Bahay Pinahiran ng dila Maghanap ng isang puntong simetriko sa punto a. Paano makahanap ng isang puntong simetriko tungkol sa isang linya

Pinahiran ng dila

Maghanap ng isang puntong simetriko sa punto a. Paano makahanap ng isang puntong simetriko tungkol sa isang linya

Bigyan tayo ng isang tiyak na tuwid na linya, na tinukoy ng isang linear equation, at isang punto, na tinukoy ng mga coordinate nito (x0, y0) at hindi nakahiga sa linyang ito. Kinakailangang maghanap ng isang punto na magiging simetriko sa isang naibigay na punto tungkol sa isang ibinigay na tuwid na linya, iyon ay, ay magkakasabay dito kung ang eroplano ay nakabaluktot sa kalahati sa tuwid na linya na ito.

Mga tagubilin

1. Malinaw na ang parehong mga punto - ang ibinigay at ang nais - ay dapat na nasa parehong linya, at ang linyang ito ay dapat na patayo sa ibinigay. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay upang matuklasan ang equation ng isang linya na magiging patayo sa ilang partikular na linya at sa parehong oras ay dumaan sa isang ibinigay na punto.

2. Ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan. Ang canonical equation ng isang linya ay ganito ang hitsura: Ax + By + C = 0, kung saan ang A, B, at C ay mga constant. Maaari mo ring tukuyin ang isang tuwid na linya gamit ang linear function: y = kx + b, kung saan ang k ay ang angular exponent, ang b ay ang displacement. Ang dalawang paraang ito ay mapagpapalit, at posibleng lumipat mula sa isa't isa. Kung Ax + By + C = 0, pagkatapos ay y = – (Ax + C)/B. Sa madaling salita, sa isang linear function na y = kx + b, ang angular exponent k = -A/B, at ang displacement b = -C/B. Para sa gawaing nasa kamay, mas komportable ang pangangatwiran batay sa canonical equation tuwid.

3. Kung ang dalawang linya ay patayo sa isa't isa, at ang equation ng unang linya ay Ax + By + C = 0, kung gayon ang equation ng 2nd line ay dapat magmukhang Bx - Ay + D = 0, kung saan ang D ay isang pare-pareho. Upang matukoy ang isang tiyak na halaga ng D, kinakailangan din na malaman kung aling punto ang pumasa sa patayong linya. SA sa kasong ito ito ang punto (x0, y0). Dahil dito, dapat matugunan ng D ang pagkakapantay-pantay: Bx0 – Ay0 + D = 0, ibig sabihin, D = Ay0 – Bx0.

4. Matapos matuklasan ang patayong linya, kinakailangan upang kalkulahin ang mga coordinate ng punto ng intersection nito sa ibinigay na isa. Upang gawin ito, kailangan nating lutasin ang sistema linear na equation:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Ang solusyon nito ay magbibigay ng mga numero (x1, y1), na nagsisilbing mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya.

5. Ang nais na punto ay dapat na nasa nakitang linya, at ang distansya nito sa intersection point ay dapat na katumbas ng distansya mula sa intersection point hanggang sa punto (x0, y0). Ang mga coordinate ng isang puntong simetriko sa punto (x0, y0) ay makikita sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ngunit magagawa mo ito nang mas madali. Kung ang mga puntos (x0, y0) at (x, y) ay nasa pantay na distansya mula sa punto (x1, y1), at lahat ng tatlong puntos ay nasa parehong tuwid na linya, kung gayon: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. Dahil dito, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang ito sa pangalawang equation ng unang sistema at pagpapasimple ng mga expression, madaling matiyak na ang kanang bahagi nito ay magiging pareho sa kaliwa. Bilang karagdagan, walang saysay na isaalang-alang ang unang equation nang higit pa, dahil alam na ang mga puntos (x0, y0) at (x1, y1) ay nagbibigay-kasiyahan dito, at ang punto (x, y) ay malinaw na nasa parehong linya. .

Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa punto na may kaugnayan sa tuwid na linya . Iminumungkahi kong gawin ang mga hakbang sa iyong sarili, ngunit ibabalangkas ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng isang segment nahanap namin.

Magandang ideya na tingnan kung ang distansya ay 2.2 units din.

Ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon dito, ngunit ang isang microcalculator ay isang malaking tulong sa tore, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang mga karaniwang fraction. Maraming beses na kitang pinayuhan at irerekomendang muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa malayang desisyon. Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas ito. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa tingin ko ang iyong katalinuhan ay mahusay na binuo.

Anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya

Bawat sulok ay isang hamba:

Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay itinuturing na MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang kanyang "berde" na kapitbahay o kabaligtaran ang oriented"raspberry" na sulok.

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon kung saan ang anggulo ay "naka-scroll" ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa kung .

Bakit ko sinabi sayo ito? Tila kaya natin ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay ang mga formula kung saan makikita natin ang mga anggulo ay madaling magresulta sa isang negatibong resulta, at ito ay hindi dapat magtaka sa iyo. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may isang napaka-espesipiko geometriko na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, siguraduhing ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (clockwise).

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Solusyon At Pamamaraan isa

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang pananaw:

Kung diretso hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar nagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay magiging zero, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.

Batay sa itaas, ito ay maginhawa upang gawing pormal ang solusyon sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin natin ang scalar product ng mga vector ng direksyon ng mga linya:

2) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya gamit ang formula:

Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arctangent (tingnan. Mga graph at katangian mga pag-andar ng elementarya ):

Sagot:

Sa sagot ay ipinapahiwatig namin eksaktong halaga, pati na rin ang isang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, minus, walang malaking bagay. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-unscrew" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak dito.

Kung talagang gusto mong makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation. Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .

Hindi ko ito itatago, ako mismo ang pumili ng mga tuwid na linya sa pagkakasunud-sunod upang ang anggulo ay lumabas na positibo. Mas maganda, pero wala na.

Upang suriin ang iyong solusyon, maaari kang kumuha ng protractor at sukatin ang anggulo.

Ikalawang pamamaraan

Kung ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation na may slope at hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay matatagpuan gamit ang formula:

Ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linya ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay, kung saan, sa pamamagitan ng paraan, ay sumusunod sa isang napaka-kapaki-pakinabang na ugnayan sa pagitan ng mga angular coefficient ng patayo na mga linya: , na ginagamit sa ilang mga problema.

Ang algorithm ng solusyon ay katulad ng nakaraang talata. Ngunit una, muling isulat natin ang ating mga tuwid na linya sa kinakailangang anyo:

Kaya, ang mga slope ay:

1) Suriin natin kung ang mga linya ay patayo:
, na nangangahulugang ang mga linya ay hindi patayo.

2) Gamitin ang formula:

Sagot:

Ang pangalawang paraan ay angkop na gamitin kapag ang mga equation ng mga tuwid na linya ay unang tinukoy na may isang angular coefficient. Dapat pansinin na kung hindi bababa sa isang tuwid na linya ay kahanay sa ordinate axis, kung gayon ang formula ay hindi naaangkop sa lahat, dahil para sa mga tuwid na linya ang slope ay hindi tinukoy (tingnan ang artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano).

May pangatlong solusyon. Ang ideya ay kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon ng mga linya gamit ang formula na tinalakay sa aralin Tuldok na produkto ng mga vector:

Dito hindi na natin pinag-uusapan ang isang oriented na anggulo, ngunit "halos isang anggulo," ibig sabihin, ang resulta ay tiyak na magiging positibo. Ang catch ay na maaari kang magkaroon ng isang mahinang anggulo (hindi ang kailangan mo). Sa kasong ito, kailangan mong gumawa ng reserbasyon na ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay isang mas maliit na anggulo, at ibawas ang resultang arc cosine mula sa "pi" radians (180 degrees).

Ang mga nagnanais ay maaaring malutas ang problema sa ikatlong paraan. Ngunit inirerekumenda ko pa rin na manatili sa unang diskarte na may isang oriented na anggulo, sa kadahilanang ito ay laganap.

Halimbawa 11

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Subukang lutasin ito sa dalawang paraan.

Kahit papaano namatay ang fairy tale sa daan... Dahil walang Kashchei the Immortal. Nandiyan ako, at hindi ako masyadong nasingaw. Upang maging matapat, naisip ko na ang artikulo ay mas mahaba. Ngunit kukunin ko pa rin ang aking kamakailang nakuha na sumbrero at baso at lumangoy sa tubig ng lawa ng Setyembre. Perpektong pinapawi ang pagkapagod at negatibong enerhiya.

dati hanggang sa muli!

At tandaan, ang Baba Yaga ay hindi nakansela =)

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 3:Solusyon : Hanapin natin ang vector ng direksyon ng linya :

Buuin natin ang equation ng nais na linya gamit ang punto at vector ng direksyon . Dahil ang isa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay zero, Eq. isulat muli natin ito sa anyo:

Sagot :

Halimbawa 5:Solusyon :
1) Equation ng isang linya gumawa tayo ng dalawang puntos :

2) Equation ng isang linya gumawa tayo ng dalawang puntos :

3) Mga kaukulang coefficient para sa mga variable hindi proporsyonal: , na nangangahulugang ang mga linya ay nagsalubong.
4) Maghanap ng isang punto :

Tandaan : dito ang unang equation ng system ay pinarami ng 5, pagkatapos ang ika-2 ay binabawasan ng termino sa pamamagitan ng termino mula sa 1st equation.
Sagot :

Oh-oh-oh-oh-oh... well, it's tough, as if he was reading out a sentence to himself =) However, relaxation will help later, especially since today I bought the appropriate accessories. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako na sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.

Ang relatibong posisyon ng dalawang tuwid na linya

Ganito ang kaso kapag kumakanta ang mga manonood sa koro. Dalawang tuwid na linya ay maaari:

1) tugma;

2) maging parallel: ;

3) o bumalandra sa isang punto: .

Tulong para sa mga dummies : Mangyaring tandaan ang mathematical intersection sign, ito ay lilitaw nang napakadalas. Ang notasyon ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto .

Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Dalawang linya ang nagtutugma kung at lamang kung ang mga kaukulang coefficient nito ay proporsyonal, ibig sabihin, mayroong isang numerong "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan

Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at lumikha ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation i-multiply sa –1 (change signs), at lahat ng coefficients ng equation gupitin ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .

Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay parallel:

Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay proporsyonal: , Ngunit.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:

Gayunpaman, medyo halata iyon.

At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:

Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya gagawa kami ng isang sistema:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , na nangangahulugang hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient ng mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: nagsalubong ang mga linya

Sa mga praktikal na problema, maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na tinalakay lang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay lubos na nakapagpapaalaala sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na tiningnan namin sa klase Ang konsepto ng linear (in)dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:

Halimbawa 1

Upang malaman kung pagsasaayos ng isa't isa direktang:

Solusyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: .

, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.

Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga palatandaan sa sangang-daan:

Ang iba ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod pa, diretso sa Kashchei the Immortal =)

b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay magkatulad o magkatulad. Hindi na kailangang bilangin ang determinant dito.

Ito ay malinaw na ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, at .

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

kaya,

c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatulad.

Ang koepisyent ng proporsyonalidad na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng direksyon ng collinear. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: .

Ngayon alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).

Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang problemang tinalakay nang literal sa loob ng ilang segundo. Sa bagay na ito, wala akong nakikitang punto sa pag-aalok ng anuman para sa isang independiyenteng solusyon; mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano bumuo ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?

Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawaing ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.

Solusyon: Tukuyin natin ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik . Ano ang sinasabi ng kundisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ay malinaw na ang direksyon ng vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din para sa pagbuo ng tuwid na linya na "de".

Kinukuha namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang halimbawang geometry ay mukhang simple:

Ang analytical testing ay binubuo ng susunod na hakbang:

1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Sa karamihan ng mga kaso, madaling maisagawa ang analytical testing nang pasalita. Tingnan ang dalawang equation, at marami sa inyo ang mabilis na matutukoy ang parallelism ng mga linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pa ring makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung

Mayroong isang makatwiran at hindi makatuwirang paraan upang malutas ito. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.

Nagtrabaho kami ng kaunti sa mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkatulad na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang natin ang isang problema na pamilyar sa iyo mula sa kurikulum ng paaralan:

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?

Kung diretso bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto na geometric na kahulugan ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam- ito ay dalawang intersecting (madalas) na linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Solusyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.

Ang graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang intersection point nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay isang solusyon sa system. Mahalaga, tumingin kami sa isang graphical na solusyon sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang graphical na paraan ay, siyempre, hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay magtatagal ng panahon upang makagawa ng tama at TUMPAK na pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga tuwid na linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang punto ng intersection mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa ikatatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point gamit ang isang analytical na pamamaraan. Lutasin natin ang sistema:

Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation. Upang bumuo ng mga kaugnay na kasanayan, kumuha ng aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang tseke ay walang kuwenta - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat masiyahan sa bawat equation ng system.

Halimbawa 5

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung sila ay magsalubong.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Maginhawang hatiin ang gawain sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagpapahiwatig na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng pagkilos ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.

Kumpletong solusyon at ang sagot sa katapusan ng aralin:

Kahit isang pares ng sapatos ay hindi nasira bago kami nakarating sa ikalawang bahagi ng aralin:

Mga linyang patayo. Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napaka mahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:

Paano bumuo ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation na patayo sa linyang dumadaan sa punto.

Solusyon: Sa kondisyon ay alam na . Ito ay magiging maganda upang mahanap ang nagdidirekta vector ng linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:

Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.

Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:

Sagot:

Palawakin natin ang geometric sketch:

Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.

Analytical na pag-verify ng solusyon:

1) Kinukuha namin ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation at sa tulong scalar na produkto ng mga vector dumating kami sa konklusyon na ang mga linya ay talagang patayo: .

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation .

Ang pagsusulit, muli, ay madaling gawin nang pasalita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya kung ang equation ay kilala at panahon.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Mayroong ilang mga aksyon sa problema, kaya maginhawang bumalangkas ng solusyon sa bawat punto.

Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay makarating dito sa pinakamaikling ruta. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paglipat sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "rho", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Solusyon: ang kailangan mo lang gawin ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Gawin natin ang pagguhit:

Ang nahanap na distansya mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gumuhit ka ng guhit sa checkered na papel sa sukat na 1 yunit. = 1 cm (2 cell), pagkatapos ay masusukat ang distansya gamit ang isang ordinaryong ruler.

Isaalang-alang natin ang isa pang gawain batay sa parehong pagguhit:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

Magandang ideya na tingnan kung ang distansya ay 2.2 units din.

Ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon dito, ngunit ang isang microcalculator ay isang malaking tulong sa tore, na nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga ordinaryong fraction. Maraming beses na kitang pinayuhan at irerekomendang muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa iyo na magpasya sa iyong sarili. Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas ito. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa tingin ko ang iyong katalinuhan ay mahusay na binuo.

Anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Bakit ko sinabi sayo ito? Tila kaya natin ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay ang mga formula kung saan makikita natin ang mga anggulo ay madaling magresulta sa isang negatibong resulta, at ito ay hindi dapat magtaka sa iyo. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napaka tiyak na geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, siguraduhing ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (clockwise).

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Solusyon At Pamamaraan isa

Isaalang-alang natin ang dalawang tuwid na linya na tinukoy ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

Kung diretso hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar nagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Batay sa itaas, ito ay maginhawa upang gawing pormal ang solusyon sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin natin ang scalar product ng mga vector ng direksyon ng mga linya:
, na nangangahulugang ang mga linya ay hindi patayo.

2) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya gamit ang formula:

Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arctangent (tingnan. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):

Sagot:

Sa iyong sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Pagbubuo ng problema. Hanapin ang mga coordinate ng isang puntong simetriko sa isang punto kamag-anak sa eroplano.

Plano ng solusyon.

1. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na patayo sa isang partikular na eroplano at dumadaan sa punto . Dahil ang isang tuwid na linya ay patayo sa isang naibigay na eroplano, kung gayon ang normal na vector ng eroplano ay maaaring kunin bilang vector ng direksyon nito, i.e.

Samakatuwid ang equation ng tuwid na linya ay magiging

2. Hanapin ang punto intersection ng isang tuwid na linya at mga eroplano (tingnan ang problema 13).

3. Punto ay ang midpoint ng segment kung saan ang punto ay isang puntong simetriko sa punto , Kaya naman

Suliranin 14. Maghanap ng isang puntong simetriko sa puntong may kaugnayan sa eroplano.

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na patayo sa isang naibigay na eroplano ay magiging:

Hanapin natin ang punto ng intersection ng linya at ng eroplano.

saan – ang punto ng intersection ng isang linya at isang eroplano. ay ang gitna ng segment, samakatuwid

Yung. .

Homogeneous na mga coordinate ng eroplano. Affine transformations sa eroplano.

Hayaan M X At sa

M(X, saMae (X, sa, 1) sa espasyo (Larawan 8).

Mae (X, sa

Mae (X, sa hu.

(hx, hy, h), h  0,

Magkomento

h(Halimbawa, h

Sa katunayan, isinasaalang-alang h

Magkomento

Halimbawa 1.

b) sa isang anggulo (Larawan 9).

1st step.

ika-2 hakbang. Paikutin ayon sa anggulo 

matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b)

matrix ng kaukulang pagbabago.

Halimbawa 3

 kasama ang x-axis at

1st step.

matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-2 hakbang.

ika-3 hakbang.

makukuha natin sa wakas

Magkomento

[R], [D], [M], [T],

Hayaan M- di-makatwirang punto ng eroplano na may mga coordinate X At sa, kinakalkula na may kaugnayan sa isang ibinigay na rectilinear coordinate system. Ang mga homogenous na coordinate ng puntong ito ay anumang triple ng sabay-sabay na di-zero na mga numero x 1, x 2, x 3, na nauugnay sa mga ibinigay na numero x at y ng mga sumusunod na relasyon:

Kapag nilulutas ang mga problema sa computer graphics, ang mga homogenous na coordinate ay karaniwang ipinapasok tulad ng sumusunod: sa isang arbitrary na punto M(X, sa) ang eroplano ay itinalaga ng isang punto Mae (X, sa, 1) sa espasyo (Larawan 8).

Tandaan na ang isang arbitrary na punto sa linya na nagkokonekta sa pinanggalingan, punto 0(0, 0, 0), kasama ang punto Mae (X, sa, 1), ay maaaring ibigay ng isang triple ng mga numero ng form (hx, hy, h).

Ang vector na may mga coordinate na hx, hy, ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya na nagkokonekta sa mga punto 0 (0, 0, 0) at Mae (X, sa, 1). Ang linyang ito ay nag-intersect sa z = 1 na eroplano sa punto (x, y, 1), na natatanging tumutukoy sa punto (x, y) ng coordinate plane hu.

Kaya, sa pagitan ng isang arbitrary point na may mga coordinate (x, y) at isang set ng triple ng mga numero ng form

(hx, hy, h), h  0,

ang isang (one-to-one) na sulat ay itinatag na nagbibigay-daan sa amin na isaalang-alang ang mga numerong hx, hy, h bilang mga bagong coordinate ng puntong ito.

Magkomento

Malawakang ginagamit sa projective geometry, ginagawang posible ng mga homogenous na coordinate na epektibong ilarawan ang tinatawag na mga hindi wastong elemento (pangunahing yaong kung saan ang projective plane ay naiiba sa pamilyar na Euclidean plane). Higit pang mga detalye tungkol sa mga bagong posibilidad na ibinigay ng ipinakilalang homogenous na mga coordinate ay tinalakay sa ikaapat na seksyon ng kabanatang ito.

Sa projective geometry para sa mga homogenous na coordinate, tinatanggap ang sumusunod na notasyon:

x:y:1, o, sa pangkalahatan, x1:x2:x3

(tandaan na dito ito ay ganap na kinakailangan na ang mga numero x 1, x 2, x 3 ay hindi lumiko sa zero sa parehong oras).

Ang paggamit ng mga homogenous na coordinate ay nagiging maginhawa kahit na nilutas ang pinakasimpleng mga problema.

Isaalang-alang, halimbawa, ang mga isyung nauugnay sa mga pagbabago sa laki. Kung ang display device ay gumagana lamang sa mga integer (o kung kailangan mo lamang na gumana sa mga integer), pagkatapos ay para sa isang arbitrary na halaga h(Halimbawa, h= 1) isang punto na may magkakatulad na mga coordinate

imposibleng isipin. Gayunpaman, sa isang makatwirang pagpili ng h, posibleng matiyak na ang mga coordinate ng puntong ito ay mga integer. Sa partikular, para sa h = 10 para sa halimbawang isinasaalang-alang na mayroon kami

Isaalang-alang natin ang isa pang kaso. Upang maiwasan ang mga resulta ng pagbabago na humahantong sa pag-apaw ng aritmetika, para sa isang puntong may mga coordinate (80000 40000 1000) maaari mong kunin, halimbawa, h=0.001. Bilang resulta, nakukuha natin ang (80 40 1).

Ang mga halimbawang ibinigay ay nagpapakita ng pagiging kapaki-pakinabang ng paggamit ng mga homogenous na coordinate kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon. Gayunpaman, ang pangunahing layunin ng pagpapakilala ng mga homogenous na coordinate sa mga computer graphics ay ang kanilang walang alinlangan na kaginhawahan sa aplikasyon sa mga geometric na pagbabagong-anyo.

Gamit ang mga triple ng homogenous na coordinate at third-order matrice, maaaring ilarawan ang anumang affine transformation ng isang eroplano.

Sa katunayan, isinasaalang-alang h= 1, ihambing ang dalawang entry: minarkahan ng simbolo * at ang sumusunod, matrix:

Madaling makita na pagkatapos i-multiply ang mga expression sa kanang bahagi ng huling kaugnayan, makukuha natin ang parehong mga formula (*) at ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero 1=1.

Magkomento

Minsan sa panitikan ang isa pang notasyon ay ginagamit - columnar notation:

Ang notasyong ito ay katumbas ng linya-by-line na notasyon sa itaas (at nakuha mula rito sa pamamagitan ng transposing).

Ang mga elemento ng isang arbitrary na affine transformation matrix ay hindi nagdadala ng isang tahasang geometric na kahulugan. Samakatuwid, upang maipatupad ito o ang pagmamapa na iyon, iyon ay, upang mahanap ang mga elemento ng kaukulang matrix ayon sa isang ibinigay na geometric na paglalarawan, kinakailangan ang mga espesyal na diskarte. Karaniwan, ang pagtatayo ng matrix na ito, alinsunod sa pagiging kumplikado ng problemang isinasaalang-alang at ang mga espesyal na kaso na inilarawan sa itaas, ay nahahati sa ilang mga yugto.

Sa bawat yugto, hinahanap ang isang matrix na tumutugma sa isa o isa pa sa mga kaso sa itaas na A, B, C o D, na may mahusay na tinukoy na mga geometric na katangian.

Isulat natin ang kaukulang mga third-order matrice.

A. Rotation matrix

B. Dilatation matrix

B. Reflection matrix

D. Transfer matrix (pagsasalin)

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng mga pagbabago sa affine ng eroplano.

Halimbawa 1.

Bumuo ng rotation matrix sa paligid ng point A (a,b) sa isang anggulo (Larawan 9).

1st step. Ilipat sa vector – A (-a, -b) upang ihanay ang gitna ng pag-ikot sa pinagmulan ng mga coordinate;

matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-2 hakbang. Paikutin ayon sa anggulo 

matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b) upang ibalik ang sentro ng pag-ikot sa dati nitong posisyon;

matrix ng kaukulang pagbabago.

I-multiply natin ang mga matrice sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng nakasulat:

Bilang resulta, nalaman namin na ang nais na pagbabagong-anyo (sa matrix notation) ay magiging ganito:

Ang mga elemento ng nagresultang matrix (lalo na sa huling hilera) ay hindi madaling matandaan. Kasabay nito, ang bawat isa sa tatlong multiplied na matrice ay madaling mabuo mula sa geometric na paglalarawan ng kaukulang pagmamapa.

Halimbawa 3

Bumuo ng stretch matrix na may mga stretch coefficient kasama ang x-axis at kasama ang ordinate axis at kasama ang sentro sa punto A(a, b).

1st step. Ilipat sa vector -A(-a, -b) upang ihanay ang stretching center sa pinanggalingan ng mga coordinate;

matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-2 hakbang. Pag-uunat sa mga coordinate axes na may mga coefficient  at , ayon sa pagkakabanggit; ang transformation matrix ay may anyo

ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b) upang ibalik ang sentro ng tensyon sa dating posisyon nito; matrix ng kaukulang pagbabago -

Pagpaparami ng mga matrice sa parehong pagkakasunud-sunod

makukuha natin sa wakas

Magkomento

Nangangatuwiran sa katulad na paraan, iyon ay, paghiwa-hiwalayin ang iminungkahing pagbabago sa mga yugto na sinusuportahan ng mga matrice[R], [D], [M], [T], ang isa ay maaaring bumuo ng isang matrix ng anumang affine transformation mula sa geometric na paglalarawan nito.

Ang shift ay ipinapatupad sa pamamagitan ng karagdagan, at ang scaling at rotation ay ipinapatupad sa pamamagitan ng multiplication.

Pagbabago ng Scaling Ang (dilatation) na nauugnay sa pinagmulan ay may anyo:

o sa matrix form:

saan Dx,Dy ay ang mga scaling factor sa kahabaan ng axes, at

- scaling matrix.

Kapag D > 1, nangyayari ang pagpapalawak, kapag 0<=D<1- сжатие

Pagbabago ng pag-ikot may kaugnayan sa pinagmulan ay may anyo:

o sa matrix form:

kung saan ang φ ay ang anggulo ng pag-ikot, at

- rotation matrix.

Komento: Ang mga column at row ng rotation matrix ay magkaparehong orthogonal unit vectors. Sa katunayan, ang mga parisukat ng mga haba ng mga row vector ay katumbas ng isa:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 at (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

at ang scalar product ng row vectors ay

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Dahil ang scalar product ng mga vectors A · B = |A| ·| B| ·cosψ, kung saan | A| - haba ng vector A, |B| - haba ng vector B, at ang ψ ay ang pinakamaliit na positibong anggulo sa pagitan ng mga ito, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay 0 ng scalar product ng dalawang row vectors ng haba 1 sumusunod na ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90 °.

Ang isang tuwid na linya sa kalawakan ay maaaring palaging tukuyin bilang linya ng intersection ng dalawang di-parallel na eroplano. Kung ang equation ng isang eroplano ay ang equation ng pangalawang eroplano, kung gayon ang equation ng linya ay ibinibigay sa anyo

Dito hindi collinear
. Ang mga equation na ito ay tinatawag pangkalahatang equation diretso sa kalawakan.

Canonical equation ng linya

Anumang di-zero na vector na nakahiga sa isang linya o kahanay nito ay tinatawag na vector ng direksyon ng linyang ito.

Kung alam ang punto
tuwid na linya at vector ng direksyon nito
, pagkatapos ay ang mga canonical equation ng linya ay may anyo:

. (9)

Parametric equation ng isang linya

Hayaang ibigay ang mga canonical equation ng linya

Mula dito, nakukuha natin ang mga parametric equation ng linya:

(10)

Ang mga equation na ito ay kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng intersection point ng isang linya at isang eroplano.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos
At
ay may anyo:

Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Samakatuwid, maaari itong kalkulahin gamit ang formula (4):

Kondisyon para sa mga parallel na linya:

Kundisyon para sa mga eroplano na patayo:

Distansya ng isang punto mula sa isang linya

P sabihin nating ang punto ay ibinigay
at tuwid

Mula sa canonical equation ng linya alam natin ang punto
, na kabilang sa isang linya, at ang vector ng direksyon nito
. Tapos ang layo ng point
mula sa isang tuwid na linya ay katumbas ng taas ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors At
. Kaya naman,

Kundisyon para sa intersection ng mga linya

Dalawang linyang hindi magkatulad

bumalandra kung at kung lamang

Ang relatibong posisyon ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Hayaang ibigay ang tuwid na linya
at eroplano. Sulok sa pagitan ng mga ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Suliranin 73. Isulat ang mga canonical equation ng linya

(11)

Solusyon. Upang maisulat ang mga canonical equation ng linya (9), kailangang malaman ang anumang puntong kabilang sa linya at ang vector ng direksyon ng linya.

Hanapin natin ang vector , parallel sa linyang ito. Dahil dapat itong patayo sa mga normal na vector ng mga eroplanong ito, i.e.

,
, Iyon

Mula sa mga pangkalahatang equation ng tuwid na linya mayroon tayo na
,
. Pagkatapos

Since the point
anumang punto sa isang linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang mga equation ng linya at ang isa sa mga ito ay maaaring tukuyin, halimbawa,
, nakita namin ang iba pang dalawang coordinate mula sa system (11):

Mula rito,
.

Kaya, ang mga canonical equation ng nais na linya ay may anyo:

o
.

Suliranin 74.

At
.

Solusyon. Mula sa mga canonical equation ng unang linya, ang mga coordinate ng punto ay kilala
na kabilang sa linya, at ang mga coordinate ng vector ng direksyon
. Mula sa mga canonical equation ng pangalawang linya ang mga coordinate ng punto ay kilala rin
at mga coordinate ng vector ng direksyon
.

Ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya ay katumbas ng distansya ng punto
mula sa pangalawang tuwid na linya. Ang distansya na ito ay kinakalkula ng formula

Hanapin natin ang mga coordinate ng vector
.

Kalkulahin natin ang produkto ng vector
:

Suliranin 75. Humanap ng punto simetriko punto
medyo tuwid

Solusyon. Isulat natin ang equation ng isang eroplanong patayo sa isang naibigay na linya at dumadaan sa isang punto . Bilang normal na vector nito maaari mong kunin ang nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya. Pagkatapos
. Kaya naman,

Maghanap tayo ng punto
ang punto ng intersection ng linyang ito at eroplanong P. Upang gawin ito, isinusulat namin ang mga parametric equation ng linya gamit ang mga equation (10), nakukuha namin

Kaya naman,
.

Hayaan
punto simetriko sa punto
kaugnay sa linyang ito. Pagkatapos ay ituro
gitnang punto
. Upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto Ginagamit namin ang mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng segment:

,
,
.

Kaya,
.

Suliranin 76. Isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang linya
At

a) sa pamamagitan ng isang punto
;

b) patayo sa eroplano.

Solusyon. Isulat natin ang mga pangkalahatang equation ng linyang ito. Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang pagkakapantay-pantay:

Nangangahulugan ito na ang nais na eroplano ay kabilang sa isang bundle ng mga eroplano na may mga generator at ang equation nito ay maaaring isulat sa form (8):

a) Hanapin natin
At mula sa kondisyon na ang eroplano ay dumaan sa punto
, samakatuwid, ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplano. Palitan natin ang mga coordinate ng punto
sa equation ng isang grupo ng mga eroplano:

Nakahanap ng halaga
I-substitute natin ito sa equation (12). makuha namin ang equation ng nais na eroplano:

b) Hanapin natin
At mula sa kondisyon na ang nais na eroplano ay patayo sa eroplano. Ang normal na vector ng isang naibigay na eroplano
, normal na vector ng nais na eroplano (tingnan ang equation ng isang grupo ng mga eroplano (12).

Dalawang vector ay patayo kung at kung ang kanilang tuldok produkto ay zero. Kaya naman,

Palitan natin ang nahanap na halaga
sa equation ng isang grupo ng mga eroplano (12). Nakukuha namin ang equation ng nais na eroplano:

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

Suliranin 77. Dalhin sa canonical form ng equation ng mga linya:

1)
2)

Suliranin 78. Sumulat ng mga parametric equation ng isang linya
, Kung:

1)
,
; 2)
,
.

Suliranin 79. Isulat ang equation ng eroplanong dumadaan sa punto
patayo sa isang tuwid na linya

Problema 80. Isulat ang mga equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto
patayo sa eroplano.

Suliranin 81. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya:

1)
At
;

2)
At

Suliranin 82. Patunayan ang mga parallel na linya:

At
.

Suliranin 83. Patunayan ang perpendicularity ng mga linya:

Suliranin 84. Kalkulahin ang distansya ng punto
mula sa tuwid na linya:

1)
; 2)
.

Suliranin 85. Kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya:

At
.

Suliranin 86. Sa mga equation ng linya
tukuyin ang parameter upang ang linyang ito ay bumalandra sa linya at mahanap ang punto ng kanilang intersection.