Начало Детска стоматология Таблицата с определени интеграли е пълна за студенти. Основни формули и методи на интегриране

Детска стоматология

Таблицата с определени интеграли е пълна за студенти. Основни формули и методи на интегриране

Четирите основни метода на интеграция са изброени по-долу.

1) Правилото за интегриране на сбор или разлика.
.
Тук и по-долу u, v, w са функции на интеграционната променлива x.

2) Преместване на константата извън знака за интеграл.
Нека c е константа, независима от x.

3) Тогава може да се извади от интегралния знак.
Метод на променлива замяна.
Нека разгледаме неопределения интеграл. Ако можем да намерим такава функция φ(х)
,
от х, така че
.

4) тогава, като заменим променливата t = φ(x) , имаме
,
Формула за интегриране по части.

където u и v са функции на интеграционната променлива. Крайната цел на изчислението не еопределени интеграли - това е, чрез трансформации, да се намали даден интеграл до най-простите интеграли, които се наричат таблични интеграли. Табличните интеграли се изразяват чрез елементарни функции.
известни формули

Вижте таблица с интеграли >>>

Пример

Изчисляване на неопределен интеграл

Решение
Отбелязваме, че интегрантът е сборът и разликата на три члена:
, И . 1 .

Прилагане на метода 5, 4, След това отбелязваме, че интегрантите на новите интеграли се умножават по константи 2 И 2 .

, съответно. Прилагане на метода
.
В таблицата на интегралите намираме формулата 2 Ако приемем, че n =

, намираме първия интеграл.
.
Нека пренапишем втория интеграл във формата

Забелязваме това. Тогава.
.
Нека използваме третия метод. Променяме променливата t = φ

(x) = ln x

В таблицата на интегралите намираме формулата
.
Тъй като променливата на интегриране може да бъде означена с всяка буква, тогава
Нека пренапишем третия интеграл във формата
Прилагаме формулата на интегриране по части.
;
;

;
;
.

Нека го поставим.
.
Тогава 3 .
.

Най-накрая имаме

Нека съберем членове с х
отговор

Използвана литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г..

В училище много хора не успяват да решат интеграли или имат затруднения с тях. Тази статия ще ви помогне да го разберете, тъй като ще намерите всичко в нея.е едно от основните изчисления и концепции в математическия анализ. Появата му е резултат от две цели:
Първи гол- възстановяване на функция, използвайки нейната производна.
Втори гол- изчисляване на площта, разположена на разстоянието от графиката до функцията f(x) на правата линия, където a е по-голямо или равно на x, по-голямо или равно на b и оста x.

Тези цели ни водят до определени и неопределени интеграли. Връзката между тези интеграли е в търсенето на свойства и изчислението. Но всичко тече и всичко се променя с течение на времето, бяха намерени нови решения, бяха идентифицирани допълнения, като по този начин доведоха определени и неопределени интеграли към други форми на интеграция.

какво стана неопределен интеграл питате вие. Това е антипроизводна функция F(x) на една променлива x в интервала a, по-голям от x, по-голям от b. се нарича всяка функция F(x), в даден интервал за всяко обозначение x, производната е равна на F(x). Ясно е, че F(x) е противопроизводно за f(x) в интервала a е по-голямо от x е по-голямо от b. Това означава, че F1(x) = F(x) + C. C - е всяка константа и противопроизводна за f(x) в даден интервал. Това твърдение е обратимо; за функцията f(x) - 2 първообразните се различават само по константата. Въз основа на теоремата на интегралното смятане се оказва, че всеки непрекъснат в интервала a

Определен интеграл се разбира като граница в интегрални суми или в ситуацията на дадена функция f(x), дефинирана на някакъв ред (a,b), имащ антипроизводно F върху него, което означава разликата на неговите изрази в краищата на даден ред F(b) - F(a).

За да илюстрирам изучаването на тази тема, предлагам да гледате видеоклипа. Разказва подробно и показва как се намират интеграли.

Всяка таблица с интеграли сама по себе си е много полезна, тъй като помага при решаването на определен тип интеграл.

Всички възможни видовеканцеларски материали и др. Можете да закупите чрез онлайн магазина v-kant.ru. Или просто следвайте връзката Канцеларски материали Самара (http://v-kant.ru) качеството и цените ще ви изненадат приятно.

Нека изброим интегралите на елементарни функции, които понякога се наричат таблични:

Всяка от горните формули може да бъде доказана, като се вземе производната на дясната страна (резултатът ще бъде интегранд).

Интеграционни методи

Нека да разгледаме някои основни методи за интегриране. Те включват:

1. Метод на разлагане(директна интеграция).

Този метод се основава на директното използване на таблични интеграли, както и на използването на свойства 4 и 5 на неопределения интеграл (т.е. изваждане на постоянния фактор извън скоби и/или представяне на интегранта като сума от функции - разлагане на интегранта в членове).

Пример 1.Например, за да намерите(dx/x 4), можете директно да използвате табличния интеграл заx n dx. Всъщност,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2.За да го намерим, използваме същия интеграл:

Пример 3.За да го намерите, трябва да вземете

Пример 4.За да намерим, представяме функцията интегранд във формата и използвайте табличния интеграл за експоненциалната функция:

Нека считаме използването на скоби за постоянен фактор.

Пример 5.Да намерим например . Имайки предвид това, получаваме

Пример 6.Ще го намерим. защото , нека използваме табличния интеграл получаваме

В следващите два примера можете също да използвате интеграли в скоби и таблици:

Пример 7.

(ние използваме и );

Пример 8.

(ние използваме И ).

Нека да разгледаме по-сложни примери, които използват сумарния интеграл.

Пример 9.Например, да намерим
. За да приложим метода на разширение в числителя, използваме формулата на куба на сумата  и след това разделяме получения полином на знаменателя, член по член.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Трябва да се отбележи, че в края на решението се записва една обща константа C (а не отделни при интегрирането на всеки член). В бъдеще се предлага също така да се пропуснат константите от интегрирането на отделните членове в процеса на решаване, стига изразът да съдържа поне един неопределен интеграл (ще запишем една константа в края на решението).

Пример 10.Ще намерим . За да разрешим тази задача, нека разложим числителя на множители (след това можем да намалим знаменателя).

Пример 11.Ще го намерим. Тук могат да се използват тригонометрични идентичности.

Понякога, за да разложите израз на термини, трябва да използвате по-сложни техники.

Пример 12.Ще намерим . В интегранта избираме цялата част от дробта . Тогава

Пример 13.Ще намерим

2. Метод на заместване на променливи (метод на заместване)

Методът се основава на следната формула: f(x)dx=f((t))`(t)dt, където x =(t) е функция, диференцируема на разглеждания интервал.

Доказателство. Нека намерим производните по отношение на променливата t отляво и десни частиформули.

Обърнете внимание, че от лявата страна има сложна функция, чийто междинен аргумент е x = (t). Следователно, за да го диференцираме по отношение на t, първо диференцираме интеграла по отношение на x и след това вземаме производната на междинния аргумент по отношение на t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Производна от дясната страна:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Тъй като тези производни са равни, по следствие от теоремата на Лагранж, лявата и дясната страна на доказаната формула се различават с определена константа. Тъй като самите неопределени интеграли са дефинирани до неопределен постоянен член, тази константа може да бъде пропусната от крайното обозначение. Доказано.

Успешната промяна на променлива ви позволява да опростите оригиналния интеграл и в най-простите случаи да го намалите до табличен. При прилагането на този метод се прави разлика между линейни и нелинейни методи на заместване.

а) Метод на линейно заместванеНека разгледаме един пример.

Пример 1.
. Тогава нека t= 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Трябва да се отбележи, че новата променлива не трябва да се изписва изрично. В такива случаи те говорят за трансформиране на функция под диференциален знак или за въвеждане на константи и променливи под диференциален знак, т.е. О неявна замяна на променлива.

Пример 2.Например, нека намеримcos(3x + 2)dx. По свойствата на диференциала dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогаваcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

И в двата разгледани примера е използвано линейно заместване t=kx+b(k0) за намиране на интегралите.

В общия случай е валидна следната теорема.

Теорема за линейно заместване. Нека F(x) е някаква първоизводна на функцията f(x). Тогаваf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, където k и b са някои константи, k0.

Доказателство.

По дефиниция на интеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Нека извадим постоянния фактор k от интегралния знак: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Сега можем да разделим лявата и дясната страна на равенството на две и да получим твърдението, което трябва да се докаже до обозначението на константния член.

Тази теорема гласи, че ако в дефиницията на интеграла f(x)dx= F(x) + C вместо аргумента x заместим израза (kx+b), това ще доведе до появата на допълнителен фактор 1/k пред антипроизводното.

Използвайки доказаната теорема, решаваме следните примери.

Пример 3.

Ще намерим . Тук kx+b= 3 –x, т.е. k= -1,b= 3. Тогава

Пример 4.

Ще го намерим. Ето kx+b= 4x+ 3, т.е. k= 4,b= 3. Тогава

Пример 5.

Ще намерим . Тук kx+b= -2x+ 7, т.е. k= -2,b= 7. Тогава

Пример 6.Ще намерим
. Тук kx+b= 2x+ 0, т.е. k= 2,b= 0.

Нека сравним получения резултат с пример 8, който беше решен чрез метода на разлагане. Решавайки същия проблем с помощта на различен метод, получихме отговора
. Нека сравним резултатите: По този начин тези изрази се различават един от друг с постоянен термин , т.е. Получените отговори не си противоречат.

Пример 7.Ще намерим
. Нека изберем точен квадрат в знаменателя.

В някои случаи промяната на променлива не редуцира интеграла директно до табличен, но може да опрости решението, правейки възможно използването на метода на разширение в следваща стъпка.

Пример 8.Например, да намерим . Заменете t=x+ 2, след това dt=d(x+ 2) =dx. Тогава

където C = C 1 – 6 (при заместване на израза (x+ 2) вместо първите два члена получаваме ½x 2 -2x– 6).

Пример 9.Ще намерим
. Нека t= 2x+ 1, тогава dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Нека заместим израза (2x+ 1) с t, отворим скобите и дадем подобни.

Имайте предвид, че в процеса на трансформации се преместихме към друг постоянен член, защото групата от постоянни членове може да бъде пропусната по време на процеса на трансформация.

б) Метод на нелинейно заместванеНека разгледаме един пример.

Пример 1.
. Lett= -x 2. След това човек може да изрази x чрез t, след това да намери израз за dx и да приложи промяна на променлива в желания интеграл. Но в този случай е по-лесно да направите нещата по различен начин. Нека намерим dt=d(-x 2) = -2xdx. Обърнете внимание, че изразът xdx е фактор на интегралната функция на желания интеграл. Нека го изразим от полученото равенствоxdx= - ½dt. Тогава

Основни интеграли, които всеки ученик трябва да знае

Изброените интеграли са основата, основата на фундаментите. Тези формули определено трябва да се запомнят. При изчисляване на повече комплексни интегралище трябва да ги използвате постоянно.

Моля, платете специално вниманиекъм формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забравяйте да добавите произволна константа C към вашия отговор, когато интегрирате!

Интеграл от константа

∫ A d x = A x + C (1)

Интегриране на мощностна функция

Всъщност беше възможно да се ограничим само до формули (5) и (7), но останалите интеграли от тази група се срещат толкова често, че си струва да им обърнем малко внимание.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Интеграли на експоненциални функции и хиперболични функции

Разбира се, формула (8) (може би най-удобната за запомняне) може да се счита за специален случайформули (9). Формули (10) и (11) за интегралите на хиперболичния синус и хиперболичния косинус се извеждат лесно от формула (8), но е по-добре просто да запомните тези отношения.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Основни интеграли на тригонометрични функции

Грешка, която учениците често правят е, че бъркат знаците във формули (12) и (13). Спомняйки си, че производната на синуса е равна на косинуса, по някаква причина много хора вярват, че интегралът на функцията sinx е равен на cosx. Това не е истина! Интегралът от синус е равен на „минус косинус“, но интегралът от cosx е равен на „просто синус“:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Интеграли, които се редуцират до обратни тригонометрични функции

Формула (16), водеща до арктангенса, естествено е специален случай на формула (17) за a=1. По същия начин (18) е специален случай на (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

По-сложни интеграли

Също така е препоръчително да запомните тези формули. Те също се използват доста често и изходът им е доста досаден.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Общи правила за интегриране

1) Интеграл от сумата на две функции

равно на сумата

съответни интеграли: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25) 2) Интегралът на разликата на две функции е равен на разликата на съответните интеграли: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26) 3) Константата може да бъде извадена от интегралния знак: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27) Лесно се вижда, че свойство (26) е просто комбинация от свойства (25) и (27). 4) Интеграл на

Тук F(x) е първоизводна за функцията f(x). Моля, обърнете внимание: тази формула работи само когато вътрешната функция е Ax + B.

Важно: не съществува универсална формулаза интеграла на произведението на две функции, както и за интеграла на дроб:

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

Това, разбира се, не означава, че фракция или продукт не могат да бъдат интегрирани. Просто всеки път, когато видите интеграл като (30), ще трябва да измислите начин да се „борите“ с него. В някои случаи интегрирането по части ще ви помогне, в други ще трябва да направите промяна на променлива, а понякога дори „училищната“ алгебра или тригонометрични формули могат да помогнат.

Прост пример за изчисляване на неопределен интеграл

Пример 1. Намерете интеграла: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Нека използваме формули (25) и (26) (интегралът на сбора или разликата на функциите е равен на сбора или разликата на съответните интеграли. Получаваме: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Нека си припомним, че константата може да бъде извадена от интегралния знак (формула (27)). Изразът се преобразува във формата 3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d xСега нека просто използваме таблицата на основните интеграли. Ще трябва да приложим формули (3), (12), (8) и (1). Да се интегрираме

степенна функция

, синус, експоненциал и константа 1. Нека не забравяме да добавим произволна константа C в края:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

След елементарни трансформации получаваме крайния отговор:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Тествайте се чрез диференциране: вземете производната на получената функция и се уверете, че тя е равна на първоначалния интегранд.

Обобщена таблица на интегралите

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |

x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)Изтеглете таблицата на интегралите (част II) от този линк

Ако учите в университет, ако имате затруднения с висшата математика (

математически анализ

, линейна алгебра, теория на вероятностите, статистика), ако имате нужда от услугите на квалифициран учител, отидете на страницата на преподавател по висша математика. Заедно ще решим вашите проблеми! Може също да се интересувате от Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.Така функцията се възстановява Ех ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.).

антипроизводно Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция. ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.за функция fОпределение 1. Функция Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) на някакъв интервал Първопроизводна функция и неопределен интеграл "(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.)=) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция. X , ако за всички стойности ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.от този интервал равенството е в сила Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.). .

), т.е Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.тази функция Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция. ) е производната на антипроизводната функция ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.Например функцията Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция. ) = грях е антипроизводна на функцията Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) = cos Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) .

на цялата числова ос, тъй като за всяка стойност на x ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.(грях)" = (cos

∫

) е множеството от всички свои първоизводни ∫ . В този случай се използва нотацията ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) dx ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.)Определение 2. Неопределен интеграл на функция къде е табелата

наречен интегрален знак, функцията Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.– интегрална функция, и ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.– интегранд израз.

∫

) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.)Определение 2. Неопределен интеграл на функция = Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) +По този начин, ако

) – някакво противопроизводно за По този начин, ако ), Това

В Къде .

След това таблицата на функциите на общите обекти и съответните им антипроизводни („да бъде врата“ - „да бъде дърво“, „да бъде лъжица“ - „да бъде метал“ и т.н.) е подобна на таблицата на основните неопределени интеграли, които ще бъдат дадени по-долу. Таблицата с неопределени интеграли изброява общи функции с указание за антипроизводните, от които тези функции са „направени“. В част от задачите за намиране на неопределен интеграл са дадени интегранти, които могат да се интегрират директно без много усилия, тоест с помощта на таблицата на неопределените интеграли. При по-сложни задачи интегралната функция трябва първо да се трансформира, за да могат да се използват таблични интеграли.

Факт 2. Когато възстановяваме функция като антипроизводна, трябва да вземем предвид произволна константа (константа) По този начин, ако, и за да не напишете списък от антипроизводни с различни константи от 1 до безкрайност, трябва да напишете набор от антипроизводни с произволна константа По този начин, ако, например така: 5 Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.³+C. И така, произволна константа (константа) е включена в израза на антипроизводното, тъй като антипроизводното може да бъде функция, например 5 Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.³+4 или 5 Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.³+3 и когато се диференцира, 4 или 3, или всяка друга константа отива на нула.

Нека поставим проблема за интегриране: за тази функция ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) намери такава функция Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.), чиято производнаравно на ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.).

Пример 1.Намерете множеството от първоизводни на функция

Решение. За тази функция антипроизводната е функцията

функция Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) се нарича първоизводна за функцията ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.), ако производната Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) е равно на ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.), или, което е същото, диференциал Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) е равно ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) Определение 2. Неопределен интеграл на функция, т.е.

(2)

Следователно функцията е антипроизводна на функцията. Това обаче не е единственото антипроизводно на . Те също изпълняват функции

) – някакво противопроизводно за СЪС– произволна константа. Това може да се провери чрез диференциране.

По този начин, ако има една антипроизводна за функция, тогава за нея има безкраен брой първоизводни, които се различават с постоянен член. Всички първоизводни за функция се записват в горната форма. Това следва от следната теорема.

Теорема (официално изложение на факт 2).Ако Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) – първоизводна за функцията ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) на някакъв интервал X, след това всяка друга антипроизводна за ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) на същия интервал могат да бъдат представени във формата Първопроизводна функция и неопределен интеграл(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) + По този начин, ако, Къде СЪС– произволна константа.

В следващия пример се обръщаме към таблицата с интеграли, която ще бъде дадена в параграф 3, след свойствата на неопределения интеграл. Правим това преди да прочетем цялата таблица, за да е ясна същността на горното. И след таблицата и свойствата ще ги използваме изцяло по време на интеграцията.

Пример 2.Намерете набори от първоизводни функции:

Решение. Ние намираме набори от антипроизводни функции, от които тези функции са „направени“. Когато споменавате формули от таблицата на интегралите, засега просто приемете, че има такива формули там, а самата таблица на неопределените интеграли ще проучим малко по-нататък.

1) Прилагайки формула (7) от таблицата на интегралите за п= 3, получаваме

2) Използвайки формула (10) от таблицата на интегралите за п= 1/3, имаме

3) Тъй като

след това съгласно формула (7) с п= -1/4 намираме

Не самата функция е записана под знака за интеграл. ) се нарича, и неговото произведение от диференциала Определение 2. Неопределен интеграл на функция. Това се прави основно, за да се посочи по коя променлива се търси антипроизводната. например,

, ;

тук и в двата случая подинтегралната функция е равна на , но нейните неопределени интеграли в разглежданите случаи се оказват различни. В първия случай тази функция се разглежда като функция на променливата Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция., а във втория - като функция на z .

Процесът на намиране на неопределен интеграл на функция се нарича интегриране на тази функция.

Геометричен смисъл на неопределения интеграл

Да предположим, че трябва да намерим крива y=F(x)и вече знаем, че тангенсът на допирателния ъгъл във всяка негова точка е дадена функция f(x)абсцисата на тази точка.

Според геометричен смисълпроизводна, тангенс на допирателния ъгъл в дадена точка на кривата y=F(x) равно на стойносттапроизводна F"(x). Така че трябва да намерим такава функция F(x), за което F"(x)=f(x). Функция, необходима в задачата F(x)е антипроизводно на f(x). Условията на задачата се удовлетворяват не от една крива, а от семейство криви. y=F(x)- една от тези криви и всяка друга крива може да бъде получена от нея чрез паралелно преместване по оста Ой.

Нека наречем графиката на първоизводната функция на f(x)интегрална крива. Ако F"(x)=f(x), след това графиката на функцията y=F(x)има интегрална крива.

Факт 3. Неопределеният интеграл е геометрично представен от семейството на всички интегрални криви , както е на снимката по-долу. Разстоянието на всяка крива от началото на координатите се определя от произволна константа на интегриране По този начин, ако.

Свойства на неопределения интеграл

Факт 4. Теорема 1. Производната на неопределен интеграл е равна на интегранта, а неговият диференциал е равен на интеграла.

Факт 5. Теорема 2. Неопределен интеграл от диференциала на функция ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) е равно на функцията ) се нарича(Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция.) до постоянен срок , т.е.

(3)