Похідна функції - одна з складних темв шкільній програмі. Не кожен випускник дасть відповідь на запитання, що таке похідна.
У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути математичної суворості викладу. Найголовніше – зрозуміти сенс.
Запам'ятаємо визначення:
Похідна – це швидкість зміни функції.
На малюнку – графіки трьох функцій. Як ви вважаєте, яка з них швидше росте?
Відповідь очевидна – третя. У неї найбільша швидкість зміни, тобто найбільша похідна.
Ось інший приклад.
Костя, Гриша та Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:
На графіці відразу все видно, чи не так? Дохід Кості за півроку зріс більш ніж удвічі. І у Гриші дохід теж зріс, але зовсім трохи. А прибуток Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - Різна. Що ж до Матвія - у його доходу похідна взагалі негативна.
Інтуїтивно ми легко оцінюємо швидкість зміни функції. Але як це робимо?
Насправді ми дивимося, наскільки круто йде нагору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що та сама функція в різних точках може мати різне значенняпохідною - тобто може змінюватися швидше чи повільніше.
Похідна функції позначається.
Покажемо як знайти за допомогою графіка.
Намальовано графік деякої функції. Візьмемо на ньому крапку з абсцисою. Проведемо у цій точці дотичну до графіку функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього тангенс кута нахилу дотичної.
Похідна функції у точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.
Зверніть увагу - як кут нахилу дотичної ми беремо кут між дотичним і позитивним напрямом осі.
Іноді учні запитують, що таке, що стосується графіку функції. Це пряма, що має на цій ділянці єдину загальну точку з графіком, причому так, як показано на малюнку. Схоже на дотичну до кола.
Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутникудорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:
Ми знайшли похідну за допомогою графіка навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.
Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням
Розмір у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.
.
Ми отримуємо, що
Запам'ятаємо цю формулу. Вона висловлює геометричний змістпохідною.
Похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.
Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної.
Ми вже сказали, що в однієї й тієї функції в різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як пов'язана похідна з поведінкою функції.
Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших – зменшується, причому з різною швидкістю. І нехай ця функція матиме точки максимуму і мінімуму.
У точці функція зростає. Дотична до графіка, проведена в точці, утворює гострий кут; з позитивним напрямом осі. Отже, у точці похідна позитивна.
У точці наша функція зменшується. Дотична в цій точці утворює тупий кут; з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута негативний, у точці похідна негативна.
Ось що виходить:
Якщо функція зростає, її похідна є позитивною.
Якщо зменшується, її похідна негативна.
А що ж буде у точках максимуму та мінімуму? Ми бачимо, що у точках (точка максимуму) та (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках дорівнює нулю, і похідна також дорівнює нулю.
Крапка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється зменшенням. Отже, знак похідної змінюється у точці з плюсу на мінус.
У точці - точці мінімуму - похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з мінусу на плюс.
Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції, що нас цікавить.
Якщо похідна позитивна, то функція зростає.
Якщо похідна негативна, то функція зменшується.
У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак із «плюсу» на «мінус».
У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з мінусу на плюс.
Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:
| зростає | точка максимуму | зменшується | точка мінімуму | зростає | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Зробимо два невеликі уточнення. Одне з них знадобиться вам при вирішенні задачі. Інше - першому курсі, за більш серйозному вивченні функцій і похідних.
Можливий випадок, коли похідна функції у будь-якій точці дорівнює нулю, але ні максимуму, ні мінімуму у функції у цій точці немає. Це так звана :
У точці дотична до графіка горизонтальна і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала – і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється – вона як була позитивною, так і залишилася.
Буває й так, що в точці максимуму чи мінімуму похідна не існує. На графіці це відповідає різкому зламу, коли дотичну у цій точці провести неможливо.
Як знайти похідну, якщо функція задана не графіком, а формулою? У цьому випадку застосовується
Операція відшукання похідної називається диференціюванням.
В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно визначені правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).
Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.
Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.
приклад 1.Знайти похідну функції
Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.
З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:
приклад 2.Знайти похідну функції
Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:
Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.
Таблиця похідних простих функцій
| 1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто | |
| 2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго | |
| 3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння. | |
| 4. Похідна змінної у ступені -1 | |
| 5. Похідна квадратного кореня | |
| 6. Похідна синуса | |
| 7. Похідна косинуса |  |
| 8. Похідна тангенса |  |
| 9. Похідна котангенсу |  |
| 10. Похідна арксинусу |  |
| 11. Похідна арккосинусу |  |
| 12. Похідна арктангенса |  |
| 13. Похідна арккотангенса |  |
| 14. Похідна натурального логарифму | |
| 15. Похідна логарифмічна функція |  |
| 16. Похідна експоненти | |
| 17. Похідна показової функції |
Правила диференціювання
| 1. Похідна суми чи різниці |  |
| 2. Похідна твори |  |
| 2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник | |
| 3. Похідна приватного |  |
| 4. Похідна складної функції |  |
Правило 1.Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції
причому
тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.
Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.
Правило 2Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток
причому
тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Наслідок 2. Похідна твори кількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.
Наприклад, для трьох множників:
Правило 3Якщо функції
диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому
тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.
Де що шукати на інших сторінках
При знаходженні похідної твори і частки у реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - у статті"Виробничі твори та приватні функції".
Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.
А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).
Інша часта помилка- механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.
По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .
Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто 
, то слідуйте на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями та корінням".
Якщо ж перед Вами завдання начебто 
, то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".
Покрокові приклади - як знайти похідну
приклад 3.Знайти похідну функції
Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:
Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо такі значення похідних:
Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:
приклад 4.Знайти похідну функції
Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:
Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:
Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, 
, то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням" .
Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .
Приклад 5.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:
Приклад 6.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:
Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .
Дата: 20.11.2014
Що таке похідна?
Таблиця похідних.
Похідна – одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.
Це знайомство дозволить:
Розуміти суть нескладних завдань із похідною;
Успішно вирішувати ці нескладні завдання;
Підготуватися до серйозніших уроків з похідної.
Спочатку – приємний сюрприз.)
Суворе визначення похідної ґрунтується на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не потребує таких великих і глибоких знань!
Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, та лише кілька правил- Щоб його вирішити. І все. Це радує.
Приступимо до знайомства?)
Терміни та позначення.
В елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає вищою. Ця нова операціяназивається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції будуть розглянуті в окремих уроках.
Тут важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.
Диференціювання- Дія над функцією.
Похідна- Результат цієї дії.
Так само, як, наприклад, сума- Результат додавання. Або приватне- Результат поділу.
Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків рішення завдання.
Позначається похідна за допомогою штришка вгорі праворуч над функцією. Ось так: y"або f"(x)або S"(t)і так далі.
Читається ігрек штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли...)
Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)", (x 3 )" , (Sinx)"і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.
Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.
Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:
1. Таблиця похідних (формули диференціювання).
3. Похідна складної функції.
Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.
Таблиця похідних.
У світі - безліч функцій. Серед цієї множини є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як із цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції і вивчаються у школі – лінійна, квадратична, гіпербола тощо.
Диференціювання функцій "з нуля", тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики – теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)
Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Зліва - елементарна функція, Праворуч - її похідна.
| Функція y |
Похідна функції y y" |
|
| 1 | C (постійна величина) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - будь-яке число) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій у таблиці похідних. Похідна статечної функції- Одна з найуживаніших формул, якщо тільки не найвживаніша! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як це може здатися. Спробуйте вирішувати більше прикладів, таблиця сама і запам'ятається!)
Знайти табличне значенняпохідною, як ви розумієте, завдання не найважче. Тому дуже часто у подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або у формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - начебто і немає.
Розглянемо кілька прикладів:
1. Знайти похідну функції y = x 3
Такої функції у таблиці немає. Але є похідна статечної функції в загальному вигляді(Третя група). У разі n=3. Ось і підставляємо трійку замість n та акуратно записуємо результат:
(x 3) " = 3 · x 3-1 = 3x 2
Ось і всі справи.
Відповідь: y" = 3x 2
2. Знайти значення похідної функції y = sinx у точці х = 0.
Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х = 0в цю похідну. Саме у такому порядку!А то, буває, відразу підставляють нуль у вихідну функцію... Нас просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідною.Похідна, нагадаю – це вже нова функція.
По табличці знаходимо синус та відповідну похідну:
y" = (sin x)" = cosx
Підставляємо нуль у похідну:
y"(0) = cos 0 = 1
Це буде відповідь.
3. Продиференціювати функцію:
Що, вселяє?) Такої функції таблиці похідних і близько немає.
Нагадаю, що продиференціювати функцію – це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітно. Таблиця не допомагає...
Але якщо побачити, що наша функція – це косинус подвійного кута , То все відразу налагоджується!
Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціюванняцілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:
Тобто. наша хитра функція є не що інше, як y = cosx. А це – таблична функція. Відразу отримуємо:
Відповідь: y" = - sin x.
Приклад для просунутих випускників та студентів:
4. Знайти похідну функції:
Такої функції у таблиці похідних немає, очевидно. Але якщо згадати елементарну математику, дії зі ступенями... То можна спростити цю функцію. Ось так:
А ікс ступеня одна десята - це вже таблічна функція! Третя група, n = 1/10. Просто за формулою та записуємо:
От і все. Це буде відповідь.
Сподіваюся, що з першим китом диференціювання – таблицею похідних – все ясно. Залишилося розібратися з двома китами, що залишилися. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.
Що таке похідна?
Визначення та сенс похідної функції
Багато хто здивується несподіваному розташуванню цієї статті в моєму авторському курсі про похідну функцію однієї змінної та її додатків. Адже як було ще зі школи: стандартний підручник насамперед дає визначення похідної, її геометричний, механічний зміст. Далі учні знаходять похідні функцій за визначенням, і, власне, лише потім відточується техніка диференціювання за допомогою таблиці похідних.
Але на мій погляд, більш прагматичний наступний підхід: перш за все, доцільно ДОБРО ЗРОЗУМІТИ межа функції, і, особливо, нескінченно малі величини. Справа в тому що визначення похідної виходить з понятті межі, яке слабо розглянуте у шкільному курсі Саме тому значна частина молодих споживачів граніту знань погано вникають у суть похідної. Таким чином, якщо ви слабо орієнтуєтесь в диференціальному обчисленні або мудрий мозок за довгі рокиуспішно позбавився від цього багажу, будь ласка, почніть з меж функцій. Заодно освоїте/згадайте їхнє рішення.
Той самий практичний сенс підказує, що спочатку вигідно навчитися знаходити похідні, в тому числі похідні складних функцій. Теорія теорією, а диференціювати, як кажуть, хочеться завжди. У зв'язку з цим краще опрацювати перелічені базові уроки, а може й стати майстром диференціюваннянавіть не усвідомлюючи сутності своїх дій.
До матеріалів цієї сторінки рекомендую приступати після ознайомлення із статтею Найпростіші завдання з похідною, де, зокрема, розглянуто завдання про дотичну до графіку функції. Але можна і почекати. Справа в тому, що багато додатків похідної не вимагають її розуміння, і не дивно, що теоретичний урок з'явився досить пізно - коли мені потрібно було пояснювати знаходження інтервалів зростання/зменшення та екстремумівфункції. Більше того, він досить довго перебував у темі « Функції та графіки», Поки я все-таки не вирішив поставити його раніше.
Тому, шановні чайники, не поспішайте поглинати суть похідної як голодні звірі, бо насичення буде несмачним і неповним.
Поняття зростання, зменшення, максимуму, мінімуму функції
Багато навчальні посібникипідводять до поняття похідної за допомогою будь-яких практичних завдань, і я теж вигадав цікавий приклад. Уявіть, що ми маємо подорож до міста, до якого можна дістатися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо лише прямі магістралі. Однак прямолінійні напрямки теж бувають різними: до міста можна дістатися рівним автобаном. Або по горбистій шосе - вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна - весь час нахил. Екстремали виберуть маршрут через ущелину з крутим урвищем та стрімким підйомом.
Але які б не були ваші уподобання, бажано знати місцевість або щонайменше розташовувати її топографічною картою. А якщо такої інформації немає? Адже можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті натрапити на гірськолижний спуск із веселими фінами. Не факт, що навігатор та навіть супутниковий знімок дадуть достовірні дані. Тому непогано було б формалізувати рельєф шляху засобами математики.
Розглянемо деяку дорогу (вид збоку): 
Про всяк випадок нагадую елементарний факт: подорож відбувається зліва направо. Для простоти вважаємо, що функція безперервнана ділянці, що розглядається.
Які особливості даного графіка?
На інтервалах 
функція зростає, тобто кожне наступне її значення більшепопереднього. Грубо кажучи, графік іде знизу вгору(забираємось на гірку). А на інтервалі функція зменшується– кожне наступне значення меншепопереднього, і наш графік йде зверху вниз(Спускаємося по схилу).
Також звернемо увагу на особливі точки. У точці ми досягаємо максимуму, тобто існуєтака ділянка шляху, на якому значення буде найбільшим (високим). У точці ж досягається мінімум, і існуєтака її околиця, у якій значення найменше (низьке).
Суворішу термінологію та визначення розглянемо на уроці про екстремуми функції, а поки що вивчимо ще одну важливу особливість: на проміжках 
функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі – на інтервалі графік злітає вгору набагато крутішеніж на інтервалі. Чи не можна виміряти крутість дороги за допомогою математичного інструментарію?
Швидкість зміни функції
Ідея полягає в наступному: візьмемо деяке значення (читається "дельта ікс"), яке назвемо збільшенням аргументу, і почнемо його «приміряти» до різних точок нашого шляху: 
1) Подивимося на саму ліву точку: минаючи відстань, ми піднімаємося схилом на висоту (зелена лінія). Величина називається збільшенням функції, і в даному випадкуце збільшення позитивно (різниця значень по осі – більше нуля). Складемо відношення, яке і буде мірилом крутості нашої дороги. Очевидно, що - це цілком конкретне число, і, оскільки обидва збільшення позитивні, то .
Увага! Позначення є ЄДИНИМсимволом, тобто не можна відривати дельту від ікса і розглядати ці літери окремо. Зрозуміло, коментар стосується символу збільшення функції.
Досліджуємо природу отриманого дробу змістовніше. Нехай спочатку ми знаходимося на висоті 20 метрів (у лівій чорній точці). Подолавши відстань метрів (ліва червона лінія), ми опинимося на висоті 60 метрів. Тоді збільшення функції складе 
метрів (зелена лінія) та: . Таким чином, на кожному метріцієї ділянки дороги висота збільшується в середньомуна 4 метри…не забули альпіністське спорядження? =) Інакше кажучи, побудоване ставлення характеризує СЕРЕДНЮ ШВИДКІСТЬ ЗМІНИ (у разі – зростання) функції.
Примітка : числові значенняРозглянутого прикладу відповідають пропорціям креслення лише приблизно.
2) Тепер пройдемо ту ж саму відстань від правої чорної точки. Тут підйом більш пологий, тому прирощення (малинова лінія) відносно невелике, і ставлення порівняно з попереднім випадком буде дуже скромним. Умовно кажучи, 
метрів та швидкість зростання функціїскладає. Тобто тут на кожен метр шляху доводиться в середньомупівметра підйому.
3) Невелика пригода на схилі гори. Подивимося на верхню чорну точкурозташований на осі ординат. Припустимо, що це позначка 50 метрів. Знову долаємо відстань, внаслідок чого опиняємося нижче – на рівні 30 метрів. Оскільки здійснено рух зверху вниз(в «протихід» напрямку осі), то підсумкове збільшення функції (висоти) буде негативним: 
метрів (коричневий відрізок на кресленні). І в даному випадку мова вже йде про швидкості спаданняфункції: 
, тобто за кожен метр шляху цієї ділянки висота зменшується в середньомуна 2 метри. Бережіть одяг на п'ятій точці.
Тепер запитаємо себе: яке значення «вимірювального еталона» найкраще використовувати? Цілком зрозуміло, 10 метрів – це дуже грубо. На них запросто вміститься добра дюжина купин. Та що там купини, внизу може бути глибока ущелина, а за кілька метрів – інша його сторона з подальшим стрімким підйомом. Таким чином, при десятиметровому ми не отримаємо зрозумілої характеристики подібних ділянок за допомогою відношення.
З проведеного міркування слідує висновок - чим менше значення тим точніше ми опишемо рельєф дороги. Більше того, справедливі такі факти:
– Для будь-якоїточки підйомів 
можна підібрати значення (нехай і дуже мале), що вміщується в межах того чи іншого підйому. А це означає, що відповідне збільшення висоти буде гарантовано позитивним, і нерівність коректно вкаже зростання функції в кожній точці цих інтервалів.
– Аналогічно, для будь-якоїточки схилу існує значення, яке повністю вміститься на цьому схилі. Отже, відповідне збільшення висоти однозначно негативно, і нерівність коректно покаже зменшення функції в кожній точці даного інтервалу.
– Особливо цікавий випадок, коли швидкість зміни функції дорівнює нулю: . По-перше, нульове збільшення висоти () – ознака рівного шляху. А по-друге, є інші цікаві ситуації, приклади яких ви бачите на малюнку. Уявіть, що доля завела нас на саму вершину пагорба з орлами, що ширяють, або дно яру з жабами, що квакають. Якщо зробити невеликий крок у будь-який бік, то зміна висоти буде дуже мало, і можна сказати, що швидкість зміни функції фактично нульова. У точках спостерігається саме така картина.
Таким чином ми підібралися до дивовижної можливості ідеально точно охарактеризувати швидкість зміни функції. Адже математичний аналіздозволяє спрямувати збільшення аргументу до нуля: , тобто зробити його нескінченно малим.
За підсумком виникає ще одне закономірне питання: чи можна для дороги та її графіка знайти іншу функцію, яка повідомляла б нампро всі рівні ділянки, підйоми, спуски, вершини, низини, а також про швидкість зростання/зменшення в кожній точці шляху?
Що таке похідна? Визначення похідної.
Геометричний зміст похідної та диференціала
Будь ласка, прочитайте вдумливо та не надто швидко – матеріал простий та доступний кожному! Нічого страшного, якщо подекуди щось здасться не дуже зрозумілим, до статті завжди можна повернутися пізніше. Скажу більше, теорію корисно проштудувати кілька разів, щоб якісно усвідомити всі моменти (рада особливо актуальна для студентів-«технарів», у яких вища математика відіграє значну роль у навчальному процесі).
Звичайно, і в самому визначенні похідної в точці замінимо на :
До чого ми дійшли? А дійшли ми до того, що для функції згідно із законом 
ставиться у відповідність інша функція, яка називається похідною функцією(або просто похідною).
Похідна характеризує швидкість змінифункції. Яким чином? Думка йде червоною ниткою від початку статті. Розглянемо деяку точку області визначенняфункції. Нехай функція диференційована у цій точці. Тоді:
1) Якщо , то функція зростає у точці . І, очевидно, існує інтервал(нехай навіть дуже малий), що містить точку , у якому функція зростає, та її графік йде «знизу нагору».
2) Якщо , то функція зменшується у точці . І є інтервал, що містить точку , у якому функція зменшується (графік йде «згори донизу»).
3) Якщо , то нескінченно близькоПри точці функція зберігає свою швидкість постійної. Так буває, як зазначалося, у функції-константи та у критичних точках функції, зокрема у точках мінімуму та максимуму.
Трохи семантики. Що в широкому розумінні означає дієслово «диференціювати»? Диференціювати – це означає виділити будь-яку ознаку. Диференціюючи функцію , ми «виділяємо» швидкість її у вигляді похідної функції . А що, до речі, розуміється під словом похідна? Функція відбуласявід функції.
Терміни дуже вдало тлумачить механічний зміст похідної.
:
Розглянемо закон зміни координати тіла, що залежить від часу, та функцію швидкості руху даного тіла. Функція характеризує швидкість зміни координати тіла, тому першої похідної функції за часом: . Якби в природі не існувало поняття «рух тіла», то не існувало б і похідногопоняття "швидкість тіла".
Прискорення тіла – це швидкість зміни швидкості, тому: 
. Якби в природі не існувало вихідних понять «рух тіла» та «швидкість руху тіла», то не існувало б і похідногопоняття «прискорення тіла».
Визначення.Нехай функція \(y = f(x) \) визначена в деякому інтервалі, що містить у собі точку \(x_0 \). Дамо аргументу приріст (Delta x) таке, щоб не вийти з цього інтервалу. Знайдемо відповідне збільшення функції \(\Delta y \) (при переході від точки \(x_0 \) до точки \(x_0 + \Delta x \)) і складемо відношення \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Якщо існує межа цього відношення при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то вказану межу називають похідної функції\(y=f(x) \) у точці \(x_0 \) і позначають \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Для позначення похідної часто використовують символ y". Зазначимо, що y" = f(x) - це нова функція, але, природно, пов'язана з функцією y = f(x), визначена у всіх точках x, в яких існує вказана вище межа . Цю функцію називають так: похідна функції у = f(x).
Геометричний зміст похідноїполягає у наступному. Якщо до графіку функції у = f(x) у точці з абсцисою х=a можна провести дотичну, непаралельну осі y, то f(a) виражає кутовий коефіцієнт дотичної:
\(k = f"(a) \)
Оскільки \(k = tg(a) \), то вірна рівність \(f"(a) = tg(a) \).
А тепер витлумачимо визначення похідної з погляду наближених рівностей. Нехай функція \(y = f(x) \) має похідну в конкретній точці \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Це означає, що біля точки х виконується наближена рівність \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), тобто \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Змістовний зміст отриманої наближеної рівності полягає в наступному: збільшення функції «майже пропорційно» збільшенню аргументу, причому коефіцієнтом пропорційності є значення похідної в заданій точціх. Наприклад, для функції \(y = x^2 \) справедливо наближена рівність \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Якщо уважно проаналізувати визначення похідної, ми виявимо, що у ньому закладено алгоритм її знаходження.
Сформулюємо його.
Як знайти похідну функції у = f (x)?
1. Зафіксувати значення \(x \), знайти \(f(x) \)
2. Дати аргументу \(x \) збільшення \(\Delta x \), перейти в нову точку \(x+ \Delta x \), знайти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Знайти збільшення функції: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Скласти відношення \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Обчислити $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ця межа і є похідною функцією в точці x.
Якщо функція у = f(x) має похідну в точці х, її називають диференційованою в точці х. Процедуру знаходження похідної функції у = f(x) називають диференціюваннямфункції у = f(x).
Обговоримо таке питання: як пов'язані між собою безперервність та диференційність функції у точці.
Нехай функція у = f(x) диференційована у точці х. Тоді до графіку функції в точці М(х; f(x)) можна провести дотичну, причому, нагадаємо, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(x). Такий графік не може «розриватися» у точці М, тобто функція зобов'язана бути безперервною у точці х.
Це були міркування "на пальцях". Наведемо більш строгу міркування. Якщо функція у = f(x) диференційована в точці х, то виконується наближена рівність \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Якщо в цій рівності \(\Delta x \) спрямувати до нулю, то й \(\Delta y \) прагнутиме до нуля, а це і є умова безперервності функції в точці.
Отже, якщо функція диференційована у точці х, вона і безперервна у цій точці.
Зворотне твердження не так. Наприклад: функція у = | х | безперервна скрізь, зокрема у точці х = 0, але щодо графіку функції в «точці стику» (0; 0) не існує. Якщо деякій точці до графіку функції не можна провести дотичну, то цій точці немає похідна.
Ще один приклад. Функція \(y=\sqrt(x) \) безперервна на всій числовій прямій, у тому числі в точці х = 0. І дотична до графіка функції існує в будь-якій точці, у тому числі в точці х = 0. Але в цій точці дотична збігається з віссю у, тобто перпендикулярна до осі абсцис, її рівняння має вигляд х = 0. Кутового коефіцієнта у такої прямої немає, значить, не існує і \(f"(0) \)
Отже, ми познайомилися з новою властивістю функції - диференціювання. А як за графіком функції можна дійти невтішного висновку про її диференційованості?
Відповідь фактично отримано вище. Якщо деякій точці до графіку функції можна провести дотичну, не перпендикулярну осі абсцис, то цій точці функція диференційована. Якщо у певній точці дотична до графіку функції немає чи вона перпендикулярна осі абсцис, то цій точці функція не диференційована.
Правила диференціювання
Операція знаходження похідної називається диференціюванням. За виконання цієї операції часто доводиться працювати з приватними, сумами, творами функцій, і навіть з «функціями функцій», тобто складними функціями. Виходячи з визначення похідної, можна вивести правила диференціювання, що полегшують роботу. Якщо C - постійне число і f = f (x), g = g (x) - деякі функції, що диференціюються, то справедливі наступні правила диференціювання:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
