За да умножите правилно дроб по дроб или дроб по число, трябва да знаете прости правила. Сега ще анализираме подробно тези правила.
Умножение на обикновена дроб по дроб.
За да умножите дроб по дроб, трябва да изчислите произведението на числителите и произведението на знаменателите на тези дроби.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Да разгледаме един пример:
Умножаваме числителя на първата дроб с числителя на втората дроб и също така умножаваме знаменателя на първата дроб със знаменателя на втората дроб.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ по 3)(7 \пъти 3) = \frac(4)(7)\\\)
Дробта \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) беше намалена с 3.
Умножение на дроб по число.
Първо, нека си припомним правилото, всяко число може да бъде представено като дроб \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Нека използваме това правило, когато умножаваме.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Неправилна дроб \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) преобразувано в смесена дроб.
С други думи, Когато умножаваме число по дроб, ние умножаваме числото по числителя и оставяме знаменателя непроменен.Пример:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Умножение на смесени дроби.
За да умножите смесени дроби, първо трябва да представите всяка смесена дроб като неправилна дроб и след това да използвате правилото за умножение. Умножаваме числителя по числителя и умножаваме знаменателя по знаменателя.
Пример:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Умножение на реципрочни дроби и числа.
Дробта \(\bf \frac(a)(b)\) е обратна на дробта \(\bf \frac(b)(a)\), при условие че a≠0,b≠0.
Дробите \(\bf \frac(a)(b)\) и \(\bf \frac(b)(a)\) се наричат реципрочни дроби. Произведението на реципрочните дроби е равно на 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Пример:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Свързани въпроси:
Как да умножим дроб по дроб?
Отговор: Произведението на обикновените дроби е умножение на числител с числител, знаменател със знаменател. За да получите произведението на смесени дроби, трябва да ги преобразувате в неправилна дроб и да ги умножите според правилата.
Как да умножим дроби с различни знаменатели?
Отговор: няма значение дали дробите имат еднакви или различни знаменатели, умножението се извършва според правилото за намиране на произведението на числител с числител, знаменател със знаменател.
Как да умножим смесени дроби?
Отговор: първо трябва да преобразувате смесената дроб в неправилна дроб и след това да намерите продукта, като използвате правилата за умножение.
Как да умножим число по дроб?
Отговор: умножаваме числото с числителя, но оставяме знаменателя същия.
Пример #1:
Изчислете произведението: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Решение:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( червено) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Пример #2:
Изчислете произведенията на число и дроб: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Решение:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Пример #3:
Напишете реципрочната стойност на дробта \(\frac(1)(3)\)?
Отговор: \(\frac(3)(1) = 3\)
Пример #4:
Изчислете произведението на две реципрочни дроби: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Решение:
а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Пример #5:
Могат ли реципрочните дроби да бъдат:
а) едновременно с правилните дроби;
б) едновременно неправилни дроби;
в) едновременно естествени числа?
Решение:
а) за да отговорим на първия въпрос, нека дадем пример. Дробта \(\frac(2)(3)\) е правилна, нейната обратна дроб ще бъде равна на \(\frac(3)(2)\) - неправилна дроб. Отговор: не.
б) в почти всички изброявания на дроби това условие не е изпълнено, но има някои числа, които изпълняват условието да бъдат едновременно неправилна дроб. Например неправилната дроб е \(\frac(3)(3)\), нейната обратна дроб е равна на \(\frac(3)(3)\). Получаваме две неправилни дроби. Отговор: не винаги при определени условия, когато числителят и знаменателят са равни.
в) естествените числа са числата, които използваме, когато броим, например 1, 2, 3, …. Ако вземем числото \(3 = \frac(3)(1)\), тогава неговата обратна дроб ще бъде \(\frac(1)(3)\). Дробта \(\frac(1)(3)\) не е естествено число. Ако преминем през всички числа, реципрочната стойност на числото винаги е дроб, с изключение на 1. Ако вземем числото 1, тогава неговата реципрочна дроб ще бъде \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Номер 1 естествено число. Отговор: те могат да бъдат едновременно естествени числа само в един случай, ако това е числото 1.
Пример #6:
Направете произведението на смесени дроби: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Решение:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Пример #7:
Могат ли две реципрочни да бъдат смесени числа едновременно?
Нека разгледаме един пример. Нека вземем смесена дроб \(1\frac(1)(2)\), намерим нейната обратна дроб, за да направим това, я преобразуваме в неправилна дроб \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Неговата обратна дроб ще бъде равна на \(\frac(2)(3)\) . Дробта \(\frac(2)(3)\) е правилна дроб. Отговор: Две дроби, които са взаимно обратни, не могат да бъдат смесени числа едновременно.
Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата не винаги е възможно да се изрази например дължината или цената на даден продукт като цяло число; трябва да се вземат предвид части или дроби от някаква мярка. Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.
Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат „счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.
Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби с различни знаменатели.
Умножение на дроби с различни знаменатели
Първоначално си струва да се определи видове дроби:
- правилно;
- неправилно;
- смесен.
След това трябва да запомните как става умножението дробни числас същите знаменатели. Самото правило на този процес не е трудно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.
При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:
а/b * ° С/д = а*в / b*d.
Единствената разлика е, че образуваното число под дробната линия ще бъде продукт на различни числа и, естествено, не може да се нарече квадрат на един числов израз.
Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната линия не могат да бъдат намалени.
Наред с простите дроби съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как работи умножението?
Дадени са няколко примера за разглеждане.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, правилото за това действие може да се запише като:
а* б/° С = а*б/° С.
Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:
д* д/f = д/е: г.
Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб, тя може да бъде представена и като обща формула:
а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се образува чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.
Този процес работи и в обратна страна. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.
Умножение на неправилни дробипроизведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.
В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи в различни варианти на програми. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числав знаменатели – т. нар. онлайн калкулатори за пресмятане на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. С него се работи лесно, попълвате съответните полета на страницата на сайта и избирате знака математическа операцияи щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.
Предмет аритметични операциис дробни числа е от значение за цялото обучение на ученици от средните и гимназиалните училища. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни познания дават пълна увереност при успешното решаване на най-сложните проблеми.
В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човек да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.
В курсовете на средното и средното училище учениците разглеждаха темата „Дроби“. Това понятие обаче е много по-широко от това, което се дава в учебния процес. Днес концепцията за дроб се среща доста често и не всеки може да изчисли всеки израз, например умножаване на дроби.
Какво е дроб?
Исторически погледнато, дробните числа възникват поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент и обема на правоъгълен правоъгълник.
Първоначално учениците се запознават с понятието акция. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всеки ще получи една осма от динята. Тази част от осем се нарича дял.
Дял, равен на ½ от всяка стойност, се нарича половина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записите от формата 5/8, 4/5, 2/4 се наричат обикновени дроби. Обикновената дроб се дели на числител и знаменател. Между тях е дробната лента, или фракционната лента. Дробната линия може да бъде начертана като хоризонтална или наклонена линия. IN в такъв случайпредставлява знака за деление.
Знаменателят представлява на колко равни части е разделено количеството или обектът; а числителят е колко еднакви акции са взети. Числителят е написан над дробната черта, а знаменателят е написан под нея.
Най-удобно е да се показват обикновени дроби на координатен лъч. Ако единичен сегмент е разделен на 4 равни части, маркирайте всяка част латиница, тогава резултатът може да бъде отличен нагледен материал. И така, точка А показва дял, равен на 1/4 от целия единичен сегмент, а точка Б маркира 2/8 от даден сегмент.
Видове дроби
Дробите могат да бъдат обикновени, десетични и смесени числа. Освен това дробите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени дроби.
Правилна дроб е число, чийто числител е по-малък от знаменателя. Съответно неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият тип обикновено се записва като смесено число. Този израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. 1 - цяла част, ½ - дробно. Ако обаче трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножаване на дроби, намаляване или преобразуване), смесеното число се преобразува в неправилна дроб.
Правилният дробен израз винаги е по-малък от единица, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.
Що се отнася до този израз, имаме предвид запис, в който е представено произволно число, чийто знаменател на дробния израз може да бъде изразен чрез единица с няколко нули. Ако дробта е правилна, тогава цялата част в десетичната система ще бъде равна на нула.
За да напишете десетична дроб, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите от дробта със запетая и след това да напишете дробния израз. Трябва да се помни, че след десетичната запетая числителят трябва да съдържа същия брой цифрови знаци, колкото има нули в знаменателя.
Пример. Изразете дробта 7 21 / 1000 в десетична система.
Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно
Неправилно е да се пише неправилна дроб в отговора на задача, затова трябва да се преобразува в смесено число:
- разделете числителя на съществуващия знаменател;
- в конкретен пример непълно частно е цяло;
- а остатъкът е числителят на дробната част, като знаменателят остава непроменен.
Пример. Преобразувайте неправилна дроб в смесено число: 47 / 5.
Решение. 47: 5. Частичното частно е 9, остатъкът = 2. И така, 47/5 = 9 2/5.
Понякога трябва да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:
- цялата част се умножава по знаменателя на дробния израз;
- полученият продукт се добавя към числителя;
- резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.
Пример. Представете числото в смесена форма като неправилна дроб: 9 8 / 10.
Решение. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 е числителят.
Отговор: 98 / 10.
Умножение на дроби
С обикновените дроби могат да се извършват различни алгебрични операции. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя със знаменателя. Освен това умножаването на дроби с различни знаменатели не се различава от умножението на дроби с еднакви знаменатели.
Случва се, че след като намерите резултата, трябва да намалите фракцията. IN задължителентрябва да опростите получения израз възможно най-много. Разбира се, не може да се каже, че неправилна дроб в отговор е грешка, но също така е трудно да се нарече правилен отговор.
Пример. Намерете произведението на две обикновени дроби: ½ и 20/18.
Както се вижда от примера, след намиране на продукта се получава редуцируема дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай са разделени на 4 и резултатът е отговорът 5/9.
Умножаване на десетични дроби
Произведението на десетичните дроби е доста различно от произведението на обикновените дроби по своя принцип. И така, умножаването на дроби е както следва:
- две десетични дроби трябва да бъдат записани една под друга, така че най-десните цифри да са една под друга;
- трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени числа;
- пребройте броя на цифрите след десетичната запетая във всяко число;
- в резултата, получен след умножението, трябва да преброите отдясно толкова цифрови символи, колкото се съдържат в сумата в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите разделителен знак;
- ако в продукта има по-малко числа, тогава трябва да напишете толкова нули пред тях, за да покриете това число, да поставите запетая и да добавите цялата част, равна на нула.
Пример. Изчислете произведението на две десетични дроби: 2,25 и 3,6.
Решение.
Умножение на смесени дроби
За да изчислите произведението на две смесени дроби, трябва да използвате правилото за умножение на дроби:
- преобразуват смесени числа в неправилни дроби;
- намерете произведението на числителите;
- намерете произведението на знаменателите;
- запишете резултата;
- опростете израза колкото е възможно повече.
Пример. Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.
Умножение на число с дроб (дроби с число)
В допълнение към намирането на произведението на две дроби и смесени числа, има задачи, в които трябва да умножите по дроб.
И така, за да намерите продукта десетичен знаки естествено число, имате нужда от:
- напишете числото под дробта, така че най-десните цифри да са една над друга;
- намерете продукта въпреки запетаята;
- в получения резултат отделете цялата част от дробната част със запетая, като броите отдясно броя на цифрите, които се намират след десетичната запетая в дробта.
За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът дава дроб, която може да бъде намалена, тя трябва да бъде преобразувана.
Пример. Изчислете произведението на 5/8 и 12.
Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Отговор: 7 1 / 2.
Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се намали полученият резултат и да се преобразува неправилният дробен израз в смесено число.
Умножението на дроби също се отнася до намирането на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите цялата част от смесения фактор по числото, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателя непроменен. Ако е необходимо, трябва да опростите получения резултат възможно най-много.
Пример. Намерете произведението на 9 5/6 и 9.
Решение. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Отговор: 88 1 / 2.
Умножение с коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001
Следното правило следва от предходния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото нули има във фактора след единицата.
Пример 1. Намерете произведението на 0,065 и 1000.
Решение. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Отговор: 65.
Пример 2. Намерете произведението на 3,9 и 1000.
Решение. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Отговор: 3900.
Ако трябва да умножите естествено число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята в получения продукт наляво с толкова цифри, колкото нули има преди единица. Ако е необходимо, пред естественото число се записват достатъчен брой нули.
Пример 1. Намерете произведението на 56 и 0,01.
Решение. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.
Отговор: 0,56.
Пример 2. Намерете произведението на 4 и 0,001.
Решение. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.
Отговор: 0,004.
Така че намирането на продукта от различни дроби не трябва да създава никакви затруднения, освен може би изчисляването на резултата; в този случай просто не можете без калкулатор.
) и знаменател по знаменател (получаваме знаменателя на произведението).
Формула за умножение на дроби:
Например:
Преди да започнете да умножавате числители и знаменатели, трябва да проверите за възможността дробни съкращения. Ако можете да намалите фракцията, ще ви бъде по-лесно да правите допълнителни изчисления.
Деление на обикновена дроб на дроб.
Деление на дроби с естествени числа.
Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както е в случая с допълнение, преобразувайте цялото число в дроб с единица в знаменателя. Например:
Умножение на смесени дроби.
Правила за умножение на дроби (смесени):
- преобразувайте смесени дроби в неправилни дроби;
- умножаване на числителите и знаменателите на дроби;
- намаляване на фракцията;
- Ако получите неправилна дроб, ние преобразуваме неправилната дроб в смесена дроб.
Забележка!За да умножите смесена дроб с друга смесена дроб, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби и след това да умножите според правилото за умножение на обикновени дроби.
Вторият начин за умножаване на дроб с естествено число.
Може да е по-удобно да използвате втория метод на умножение обикновена дробна брой.
Забележка!За да умножите дроб по естествено число, трябва да разделите знаменателя на дробта на това число и да оставите числителя непроменен.
От примера, даден по-горе, става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.
Многоетажни дроби.
В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:
За да приведете такава фракция в обичайната й форма, използвайте разделяне на 2 точки:
Забележка!При разделяне на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.
Забележка, Например:
Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:
Практически съвети за умножение и деление на дроби:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в черновата си, отколкото да се изгубите в умствени изчисления.
2. В задачи със различни видоведроби - преминават към формата на обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.
4. Трансформираме многостепенни дробни изрази в обикновени, използвайки деление на 2 точки.
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
