Własności prostej w geometrii euklidesowej.
Przez dowolny punkt można poprowadzić nieskończoną liczbę linii prostych.
Przez dowolne dwa nie pokrywające się punkty można poprowadzić pojedynczą linię prostą.
Dwie rozbieżne linie na płaszczyźnie albo przecinają się w jednym punkcie, albo przecinają się
równolegle (wynika z poprzedniego).
W przestrzeń trójwymiarowa Istnieją trzy opcje względnego położenia dwóch linii:
- linie przecinają się;
- linie są równoległe;
- linie proste przecinają się.
Prosty linia— krzywa algebraiczna pierwszego rzędu: linia prosta w kartezjańskim układzie współrzędnych
jest dana na płaszczyźnie równaniem pierwszego stopnia (równaniem liniowym).
Ogólne równanie prostej.
Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu
Topór + Wu + C = 0,
i stałe A, B nie są jednocześnie równe zeru. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólny
równanie prostej. W zależności od wartości stałych A, B I Z Możliwe są następujące szczególne przypadki:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- linia prosta przechodzi przez początek
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Topór + C = 0)- linia prosta równoległa do osi Oh
. B = C = 0, A ≠0- linia prosta pokrywa się z osią Oh
. A = C = 0, B ≠0- linia prosta pokrywa się z osią Oh
Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od danego
warunki początkowe.
Równanie prostej z punktu i wektora normalnego.
Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B)
prostopadle do prostej określonej równaniem
Topór + Wu + C = 0.
Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadle do wektora (3, -1).
Rozwiązanie. Mając A = 3 i B = -1, ułóżmy równanie prostej: 3x - y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C
Podstawiamy współrzędne danego punktu A do otrzymanego wyrażenia. Otrzymujemy więc: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Razem: wymagane równanie: 3x - y - 1 = 0.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.
Niech w przestrzeni będą dane dwa punkty M 1 (x 1 , y 1 , z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Następnie równanie linii,
przechodząc przez te punkty:
Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik należy ustawić na zero. NA
płaszczyźnie, równanie prostej zapisane powyżej jest uproszczone:
Jeśli x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Jeśli x 1 = x 2 .
Frakcja = k zwany nachylenie bezpośredni.
Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).
Rozwiązanie. Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:
Równanie prostej za pomocą punktu i nachylenia.
Jeśli ogólne równanie linii Topór + Wu + C = 0 prowadzić do:
i wyznaczyć 
, to wynikowe równanie nazywa się
równanie prostej o nachyleniu k.
Równanie prostej z punktu i wektora kierunkowego.
Analogicznie do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, możesz wprowadzić zadanie
linia prosta przechodząca przez punkt i wektor kierunkowy linii prostej.
Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1, α 2), których elementy spełniają warunek
Aα 1 + Ba 2 = 0 zwany wektor kierujący linii prostej.
Topór + Wu + C = 0.
Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodzącej przez punkt A(1, 2).
Rozwiązanie. Równania żądanej linii będziemy szukać w postaci: Topór + By + C = 0. Zgodnie z definicją,
współczynniki muszą spełniać następujące warunki:
1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.
Wtedy równanie prostej ma postać: Topór + Ay + C = 0, Lub x + y + C / A = 0.
Na x = 1, y = 2 dostajemy C/A = -3, tj. wymagane równanie:
x + y - 3 = 0
Równanie prostej w odcinkach.
Jeśli w równanie ogólne linia prosta Ах + Ву + С = 0 С≠0, następnie dzieląc przez -С, otrzymujemy:
lub gdzie
Znaczenie geometryczne współczynniki oznacza, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia
proste z osią Oh, A B- współrzędna punktu przecięcia linii z osią Oh.
Przykład. Podano ogólne równanie prostej x - y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Równanie normalne linii.
Jeśli obie strony równania Topór + Wu + C = 0 podzielić przez liczbę 
co się nazywa
czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalne równanie linii.
Znak ± współczynnika normalizującego należy tak dobrać, aby: µ*C< 0.
R- długość prostopadłej opuszczonej od początku do prostej,
A φ - kąt utworzony przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Oh.
Przykład. Podano ogólne równanie prostej 12x - 5 lat - 65 = 0. Wymagane do napisania różne typy równania
tę linię prostą.
Równanie tej prostej w odcinkach:
Równanie tej prostej z nachyleniem: (podziel przez 5)
Równanie prostej:
cos φ = 12/13; grzech φ= -5/13; p = 5.
Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w postaci odcinków, np. linie proste,
równolegle do osi lub przechodząc przez początek układu współrzędnych.
Kąt między prostymi na płaszczyźnie.
Definicja. Jeśli podano dwie linie y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, a następnie kąt ostry między tymi liniami
zostanie zdefiniowany jako
Dwie proste są równoległe jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe
Jeśli k 1 = -1/ k 2 .
Twierdzenie.
Bezpośredni Topór + Wu + C = 0 I ZA 1 x + B 1 y + C 1 = 0 równoległe, gdy współczynniki są proporcjonalne
ZA 1 = λA, B 1 = λB. Jeśli także С 1 = λС, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii
znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.
Równanie prostej przechodzącej ten punkt prostopadle do tej linii.
Definicja. Linia przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadle do linii y = kx + b
reprezentowane przez równanie:
Odległość punktu od linii.
Twierdzenie. Jeśli zostanie przyznany punkt M(x 0, y 0), następnie odległość do linii prostej Topór + Wu + C = 0 zdefiniowany jako:
Dowód. Niech chodzi M 1 (x 1, y 1)- podstawa prostopadłej rzucona z punktu M dla danego
bezpośredni. Następnie odległość między punktami M I M 1:
(1)
Współrzędne x 1 I o 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:
Drugie równanie układu to równanie prostej przechodzącej przez ten układ dany punkt M 0 prostopadle
dana linia prosta. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,
następnie rozwiązując otrzymujemy:
Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:
Twierdzenie zostało udowodnione.
Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu
Topór + Wu + C = 0,
Co więcej, stałe A i B nie są jednocześnie równe zeru. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólne równanie prostej. W zależności od wartości stała A, B i C możliwe są następujące szczególne przypadki:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – prosta przechodzi przez początek
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - prosta równoległa do osi Wółu
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – prosta równoległa do osi Oy
B = C = 0, A ≠0 – prosta pokrywa się z osią Oy
A = C = 0, B ≠0 – prosta pokrywa się z osią Wółu
Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od dowolnych warunków początkowych.
Równanie prostej z punktu i wektora normalnego
Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B) jest prostopadły do prostej określonej równaniem Ax + By + C = 0.
Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadłej do (3, -1).
Rozwiązanie. Przy A = 3 i B = -1 ułóżmy równanie prostej: 3x – y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C, podstawiamy współrzędne danego punktu A do otrzymanego wyrażenia. Otrzymujemy: 3 – 2 + C = 0, zatem C = -1. Razem: wymagane równanie: 3x – y – 1 = 0.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
Niech w przestrzeni zostaną dane dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), wówczas równanie prostej przechodzącej przez te punkty będzie wyglądało następująco:
Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik powinien być równy zero. Na płaszczyźnie równanie prostej zapisanej powyżej jest uproszczone:
jeśli x 1 ≠ x 2 i x = x 1, jeśli x 1 = x 2.
Nazywa się ułamek = k nachylenie bezpośredni.
Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).
Rozwiązanie. Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:
Równanie prostej z punktu i nachylenia
Jeżeli suma Ax + Bu + C = 0 prowadzi do postaci:
i wyznaczyć 
, to wynikowe równanie nazywa się równanie prostej ze spadkiemk.
Równanie prostej z punktu i wektora kierunkowego
Przez analogię do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, można wprowadzić definicję prostej przechodzącej przez punkt oraz wektor kierunkowy prostej.
Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1, α 2), którego składowe spełniają warunek A α 1 + B α 2 = 0, nazywany jest wektorem kierującym linii
Topór + Wu + C = 0.
Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodzącej przez punkt A(1, 2).
Rozwiązanie. Równania żądanej prostej będziemy szukać w postaci: Ax + By + C = 0. Zgodnie z definicją współczynniki muszą spełniać warunki:
1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.
Wtedy równanie prostej ma postać: Ax + Ay + C = 0, czyli x + y + C/A = 0. Dla x = 1, y = 2 otrzymujemy C/ A = -3, tj. wymagane równanie:
Równanie prostej w odcinkach
Jeżeli w ogólnym równaniu prostej Ах + Ву + С = 0 С≠0, to dzieląc przez –С, otrzymujemy: 
Lub
Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik A jest współrzędną punktu przecięcia linii z osią Wółu, oraz B– współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.
Przykład. Podano ogólne równanie prostej x – y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Równanie normalne linii
Jeśli obie strony równania Ax + By + C = 0 zostaną pomnożone przez liczbę 
co się nazywa czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
normalne równanie linii. Znak ± współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Przykład. Podano równanie ogólne prostej 12x – 5y – 65 = 0. Należy napisać dla tej prostej różnego rodzaju równania.
równanie tej prostej w odcinkach: 
równanie tej linii z nachyleniem: (podziel przez 5)
; cos φ = 12/13; grzech φ= -5/13; p = 5.
Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w odcinkach, na przykład linie proste równoległe do osi lub przechodzące przez początek współrzędnych.
Przykład. Linia prosta odcina równe dodatnie segmenty na osiach współrzędnych. Napisz równanie linii prostej, jeśli pole trójkąta utworzonego przez te odcinki wynosi 8 cm 2.
Rozwiązanie. Równanie prostej ma postać: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Przykład. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(-2, -3) i początek.
Rozwiązanie.
Równanie prostej to: 
, gdzie x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.
Kąt pomiędzy liniami prostymi na płaszczyźnie
Definicja. Jeśli podane zostaną dwie linie y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako
.
Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2.
Twierdzenie. Linie Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 = λA, B 1 = λB są proporcjonalne. Jeśli także C 1 = λC, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.
Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej
Definicja. Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadłą do prostej y = kx + b reprezentuje równanie:
Odległość od punktu do linii
Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x 0, y 0), wówczas odległość do prostej Ax + Bу + C = 0 określa się jako
.
Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:
(1)
Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:
Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej prostej. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
następnie rozwiązując otrzymujemy:
Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:
Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.
Rozwiązanie. Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, zatem proste są prostopadłe.
Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.
Rozwiązanie. Znajdujemy równanie boku AB: 
; 4 x = 6 lat – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b. k = . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jej współrzędne spełniają równanie: 
skąd b = 17. Razem: . 
Odpowiedź: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Równania kanoniczne prostej w przestrzeni to równania definiujące linię przechodzącą przez dany punkt współliniową z wektorem kierunku.
Niech będzie dany punkt i wektor kierunkowy. Dowolny punkt leży na prostej l tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe, czyli jest dla nich spełniony warunek:
.
Powyższe równania są równania kanoniczne bezpośredni.
Takty muzyczne M , N I P są rzutami wektora kierunku na osie współrzędnych. Ponieważ wektor jest różny od zera, to wszystkie liczby M , N I P nie może być jednocześnie równa zeru. Ale jeden lub dwa z nich mogą okazać się zerowe. Na przykład w geometrii analitycznej dozwolony jest następujący wpis:
,
co oznacza, że rzuty wektora na oś Oj I Oz są równe zeru. Dlatego zarówno wektor, jak i prosta określona równaniami kanonicznymi są prostopadłe do osi Oj I Oz, czyli samoloty yOz .
Przykład 1. Zapisz równania prostej w przestrzeni prostopadłej do płaszczyzny 
i przechodzący przez punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz
.
Rozwiązanie. Znajdźmy punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz. Ponieważ dowolny punkt leży na osi Oz, ma zatem współrzędne , przyjmując w danym równaniu płaszczyznę x = y = 0, otrzymujemy 4 z- 8 = 0 lub z= 2 . Dlatego punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz ma współrzędne (0; 0; 2) . Ponieważ pożądana linia jest prostopadła do płaszczyzny, jest równoległa do jej wektora normalnego. Dlatego wektor kierunkowy linii prostej może być wektorem normalnym 
dany samolot.
Zapiszmy teraz potrzebne równania dla prostej przechodzącej przez punkt A= (0; 0; 2) w kierunku wektora:
Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
Linię prostą można wyznaczyć przez dwa leżące na niej punkty 
I 
W tym przypadku wektorem kierującym prostej może być wektor . Wtedy równania kanoniczne prostej przyjmują postać
.
Powyższe równania wyznaczają prostą przechodzącą przez dwa dane punkty.
Przykład 2. Napisz równanie prostej w przestrzeni przechodzącej przez punkty i .
Rozwiązanie. Zapiszmy wymagane równania linii prostych w postaci podanej powyżej w podręczniku teoretycznym:
.
Ponieważ , to pożądana linia prosta jest prostopadła do osi Oj .
Prosta jak linia przecięcia płaszczyzn
Prostą w przestrzeni można zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn, czyli jako zbiór punktów spełniający układ dwóch równań liniowych
Równania układu nazywane są również ogólnymi równaniami linii prostej w przestrzeni.
Przykład 3. Ułóż równania kanoniczne prostej w przestrzeni podane równaniami ogólnymi
Rozwiązanie. Aby zapisać równania kanoniczne prostej, czyli równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, należy znaleźć współrzędne dowolnych dwóch punktów na tej prostej. Mogą to być na przykład punkty przecięcia prostej z dowolnymi dwiema płaszczyznami współrzędnych yOz I xOz .
Punkt przecięcia prostej i płaszczyzny yOz ma odciętą X= 0 . Dlatego zakładając w tym układzie równań X= 0, otrzymujemy układ z dwiema zmiennymi:
Jej decyzja y = 2 , z= 6 razem z X= 0 definiuje punkt A(0; 2; 6) żądana linia. Następnie zakładając w zadanym układzie równań y= 0, otrzymujemy system
Jej decyzja X = -2 , z= 0 razem z y= 0 definiuje punkt B(-2; 0; 0) przecięcie prostej z płaszczyzną xOz .
Zapiszmy teraz równania prostej przechodzącej przez punkty A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :
,
lub po podzieleniu mianowników przez -2:
,
Niech linia przechodzi przez punkty M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 ma postać y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Gdzie k - wciąż nieznany współczynnik.
Ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 2 (x 2 y 2), współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie (10.6): y 2 -y 1 = k (x2 -x1).
Stąd znajdziemy Zastąpienie znalezionej wartości k
do równania (10.6) otrzymujemy równanie linii prostej przechodzącej przez punkty M 1 i M 2: 
Zakłada się, że w tym równaniu x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Jeżeli x 1 = x 2, to prosta przechodząca przez punkty M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) jest równoległa do osi rzędnych. Jego równanie to x = x 1 .
Jeśli y 2 = y I, to równanie prostej można zapisać jako y = y 1, linia prosta M 1 M 2 jest równoległa do osi odciętych.
Równanie prostej w odcinkach
Niech prosta przecina oś Ox w punkcie M 1 (a;0) i oś Oy w punkcie M 2 (0;b). Równanie będzie miało postać: 
te. 
. To równanie nazywa się równanie prostej w odcinkach, ponieważ liczby aib wskazują, które odcinki linia odcina na osiach współrzędnych.
Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora
Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt Mo (x O; y o) prostopadłej do danego niezerowego wektora n = (A; B).
Weźmy dowolny punkt M(x; y) na prostej i rozważmy wektor M 0 M (x - x 0; y - yo) (patrz ryc. 1). Ponieważ wektory n i Mo M są prostopadłe, ich iloczyn skalarny jest równy zeru: to znaczy
A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (10.8)
Równanie (10.8) nazywa się równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora .
Wektor n= (A; B), prostopadły do prostej, nazywany jest normalnym wektor normalny tej linii .
Równanie (10.8) można przepisać jako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
gdzie A i B są współrzędnymi wektora normalnego, C = -Ax o - Vu o jest wyrazem wolnym. Równanie (10.9) jest ogólnym równaniem prostej(patrz ryc. 2).
Ryc.1 Ryc.2
Równania kanoniczne prostej
,
Gdzie 
- współrzędne punktu, przez który przechodzi linia, oraz 
- wektor kierunkowy.
Krzywe drugiego rzędu Okrąg
Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo odległych od danego punktu, zwanego środkiem.
Równanie kanoniczne okręgu o promieniu
R wyśrodkowany w jednym punkcie 
:
W szczególności, jeśli środek palika pokrywa się z początkiem współrzędnych, wówczas równanie będzie wyglądać następująco: 
Elipsa
Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, których suma odległości od każdego z nich do dwóch danych punktów
I 
, zwane ogniskami, jest wielkością stałą 
, większa niż odległość między ogniskami 
.
Równanie kanoniczne elipsy, której ogniska leżą na osi Wołu, a początek współrzędnych w środku pomiędzy ogniskami ma postać 
G 
de A długość półosi wielkiej; B – długość osi półmałej (ryc. 2).
Ogólne równanie prostej:
Szczególne przypadki równania ogólnego prostej:
a) Jeśli C= 0, równanie (2) będzie miało postać
Topór + Przez = 0,
a linia prosta określona przez to równanie przechodzi przez początek, ponieważ współrzędne początku są takie X = 0, y= 0 spełniają to równanie.
b) Jeżeli w ogólnym równaniu prostej (2) B= 0, wówczas równanie przyjmuje postać
Topór + Z= 0 lub .
Równanie nie zawiera zmiennej y, a linia prosta określona przez to równanie jest równoległa do osi Oj.
c) Jeżeli w ogólnym równaniu prostej (2) A= 0, to równanie to przyjmie postać
Przez + Z= 0 lub ;
równanie nie zawiera zmiennej X, a linia prosta, którą wyznacza, jest równoległa do osi Wół.
Należy pamiętać: jeśli prosta jest równoległa do jakiejś osi współrzędnych, to w jej równaniu nie ma wyrazu zawierającego współrzędną o tej samej nazwie co ta oś.
d) Kiedy C= 0 i A= 0 równanie (2) przyjmuje postać Przez= 0 lub y = 0.
To jest równanie osi Wół.
d) Kiedy C= 0 i B= 0 równanie (2) zostanie zapisane w postaci Topór= 0 lub X = 0.
To jest równanie osi Oj.
Wzajemne stanowisko linie proste na płaszczyźnie. Kąt między prostymi na płaszczyźnie. Warunek dla prostych równoległych. Warunek prostopadłości prostych.
l 1 l 2 l 1: ZA 1 x + B 1 y + do 1 = 0
l 2: ZA 2 x + b 2 y + do 2 = 0
S 2 S 1 Wektory S 1 i S 2 nazywane są prowadnicami dla swoich linii.
Kąt między liniami prostymi l 1 i l 2 jest określony przez kąt między wektorami kierunkowymi.
Twierdzenie 1: cos kąta pomiędzy l 1 i l 2 = cos(l 1 ; l 2) =
Twierdzenie 2: Aby 2 linie były równe, konieczne i wystarczające jest:
Twierdzenie 3: Aby 2 proste były prostopadłe konieczne i wystarczające jest:
L 1 l 2 ó ZA 1 ZA 2 + B 1 B 2 = 0
Ogólne równanie płaszczyzny i jego przypadki szczególne. Równanie płaszczyzny w odcinkach.
Ogólne równanie płaszczyzny:
Topór + By + Cz + D = 0
Specjalne przypadki:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych
2. С=0 Ax+By+D = 0 – płaszczyzna || OZ
3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – płaszczyzna || OJ
4. A=0 By+Cz+D = 0 – płaszczyzna || WÓŁ
5. A=0 i D=0 By+Cz = 0 – płaszczyzna przechodzi przez OX
6. B=0 i D=0 Ax+Cz = 0 – samolot przechodzi przez OY
7. C=0 i D=0 Ax+By = 0 – samolot przechodzi przez OZ
Względne położenie płaszczyzn i prostych w przestrzeni:
1. Kąt między prostymi w przestrzeni to kąt między ich wektorami kierunkowymi.
Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = = 
2. Kąt między płaszczyznami wyznacza się poprzez kąt między ich wektorami normalnymi.
Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = = 
3. Cosinus kąta między prostą a płaszczyzną można znaleźć poprzez grzech kąta między wektorem kierunkowym linii a wektorem normalnym płaszczyzny.
4. 2 proste || w kosmosie, kiedy ich || prowadnice wektorowe
5. 2 samoloty || kiedy || wektory normalne
6. W podobny sposób wprowadza się pojęcia prostopadłości prostych i płaszczyzn.
Pytanie nr 14
Różne typy równania prostej na płaszczyźnie (równanie prostej w odcinkach, ze współczynnikiem kąta itp.)
Równanie prostej w odcinkach:
Załóżmy, że w ogólnym równaniu prostej:
1. C = 0 Ах + Ву = 0 – prosta przechodzi przez początek.
2. a = 0 Vu + C = 0 y =
3. b = 0 Ax + C = 0 x =
4. b=C=0 Ax = 0 x = 0
5. a=C=0 Ву = 0 у = 0
Równanie prostej z nachyleniem:
Dowolną linię prostą, która nie jest równa osi wzmacniacza operacyjnego (B nie = 0), można zapisać w następnym wierszu. formularz:
k = tanα α – kąt pomiędzy prostą a linią skierowaną dodatnio OX
b – punkt przecięcia prostej z osią wzmacniacza operacyjnego
Dokument:
Topór+By+C = 0
Wu= -Ah-S |:B
Równanie prostej na podstawie dwóch punktów:
Pytanie nr 16
Skończona granica funkcji w punkcie i dla x→∞
Granica końcowa przy x0:
Liczbę A nazywamy granicą funkcji y = f(x) dla x→x 0, jeśli dla dowolnego E > 0 istnieje b > 0 takie, że dla x ≠x 0 spełniające nierówność |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Granicę wyznacza: = A
Granica końcowa w punkcie +∞:
Liczbę A nazywamy granicą funkcji y = f(x) w punkcie x → + ∞ , jeśli dla dowolnego E > 0 istnieje C > 0 takie, że dla x > C nierówność |f(x) - A|< Е
Granicę wyznacza: = A
Granica końcowa w punkcie -∞:
Liczbę A nazywa się granicą funkcji y = f(x) dla x →-∞, jeśli dla dowolnego E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
