CB X ஒரு பொது மக்கள்தொகையை உருவாக்கி, β அறியப்படாத அளவுரு CB X ஆக இருக்கட்டும். * இல் உள்ள புள்ளிவிவர மதிப்பீடு சீராக இருந்தால், மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், β இன் மதிப்பை மிகத் துல்லியமாகப் பெறுவோம். இருப்பினும், நடைமுறையில், எங்களிடம் மிகப் பெரிய மாதிரிகள் இல்லை, எனவே அதிக துல்லியத்திற்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியாது.

b* என்பது cக்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடாக இருக்கட்டும். மதிப்பு |in* - in| கணிப்பு துல்லியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. β* ஒரு சீரற்ற மாறி என்பதால், துல்லியம் CB என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு சிறிய நேர்மறை எண் 8 ஐக் குறிப்பிடுவோம் மற்றும் மதிப்பீட்டின் துல்லியம் |в* - в| 8 க்கும் குறைவாக இருந்தது, அதாவது | in* - in |< 8.

நம்பகத்தன்மை g அல்லது நம்பிக்கை நிகழ்தகவு in by in * என்பது நிகழ்தகவு g ஆகும், இதில் சமத்துவமின்மை |in * - in|< 8, т. е.

பொதுவாக, நம்பகத்தன்மை g முன்கூட்டியே குறிப்பிடப்படுகிறது, மேலும் g என்பது 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) க்கு நெருக்கமான எண்ணாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

சமத்துவமின்மை இருந்து |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

இடைவெளி (* - 8 இல், * + 5 இல்) நம்பிக்கை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. நம்பிக்கை இடைவெளிஇல் தெரியாத அளவுருவை நிகழ்தகவு y உடன் உள்ளடக்கியது. நம்பிக்கை இடைவெளியின் முனைகள் சீரற்றவை மற்றும் மாதிரியிலிருந்து மாதிரிக்கு மாறுபடும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எனவே இடைவெளி (* - 8 இல், * + 8 இல்) இதில் உள்ள அறியப்படாத அளவுருவை உள்ளடக்கியது என்று கூறுவது மிகவும் துல்லியமானது. இடைவெளி.

விடுங்கள் மக்கள் தொகைஒரு சீரற்ற மாறி X மூலம் வழங்கப்படுகிறது, இது ஒரு சாதாரண சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது மற்றும் நிலையான விலகல் a அறியப்படுகிறது. தெரியாதது கணித எதிர்பார்ப்பு a = M(X). கொடுக்கப்பட்ட நம்பகத்தன்மை y க்கான நம்பக இடைவெளியைக் கண்டறிவது அவசியம்.

மாதிரி அர்த்தம்

xr = a க்கான புள்ளிவிவர மதிப்பீடு.

தேற்றம். சீரற்ற மாறி xB உள்ளது சாதாரண விநியோகம், X என்றால் சாதாரண விநியோகம் மற்றும் M (XB) = a,

A (XB) = a, அங்கு a = y/B (X), a = M (X). l/i

ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

8ஐக் காண்கிறோம்.

விகிதத்தைப் பயன்படுத்துதல்

Ф(r) என்பது Laplace செயல்பாடாக இருந்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

பி ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplace செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணையில் t இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம்.

நியமிக்கப்பட்டது

T, நாம் F(t) = g ஐப் பெறுகிறோம், ஏனெனில் g கொடுக்கப்பட்டதால், பின்னர்

சமத்துவத்தில் இருந்து மதிப்பீடு துல்லியமானது என்பதைக் காண்கிறோம்.

இதன் பொருள், ஒருக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி வடிவம் கொண்டது:

X மக்கள்தொகையிலிருந்து ஒரு மாதிரி கொடுக்கப்பட்டது

என்ஜி	செய்ய"	X2	Xm
n	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, பின் நம்பக இடைவெளி:

எடுத்துக்காட்டு 6.35. மாதிரி சராசரி Xb = 10.43, மாதிரி அளவு n = 100 மற்றும் நிலையான விலகல் s = 5 ஆகியவற்றை அறிந்து, 0.95 நம்பகத்தன்மையுடன் சாதாரண விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு a ஐ மதிப்பிடுவதற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறியவும்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி

1. என்று தெரியப்படுத்துங்கள் sl. x அளவு அறியப்படாத சராசரி μ மற்றும் அறியப்பட்ட σ 2: X~N(μ,σ 2 உடன் சாதாரண சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறது), σ 2 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, μ தெரியவில்லை. β குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. x 1, x 2, …, x n மாதிரியின் அடிப்படையில், I β (θ) (இப்போது θ=μ), திருப்திகரமாக (13) கட்டமைக்க வேண்டியது அவசியம்

மாதிரி சராசரி (மாதிரி சராசரி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) அதே மையமான μ உடன் இயல்பான சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது, ஆனால் சிறிய மாறுபாடு X~N (μ, D), இங்கு மாறுபாடு D =σ 2 =σ 2 /n.

நிபந்தனையின்படி ξ~N(0,1)க்கு வரையறுக்கப்பட்ட K β எண் நமக்குத் தேவைப்படும்

வார்த்தைகளில்: abscissa அச்சின் -K β மற்றும் K β புள்ளிகளுக்கு இடையே நிலையான சாதாரண விதியின் அடர்த்தி வளைவின் கீழ் பகுதி உள்ளது, β க்கு சமம்

எடுத்துக்காட்டாக, K 0.90 = 1.645 அளவு 0.95 மதிப்பின் ξ

K 0.95 = 1.96. ; கே 0.997 =3.

குறிப்பாக, எந்தவொரு சாதாரண சட்டத்தின் மையத்திலிருந்தும் 1.96 நிலையான விலகல்களை வலதுபுறமாகவும் இடதுபுறமாகவும் ஒதுக்கி, 0.95 க்கு சமமான அடர்த்தி வளைவின் கீழ் பகுதியைப் பிடிக்கிறோம், இதன் காரணமாக K 0 95 என்பது நிலை 0.95 இன் அளவு ஆகும். இந்தச் சட்டத்திற்கு + 1/2 * 0.005 = 0.975.

பொது சராசரி μ க்கு தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளி I A (μ) = (x-σ, x+σ),

எங்கே δ = (15)

ஒரு நியாயத்தைக் கூறுவோம்:

சொன்னபடி, வார்த்தைகள். நிகழ்தகவு β (படம் 9) உடன் மதிப்பு J=μ±σ இடைவெளியில் விழுகிறது. இந்த வழக்கில், அளவு δ ஐ விட குறைவாக மையத்தில் இருந்து விலகுகிறது, மற்றும் சீரற்ற இடைவெளி ± δ (ஒரு சீரற்ற மையம் மற்றும் J போன்ற அதே அகலத்துடன்) புள்ளி μ ஐ உள்ளடக்கும். அதாவது எஃப் ஜே<=> μ Є Iβ,எனவே Р(μЄІ β) = Р(Є J)=β.

எனவே, மாதிரியின் மீது நிலையான I β இடைவெளி, நிகழ்தகவு β உடன் சராசரி μ ஐக் கொண்டுள்ளது.

தெளிவாக, பெரிய n, சிறிய σ மற்றும் இடைவெளி குறுகலாக உள்ளது, மேலும் பெரிய உத்தரவாதத்தை நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் β, பரந்த நம்பிக்கை இடைவெளி.

எடுத்துக்காட்டு 21.

அறியப்பட்ட மாறுபாடு σ 2 =64 உடன் இயல்பான மதிப்புக்கான n=16 கொண்ட மாதிரியின் அடிப்படையில், x=200 கண்டறியப்பட்டது. β=0.95 எடுத்துக் கொள்ளும் பொது சராசரி (வேறுவிதமாகக் கூறினால், கணித எதிர்பார்ப்புக்கு) μ நம்பக இடைவெளியை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. I β (μ)= ± δ, இங்கு δ = K β σ/ -> K β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ)=200 4=(196;204).

β=0.95 உத்தரவாதத்துடன் உண்மையான சராசரி இடைவெளிக்கு (196,204) சொந்தமானது என்று முடிவு செய்தால், ஒரு பிழை சாத்தியம் என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்.

100 நம்பிக்கை இடைவெளிகளில் I 0.95 (μ), சராசரியாக 5 இல் μ இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 22.

முந்தைய உதாரணம் 21 இன் நிபந்தனைகளில், நம்பக இடைவெளியை பாதியாக குறைக்க என்ன n எடுக்க வேண்டும்? 2δ=4 இருக்க, நாம் எடுக்க வேண்டும்

நடைமுறையில், ஒரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளிகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எனவே, μ இன் உயர் மதிப்புகள் பயனுள்ளவை அல்லது தீங்கு விளைவிக்காதவை, ஆனால் குறைந்த மதிப்புகள் விரும்பத்தகாதவை, வலிமை அல்லது நம்பகத்தன்மையைப் போலவே, ஒரு பக்க இடைவெளியை உருவாக்குவது நியாயமானது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் அதன் மேல் வரம்பை முடிந்தவரை உயர்த்த வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு 21 இல் உள்ளதைப் போல, கொடுக்கப்பட்ட β க்கு இரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்கி, பின்னர் எல்லைகளில் ஒன்றின் இழப்பில் அதை முடிந்தவரை விரிவுபடுத்தினால், அதிக உத்தரவாதத்துடன் ஒரு பக்க இடைவெளியைப் பெறுவோம் β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, எடுத்துக்காட்டாக, β = 0.90 என்றால், β = 0.90 + 0.10/2 = 0.95.

எடுத்துக்காட்டாக, நாங்கள் தயாரிப்பின் வலிமையைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்று கருதி, இடைவெளியின் மேல் வரம்பை உயர்த்துவோம். பின்னர் μ க்கு உதாரணம் 21 இல் ஒரு பக்க நம்பிக்கை இடைவெளியை (196,°°) குறைந்த வரம்பு 196 மற்றும் நம்பக நிகழ்தகவு β"=0.95+0.05/2=0.975 உடன் பெறுகிறோம்.

சூத்திரத்தின் (15) நடைமுறைக் குறைபாடு என்னவென்றால், இது மாறுபாடு = σ 2 (எனவே = σ 2 /n) அறியப்படுகிறது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் பெறப்பட்டது; மேலும் இது வாழ்க்கையில் அரிதாகவே நடக்கும். விதிவிலக்கு என்பது மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், n என்பது நூற்றுக்கணக்கான அல்லது ஆயிரங்களில் அளவிடப்படுகிறது, பின்னர் σ 2 க்கு ஒருவர் நடைமுறையில் அதன் மதிப்பீட்டை s 2 அல்லது எடுக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 23.

ஒரு பெரிய நகரத்தில், குடியிருப்பாளர்களின் வாழ்க்கை நிலைமைகளின் மாதிரி கணக்கெடுப்பின் விளைவாக, பின்வரும் தரவு அட்டவணை பெறப்பட்டது (வேலையிலிருந்து எடுத்துக்காட்டு).

அட்டவணை 8

உதாரணமாக ஆதார தரவு

என்று எண்ணுவது இயல்பு மதிப்பு X என்பது ஒரு நபருக்கு மொத்த (பயன்படுத்தக்கூடிய) பகுதி (m2 இல்) மற்றும் சாதாரண சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது. சராசரி μ மற்றும் மாறுபாடு σ 2 தெரியவில்லை. μக்கு, 95% நம்பிக்கை இடைவெளி கட்டமைக்கப்பட வேண்டும். குழுவான தரவைப் பயன்படுத்தி மாதிரி வழிமுறைகள் மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறிய, பின்வரும் கணக்கீடுகளின் அட்டவணையைத் தொகுப்போம் (அட்டவணை 9).

அட்டவணை 9

தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து X மற்றும் 5 ஐக் கணக்கிடுகிறது

N குழுக்கள் 3	ஒரு நபருக்கான மொத்த பரப்பளவு, மீ2	குழு r j இல் வசிப்பவர்களின் எண்ணிக்கை	இடைவெளியின் நடுப்புள்ளி x j	ஆர் ஜே எக்ஸ் ஜே	rjxj 2
	5.0 வரை		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	30.0க்கு மேல்		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

இந்த துணை அட்டவணையில், முதல் மற்றும் இரண்டாவது ஆரம்ப புள்ளியியல் தருணங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன (2) ஒரு 1மற்றும் ஏ 2

σ 2 மாறுபாடு இங்கே தெரியவில்லை என்றாலும், பெரிய மாதிரி அளவு காரணமாக, நடைமுறையில் சூத்திரத்தை (15) பயன்படுத்தலாம், அதில் σ = = 7.16 ஐ வைக்கலாம்.

பின்னர் δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

β=0.95 இல் உள்ள பொது சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46) க்கு சமம்.

இதன் விளைவாக, 0.95 உத்தரவாதத்துடன் கொடுக்கப்பட்ட நகரத்தில் ஒரு நபரின் சராசரி மதிப்பு இடைவெளியில் உள்ளது (18.54; 19.46).

2. சாதாரண மதிப்பின் அறியப்படாத மாறுபாடு σ 2 இல் கணித எதிர்பார்ப்பு μக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி.

(16)

கொடுக்கப்பட்ட உத்தரவாதத்திற்கான இந்த இடைவெளி β சூத்திரத்தின்படி கட்டமைக்கப்படுகிறது, இங்கு ν = n-1,

.

குணகம் t β,ν ஆனது ν டிகிரி சுதந்திரத்துடன் t பரவலுக்கு N(0,1) விநியோகத்திற்கான β போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், sl. tν மதிப்பு நிகழ்தகவு β உடன் இடைவெளியில் (-t β,ν ; +t β,ν) விழும். t β,ν இன் மதிப்புகள் β=0.95 மற்றும் β=0.99 க்கு அட்டவணை 10 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 10.

மதிப்புகள் t β,ν

எடுத்துக்காட்டு 23 க்கு திரும்பும்போது, ​​n=1000 முதல் t β,υ =k 0..95 =1.96 என்ற குணகத்துடன் (16) சூத்திரத்தின்படி நம்பக இடைவெளி கட்டமைக்கப்பட்டிருப்பதைக் காண்கிறோம்.

இந்த விநியோகத்தின் மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் கள் அறியப்பட்டிருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, மக்கள்தொகையின் சீரற்ற மாறி X பொதுவாக விநியோகிக்கப்படட்டும். மாதிரி சராசரியைப் பயன்படுத்தி அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், நம்பகத்தன்மையுடன் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கண்டறிவதில் பணி வருகிறது. நீங்கள் நம்பக நிகழ்தகவு (நம்பகத்தன்மை) b இன் மதிப்பைக் குறிப்பிட்டால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (6.9a) அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்புக்கான இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியலாம்:

இதில் Ф(t) என்பது Laplace செயல்பாடு (5.17a) ஆகும்.

1. இதன் விளைவாக, D = s 2 மாறுபாடு தெரிந்தால், கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு வழிமுறையை உருவாக்கலாம்:
2. நம்பகத்தன்மை மதிப்பை அமைக்கவும் - b.
3. இலிருந்து (6.14) எக்ஸ்பிரஸ் Ф(t) = 0.5× b. Ф(t) மதிப்பின் அடிப்படையில் Laplace செயல்பாட்டிற்கான அட்டவணையில் இருந்து t இன் மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்).
4. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விலகலைக் கணக்கிடவும் (6.10).

.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நம்பக இடைவெளியை எழுதவும் (6.12) அதாவது நிகழ்தகவு b சமத்துவமின்மை:.

எடுத்துக்காட்டு 5

சீரற்ற மாறி X ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பின் b = 0.96 நம்பகத்தன்மையுடன் மதிப்பீட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும், கொடுக்கப்பட்டால்:

1) பொது நிலையான விலகல் s = 5;

2) மாதிரி சராசரி;

3) மாதிரி அளவு n = 49. ஏ நம்பகத்தன்மையுடன் b t தவிர அனைத்து அளவுகளும் அறியப்படுகின்றன. t இன் மதிப்பை (6.14) பயன்படுத்தி காணலாம்: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

Laplace செயல்பாடு Ф(t) = 0.48 க்கு பின் இணைப்பு 1 இல் உள்ள அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, தொடர்புடைய மதிப்பைக் கண்டறியவும் t = 2.06. எனவே, . e இன் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பை சூத்திரத்தில் (6.12) மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் நம்பிக்கை இடைவெளியைப் பெறலாம்: 30-1.47< a < 30+1,47.

அறியப்படாத கணித எதிர்பார்ப்பின் நம்பகத்தன்மை b = 0.96 உடன் மதிப்பீட்டிற்கு தேவையான நம்பிக்கை இடைவெளி சமம்: 28.53< a < 31,47.

நம்பிக்கை இடைவெளி- கொடுக்கப்பட்ட நம்பக நிகழ்தகவு γ உடன், ஒரு பெரிய தொகுதியை மாதிரி எடுக்கும்போது இந்த இடைவெளியில் இருக்கும் புள்ளியியல் அளவின் வரம்பு மதிப்புகள். P(θ - ε. நடைமுறையில், நம்பிக்கை நிகழ்தகவு γ ஆனது ஒற்றுமைக்கு மிகவும் நெருக்கமான மதிப்புகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

சேவையின் நோக்கம். இந்த சேவையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும்:

• பொது சராசரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி, மாறுபாட்டிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;
• நிலையான விலகலுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி, பொதுப் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;

இதன் விளைவாக தீர்வு வேர்ட் கோப்பில் சேமிக்கப்படுகிறது (உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்). ஆரம்ப தரவை எவ்வாறு நிரப்புவது என்பது குறித்த வீடியோ வழிமுறை கீழே உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. ஒரு கூட்டுப் பண்ணையில், மொத்தமுள்ள 1000 ஆடுகளில், 100 செம்மறி ஆடுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாட்டு வெட்டுக்கு உட்படுத்தப்பட்டன. இதன் விளைவாக, ஒரு ஆடுக்கு சராசரியாக 4.2 கிலோ கம்பளி வெட்டப்பட்டது. ஒரு ஆடுக்கு சராசரியான கம்பளி வெட்டுதலை நிர்ணயிக்கும் போது மாதிரியின் சராசரி சதுரப் பிழையை 0.99 நிகழ்தகவுடன் தீர்மானிக்கவும் மற்றும் மாறுபாடு 2.5 ஆக இருந்தால், வெட்டு மதிப்பு இருக்கும் வரம்புகளை தீர்மானிக்கவும். மாதிரி மீண்டும் மீண்டும் இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு எண். 2. மாஸ்கோ வடக்கு சுங்கத்தின் பதவியில் இறக்குமதி செய்யப்பட்ட தயாரிப்புகளின் தொகுப்பிலிருந்து, "A" தயாரிப்பின் 20 மாதிரிகள் சீரற்ற மீண்டும் மீண்டும் மாதிரிகள் மூலம் எடுக்கப்பட்டன. சோதனையின் விளைவாக, மாதிரியில் தயாரிப்பு "A" இன் சராசரி ஈரப்பதம் நிறுவப்பட்டது, இது 1% நிலையான விலகலுடன் 6% க்கு சமமாக மாறியது.
0.683 நிகழ்தகவுடன் இறக்குமதி செய்யப்பட்ட தயாரிப்புகளின் முழு தொகுப்பிலும் உற்பத்தியின் சராசரி ஈரப்பதத்தின் வரம்புகளை தீர்மானிக்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 3. 36 மாணவர்களிடம் நடத்தப்பட்ட ஆய்வில், கல்வியாண்டில் அவர்கள் படித்த பாடப்புத்தகங்களின் சராசரி எண்ணிக்கை 6 க்கு சமமாக இருந்தது. ஒரு செமஸ்டருக்கு ஒரு மாணவர் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் எண்ணிக்கையானது 6 க்கு சமமான நிலையான விலகலுடன் சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். : A) இந்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான 0 .99 இடைவெளி மதிப்பீட்டின் நம்பகத்தன்மையுடன்; B) இந்த மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட ஒரு செமஸ்டருக்கு ஒரு மாணவர் படிக்கும் பாடப்புத்தகங்களின் சராசரி எண்ணிக்கை, முழுமையான மதிப்பில் உள்ள கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து 2க்கு மிகாமல் விலகும் என்று எந்த நிகழ்தகவுடன் கூறலாம்.

நம்பிக்கை இடைவெளிகளின் வகைப்பாடு

மதிப்பிடப்படும் அளவுரு வகை மூலம்:

மாதிரி வகை மூலம்:

1. எல்லையற்ற மாதிரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;
2. இறுதி மாதிரிக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி;

மாதிரி மறு மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருள் அடுத்ததைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு முன் மக்கள்தொகைக்குத் திரும்பினால். மாதிரி மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பொருள் மக்கள் தொகைக்கு திரும்பவில்லை என்றால். நடைமுறையில், நாங்கள் வழக்கமாக மீண்டும் மீண்டும் வராத மாதிரிகளைக் கையாளுகிறோம்.

சீரற்ற மாதிரிக்கான சராசரி மாதிரி பிழையின் கணக்கீடு

மாதிரியிலிருந்து பெறப்பட்ட குறிகாட்டிகளின் மதிப்புகள் மற்றும் பொது மக்கள்தொகையின் தொடர்புடைய அளவுருக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது பிரதிநிதித்துவ பிழை.
பொது மற்றும் மாதிரி மக்கள்தொகையின் முக்கிய அளவுருக்களின் பெயர்கள்.

சராசரி மாதிரி பிழை சூத்திரங்கள்
மறு தேர்வு		மீண்டும் தேர்வு
சராசரிக்கு	பங்குக்கு	சராசரிக்கு	பங்குக்கு

மாதிரி பிழை வரம்புக்கு (Δ) இடையே உள்ள உறவு சில நிகழ்தகவுடன் உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது Р(t),மற்றும் சராசரி மாதிரி பிழை வடிவம் உள்ளது: அல்லது Δ = t·μ, எங்கே டி- நம்பிக்கை குணகம், லாப்லேஸ் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் அட்டவணையின்படி நிகழ்தகவு நிலை P(t) ஐப் பொறுத்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

முற்றிலும் சீரற்ற மாதிரி முறையைப் பயன்படுத்தி மாதிரி அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்

புள்ளிவிபரங்களில் இரண்டு வகையான மதிப்பீடுகள் உள்ளன: புள்ளி மற்றும் இடைவெளி. புள்ளி மதிப்பீடுமக்கள் தொகை அளவுருவை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் ஒற்றை மாதிரி புள்ளிவிவரம். உதாரணமாக, மாதிரி சராசரி மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாதிரி மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடாகும் எஸ் 2- மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் புள்ளி மதிப்பீடு σ 2. மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாகும் என்று காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு மாதிரி சராசரி சார்பற்றது என அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அனைத்து மாதிரி வழிமுறைகளின் சராசரி (ஒரே மாதிரி அளவுடன்) n) என்பது பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கு சமம்.

மாதிரி மாறுபாட்டின் பொருட்டு எஸ் 2மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் பாரபட்சமற்ற மதிப்பீடாக மாறியது σ 2, மாதிரி மாறுபாட்டின் வகுத்தல் சமமாக அமைக்கப்பட வேண்டும் n – 1 , இல்லை n. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மக்கள்தொகை மாறுபாடு என்பது சாத்தியமான அனைத்து மாதிரி மாறுபாடுகளின் சராசரியாகும்.

மக்கள்தொகை அளவுருக்களை மதிப்பிடும்போது, ​​மாதிரி புள்ளிவிவரங்கள் போன்றவற்றை மனதில் கொள்ள வேண்டும் , குறிப்பிட்ட மாதிரிகள் சார்ந்தது. இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள, பெற இடைவெளி மதிப்பீடுபொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாதிரி வழிமுறைகளின் விநியோகத்தை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள் (மேலும் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும்). கட்டப்பட்ட இடைவெளியானது ஒரு குறிப்பிட்ட நம்பிக்கை நிலையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது உண்மையான மக்கள்தொகை அளவுரு சரியாக மதிப்பிடப்பட்ட நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது. ஒரு குணாதிசயத்தின் விகிதத்தை மதிப்பிடுவதற்கு இதே போன்ற நம்பிக்கை இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தலாம் ஆர்மற்றும் மக்கள்தொகையின் முக்கிய விநியோகிக்கப்பட்டது.

குறிப்பைப் பதிவிறக்கவும் அல்லது வடிவத்தில், எடுத்துக்காட்டுகள் வடிவத்தில்

அறியப்பட்ட நிலையான விலகலுடன் மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கிற்கான நம்பிக்கை இடைவெளியை உருவாக்குதல்

இந்த பிரிவு நம்பிக்கை இடைவெளியின் கருத்தை வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளுக்கு விரிவுபடுத்துகிறது. இது மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்புகளின் பங்கை மதிப்பிட அனுமதிக்கிறது ஆர்மாதிரி பகிர்வைப் பயன்படுத்துதல் ஆர்எஸ்= X/n. குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அளவுகள் என்றால் nஆர்மற்றும் n(1 - ப)எண் 5 ஐத் தாண்டினால், ஈருறுப்புப் பரவலை சாதாரணமாக தோராயமாக மதிப்பிடலாம். எனவே, மக்கள்தொகையில் ஒரு குணாதிசயத்தின் பங்கை மதிப்பிடுவதற்கு ஆர்நம்பிக்கை நிலை சமமாக இருக்கும் ஒரு இடைவெளியை உருவாக்க முடியும் (1 – α)x100%.

எங்கே பஎஸ்- பண்பின் மாதிரி விகிதம் சமம் X/n, அதாவது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை மாதிரி அளவு மூலம் வகுக்கப்படுகிறது, ஆர்- பொது மக்களில் பண்புகளின் பங்கு, Z- தரப்படுத்தப்பட்ட இயல்பான விநியோகத்தின் முக்கிய மதிப்பு, n- மாதிரி அளவு.

எடுத்துக்காட்டு 3.கடந்த மாதத்தில் நிரப்பப்பட்ட 100 இன்வாய்ஸ்களைக் கொண்ட மாதிரி தகவல் அமைப்பிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதில் 10 இன்வாய்ஸ்கள் பிழைகளுடன் தொகுக்கப்பட்டவை என்று வைத்துக் கொள்வோம். இவ்வாறு, ஆர்= 10/100 = 0.1. 95% நம்பிக்கை நிலை முக்கியமான மதிப்பு Z = 1.96 உடன் ஒத்துள்ளது.

எனவே, 4.12% மற்றும் 15.88% இன்வாய்ஸ்களில் பிழைகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 95% ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட மாதிரி அளவிற்கு, மக்கள்தொகையில் உள்ள பண்பின் விகிதத்தைக் கொண்ட நம்பிக்கை இடைவெளியானது தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியை விட அதிகமாகத் தோன்றுகிறது. ஏனென்றால், தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் அளவீடுகள் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளின் அளவீடுகளை விட அதிகமான தகவல்களைக் கொண்டிருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்கும் வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவு அவற்றின் விநியோகத்தின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கு போதுமான தகவலைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

INவரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பீடுகளைக் கணக்கிடுதல்

கணித எதிர்பார்ப்பு மதிப்பீடு.இறுதி மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணி ( fpc) ஒரு காரணி மூலம் நிலையான பிழையை குறைக்க பயன்படுத்தப்பட்டது. மக்கள் தொகை அளவுரு மதிப்பீடுகளுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் கணக்கிடும் போது, ​​மாதிரிகள் திரும்பப் பெறப்படாமல் வரையப்படும் சூழ்நிலைகளில் ஒரு திருத்தக் காரணி பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, கணித எதிர்பார்ப்புக்கான நம்பிக்கை இடைவெளி சமமான நம்பிக்கை அளவைக் கொண்டுள்ளது (1 – α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகைக்கான திருத்தக் காரணியின் பயன்பாட்டை விளக்குவதற்கு, எடுத்துக்காட்டு 3 இல் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விலைப்பட்டியல்களின் சராசரி அளவுக்கான நம்பிக்கை இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலுக்குத் திரும்புவோம். ஒரு நிறுவனம் மாதத்திற்கு 5,000 இன்வாய்ஸ்களை வெளியிடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். X̅=110.27 டாலர்கள், எஸ்= $28.95, என் = 5000, n = 100, α = 0.05, t 99 = 1.9842. சூத்திரம் (6) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

ஒரு அம்சத்தின் பங்கின் மதிப்பீடு.திரும்பப் பெறாமல் தேர்ந்தெடுக்கும் போது, ​​பண்பின் விகிதத்திற்கான நம்பிக்கை இடைவெளிக்கு சமமான நம்பிக்கை நிலை உள்ளது (1 – α)x100%, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் நெறிமுறை சிக்கல்கள்

மக்கள்தொகையை மாதிரியாக்கி புள்ளியியல் முடிவுகளை எடுக்கும்போது, ​​நெறிமுறை சிக்கல்கள் அடிக்கடி எழுகின்றன. நம்பக இடைவெளிகள் மற்றும் மாதிரி புள்ளிவிவரங்களின் புள்ளி மதிப்பீடுகள் எவ்வாறு ஒத்துக்கொள்கின்றன என்பது முக்கியமானது. தொடர்புடைய நம்பிக்கை இடைவெளிகளைக் குறிப்பிடாமல் புள்ளி மதிப்பீடுகளை வெளியிடுவது (பொதுவாக 95% நம்பிக்கை மட்டத்தில்) மற்றும் அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு குழப்பத்தை உருவாக்கலாம். மொத்த மக்கள்தொகையின் பண்புகளை கணிக்க, புள்ளி மதிப்பீடு சரியாக இருக்கும் என்ற எண்ணத்தை இது பயனருக்கு அளிக்கலாம். எனவே, எந்தவொரு ஆராய்ச்சியிலும் புள்ளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்தாமல், இடைவெளி மதிப்பீடுகளில் கவனம் செலுத்த வேண்டும் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கூடுதலாக, மாதிரி அளவுகளின் சரியான தேர்வுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும்.

பெரும்பாலும், புள்ளிவிவர கையாளுதலின் பொருள்கள் சில அரசியல் பிரச்சினைகளில் மக்கள்தொகையின் சமூகவியல் ஆய்வுகளின் முடிவுகளாகும். அதே நேரத்தில், கணக்கெடுப்பு முடிவுகள் செய்தித்தாள்களின் முதல் பக்கங்களில் வெளியிடப்படுகின்றன, மேலும் மாதிரி பிழை மற்றும் புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு முறைகள் நடுவில் எங்கோ வெளியிடப்படுகின்றன. பெறப்பட்ட புள்ளி மதிப்பீடுகளின் செல்லுபடியை நிரூபிக்க, அவை பெறப்பட்ட மாதிரி அளவு, நம்பிக்கை இடைவெளியின் எல்லைகள் மற்றும் அதன் முக்கியத்துவத்தின் நிலை ஆகியவற்றைக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

அடுத்த குறிப்பு

லெவின் மற்றும் பலர் மேலாளர்களுக்கான புள்ளி விவரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. – எம்.: வில்லியம்ஸ், 2004. – ப. 448–462

மத்திய வரம்பு தேற்றம்போதுமான பெரிய மாதிரி அளவுடன், கருவிகளின் மாதிரி விநியோகத்தை ஒரு சாதாரண விநியோகம் மூலம் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று கூறுகிறது. இந்த சொத்து மக்கள்தொகையின் விநியோக வகையைச் சார்ந்தது அல்ல.