Ushbu maqolada siz figuraning maydonini qanday topishni o'rganasiz, chiziqlar bilan cheklangan, integrallar yordamida hisob-kitoblardan foydalanish. Biz birinchi marta o'rta maktabda aniq integrallarni o'rganishni tugatganimizda va olingan bilimlarni geometrik talqin qilishni amaliyotda boshlash vaqti kelganida birinchi marta duch kelamiz.
Shunday qilib, integrallar yordamida figuraning maydonini topish masalasini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nima talab qilinadi:
- Barkamol chizmalarni yaratish qobiliyati;
- Yechish qobiliyatlari aniq integral yordamida mashhur formula Nyuton-Leybnits;
- Yechimning yanada foydali variantini "ko'rish" qobiliyati - ya'ni. Qanday qilib u yoki bu holatda integratsiyani amalga oshirish qulayroq bo'lishini tushunasizmi? X o'qi (OX) yoki y o'qi (OY) bo'ylab?
- To'g'ri hisob-kitoblarsiz qayerda bo'lardik?) Bu boshqa turdagi integrallarni qanday yechish va sonli hisoblarni to'g'rilashni tushunishni o'z ichiga oladi.
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblash muammosini hal qilish algoritmi:
1. Biz chizma qurmoqdamiz. Buni katakli qog'ozda, katta hajmda qilish tavsiya etiladi. Bu funksiya nomini har bir grafik ustida qalam bilan belgilaymiz. Grafiklar faqat keyingi hisob-kitoblarning qulayligi uchun imzolangan. Istalgan raqamning grafigini olgandan so'ng, ko'p hollarda integratsiyaning qaysi chegaralari qo'llanilishi darhol aniq bo'ladi. Muammoni shu tarzda hal qilamiz grafik usul. Biroq, chegaralarning qiymatlari kasr yoki irratsional bo'ladi. Shuning uchun siz qo'shimcha hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin, ikkinchi bosqichga o'ting.
2. Agar integratsiya chegaralari aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, biz grafiklarning bir-biri bilan kesishish nuqtalarini topamiz va bizning grafik yechim analitik bilan.
3. Keyinchalik, chizilgan rasmni tahlil qilishingiz kerak. Funktsiya grafiklari qanday joylashtirilganiga qarab, ular mavjud turli yondashuvlar figuraning maydonini topish uchun. Keling, ko'rib chiqaylik turli misollar integrallar yordamida figuraning maydonini topish.
3.1. Muammoning eng klassik va eng oddiy versiyasi - bu kavisli trapezoidning maydonini topish kerak bo'lganda. Egri trapezoid nima? Bu x o'qi bilan cheklangan tekis raqam (y = 0), Streyt x = a, x = b va dan oraliqda uzluksiz har qanday egri chiziq a oldin b. Bundan tashqari, bu ko'rsatkich salbiy emas va x o'qi ostida joylashgan emas. Bunday holda, egri chiziqli trapezoidning maydoni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan ma'lum bir integralga sonli tengdir:
1-misol y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Shakl qaysi chiziqlar bilan chegaralangan? Bizda parabola bor y = x2 – 3x + 3, bu eksa ustida joylashgan OH, u salbiy emas, chunki bu parabolaning barcha nuqtalari ijobiy qiymatlarga ega. Keyinchalik, to'g'ri chiziqlar berilgan x = 1 Va x = 3, ular o'qga parallel ravishda ishlaydi OU, chap va o'ngdagi rasmning chegara chiziqlari. Xo'sh y = 0, u ham x o'qi bo'lib, u raqamni pastdan cheklaydi. Olingan raqam, chapdagi rasmdan ko'rinib turganidek, soyali. IN Ushbu holatda, siz darhol muammoni hal qilishni boshlashingiz mumkin. Bizning oldimizda egri chiziqli trapesiyaning oddiy misoli bor, biz uni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hal qilamiz.
3.2. Oldingi 3.1-bandda biz egri trapezoid x o'qi ustida joylashgan vaziyatni ko'rib chiqdik. Endi masalaning shartlari bir xil bo'lgan holatni ko'rib chiqing, faqat funktsiya x o'qi ostida joylashgan. Standart Nyuton-Leybnits formulasiga minus qo'shiladi. Bunday muammoni qanday hal qilishni quyida ko'rib chiqamiz.
2-misol . Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Ushbu misolda bizda parabola mavjud y = x2 + 6x + 2, o'qdan kelib chiqadi OH, Streyt x = -4, x = -1, y = 0. Bu yerga y = 0 yuqoridan kerakli raqamni cheklaydi. To'g'ridan-to'g'ri x = -4 Va x = -1 bu chegaralar bo'lib, ular ichida aniq integral hisoblanadi. Shaklning maydonini topish masalasini hal qilish printsipi 1-misolga deyarli to'liq mos keladi. Yagona farq shundaki, berilgan funktsiya musbat emas, balki intervalda ham uzluksizdir. [-4; -1] . Nima demoqchisiz ijobiy emas? Rasmdan ko'rinib turibdiki, berilgan x lar ichida joylashgan raqam faqat "salbiy" koordinatalarga ega, masalani hal qilishda biz buni ko'rishimiz va eslashimiz kerak. Biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, rasmning maydonini qidiramiz, faqat boshida minus belgisi bilan.
Maqola tugallanmagan.
A)
Yechim.
Qarorning birinchi va eng muhim nuqtasi - chizmaning qurilishi.
Keling, rasm chizamiz:
Tenglama y=0 "x" o'qini o'rnatadi;
- x=-2 Va x=1 - to'g'ri, o'qga parallel OU;
- y=x 2 +2 - parabola, shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, uchi (0;2) nuqtada.
Izoh. Parabolani qurish uchun uning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topish kifoya, ya'ni. qo'yish x=0 o'q bilan kesishgan joyni toping OU va shunga muvofiq qaror qabul qilish kvadrat tenglama, o'q bilan kesishgan joyni toping Oh .
Parabolaning uchini quyidagi formulalar yordamida topish mumkin: 
Shuningdek, siz nuqta-nuqta chiziqlarini qurishingiz mumkin.
[-2;1] oraliqda funksiya grafigi y=x 2 +2 joylashgan eksa ustida ho'kiz , Shunung uchun:
Javob: S =9 kv
Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz "ko'z bilan" rasmdagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 bo'ladi, bu to'g'ri ko'rinadi. To'liq aniqki, agar biz javob olsak, aytaylik: 20 kvadrat birliklar, keyin biror joyda xatoga yo'l qo'yilganligi aniq - 20 ta hujayra ko'rib chiqilayotgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida Oh?
b) Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y=-e x , x=1 va koordinata o'qlari.
Yechim.
Keling, rasm chizamiz.
Agar egri trapezoid bo'lsa butunlay eksa ostida joylashgan Oh , u holda uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Javob: S=(e-1) kv. birlik" 1,72 kv. birlik
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan.
Bilan) Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping y=2x-x 2, y=-x.
Yechim.
Avval siz rasmni to'ldirishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolarida chizmani qurishda bizni chiziqlarning kesishish nuqtalari ko'proq qiziqtiradi. Parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz 
va tekis 
Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir.
Tenglamani yechamiz:
Bu integratsiyaning pastki chegarasi degan ma'noni anglatadi a=0 , integratsiyaning yuqori chegarasi b=3 .
|
Biz quryapmiz berilgan chiziqlar: 1. Parabola - (1;1) nuqtadagi cho'qqi; eksa kesishmasi Oh - ball (0;0) va (0;2). 2. To'g'ri chiziq - 2 va 4-koordinata burchaklarining bissektrisasi. Va endi Diqqat! Agar segmentda [ a;b] ba'zi uzluksiz funksiya f(x) ba'zilaridan katta yoki teng doimiy funktsiya g(x), keyin mos keladigan raqamning maydonini formuladan foydalanib topish mumkin: Shakl qayerda joylashganligi muhim emas - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, lekin qaysi grafik YUQOR (boshqa grafikga nisbatan) va qaysi biri QUYIDA ekanligi muhim. Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziq ustida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak. |
.Siz nuqta-nuqta chiziqlarini qurishingiz mumkin va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi.
Istalgan raqam yuqoridagi parabola va pastdagi to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Segmentda 
, mos keladigan formula bo'yicha:
Javob: S =4,5 kv
Aslida, figuraning maydonini topish uchun sizga noaniq va aniq integral haqida unchalik ko'p ma'lumot kerak emas. "Maddonni aniq integral yordamida hisoblash" vazifasi har doim chizmani qurishni o'z ichiga oladi, juda ko'p dolzarb masala chizish bo'yicha bilim va ko'nikmalaringiz bo'ladi. Shu munosabat bilan, asosiy grafiklar haqida xotirangizni yangilash foydalidir elementar funktsiyalar, va, hech bo'lmaganda, to'g'ri chiziq va giperbolani qura olish.
Egri trapezoid o'q, to'g'ri chiziqlar va bu oraliqda belgisini o'zgartirmaydigan segmentdagi uzluksiz funksiya grafigi bilan chegaralangan tekis shakldir. Bu raqam joylashgan bo'lsin kam emas x o'qi:
Keyin egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan aniq integralga teng. Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'no.
Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi.
Ya'ni, ma'lum bir integral (agar mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ma'lum bir raqamning maydoniga mos keladi. Masalan, aniq integralni ko'rib chiqing. Integrand o'qning ustida joylashgan tekislikdagi egri chiziqni belgilaydi (xohlaganlar rasm chizishlari mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
1-misol
Bu odatiy topshiriq bayonoti. Qarorning birinchi va eng muhim nuqtasi - chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma tuzilishi kerak TO'G'RI.
Chizma qurishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: boshida barcha to'g'ri chiziqlarni qurish yaxshiroqdir (agar ular mavjud bo'lsa) va faqat Keyin- parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Funksiyalarning grafiklarini tuzish foydaliroq nuqtadan nuqta.
Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizmani chizamiz (e'tibor bering, tenglama o'qni belgilaydi):
Segmentda funksiyaning grafigi joylashgan eksa ustida, Shunung uchun:
Javob:
Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz "ko'z bilan" rasmdagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 ta bo'ladi, bu to'g'ri ko'rinadi. Agar biz, aytaylik, javobni olgan bo'lsak, aniq: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xato qilinganligi aniq - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
3-misol
Chiziqlar va koordinata o'qlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Yechim: Keling, rasm chizamiz:
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa aks ostida(yoki hech bo'lmaganda yuqori emas berilgan o'q), keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Ushbu holatda:
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun biz eng oddiy maktab muammolaridan yanada mazmunli misollarga o'tamiz.
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping.
Yechim: Avval siz chizmani bajarishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolari chizmasini qurishda bizni chiziqlarning kesishish nuqtalari ko'proq qiziqtiradi. Parabola va to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:
Demak, integratsiyaning pastki chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.
Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanmaslik yaxshiroqdir..
Chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ancha foydali va tezroq bo'ladi va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Va biz bunday misolni ham ko'rib chiqamiz.
Keling, vazifamizga qaytaylik: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:
Va endi ish formulasi: Agar segmentda uzluksiz funksiya mavjud bo'lsa dan katta yoki teng ba'zi uzluksiz funktsiya , keyin bu funktsiyalarning grafiklari va chiziqlari bilan chegaralangan raqamning maydoni , , formula yordamida topilishi mumkin: 
Bu erda endi raqam qayerda joylashganligi haqida o'ylashning hojati yo'q - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, va, taxminan, Qaysi grafik YUQORroq ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.
Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.
Tugallangan yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Istalgan raqam yuqoridagi parabola va pastdagi to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Tegishli formula bo'yicha segmentda:
Javob:
4-misol
, , , chiziqlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Yechim: Birinchidan, rasm chizamiz:
Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga ega(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli, ko'pincha "noto'g'ri" paydo bo'lib, siz figuraning soyali maydonini topishingiz kerak bo'ladi. yashil!
Ushbu misol, shuningdek, ikkita aniq integral yordamida figuraning maydonini hisoblashda foydalidir.
Haqiqatan ham:
1) Eksa ustidagi segmentda to'g'ri chiziqning grafigi mavjud;
2) Eksa ustidagi segmentda giperbolaning grafigi joylashgan.
Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:
Keling, integral hisoblarning qo'llanilishini ko'rib chiqishga o'tamiz. Ushbu darsda biz odatiy va eng keng tarqalgan vazifani tahlil qilamiz aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini hisoblash. Nihoyat, oliy matematikada ma'no izlayotganlarning barchasi uni topsin. Siz hech qachon bilmaysiz. Biz buni hayotda yaqinlashtirishimiz kerak qishloq uyi maydoni elementar funksiyalar va aniq integral yordamida uning maydonini toping.
Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun sizga kerak:
1) Noaniq integralni hech bo'lmaganda o'rta darajada tushuning. Shunday qilib, qo'g'irchoqlar birinchi navbatda darsni o'qishlari kerak Yo'q.
2) Nyuton-Leybnits formulasini qo‘llay olish va aniq integralni hisoblay olish. Sahifada ma'lum integrallar bilan iliq do'stona munosabatlar o'rnatishingiz mumkin Aniq integral. Yechimlarga misollar. "Maddonni aniq integral yordamida hisoblash" vazifasi har doim chizmani qurishni o'z ichiga oladi, shuning uchun sizning bilimingiz va chizish qobiliyatingiz ham tegishli masala bo'ladi. Hech bo'lmaganda, siz to'g'ri chiziq, parabola va giperbolani qurishingiz kerak.
Egri trapezoiddan boshlaylik. Egri trapezoid - bu qandaydir funksiya grafigi bilan chegaralangan tekis figura y = f(x), o'q OX va chiziqlar x = a; x = b.
Egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan aniq integralga teng
Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda Aniq integral. Yechimlarga misollar aniq integral son ekanligini aytdik. Va endi yana bir narsani aytish vaqti keldi foydali fakt. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi. Ya'ni, aniq integral (agar mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ma'lum bir raqamning maydoniga mos keladi. Aniq integralni ko'rib chiqing
Integratsiya
tekislikdagi egri chiziqni aniqlaydi (agar kerak bo'lsa, uni chizish mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
1-misol
, , , .
Bu odatiy topshiriq bayonoti. Eng muhim nuqta yechimlar - chizmachilik. Bundan tashqari, chizma tuzilishi kerak TO'G'RI.
Chizma qurishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: boshida barcha to'g'ri chiziqlarni qurish yaxshiroqdir (agar ular mavjud bo'lsa) va faqat Keyin– parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Nuqtama-nuqta qurilish texnikasini mos yozuvlar materialida topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. U erda siz bizning darsimiz uchun juda foydali materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish mumkin.
Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizmani bajaramiz (tenglamaga e'tibor bering y= 0 o'qni belgilaydi OX):
Biz egri trapesiyani soya qilmaymiz, bu erda biz qaysi soha haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:
Segmentda [-2; 1] funktsiya grafigi y = x 2 + 2 joylashgan eksa ustidaOX, Shunung uchun:
Javob: .
Kim aniq integralni hisoblashda va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynaladi
,
ma'ruzaga murojaat qiling Aniq integral. Yechimlarga misollar. Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz rasmdagi hujayralar sonini "ko'z bilan" hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 bo'ladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Agar biz, aytaylik, javobni olgan bo'lsak, aniq: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xato qilinganligi aniq - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
2-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang xy = 4, x = 2, x= 4 va eksa OX.
Bu misol uchun mustaqil qaror. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostidaOX?
3-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y = e-x, x= 1 va koordinata o'qlari.
Yechim: Keling, rasm chizamiz:
Agar egri trapezoid bo'lsa butunlay eksa ostida joylashgan OX , keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Ushbu holatda:
.
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun biz eng oddiy maktab muammolaridan yanada mazmunli misollarga o'tamiz.
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping y = 2x – x 2 , y = -x.
Yechim: Avval siz rasm chizishingiz kerak. Hudud masalalari chizmasini qurishda bizni ko'proq chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz y = 2x – x 2 va tekis y = -x. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:
Bu integratsiyaning pastki chegarasi degan ma'noni anglatadi a= 0, integratsiyaning yuqori chegarasi b= 3. Chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ko'pincha foydaliroq va tezroq bo'ladi va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Keling, vazifamizga qaytaylik: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:
Yana takror aytamizki, nuqtaviy qurishda integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik" aniqlanadi.
Va endi ish formulasi:
Agar segmentda [ a; b] ba'zi uzluksiz funksiya f(x) dan katta yoki teng ba'zi doimiy funktsiya g(x), keyin mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Bu erda siz endi raqamning qaerda joylashganligi haqida o'ylashingiz shart emas - o'qning ustida yoki o'qning ostida, lekin Qaysi grafik YUQORroq ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.
Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun 2 dan. x – x 2 ayirish kerak - x.
Tugallangan yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Istalgan raqam parabola bilan cheklangan y = 2x – x 2 tepada va tekis y = -x quyida.
2-segmentda x – x 2 ≥ -x. Tegishli formula bo'yicha:
Javob: .
Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-misolga qarang) maxsus holat formulalar
.
Chunki eksa OX tenglama bilan berilgan y= 0, va funksiya grafigi g(x) eksa ostida joylashgan OX, Bu
.
Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misol
5-misol
6-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini toping
Aniq integral yordamida maydonni hisoblash bilan bog'liq masalalarni yechishda ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri bajarilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, lekin ehtiyotsizlik tufayli... Noto'g'ri raqamning maydoni topildi.
7-misol
Avval rasm chizamiz:
Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga ega(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli odamlar ko'pincha yashil rangga bo'yalgan shaklning maydonini topish kerak deb qaror qilishadi!
Ushbu misol, shuningdek, ikkita aniq integral yordamida figuraning maydonini hisoblashda foydalidir. Haqiqatan ham:
1) segmentda [-1; 1] eksa ustida OX grafik tekis joylashgan y = x+1;
2) Eksa ustidagi segmentda OX giperbolaning grafigi joylashgan y = (2/x).
Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:
Javob:
8-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Keling, tenglamalarni "maktab" shaklida taqdim qilaylik
va nuqtama-nuqta chizmasini tuzing:
Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": b = 1.
Lekin pastki chegara nima?! Bu butun son emasligi aniq, lekin bu nima?
Balkim, a=(-1/3)? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan qilinganligiga kafolat qayerda, bu aniq bo'lishi mumkin a=(-1/4). Agar grafikni noto'g'ri tuzgan bo'lsak-chi?
Bunday hollarda siz qo'shimcha vaqt sarflashingiz va integratsiya chegaralarini analitik tarzda aniqlab olishingiz kerak.
Grafiklarning kesishish nuqtalarini topamiz
Buning uchun tenglamani yechamiz:
.
Demak, a=(-1/3).
Keyingi yechim esa ahamiyatsiz. Asosiysi, almashtirish va belgilarda adashmaslik. Bu erda hisob-kitoblar eng oddiy emas. Segmentda
, 
,
tegishli formula bo'yicha:
Javob: 
Darsni yakunlash uchun keling, yana ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqaylik.
9-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Yechish: Keling, ushbu figurani chizmada tasvirlaymiz.
Nuqtama-nuqta chizmasini chizish uchun siz bilishingiz kerak tashqi ko'rinish sinusoidlar. Umuman olganda, barcha elementar funktsiyalarning grafiklarini, shuningdek, ba'zi sinus qiymatlarini bilish foydalidir. Ularni qiymatlar jadvalida topish mumkin trigonometrik funktsiyalar . Ba'zi hollarda (masalan, bu holda) sxematik chizmani qurish mumkin, unda integratsiyaning grafiklari va chegaralari tubdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.
Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan kelib chiqadi:
– “x” noldan “pi” ga o'zgaradi. Keling, qo'shimcha qaror qabul qilaylik:
Segmentda funksiya grafigi y= gunoh 3 x eksa ustida joylashgan OX, Shunung uchun:
(1) Sinuslar va kosinuslar qanday qilib toq kuchlarda integrallashayotganini darsda ko'rishingiz mumkin Trigonometrik funksiyalarning integrallari. Biz bitta sinusni siqib chiqaramiz.
(2) Biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani shaklda ishlatamiz
(3) O'zgaruvchini o'zgartiramiz t=cos x, keyin: o'qdan yuqorida joylashgan, shuning uchun:
.
.
Eslatma: tangens kubining integrali qanday olinganiga e'tibor bering, bu erda asosiy trigonometrik o'ziga xoslikning natijasi ishlatiladi;
.
Muammo 1(egri trapezoidning maydonini hisoblash haqida).
Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi xOyda x o'qi, x = a, x = b to'g'ri chiziqlar (a egri chiziqli trapesiya bilan) bilan chegaralangan rasm berilgan (rasmga qarang. Egri chiziqning maydonini hisoblash kerak. trapezoid.
Yechim. Geometriya bizga ko'pburchaklar va aylananing ba'zi qismlarini (sektor, segment) maydonlarini hisoblash retseptlarini beradi. Geometrik mulohazalardan foydalanib, biz faqat kerakli maydonning taxminiy qiymatini topishimiz mumkin, bunda quyidagi fikr yuritiladi.
Keling, segmentni ajratamiz [a; b] (egri trapetsiya asosi) n ta teng qismga; bu bo'lim x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 nuqtalari yordamida amalga oshiriladi. Bu nuqtalar orqali Y o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. Keyin berilgan egri chiziqli trapetsiya n ta qismga, n ta tor ustunga bo'linadi. Butun trapezoidning maydoni ustunlar maydonlarining yig'indisiga teng.
Keling, k-ustunni alohida ko'rib chiqaylik, ya'ni. asosi segment bo'lgan egri trapezoid. Uni asosi va balandligi f(x k) ga teng bo‘lgan to‘rtburchak bilan almashtiramiz (rasmga qarang). To'rtburchakning maydoni \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) ga teng, bu erda \(\Delta x_k \) segment uzunligi; Olingan mahsulotni k-ustun maydonining taxminiy qiymati sifatida ko'rib chiqish tabiiydir. 
Agar biz boshqa barcha ustunlar bilan ham xuddi shunday qilsak, biz quyidagi natijaga erishamiz: berilgan egri chiziqli trapezoidning S maydoni taxminan n ta to'rtburchakdan iborat pog'onali figuraning S n maydoniga teng (rasmga qarang):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \nuqtalar + f(x_k)\Delta x_k + \nuqtalar + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Bu yerda yozuvning bir xilligi uchun a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - segment uzunligi, \(\Delta x_1 \) - segment uzunligi va boshqalar; bu holda, biz yuqorida kelishib olganimizdek, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Shunday qilib, \(S \taxminan S_n \) va bu taxminiy tenglik aniqroq bo'lsa, n qanchalik katta bo'lsa.
Ta'rifga ko'ra, egri chiziqli trapezoidning kerakli maydoni ketma-ketlik chegarasiga (S n) teng deb hisoblanadi:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Muammo 2(nuqtani siljitish haqida)
Moddiy nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi. Tezlikning vaqtga bog'liqligi v = v(t) formula bilan ifodalanadi. Nuqtaning vaqt oralig‘idagi harakatini toping [a; b].
Yechim. Agar harakat bir xil bo'lsa, unda muammo juda oddiy hal qilinadi: s = vt, ya'ni. s = v(b-a). Noto'g'ri harakat qilish uchun siz oldingi muammoni hal qilish asos bo'lgan g'oyalardan foydalanishingiz kerak.
1) vaqt oralig'ini [a; b] n ta teng qismga.
2) Vaqt davrini ko'rib chiqing va bu vaqt oralig'ida tezlik t k vaqtidagi kabi doimiy bo'lgan deb faraz qiling. Demak, v = v(t k) deb faraz qilamiz.
3) nuqta harakatining taxminiy qiymatini topamiz, bu taxminiy qiymatni s k deb belgilaymiz;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) siljish s ning taxminiy qiymatini toping:
\(s \taxminan S_n \) qayerda
\(S_n = s_0 + \nuqta + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \nuqta + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Kerakli siljish ketma-ketlikning chegarasiga (S n) teng:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Keling, xulosa qilaylik. Yechimlar turli vazifalar bir xil matematik modelga tushiriladi. Fan va texnikaning turli sohalaridagi ko‘plab muammolar yechim jarayonida bir xil modelga olib keladi. Shunday qilib, bu matematik model maxsus o‘rganish kerak.
Aniq integral tushunchasi
y = f(x), uzluksiz (lekin ko'rib chiqilayotgan masalalarda qabul qilinganidek manfiy bo'lmasligi shart emas) funksiya uchun ko'rib chiqilgan uchta masalada [a; b]:
1) segmentni ajratish [a; b] n ta teng qismga;
2) $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \nuqtalar + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$ summasini tashkil qiling
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ hisoblang
bilaman matematik tahlil bu chegara uzluksiz (yoki qismli uzluksiz) funksiyada mavjudligi isbotlangan. U chaqiriladi y = f(x) funksiyaning [a segmenti ustidagi ma'lum integrali; b] va quyidagicha ifodalanadi:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a va b raqamlari integratsiya chegaralari deb ataladi (mos ravishda quyi va yuqori).
Keling, yuqorida muhokama qilingan vazifalarga qaytaylik. 1-muammoda berilgan maydon ta’rifi endi quyidagi tarzda qayta yozilishi mumkin:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
bu erda S - yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan egri chiziqli trapezoidning maydoni. Bu aniq integralning geometrik ma'nosi.
2-masalada berilgan t = a dan t = b gacha bo'lgan vaqt oralig'ida v = v(t) tezlik bilan to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi nuqtaning s ko'chish ta'rifini quyidagicha qayta yozish mumkin:
Nyuton-Leybnits formulasi
Birinchidan, savolga javob beraylik: aniq integral va antiderivativ o'rtasida qanday bog'liqlik bor?
Javobni 2-masalada topish mumkin.Bir tomondan, v = v(t) tezlik bilan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanuvchi nuqtaning t = a dan t = b gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida s ko‘chishi quyidagicha hisoblanadi. formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Boshqa tomondan, harakatlanuvchi nuqtaning koordinatasi tezlikka qarshi hosiladir - uni s(t) deb belgilaymiz; Demak, siljish s s = s(b) - s(a) formula bilan ifodalanadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
bu yerda s(t) v(t) ning anti hosilasidir.
Matematik analiz jarayonida quyidagi teorema isbotlangan.
Teorema. Agar y = f(x) funksiya [a oraliqda uzluksiz bo'lsa; b] bo'lsa, formula haqiqiy hisoblanadi
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
bu yerda F(x) f(x) ning antiderivatividir.
Berilgan formula odatda deyiladi Nyuton-Leybnits formulasi ingliz fizigi Isaak Nyuton (1643-1727) va nemis faylasufi Gotfrid Leybnits (1646-1716) sharafiga, uni bir-biridan mustaqil ravishda va deyarli bir vaqtning o'zida qabul qildi.
Amalda F(b) - F(a) yozish o'rniga \(\chap. F(x)\right|_a^b \) yozuvidan foydalanadilar (u ba'zan deyiladi. ikki marta almashtirish) va shunga mos ravishda Nyuton-Leybnits formulasini quyidagi shaklda qayta yozing:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \chap. F(x)\o'ng|_a^b \)
Aniq integralni hisoblashda avval anti hosilani toping, so'ngra qo'sh almashtirishni bajaring.
Nyuton-Leybnits formulasiga asoslanib, aniq integralning ikkita xossasini olishimiz mumkin.
Mulk 1. Funktsiyalar yig'indisining integrali summasiga teng integrallar:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Mulk 2. Doimiy omil integral belgisidan chiqarilishi mumkin:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Aniq integral yordamida tekislik figuralarining maydonlarini hisoblash
Integraldan foydalanib, siz nafaqat egri chiziqli trapezoidlarning, balki tekis figuralarning ham maydonlarini hisoblashingiz mumkin. murakkab turi, masalan, rasmda ko'rsatilgan. P figurasi x = a, x = b to'g'ri chiziqlar va uzluksiz funksiyalar grafiklari y = f(x), y = g (x) bilan chegaralangan va segmentida [a; b] tengsizlik \(g(x) \leq f(x) \) bajariladi. Bunday raqamning S maydonini hisoblash uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Demak, x = a, x = b to'g'ri chiziqlar va y = f(x), y = g(x) funksiyalar grafiklari bilan chegaralangan figuraning S maydoni segmentda uzluksiz va segmentdagi istalgan x uchun shunday bo'lsin. [a; b] tengsizlik \(g(x) \leq f(x) \) bajariladi, formula bilan hisoblanadi.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
