Mavzu: “Inqilob jismlarining hajmlarini hisoblash aniq integral»

Dars turi: birlashtirilgan.

Darsning maqsadi: integrallar yordamida inqilob jismlarining hajmlarini hisoblashni o'rganing.

Vazifalar:

ketma-ket egri trapezoidlarni aniqlash qobiliyatini mustahkamlash geometrik shakllar va egri chiziqli trapetsiyalarning maydonlarini hisoblash malakasini mashq qilish;

uch o‘lchamli figura tushunchasi bilan tanishish;

aylanish jismlarining hajmlarini hisoblashni o'rganish;

rivojlanishiga yordam beradi mantiqiy fikrlash, malakali matematik nutq, chizmalarni qurishda aniqlik;

fanga qiziqishni, matematik tushunchalar va tasvirlar bilan ishlashga, yakuniy natijaga erishishda iroda, mustaqillik va qat'iyatni tarbiyalash.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

Guruhdan salom. Dars maqsadlarini talabalarga etkazish.

Men bugungi darsimizni masal bilan boshlamoqchiman. “Bir paytlar hamma narsani biladigan bir donishmand yashagan ekan. Bir kishi donishmand hamma narsani bilmasligini isbotlamoqchi edi. U kaftida kapalakni ushlab so'radi: "Aytingchi, donishmand, qaysi kapalak mening qo'limda: o'likmi yoki tirikmi?" Va u shunday deb o'ylaydi: "Agar tirik odam aytsa, men uni o'ldiraman, agar o'lik aytsa, men uni qo'yib yuboraman". Donishmand o'ylanib, javob berdi: "Hammasi sizning qo'lingizda."

Shunday ekan, keling, bugundan samarali mehnat qilaylik, yangi bilimlar zahirasini egallasak, olingan ko‘nikma va malakalarni kelgusi hayotimizda, amaliy faoliyatimizda qo‘llaymiz.“Hammasi o‘z qo‘lingda”.

II. Oldin o'rganilgan materialni takrorlash.

Oldin o'rganilgan materialning asosiy fikrlarini eslaylik. Buning uchun keling, topshiriqni bajaramiz "Chiqartirish ortiqcha so'z”.

(Talabalar qo'shimcha so'z aytadilar.)

To'g'ri "Differentsial". Qolgan so'zlarni bitta umumiy so'z bilan nomlashga harakat qiling. (Integral hisob.)

Keling, integral hisoblash bilan bog'liq asosiy bosqichlarni va tushunchalarni eslaylik.

Mashq qilish. Bo'shliqlarni tiklang. (Talaba chiqib, marker bilan kerakli so'zlarni yozadi.)

Daftarlarda ishlash.

Nyuton-Leybnits formulasi ingliz fizigi Isaak Nyuton (1643-1727) va nemis faylasufi Gotfrid Leybnits (1646-1716) tomonidan ishlab chiqilgan. Va bu ajablanarli emas, chunki matematika tabiatning o'zi gapiradigan tildir.

Keling, ushbu formuladan amaliy muammolarni hal qilishda qanday foydalanilishini ko'rib chiqaylik.

1-misol: Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Yechim: Koordinata tekisligida funksiyalar grafiklarini tuzamiz . Keling, topilishi kerak bo'lgan rasmning maydonini tanlaymiz.

III. Yangi materialni o'rganish.

Ekranga e'tibor bering. Birinchi rasmda nima tasvirlangan? (Rasmda tekis shakl ko'rsatilgan.)

Ikkinchi rasmda nima tasvirlangan? Bu raqam tekismi? (Rasmda uch o'lchamli shakl ko'rsatilgan.)

Kosmosda, erda va ichida Kundalik hayot Biz nafaqat tekis raqamlarga, balki uch o'lchamli raqamlarga ham duch kelamiz, ammo bunday jismlarning hajmini qanday hisoblashimiz mumkin? Masalan: sayyora, kometa, meteorit va boshqalar hajmi.

Odamlar uy qurishda ham, suvni bir idishdan ikkinchisiga quyishda ham hajm haqida o'ylashadi. Hajmlarni hisoblash qoidalari va texnikasi paydo bo'lishi kerak edi, ularning qanchalik to'g'ri va asosli ekanligi boshqa masala.

1612 yil taniqli astronom Iogannes Kepler yashagan Avstriyaning Linz shahri aholisi uchun, ayniqsa, uzum uchun juda samarali bo'ldi. Odamlar vino bochkalarini tayyorlab, ularning hajmlarini amalda qanday aniqlashni bilishni xohlashdi.

Shunday qilib, Keplerning ko'rib chiqilgan asarlari 17-asrning so'nggi choragida yakunlangan butun tadqiqot oqimining boshlanishini belgiladi. I. Nyuton va G.V asarlarida dizayn. Differensial va integral hisoblarning Leybnits. Shu davrdan boshlab matematik bilimlar tizimida oʻzgaruvchilar matematikasi yetakchi oʻrinni egalladi.

Bugun siz va men shunday amaliy ishlar bilan shug'ullanamiz, shuning uchun

Darsimizning mavzusi: "Aniq integral yordamida aylanish jismlarining hajmlarini hisoblash."

Siz inqilob tanasining ta'rifini bajarish orqali bilib olasiz keyingi vazifa.

"Labirint".

Mashq qilish. Chalkash vaziyatdan chiqish yo'lini toping va ta'rifni yozing.

IVHajmlarni hisoblash.

Aniq integraldan foydalanib, ma'lum bir jismning hajmini, xususan, aylanish jismini hisoblashingiz mumkin.

Revolyutsiya jismi - bu kavisli trapetsiyani asosi atrofida aylantirish natijasida olingan jism (1, 2-rasm).

Revolyutsiya jismining hajmi formulalardan biri yordamida hisoblanadi:

1. OX o'qi atrofida.

2. , agar kavisli trapezoidning aylanishi op-amp o'qi atrofida.

Talabalar asosiy formulalarni daftarga yozadilar.

O‘qituvchi doskadagi misollar yechimini tushuntiradi.

1. Chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning ordinat o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Yechim.

Javob: 1163 sm3.

2. Parabolik trapetsiyani x o‘qi atrofida aylantirish natijasida olingan jismning hajmini toping. y =, x = 4, y = 0.

Yechim.

V. Matematik simulyator.

2. Berilgan funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plami deyiladi

A) noaniq integral,

B) funktsiya;

B) farqlash.

7. Chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning abscissa o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping:

D/Z. Yangi materialni birlashtirish

Tananing hajmini hisoblang, aylanish natijasida hosil bo'ladi gulbarg, x o'qi atrofida y = x2, y2 = x.

Funktsiyaning grafiklarini tuzamiz. y = x2, y2 = x. y2 = x grafigini y = ko'rinishga o'tkazamiz.

Bizda V = V1 - V2 bor, har bir funktsiyaning hajmini hisoblaymiz:

Xulosa:

Aniq integral matematikani o'rganish uchun ma'lum bir asos bo'lib, amaliy muammolarni hal qilishda o'zgarmas hissa qo'shadi.

"Integral" mavzusi matematika va fizika, biologiya, iqtisodiyot va texnologiya o'rtasidagi bog'liqlikni aniq ko'rsatib beradi.

Rivojlanish zamonaviy fan integraldan foydalanmasdan tasavvur qilib bo'lmaydi. Shu munosabat bilan uni o'rtacha ko'rsatkich doirasida o'rganishni boshlash kerak maxsus ta'lim!

VI. Baholash.(Izoh bilan.)

Buyuk Lobster Xayyom - matematik, shoir, faylasuf. U bizni o'z taqdirimizga usta bo'lishga undaydi. Keling, uning ijodidan parchani tinglaymiz:

Siz aytasiz, bu hayot bir lahza.
Uni qadrlang, undan ilhom oling.
Qanchalik sarflasangiz, o'tib ketadi.
Unutmang: u sizning ijodingiz.

Aniq integral yordamida aylanish jismining hajmini qanday hisoblash mumkin?

Bundan tashqari aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini topish mavzuning eng muhim qo'llanilishi hisoblanadi inqilob jismining hajmini hisoblash. Material oddiy, lekin o'quvchi tayyor bo'lishi kerak: siz hal qila olishingiz kerak noaniq integrallar o'rtacha murakkablik va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llang aniq integral . Hududni topish muammosida bo'lgani kabi, sizga ishonchli chizish qobiliyati kerak - bu deyarli eng muhim narsa (chunki integrallarning o'zi ko'pincha oson bo'ladi). Uslubiy material yordamida siz malakali va tezkor diagramma usullarini o'zlashtirishingiz mumkin . Lekin, aslida, men darsda bir necha marta chizmalarning ahamiyati haqida gapirganman. .

Umuman olganda, integral hisoblashda juda ko'p qiziqarli ilovalar mavjud; aniq integraldan foydalanib, siz figuraning maydonini, aylanish jismining hajmini, yoy uzunligini, sirt maydonini hisoblashingiz mumkin. tana va boshqalar. Shunday qilib, bu qiziqarli bo'ladi, iltimos, optimist bo'ling!

Bir oz tasavvur qiling tekis shakl koordinata tekisligida. Tanishtirdi? ... Qiziq, kim nimani taqdim etdi... =))) Biz allaqachon uning maydonini topdik. Ammo, qo'shimcha ravishda, bu raqamni ikki usulda aylantirish va aylantirish mumkin:

– x o'qi atrofida; – ordinata o‘qi atrofida.

Ushbu maqola ikkala holatni ham ko'rib chiqadi. Aylanishning ikkinchi usuli ayniqsa qiziq, u eng ko'p qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, lekin aslida yechim x o'qi atrofida keng tarqalgan aylanish bilan deyarli bir xil. Bonus sifatida men qaytib kelaman figuraning maydonini topish muammosi , va men sizga maydonni ikkinchi usulda - eksa bo'ylab qanday topishni aytaman. Bu juda ko'p bonus emas, chunki material mavzuga yaxshi mos keladi.

Keling, eng mashhur aylanish turidan boshlaylik.

1-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figurani eksa atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.

Yechim: Hududni topish muammosida bo'lgani kabi, yechim tekis figurani chizish bilan boshlanadi. Ya'ni, tekislikda chiziqlar bilan chegaralangan figurani qurish kerak va tenglama o'qni belgilashini unutmang. Chizmani qanday qilib samaraliroq va tezroq bajarishni sahifalarda topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari Va Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin . Bu xitoycha eslatma va bu erda men boshqa to'xtalmayman.

Bu erda rasm chizish juda oddiy:

Kerakli tekis shakl ko'k rangga bo'yalgan, u o'q atrofida aylanadi. Aylanish natijasida, natijada o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan bir oz tuxumsimon uchuvchi likopcha paydo bo'ladi. Aslida, tananing matematik nomi bor, lekin men ma'lumotnomaga qarashga dangasaman, shuning uchun biz davom etamiz.

Inqilob jismining hajmini qanday hisoblash mumkin?

Revolyutsiya jismining hajmini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Formulada raqam integraldan oldin bo'lishi kerak. Shunday bo'ldi - hayotda aylanadigan hamma narsa bu doimiy bilan bog'liq.

Menimcha, tugallangan chizmadan "a" va "bo'lish" integratsiyasi chegaralarini qanday belgilashni taxmin qilish oson.

Funksiya... bu funksiya nima? Keling, rasmni ko'rib chiqaylik. Yassi figura yuqoridagi parabola grafigi bilan chegaralangan. Bu formulada nazarda tutilgan funksiya.

IN amaliy vazifalar tekis shakl ba'zan eksa ostida joylashgan bo'lishi mumkin. Bu hech narsani o'zgartirmaydi - formuladagi funktsiya kvadrat bo'ladi: shunday inqilob jismining hajmi har doim manfiy emas, bu juda mantiqiy.

Ushbu formuladan foydalanib, aylanish jismining hajmini hisoblaymiz:

Yuqorida aytib o'tganimdek, integral deyarli har doim oddiy bo'lib chiqadi, asosiysi ehtiyot bo'lishdir.

Javob:

Javobingizda siz o'lchamni ko'rsatishingiz kerak - kub birliklari. Ya'ni, bizning aylanish tanamizda taxminan 3,35 "kub" mavjud. Nima uchun kub birliklar? Chunki eng universal formula. Kub santimetr bo'lishi mumkin, kub metr bo'lishi mumkin, kub kilometrlar va hokazo bo'lishi mumkin, sizning tasavvuringiz uchib ketadigan likopchaga qancha yashil odam qo'yishi mumkin.

2-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini toping,

Bu misol uchun mustaqil qaror. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Keling, amaliyotda ham tez-tez uchrab turadigan yana ikkita murakkab muammolarni ko'rib chiqaylik.

3-misol

, va chiziqlar bilan chegaralangan figuraning abscissa o'qi atrofida aylanish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.

Yechim: Keling, chizmada ,,, chiziqlari bilan chegaralangan tekis figurani tasvirlaymiz, bu tenglama o'qni aniqlashini unutmasdan:

Kerakli raqam ko'k rangga bo'yalgan. U o'z o'qi atrofida aylansa, u to'rtta burchakli syurreal donut bo'lib chiqadi.

Inqilob jismining hajmini quyidagicha hisoblaylik jismlarning hajmlaridagi farq.

Birinchidan, qizil rang bilan aylana chizilgan rasmga qaraylik. U o'q atrofida aylanganda, kesilgan konus olinadi. Ushbu kesilgan konusning hajmini bilan belgilaymiz.

Aylana chizilgan rasmni ko'rib chiqing yashil. Agar siz bu raqamni o'q atrofida aylantirsangiz, siz kesilgan konusni ham olasiz, faqat biroz kichikroq. Uning hajmini bilan belgilaymiz.

Va, shubhasiz, hajmlardagi farq bizning "donut" ning hajmidir.

Revolyutsiya jismining hajmini topish uchun standart formuladan foydalanamiz:

1) Qizil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:

2) Yashil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:

3) Istalgan inqilob tanasining hajmi:

Javob:

Qizig'i shundaki, ichida Ushbu holatda yechim kesilgan konusning hajmini hisoblash uchun maktab formulasi yordamida tekshirilishi mumkin.

Qarorning o'zi ko'pincha qisqaroq yoziladi, shunga o'xshash narsa:

Keling, bir oz dam olamiz va geometrik illyuziyalar haqida gapiramiz.

Odamlarda ko'pincha kitobda Perelman (bu emas) payqagan jildlar bilan bog'liq illyuziyalar mavjud. Qiziqarli geometriya. Yechilgan masaladagi tekis shaklga qarang - u maydoni kichik bo'lib tuyuladi va inqilob tanasining hajmi 50 kub birlikdan sal ko'proqni tashkil qiladi, bu juda katta ko'rinadi. Aytgancha, o'rtacha odam butun hayoti davomida 18 kvadrat metrlik xonaga teng suyuqlik ichadi, bu esa, aksincha, juda kichik hajmga o'xshaydi.

Umuman olganda, SSSRdagi ta'lim tizimi haqiqatan ham eng yaxshisi edi. 1950 yilda u yozgan Perelmanning o'sha kitobi, hazil muallifi aytganidek, juda yaxshi rivojlanadi, o'ylaydi va muammolarni asl, nostandart echimlarni izlashga o'rgatadi. Men yaqinda ba'zi boblarni katta qiziqish bilan qayta o'qib chiqdim, tavsiya qilaman, bu hatto gumanistlar uchun ham mavjud. Yo'q, men bo'sh vaqt taklif qildim, deb tabassum qilishingiz shart emas, bilim va muloqotda keng ufqlar - bu ajoyib narsa.

Lirik chekinishdan so'ng, ijodiy vazifani hal qilish o'rinli:

4-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan tananing hajmini hisoblang, bu erda.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. E'tibor bering, hamma narsa guruhda sodir bo'ladi, boshqacha aytganda, integratsiyaning amalda tayyor chegaralari berilgan. Shuningdek, grafiklarni to'g'ri chizishga harakat qiling. trigonometrik funktsiyalar, agar argument ikkiga bo'lingan bo'lsa:, u holda grafiklar o'q bo'ylab ikki marta cho'ziladi. Kamida 3-4 ball topishga harakat qiling trigonometrik jadvallarga muvofiq va chizmani aniqroq to'ldiring. To'liq yechim va javob dars oxirida. Aytgancha, vazifani oqilona hal qilish mumkin va juda oqilona emas.

Yassi figurani o'q atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblash

Ikkinchi xatboshi birinchisidan ham qiziqroq bo'ladi. Ordinata o'qi atrofida aylanish jismining hajmini hisoblash vazifasi ham sinov ishida juda keng tarqalgan mehmon hisoblanadi. Yo'l davomida u ko'rib chiqiladi figuraning maydonini topish muammosi ikkinchi usul - eksa bo'ylab integratsiya, bu sizga nafaqat mahoratingizni oshirishga imkon beradi, balki sizni eng foydali echim yo'lini topishga o'rgatadi. Bunda amaliy hayotiy ma'no ham bor! Matematika o'qitish metodikasi bo'yicha o'qituvchim tabassum bilan eslaganidek, ko'plab bitiruvchilar unga: "Sizning faningiz bizga juda ko'p yordam berdi, endi biz samarali menejermiz va xodimlarni optimal tarzda boshqarmoqdamiz" degan so'zlar bilan minnatdorchilik bildirishdi. Fursatdan foydalanib, men ham unga katta minnatdorchiligimni izhor etaman, ayniqsa, olingan bilimlarimdan maqsadli foydalanayotganim uchun =).

5-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan tekis shakl berilgan ,,.

1) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini toping. 2) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekis figurani o'q atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini toping.

Diqqat! Agar siz faqat ikkinchi nuqtani o'qishni istasangiz ham, birinchi Majburiy birinchisini o'qing!

Yechim: Vazifa ikki qismdan iborat. Kvadrat bilan boshlaylik.

1) Keling, rasm chizamiz:

Funksiya parabolaning yuqori tarmog‘ini, funksiya esa parabolaning pastki tarmog‘ini ko‘rsatishini ko‘rish oson. Bizning oldimizda "yon tomonda yotgan" arzimas parabola turibdi.

Maydoni topilishi kerak bo'lgan kerakli raqam ko'k rangga bo'yalgan.

Shaklning maydonini qanday topish mumkin? Buni sinfda muhokama qilingan "odatiy" usulda topish mumkin Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin . Bundan tashqari, rasmning maydoni maydonlarning yig'indisi sifatida topiladi: - segmentda ; - segmentda.

Shunung uchun:

Nima uchun bu holatda odatiy yechim yomon? Birinchidan, biz ikkita integral oldik. Ikkinchidan, integrallar ildizdir va integrallardagi ildizlar sovg'a emas va bundan tashqari, siz integratsiya chegaralarini almashtirishda chalkashib ketishingiz mumkin. Aslida, integrallar, albatta, qotil emas, lekin amalda hamma narsa juda achinarli bo'lishi mumkin, men muammo uchun "yaxshiroq" funktsiyalarni tanladim.

Yana oqilona yechim bor: u teskari funktsiyalarga o'tish va eksa bo'ylab integratsiyadan iborat.

Teskari funktsiyalarga qanday o'tish mumkin? Taxminan aytganda, siz "x" ni "y" orqali ifodalashingiz kerak. Birinchidan, parabolani ko'rib chiqaylik:

Bu yetarli, lekin keling, xuddi shu funktsiyani pastki filialdan olish mumkinligiga ishonch hosil qilaylik:

To'g'ri chiziq bilan osonroq:

Endi o'qga qarang: iltimos, tushuntirayotganingizda vaqti-vaqti bilan boshingizni o'ngga 90 daraja egib turing (bu hazil emas!). Bizga kerak bo'lgan raqam qizil nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan segmentda yotadi. Bundan tashqari, segmentda to'g'ri chiziq parabola ustida joylashgan, bu sizga tanish bo'lgan formuladan foydalanib, raqamning maydonini topish kerakligini anglatadi: . Formulada nima o'zgardi? Faqat xat va boshqa hech narsa.

! Eslatma: eksa bo'ylab integratsiya chegaralari o'rnatilishi kerakqat'iy pastdan yuqoriga !

Hududni topish:

Shunday qilib, segmentda:

Iltimos, integratsiyani qanday amalga oshirganimga e'tibor bering, bu eng oqilona yo'l va vazifaning keyingi bandida nima uchun aniq bo'ladi.

Integratsiyaning to'g'riligiga shubha qiladigan o'quvchilar uchun men lotinlarni topaman:

Asl integral funksiyasi olindi, ya'ni integratsiya to'g'ri bajarilgan.

Javob:

2) Bu raqamning o'q atrofida aylanishidan hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblaymiz.

Men rasmni biroz boshqacha dizaynda qayta chizaman:

Shunday qilib, ko'k rangga bo'yalgan raqam o'q atrofida aylanadi. Natijada o'z o'qi atrofida aylanadigan "suzuvchi kapalak" paydo bo'ladi.

Aylanish jismining hajmini topish uchun biz o'q bo'ylab integrallashamiz. Avval teskari funktsiyalarga o'tishimiz kerak. Bu allaqachon qilingan va avvalgi xatboshida batafsil tavsiflangan.

Endi biz boshimizni yana o'ngga egib, figuramizni o'rganamiz. Shubhasiz, aylanish jismining hajmini hajmlar farqi sifatida topish kerak.

Qizil rang bilan aylana bo'lgan shaklni eksa atrofida aylantiramiz, natijada kesilgan konus paydo bo'ladi. Bu hajmni bilan belgilaymiz.

Yashil rangda aylana bo'ylab chizilgan shaklni o'q atrofida aylantiramiz va hosil bo'lgan aylanish jismining hajmini belgilaymiz.

Bizning kapalakning hajmi hajmlar farqiga teng.

Revolyutsiya jismining hajmini topish uchun formuladan foydalanamiz:

Oldingi paragrafdagi formuladan qanday farq bor? Faqat xatda.

Ammo men yaqinda aytib o'tgan integratsiyaning afzalligini topish ancha oson , birinchi navbatda integratsiyani 4-chi darajaga ko'tarishdan ko'ra.

Inqilob jismining hajmini qanday hisoblash mumkin
aniq integral yordamida?

Umuman olganda, integral hisoblashda juda ko'p qiziqarli ilovalar mavjud; aniq integraldan foydalanib, siz figuraning maydonini, aylanish jismining hajmini, yoy uzunligini, sirt maydonini hisoblashingiz mumkin. aylanish va boshqalar. Shunday qilib, bu qiziqarli bo'ladi, iltimos, optimist bo'ling!

Koordinata tekisligida qandaydir tekis shaklni tasavvur qiling. Tanishtirdi? ... Qiziq, kim nimani taqdim etdi... =))) Biz allaqachon uning maydonini topdik. Ammo, qo'shimcha ravishda, bu raqamni ikki usulda aylantirish va aylantirish mumkin:

- abtsissa o'qi atrofida;
- ordinata o'qi atrofida.

Ushbu maqola ikkala holatni ham ko'rib chiqadi. Aylanishning ikkinchi usuli ayniqsa qiziq, u eng ko'p qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, lekin aslida yechim x o'qi atrofida keng tarqalgan aylanish bilan deyarli bir xil. Bonus sifatida men qaytib kelaman figuraning maydonini topish muammosi, va men sizga maydonni ikkinchi usulda - eksa bo'ylab qanday topishni aytaman. Bu juda ko'p bonus emas, chunki material mavzuga yaxshi mos keladi.

Keling, eng mashhur aylanish turidan boshlaylik.

eksa atrofidagi tekis shakl

Chiziqlar bilan chegaralangan figurani eksa atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.

Yechim: Hududni topish muammosida bo'lgani kabi, yechim tekis figurani chizish bilan boshlanadi. Ya'ni, tekislikda chiziqlar bilan chegaralangan raqamni qurish kerak va tenglama o'qni ko'rsatishini unutmang. Chizmani qanday qilib samaraliroq va tezroq bajarishni sahifalarda topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari Va . Bu Xitoy eslatmasi va davom etadi shu daqiqada Men endi to'xtamayman.

Bu erda rasm chizish juda oddiy:

Kerakli tekis shakl ko'k rangga bo'yalgan, u o'q atrofida aylanadigan narsadir.Aylanish natijasida o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan biroz tuxumsimon uchuvchi likopcha paydo bo'ladi. Darhaqiqat, tananing matematik nomi bor, lekin men ma'lumotnomada biror narsani tushuntirishga dangasaman, shuning uchun biz davom etamiz.

Inqilob jismining hajmini qanday hisoblash mumkin?

Revolyutsiya jismining hajmi formula yordamida hisoblanishi mumkin:

Formulada raqam integraldan oldin bo'lishi kerak. Shunday bo'ldi - hayotda aylanadigan hamma narsa bu doimiy bilan bog'liq.

Menimcha, tugallangan chizmadan "a" va "bo'lish" integratsiyasi chegaralarini qanday belgilashni taxmin qilish oson.

Funksiya... bu funksiya nima? Keling, rasmni ko'rib chiqaylik. Tekislik figurasi yuqoridagi parabola grafigi bilan chegaralangan. Bu formulada nazarda tutilgan funksiya.

Amaliy topshiriqlarda tekis shakl ba'zan eksa ostida joylashgan bo'lishi mumkin. Bu hech narsani o'zgartirmaydi - formuladagi integratsiya kvadrat bo'ladi: , shunday qilib integral har doim manfiy emas, bu juda mantiqiy.

Ushbu formuladan foydalanib, aylanish jismining hajmini hisoblaymiz:

Yuqorida aytib o'tganimdek, integral deyarli har doim oddiy bo'lib chiqadi, asosiysi ehtiyot bo'lishdir.

Javob:

Javobingizda siz o'lchamni ko'rsatishingiz kerak - kub birliklari. Ya'ni, bizning aylanish tanamizda taxminan 3,35 "kub" mavjud. Nima uchun kub birliklar? Chunki eng universal formula. Kub santimetr bo'lishi mumkin, kub metr bo'lishi mumkin, kub kilometrlar va hokazo bo'lishi mumkin, sizning tasavvuringiz uchib ketadigan likopchaga qancha yashil odam qo'yishi mumkin.

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini toping, ,

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Keling, amaliyotda ham tez-tez uchrab turadigan yana ikkita murakkab muammolarni ko'rib chiqaylik.

, va chiziqlar bilan chegaralangan shaklning abscissa o'qi atrofida aylanish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.

Yechim: , , , chiziqlari bilan chegaralangan tekis figurani chizmada tasvirlaymiz, bu tenglama o'qni aniqlashini unutmaylik:

Kerakli raqam ko'k rangga bo'yalgan. U o'z o'qi atrofida aylansa, u to'rtta burchakli syurreal donut bo'lib chiqadi.

Inqilob jismining hajmini quyidagicha hisoblaylik jismlarning hajmlaridagi farq.

Birinchidan, qizil rang bilan aylana chizilgan rasmga qaraylik. U o'q atrofida aylanganda, kesilgan konus olinadi. Bu kesilgan konusning hajmini bilan belgilaymiz.

Yashil rangda aylana bilan chizilgan rasmni ko'rib chiqing. Agar siz bu raqamni o'q atrofida aylantirsangiz, siz kesilgan konusni ham olasiz, faqat biroz kichikroq. Uning hajmini bilan belgilaymiz.

Va, shubhasiz, hajmlardagi farq bizning "donut" ning hajmidir.

Revolyutsiya jismining hajmini topish uchun standart formuladan foydalanamiz:

1) Qizil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:

2) Yashil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:

3) Istalgan inqilob tanasining hajmi:

Javob:

Qizig'i shundaki, bu holda yechim kesilgan konusning hajmini hisoblash uchun maktab formulasi yordamida tekshirilishi mumkin.

Qarorning o'zi ko'pincha qisqaroq yoziladi, shunga o'xshash narsa:

Keling, bir oz dam olamiz va geometrik illyuziyalar haqida gapiramiz.

Odamlarda ko'pincha jildlar bilan bog'liq illyuziyalar bor, buni Perelman (boshqa) kitobda payqagan Qiziqarli geometriya. Yechilgan masaladagi tekis shaklga qarang - u maydoni kichik bo'lib tuyuladi va inqilob tanasining hajmi 50 kub birlikdan sal ko'proqni tashkil qiladi, bu juda katta ko'rinadi. Aytgancha, o'rtacha odam butun hayoti davomida 18 kvadrat metrlik xonaga teng suyuqlik ichadi, bu esa, aksincha, juda kichik hajmga o'xshaydi.

Lirik chekinishdan so'ng, ijodiy vazifani hal qilish o'rinli:

Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblang, , bu erda.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. E'tibor bering, barcha holatlar bandda sodir bo'ladi, boshqacha aytganda, integratsiyaning tayyor chegaralari aslida berilgan. Trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini to'g'ri chizing, sizga dars materialini eslatib o'taman grafiklarni geometrik o'zgartirishlar: agar argument ikkiga bo'lingan bo'lsa: , u holda grafiklar o'q bo'ylab ikki marta cho'ziladi. Kamida 3-4 ball topish maqsadga muvofiqdir trigonometrik jadvallarga muvofiq chizmani aniqroq bajarish uchun. To'liq yechim va javob dars oxirida. Aytgancha, vazifani oqilona hal qilish mumkin va juda oqilona emas.

Aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblash
eksa atrofidagi tekis shakl

Ikkinchi xatboshi birinchisidan ham qiziqroq bo'ladi. Ordinata o'qi atrofida aylanish jismining hajmini hisoblash vazifasi ham juda tez-tez uchraydigan mehmondir. testlar. Yo'l davomida u ko'rib chiqiladi figuraning maydonini topish muammosi ikkinchi usul - eksa bo'ylab integratsiya, bu sizga nafaqat mahoratingizni oshirishga imkon beradi, balki sizni eng foydali echim yo'lini topishga o'rgatadi. Bunda amaliy hayotiy ma'no ham bor! Matematika o'qitish metodikasi bo'yicha o'qituvchim tabassum bilan eslaganidek, ko'plab bitiruvchilar unga: "Sizning faningiz bizga juda ko'p yordam berdi, endi biz samarali menejermiz va xodimlarni optimal tarzda boshqarmoqdamiz" degan so'zlar bilan minnatdorchilik bildirishdi. Fursatdan foydalanib, men ham unga katta minnatdorchiligimni izhor etaman, ayniqsa, olingan bilimlarimdan maqsadli foydalanayotganim uchun =).

Men buni hammaga, hatto to'liq qo'g'irchoqlarga ham tavsiya qilaman. Bundan tashqari, ikkinchi xatboshida o'rganilgan material ikki tomonlama integrallarni hisoblashda bebaho yordam beradi..

Chiziqlar bilan chegaralangan tekis shakl berilgan, , .

1) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini toping.
2) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekis figurani o'q atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini toping.

Diqqat! Agar siz faqat ikkinchi nuqtani o'qishni istasangiz ham, birinchi bo'lib birinchisini o'qing!

Yechim: Vazifa ikki qismdan iborat. Kvadrat bilan boshlaylik.

1) Keling, rasm chizamiz:

Funksiya parabolaning yuqori tarmog‘ini, funksiya esa parabolaning pastki tarmog‘ini ko‘rsatishini ko‘rish oson. Bizning oldimizda "yon tomonda yotgan" arzimas parabola turibdi.

Maydoni topilishi kerak bo'lgan kerakli raqam ko'k rangga bo'yalgan.

Shaklning maydonini qanday topish mumkin? Buni sinfda muhokama qilingan "odatiy" usulda topish mumkin Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin. Bundan tashqari, rasmning maydoni maydonlarning yig'indisi sifatida topiladi:
- segmentda ;
- segmentda.

Shunung uchun:

Nima uchun bu holatda odatiy yechim yomon? Birinchidan, biz ikkita integral oldik. Ikkinchidan, integrallar ostida ildizlar mavjud va integrallardagi ildizlar sovg'a emas va bundan tashqari, siz integratsiya chegaralarini almashtirishda adashishingiz mumkin. Aslida, integrallar, albatta, qotil emas, lekin amalda hamma narsa juda achinarli bo'lishi mumkin, men muammo uchun "yaxshiroq" funktsiyalarni tanladim.

Yana oqilona yechim bor: u teskari funktsiyalarga o'tish va eksa bo'ylab integratsiyadan iborat.

Teskari funktsiyalarga qanday o'tish mumkin? Taxminan aytganda, siz "x" ni "y" orqali ifodalashingiz kerak. Birinchidan, parabolani ko'rib chiqaylik:

Bu yetarli, lekin keling, xuddi shu funktsiyani pastki filialdan olish mumkinligiga ishonch hosil qilaylik:

To'g'ri chiziq bilan osonroq:

Endi o'qga qarang: iltimos, tushuntirayotganingizda vaqti-vaqti bilan boshingizni o'ngga 90 daraja egib turing (bu hazil emas!). Bizga kerak bo'lgan raqam qizil nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan segmentda yotadi. Bunday holda, segmentda to'g'ri chiziq parabola ustida joylashgan bo'lib, bu raqamning maydoni sizga tanish bo'lgan formuladan foydalanib topilishi kerakligini anglatadi: . Formulada nima o'zgardi? Faqat xat va boshqa hech narsa.

! Eslatma: O'q bo'ylab integratsiya chegaralari belgilanishi kerak qat'iy pastdan yuqoriga!

Hududni topish:

Shunday qilib, segmentda:

Iltimos, integratsiyani qanday amalga oshirganimga e'tibor bering, bu eng oqilona yo'l va vazifaning keyingi bandida nima uchun aniq bo'ladi.

Integratsiyaning to'g'riligiga shubha qiladigan o'quvchilar uchun men lotinlarni topaman:

Asl integral funksiyasi olindi, ya'ni integratsiya to'g'ri bajarilgan.

Javob:

2) Bu raqamning o'q atrofida aylanishidan hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblaymiz.

Men rasmni biroz boshqacha dizaynda qayta chizaman:

Shunday qilib, ko'k rangga bo'yalgan raqam o'q atrofida aylanadi. Natijada o'z o'qi atrofida aylanadigan "suzuvchi kapalak" paydo bo'ladi.

Aylanish jismining hajmini topish uchun biz o'q bo'ylab integrallashamiz. Avval teskari funktsiyalarga o'tishimiz kerak. Bu allaqachon qilingan va avvalgi xatboshida batafsil tavsiflangan.

Endi biz boshimizni yana o'ngga egib, figuramizni o'rganamiz. Shubhasiz, aylanish jismining hajmini hajmlar farqi sifatida topish kerak.

Qizil rang bilan aylana bo'lgan shaklni eksa atrofida aylantiramiz, natijada kesilgan konus paydo bo'ladi. Bu hajmni bilan belgilaymiz.

Yashil rang bilan aylana chizilgan shaklni eksa atrofida aylantiramiz va uni hosil bo'lgan aylanish jismining hajmi bilan belgilaymiz.

Bizning kapalakning hajmi hajmlar farqiga teng.

Revolyutsiya jismining hajmini topish uchun formuladan foydalanamiz:

Oldingi paragrafdagi formuladan qanday farq bor? Faqat xatda.

Ammo men yaqinda aytib o'tgan integratsiyaning afzalligini topish ancha oson , birinchi navbatda integratsiyani 4-chi darajaga ko'tarishdan ko'ra.

Javob:

E'tibor bering, agar bir xil tekis shakl o'q atrofida aylantirilsa, siz tabiiy ravishda boshqa hajmga ega bo'lgan butunlay boshqa aylanish jismini olasiz.

Chiziqlar va o'q bilan chegaralangan tekis shakl berilgan.

1) Teskari funktsiyalarga o'ting va o'zgaruvchiga integrallash orqali ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping.
2) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekis figurani o'q atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Qiziqqanlar, shuningdek, figuraning maydonini "odatiy" usulda topishlari mumkin va shu bilan 1) nuqtani tekshirishlari mumkin. Ammo takror aytamanki, siz tekis figurani o'q atrofida aylantirsangiz, siz boshqa hajmga ega bo'lgan butunlay boshqa aylanish jismini olasiz, aytmoqchi, to'g'ri javob (muammolarni hal qilishni yaxshi ko'radiganlar uchun ham).

Vazifaning taklif qilingan ikkita nuqtasining to'liq yechimi dars oxirida.

Ha, va aylanish jismlarini va integratsiya chegaralarini tushunish uchun boshingizni o'ngga burishni unutmang!

Men maqolani tugatmoqchi edim, lekin bugun ular ordinata o'qi atrofida aylanish jismining hajmini topish uchun qiziqarli misol keltirdilar. Yangi:

va egri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblang.

Yechim: Keling, rasm chizamiz:

Yo'l davomida biz ba'zi boshqa funktsiyalarning grafiklari bilan tanishamiz. Bu qiziqarli grafik hatto funktsiya ….

T - yuqori yarim tekislikda joylashgan egri chiziqli trapetsiyaning abscissa o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan aylanish jismi va cheklangan eksa abscissa, x=a va x=b to'g'ri chiziqlar va grafik uzluksiz funksiya y=f(x) .

Keling, buni isbotlaylik inqilob tanasi kub shaklida va uning hajmi formula bilan ifodalanadi

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Birinchidan, aylanish o'qiga perpendikulyar Oyz tekisligini \Pi sifatida tanlasak, bu aylanish jismining muntazam ekanligini isbotlaymiz. E'tibor bering, Oyz tekislikdan x masofada joylashgan kesma f(x) radiusli aylana va uning S(x) maydoni \pi f^2(x) ga teng (46-rasm). Demak, f(x) ning uzluksizligi tufayli S(x) funksiya uzluksizdir. Keyingi, agar S(x_1)\leqslant S(x_2), keyin bu degani. Lekin kesmalarning Oyz tekisligiga proyeksiyalari markazi O bo'lgan f(x_1) va f(x_2) radiusli doiralar va dan f(x_1)\leqslant f(x_2) bundan kelib chiqadiki, f(x_1) radiusli aylana f(x_2) radiusli doira ichida joylashgan.

Demak, inqilob tanasi muntazamdir. Shuning uchun u kub shaklida bo'ladi va uning hajmi formula bo'yicha hisoblanadi

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Agar egri chiziqli trapetsiya pastdan ham, yuqoridan ham y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) egri chiziqlar bilan chegaralangan boʻlsa, u holda

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Formula (3) dan aylanuvchi figuraning chegarasi berilgan holda, aylanish jismining hajmini hisoblash uchun ham foydalanish mumkin. parametrik tenglamalar. Bunday holda, siz aniq integral belgisi ostida o'zgaruvchining o'zgarishini ishlatishingiz kerak.

Ba'zi hollarda aylanish jismlarini tekis dumaloq silindrlarga emas, balki boshqa turdagi raqamlarga ajratish qulay bo'lib chiqadi.

Masalan, topamiz egri trapetsiyani ordinata o'qi atrofida aylantirish natijasida olingan jismning hajmi. Birinchidan, balandligi y# bo'lgan to'rtburchakni aylantirish natijasida olingan hajmni topamiz, uning tagida segment yotadi. Bu hajm ikkita tekis dumaloq tsilindrning hajmlari farqiga teng

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ammo endi kerakli hajm yuqoridan va pastdan quyidagicha baholanishi aniq:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Bu erdan osonlik bilan kuzatib boradi ordinata o'qi atrofida aylanish jismining hajmining formulasi:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

4-misol. Radiusi R bo‘lgan sharning hajmi topilsin.

Yechim. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz R radiusli aylanani ko'rib chiqamiz, uning markazi uning boshida joylashgan. Ox o'qi atrofida aylanadigan bu doira to'pni hosil qiladi. Doira tenglamasi x^2+y^2=R^2, shuning uchun y^2=R^2-x^2. Doiraning ordinata o'qiga nisbatan simmetriyasini hisobga olib, birinchi navbatda kerakli hajmning yarmini topamiz.

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \chap.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\o'ng))\o'ng|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Shuning uchun butun to'pning hajmi teng \ frac (4) (3) \ pi R ^ 3.

5-misol. Balandligi h va asos radiusi r bo'lgan konusning hajmini hisoblang.

Yechim. Ox o'qi h balandlikka to'g'ri keladigan koordinatalar tizimini tanlaymiz (47-rasm) va koordinatalarning boshi sifatida konusning uchini olamiz. Shunda OA toʻgʻri chiziq tenglamasi y=\frac(r)(h)\,x koʻrinishda yoziladi.

Formuladan (3) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \chap.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\o'ng|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

6-misol. Astroidning x o'qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmi topilsin \begin(holatlar)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(holatlar)(48-rasm).

Yechim. Keling, astroid quraylik. Keling, ordinat o'qiga nisbatan nosimmetrik joylashgan astroidning yuqori qismining yarmini ko'rib chiqaylik. (3) formuladan foydalanib va ​​aniq integral belgisi ostidagi o'zgaruvchini o'zgartirib, yangi o'zgaruvchi t uchun integrasiya chegaralarini topamiz.

Agar x=a\cos^3t=0 bo'lsa, u holda t=\frac(\pi)(2) va x=a\cos^3t=a bo'lsa, t=0 bo'ladi. y^2=a^2\sin^6t ekanligini hisobga olsak va dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, biz olamiz:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Astroidning aylanishi natijasida hosil bo'lgan butun tananing hajmi bo'ladi \frac(32\pi)(105)\,a^3.

7-misol. X o'qi va sikloidning birinchi yoyi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning ordinat o'qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmi topilsin. \begin(holatlar)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(holatlar).

Yechim.(4) formuladan foydalanamiz: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, va o‘zgaruvchini integral belgisi ostida almashtiring, bunda sikloidning birinchi yoyi t o‘zgaruvchisi 0 dan 2\pi ga o‘zgarganda hosil bo‘lishini hisobga oling. Shunday qilib,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \chap.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \ frac (1) (3) \ o'ng) = 6 \ pi ^ 3a ^ 3. \end (tekislangan)

Brauzeringizda Javascript o'chirib qo'yilgan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlarini yoqishingiz kerak!

Integrallar yordamida aylanish jismlarining hajmlarini topish

Matematikaning amaliy foydaliligi, bu holda

Maxsus matematik bilimlar qurilma va zamonaviy texnologiyalardan foydalanish tamoyillarini tushunishni qiyinlashtiradi. Har bir inson hayotida juda murakkab hisob-kitoblarni amalga oshirishi, tez-tez ishlatiladigan asbob-uskunalardan foydalanishi, ma'lumotnomalardan kerakli formulalarni topishi va muammolarni hal qilish uchun oddiy algoritmlarni yaratishi kerak. IN zamonaviy jamiyat tobora ko'proq mutaxassisliklarni talab qilmoqda yuqori daraja ta'lim matematikani bevosita qo'llash bilan bog'liq. Shunday qilib, matematika talaba uchun kasbiy ahamiyatga ega bo'lgan fanga aylanadi. Algoritmik tafakkurni shakllantirishda matematika etakchi rol o'ynaydi, u berilgan algoritm bo'yicha harakat qilish va yangi algoritmlarni qurish qobiliyatini rivojlantiradi.

Revolyutsiya jismlarining hajmlarini hisoblash uchun integraldan foydalanish mavzusini o'rganayotganda, men tanlov sinflarida o'quvchilarga "Integrallar yordamida inqilob jismlarining hajmlari" mavzusini ko'rib chiqishni taklif qilaman. Quyida ushbu mavzuni ko'rib chiqish bo'yicha uslubiy tavsiyalar keltirilgan:

1. Yassi figuraning maydoni.

Algebra kursidan bilamizki, amaliy xarakterdagi masalalar aniq integral tushunchasiga olib kelgan..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=". >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Singan chiziq y=f(x), Ox o'qi, x=a va x=b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Ox o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan aylanish jismining hajmini topish uchun hisoblaymiz. formuladan foydalanib

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y"

3. Silindr hajmi.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Konus aylanish yo'li bilan olinadi to'g'ri uchburchak AC oyog'i yotadigan Ox o'qi atrofida ABC(C=90).

AB segmenti y=kx+c to'g'ri chiziqda yotadi, bu erda https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

a=0, b=H (H - konusning balandligi), keyin Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=" bo'lsin. ">.

5.Kesilgan konusning hajmi.

Kesilgan konusni to'g'ri burchakli ABCD (CDOx) trapesiyani Ox o'qi atrofida aylantirish orqali olish mumkin.

AB segmenti y=kx+c to'g'ri chiziqda yotadi, bu erda , c=r.

To'g'ri chiziq A nuqtadan o'tganligi uchun (0;r).

Shunday qilib, to'g'ri chiziq https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> ga o'xshaydi.

a=0, b=H (H - kesilgan konusning balandligi), keyin https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" bo'lsin. ="> = .

6. To'pning hajmi.

To'pni markazi (0;0) bo'lgan doirani Ox o'qi atrofida aylantirish orqali olish mumkin. Ox o'qi ustida joylashgan yarim doira tenglama bilan berilgan

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.