Korzystanie z kalkulatora w nauczaniu matematyki na poziomie podstawowym
W artykule omówiono, czy w nauczaniu matematyki w klasach podstawowych należy używać kalkulatora i jak mądrze z niego korzystać.
„Walka” o użycie kalkulatora
Niektórzy twierdzą, że kalkulator pozwala dzieciom skoncentrować się na zrozumieniu pojęć matematycznych, zamiast tracić czas na żmudne obliczenia. Mówią, że kalkulator pomaga rozwijać zmysł liczb i sprawia, że uczniowie są bardziej pewni swoich umiejętności matematycznych.
Inni są przeciwni używaniu kalkulatora w nauczaniu matematyki na niższym poziomie, twierdząc, że uniemożliwia to dzieciom poznanie podstawowych faktów, uniemożliwia uczniom odkrywanie i zrozumienie podstawowych pojęć matematycznych, a zamiast tego zachęca ich do losowego wypróbowywania różnych operacji bez zrozumienia, co robią.
Mówią, że kalkulatory uniemożliwiają uczniom czerpanie korzyści z jednego z najważniejszych powodów uczenia się matematyki: ćwiczenia i dyscyplinowania umysłu oraz promowania logicznego rozumowania.
JEST równowaga
Moim zdaniem kalkulator można wykorzystać w nauczaniu dobrze lub źle - wszystko zależy od podejścia nauczyciela. Kalkulator sam w sobie nie jest ani zły, ani dobry - to tylko narzędzie. Jest często używany w dzisiejszym społeczeństwie, dlatego uczniowie powinni nauczyć się z niego korzystać przed ukończeniem szkoły.
Jednocześnie dzieci POWINNY poznawać podstawowe fakty, potrafić wykonywać obliczenia w myślach oraz opanować długie dzielenie i inne podstawowe algorytmy oparte na papierze i ołówku. Matematyka to dziedzina nauki, która opiera się na wcześniej ustalonych faktach. Dziecko, które nie zna podstawowych faktów dotyczących mnożenia (i dzielenia), będzie miało trudności z nauczeniem się faktoringu, liczb pierwszych, upraszczania ułamków i innych operacji na ułamkach, własności rozdzielności itp. itp. Podstawowe algorytmy arytmetyki są niezbędną podstawą do zrozumienia odpowiednich działań na wielomianach w algebrze. Opanowanie długich podziałów i zrozumienie, w jaki sposób ułamki zwykłe odpowiadają powtarzającym się (nie kończącym się) ułamkom dziesiętnym, co następnie toruje drogę do zrozumienia liczb niewymiernych i liczb rzeczywistych. To wszystko się ze sobą łączy!
Z tego powodu zaleca się ograniczenie korzystania z kalkulatora w niższych klasach, dopóki dzieci nie poznają podstawowych faktów i nie będą potrafiły dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić nawet dużych liczb za pomocą ołówka i papieru. TO, moim zdaniem, buduje zmysł liczb, podobnie jak obliczenia mentalne.
Nie oznacza to, że nie można było czasami używać kalkulatora w klasach podstawowych do specjalnych projektów, nauczania określonych pojęć lub dla zabawy. Można go używać na przykład w projektach naukowych lub geograficznych, do odkrywania pewnych nowych koncepcji, dla niektórych gry liczbowe lub sprawdzanie zadań domowych. Poniżej znajdziesz kilka pomysłów.
Dyskusja tutaj nie dotyczy kalkulatorów graficznych w szkole średniej. Zdecydowanie jestem zwolennikiem używania kalkulatorów graficznych lub programów graficznych podczas nauki grafów i rachunku różniczkowego. Nawet tam jednak z pewnością trzeba poznać podstawową koncepcję tworzenia wykresów na papierze.
O czym należy pamiętać korzystając z kalkulatora
W przypadku bardziej swobodnego korzystania z kalkulatora należy zwrócić uwagę na następujące punkty:
- Kalkulator to A narzędzie zrobić obliczenia. Podobnie jak ludzki umysł, papier i ołówek. Należy uczyć dzieci Kiedy używać kalkulatora i kiedy obliczenia mentalne (lub nawet papier i ołówek) są bardziej skuteczne i odpowiednie. Wybór odpowiedniego „narzędzia” jest częścią skutecznego procesu rozwiązywania problemów.
- Bardzo ważne jest, aby studenci naucz się szacować wynik przed wykonaniem obliczeń. BARDZO łatwo jest popełnić błąd podczas wpisywania liczb do kalkulatora. Uczeń nie może uczyć się korzystania z kalkulatora bez sprawdzenia, czy odpowiedź jest rozsądna.
- Nie należy używać kalkulatora do losowego wypróbowywania wszystkich możliwych operacji i sprawdzania, która z nich da właściwą odpowiedź. Bardzo ważne jest, aby uczniowie poznali i zrozumieli różne operacje matematyczne, aby wiedzieli, KIEDY którego z nich użyć — i jest to prawdą niezależnie od tego, czy obliczenia przeprowadza się w pamięci, na papierze, czy za pomocą kalkulatora.
Pomysły na wykorzystanie kalkulatora w matematyce elementarnej
Jeśli skorzystasz z tych pomysłów, upewnij się, że dzieci nie wpadną na pomysł, że kalkulator eliminuje potrzebę uczenia się matematyki w pamięci. Może służyć jako narzędzie umożliwiające dzieciom odkrywanie i obserwowanie, ale później nauczyciel powinien wyjaśnić pojęcia, uzasadnić zasady matematyki i złożyć to wszystko w jedną całość.
- Przedszkolaki i pierwszoklasiści mogą odkrywać liczby poprzez dodając 1 wielokrotnie(co można zrobić, naciskając najpierw 1 + 1 =, a następnie wielokrotnie naciskając przycisk =) lub wielokrotnie odejmując 1. Obserwuj ich twarze, gdy trafią na liczby ujemne! Lub pozwól im sprawdzić, co stanie się z liczbą, gdy dodasz do niej zero.
- Zagadki ze wzorem kalkulatora: Jest to rozwinięcie powyższego pomysłu, zgodnie z którym dzieci z klas od pierwszej do trzeciej wielokrotnie dodają lub odejmują tę samą liczbę za pomocą kalkulatora. Dzieci będą obserwować wzorce, które wyłaniają się, gdy wielokrotnie dodajesz, powiedzmy, 2, 5, 10 lub 100. Na przykład mogą zacząć od 17 i wielokrotnie dodawać 10 lub zaczynać od 149 i wielokrotnie odejmować 10. Innym pomysłem jest umożliwienie dzieciom tworzenia własnych „łamigłówek”, czyli ciągów liczbowych ze wzorem, w którym pominięto niektóre liczby, np. 7, 14, __, __, 35, __, 49. Ćwiczenie może nawiązywać do idei mnożenia jest bardzo łatwe.
- Umieść działanie związane z wartością za pomocą kalkulatora: Uczniowie budują liczby za pomocą kalkulatora, na przykład:
Utwórz liczbę trzycyfrową z 6 na miejscu dziesiątek; LUB Utwórz liczbę czterocyfrową większą niż 3500 z czwórką w miejscu jedności; LUB Utwórz liczbę czterocyfrową zawierającą 3 w dziesiątkach i 9 w setkach; itp.
Następnie nauczyciel zapisuje na tablicy kilka liczb i omawia, jakie liczby uczniowie ułożyli wspólnie, np.: wszystkie liczby to sześćdziesiąt kilka. - Zapisz na tablicy liczbę milion. Poproś uczniów, aby wybrali liczbę, którą będą wielokrotnie dodawać za pomocą kalkulatora, aby osiągnąć milion w rozsądnym czasie zajęć. Jeśli wybiorą małe liczby, takie jak 68 lub 125, nie dotrą do nich! To może nauczyć dzieci, jak ogromna jest liczba jeden milion.
- Wprowadzając liczbę pi, poproś uczniów, aby zmierzyli obwód i średnicę kilku okrągłych obiektów i obliczyli ich stosunek za pomocą kalkulatora (co oszczędza czas i może pomóc w skupieniu się na koncepcji).
Stosowanie kalkulatorów stanowi sedno dobrego nauczania – artykuł Susan Ray; nie jest już online
Uwagi
Uczę w bardzo małej szkole, a obecnie uczę algebry w pierwszej, ósmej klasie, a następnie fizyki dla seniorów. Mam małą grupę, która ukończyła rachunek różniczkowy w szkole średniej i zajmujemy się algebrą liniową. Ja sam mam magister fizyki.Zanim przeczytałem niektóre z tych postów, czułem, że jestem dość wściekłym antykalkulatorem, ale teraz myślę, że jestem raczej na środku drogi.
Komentarze na temat robienia pierwiastków kwadratowych na papierze są dobre. Nie, nie musimy już wiedzieć, jak to zrobić z dużą precyzją. Jednak naprawdę chciałbym, aby wszyscy moi uczniowie potrafili powiedzieć, pomiędzy którymi dwiema liczbami się znajdują. Przykład: 8
Nie dalej jak w zeszłym roku odkryłem, jak wprowadzić dane do TI-83 i wypluć średnią i odchylenie standardowe. W kontekście zajęć z fizyki nie chcę spędzać dużo czasu na rzeczach, których powinni się uczyć na zajęciach ze statystyki. Ale jeśli kalkulator zrobi to z łatwością, mogę delikatnie przedstawić tę koncepcję i mieć nadzieję, że początkowa ekspozycja przygotowała ich na to, czego muszą się nauczyć w statystykach.Jednakże w Algebra 1 w ogóle nie pozwalam uczniom korzystać z kalkulatorów. A w mojej szkole stwierdzam, że większość dzieci przychodzi na moje zajęcia bez kalkulatora i nie ma ochoty z niego korzystać. Uważam, że podstawowe informacje na temat matematyka w Algebrze 1 powinna wyglądać następująco: 80% liczb powinno wykorzystywać podstawowe informacje z tabliczki mnożenia 12x12, które dzieci powinny zapamiętać. 15% liczb powinno przekraczać te granice. (przykład: co to jest 384/8? ). A ostatnie 5% powinno stanowić rzeczy, do których potrzebny jest im kalkulator.
Moim zdaniem o liczbach uczysz się, kiedy musisz je robić w głowie. Jeśli chcesz obliczyć czynniki pierwsze liczby 357, możesz zacząć od założenia, że jest to mniej niż 400, więc musisz sprawdzić tylko do 20. Wiesz też, że to dziwne, więc nie musisz zaznacz 2 lub którekolwiek ze zdarzeń. Wtedy zdasz sobie sprawę, że nie musisz sprawdzać żadnej liczby innej niż pierwsza od 1 do 20. Wystarczy więc sprawdzić tylko 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Pomaga to uczniom w rozpoczęciu opracowywania podstawowych pojęć związanych ze zbiorami. Istnieją grupy liczb, które mają wspólne właściwości, takie jak liczby parzyste, nieparzyste i liczby pierwsze. Jest to głęboka koncepcja, której możesz nie zrozumieć, jeśli nie będziesz musiał samodzielnie upraszczać procesu.
Ale naprawdę ważne jest także uproszczenie procesu dla siebie. Załóżmy, że jesteś głównym mechanikiem samochodu NASCAR Sprint Cup. Cały czas się psują. Co musisz zrobić, aby je naprawić? Co jest obce problemowi? Jaka jest najmniejsza liczba rzeczy, które musisz przetestować/naprawić i w jakiej kolejności powinieneś je wypróbować? To długa przerwa w stosunku do rozwijania myślenia algorytmicznego na lekcjach matematyki w szkole średniej. Jednak twierdzę, że trudniej jest to osiągnąć, jeśli przez całe życie będziesz karmiony odpowiedziami przez maszynę.
Wiem, że to trwa długo. Jeszcze dwie uwagi... Nigdy nie użyłbym kalkulatora graficznego do tworzenia wykresów. Mam na laptopie oprogramowanie za 100 dolarów, które rozwala każdy podręczny kalkulator graficzny.
Wreszcie moją uwagę przykuł komentarz na temat sprzedawców i kalkulatorów. Świat z pewnością potrzebuje ludzi do obsługi kas fiskalnych w domach towarowych. Ale w jakiś sposób czuję, że celem zdobycia dobrego wykształcenia jest to, abyś mógł później wybrać karierę, która Cię pasjonuje. Kasjerów, którzy pasjonują się handlem detalicznym, jest niewielu. Mam nadzieję, że po ukończeniu szkoły moi uczniowie będą mieli większy wybór.
Davida Iversona
Myślę, że należy zastosować oba. Zgadzam się, że w podstawówce trzeba się uczyć podstaw dodawania, odejmowania itp.) Jednakże, kiedy idziesz do Macy's, Olive Garden czy Mc Donald's, kasjer nie używa papieru i ołówka, używa się komputerów (kalkulatorów). Żyjemy w erze komputerów, nie mamy już rewolucji przemysłowej, wejdźmy więc w XXI wiek.
Cześć, jestem Kelly. Jestem studentem pierwszego roku w college'u St. Charles Community College w Missouri. Twoja strona jest cudowna. Szukałem tego dla mojej młodszej siostry. Coś, co naprawdę chciałbym powiedzieć wszystkim i każdemu, kto planuje iść na studia, to natychmiast przestać używać kalkulatora. Używaj go tylko do tworzenia wykresów dzienników i tym podobnych rzeczy. Skończyłem szkołę średnią w klasie rachunku różniczkowego, korzystając z kalkulatora do rozwiązywania nawet najprostszych problemów z mnożeniem i dzieleniem, a kiedy dostałem się na studia, musiałem zaczynać wszystko od POCZĄTKU ALGEBRA, ponieważ nie wiedziałem, jak mnożyć i dzielić bez kalkulatora. Więc proszę, wyświadcz wszystkim przysługę i poproś ich lub powiedz, żeby przestali używać kalkulatora. Później mi za to podziękują. Kelly
Witam, nazywam się Rafeek i jestem studentem pierwszego roku w kolegiach Hobart i William Smith w Genewie, Nowy Jork. Piszę pracę o technologii i jej efektach, więc zdecydowałem się wybrać kalkulator. Podczas moich badań natknąłem się na tę stronę. Chcę podkreślić to, co powiedziała Kelly. To samo przydarzyło mi się, byłem świetny z matematyki w szkole średniej, praktycznie zdałem wszystkie egzaminy z matematyki, potem przyszedłem tutaj na orientację i powiedzieli mi, że muszę zdać test kwalifikacyjny z matematyki BEZ kalkulatora. Nie zdawałem sobie sprawy, że nie jestem w stanie rozwiązać wielu prostych problemów, ponieważ zawsze podłączałem je do kalkulatora i uzyskiwałem odpowiedź. To robi się coś poważnego, już odebrałem młodszemu bratu i siostrom calc. i powiedziałem im, że dopóki nie pójdą na studia, nie będą używać kalkulatora (przynajmniej nie przy mnie). Teraz biorę pre-calc. a moim celem jest nie używać kalkulatora. NIE ZALEŻ NA SWOIM KALKULATORZE!!!
Kiedy na uniwersytecie brałam udział w kursach matematycznych do BMath, na wielu egzaminach nie wolno było używać kalkulatorów (aby zapobiec przemytowi ludzi w kieszonkowych urządzeniach komputerowych).Dla każdego, kto zajmuje się matematyką na wyższym poziomie, powiedziałbym, że umiejętność obliczania sum na papierze jest niezbędna .Emilia Bell
Nigdy nie byłam dobra z matematyki, więc kiedy wzięłam do ręki kalkulator i zobaczyłam, jak zachęcający jest w szkole średniej, zakochałam się w nim. To znaczy, dopóki nie zdałam testu kwalifikacyjnego do college'u. Poszło mi okropnie. Nie mogłam pamiętaj nawet, jak w myślach rozwiązać prosty problem z dzieleniem. Problem dzisiejszych szkół polega na tym, że za bardzo martwią się i zachęcają do korzystania z kalkulatorów. Uczniowie powinni mieć solidną podstawę z matematyki mentalnej, zanim nauczą się korzystać z kalkulatora, a jeśli mnie pytasz, ocena K-3 nie wystarczy. Nie powinno być dozwolone aż do college'u.
Jestem świeżo upieczonym absolwentem college'u. Moim kierunkiem była elektrotechnika. Ponieważ mój kierunek studiów obejmował dużą część matematyki, czuję się zobowiązany wypowiedzieć się na ten ważny temat. Moim zdaniem kalkulatorów nie należy nigdy używać na żadnych lekcjach matematyki, nawet na poziomie uniwersyteckim. Korzystanie z kalkulatora do dowolnego przedmiotu spowoduje, że użytkownik stanie się leniwy psychicznie i niezdolny do podstawowych umiejętności matematycznych. Nigdy nie powinieneś używać kalkulatora, ucząc się mnożenia, dzielenia długiego, a nawet tworzenia wykresu funkcji.„Niektórzy twierdzą, że kalkulator pozwala dzieciom skoncentrować się na rozumieniu i studiowaniu pojęć matematycznych, zamiast spędzać czas na żmudnych obliczeniach. Mówią, że kalkulator pomaga rozwijać zmysł liczb i sprawia, że uczniowie są bardziej pewni swoich umiejętności matematycznych”.
Powyższa wypowiedź to totalna bzdura. Jedynym sposobem na rozwinięcie zmysłu liczb i zrozumienia pojęć matematycznych jest spędzenie wielu godzin na żmudnych obliczeniach. Jedynym sposobem na rozwinięcie wiary we własne zdolności matematyczne jest używanie ołówka i papieru za każdym razem, gdy pojawia się problem matematyczny. Jeśli nauczyciel matematyki zgadza się z powyższym stwierdzeniem, powinien zostać natychmiast zwolniony. NCTM powinno zostać publicznie zhańbione za podążanie za takimi rujnującymi ideałami.
Kalkulatorów należy używać w szkole wyłącznie podczas zajęć laboratoryjnych, podczas wykonywania obliczeń na liczbach zawierających więcej niż 4 cyfry znaczące. W przeciwnym razie uczeń powinien polegać na papierze, ołówku i swoim mózgu.
Na kalkulatorze nie ma miejsca; NIE MA MIEJSCA; w klasie szkoły podstawowej. Okres. Jestem nauczycielem matematyki w szkole średniej i większość moich uczniów ma zerowe poczucie liczb. Używają kalkulatorów do rozwiązywania jednocyfrowych zadań z mnożeniem, które powinni byli nauczyć się na pamięć w trzeciej klasie. Bez nich są bezradni. W 100% obwiniam używanie kalkulatora we wczesnych klasach.
Moje dzieci mają 4 i 2 lata. Moja córka w przyszłym roku pójdzie do przedszkola i co roku będę pouczać jej nauczycieli, a okresowo przez cały rok ZABRONI SIĘ jej używania kalkulatora do JAKIEJKOLWIEK pracy, dopóki nie pójdzie do szkoły W programie nauczania szkoły podstawowej i gimnazjum nie ma NIC, co wymagałoby użycia kalkulatora.
W związku z tym stwierdzeniem „Krajowa Rada Nauczycieli Matematyki (1989) zaleciła, aby w szkołach mniej uwagi poświęcano dzieleniu na długie fragmenty i „ćwiczeniu żmudnych obliczeń na papierze” oraz aby kalkulatory były zawsze dostępne dla wszystkich uczniów”. Jak rozumiem, była to reakcja na ankietę dotyczącą czasu spędzonego na lekcjach matematyki i prawie jedną trzecią uczniów czwartej i piątej klasy poświęcili na naukę dzielenia za pomocą dzielników dziesiętnych i dwucyfrowych (tj. 340/0,15 lub 500/15) Tak, nauczyciele spędzili ponad dwa miesiące w każdym z nich! To po prostu nie odzwierciedlało sytuacji matematyki w obecnym świecie.
Osobiście widziałem wiele świetnych zastosowań kalkulatorów. Pozwalają na bezbłędne powtarzanie, dzięki czemu mogę odkrywać wzorce. Wiele konwersji i szybkich trików, które mogę wykonać, wynikało z tego, że przez cały okres przedrachunkowy miałem tylko podstawowy kalkulator. Przy okazji, NCMT zaktualizowało również swoje standardy, aby uwzględnić płynność faktów matematycznych w klasach drugich i czwartych. Jako korepetytor matematyki cały czas słyszałem od rodziców, że dzieci nie spędzają czasu w szkole na zapamiętywaniu podstawowych faktów.
Pewnie by mi się to spodobało na dłuższą metę, gdybym nie pozwolono mi używać kalkulatora aż do liceum (dla mnie geometria). Znasz te gry na Nintendo DS Brainage? Uświadomiły mi, jak okropnie sobie radzę z prostymi matematyka. Potrafię to zrobić, zajmuje mi to tylko dużo więcej czasu. Poza tym prawie nigdy nie umiem dzielić na długie dystanse. Od szkoły podstawowej uczono mnie matematyki na kalkulatorze.
Jako nauczyciel matematyki, matematyki, algebry i algebry I w gimnazjum i liceum co roku toczę tę bitwę. Chociaż tak, kalkulatory umożliwiają szybkie znalezienie odpowiedzi, nie znam żadnego problemu w żadnym z trzech podręczników, z których obecnie korzystam, który wymagałby od ucznia rozwiązywania problemów z dzieleniem długim z dokładnością do jedenastego miejsca po przecinku (co jest wspólny argument).
Jednakże oczekuję, że moi uczniowie będą w stanie wykonywać podstawowe funkcje matematyczne bez użycia kalkulatora. Kiedy zaczynają naukę algebry, spędzają zbyt dużo czasu, próbując wymyślić, jak zrobić na kalkulatorze rzeczy, których nie da się zrobić na kalkulatorach, które mają. Oczekuję też, że pokażą swoją pracę na testach i quizach (podobnie jak nowy testy stanu dla punktów cząstkowych), żebym WIEM, że znają proces. „Użyłem kalkulatora” nie pokazuje mi, że znają proces i zasady ani „dlaczego” to działa. Często to „dlaczego” prowadzi do „zobacz, czego się dowiedziałem” i „aha” z matematyki.
Często przypominam uczniom, że kalkulatory zostały wynalezione długo po wprowadzeniu reguł matematycznych; dlatego całą matematykę można wykonać bez użycia kalkulatora. Wielkie umysły, nie stajcie się wielkie, wybierając łatwą drogę.
Jeśli chodzi o pracowników handlu detalicznego, wielu klientów stojących w kolejce zniecierpliwiłoby się, gdyby sprzedawca domyślał wszystko ręcznie, jako nauczyciel, gdy idę do lokalu gastronomicznego, a moim nieszczęsnym uczniem jest kelner/kelnerka/itd. Oczekuję, że odliczą mi resztę. Zwracam uwagę na to, kiedy wykonuję te „kontrole” i większość menedżerów (znasz tych, którzy potrafią liczyć bez kalkulatora) zwykle docenia fakt, że ich pracownicy wiedzą, jak liczyć resztę.
Trochę się roześmiałem, słysząc komentarz o „kasjerach w Macy”, Olive Garden, McDonaldzie… używajcie kalkulatorów, komputerów. To prawda, ale to nie jest argument za ich używaniem. Czy byłeś kiedyś w którymś z nich sklepy, gdy „komputery nie działają?" Wielu kasjerów nie jest w stanie obliczyć sumy, wydać reszty itp. bez komputera, który mówi im, co mają robić. Silne, podstawowe umiejętności matematyczne są bardzo ważne i IMHO korzystanie z kalkulatorów powinno być bardzo ograniczone. Czasami się zastanawiam jak niektórzy z naszych młodych ludzi poradziliby sobie w prawdziwej katastrofie/sytuacji kryzysowej, gdy nie byłoby prądu, telefonów komórkowych, komputerów, możliwości korzystania z Internetu itp. Jako rodzic uczący się w domu, jednym z moich celów jest, aby moje dziecko posiadało dobre, podstawowe umiejętności w zakresie miejscu, aby mogły dobrze funkcjonować w każdym przedmiocie bez pomocy elektronicznej.
Mam chłopca, który chodzi do trzeciej klasy i kupiłem mu niezwykle prosty kalkulator (tylko +,-,*,/). Całkiem nieźle radzi sobie z rozwiązywaniem problemów, zna tabliczkę mnożenia, potrafi dodawać i odejmować 12 cyfr na papierze, uczy się, jak wykonywać mnożenia na papierze itp. A ja właściwie szukałem kilku znaczących problemów do rozwiązania z kalkulatorem, kiedy natknąłem się na tę emocjonalną debatę.
Całkowicie zgadzam się, że kalkulator nie powinien zastępować nauki wykonywania operacji umysłowych i uczenia się, jak to zrobić na papierze. Powinieneś być w stanie zrobić to sam, nawet jeśli jest to niezdarne.Ale chodzi o to, że społeczeństwo się rozwija. Tam, gdzie przydatne było szybkie i prawidłowe sumowanie 20 liczb na małej notatce, a ludzie nawet płacili za tę umiejętność 40 lat temu, teraz już tak nie jest. Większość z nas nie uczy się, jak zabić królika posługiwanie się łukiem i strzałami – była to bowiem umiejętność niezbędna naszym przodkom zamieszkującym jaskinie.
Kiedy patrzę na komentarze tutaj, wydaje mi się, że jedyne problemy, z jakimi borykali się ludzie, gdy nie byli w stanie liczyć bez kalkulatora, występowały w sztucznych warunkach, w których była to wyraźnie sprawdzona kompetencja. Polowanie na króliki za pomocą strzał i łuku również stanowiłoby problem, gdyby nie było tego nauczane i wyraźnie sprawdzane pod kątem tego czy innego egzaminu. Myślę, że w „prawdziwym życiu” ważne jest teraz, aby mieć pod ręką kalkulator – choć oczywiście można się bez niego obejść, ale może nie trzeba być *wyszkolonym* w robieniu tego sprawnie, poprawnie i szybko.
BTW, kto jeszcze wie, jak obliczać pierwiastki kwadratowe na papierze? Czy to nie jest ważna umiejętność? A kto wie, jak efektywnie korzystać z suwaka logarytmicznego? Albo tabliczki logarytmicznej do mnożenia? Wszystkie te techniki były kiedyś bardzo przydatne i należało je szybko i skutecznie opanować. Teraz są bardziej do folkloru. Nie twierdzę, że umiejętność zrobienia uzupełnienia na papierze to folklor, trzeba to wiedzieć, ale zastanawiam się, po co to robić szybko i sprawnie (a co za tym idzie, spędzaj godziny na szkoleniu). Czy nie można teraz wykorzystać tego czasu na robienie bardziej pożytecznych rzeczy?
Powiedziałbym, że praktyczną umiejętnością nadal jest *mentalne* obliczanie, precyzyjne obliczenia umysłowe i obliczenia przybliżone, aby uzyskać pojęcie o rzędzie wielkości. To, czy mnożenie dwóch liczb przez 6 czy 7 cyfr jest nadal bardzo przydatna umiejętność do ćwiczenia, mam wątpliwości – chociaż, znowu, trzeba wiedzieć, jak się to robi.
Rzeczy, które stają się interesujące w przypadku kalkulatorów, to konstrukcje takie jak trójkąt Pascala lub szereg Fibonacciego, lub silnia, kombinacje i tym podobne, a które są zbyt nudne, aby wykonywać je ręcznie.
Patricka Van Escha
Pytanie: Jakie są główne powody nieużywania kalkulatorów w klasach I-III szkół średnich?Nie jestem do końca pewien, jakie są formy od pierwszej do trzeciej, ale myślę, że mówisz o szkole średniej.
Osobiście nie zaprzeczyłbym używaniu kalkulatorów przez licealistów. Dzieci muszą nauczyć się korzystać z kalkulatora i używać go mądrze – co oznacza, że powinny uczyć się KIEDY dobrze jest z niego korzystać, a kiedy nie. Być może ktoś zaprzeczyłby używaniu kalkulatora w szkole średniej, gdyby uczeń stale go nadużywał, w innych słowa używające go dla 6 x 7 itd., w takim przypadku taki uczeń może potrzebować powtórzyć matematykę w niższych klasach.
Jestem obecnym uczniem szóstej klasy. Wiem, że większość dzieci w moim wieku woli używać kalkulatora nie do sprawdzania zadań, ale do wykonywania dużej części zadań matematycznych za pomocą kalkulatorów. Kalkulatora należy używać tylko do sprawdzania zadań, ostatnio moja nauczycielka matematyki praktycznie zmuszam nas do korzystania z kalkulatorów TI30 xa, jak wiadomo, szkoła udostępnia kalkulator, który potrafi dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić i to chyba wystarczy. Ostatnio łapię się na tym, że polegam na kalkulatorach, żeby robić wszystko pracy, ale dzisiaj na lekcjach matematyki zdecydowałem, że nie będę już używać kalkulatora. Jednym z problemów, które musiałem rozwiązać, było 3,8892 podzielone przez 3 i nie pamiętam, jak to zrobić. Któregoś dnia mama zadała mi proste zadanie matematyczne podczas dodawania benzyny, a rozwiązanie tego podstawowego zadania z dodawaniem zajęło mi 5 minut. Moi rodzice nie używali kalkulatorów, kiedy byli w szkole, a jeśli ich nie potrzebowali, to my też nie. Ale kiedy wszyscy nasi obecni gimnazjaliści staną się dorosłymi osobami, nasz system szkolny sprawi, że dorośli będą mam duże zaległości w matematyce, a przy wykonywaniu wszystkich czynności polegam na komputerach i kalkulatorach. Oficjalnie jestem anty-kalkulatorem!
Miałem szczęście, że nauczyłem się podstawowych faktów matematycznych (mnożenie, dzielenie, ułamki zwykłe, szacowanie itp.), zanim dostałem kalkulator w ósmej klasie, ale naprawdę uzależniłem się od mojego narzędzia graficznego TI 83 na lekcjach algebry/prekalkulacji w szkole średniej. Zrobiłbym wykres funkcji, aby znaleźć zera, zamiast używać wzoru kwadratowego i tym podobnych.Moje zajęcia z rachunku różniczkowego na pierwszym roku nie pozwalały na korzystanie z kalkulatorów i oblałem je. Stało się to po tym, jak całkiem nieźle wypadłem z matematyki wstępnej z wyróżnieniem w szkole średniej. Zacząłem łatwiejszą serię o życiu/naukach społecznych (nadal musiałem walczyć o piątki/C) kiedy w szkole średniej miałem łatwe piątki) i ostatecznie powtarzałem trudniejsze zajęcia z rachunku różniczkowego, znacznie lepiej przygotowany. Moje zajęcia z serii nauk o życiu i naukach społecznych pozwalały na użycie 4 funkcji, ale nie na wykresach narzędzi. Poza tym na studiach musiałem pokazać swoją pracę uzyskać jakikolwiek kredyt, nawet jeśli odpowiedź była prawidłowa. Myślę, że jednym z problemów jest to, że za bardzo skupiłem się na znalezieniu odpowiedzi, zamiast na uczeniu się procesu.
Z drugiej strony moja siostra ma kalkulator od trzeciej klasy i dosłownie nie potrafi pomnożyć 6*7 bez kalkulatora ani rozwiązać zadania tekstowego, chociaż z matematyki w szkole średniej dostaje piątki.
Jako senior specjalizujący się w edukacji wczesnoszkolnej/edukacji podstawowej rozumiem znaczenie posiadania wiedzy na temat korzystania z kalkulatora, ponieważ tak, żyjemy w epoce, w której technologia jest szeroko stosowana. Jednakże, podobnie jak wielu z Was, kiedy po raz pierwszy przyszedłem na studia i musiałem zdawać egzaminy bez użycia kalkulatora, miałem duże kłopoty! Nadal radziłem sobie bardzo dobrze, ale nauczenie się na nowo wszystkich podstawowych funkcji matematycznych zajęło mi dużo czasu. Z moich osobistych doświadczeń w tej dziedzinie i z własnych kursów, zalecam stałą równowagę pomiędzy tymi dwiema metodami!
Uczę matematyki na uniwersytecie, gdzie używanie kalkulatora jest zabronione. Niestety, wielu uczniów zostało zrujnowanych używaniem kalkulatora. Mają problem z wykonaniem nawet najprostszej algebry. Spowodowało to wzrost liczby zajęć z matematyki na uczelniach na całym świecie nawet o 95%. Istnieje książka zatytułowana „The Deliberate Dumbing Down Of America” napisana przez byłego sygnalistę z Departamentu Edukacji (znanego również jako DOE, co powinno oznaczać Dopes Of Education).
Menu lekcji matematyki
|
|
|
Informacje katalogowe
Tytuł
Podstawowa algebra liniowa.
(Godziny zaliczenia: godziny wykładów: godziny laboratorium)
Oferowany
Warunek wstępny
Minimalne efekty uczenia się
Po ukończeniu tego kursu, pomyślny student będzie mógł:
- Użyj eliminacji Gaussa, aby wykonać wszystkie poniższe czynności: rozwiązać układ liniowy ze zredukowaną formą rzutu rzędowego, rozwiązać układ liniowy z postacią rzutu rzędowego i podstawieniem wstecznym, znaleźć odwrotność danej macierzy i znaleźć wyznacznik danej macierzy.
- Wykazać biegłość w algebrze macierzy. W przypadku mnożenia macierzy wykaż zrozumienie prawa łączenia, prawa odwrotnej kolejności dla odwrotności i transpozycji oraz zawodności prawa przemienności i prawa anulowania.
- Użyj reguły Cramera do rozwiązania układu liniowego.
- Użyj kofaktorów, aby znaleźć odwrotność danej macierzy i wyznacznik danej macierzy.
- Ustalić, czy zbiór o danym pojęciu dodawania i mnożenia przez skalar jest przestrzenią wektorową. Tutaj i w odpowiednich liczbach poniżej zapoznaj się z przykładami o skończonych i nieskończonych wymiarach.
- Ustalić, czy dany podzbiór przestrzeni wektorowej jest podprzestrzenią.
- Określ, czy dany zbiór wektorów jest liniowo niezależny, rozpinany, czy też jest bazą.
- Wyznaczyć wymiar danej przestrzeni wektorowej lub danej podprzestrzeni.
- Znajdź podstawy przestrzeni zerowej, przestrzeni wierszy i przestrzeni kolumn danej macierzy i określ jej rząd.
- Wykazać zrozumienie twierdzenia rangi o nieważności i jego zastosowań.
- Mając opis transformacji liniowej, znajdź jej macierzową reprezentację w odniesieniu do danych podstaw.
- Wykazać zrozumienie związku pomiędzy podobieństwem a zmianą podstawy.
- Znajdź normę wektora i kąt między dwoma wektorami w przestrzeni iloczynu wewnętrznego.
- Użyj iloczynu wewnętrznego, aby wyrazić wektor w przestrzeni iloczynu wewnętrznego jako kombinację liniową ortogonalnego zbioru wektorów.
- Znajdź dopełnienie ortogonalne danej podprzestrzeni.
- Wykazać zrozumienie zależności między przestrzenią wierszy, przestrzenią kolumn i przestrzenią zerową macierzy (i jej transpozycją) poprzez dopełnienia ortogonalne.
- Wykazać zrozumienie nierówności Cauchy'ego-Schwartza i jej zastosowań.
- Ustal, czy przestrzeń wektorowa o postaci (seskwiliniowej) jest przestrzenią iloczynu wewnętrznego.
- Użyj procesu Grama-Schmidta, aby znaleźć bazę ortonormalną wewnętrznej przestrzeni iloczynu. Być w stanie to zrobić zarówno w R n oraz w przestrzeniach funkcyjnych, które są wewnętrznymi przestrzeniami iloczynów.
- Użyj metody najmniejszych kwadratów, aby dopasować linię ( y = topór + B) do tabeli danych, narysuj linię i punkty danych oraz wyjaśnij znaczenie metody najmniejszych kwadratów w kontekście rzutowania ortogonalnego.
- Skorzystaj z idei najmniejszych kwadratów, aby znaleźć rzuty ortogonalne na podprzestrzenie i dopasować krzywą wielomianową.
- Znajdź (rzeczywiste i złożone) wartości własne i wektory własne macierzy 2 × 2 lub 3 × 3.
- Określ, czy dana macierz jest diagonalizowalna. Jeśli tak, znajdź macierz, która ją diagonalizuje poprzez podobieństwo.
- Wykazać zrozumienie zależności pomiędzy wartościami własnymi macierzy kwadratowej i jej wyznacznikiem, jej śladem oraz jej odwracalnością/osobliwością.
- Identyfikować macierze symetryczne i ortogonalne.
- Znajdź macierz, która prostopadle diagonalizuje daną macierz symetryczną.
- Zna i potrafi zastosować twierdzenie spektralne dla macierzy symetrycznych.
- Znać i umieć zastosować rozkład wartości osobliwych.
- Poprawnie zdefiniuj pojęcia i podaj przykłady odnoszące się do powyższych pojęć.
- Udowodnij podstawowe twierdzenia dotyczące powyższych pojęć.
- Udowodnij lub obal twierdzenia dotyczące powyższych pojęć.
- Być biegły w ręcznych obliczeniach w celu redukcji wierszy, inwersji macierzy i podobnych problemów; do rozwiązywania problemów z algebrą liniową użyj MATLAB-a lub podobnego programu.
W problemie komiwojażera, aby wytyczyć optymalną trasę wokół n miast, należy wybrać najlepszą z (n-1)! opcje w oparciu o czas, koszt lub długość trasy. Problem ten polega na wyznaczeniu cyklu Hamiltona o minimalnej długości. W takim przypadku zbiór wszystkich możliwych rozwiązań należy przedstawić w postaci drzewa – połączonego wykresu, który nie zawiera cykli ani pętli. Korzeń drzewa łączy cały zestaw opcji, a wierzchołki drzewa są podzbiorami częściowo uporządkowanych opcji rozwiązań.
Cel usługi. Korzystając z usługi możesz sprawdzić swoje rozwiązanie lub uzyskać nowe rozwiązanie problemu komiwojażera, korzystając z dwóch metod: metody oddziałowej i powiązanej oraz metody węgierskiej.
Model matematyczny problemu komiwojażera
Sformułowany problem jest problemem całkowitym. Niech x ij =1, jeśli podróżny przemieszcza się z i-tego miasta do j-tego oraz x ij =0, jeśli tak nie jest.Formalnie wprowadzamy (n+1) miasto położone w tym samym miejscu co miasto pierwsze, tj. odległości od (n+1) miast do dowolnego innego miasta niż pierwsze są równe odległościom od pierwszego miasta. Co więcej, jeśli możesz opuścić tylko pierwsze miasto, możesz przyjechać tylko do miasta (n+1).
Wprowadźmy po drodze dodatkowe zmienne całkowite równe liczbie wizyt w tym mieście. u 1 =0, u n +1 =n. Aby uniknąć zamkniętych ścieżek, należy opuścić pierwsze miasto i wrócić do (n+1), wprowadzamy dodatkowe ograniczenia łączące zmienne x ij ze zmiennymi u i (u i są liczbami całkowitymi nieujemnymi).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, gdzie i=1 j≠n+1
0≤u ja ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
Metody rozwiązywania problemu komiwojażera
- metoda rozgałęziona i związana (algorytm Little'a lub eliminacja podcykli). Przykład rozwiązania rozgałęzionego i powiązanego;
- Metoda węgierska. Przykład rozwiązania wykorzystującego metodę węgierską.
Algorytm Little'a lub eliminacja podcykli
- Operacja redukcji wzdłuż wierszy: w każdym wierszu macierzy znajduje się minimalny element d min i odejmuje się go od wszystkich elementów odpowiedniego wiersza. Dolna granica: H=∑d min.
- Operacja redukcji według kolumn: w każdej kolumnie macierzy wybierz element minimalny d min i odejmij go od wszystkich elementów odpowiedniej kolumny. Dolna granica: H=H+∑d min.
- Stała redukcji H jest dolną granicą zbioru wszystkich dopuszczalnych konturów Hamiltona.
- Znajdowanie potęg zer dla macierzy danej przez wiersze i kolumny. Aby to zrobić, tymczasowo zamień zera w macierzy na znak „∞” i znajdź sumę minimalnych elementów wiersza i kolumny odpowiadających temu zerowi.
- Wybierz łuk (i,j), dla którego stopień elementu zerowego osiąga wartość maksymalną.
- Zbiór wszystkich konturów Hamiltona dzieli się na dwa podzbiory: podzbiór konturów Hamiltona zawierających łuk (i,j) i tych, które go nie zawierają (i*,j*). Aby otrzymać macierz konturów zawierającą łuk (i,j), należy przekreślić w macierzy wiersz i kolumnę j. Aby zapobiec tworzeniu się konturu innego niż Hamiltona, należy zastąpić element symetryczny (j,i) znakiem „∞”. Eliminację łuku osiąga się poprzez zastąpienie elementu w matrycy ∞.
- Macierz konturów Hamiltona redukuje się poprzez poszukiwanie stałych redukcji H(i,j) i H(i*,j*) .
- Porównuje się dolne granice podzbioru krzywych Hamiltona H(i,j) i H(i*,j*). Jeśli H(i,j)
- Jeżeli w wyniku rozgałęzienia otrzymana zostanie macierz (2x2), wówczas wyznaczany jest kontur Hamiltona uzyskany w wyniku rozgałęzienia i jego długość.
- Długość konturu Hamiltona porównuje się z dolnymi granicami zwisających gałęzi. Jeżeli długość konturu nie przekracza ich dolnych granic, problem zostaje rozwiązany. W przeciwnym wypadku rozwijane są gałęzie podzbiorów z dolną granicą mniejszą niż wynikowy kontur, aż do uzyskania trasy o krótszej długości.
Przykład. Rozwiąż problem komiwojażera za pomocą macierzy, korzystając z algorytmu Little'a
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Rozwiązanie. Przyjmijmy dowolną trasę: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Wtedy F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Aby określić dolną granicę zbioru, używamy operacja redukcji lub redukując macierz wiersz po wierszu, dla której należy znaleźć element minimalny w każdym wierszu macierzy D: d i = min(j) d ij
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
re j = min(i) re ij
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Elementy macierzy d ij odpowiadają odległości od punktu i do punktu j.
Ponieważ w macierzy jest n miast, to D jest macierzą nxn z elementami nieujemnymi d ij ≥ 0
Każda ważna trasa reprezentuje cykl, w którym komiwojażer odwiedza miasto tylko raz i wraca do pierwotnego miasta.
Długość trasy określa się wzorem: F(M k) = ∑d ij
Ponadto każdy wiersz i kolumna jest uwzględniona w trasie tylko raz z elementem d ij .
Krok 1.
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| DJ | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (0 + 6) = 6 dla krawędzi (5,2), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (5,2) i (5*,2*).
Wykluczenie krawędzi(5.2) przeprowadza się zastępując element d 52 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (5*,2*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| DJ | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Włączanie krawędzi(5.2) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów 5. rzędu i 2. kolumny, w których element d 25 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolna granica podzbioru (5,2) jest równa: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Ponieważ dolna granica tego podzbioru (5,2) jest mniejsza niż podzbioru (5*,2*), uwzględniamy krawędź (5,2) w trasie z nową granicą H = 35
Krok 2.
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia i podziel cały zbiór tras względem tej krawędzi na dwa podzbiory (i, j) i (i*, j*).
W tym celu dla wszystkich komórek macierzy z elementami zerowymi zastępujemy po kolei zera M (nieskończonością) i wyznaczamy dla nich sumę powstałych stałych redukcyjnych, które podano w nawiasach.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| DJ | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (0 + 9) = 9 dla krawędzi (4,3), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (4,3) i (4*,3*).
Wykluczenie krawędzi(4.3) przeprowadzamy zastępując element d 43 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (4*,3*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| DJ | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Włączanie krawędzi(4.3) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów 4. rzędu i 3. kolumny, w których element d 34 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
Po operacji redukcji zredukowana macierz będzie wyglądać następująco:
| ja j | 1 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| DJ | 0 | 2 | 0 | 7 |
Dolna granica podzbioru (4,3) jest równa: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Ponieważ 42 > 41, wykluczamy podzbiór (5,2) do dalszego rozgałęzienia.
Wracamy do poprzedniego planu X 1.
Zaplanuj X 1.
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia i podziel cały zbiór tras względem tej krawędzi na dwa podzbiory (i, j) i (i*, j*).
W tym celu dla wszystkich komórek macierzy z elementami zerowymi zastępujemy po kolei zera M (nieskończonością) i wyznaczamy dla nich sumę powstałych stałych redukcyjnych, które podano w nawiasach.
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| DJ | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (0 + 6) = 6 dla krawędzi (4,2), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (4,2) i (4*,2*).
Wykluczenie krawędzi(4.2) przeprowadza się zastępując element d 42 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (4*,2*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| DJ | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Włączanie krawędzi(4.2) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów 4. rzędu i 2. kolumny, w których element d 24 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
W rezultacie otrzymujemy kolejną zredukowaną macierz (4 x 4), która podlega operacji redukcji.
Po operacji redukcji zredukowana macierz będzie wyglądać następująco:
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolna granica podzbioru (4,2) jest równa: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Ponieważ dolna granica tego podzbioru (4,2) jest mniejsza niż podzbioru (4*,2*), uwzględniamy krawędź (4,2) w trasie z nową granicą H = 41
Krok 2.
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia i podziel cały zbiór tras względem tej krawędzi na dwa podzbiory (i, j) i (i*, j*).
W tym celu dla wszystkich komórek macierzy z elementami zerowymi zastępujemy po kolei zera M (nieskończonością) i wyznaczamy dla nich sumę powstałych stałych redukcyjnych, które podano w nawiasach.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| DJ | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (4 + 5) = 9 dla krawędzi (1,5), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (1,5) i (1*,5*).
Wykluczenie krawędzi(1.5) przeprowadzamy zastępując element d 15 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (1*,5*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Włączanie krawędzi(1.5) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów pierwszego rzędu i piątej kolumny, w których element d 51 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
W rezultacie otrzymujemy kolejną zredukowaną macierz (3 x 3), która podlega operacji redukcji.
Po operacji redukcji zredukowana macierz będzie wyglądać następująco:
| ja j | 1 | 3 | 4 | ja |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolna granica podzbioru (1,5) jest równa: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Ponieważ dolna granica tego podzbioru (1,5) jest mniejsza niż podzbioru (1*,5*), uwzględniamy krawędź (1,5) w trasie z nową granicą H = 41
Krok 3.
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia i podziel cały zbiór tras względem tej krawędzi na dwa podzbiory (i, j) i (i*, j*).
W tym celu dla wszystkich komórek macierzy z elementami zerowymi zastępujemy po kolei zera M (nieskończonością) i wyznaczamy dla nich sumę powstałych stałych redukcyjnych, które podano w nawiasach.
| ja j | 1 | 3 | 4 | ja |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| DJ | 6 | 9 | 0 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (9 + 6) = 15 dla krawędzi (2,1), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (2,1) i (2*,1*).
Wykluczenie krawędzi(2.1) przeprowadza się zastępując element d 21 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (2*,1*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 3 | 4 | ja |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| DJ | 6 | 0 | 0 | 15 |
Włączanie krawędzi(2.1) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów drugiego rzędu i pierwszej kolumny, w których element d 12 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
W rezultacie otrzymujemy kolejną zredukowaną macierz (2 x 2), która podlega operacji redukcji.
Po operacji redukcji zredukowana macierz będzie wyglądać następująco:
| ja j | 3 | 4 | ja |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 |
∑d ja + ∑d jot = 0
Dolna granica podzbioru (2,1) jest równa: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Ponieważ dolna granica tego podzbioru (2,1) jest mniejsza niż podzbioru (2*,1*), uwzględniamy krawędź (2,1) w trasie z nową granicą H = 41.
Zgodnie z tą macierzą do trasy hamiltonowskiej uwzględniamy krawędzie (3,4) i (5,3).
W efekcie wzdłuż rozgałęziającego się drzewa cyklu Hamiltona krawędzie tworzą się:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Długość trasy wynosi F(Mk) = 41
Drzewo decyzyjne.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), H=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W tym kalkulatorze używane są również następujące elementy:
Graficzna metoda rozwiązywania ZLP
Simpleksowa metoda rozwiązywania ZLP
Rozwiązywanie gry macierzowej
Korzystając z usługi online możesz określić cenę gry matrycowej (dolna i górna granica), sprawdzić obecność punktu siodłowego, znaleźć rozwiązanie dla strategii mieszanej metodami: minimax, metodą simplex, graficzną (geometryczną) ), metoda Browna.
Ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Problemy programowania dynamicznego
Pierwszy etap rozwiązania problemu transportowego jest określenie jego typu (otwarty lub zamknięty, albo w inny sposób zrównoważony lub niezrównoważony). Metody przybliżone ( metody wyszukiwania planu referencyjnego) pozwalać na drugi etap rozwiązania w niewielkiej liczbie kroków uzyskać akceptowalne, choć nie zawsze optymalne rozwiązanie problemu. Do tej grupy metod zalicza się następujące metody:
- usunięcie (metoda podwójnej preferencji);
- północno-zachodni róg;
- element minimalny;
- Przybliżenia Vogla.
Referencyjne rozwiązanie problemu transportowego
Referencyjne rozwiązanie problemu transportowego jest dowolnym możliwym rozwiązaniem, dla którego wektory warunków odpowiadające współrzędnym dodatnim są liniowo niezależne. Aby sprawdzić liniową niezależność wektorów warunków odpowiadających współrzędnym rozwiązania dopuszczalnego, stosuje się cykle.Cykl Nazywa się sekwencję komórek w tabeli zadań transportowych, w której dwie i tylko sąsiadujące ze sobą komórki znajdują się w tym samym wierszu lub kolumnie, a pierwsza i ostatnia również znajdują się w tym samym wierszu lub kolumnie. Układ wektorów warunków problemu transportu jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy z odpowiednich komórek tabeli nie można utworzyć żadnego cyklu. Zatem dopuszczalne rozwiązanie problemu transportowego i=1,2,...,m; j=1,2,...,n jest odniesieniem tylko wtedy, gdy z zajmowanych przez niego komórek tabeli nie można utworzyć cyklu.
Przybliżone metody rozwiązania problemu transportowego.
Metoda przekreślenia (metoda podwójnej preferencji). Jeśli w wierszu lub kolumnie tabeli jest zajęta jedna komórka, nie można jej włączyć do żadnego cyklu, ponieważ cykl ma dwie i tylko dwie komórki w każdej kolumnie. Można zatem skreślić wszystkie wiersze tabeli zawierające jedną zajętą komórkę, następnie skreślić wszystkie kolumny zawierające jedną zajętą komórkę, a następnie wrócić do wierszy i kontynuować przekreślanie wierszy i kolumn. Jeżeli w wyniku usunięcia wszystkie wiersze i kolumny zostaną przekreślone, oznacza to, że z zajętych komórek tabeli nie można wybrać części tworzącej cykl, a układ odpowiednich wektorów warunków jest liniowo niezależny, a rozwiązanie jest rozwiązaniem referencyjnym. Jeżeli po usunięciu pozostaną jakieś komórki, to komórki te tworzą cykl, układ odpowiednich wektorów warunków jest liniowo zależny, a rozwiązanie nie jest rozwiązaniem referencyjnym.
Metoda kąta północno-zachodniego polega na sekwencyjnym przejrzeniu wierszy i kolumn tabeli transportowej, zaczynając od lewej kolumny i górnego wiersza, i wypisanie w odpowiednich komórkach tabeli maksymalnych możliwych przesyłek tak, aby możliwości dostawcy lub potrzeby konsumenta określone w zadania nie zostały przekroczone. W tej metodzie nie zwraca się uwagi na ceny dostawy, gdyż zakłada się dalszą optymalizację przesyłek.
Metoda Minimalnych Elementów. Pomimo swojej prostoty metoda ta jest nadal skuteczniejsza niż np. metoda kąta północno-zachodniego. Ponadto metoda elementu minimalnego jest jasna i logiczna. Jego istota polega na tym, że w tabeli transportu najpierw wypełniane są komórki z najniższymi taryfami, a następnie komórki z wysokimi taryfami. Oznacza to, że wybieramy transport przy minimalnym koszcie dostawy ładunku. To oczywiste i logiczne posunięcie. To prawda, że nie zawsze prowadzi to do optymalnego planu.
Metoda aproksymacyjna Vogla. Metodą aproksymacyjną Vogla w każdej iteracji znajduje się różnicę pomiędzy dwiema zapisanymi w nich stawkami minimalnymi dla wszystkich kolumn i wszystkich wierszy. Różnice te zapisywane są w specjalnie wyznaczonym wierszu i kolumnie tabeli stanów problemowych. Spośród wskazanych różnic wybierane jest minimum. W wierszu (lub kolumnie), któremu odpowiada ta różnica, określa się stawkę minimalną. Komórka, w której jest zapisany, jest wypełniana w tej iteracji.
Przykład nr 1. Macierz taryfowa (tutaj liczba dostawców to 4, liczba sklepów to 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerwy | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| Wymagania | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Warunek równowagi jest spełniony. Zaspokaja równe potrzeby. Zatem model problemu transportowego jest zamknięty. Gdyby model był otwarty, konieczne byłoby wprowadzenie dodatkowych dostawców lub konsumentów.
NA drugi etap Plan referencyjny przeszukiwany jest metodami podanymi powyżej (najczęściej stosowana jest metoda najtańsza).
Aby zademonstrować algorytm, przedstawiamy tylko kilka iteracji.
Iteracja nr 1. Minimalny element macierzy wynosi zero. Dla tego elementu zapasy wynoszą 60, a wymagania wynoszą 30. Wybieramy z nich minimalną liczbę 30 i odejmujemy ją (patrz tabela). Jednocześnie skreślamy szóstą kolumnę z tabeli (jej potrzeby są równe 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | X | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | X | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | X | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Iteracja nr 2. Ponownie szukamy minimum (0). Z pary (60;50) wybieramy minimalną liczbę 50. Przekreślamy piątą kolumnę.
| 3 | 20 | 8 | X | 4 | X | 80 |
| 4 | 4 | 18 | X | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | X | 6 | X | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | X | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Iteracja nr 3. Kontynuujemy proces, aż wyselekcjonujemy wszystkie potrzeby i materiały.
Iteracja nr N. Element, którego szukasz to 8. Zasoby tego elementu są równe wymaganiom (40).
| 3 | X | 8 | X | 4 | X | 40 - 40 = 0 |
| X | X | X | X | 3 | 0 | 0 |
| X | 4 | X | X | X | X | 0 |
| X | X | X | 0 | 1 | X | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerwy | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Wymagania | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Policzmy ilość zajętych komórek tabeli, jest ich 8, ale powinno być m + n - 1 = 9. Zatem plan wsparcia jest zdegenerowany. Tworzymy nowy plan. Czasami trzeba zbudować kilka planów referencyjnych, zanim znajdziesz taki, który nie jest zdegenerowany.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerwy | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Wymagania | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
W rezultacie uzyskuje się pierwszy plan wsparcia, który jest ważny, ponieważ liczba zajętych komórek tabeli wynosi 9 i odpowiada formule m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, tj. plan referencyjny jest niezdegenerowany.
Trzeci etap polega na udoskonalaniu znalezionego planu odniesienia. Tutaj używają metody potencjalnej lub metody dystrybucji. Na tym etapie poprawność rozwiązania można monitorować poprzez funkcję kosztu F(x). Jeżeli maleje (pod warunkiem minimalizacji kosztów), to rozwiązanie jest prawidłowe.
Przykład nr 2. Stosując metodę taryfy minimalnej, przedstaw wstępny plan rozwiązania problemu transportowego. Sprawdź optymalność za pomocą metody potencjału.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Przykład nr 3. Cztery zakłady cukiernicze mogą produkować trzy rodzaje wyrobów cukierniczych. Koszty produkcji jednego kwintala (kwintala) wyrobów cukierniczych w każdej fabryce, moce produkcyjne fabryk (kwintal na miesiąc) oraz dzienne zapotrzebowanie na wyroby cukiernicze (kwintal na miesiąc) przedstawiono w tabeli. Opracuj plan produkcji słodyczy, który minimalizuje całkowite koszty produkcji.
Notatka. Tutaj można najpierw dokonać transpozycji tabeli kosztów, gdyż w przypadku klasycznego sformułowania problemu transportu na pierwszym miejscu są moce produkcyjne (produkcja), a następnie konsumenci.
Przykład nr 4. Do budowy obiektów cegły dostarczane są z trzech fabryk (I, II, III). Fabryki posiadają odpowiednio 50, 100 i 50 tys. jednostek w magazynach. cegły Obiekty wymagają odpowiednio 50, 70, 40 i 40 tysięcy sztuk. cegły Taryfy (den.jednostki/tys. jednostek) podane są w tabeli. Utwórz plan transportu, który minimalizuje całkowite koszty transportu.
będzie zamknięte, jeżeli:A) a=40, b=45
B) a=45, b=40
B) a=11, b=12
Warunek zamkniętego problemu transportowego: ∑a = ∑b
Znajdujemy, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Otrzymujemy: 55+b = 60+a
Równość będzie zachowana tylko wtedy, gdy a=40, b=45
