Новосибірський Державний Архітектурно-Будівельний
Університет (Сібстрін)
ЛЕКЦІЇ З ТЕОРЕТИЧНОЇ МЕХАНІКИ.
КІНЕМАТИКА
лекція 3.
ПЛОСКИЙ РУХ ТВЕРДОГО
ТІЛА
Кафедра теоретичної механіки

План лекції

Вступ.
Закон плоский рух.
Швидкість точок тіла.
Прискорення точок тіла.
.
Висновок.

На минулих лекціях

Ми вже вивчили:
-Кінематику точки
-Поступальний рух твердого тіла
-Обертальний рухтвердого тіла
Тема сьогоднішньої лекції:
Плоский рух твердого
тіла
Q
O
Визначення. Плоським
називається такий рух
P
твердого тіла, при якому всі x
його точки М(t) рухаються в
площинах Q, паралельних
деякої нерухомої
площині P.
M
A S
y

Ціль лекції

Вивчити плоский рух
твердого тіла

Вступ
Приклади:
-Обертальний рух (площина P –
перпендикулярна до осі обертання)
-Рух літака на крейсерському режимі
(площина P - перпендикулярна розмаху крил)
-Рух коліс автомобіля прямою дорогою
(площина P – вздовж кузова автомобіля)
-Рух плоских механізмів:
vB
vA
C
A
B
N
M
D
E

Вступ
Q
O
P
M
A S
y
x
Твердження. Усі точки прямий AM,
перпендикулярною P, рухаються однаково.
Доведення. Т.к. тіло тверде, АМ=const;
Т.к. P паралельно Q, то відрізок AM залишається
перпендикулярним P . Значить його рух
поступально. Отже всі його точки
рухаються однаково.
Висновок: Завдання зводиться до вивчення руху
перерізу S у площині P.

y
Рух плоскої фігури S
щодо системи Oxy
повністю визначиться
A
yA
рухом відрізка AB
O
xA(t), yA(t)
B
φ
xA
- Визначають рух полюса A.
t – визначає обертання AB навколо полюса A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- Закон плоского руху твердого тіла
x

Закон плоского руху твердого тіла
Інтерпретація. Введемо допо- Y y
гальну систему:
Ax1 y1; Ax1 паралельна Ox,
B
1
x1
A
Ay1 паралельна Oy;
O
У системі Ax1 y1 тіло здійснює обертання
X
льний рух. Система Ax1 y1 рухається
щодо Oxy поступально
Плоский рух є сума поступального
руху разом з полюсом A та обертального
рухи щодо полюса A
x A (t), y A (t) задає поступальний рух
(t) задає обертальний рух

Інтерпретація

1
а)
A
B
2
B"
1"
1
б)
φ
A"
1"
2
B
A
B"
φ
A"
Переведення перерізу з положення 1 в положення 2 можна
розглядати як суперпозицію двох рухів:
поступального з 1 до 1" і обертального з 1" до 2
довкола точки A".
Як полюс можна вибрати будь-яку точку. на
Мал. б) як полюс вибрано точку В.
Увага: Довжина шляху при поступальному переміщенні змінилася, але кут повороту залишився тим самим!
Тобто. поступальна частина вибору полюса залежить, а
обертальна частина – не залежить!

Закон руху та траєкторії точок тіла

rM(t) rA(t)(t)
xM(t) x A(t)(t) cos((t))
y1
y
rM
yM(t) y A(t)(t) sin((t))
Приклад (рух еліпсографа)
AB l, AM b;
y
O
rA
B
x1
x
Визначити закон руху
та траєкторію точки M
M
B
xM (t) (b l) cos (t)
A
A
M
ρ
O
x
yM(t) b sin(t) закон руху
xM2
yM2
2 1 еліпс
2
(b l)
b

Швидкості точок тіла

y1
rM(t) rA(t)(t)
y
rM
Диференціюючи, отримаємо:
M
ρ
B
x1
A
v M v A v MA
x
r
O
v A швидкість полюса
d
v MA
швидкість обертання навколо полюса
dt
(v MA швидкість M у системі Ax1 y1).
A
vM
vMA AM
v MA
vA
A
M
vA

Наслідки формули для швидкостей точок

Наслідок 1. Проекції швидкостей двох точок твердого
vB
тіла на пряму, що їх сполучає, рівні.
Доведення.
v B v A v BA
v B cos v A cos
Наслідок 2. Якщо точки
A,B,C лежать на одній
прямий, то й кінці
векторів v A , v B , v C
лежать на одній прямій,
причому ab/bc AB/BC
vA
A
vBA
β
α
α
B
vA

МЦС – це точка, швидкість якої
A
дорівнює нулю в Наразічасу.
C
приклад. Той, що котиться без прослизу L
вання диск. МЦС-крапка С.
Твердження. Якщо кутова швидкістьне дорівнює нулю
для даного t, то МЦС існує і єдиний.
vA
Доведення.
A
Т.к. 0 то A і B, v A v B .
C
Якщо v A і v B не є паралельними: B A
v A v C v AC; v B v C v BC
Якщо v C 0 то v A AC , v B BC
Знайдено.
B
vB

Миттєвий центр швидкостей (МЛС)

Якщо v A та vB паралельні:
A
B
C
в)
б)
a)
vA
A
vA
vB
C
vB
vA
A
B
vB
B
Якщо 0, то випадок в) неможливий
(за теоремою про проекції)
Якщо 0 то для всіх A, B: v A v B
та МЦС не існує

Властивості МЛС.
Нехай P-МЦС. Вибираючи P за полюс, отримаємо:
v A ω PA; v B ω PB;
v A PA; v B PB
vB
vA vB vC
Або:
...
AP BP CP
Причому v З PС
v B PB
A
P
vA
ω
B
Висновок. Якщо МЦС (точку P) взяти за полюс, то
плоский рух для даного t являє собою
чисте обертання навколо точки P

МЦУ(приклад)
приклад. Колесо котиться без прослизання по
прямий шлях.
A
B
vA
C
vB
vC
D
ω
vD
P E
vA
A
B
vB
D
vD

Приклад (розрахунок швидкостей плоского механізму)
Дано: OA , r1 r2 r, BD CD l
Визначити v A, v B, v D, BD; CD
Рішення.
A
O
OA: v A OA OA;
AB: P1 - МЦС AB v B BP1;
vA
P1
vB
D
B
45º P
BD
vD
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD: PBD МЦСBD BD v B / BPBD v D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD: v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Прискорення точок тіла.

Маємо рівність: v B v A ω ρ
Продиференціюємо його:
d v B dv A d d ρ
aB
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
y
B
aBA n
aBA
vBA
A
O
z1
ω
aA
ɛ
x
n
aBA; aBA vBA
n
aB a A aBA aBA
Прискорення точки B дорівнює сумі прискорення полюса A та
прискорення обертання точки B навколо полюса A

Наслідок формули для прискорення точок

c
a
aA
A
b
aB
B
aC
C x
Мал. 13.19
Слідство. Якщо точки
на одній прямій,
A,B,C
лежать
то й кінці векторів aA, aB, aC
лежать на одній прямій, причому ab/bc AB/BC

Миттєвий центр прискорень (МЦУ)

МЦУ-це точка Q, прискорення якої в даний
момент часу t дорівнює нулю.
Твердження. Для непоступального руху МЦУ
У
існує і єдиний.
a
B
A
aA
Доведення.
aA aQ a AQ; Q МЦУ
2
aA a AQ; tg/;
aC
C
Q
a A AQ 2 4 AQ a A / 2 4
Розподіл прискорень як із обертанні навколо Q.
aA/AQ aB/BQ aC/CQ
2
Зауваження. МЦС і МЦУ-різні точки!
4

Кінематичний розрахунок плоского механізму

приклад. Дано: OA , OA
Визначити:
v A , v B , AB ,
BC, aA, aB, AB, AB
Схема розв'язання.
1. Розрахунок швидкостей.
OA: v A OA; v A OA;
AB: v B BC PAB МЦС AB; ωAB v A /APAB v B /BPAB
BC: ωBC v B /BC

Кінематичний розрахунок плоского механізму

2. Розрахунок прискорень.
OA: a An 2OA; a A OA;
n n
2
AB: aB a A aBA aBA; aBA AB
AB; a BA AB AB;
n
2
BC: aB aB aB(*); aBn BC
BC; a B BC BC
n n
n
aB aB a A a A aBA aBA (**)
У (**) дві невідомі: AB, BC. Проеціюючи (**) на
дві осі, знайдемо їх. Прискорення aB знайдемо з (*).

Ще один приклад

OA 0 OA l1; AB l2; BD l3; DE l4
Визначити v E
Дано:

Висновок

Висновок
1. Виведено закон плоского руху.
2. Показано, що плоский рух представляється
сумою найпростіших рухів – поступального
разом з полюсом і обертального навколо
полюси.
3. Виведено формулу зв'язку між швидкостями
точок та її наслідки.
4. Визначено поняття МЦС та показано його
своцства.
5. Виведено формулу зв'язку між прискореннями
точок та її наслідки.
6. Розглянуто приклади кінематичного розрахунку
плоскі механізми.

Контрольні питання до лекції

1. Скільки ступенів волі має тверде тіло,
здійснює плоский рух?
2. Запишіть закон плоского руху твердого тіла.
3. Як пов'язані між собою швидкості двох точок твердого
тіла, що здійснює плоский рух?
4. Чому дорівнює кутова швидкість обертання твердого тіла?
5. Сформулюйте теорему про проекції швидкостей двох
точок твердого тіла за плоского руху.
6. Що називається миттєвим центром швидкостей?
7. Що потрібно знати, щоб визначити МЛС?
8. З яких складових складається прискорення точки
твердого тіла, що здійснює плоский рух?
9. Чому дорівнює прискорення обертального руху точки
разом із тілом навколо полюса?

Плоскопаралельний рух твердого тіла.

1. Рівняння плоскопаралельного руху

Плоскопаралельний (або плоский) називається такий рух твердого тіла, при якому всі його точки перемішуються паралельно до деякої нерухомої площини П.

Розглянемо перетин S тіла якоюсь площиною Oxy, паралельної площині П. При плоскопаралельному русі всі точки тіла, що лежать на прямій ММ / , перпендикулярні до перерізу (S) , тобто до площини П рухаються тотожно і в кожний момент часу мають однакові швидкості та прискорення. Тому для вивчення руху всього тіла достатньо вивчити, як рухається перетин S тіла у площині Oxy.

(4.1)

Рівняння (4.1) визначають закон руху і називаються рівняннями плоскопаралельного руху твердого тіла

2. Розкладання плоскопаралельного руху на поступальне

разом з полюсом і обертальне навколо полюса

Покажемо, що плоский рух складається з поступального та обертального. Для цього розглянемо два послідовні положення I та II, які займає перетин Sрухомого тіла в моменти часу t 1 і t 2= t 1 + Δt . Легко бачити, що перетин S, а з ним і все тіло можна привести з положення I до положення II наступним чином: перемістимо спочатку тіло поступально, так, щоб полюс А, рухаючись вздовж своєї траєкторії, прийшов у становище А 2. При цьому відрізок A 1 B 1займе положення, а потім повернемо перетин навколо полюса А 2на кут Δφ 1.

Отже, плоскопаралельний рух твердого тіла складається з поступального руху, при якому всі точки тіла рухаються так само, як полюс А й із обертального руху навколо цього полюса.

При цьому слід зазначити, що обертальний рух тіла відбувається навколо осі перпендикулярної до площини. П і проходить через полюс А. Однак для стислості ми будемо надалі називати цей рух просто обертанням навколо полюса А.

Поступальна частина плоскопаралельного руху описується, очевидно, першими двома рівняннями (2. 1), а обертання навколо полюса А -третім із рівнянь (2. 1).

Основні кінематичні характеристики плоского руху

Як полюс можна вибирати будь-яку точку тіла

Висновок : обертальна складова плоского руху від вибору полюса не залежить, отже, кутова швидкістьω та кутове прискоренняeє спільними для всіх полюсів і називаютьсякутовою швидкістю та кутовим прискоренням плоскої фігури

Вектори і спрямовані по осі, що проходить через полюс та перпендикулярній площині фігури

Тривимірне зображення

3. Визначення швидкостей точок тіла

Теорема: швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумішвидкості полюса та обертальної швидкості цієї точки навколо полюса.

За доказом виходитимемо з того, що плоскопаралельний рух твердого тіла складається з поступального руху, при якому всі точки тіла рухаються зі швидкістю vАі з обертального руху довкола цього полюса. Щоб розділити ці два види руху, введемо дві системи відліку: Oxy – нерухому, і Ox 1 y 1 – поступово, що рухається разом з полюсом А.Щодо рухомої системи відліку рух точки Мбуде «обертальним навколо полюса А».

Таким чином, швидкість будь-якої точки М тіла геометрично складається зі швидкості якоїсь іншої точки А, прийнятої за полюс, та швидкості точки Му її обертальному русі разом із тілом навколо цього полюса.

Геометрична інтерпретація теореми

Наслідок 1. Проекції швидкостей двох точок твердого тіла на пряму, яка з'єднує ці точки, дорівнюють одна одній.

Цей результат дозволяє легко знаходити швидкість даної точки тіла, якщо відомі напрямок руху цієї точки і швидкість якої-небудь іншої точки того ж тіла.

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Федеральна державна бюджетна освітня установа

вищої професійної освіти

"Кубанський державний технологічний університет"

Теоретична механіка

Конспект лекцій

для бакалаврів ЗіДО

технічних напрямів

КІНЕМАТИКА

Укладачі: д.т.н., проф. Смілягін А.І.

к.т.н., доц. Кегелес В.Л.

Краснодар 2011

1 Кінематика. Загальні поняття 2

2 Кінематика точки 2

3 Кінематика твердого тіла 7

3.1 Поступальний рух твердого тіла 7

3.2 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі 7

3.3 Плоскопаралельний (плоский) рух твердого тіла 9

3.4 Сферичний рух 15

4 Складне рух точки 17

1 Кінематика. Загальні поняття

Кінематика – розділ теоретичної механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл без урахування причин, що викликають цей рух.

У класичній механіці рух матеріальних тіл у тривимірному евклідовом просторі, а час вважається абсолютним, незалежним від системи отсчета.

Система відліку - система координат, незмінно пов'язана з тілом, стосовно якого розглядається рух об'єктів, що вивчаються.

Якщо система відліку перебуває у спокої, то рух об'єкта щодо неї називають абсолютним. Рух об'єкта по відношенню до рухомої системи відліку називають відносним.

Методи кінематики дають можливість визначити положення об'єкта, що вивчається в аналізованій системі відліку, а також знайти його швидкість і прискорення в будь-який момент часу.

Вивчення розділу починають із кінематики точки (ізольованої, що належить твердому тілу або суцільному середовищу), потім переходять до розгляду руху твердих тіл та їх систем.

2 Кінематика точки

Характеристиками руху точки у будь-який час є її становище, швидкість і прискорення.

Геометричне місце послідовних положень точки називається траєкторією.

Для визначення характеристик руху та траєкторії точки зазвичай використовують три способи завдання її руху – векторний, координатний, природний.

Векторний спосіб завдання руху

Становищеточки в будь-який момент часу задається радіус-вектором проведений з деякого нерухомого центру.

Рівняння руху:
.

Траєкторіякрапки - це годограф вектора .

Середня швидкість точки за час Δt

, де
.

Швидкістьточки в момент часу t

.

У вектор швидкості спрямований щодо до траєкторії в даній точці.

Середнє прискорення крапки за час Δt

, де
.

Прискоренняточки в момент часу t

.

Цей спосіб використовується, як правило, за теоретичного аналізу закономірностей руху.

Отже,
;
;
.

Координатний спосіб завдання руху

Для опису руху точки використовуються системи координат: декартова, полярна, циліндрична, сферична та ін.

Становищеточки в декартовій системі координат будь-якої миті часу визначається її координатами x, у, z.

рівняння руху точки

Ці рівняння визначають траєкторію точки у параметричній формі.

Рівняння траєкторії точки в координатній формі можна отримати,

виключаючи параметр t із рівнянь руху, у вигляді системи рівнянь
,
.

Швидкість .

Таким чином,
,
,
.

Модуль швидкості
.

Напрямні косинуси

;
;
.

Прискорення ,

тоді
,
,
.

Модуль прискорення
.

Напрямні косинуси
;
;
.

Міністерство освіти та науки Російської Федерації Нижегородський державнийархітектурно-будівельнийуніверситет

Інститут відкритого дистанційного навчання

Аїстів А.С., Баранова А.С., Тряніна Н.Ю.

Теоретична механіка

Частина ІІ. Кінематика та динаміка твердого тіла

Затверджено редакційно-видавничою радою університету

як навчальний посібник

Нижній Новгород - 2004

ББК 22.21 Т 11

Аїстів А.С., Баранова А.С., Тряніна Н.Ю. Теоретична механіка. Частина ІІ. Кінематика та динаміка твердого тіла. Навчальний посібник.- Н.Новгород: Нижегорд. держ. архіт.-будує. ун-т., 2004. - 69 с.

ISBN 5-87941-303-9

Навчальний посібник містить основні відомості та теоретичні положення кінематики та динаміки твердого тіла. Включає завдання для контрольних робітз кінематики та динаміки, Короткі відомостіз теорії, рекомендації щодо вирішення завдань, приклади вирішення типових задач.

ISBN 5-87941-303-9

РОЗДІЛ 1. КІНЕМАТИКА

Вступ

Кінематика – це розділ теоретичної механіки, у якому вивчається механічне рух, тобто. зміна положення одного тіла щодо іншого тіла, з яким пов'язана система відліку, яка може бути рухомою, так і нерухомою, без урахування діючих сил.

Належачи до розділу фундаментальних наук, теоретична механіка та кінематика як важлива складова частинаїї, є основою вивчення багатьох дисциплін, що вивчаються у вищій технічній школі.

Закони та методи теоретичної механіки знаходять широке застосуванняна вивченні найважливіших завданьтехніки, таких як конструювання різних споруд, машин та механізмів, вивчення руху космічних тіл, вирішення завдань аеродинаміки, балістики та інших.

Теоретична механіка, заснована на працях Аристотеля, Архімеда, Галілея, Ньютона, зветься класичної механіки, у ній розглядається рух тіл зі швидкостями, набагато меншими за швидкість світла.

Механічне рух відбувається у часі у просторі, причому у класичній механіці простір вважається тривимірним, підпорядковується евклидовой геометрії; час вважається таким, що протікає безперервно і однаково у всіх системах відліку.

1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КІНЕМАТИКИ

Усі кінематичні величини, що характеризують рух тіла або його окремої точки (відстань, швидкість, прискорення тощо) розглядаються як функції часу.

Вирішити завдання кінематики означає знайти траєкторію, положення, швидкість та прискорення кожної точки тіла.

Траєкторія точки– це геометричне місце послідовних положень, які займають точкою у просторі при її переміщенні.

Швидкість точки – це векторна величина, що характеризує швидкість зміни положення точки у просторі.

Прискорення точки – це векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості.

2. Найпростіші рухи твердого тіла

2.1. Поступальний рух твердого тіла

Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому відрізок, що з'єднує дві будь-які точки тіла, переміщаються паралельно самому собі.

При поступальному русі твердого тіла швидкості і прискорення всіх точок тіла геометрично рівні траєкторії всіх точок ідентичні, тобто. при накладенні збігаються, тому досить точно знати характеристики руху однієї точки тіла.

2.2. Обертальний рух твердого тіла

2.2.1. Кутова швидкість та кутове прискорення

Обертальним називається рух твердого тіла, при якому залишаються нерухомими хоча б дві точки тіла. Пряма, що проходить через ці точки, називається віссю обертання. Усі точки тіла, що лежать на осі, при обертанні залишаються нерухомими. Всі інші точки тіла рухаються в площинах, перпендикулярних до осі обертання, і описують кола, центри яких лежать на осі, а радіуси рівні відстаням від точок до осі (рис.1). Точки А та В утримуються нерухомими за допомогою підп'ятника та підшипника відповідно.

Виберемо позитивний напрямок осі z і проведемо через неї нерухому площину I, другу площину II також проведемо через вісь і зв'яжемо її з тілом. При обертанні площина II утворюватиме кут з площиною I. Лінійний кут цього рухомого кута називається кутом повороту. Якщо функція ϕ = f(t) відома, то обертальний рух вважається заданим. Величина, що характеризує швидкість зміни кута повороту, називається кутовий швидкістю. Кутова швидкість ω визначається як похідна за часом від кута повороту

ω= d dt ϕ =ϕ& (рад/сек) або (с-1 )

Величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості, називається кутовим прискореннямяка визначається як друга похідна від кута повороту за часом або перша похідна від кутової швидкості

	d 2 ϕ
	dt 2 dt

ε=ϕ&&=ω& (рад/сек2 ) або (с-2 )

Якщо перша та друга похідна від кута ϕ за часом мають однаковий знак, то прискорене обертання, якщо різний знак– то сповільнене. Якщо кутова швидкість стала, то обертання рівномірне (при цьому кутове прискорення =0).

2.2.2. Швидкість і прискорення точки тіла, що обертається

Швидкість руху точки тіла по колу називається обертальною швидкістю,і модуль залежить від відстані від точки до осі обертання.

V = ω ОМ

Вектор швидкості спрямований перпендикулярно радіусу кола, що описується точкою, у бік обертання (рис.2).

Прискорення точки тіла, що обертається, має дві складові - доцентрове і обертальне прискорення.

Ацс = ω 2 ОМ авр = ε ОМ

Вектор a цс спрямований від точки до осі обертання, вектор a вр спрямований перпендикулярно радіусу у бік ε .

Вектор повного прискорення a дорівнює геометричній сумі a цс та a вр

a = a цс + a вр,

а модуль повного прискорення визначиться за формулою

а = ЗМ ω 4 +ε 2

2.2.3. Векторний вираз швидкості, відцентрового і обертального прискорень точок тіла, що обертається

Прийнято вважати, що кутова швидкість і кутове прискорення - це вектори, спрямовані по осі обертання, причому вектор спрямований по осі таким чином, щоб з його кінця обертання уявлялося тим, що відбувається проти ходу годинної стрілки, вектор кутового прискорення ε також спрямований по осі в ту ж бік, що і при прискореному обертанні, або в протилежну - при уповільненому.

Обертальна швидкість точки, доцентрове і обертальне прискорення можуть бути представлені у вигляді векторних творів (рис.3).

v = x r ,

a цс = ω x v = ω x ω x r

a вр = ε x r

Теоретична механіка– це розділ механіки, у якому викладаються основні закони механічного руху та механічної взаємодії матеріальних тіл.

Теоретична механіка є наукою, у якій вивчаються переміщення тіл із часом (механічні руху). Вона є базою інших розділів механіки (теорія пружності, опір матеріалів, теорія пластичності, теорія механізмів і машин, гідроаеродинаміка) та багатьох технічних дисциплін.

Механічне рух— це зміна з часом взаємного становища у просторі матеріальних тел.

Механічне взаємодія- Це така взаємодія, в результаті якої змінюється механічний рух або змінюється взаємне положення частин тіла.

Статика твердого тіла

Статика— це розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються завдання на рівновагу твердих тіл та перетворення однієї системи сил на іншу, їй еквівалентну.

Основні поняття та закони статики
• Абсолютно тверде тіло(тверде тіло, тіло) – це матеріальне тіло, відстань між будь-якими точками у якому змінюється.
• Матеріальна точка- Це тіло, розмірами якого за умовами завдання можна знехтувати.
• Вільне тіло- Це тіло, на переміщення якого не накладено жодних обмежень.
• Невільне (пов'язане) тіло- Це тіло, на переміщення якого накладені обмеження.
• Зв'язки– це тіла, що перешкоджають переміщенню об'єкта, що розглядається (тіла або системи тіл).
• Реакція зв'язку- Це сила, що характеризує дію зв'язку на тверде тіло. Якщо вважати силу, з якою тверде тіло діє зв'язок, дією, то реакція зв'язку є протидією. При цьому сила - дія прикладена до зв'язку, а реакція зв'язку додається до твердого тіла.
• Механічна система– це сукупність взаємозалежних між собою тіл чи матеріальних точок.
• Тверде тіломожна розглядати як механічну систему, положення та відстань між точками якої не змінюються.
• Сила- Це векторна величина, що характеризує механічну дію одного матеріального тіла на інше.
  Сила як вектор характеризується точкою застосування, напрямом дії та абсолютним значенням. Одиниця виміру модуля сили – Ньютон.
• Лінія дії сили- Це пряма, вздовж якої спрямований вектор сили.
• Зосереджена сила- Сила, прикладена в одній точці.
• Розподілені сили (розподілене навантаження)- Це сили, що діють на всі точки об'єму, поверхні або довжини тіла.
  Розподілене навантаження задається силою, що діє на одиницю об'єму (поверхні, довжини).
  Розмірність розподіленого навантаження - Н/м3 (Н/м2, Н/м).
• Зовнішня сила– це сила, що діє з боку тіла, що не належить механічній системі, що розглядається.
• Внутрішня сила- Це сила, що діє на матеріальну точку механічної системи з боку іншої матеріальної точки, що належить системі, що розглядається.
• Система сил– це сукупність сил, які діють механічну систему.
• Плоска система сил- Це система сил, лінії дії яких лежать в одній площині.
• Просторова система сил- Це система сил, лінії дії яких не лежать в одній площині.
• Система схожих сил- Це система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.
• Довільна система сил- Це система сил, лінії дії яких не перетинаються в одній точці.
• Еквівалентні системи сил- Це такі системи сил, заміна яких одна на іншу не змінює механічного стану тіла.
  Прийняте позначення: .
• Рівновага- Це стан, при якому тіло при дії сил залишається нерухомим або рухається рівномірно прямолінійно.
• Врівноважена система сил- Це система сил, яка додана до вільного твердого тіла не змінює його механічного стану (не виводить з рівноваги).
  .
• Рівночинна сила- Це сила, дія якої на тіло еквівалентна дії системи сил.
  .
• Момент сили- Це величина, що характеризує обертову здатність сили.
• Пара сил- Це система двох паралельних рівних по модулю протилежно спрямованих сил.
  Прийняте позначення: .
  Під дією пари сил тіло здійснюватиме обертальний рух.
• Проекція сили на вісь– це відрізок, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї осі.
  Проекція позитивна, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі.
• Проекція сили на площину– це вектор на площині, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї площини.
• Закон 1 (закон інерції).Ізольована матеріальна точка перебуває у спокої чи рухається поступово і прямолінійно.
  Рівномірний та прямолінійний рух матеріальної точки є рухом за інерцією. Під станом рівноваги матеріальної точки і твердого тіла розуміють як стан спокою, а й рух за інерцією. Для твердого тіла існує різні видируху по інерції, наприклад, рівномірне обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.
• Закон 2.Тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією двох сил тільки в тому випадку, якщо ці сили дорівнюють модулю і направлені в протилежні сторони по загальній лінії дії.
  Ці дві сили називаються такими, що врівноважуються.
  Взагалі сили називаються такими, що врівноважуються, якщо тверде тіло, до якого прикладені ці сили, перебуває в спокої.
• Закон 3.Не порушуючи стану (слово «стан» тут означає стан руху або спокою) твердого тіла, можна додавати і відкидати сили, що врівноважуються.
  Слідство. Не порушуючи стану твердого тіла, силу можна переносити по лінії дії в будь-яку точку тіла.
  Дві системи сил називаються еквівалентними, якщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи стану твердого тіла.
• Закон 4.Равнодіюча двох сил, прикладених в одній точці, прикладена в тій же точці, що дорівнює по модулю діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах, і спрямована вздовж цієї
  діагоналі.
  По модулю рівнодіюча дорівнює:
  
• Закон 5 (закон рівності дії та протидії). Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і направлені в протилежні сторони по одній прямій.
  Слід мати на увазі, що дія- сила, прикладена до тіла Б, і протидія- сила, прикладена до тіла А, не врівноважуються, тому що вони прикладені до різних тіл.
• Закон 6 (закон затвердіння). Рівновага нетвердого тіла не порушується при його затвердінні.
  Не слід забувати, що умови рівноваги, які є необхідними і достатніми для твердого тіла, є необхідними, але недостатніми для відповідного нетвердого тіла.
• Закон 7 (закон звільнення від зв'язків).Невільне тверде тіло можна як вільне, якщо його подумки звільнити від зв'язків, замінивши дію зв'язків відповідними реакціями зв'язків.

Зв'язки та їх реакції
• Гладка поверхняобмежує переміщення нормалі до поверхні опори. Реакція спрямована перпендикулярно поверхні.
• Шарнірна рухлива опораобмежує рух тіла по нормалі до опорної площини. Реакція спрямована нормалі до поверхні опори.
• Шарнірна нерухома опорапротидіє будь-якому переміщенню в площині перпендикулярної осі обертання.
• Шарнірний невагомий стриженьпротидіє переміщенню тіла вздовж лінії стрижня. Реакція буде спрямована вздовж лінії стрижня.
• Глуха закладкапротидіє будь-якому переміщенню та обертанню в площині. Її дію можна замінити силою, представленою у вигляді двох складових та парою сил з моментом.

Кінематика

Кінематика- Розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються загальні геометричні властивості механічного руху, як процесу, що відбувається в просторі і в часі. Об'єкти, що рухаються, розглядають як геометричні точки або геометричні тіла.

Основні поняття кінематики
• Закон руху точки (тіла)- Це залежність положення точки (тіла) у просторі від часу.
• Траєкторія точки– це геометричне місце положень точки у просторі під час її руху.
• Швидкість точки (тіла)– це характеристика зміни у часі положення точки (тіла) у просторі.
• Прискорення точки (тіла)– це характеристика зміни часу швидкості точки (тіла).

Визначення кінематичних характеристик точки
• Траєкторія точки
  У системі відліку траєкторія описується выражением: .
  У координатній системі відліку траєкторія визначається за законом руху точки та описується виразами z = f(x, y)- у просторі, або y = f(x)– у площині.
  У природній системі відліку траєкторія задається заздалегідь.
• Визначення швидкості точки у векторній системі координат
  При заданні руху точки у векторної системі координат відношення переміщення до інтервалу часу називають середнім значенням швидкості цьому інтервалі часу: .
  Приймаючи інтервал часу нескінченно малою величиною, набувають значення швидкості в даний момент часу (миттєве значення швидкості): .
  Вектор середньої швидкості спрямований уздовж вектора у бік руху точки, вектор миттєвої швидкості спрямований по дотичній траєкторії в бік руху точки.
  Висновок: швидкість точки - векторна величина, що дорівнює похідній від закону руху за часом.
  Властивість похідної: похідна від будь-якої величини за часом визначає швидкість зміни цієї величини.
• Визначення швидкості точки в координатній системі відліку
  Швидкість зміни координат точки:
  .
  Модуль повної швидкості точки при прямокутній системі координат дорівнюватиме:
  .
  Напрямок вектора швидкості визначається косинусами напрямних кутів:
  ,
  де - Кути між вектором швидкості і осями координат.
• Визначення швидкості точки у природній системі відліку
  Швидкість точки у природній системі відліку окреслюється похідна від закону руху точки: .
  Згідно з попередніми висновками вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху точки і в осях визначається лише однією проекцією.

Кінематика твердого тіла
• У кінематиці твердих тіл вирішуються дві основні задачі:
  1) завдання руху та визначення кінематичних характеристик тіла в цілому;
  2) визначення кінематичних характеристик точок тіла.
• Поступальний рух твердого тіла
  Поступальний рух - це рух, при якому пряма, проведена через дві точки тіла, залишається паралельною її початковому положенню.
  Теорема: при поступальному русі всі точки тіла рухаються однаковими траєкторіями і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямом швидкості та прискорення.
  Висновок: поступальний рух твердого тіла визначається рухом будь-якої його точки, у зв'язку з чим завдання та вивчення його руху зводиться до кінематики точки.
• Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
  Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі - це рух твердого тіла, при якому дві точки, що належать тілу, залишаються нерухомими протягом усього часу руху.
  Положення тіла визначається кутом повороту. Одиниця виміру кута – радіан. (Радіан - центральний кут кола, довжина дуги якого дорівнює радіусу, повний кут кола містить 2πрадіана.)
  Закон обертального руху тіла навколо нерухомої осі.
  Кутову швидкість та кутове прискорення тіла визначимо методом диференціювання:
  - Кутова швидкість, рад / с;
  - Кутове прискорення, радий/с².
  Якщо розсікти тіло площиною перпендикулярної осі, вибрати на осі обертання крапку Зта довільну точку М, то крапка Мбуде описувати навколо точки Зколо радіусу R. За час dtвідбувається елементарний поворот на кут, при цьому точка Мздійснить переміщення вздовж траєкторії на відстань .
  Модуль лінійної швидкості:
  .
  Прискорення точки Мпри відомій траєкторії визначається за його складовими:
  ,
  де .
  У результаті отримуємо формули
  тангенціальне прискорення: ;
  нормальне прискорення: .

Динаміка

Динаміка— це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються механічні рухи матеріальних тіл залежно від причин, що їх викликають.

Основні поняття динаміки
• Інерційність- це властивість матеріальних тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, Бувай зовнішні силине змінять цього стану.
• Маса— це кількісний захід інерційності тіла. Одиниця виміру маси — кілограм (кг).
• Матеріальна точка- Це тіло, що володіє масою, розмірами якого при вирішенні цього завдання нехтують.
• Центр мас механічної системи — геометрична точкакоординати якої визначаються формулами:
  
  де m k , x k , y k , z k- Маса та координати k-тої точки механічної системи, m- Маса системи.
  У однорідному полі тяжкості становище центру мас збігається із становищем центру тяжкості.
• Момент інерції матеріального тіла щодо осі– це кількісна міра інертності при обертальному русі.
  Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані точки від осі:
  .
  Момент інерції системи (тіла) щодо осі дорівнює арифметичній сумі моментів інерції всіх точок:
  
• Сила інерції матеріальної точки- це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси точки на модуль прискорення і спрямована протилежно вектору прискорення:
• Сила інерції матеріального тіла- це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси тіла на модуль прискорення центру мас тіла і спрямована протилежно вектору прискорення центру мас:
  де - Прискорення центру мас тіла.
• Елементарний імпульс сили— це векторна величина, що дорівнює добутку вектора сили на нескінченно малий проміжок часу dt:
  .
  Повний імпульс сили за Δt дорівнює інтегралу від елементарних імпульсів:
  .
• Елементарна робота сили- це скалярна величина dA, рівна скалярному прої