தீர்மானிப்பவர்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள். இரண்டாவது வரிசை தீர்மானிப்பவர்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

தலைப்பு 1. மெட்ரிக்குகள் மற்றும் அமைப்புகள்

மேட்ரிக்ஸ் கருத்து

வரையறை 1.மேட்ரிக்ஸ்

.

இங்கே, ஒரு நான் ஜே (i=1,2,...,மீ; ஜே=1,2,...n) - அணி கூறுகள், i- வரி எண், ஜே m=nஅணி அழைக்கப்படுகிறது சதுரம்ஆர்டர் மேட்ரிக்ஸ் n

i¹jபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், என்று அழைக்கப்படுகிறது மூலைவிட்டமான:

ஒற்றை

பூஜ்யமற்றும் θ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

- அணி வரிசை; - அணி நிரல்.

தீர்மானிக்கும்(அல்லது தீர்மானிக்கும்).

2வது வரிசையை தீர்மானிப்பவர்கள்

வரையறை 2. பற்றி இரண்டாவது வரிசை வரம்புமெட்ரிக்குகள் , அதாவது

. (3)

பிற பதவிகள்:, .

இவ்வாறு, ஒரு தீர்மானிப்பவரின் கருத்து ஒரே நேரத்தில் அதன் கணக்கீட்டிற்கான ஒரு முறையை முன்வைக்கிறது. எண்கள் தீர்மானிக்கும் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. உறுப்புகளால் உருவாகும் மூலைவிட்டம் அழைக்கப்படுகிறது முக்கியமற்றும் கூறுகள் - பக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 1.மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் இதற்கு சமம்

.

3வது வரிசையை தீர்மானிப்பவர்கள்

வரையறை 2. பற்றி மூன்றாம் வரிசை வரம்புசின்னத்தால் குறிக்கப்படும் எண்

,

மற்றும் சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது

எண்கள் - உறுப்புகள்தீர்மானிக்கும். கூறுகள் வடிவம் வீடுமூலைவிட்ட, உறுப்புகள் - பக்கம்.

தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடும்போது, ​​சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள எந்தச் சொற்கள் (4) “+” அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகின்றன என்பதையும், “-” அடையாளத்துடன், முக்கோணங்களின் குறியீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தவும் (சர்ரஸ் விதி):

"+" அடையாளத்துடன், முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கூறுகளின் தயாரிப்புகள் மற்றும் முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு இணையான தளங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்களின் முனைகளில் அமைந்துள்ள உறுப்புகள் எடுக்கப்படுகின்றன; "-" குறியைத் தொடர்ந்து - இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தின் கூறுகளின் தயாரிப்பு மற்றும் முக்கோணங்களின் முனைகளில் இரண்டாம் மூலைவிட்டத்திற்கு இணையான தளங்களைக் கொண்ட உறுப்புகள்.

நெடுவரிசை ஒதுக்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிப்பவரின் கணக்கீடு.

1. முதல் மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசைகளை தீர்மானிப்பவரின் வலதுபுறத்தில் வரிசையாக ஒதுக்குகிறோம்.

2. மூன்று தனிமங்களின் தயாரிப்புகளை இடமிருந்து வலமாக, மேலிருந்து கீழாக குறுக்காக கணக்கிடுகிறோம் ஏ 11 முதல் ஏ 13 மற்றும் "+" அடையாளத்துடன் அவற்றை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். மூன்று உறுப்புகளின் தயாரிப்புகளை இடமிருந்து வலமாக, கீழிருந்து மேல் இருந்து குறுக்காக கணக்கிடுகிறோம் ஏ 31 முதல் ஏ 13 மற்றும் அவற்றை "-" அடையாளத்துடன் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

எடுத்துக்காட்டு 2. நெடுவரிசை ஒதுக்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுங்கள்.

3. தீர்மானிப்பவர்கள் n-வது வரிசை. சிறார் மற்றும் இயற்கணித சேர்த்தல்கள். வரிசை (நெடுவரிசை) விரிவாக்கம் மூலம் தீர்மானிப்பவர்களின் கணக்கீடு.

ஒரு தீர்மானிப்பான் என்ற கருத்தை கருத்தில் கொள்வோம் n-உத்தரவு இல்லை. தீர்மானிப்பவர் n-உயர் வரிசை என்பது மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்புடைய எண் n-ஒரு குறிப்பிட்ட ஒழுங்கு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட சட்டத்தின்படி கணக்கிடப்படுகிறது.

,

இங்கே தீர்மானிப்பவரின் கூறுகள் உள்ளன. நிர்ணயம் வெளிப்படும் விதியைக் காட்ட nமுதல் வரிசையில், சில கருத்துகளைப் பார்ப்போம்.

வரையறை 4. மைனர்தீர்மானிக்கும் உறுப்பு n-வது வரிசையை தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது ( n- 1) இந்த உறுப்பு அமைந்துள்ள குறுக்குவெட்டில் தீர்மானிப்பவரின் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையைக் கடப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட ஆர்டர்.

வரையறை 5. இயற்கணித நிரப்புதீர்மானிக்கும் சில உறுப்புகள் nவது வரிசையானது இந்த தனிமத்தின் மைனர் என்று அழைக்கப்படுகிறது , அதாவது .

மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பதில் ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளலாம், எடுத்துக்காட்டாக,

, .

, .

வரையறை 6. தீர்மானிப்பான் n-உயர் வரிசை என்பது தீர்மானிக்கும் பொருளின் முதல் வரிசையின் தனிமங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான எண்ணாகும்.

தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான இந்த விதி அழைக்கப்படுகிறது முதல் வரிசையில் விரிவாக்கம்.

தேற்றம் (தீர்மானியின் விரிவாக்கம் பற்றி).எந்த வரிசை அல்லது நெடுவரிசையிலும் விரிவாக்குவதன் மூலம் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடலாம்.

- 2 வது நெடுவரிசையின் இயற்கணித நிரப்புகளால் 1 வது நெடுவரிசையின் கூறுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை.

எடுத்துக்காட்டு 3. நான்காவது வரிசை நிர்ணயிப்பைக் கணக்கிடுங்கள் .

தீர்வு.மூன்றாவது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கி நான்காவது வரியுடன் சேர்த்து, நான்காவது வரியுடன் தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்துகிறோம்:

மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பான் முதல் வரிசையில் விரிவாக்கப்பட்டது.

காஸ் முறை.

காஸ் முறைஅசல் அமைப்பு, தெரியாததை நீக்குவதன் மூலம், மாற்றப்படுகிறது படிப்படியாகமனம். இந்த வழக்கில், நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் உள்ள வரிசைகளில் மாற்றங்கள் செய்யப்படுகின்றன, ஏனெனில் தெரியாதவற்றை விலக்கும் மாற்றங்கள் மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளின் அடிப்படை மாற்றங்களுக்கு சமம்.

காசியன் முறை கொண்டுள்ளது முன்னோக்கி பக்கவாதம் மற்றும் தலைகீழ். காஸ் முறையின் நேரடி அணுகுமுறையானது, வரிசைகளின் மீது அடிப்படை மாற்றங்களின் மூலம் சிஸ்டத்தின் (1) நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்குக் குறைப்பதாகும். அதன் பிறகு கணினி நிலைத்தன்மை மற்றும் உறுதிக்காக ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. பின்னர் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு படி மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி மறுகட்டமைக்கப்படுகிறது. இந்த படிநிலை சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு காஸ் முறையின் தலைகீழ் ஆகும், இதில் கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து தொடங்கி பெரியது வரிசை எண், மற்றும் அவற்றின் மதிப்புகள் அமைப்பின் முந்தைய சமன்பாட்டில் மாற்றப்படுகின்றன.

முன்னோக்கி நகர்த்தலின் முடிவில் கணினியின் ஆய்வு, க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தின்படி சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் A மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி A´ ஆகியவற்றின் தரவரிசைகளை ஒப்பிடுவதன் மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்.

1) என்றால் , பின்னர் அமைப்பு சீரற்றது (க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தின்படி).

2) என்றால், அமைப்பு (1) திட்டவட்டமானது, மற்றும் நேர்மாறாக (ஆதாரம் இல்லாமல்).

3) என்றால், அமைப்பு (1) நிச்சயமற்றது, மற்றும் நேர்மாறாக (ஆதாரம் இல்லாமல்).

சமத்துவமின்மை மேட்ரிக்ஸ் A அணி A´ இன் ஒரு பகுதியாக இருப்பதால், அணி A இன் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருப்பதால், ஏற்றத்தாழ்வு நிலைக்காது. n. மேலும், சதுர அணி கொண்ட அமைப்புக்கு, அதாவது என்றால் n = டி, சமத்துவங்கள் என்பதற்குச் சமமானவை.

கணினி நிச்சயமற்றதாக இருந்தால், அதாவது, அது செயல்படுத்தப்பட்டால், அதன் சில அறியப்படாதவை இலவசம் என்று அறிவிக்கப்படும், மீதமுள்ளவை அவற்றின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. இலவச தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கை . காஸியன் முறையின் தலைகீழாகச் செயல்படும் போது, ​​அடுத்த சமன்பாட்டில், முன்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மாறிகளை மாற்றிய பின், ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அறியப்படாத எச்சங்கள் இருந்தால், ஒன்றைத் தவிர வேறு தெரியாதவை இலவச அறியப்படாதவை என்று அறிவிக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி காஸ் முறையை செயல்படுத்துவதைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம் 4. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு.காசியன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்போம். கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம் மற்றும் அடிப்படை வரிசை மாற்றங்கள் (நேரடி இயக்கம்) மூலம் ஒரு படிநிலை வடிவத்திற்கு குறைக்கலாம்.

~ ~ ~

~ ~ .

எனவே, அமைப்பு சீரானது மற்றும் ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது, அதாவது. உறுதியாக உள்ளது.

ஒரு படிநிலை அமைப்பை உருவாக்கி அதைத் தீர்ப்போம் (தலைகீழ்).

மாற்று மூலம் காசோலையை எளிதாக செய்யலாம்.

பதில்: .

தலைப்பு 2. திசையன் இயற்கணிதம்.

ஒரு திசையன் ஒரு அச்சில் ப்ராஜெக்ஷன்.

வரையறை 2. திசையன் முன்கணிப்புஒரு அச்சுக்கு எல்பிரிவின் நீளத்திற்கு சமமான எண்ணாகும் ஏபிஇந்த அச்சு, திசையன் தொடக்கம் மற்றும் முடிவின் கணிப்புகளுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, பிரிவு என்றால், “+” அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது ஏபிசார்ந்த (எண்ணும் ஏசெய்ய IN) வி நேர்மறை பக்கம்அச்சுகள் எல்மற்றும் அடையாளம் "-" - இல்லையெனில் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்).

பதவி: .

தேற்றம் 1.அச்சில் ஒரு திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் அதன் மாடுலஸ் மற்றும் திசையன் மற்றும் அச்சின் நேர் திசைக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைன் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் (படம் 3):

. (1)

படம்.3. படம்.4.

ஆதாரம். (படம் 3) இலிருந்து நாம் பெறுகிறோம். பிரிவின் திசையானது அச்சின் நேர்மறை திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே சமத்துவம் உண்மை. எதிர் நோக்குநிலையின் விஷயத்தில் (படம் 4) எங்களிடம் உள்ளது. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

கணிப்புகளின் பண்புகளை கருத்தில் கொள்வோம்.

சொத்து 1. இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் அச்சின் கூட்டுத்தொகையின் கணிப்பு அதே அச்சில் அவற்றின் கணிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது.

படம்.5.

திசையன்களின் சாத்தியமான ஏற்பாடுகளில் ஒன்றின் ஆதாரம் படம் 5 இலிருந்து பின்வருமாறு. உண்மையில், வரையறை 2

திசையன்களின் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட சொற்களுக்கும் பண்பு 1 உண்மையாகும்.

சொத்து 2. ஒரு வெக்டரை ஒரு எண்ணால் l பெருக்கினால், அதன் ப்ராஜெக்ஷன் இந்த எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது.

. (2)

சமத்துவத்தை நிரூபிப்போம் (2). திசையன்கள் மற்றும் அச்சுடன் அதே கோணத்தை உருவாக்கும் போது. தேற்றம் 1 மூலம்

திசையன்கள் மற்றும் வடிவ கோணங்கள் மற்றும் அச்சுடன் முறையே போது. தேற்றம் 1

ஏனெனில், நாம் வெளிப்படையான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்

பண்புகளிலிருந்து முடிவு 1 மற்றும் 2. திசையன்களின் நேரியல் கலவையின் திட்டமானது, இந்த திசையன்களின் கணிப்புகளின் அதே நேரியல் கலவைக்கு சமம், அதாவது.

தலைப்பு 1. மெட்ரிக்குகள் மற்றும் அமைப்புகள்

மேட்ரிக்ஸ் கருத்து

வரையறை 1.மேட்ரிக்ஸ்அளவு என்பது எண்களின் செவ்வக அட்டவணை அல்லது வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட அகரவரிசை வெளிப்பாடுகள்

.

இங்கே, ஒரு நான் ஜே (i=1,2,...,மீ; ஜே=1,2,...n) - அணி கூறுகள், i- வரி எண், ஜே- நெடுவரிசை எண். மெட்ரிக்குகள் பொதுவாக பெரிய எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன லத்தீன் எழுத்துக்கள் A, B, C, முதலியன, அத்துடன் அல்லது . மணிக்கு m=nஅணி அழைக்கப்படுகிறது சதுரம்ஆர்டர் மேட்ரிக்ஸ் n

அனைத்து உறுப்புகளும் சமமற்ற குறியீடுகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணி i¹jபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், என்று அழைக்கப்படுகிறது மூலைவிட்டமான:

மூலைவிட்ட மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகளும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், அணி அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை. அடையாள அணி பொதுவாக E என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரு அணி அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்யமற்றும் θ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு வரிசை அல்லது ஒரு நெடுவரிசை கொண்ட மெட்ரிக்குகளும் உள்ளன.

- அணி வரிசை; - அணி நிரல்.

சதுர மேட்ரிக்ஸின் எண்ணியல் பண்பு தீர்மானிக்கும்(அல்லது தீர்மானிக்கும்).

2 வது வரிசை மற்றும் 3 வது வரிசையை தீர்மானிப்பவர்கள், அவற்றின் பண்புகள்.

2வது வரிசையை தீர்மானிப்பவர்கள்

வரையறை 2. பற்றி இரண்டாவது வரிசை வரம்புமெட்ரிக்குகள் (அல்லது வெறுமனே இரண்டாவது வரிசை நிர்ணயம்) என்பது ஒரு குறியீட்டால் குறிக்கப்படும் மற்றும் சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்படும் எண் , அதாவது

. (3)

பிற பதவிகள்:, .

மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைக் கண்டறிய, 2வது மற்றும் 3வது வரிசையின் தீர்மானிப்பாளர்களுக்குச் செல்லுபடியாகும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

சூத்திரம்

இரண்டாவது-வரிசை அணி $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $ கொடுக்கப்பட வேண்டும். அதன் நிர்ணயம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$

பிரதான மூலைவிட்டமான $ a_(11)\cdot a_(22) $ இல் அமைந்துள்ள தனிமங்களின் பெருக்கத்திலிருந்து, இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டமான $ a_(12)\cdot a_(21) $ இல் அமைந்துள்ள தனிமங்களின் பலன் கழிக்கப்படுகிறது. இந்த விதி 2வது வரிசை தீர்மானிக்கு மட்டுமே (!) உண்மை.

மூன்றாவது வரிசை அணி $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, அதன் நிர்ணயம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட வேண்டும்:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$

தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு அணி $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $ஐக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளரை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? அணி இரண்டாவது வரிசையின் சதுரம், அதாவது நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் மற்றும் அவை ஒவ்வொன்றும் 2 கூறுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம். எனவே, முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். பிரதான மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளைப் பெருக்கி, அவற்றிலிருந்து இரண்டாம் மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் பெருக்கத்தைக் கழிப்போம்: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ உங்களால் உங்கள் பிரச்சனையை தீர்க்க முடியாவிட்டால், அதை எங்களுக்கு அனுப்புங்கள். நாங்கள் விரிவான தீர்வை வழங்குவோம். கணக்கீட்டின் முன்னேற்றத்தை நீங்கள் பார்க்கலாம் மற்றும் தகவலைப் பெறலாம். இது உங்கள் ஆசிரியரிடமிருந்து உங்கள் மதிப்பெண்ணை சரியான நேரத்தில் பெற உதவும்!

பதில்

$$ \Delta = -2 $$

எடுத்துக்காட்டு 2

$ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $ கொடுக்கப்பட்ட அணி. நாம் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட வேண்டும்.

தீர்வு

சிக்கல் 3 வது வரிசையின் சதுர அணி என்பதால், இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிப்பான் கண்டறியப்பட வேண்டும். சிக்கலின் தீர்வை எளிதாக்க, சூத்திரத்தில் $ a_(ij) $ மாறிகளுக்குப் பதிலாக எங்கள் சிக்கலின் மேட்ரிக்ஸிலிருந்து மதிப்புகளை மாற்றினால் போதும்: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டம் மற்றும் ஒத்தவற்றில் உள்ள உறுப்புகளின் தயாரிப்புகளை நாம் கண்டறிந்தால், தயாரிப்புகளின் முன் ஒரு கழித்தல் அடையாளம் வைக்கப்படுகிறது என்பது கவனிக்கத்தக்கது.

பதில்

$$ \Delta = 31 $$

வரையறை 6. கணினியின் அணி (1.4) உடன் தொடர்புடைய மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பான் என்பது D எண் ஆகும்.

மூன்றாம் வரிசை நிர்ணயிப்பாளரைக் கணக்கிடுவதற்கு, இரண்டு கணக்கீட்டுத் திட்டங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை அதிக சிரமமின்றி மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பாளர்களைக் கணக்கிடுவதை சாத்தியமாக்குகின்றன. இந்த திட்டங்கள் " முக்கோண விதி" (அல்லது "நட்சத்திர விதி") மற்றும் " சர்ரஸ் ஆட்சி ".

முக்கோண விதியின் படி, வரைபடத்தில் உள்ள கோடுகளால் இணைக்கப்பட்ட கூறுகள் முதலில் பெருக்கி சேர்க்கப்படுகின்றன

அந்த. நாங்கள் தயாரிப்புகளின் தொகையைப் பெறுகிறோம்: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32.

ஒரு வரியால் இணைக்கப்பட்ட கூறுகள், நேராக அல்லது உடைந்து, பெருக்கப்படுகின்றன, அதன் விளைவாக தயாரிப்புகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

பின்னர் வரைபடத்தில் இணைக்கப்பட்ட கூறுகள் பெருக்கி சேர்க்கப்படுகின்றன

அந்த. நாங்கள் மற்றொரு தயாரிப்புகளைப் பெறுகிறோம் a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32. இறுதியாக, தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட, இரண்டாவது முதல் தொகையிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது. மூன்றாம் வரிசை நிர்ணயிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை இறுதியாகப் பெறுகிறோம்:

D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).

சர்ரஸின் விதியின்படி, முதல் இரண்டு நெடுவரிசைகள் வலதுபுறத்தில் உள்ள நிர்ணயிப்பாளருடன் சேர்க்கப்படுகின்றன, பின்னர் ஒரு திசையில் உள்ள தீர்மானிப்பவரின் கூறுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் மற்றொரு திசையில் உள்ள உறுப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை கணக்கிடப்படுகிறது. அதிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது (வரைபடத்தைப் பார்க்கவும்):

முக்கோண விதியைப் பயன்படுத்தி நிர்ணயிப்பாளரைக் கணக்கிடும்போது முடிவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்பதை நீங்கள் உறுதியாக நம்பலாம்.

உதாரணம். கணக்கீடு தீர்மானிப்பான்

தீர்வு. நட்சத்திர விதியைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்

மற்றும் சர்ரஸின் விதியின் படி

அந்த. எதிர்பார்த்தபடி, இரண்டு கணக்கீட்டு திட்டங்களுக்கும் ஒரே முடிவைப் பெறுகிறோம்.

இரண்டாவது வரிசை தீர்மானிப்பாளர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்ட அனைத்து பண்புகளும் மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பாளர்களுக்கு செல்லுபடியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், ஏனெனில் நீங்களே சரிபார்க்கலாம். இந்த பண்புகளின் அடிப்படையில், எந்தவொரு வரிசையையும் தீர்மானிப்பவர்களுக்கு பொதுவான பண்புகளை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.

தீர்மானிப்பவர் ஒரு சதுர அணி என்பது பின்வருமாறு கணக்கிடப்படும் ஒரு எண்:

a) சதுர அணி வரிசை 1 எனில், அதாவது. இது 1 எண்ணைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் தீர்மானிப்பான் இந்த எண்ணுக்கு சமம்;

b) சதுர மேட்ரிக்ஸின் வரிசை 2 ஆக இருந்தால், அதாவது. இது 4 எண்களைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் தீர்மானிப்பான் பிரதான மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் பெருக்கத்திற்கும் இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் பெருக்கத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்;

c) சதுர மேட்ரிக்ஸின் வரிசை 3 எனில், அதாவது. இது 9 எண்களைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் தீர்மானிப்பான் தொகைக்கு சமம்இந்த மூலைவிட்டத்திற்கு இணையான பிரதான மூலைவிட்டம் மற்றும் இரண்டு முக்கோணங்களின் தனிமங்களின் தயாரிப்புகள், இதில் இருந்து இந்த மூலைவிட்டத்திற்கு இணையான இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டம் மற்றும் இரண்டு முக்கோணங்களின் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகை கழிக்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

தீர்மானிப்பவர்களின் பண்புகள்

1. வரிசைகள் நெடுவரிசைகளாலும், நெடுவரிசைகள் வரிசைகளாலும் மாற்றப்பட்டால் தீர்மானிப்பான் மாறாது

1. ஒரே மாதிரியான 2 தொடர்களைக் கொண்ட ஒரு தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம்
2. தீர்மானிப்பவரின் எந்த வரிசையின் (வரிசை அல்லது நெடுவரிசை) பொதுவான காரணியை தீர்மானிப்பவரின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்

4. இரண்டு இணைத் தொடர்களை மறுசீரமைக்கும்போது, ​​தீர்மானிப்பான் குறியை எதிர்க்கு மாற்றுகிறது

5. ஒரு தீர்மானிப்பாளரின் எந்தவொரு தொடரின் கூறுகளும் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருந்தால், தீர்மானிப்பான் இரண்டு தொடர்புடைய தீர்மானிகளின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவாக்கப்படலாம்.

6. ஒரு இணைத் தொடரின் தொடர்புடைய கூறுகள் ஒரு தொடரின் உறுப்புகளுடன் சேர்க்கப்பட்டால், எந்த எண்ணாலும் பெருக்கினால் தீர்மானிப்பான் மாறாது

தீர்மானியின் சிறு உறுப்பு மற்றும் அதன் இயற்கணித நிரப்பு

சிறிய உறுப்பு ஒரு IJ nth வரிசையின் தீர்மானிப்பான் என்பது i-th வரிசை மற்றும் j-th நெடுவரிசையைக் கடந்து அசல் ஒன்றிலிருந்து பெறப்பட்ட n-1st வரிசையின் நிர்ணயம் ஆகும்.

IJ என்ற தனிமத்தின் இயற்கணித நிரப்புதீர்மானிப்பான் அதன் சிறிய (-1) i+ j ஆல் பெருக்கப்படுகிறது

உதாரணம்

தலைகீழ் அணி

அணி அழைக்கப்படுகிறது சீரழியாத, அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், மேட்ரிக்ஸ் ஒருமை என்று அழைக்கப்படுகிறது

அணி அழைக்கப்படுகிறது தொழிற்சங்கம், அது தொடர்புடைய இயற்கணித நிரப்பிகளைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் இடமாற்றம் செய்யப்பட்டால்

அணி அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ்கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் அதே வரிசையின் அடையாள அணிக்கு அவற்றின் தயாரிப்பு சமமாக இருந்தால் கொடுக்கப்பட்ட அணிக்கு

இருப்பு தேற்றம் தலைகீழ் அணி

எந்த ஒருமை அல்லாத அணியும் இந்த மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானத்தால் வகுக்கப்படும் யூனியன் மேட்ரிக்ஸுக்கு சமமான தலைகீழ் உள்ளது

தலைகீழ் அணி A ஐக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்

1. கணக்கீடு தீர்மானிப்பான்

1. இடமாற்ற அணி

1. யூனியன் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குங்கள், இடமாற்றப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து இயற்கணித நிரப்புகளையும் கணக்கிடுங்கள்

1. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

மேட்ரிக்ஸ் மைனர்தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட k வரிசைகள் மற்றும் k நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ள கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு தீர்மானிப்பான், கொடுக்கப்பட்ட mxn அளவிலான அணி

மேட்ரிக்ஸ் தரவரிசைபூஜ்யம் அல்லாத மேட்ரிக்ஸ் மைனரின் மிக உயர்ந்த வரிசையாகும்

குறிப்பு r(A), rangA

தரவரிசைபடி மேட்ரிக்ஸின் பூஜ்ஜியமற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

உதாரணம்

அமைப்புகள் நேரியல் சமன்பாடுகள்.

மீ சமன்பாடுகள் மற்றும் n தெரியாதவற்றைக் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு படிவத்தின் அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எண்கள் எங்கே அ IJ - கணினி குணகங்கள், எண்கள் b i - இலவச விதிமுறைகள்

மேட்ரிக்ஸ் பதிவு வடிவம்நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்

அமைப்பு தீர்வுதெரியாதவற்றின் n மதிப்புகள் c 1, c 2,..., c n என அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றை கணினியில் மாற்றும்போது, ​​அமைப்பின் அனைத்து சமன்பாடுகளும் உண்மையான சமன்பாடுகளாக மாறும். கணினிக்கான தீர்வை நெடுவரிசை வெக்டராக எழுதலாம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு, அது குறைந்தது ஒரு தீர்வு இருந்தால், மற்றும் கூட்டு அல்லாத, தீர்வுகள் இல்லை என்றால்.

க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம்

பிரதான மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே LU அமைப்பு சீராக இருக்கும்.

LU அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

1. காஸ் முறை(அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை ஒரு படி மேட்ரிக்ஸாகவும் பின்னர் ஒரு நியமனமாகவும் குறைக்கவும்)

அடிப்படை மாற்றங்கள் அடங்கும்:

வரிசைகளை மறுசீரமைத்தல் (நெடுவரிசைகள்)

ஒரு வரிசையில் (நெடுவரிசை) மற்றொன்றைச் சேர்த்தல், 0 அல்லாத வேறு எண்ணால் பெருக்கப்படும்.

விரிவாக்கப்பட்ட அணியை உருவாக்குவோம்:

முதல் நெடுவரிசை மற்றும் முதல் வரிசையில் உள்ள முன்னணி உறுப்பைத் தேர்ந்தெடுத்து, உறுப்பு 1., அதை முன்னணி என்று அழைப்போம். முன்னணி உறுப்பு கொண்ட வரி மாறாது. முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கீழ் உறுப்புகளை மீட்டமைப்போம். இதைச் செய்ய, முதல் வரியை இரண்டாவது வரியில் சேர்க்கவும், (-2) ஆல் பெருக்கவும். முதல் வரியை மூன்றாவது வரியில் சேர்த்து, (-1) ஆல் பெருக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்:

இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகளை மாற்றுவோம். முதல் நெடுவரிசை மற்றும் முதல் வரிசையை மனதளவில் கடந்து, மீதமுள்ள மேட்ரிக்ஸிற்கான வழிமுறையைத் தொடரவும். மூன்றாவது வரியில் நாம் 2 வது, 5 ஆல் பெருக்குகிறோம்.

நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை ஒரு படி படிவத்திற்கு கொண்டு வந்தோம். கணினியின் சமன்பாடுகளுக்குத் திரும்பி, கடைசி வரியிலிருந்து தொடங்கி மேலே செல்லும்போது, ​​தெரியாதவற்றை ஒவ்வொன்றாகத் தீர்மானிக்கிறோம்.

2. மேட்ரிக்ஸ் முறை (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; கட்டற்ற சொற்களின் நெடுவரிசையால் பெருக்கப்படும் பிரதான அணிக்கு நேர்மாறான அணி)

3. க்ரேமர் முறை.

அமைப்பின் தீர்வு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

மாற்றியமைக்கப்பட்ட முதன்மை மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் எங்கே, இதில் i-வது நெடுவரிசை இலவச சொற்களின் நெடுவரிசையாக மாற்றப்படுகிறது, மேலும் இது தெரியாதவற்றின் குணகங்களைக் கொண்ட முக்கிய தீர்மானிப்பாகும்.

திசையன்கள்.

திசையன்இயக்கிய பிரிவு ஆகும்

எந்த திசையன் நீளம் (மாடுலஸ்) மற்றும் திசையால் வழங்கப்படுகிறது.

பதவி: அல்லது

இதில் A என்பது வெக்டரின் ஆரம்பம், B என்பது வெக்டரின் முடிவு மற்றும் திசையனின் நீளம்.

திசையன் வகைப்பாடு

பூஜ்ஜிய திசையன்பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரு திசையன்

அலகு திசையன்ஒரு திசையன், அதன் நீளம் ஒன்றுக்கு சமம்

சம திசையன்கள்- இவை ஒரே நீளம் மற்றும் திசையைக் கொண்ட இரண்டு திசையன்கள்

எதிர் திசையன்கள்- இவை இரண்டு திசையன்கள், அவற்றின் நீளம் சமமாக இருக்கும் மற்றும் திசைகள் எதிரெதிர்

கோலினியர் திசையன்கள்- இவை ஒரே கோட்டில் அல்லது இணையான கோடுகளில் இருக்கும் இரண்டு திசையன்கள்

இணைதிசைதிசையன்கள் ஒரே திசையைக் கொண்ட இரண்டு கோலினியர் திசையன்கள்

நேர்மாறாக இயக்கியதுதிசையன்கள் எதிர் திசைகளைக் கொண்ட இரண்டு கோலினியர் திசையன்கள்

கோப்ளனார்திசையன்கள் என்பது ஒரே விமானத்தில் அல்லது இணையான விமானங்களில் இருக்கும் மூன்று திசையன்கள்

செவ்வக அமைப்புஒரு விமானத்தில் உள்ள ஆயத்தொலைவுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திசை மற்றும் தோற்றம் கொண்ட இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்து கோடுகளாகும், கிடைமட்ட கோடு abscissa அச்சு என்றும், செங்குத்து கோடு ஆர்டினேட் அச்சு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் நாம் இரண்டு எண்களை ஒதுக்குகிறோம்: abscissa மற்றும் ordinate

செவ்வக அமைப்புவிண்வெளியில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திசை மற்றும் தோற்றம் கொண்ட மூன்று பரஸ்பர செங்குத்து நேர்கோடுகள் ஆகும், அதே சமயம் நம்மை நோக்கி செல்லும் கிடைமட்ட நேர்கோடு abscissa அச்சு என அழைக்கப்படுகிறது, கிடைமட்ட நேர்கோடு வலப்புறமாக இயக்கப்பட்ட அச்சு மற்றும் செங்குத்து நேர்கோடு மேல்நோக்கி இயக்கப்பட்டது பயன்பாட்டு அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் நாம் மூன்று எண்களை ஒதுக்குகிறோம்: abscissa, ordinate மற்றும் applicate