednomiany, które mają tę samą część literową, nazywane są podobnymi.
Teraz musimy poćwiczyć technika redukcji jednomianów do postaci standardowej . Rozważ przykłady z podręcznika:
Zadanie: doprowadź jednomian do postaci standardowej, podaj współczynnik i część literową.
Do wykonania zadania posłużymy się regułą sprowadzania jednomianu do postaci standardowej oraz własnościami potęg.
1. 
;
3. 
;
Komentarze do pierwszego przykładu: Najpierw ustalmy, czy to wyrażenie jest rzeczywiście jednomianem; w tym celu sprawdźmy, czy zawiera ono operacje mnożenia liczb i potęg oraz czy zawiera operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia. Można powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem, gdyż powyższy warunek jest spełniony. Następnie, zgodnie z zasadą redukcji jednomianu do postaci standardowej, mnożymy czynniki liczbowe:
- znaleźliśmy współczynnik danego jednomianu;
; ; ; oznacza to, że uzyskuje się dosłowną część wyrażenia:;
Zapiszmy odpowiedź: ;
Komentarze do drugiego przykładu: Kierując się zasadą, którą wykonujemy:
1) pomnóż współczynniki liczbowe:
2) pomnóż potęgi:
Zmienne prezentowane są w jednym egzemplarzu, to znaczy nie można ich przez nic pomnożyć, przepisuje się je bez zmian, stopień jest mnożony:
Zapiszmy odpowiedź:
;
W tym przykładzie współczynnik jednomianu jest równy jeden, a część literowa to .
Komentarze do trzeciego przykładu: a Podobnie jak w poprzednich przykładach wykonujemy następujące czynności:
1) pomnóż współczynniki liczbowe:
;
2) pomnóż potęgi:
;
Zapiszmy odpowiedź: ;
W w tym przypadku współczynnik jednomianu to „”, a część dosłowna 
.
Teraz rozważmy druga standardowa operacja na jednomianach . Ponieważ jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się ze zmiennych dosłownych, które mogą przyjmować określone wartości liczbowe, wówczas mamy arytmetyczne wyrażenie liczbowe, które należy obliczyć. Oznacza to, że następną operacją na wielomianach jest obliczenie ich konkretnej wartości liczbowej .
Spójrzmy na przykład. Podany jednomian:
ten jednomian został już zredukowany do postaci standardowej, jego współczynnik jest równy jeden, a część literowa
Wcześniej powiedzieliśmy, że wyrażenia algebraicznego nie zawsze można obliczyć, to znaczy zmienne w nim zawarte nie mogą przyjmować żadnej wartości. W przypadku jednomianu zawarte w nim zmienne mogą być dowolne; jest to cecha jednomianu.
Więc w podany przykład należy obliczyć wartość jednomianu w , , , .
Jednomiany to iloczyny liczb, zmiennych i ich potęg. Liczby, zmienne i ich potęgi są również uważane za jednomiany. Na przykład: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Jednomian 5aa2b2b można sprowadzić do postaci 20a^2b^2. Ta forma nazywana jest standardową formą jednomianu. Oznacza to, że standardowa postać jednomianu jest iloczynem współczynnika (który jest pierwszy) i potęg zmienne. Współczynniki 1 i -1 nie są zapisywane, ale minus jest zachowywany od -1. Jednomian i jego postać standardowa
Wyrażenia 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x są iloczynami liczb, zmiennych i ich potęg. Takie wyrażenia nazywane są jednomianami. Liczby, zmienne i ich potęgi są również uważane za jednomiany.
Na przykład wyrażenia 8, 35, y i y2 są jednomianami.
Standardową formą jednomianu jest monomian w postaci iloczynu na pierwszym miejscu czynnika liczbowego i potęg różnych zmiennych. Każdy jednomian można sprowadzić do postaci standardowej, mnożąc wszystkie zawarte w nim zmienne i liczby. Oto przykład redukcji jednomianu do postaci standardowej:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Współczynnik liczbowy jednomianu zapisany w standardowej formie nazywany jest współczynnikiem jednomianu. Na przykład współczynnik jednomianu -7x2y2 jest równy -7. Współczynniki jednomianów x3 i -xy uważa się za równe 1 i -1, ponieważ x3 = 1x3 i -xy = -1xy
Stopień jednomianu jest sumą wykładników wszystkich zawartych w nim zmiennych. Jeśli jednomian nie zawiera zmiennych, czyli jest liczbą, wówczas jego stopień uważa się za równy zeru.
Na przykład stopień jednomianu 8x3yz2 wynosi 6, stopień jednomianu 6x wynosi 1, a stopień -10 wynosi 0.
Mnożenie jednomianów. Podnoszenie jednomianów do potęg
Przy mnożeniu jednomianów i podnoszeniu jednomianów do potęgi stosuje się zasadę mnożenia potęg o tej samej podstawie i zasadę podnoszenia potęgi do potęgi. Daje to jednomian, który jest zwykle reprezentowany w standardowej formie.
Na przykład
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
Zauważyliśmy, że może to być dowolny jednomian doprowadzić do standardowej formy. W tym artykule zrozumiemy, co nazywa się doprowadzeniem jednomianu do postaci standardowej, jakie działania pozwalają na przeprowadzenie tego procesu i rozważymy rozwiązania przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.
Nawigacja strony.
Co to znaczy sprowadzić jednomian do postaci standardowej?
Wygodnie jest pracować z jednomianami po ich zapisaniu w standardowej formie. Często jednak jednomiany podaje się w formie odmiennej od standardowej. W takich przypadkach zawsze możesz w ten sposób przejść od pierwotnego jednomianu do jednomianu w formie standardowej przemiany tożsamości. Proces przeprowadzania takich przekształceń nazywa się redukcją jednomianu do postaci standardowej.
Podsumujmy powyższe argumenty. Sprowadź jednomian do postaci standardowej- oznacza to wykonanie z nim identycznych przekształceń, aby przybrał postać standardową.
Jak doprowadzić jednomian do postaci standardowej?
Czas dowiedzieć się, jak zredukować jednomiany do postaci standardowej.
Jak wiadomo z definicji, jednomianami o postaci niestandardowej są iloczyny liczb, zmiennych i ich potęg, ewentualnie powtarzających się. A jednomian postaci standardowej może zawierać w swoim zapisie tylko jedną liczbę i niepowtarzalne zmienne lub ich potęgi. Teraz pozostaje zrozumieć, jak przenieść produkty pierwszego typu do typu drugiego?
Aby to zrobić, musisz użyć poniższych zasada redukcji jednomianu do postaci standardowej składający się z dwóch etapów:
- Po pierwsze, jest wykonywany grupowanie czynniki liczbowe oraz zmienne identyczne i ich potęgi;
- Po drugie, oblicza się i stosuje iloczyn liczb.
W wyniku zastosowania podanej reguły każdy jednomian zostanie sprowadzony do postaci standardowej.
Przykłady, rozwiązania
Pozostaje tylko nauczyć się stosować regułę z poprzedniego akapitu przy rozwiązywaniu przykładów.
Przykład.
Sprowadź jednomian 3 x 2 x 2 do postaci standardowej.
Rozwiązanie.
Pogrupujmy czynniki liczbowe i czynniki ze zmienną x. Po zgrupowaniu pierwotny jednomian przyjmie postać (3·2)·(x·x 2) . Iloczyn liczb w pierwszym nawiasie jest równy 6, a zasada mnożenia potęg o tej samej podstawie pozwala przedstawić wyrażenie w drugim nawiasie jako x 1 +2=x 3. W rezultacie otrzymujemy wielomian w postaci standardowej 6 x 3.
Oto krótkie podsumowanie rozwiązania: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.
Odpowiedź:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Aby więc doprowadzić jednomian do standardowej postaci, musisz umieć grupować czynniki, mnożyć liczby i pracować z potęgami.
Aby skonsolidować materiał, rozwiążmy jeszcze jeden przykład.
Przykład.
Przedstaw monomian w postaci standardowej i wskaż jego współczynnik.
Rozwiązanie.
Oryginalny jednomian ma w swoim zapisie pojedynczy współczynnik liczbowy -1, przesuńmy go na początek. Potem osobno zgrupujemy czynniki ze zmienną a, osobno ze zmienną b i nie ma z czym grupować zmiennej m, zostawimy to tak jak jest, mamy 
. Po wykonaniu operacji na potęgach w nawiasach jednomian przyjmie standardową formę, której potrzebujemy, skąd możemy zobaczyć współczynnik jednomianowy równy -1. Minus jeden można zastąpić znakiem minus: .
