Първите чудесни лимит примери. Първата забележителна граница: теория и примери

Намерете прекрасни границиТрудно е не само за много студенти от първа и втора година, които изучават теорията на границите, но и за някои учители.

Формула за първата забележителна граница

Последици от първото забележително ограничение нека го запишем във формули
1. 2. 3. 4. Но сами общи формулизабележителните граници не помагат на никого на изпит или тест. Въпросът е, че реалните задачи са конструирани така, че все пак трябва да стигнете до формулите, написани по-горе. И по-голямата част от студентите, които пропускат часове, изучават този курс задочно или имат учители, които сами не винаги разбират какво обясняват, не могат да изчислят най-елементарните примери до забележителни граници. От формулите на първата забележителна граница виждаме, че с тяхна помощ е възможно да се изследват неопределености от типа нула, разделена на нула за изрази с тригонометрични функции. Нека първо разгледаме няколко примера за първия прекрасен лимит y и след това ще проучим втората забележителна граница.

Пример 1. Намерете границата на функцията sin(7*x)/(5*x)
Решение: Както можете да видите, функцията под границата е близо до първата забележителна граница, но границата на самата функция определено не е равна на единица. При този вид задачи за граници трябва да изберете в знаменателя променлива със същия коефициент, който се съдържа в променливата под синуса. IN в такъв случайтрябва да се раздели и умножи по 7

За някои подобна подробност ще изглежда ненужна, но за повечето ученици, които имат затруднения с ограниченията, това ще им помогне да разберат по-добре правилата и да усвоят теоретичния материал.
Освен това, ако има обратна форма на функция, това също е първата чудесна граница. И всичко това, защото чудесната граница е равна на едно

Същото правило важи и за последствията от 1-вото забележително ограничение. Ето защо, ако ви попитат: „Коя е първата забележителна граница?“ Трябва да отговорите без колебание, че е единица.

Пример 2. Намерете границата на функцията sin(6x)/tan(11x)
Решение: За да разберем крайния резултат, нека напишем функцията във формата

За да приложите правилата на забележителната граница, умножете и разделете на множители

След това записваме границата на произведение от функции чрез произведението на граници

Без сложни формулиоткрихме границата на часка тригонометрични функции. За асимилация прости формулиопитайте се да измислите и намерите границата на 2 и 4, формулата за следствие 1 от чудесната граница. Ще разгледаме по-сложни проблеми.

Пример 3: Изчислете границата (1-cos(x))/x^2
Решение: При проверка чрез заместване получаваме несигурност 0/0. Много хора не знаят как да сведат такъв пример до една забележителна граница. Тук трябва да се използва тригонометричната формула

В този случай ограничението ще се трансформира в ясна форма

Успяхме да намалим функцията до квадрат от забележителна граница.

Пример 4: Намерете границата
Решение: При заместване получаваме познатата характеристика 0/0. Въпреки това, променливата клони към Пи, а не към нула. Следователно, за да приложим първото забележително ограничение, ще извършим такава промяна в променливата x, така че новата променлива да отиде на нула. За да направим това, ние означаваме знаменателя като нова променлива Pi-x=y

По този начин, използвайки тригонометричната формула, дадена в предходната задача, примерът се свежда до 1 забележителна граница.

Пример 5: Изчисляване на лимит
Решение: Първоначално не е ясно как да се опростят ограниченията. Но след като има пример, значи трябва да има и отговор. Фактът, че променливата отива към единица, дава, при заместване, характеристика на формата нула, умножена по безкрайност, така че допирателната трябва да бъде заменена с помощта на формулата

След това получаваме необходимата несигурност 0/0. След това извършваме промяна на променливите в границата и използваме периодичността на котангенса

Последните замествания ни позволяват да използваме следствие 1 от забележителната граница.

Втората забележителна граница е равна на експоненциала

Това е класика, която не винаги е лесно да се достигне при реални проблеми с лимита.
При изчисленията ще ви трябва ограниченията са следствие от второто забележително ограничение:
1. 2. 3. 4.
Благодарение на второто забележително ограничение и неговите последствия е възможно да се изследват несигурности като нула, разделена на нула, единица на степен безкрайност и безкрайност, разделена на безкрайност, и дори до същата степен

Да започнем с прости примери.

Пример 6. Намерете границата на функция
Решение: Директното прилагане на второто забележително ограничение няма да работи. Първо, трябва да преобразувате експонентата, така че да изглежда като обратна на члена в скоби

Това е техниката за редуциране до 2-рата забележителна граница и, по същество, извеждане на 2-рата формула за следствието от границата.

Пример 7. Намерете границата на функция
Решение: Имаме задачи за формула 3 от следствие 2 на една чудесна граница. Заместването на нула дава сингулярност под формата 0/0. За да увеличим границата до правило, завъртаме знаменателя така, че променливата да има същия коефициент като в логаритъма

Освен това е лесно за разбиране и изпълнение на изпита. Трудностите на учениците при изчисляване на граници започват със следните проблеми.

Пример 8. Изчислете границата на функция[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Решение: Имаме сингулярност от тип 1 на степен безкрайност. Ако не ми вярвате, можете да замените безкрайност с „X“ навсякъде и да се уверите в това. За да конструираме правило, ние разделяме числителя на знаменателя в скобите, като първо извършваме манипулациите

Нека заместим израза в лимита и да го превърнем в 2 чудесни лимита

Границата е равна на експоненциалната степен на 10. Константите, които са термини с променлива, както в скоби, така и в степен, не въвеждат никакво „време“ - това трябва да се помни. И ако вашите учители ви попитат: „Защо не преобразувате индикатора?“ (За този пример в x-3), тогава кажете, че „Когато една променлива клони към безкрайност, тогава дори добавете 100 към нея или извадете 1000 и границата ще остане същата, както е била!“
Има втори начин за изчисляване на лимити от този тип. Ще говорим за това в следващата задача.

Пример 9. Намерете границата
Решение: Сега нека извадим променливата в числителя и знаменателя и да превърнем една характеристика в друга. За да получим крайната стойност, използваме формулата от следствие 2 на забележителната граница

Пример 10. Намерете границата на функция
Решение: Не всеки може да намери дадения лимит. За да увеличите границата до 2, представете си, че sin (3x) е променлива и трябва да обърнете експонентата

След това записваме индикатора като степен на степен


Междинните аргументи са описани в скоби. В резултат на използването на първата и втората забележителни граници получихме експоненциала в куб.

Пример 11. Изчислете границата на функция sin(2*x)/ln(3*x+1)
Решение: Имаме несигурност от формата 0/0. Освен това виждаме, че функцията трябва да бъде преобразувана, за да използва и двете прекрасни граници. Нека извършим предишните математически трансформации

Освен това, без затруднения, ограничението ще приеме стойността

Ето колко свободни ще се чувствате на задачи, тестове, модули, ако се научите бързо да записвате функции и да ги свеждате до първата или втората прекрасна граница. Ако ви е трудно да запомните дадените методи за намиране на граници, винаги можете да поръчате тестдо нашите граници.
За да направите това, попълнете формуляра, посочете данни и прикачете файл с примери. Помогнахме на много студенти - можем да помогнем и на вас!

Доказателство:

Нека първо докажем теоремата за случая на последователността

Според биномната формула на Нютон:

Ако приемем, че получим

От това равенство (1) следва, че с нарастването на n броят на положителните членове от дясната страна се увеличава. Освен това, когато n нараства, числото намалява, така че стойностите се увеличават. Следователно последователността нарастваща и (2)*Показваме, че е ограничена. Заменете всяка скоба от дясната страна на равенството с една, дясна частнараства, получаваме неравенство

Нека подсилим полученото неравенство, заменим 3,4,5, ..., стоящи в знаменателите на дробите, с числото 2: Намираме сумата в скоби, използвайки формулата за сумата на членовете геометрична прогресия: Ето защо (3)*

И така, последователността е ограничена отгоре и неравенствата (2) и (3) са изпълнени: Следователно, въз основа на теоремата на Вайерщрас (критерий за сходимост на последователност), последователността монотонно нараства и е ограничен, което означава, че има граница, означена с буквата e. Тези.

Знаейки, че втората забележителна граница е вярна за естествените стойности на x, ние доказваме втората забележителна граница за реално x, тоест доказваме, че . Нека разгледаме два случая:

1. Нека всяка стойност на x е между две положителни цели числа: ,където е цяла частх. => =>

Ако , тогава Следователно, според ограничението Ние имаме

Въз основа на критерия (за границата на междинна функция) за съществуването на граници

2. Нека . Тогава нека направим заместването − x = t

От тези два случая следва, че за реално х.

Последствия:

9 .) Сравнение на безкрайно малки. Теоремата за замяна на безкрайно малките с еквивалентни в предела и теоремата за основната част от безкрайно малките.

Нека функциите a( х) и b( х) – б.м. при х ® х 0 .

ДЕФИНИЦИИ.

1)а( х) Наречен безкрайно малко повече висок редкак b (х) Ако

Запишете: a( х) = o(b( х)) .

2)а( х) И b( х)са наречени безкрайно малки от същия порядък, Ако

където CÎℝ и ° С¹ 0 .

Запишете: a( х) = О(б( х)) .

3)а( х) И b( х) са наречени еквивалентен , Ако

Запишете: a( х) ~ b( х).

4)а( х) се нарича безкрайно малък от порядък k относителен
абсолютно безкрайно малък b( х), ако е безкрайно малъка( х)И(б( х))к имат същия ред, т.е. Ако

където CÎℝ и ° С¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (относно замяната на безкрайно малки с еквивалентни).

Позволявама( х), b( х), а 1 ( х), b 1 ( х)– б.м. при х ® х 0 . Акоа( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х),

Че

Доказателство: Нека a( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х), Тогава

ТЕОРЕМА 7 (за основната част от безкрайно малкото).

Позволявама( х)И b( х)– б.м. при х ® х 0 , и b( х)– б.м. по-висок порядък ота( х).

= , a тъй като b( х) – по-висок ред от a( х), тогава, т.е. от ясно е, че а( х) + b( х) ~ a( х)

10) Непрекъснатост на функция в точка (на езика на епсилон-делта, геометрични граници) Едностранна непрекъснатост. Непрекъснатост на интервал, на отсечка. Свойства на непрекъснатите функции.

1. Основни определения

Позволявам f(х) е дефинирана в някаква околност на точката х 0 .

ДЕФИНИЦИЯ 1. Функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 ако равенството е вярно

Бележки.

1) По силата на теорема 5 §3, равенството (1) може да бъде записано във формата

Условие (2) – дефиниция на непрекъснатост на функция в точка на езика на едностранните граници.

2) Равенство (1) може да се запише и като:

Те казват: „ако една функция е непрекъсната в точка х 0, тогава знакът на границата и функцията могат да бъдат разменени."

ДЕФИНИЦИЯ 2 (на e-d език).

Функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 Ако"e>0 $d>0 такива, Какво

ако хОU( х 0 , d) (т.е. | х – х 0 | < d),

след това f(х)ÎU( f(х 0), e) (т.е. | f(х) – f(х 0) | < e).

Позволявам х, х 0 Î д(f) (х 0 – фиксиран, х -произволен)

Да означим: D х= х – х 0 – увеличение на аргумента

д f(х 0) = f(х) – f(х 0) – нарастване на функция в точка x 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрично).

Функция f(х) На Наречен непрекъснато в точка х 0 ако в този момент безкрайно малко увеличение в аргумента съответства на безкрайно малко увеличение във функцията, т.е.

Нека функцията f(х) е дефинирана на интервала [ х 0 ; х 0 + d) (на интервала ( х 0 – d; х 0 ]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 на дясно (наляво ), ако равенството е вярно

Това е очевидно f(х) е непрекъсната в точката х 0 Û f(х) е непрекъсната в точката х 0 дясно и ляво.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(х) Наречен непрекъснато за интервал д ( а; b) ако е непрекъсната във всяка точка от този интервал.

Функция f(х) се нарича непрекъснат на сегмента [а; b] ако е непрекъснат на интервала (а; b) и има еднопосочна непрекъснатост в граничните точки(т.е. непрекъснато в точката аотдясно, в точката b- наляво).

11) Точки на прекъсване, тяхната класификация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ако функцията f(х) определени в някаква околност на точка x 0 , но не е непрекъснат в този момент, тогава f(х) наречено прекъснато в точка x 0 , и самата точка х 0 наречена точка на прекъсване функции f(х) .

Бележки.

1) f(х) могат да бъдат определени в непълна околност на точката х 0 .

След това разгледайте съответната еднопосочна непрекъснатост на функцията.

2) От дефиницията на Þ точка х 0 е точката на прекъсване на функцията f(х) в два случая:

а) U( х 0 , г)О д(f) , но за f(х) равенството не е валидно

б) U * ( х 0 , г)О д(f) .

За елементарни функции е възможен само случай b).

Позволявам х 0 – точка на прекъсване на функцията f(х) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х 0 Наречен точка на пречупване аз нещо като if функция f(х)има крайни граници отляво и отдясно в тази точка.

Ако тези граници са равни, тогава точка х 0 Наречен подвижна точка на прекъсване , в противен случай - точка на скок .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка х 0 Наречен точка на пречупване II нещо като ако поне една от едностранните граници на функцията f(х)в този момент е равен¥ или не съществува.

12) Свойства на функции, непрекъснати на интервал (теореми на Вайерщрас (без доказателство) и Коши

Теорема на Вайерщрас

Тогава нека функцията f(x) е непрекъсната на интервала

1)f(x) е ограничено до

2)f(x) приема най-малката си стойност в интервала и най-висока стойност

Определение: Стойността на функцията m=f се нарича най-малката, ако m≤f(x) за всяко x€ D(f).

Казва се, че стойността на функцията m=f е най-голяма, ако m≥f(x) за всеки x € D(f).

Функцията може да приема най-малката/най-голямата стойност в няколко точки от сегмента.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Теорема на Коши.

Нека функцията f(x) е непрекъсната на сегмента и x е числото, съдържащо се между f(a) и f(b), тогава има поне една точка x 0 € такава, че f(x 0)= g

Тази статия: „Втората забележителна граница“ е посветена на разкриването в границите на несигурността на формата:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.

Също така такива несигурности могат да бъдат разкрити с помощта на логаритъма на експоненциалната функция, но това е друг метод за решение, който ще бъде разгледан в друга статия.

Формула и последствия

Формулавтората забележителна граница е написана както следва: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( където ) e \приблизително 2,718 $$

Това следва от формулата последствия, които са много удобни за използване за решаване на примери с граници: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( където ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Струва си да се отбележи, че втората забележителна граница не винаги може да се приложи към експоненциална функция, а само в случаите, когато основата клони към единица. За да направите това, първо мислено изчислете границата на основата и след това направете изводи. Всичко това ще бъде обсъдено в примерни решения.

Примери за решения

Нека да разгледаме примери за решения, използващи директната формула и нейните последствия. Ще анализираме и случаите, в които формулата не е необходима. Достатъчно е да запишете само готов отговор.

Пример 1

Намерете границата $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Решение

Нека заместим безкрайността в границата и да разгледаме несигурността: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Нека намерим границата на основата: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Получихме основа, равна на едно, което означава, че вече можем да приложим втората забележителна граница. За да направите това, нека коригираме основата на функцията към формулата, като извадим и добавим едно: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Нека да разгледаме второто следствие и да запишем отговора: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да видите напредъка на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите оценката си от вашия учител навреме!

Отговор

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Пример 4

Решете ограничението $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Решение

Намираме границата на основата и виждаме, че $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, което означава, че можем да приложим второто забележително ограничение. Според стандартния план добавяме и изваждаме едно от основата на степента: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Коригираме фракцията към формулата на 2-ра нота. ограничение: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Сега нека коригираме градуса. Степента трябва да съдържа дроб, равна на знаменателя на основата $ \frac(3x^2-2)(6) $. За да направите това, умножете и разделете степента на нея и продължете с решаването: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Границата, разположена в степента при $ e $, е равна на: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Следователно, продължавайки решението, имаме:

Отговор

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Нека разгледаме случаите, когато проблемът е подобен на второто забележително ограничение, но може да бъде решен без него.

В статията: „Втората забележителна граница: Примери за решения“ бяха анализирани формулата, нейните последствия и бяха дадени общи типове задачи по тази тема.

От горната статия можете да разберете каква е границата и с какво се яде - това е МНОГО важно. Защо? Може да не разбирате какво представляват детерминантите и да не ги решавате успешно; Но ако не разбирате какво е ограничение, решаването на практически задачи ще бъде трудно. Също така би било добра идея да се запознаете с примерните решения и моите препоръки за дизайн. Цялата информация е представена в проста и достъпна форма.

И за целите на този урок ще ни трябват следните учебни материали: Прекрасни границиИ Тригонометрични формули. Те могат да бъдат намерени на страницата. Най-добре е да разпечатате ръководствата - това е много по-удобно и освен това често ще трябва да ги препращате офлайн.

Какво е толкова специално в забележителните граници? Забележителното в тези граници е, че те са доказани от най-големите умове на известни математици и благодарните потомци не трябва да страдат от ужасни граници с купчина тригонометрични функции, логаритми, степени. Тоест при намирането на границите ще използваме готови резултати, които са доказани теоретично.

Има няколко чудесни ограничения, но на практика задочните студенти в 95% от случаите имат две чудесни ограничения: Първата прекрасна граница, Второ прекрасно ограничение. Трябва да се отбележи, че това са исторически установени имена и когато например говорят за „първата забележителна граница“, те имат предвид под това много специфично нещо, а не някаква произволна граница, взета от тавана.

Първата прекрасна граница

Помислете за следното ограничение: (вместо родната буква „той“ ще използвам гръцката буква „алфа“, това е по-удобно от гледна точка на представяне на материала).

Според нашето правило за намиране на граници (вижте статията Ограничения. Примери за решения) се опитваме да заместим нула във функцията: в числителя получаваме нула (синусът на нулата е нула), а в знаменателя, очевидно, също има нула. Така се сблъскваме с несигурност на формата, която, за щастие, не е необходимо да се разкрива. Знам математически анализ, доказано е, че:

Този математически факт се нарича Първата прекрасна граница. Няма да давам аналитично доказателство за лимита, но ето го: геометричен смисълще го разгледаме в час за безкрайно малки функции.

Често в практически задачифункциите могат да бъдат подредени по различен начин, това не променя нищо:

- същата първа прекрасна граница.

Но не можете сами да пренаредите числителя и знаменателя! Ако границата е дадена във формата, тогава тя трябва да бъде решена в същата форма, без да се пренарежда нищо.

На практика не само една променлива може да действа като параметър, но също така елементарна функция, сложна функция. Единственото важно нещо е да клони към нула.

Примери:
, , ,

Тук , , , , и всичко е наред - първото прекрасно ограничение е приложимо.

Но следният запис е ерес:

Защо? Тъй като полиномът не клони към нула, той клони към пет.

Между другото, един бърз въпрос: какъв е лимитът? ? Отговорът може да бъде намерен в края на урока.

На практика не всичко е толкова гладко; почти никога на ученик не се предлага да реши безплатен лимит и да получи лесен пропуск. Хммм... Пиша тези редове и ми хрумна една много важна мисъл - все пак е по-добре да запомните „свободните“ математически дефиниции и формули наизуст, това може да окаже безценна помощ в теста, когато въпросът ще се избира между „две“ и „три“ и учителят решава да зададе на ученика някакъв прост въпрос или да предложи да реши най-прост пример(„може би той (ите) все още знае какво?!”).

Нека да преминем към разглеждане практически примери:

Пример 1

Намерете границата

Ако забележим синус в границата, това веднага трябва да ни накара да мислим за възможността за прилагане на първата забележителна граница.

Първо се опитваме да заменим 0 в израза под знака за граница (правим това мислено или в чернова):

Така че имаме несигурност на формата не забравяйте да посочитепри вземане на решение. Изразът под знака за граница е подобен на първата чудесна граница, но не е точно това, той е под синуса, но в знаменателя.

В такива случаи трябва сами да организираме първата забележителна граница, използвайки изкуствена техника. Линията на разсъждение може да бъде следната: „под синуса имаме , което означава, че трябва да влезем и в знаменателя.“
И това се прави много просто:

Тоест, в този случай знаменателят е изкуствено умножен по 7 и разделен на същите седем. Сега записът ни придоби позната форма.
Когато задачата е съставена на ръка, препоръчително е да маркирате първата забележителна граница с обикновен молив:

Какво стана? Всъщност нашият ограден израз се превърна в единица и изчезна в работата:

Сега всичко, което остава, е да се отървем от триетажната част:

Който е забравил опростяването на многостепенните дроби, моля, опреснете материала в справочника Горещи формули за училищен курс по математика .

Готов. Окончателен отговор:

Ако не искате да използвате маркировки с молив, тогава решението може да бъде написано така:

“

Нека използваме първата чудесна граница

“

Пример 2

Намерете границата

Отново виждаме дроб и синус в границата. Нека се опитаме да заменим нула в числителя и знаменателя:

Наистина имаме несигурност и следователно трябва да се опитаме да организираме първата прекрасна граница. На урока Ограничения. Примери за решенияразгледахме правилото, че когато имаме несигурност, трябва да разложим на множители числителя и знаменателя. Тук е същото, ще представим градусите като продукт (множители):

Подобно на предишния пример, рисуваме с молив забележителните граници (тук има две от тях) и показваме, че те са склонни към единство:

Всъщност отговорът е готов:

В следващите примери няма да правя изкуство в Paint, мисля как правилно да съставя решение в тетрадка - вече разбирате.

Пример 3

Намерете границата

Заменяме нула в израза под знака за граница:

Получена е несигурност, която трябва да бъде разкрита. Ако има тангенс в границата, тогава той почти винаги се преобразува в синус и косинус, като се използва добре известната тригонометрична формула (между другото, те правят приблизително същото нещо с котангенса, вижте фиг. методически материал Горещо тригонометрични формули На страницата Математически формули, таблици и справочни материали).

В такъв случай:

Косинусът от нула е равен на едно и е лесно да се отървете от него (не забравяйте да отбележите, че клони към едно):

Така, ако в границата косинусът е МНОЖИТЕЛ, тогава, грубо казано, той трябва да се превърне в единица, която изчезва в продукта.

Тук всичко се оказа по-просто, без никакви умножения и деления. Първият забележителен лимит също се превръща в такъв и изчезва в продукта:

В резултат на това се получава безкрайност и това се случва.

Пример 4

Намерете границата

Нека се опитаме да заменим нулата в числителя и знаменателя:

Получава се несигурността (косинус от нула, както помним, е равен на едно)

Използваме тригонометричната формула. Да вземат под внимание! По някаква причина ограниченията, използващи тази формула, са много често срещани.

Нека преместим постоянните фактори отвъд иконата за ограничение:

Нека организираме първия прекрасен лимит:

Тук имаме само едно забележително ограничение, което се превръща в едно и изчезва в продукта:

Нека да се отървем от триетажната структура:

Границата всъщност е решена, показваме, че оставащият синус клони към нула:

Пример 5

Намерете границата

Този пример е по-сложен, опитайте се да го разберете сами:

Някои граници могат да бъдат намалени до първата забележителна граница чрез промяна на променлива, можете да прочетете за това малко по-късно в статията Методи за решаване на граници.

Второ прекрасно ограничение

В теорията на математическия анализ е доказано, че:

Този факт се нарича втора прекрасна граница.

Справка: е ирационално число.

Параметърът може да бъде не само променлива, но и сложна функция. Важното е само да се стреми към безкрайност.

Пример 6

Намерете границата

Когато изразът под знака за граница е в степен, това е първият знак, че трябва да опитате да приложите втората чудесна граница.

Но първо, както винаги, се опитваме да заменим безкрайно голямо число в израза, принципът, по който се прави това, се обсъжда в урока Ограничения. Примери за решения.

Лесно се забелязва, че когато основата на степента е , а показателят е , тоест има несигурност на формата:

Тази несигурност се разкрива точно с помощта на втората забележителна граница. Но, както често се случва, втората прекрасна граница не лежи на сребърен поднос и трябва да бъде изкуствено организирана. Можете да разсъждавате по следния начин: в този пример параметърът е , което означава, че трябва да организираме и индикатора. За да направим това, повдигаме основата на степента и за да не се промени изразът, я повдигаме на степента:

Когато задачата е изпълнена на ръка, отбелязваме с молив:

Почти всичко е готово, ужасната степен се е превърнала в хубаво писмо:

В този случай преместваме самата икона на лимита към индикатора:

Пример 7

Намерете границата

внимание! Този тип ограничение се среща много често, моля, проучете внимателно този пример.

Нека се опитаме да заместим безкрайно голямо число в израза под знака за граница:

Резултатът е несигурност. Но второто забележително ограничение се отнася до несигурността на формата. Какво да правя? Трябва да преобразуваме основата на степента. Разсъждаваме така: в знаменателя имаме , което означава, че в числителя също трябва да организираме .

Първото забележително ограничение е следното равенство:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Тъй като за $\alpha\to(0)$ имаме $\sin\alpha\to(0)$, те казват, че първата забележителна граница разкрива несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Най-общо казано във формула (1), вместо променливата $\alpha$, всеки израз може да бъде поставен под знака синус и в знаменателя, стига да са изпълнени две условия:

1. Изразите под знака синус и в знаменателя едновременно клонят към нула, т.е. има несигурност от формата $\frac(0)(0)$.
2. Изразите под знака синус и в знаменателя са еднакви.

Следствията от първата забележителна граница също често се използват:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \край (уравнение)

На тази страница са решени единадесет примера. Пример № 1 е посветен на доказателството на формули (2)-(4). Примери № 2, № 3, № 4 и № 5 съдържат решения с подробни коментари. Примери № 6-10 съдържат решения практически без коментари, тъй като в предишните примери са дадени подробни обяснения. Решението използва някои тригонометрични формули, които могат да бъдат намерени.

Позволете ми да отбележа, че наличието на тригонометрични функции, съчетано с несигурността $\frac (0) (0)$, не означава задължително приложениепървата забележителна граница. Понякога са достатъчни прости тригонометрични трансформации - например вж.

Пример №1

Докажете, че $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

а) Тъй като $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, тогава:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Тъй като $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ и $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Че:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

б) Нека направим промяната $\alpha=\sin(y)$. Тъй като $\sin(0)=0$, тогава от условието $\alpha\to(0)$ имаме $y\to(0)$. В допълнение, има околност на нула, в която $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, така че:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Равенството $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ е доказано.

в) Нека направим замяната $\alpha=\tg(y)$. Тъй като $\tg(0)=0$, тогава условията $\alpha\to(0)$ и $y\to(0)$ са еквивалентни. В допълнение, има околност на нула, в която $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, следователно, въз основа на резултатите от точка а), ще имаме:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Равенството $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ е доказано.

Равенствата a), b), c) често се използват заедно с първата забележителна граница.

Пример №2

Изчислете границата $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Тъй като $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ и $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, т.е. и числителят и знаменателят на дробта едновременно клонят към нула, тогава тук имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$, т.е. Свършен. Освен това е ясно, че изразите под знака синус и в знаменателя съвпадат (т.е. и е изпълнено):

Така че и двете условия, изброени в началото на страницата, са изпълнени. От това следва, че формулата е приложима, т.е. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Отговор: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Пример №3

Намерете $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Тъй като $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ и $\lim_(x\to(0))x=0$, тогава имаме работа с несигурност от формата $\frac (0 )(0)$, т.е. Свършен. Изразите под знака синус и в знаменателя обаче не съвпадат. Тук трябва да коригирате израза в знаменателя до желаната форма. Трябва изразът $9x$ да бъде в знаменателя, тогава той ще стане верен. По същество пропускаме множител от $9$ в знаменателя, който не е толкова труден за въвеждане – просто умножете израза в знаменателя по $9$. Естествено, за да компенсирате умножението с $9$, ще трябва незабавно да разделите на $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Сега изразите в знаменателя и под знака за синус съвпадат. И двете условия за границата $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ са изпълнени. Следователно $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. А това означава, че:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Пример №4

Намерете $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Тъй като $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ и $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, тук имаме работа с несигурност на формата $\frac(0)(0)$. Въпреки това, формата на първата забележителна граница е нарушена. Числител, съдържащ $\sin(5x)$, изисква знаменател от $5x$. В тази ситуация най-лесният начин е да разделите числителя на $5x$ и веднага да умножите по $5x$. Освен това ще извършим подобна операция със знаменателя, като умножим и разделим $\tg(8x)$ на $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Намалявайки с $x$ и извеждайки константата $\frac(5)(8)$ извън граничния знак, получаваме:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Имайте предвид, че $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ напълно удовлетворява изискванията за първата забележителна граница. За намиране на $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ е приложима следната формула:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Пример №5

Намерете $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Тъй като $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (не забравяйте, че $\cos(0)=1$) и $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, тогава имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Въпреки това, за да приложите първата забележителна граница, трябва да се отървете от косинуса в числителя, преминавайки към синуси (за да приложите след това формулата) или тангенси (за да приложите след това формулата). Това може да стане със следната трансформация:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Да се ​​върнем на лимита:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Дробта $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ вече е близо до формата, необходима за първата забележителна граница. Нека поработим малко с дробта $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, коригирайки я до първата забележителна граница (обърнете внимание, че изразите в числителя и под синуса трябва да съвпадат):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Да се ​​върнем на въпросния лимит:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Пример №6

Намерете границата $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Тъй като $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ и $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, тогава имаме работа с несигурност $\frac(0)(0)$. Нека го разкрием с помощта на първата забележителна граница. За да направим това, нека преминем от косинуси към синуси. Тъй като $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, тогава:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Преминавайки към синуси в дадената граница, ще имаме:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Пример № 7

Изчислете ограничението $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ при $\alpha\neq \ бета$.

Подробни обяснения бяха дадени по-рано, но тук просто отбелязваме, че отново има несигурност $\frac(0)(0)$. Нека преминем от косинуси към синуси, използвайки формулата

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Използвайки тази формула, получаваме:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\дясно| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ бета(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ алфа^2-\бета^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\бета^2-\алфа^2)(2). $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ алфа^2)(2)$.

Пример № 8

Намерете границата $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Тъй като $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (не забравяйте, че $\sin(0)=\tg(0)=0$) и $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, тогава тук имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Нека го разбием по следния начин:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Пример №9

Намерете границата $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Тъй като $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ и $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, тогава има несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Преди да пристъпите към нейното разширяване, е удобно да направите промяна на променливата по такъв начин, че новата променлива да клони към нула (обърнете внимание, че във формулите променливата $\alpha \to 0$). Най-лесният начин е да въведете променливата $t=x-3$. Въпреки това, в името на удобството на по-нататъшните трансформации (тази полза може да се види в хода на решението по-долу), струва си да направите следната замяна: $t=\frac(x-3)(2)$. Отбелязвам, че и двете замени са приложими в този случай, просто втората замяна ще ви позволи да работите по-малко с дроби. Тъй като $x\to(3)$, тогава $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Отговор: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Пример №10

Намерете границата $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Отново имаме работа с несигурност $\frac(0)(0)$. Преди да преминете към нейното разширяване, удобно е да направите промяна на променливата по такъв начин, че новата променлива да клони към нула (обърнете внимание, че във формулите променливата е $\alpha\to(0)$). Най-лесният начин е да въведете променливата $t=\frac(\pi)(2)-x$. Тъй като $x\to\frac(\pi)(2)$, тогава $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Отговор: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Пример №11

Намерете границите $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

В този случай не е нужно да използваме първата прекрасна граница. Моля, обърнете внимание, че и първата, и втората граница съдържат само тригонометрични функции и числа. Често в примери от този вид е възможно да се опрости изразът, разположен под знака за граница. Освен това, след гореспоменатото опростяване и намаляване на някои фактори, несигурността изчезва. Дадох този пример само с една цел: да покажа, че наличието на тригонометрични функции под знака за граница не означава непременно използването на първата забележителна граница.

Тъй като $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (не забравяйте, че $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) и $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (нека ви напомня, че $\cos\frac(\pi)(2)=0$), тогава имаме занимаващи се с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Това обаче не означава, че ще трябва да използваме първия прекрасен лимит. За да се разкрие несигурността, достатъчно е да се вземе предвид, че $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Подобно решение има в книгата с решения на Демидович (№ 475). Що се отнася до втората граница, както в предишните примери в този раздел, имаме несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Защо възниква? Възниква, защото $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ и $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ние използваме тези стойности, за да трансформираме изразите в числителя и знаменателя. Целта на нашите действия е да запишем сумата в числителя и знаменателя като произведение. Между другото, често в рамките на подобен тип е удобно да промените променлива, направена по такъв начин, че новата променлива да клони към нула (вижте например примери № 9 или № 10 на тази страница). В този пример обаче няма смисъл от замяна, въпреки че при желание замяната на променливата $t=x-\frac(2\pi)(3)$ не е трудна за изпълнение.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Както можете да видите, не трябваше да прилагаме първото прекрасно ограничение. Разбира се, можете да направите това, ако желаете (вижте бележката по-долу), но не е необходимо.

Какво е решението, използвайки първата забележителна граница? Покажи скрий

Използвайки първата забележителна граница, получаваме:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\десен))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ дясно))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Отговор: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.