এই নিবন্ধটি: "দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা" ফর্মের অনিশ্চয়তার সীমার মধ্যে প্রকাশের জন্য উত্সর্গীকৃত:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ এবং $^\infty $।

এছাড়াও, লগারিদম সূচক ব্যবহার করে এই ধরনের অনিশ্চয়তা প্রকাশ করা যেতে পারে পাওয়ার ফাংশন, কিন্তু এটি একটি ভিন্ন সমাধান পদ্ধতি, যা অন্য নিবন্ধে কভার করা হবে।

সূত্র এবং ফলাফল

সূত্রদ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$

এটি সূত্র থেকে অনুসরণ করে পরিণতি, যা সীমা সহ উদাহরণ সমাধানের জন্য ব্যবহার করা খুবই সুবিধাজনক: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( যেখানে ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

এটি লক্ষণীয় যে দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি সর্বদা একটি সূচকীয় ফাংশনে প্রয়োগ করা যায় না, তবে কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রে যেখানে ভিত্তিটি একতার দিকে থাকে। এটি করার জন্য, প্রথমে মানসিকভাবে বেসের সীমা গণনা করুন এবং তারপরে সিদ্ধান্তে আঁকুন। এই সব উদাহরণ সমাধান আলোচনা করা হবে.

সমাধানের উদাহরণ

আসুন সরাসরি সূত্র এবং এর ফলাফল ব্যবহার করে সমাধানের উদাহরণ দেখি। আমরা এমন ক্ষেত্রেও বিশ্লেষণ করব যেখানে সূত্রের প্রয়োজন নেই। এটি শুধুমাত্র একটি প্রস্তুত উত্তর লিখতে যথেষ্ট।

উদাহরণ 1

সীমা খুঁজুন $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

সমাধান

চলুন অসীমকে সীমাতে প্রতিস্থাপন করি এবং অনিশ্চয়তা দেখি: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ বেসের সীমা খুঁজে বের করা যাক: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ আমরা একটির সমান একটি ভিত্তি পেয়েছি, যার মানে আমরা ইতিমধ্যেই দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করতে পারি। এটি করার জন্য, একটি বিয়োগ এবং যোগ করে সূত্রের সাথে ফাংশনের ভিত্তি সামঞ্জস্য করা যাক: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ আসুন দ্বিতীয় ফলাফলটি দেখি এবং উত্তরটি লিখি: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ আপনি যদি আপনার সমস্যার সমাধান করতে না পারেন, তাহলে আমাদের কাছে পাঠান। আমরা বিস্তারিত সমাধান প্রদান করব। আপনি গণনার অগ্রগতি দেখতে এবং তথ্য লাভ করতে সক্ষম হবেন। এটি আপনাকে সময়মত আপনার শিক্ষকের কাছ থেকে আপনার গ্রেড পেতে সাহায্য করবে!

উত্তর

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

উদাহরণ 4

সীমা সমাধান করুন $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

সমাধান

আমরা বেসের সীমা খুঁজে পাই এবং দেখি যে $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, যার মানে আমরা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা প্রয়োগ করতে পারি। স্ট্যান্ডার্ড প্ল্যান অনুসারে, আমরা ডিগ্রির ভিত্তি থেকে একটি যোগ এবং বিয়োগ করি: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ আমরা ভগ্নাংশটিকে ২য় নোটের সূত্রের সাথে সামঞ্জস্য করি। সীমা: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ এখন ডিগ্রী সামঞ্জস্য করা যাক. পাওয়ারটিতে অবশ্যই ভিত্তি $ \frac(3x^2-2)(6) $ এর হর এর সমান একটি ভগ্নাংশ থাকতে হবে। এটি করার জন্য, এটি দ্বারা ডিগ্রীকে গুণ ও ভাগ করুন এবং সমাধান করা চালিয়ে যান: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ এ পাওয়ারে অবস্থিত সীমা সমান: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $। অতএব, আমাদের কাছে সমাধানটি চালিয়ে যাওয়া:

উত্তর

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

আসুন আমরা এমন ক্ষেত্রে পরীক্ষা করি যেখানে সমস্যাটি দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার মতো, কিন্তু এটি ছাড়াই সমাধান করা যেতে পারে।

নিবন্ধে: "দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা: সমাধানের উদাহরণ" সূত্রটি, এর ফলাফলগুলি বিশ্লেষণ করা হয়েছিল এবং এই বিষয়ে সাধারণ ধরণের সমস্যাগুলি দেওয়া হয়েছিল।

আপনার প্রয়োজন হলে এই অনলাইন গণিত ক্যালকুলেটর আপনাকে সাহায্য করবে একটি ফাংশনের সীমা গণনা করুন. কার্যক্রম সমাধান সীমাশুধুমাত্র সমস্যার উত্তর দেয় না, এটি নেতৃত্ব দেয় ব্যাখ্যা সহ বিস্তারিত সমাধান, অর্থাৎ সীমা গণনা প্রক্রিয়া প্রদর্শন করে।

এই প্রোগ্রাম উচ্চ বিদ্যালয় ছাত্রদের জন্য দরকারী হতে পারে মাধ্যমিক বিদ্যালয়জন্য প্রস্তুতি পরীক্ষাএবং পরীক্ষা, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার আগে জ্ঞান পরীক্ষা করার সময়, অভিভাবকদের গণিত এবং বীজগণিতের অনেক সমস্যার সমাধান নিয়ন্ত্রণ করতে। অথবা হয়তো আপনার জন্য একজন গৃহশিক্ষক নিয়োগ করা বা নতুন পাঠ্যপুস্তক কেনা খুব ব্যয়বহুল? অথবা আপনি কি যত তাড়াতাড়ি সম্ভব এটি সম্পন্ন করতে চান? বাড়ির কাজগণিতে নাকি বীজগণিত? এই ক্ষেত্রে, আপনি বিস্তারিত সমাধান সহ আমাদের প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করতে পারেন।

এইভাবে, আপনি আপনার নিজের প্রশিক্ষণ এবং/অথবা আপনার ছোট ভাই বা বোনদের প্রশিক্ষণ পরিচালনা করতে পারেন, যখন সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে শিক্ষার স্তর বৃদ্ধি পায়।

একটি ফাংশন এক্সপ্রেশন লিখুন

সীমা গণনা করুন

এটি আবিষ্কৃত হয়েছে যে এই সমস্যার সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় কিছু স্ক্রিপ্ট লোড করা হয়নি, এবং প্রোগ্রামটি কাজ নাও করতে পারে।
আপনি AdBlock সক্ষম হতে পারে.
এই ক্ষেত্রে, এটি নিষ্ক্রিয় করুন এবং পৃষ্ঠাটি রিফ্রেশ করুন।

আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট অক্ষম করা আছে।
সমাধানটি প্রদর্শিত হওয়ার জন্য, আপনাকে জাভাস্ক্রিপ্ট সক্ষম করতে হবে।
আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট কীভাবে সক্ষম করবেন তার নির্দেশাবলী এখানে রয়েছে৷

কারণ সমস্যা সমাধান করতে ইচ্ছুক অনেক মানুষ আছে, আপনার অনুরোধ সারিবদ্ধ করা হয়েছে.
কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে সমাধানটি নীচে প্রদর্শিত হবে।
অনুগ্রহপূর্বক অপেক্ষা করুন সেকেন্ড

আপনি যদি সমাধানে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেছি, তাহলে আপনি ফিডব্যাক ফর্মে এই বিষয়ে লিখতে পারেন।
ভুলে যেও না কোন কাজটি নির্দেশ করুনআপনি কি সিদ্ধান্ত নিন ক্ষেত্রগুলিতে প্রবেশ করুন.

আমাদের গেম, পাজল, এমুলেটর:

একটু তত্ত্ব।

x->x 0 এ ফাংশনের সীমা

কিছু সেট X-এ ফাংশন f(x) সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং বিন্দু \(x_0 \in X\) বা \(x_0 \notin X\)

আসুন X থেকে x 0 থেকে ভিন্ন পয়েন্টের একটি ক্রম নিই:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x* এ রূপান্তরিত হচ্ছে। এই ক্রমটির বিন্দুতে ফাংশনের মানগুলিও একটি সংখ্যাসূচক ক্রম তৈরি করে
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
এবং কেউ এর সীমার অস্তিত্ব নিয়ে প্রশ্ন তুলতে পারে।

সংজ্ঞা. x = x 0 (অথবা x -> x 0 এ) বিন্দুতে f(x) ফাংশনের সীমা A সংখ্যাটিকে বলা হয়, যদি x 0 থেকে ভিন্ন আর্গুমেন্ট x এর মানের কোনো ক্রম (1) এর জন্য x 0-এ রূপান্তরিত হলে, মান ফাংশনের অনুরূপ ক্রম (2) সংখ্যা A-তে রূপান্তরিত হয়।

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

f(x) ফাংশনের x 0 বিন্দুতে শুধুমাত্র একটি সীমা থাকতে পারে। এই যে ক্রম থেকে অনুসরণ করে
(f(x n)) এর শুধুমাত্র একটি সীমা আছে।

একটি ফাংশনের সীমার আরেকটি সংজ্ঞা আছে।

সংজ্ঞাকোন সংখ্যা \(\varepsilon > 0\) বিন্দুতে f(x) ফাংশনের সীমা A সংখ্যাটিকে বলা হয় যদি কোন সংখ্যার জন্য \(\delta > 0\) এমন একটি সংখ্যা থাকে যা সকলের জন্য \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), অসমতাকে সন্তুষ্ট করে \(|x-x_0| লজিক্যাল চিহ্ন ব্যবহার করে, এই সংজ্ঞাটি এভাবে লেখা যেতে পারে
\(\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| মনে রাখবেন অসমতা \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| প্রথম সংজ্ঞাটি একটি সংখ্যা অনুক্রমের সীমার ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়, তাই এটিকে প্রায়ই সংজ্ঞা বলা হয় "অনুক্রমের ভাষায়।" দ্বিতীয় সংজ্ঞাটিকে "ভাষায় সংজ্ঞা" বলা হয় \(\varepsilon - \delta \)”।
একটি ফাংশনের সীমার এই দুটি সংজ্ঞা সমতুল্য এবং আপনি কোন একটি নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের জন্য আরও সুবিধাজনক তার উপর নির্ভর করে ব্যবহার করতে পারেন।

উল্লেখ্য যে একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞাকে "অনুক্রমের ভাষায়" হেইন অনুসারে একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞাও বলা হয় এবং একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞাকে "ভাষায় \(\varepsilon - \delta \)” কে কচির মতে একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞাও বলা হয়।

x->x 0 - এবং x->x 0 + এ ফাংশনের সীমা

নিম্নলিখিতটিতে, আমরা একটি ফাংশনের একতরফা সীমার ধারণাগুলি ব্যবহার করব, যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

সংজ্ঞাসংখ্যা Aটিকে x 0 বিন্দুতে ফাংশনের ডান (বাম) সীমা বলা হয় যদি কোনো ক্রম (1) x 0 এ রূপান্তরিত হয়, যার উপাদান x n বড় (এর চেয়ে কম) x 0, অনুরূপ ক্রম (2) A-তে রূপান্তরিত হয়।

প্রতীকীভাবে এটি এভাবে লেখা হয়:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

আমরা "ভাষায় \(\varepsilon - \delta \)" ফাংশনের একতরফা সীমার সমতুল্য সংজ্ঞা দিতে পারি:

সংজ্ঞাএকটি সংখ্যা A-কে x 0 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের ডান (বাম) সীমা বলা হয় যদি কোনো \(\varepsilon > 0\) এর জন্য একটি \(\delta > 0\) থাকে যা সমস্ত x এর জন্য অসমতা সন্তুষ্ট করা \(x_0 প্রতীকী এন্ট্রি:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার সূত্রটি হল lim x → 1 + 1 x x = e। লেখার আরেকটি ফর্ম এইরকম দেখায়: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e।

যখন আমরা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা সম্পর্কে কথা বলি, তখন আমাদের ফর্ম 1 ∞ এর অনিশ্চয়তা মোকাবেলা করতে হবে, অর্থাৎ অসীম মাত্রায় ঐক্য।

Yandex.RTB R-A-339285-1

আসুন সমস্যাগুলি বিবেচনা করি যেখানে দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা গণনা করার ক্ষমতা কার্যকর হবে।

উদাহরণ 1

সীমা lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 খুঁজুন।

সমাধান

আসুন প্রয়োজনীয় সূত্রটি প্রতিস্থাপন করি এবং গণনাগুলি সম্পাদন করি।

লিম x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

আমাদের উত্তর অসীম শক্তি এক হতে পরিণত. সমাধান পদ্ধতি নির্ধারণ করতে, আমরা অনিশ্চয়তা টেবিল ব্যবহার করি। আসুন দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি বেছে নেওয়া যাক এবং ভেরিয়েবলের পরিবর্তন করি।

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

যদি x → ∞, তাহলে t → - ∞।

প্রতিস্থাপনের পরে আমরা কী পেয়েছি তা দেখা যাক:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

উত্তর: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2।

উদাহরণ 2

সীমা গণনা করুন lim x → ∞ x - 1 x + 1 x।

সমাধান

আসুন অনন্ত প্রতিস্থাপন করি এবং নিম্নলিখিতটি পাই।

লিম x → ∞ x - 1 x + 1 x = লিম x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

উত্তরে, আমরা আবার আগের সমস্যাটির মতো একই জিনিস পেয়েছি, তাই, আমরা আবার দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি ব্যবহার করতে পারি। এর পরে, আমাদের পাওয়ার ফাংশনের বেসে পুরো অংশটি নির্বাচন করতে হবে:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

এর পরে, সীমাটি নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করে:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন. ধরা যাক t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; যদি x → ∞, তাহলে t → ∞।

এর পরে, আমরা মূল সীমাতে যা পেয়েছি তা লিখি:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = ই - 2

এই রূপান্তরটি সম্পাদন করার জন্য, আমরা সীমা এবং ক্ষমতার মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেছি।

উত্তর: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2।

উদাহরণ 3

সীমা গণনা করুন lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5।

সমাধান

লিম x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = লিম x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

এর পরে, দ্বিতীয় মহান সীমা প্রয়োগ করার জন্য আমাদের ফাংশনটি রূপান্তর করতে হবে। আমরা নিম্নলিখিত পেয়েছি:

লিম x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = লিম x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = লিম x → 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

যেহেতু আমাদের এখন ভগ্নাংশের লব এবং হর একই সূচক রয়েছে (ছয়টির সমান), অসীমে ভগ্নাংশের সীমা উচ্চতর শক্তিতে এই সহগগুলির অনুপাতের সমান হবে।

লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = লিম x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 প্রতিস্থাপন করে আমরা একটি দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা পাই। মানে কি:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

উত্তর: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 ।

উপসংহার

অনিশ্চয়তা 1 ∞, i.e. অসীম শক্তির সাথে ঐক্য একটি শক্তি-আইন অনিশ্চয়তা, তাই, সূচকীয় শক্তি ফাংশনের সীমা খুঁজে পাওয়ার নিয়ম ব্যবহার করে এটি প্রকাশ করা যেতে পারে।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

এই বিষয়ে, আমরা সেই সূত্রগুলি বিশ্লেষণ করব যা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে (একটি বিষয় সরাসরি দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাতে অবস্থিত)। আমাকে দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার দুটি সূত্র মনে করিয়ে দিই যা এই বিভাগে প্রয়োজন হবে: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ এবং $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$।

সাধারণত আমি প্রমাণ ছাড়া সূত্র উপস্থাপন করি, কিন্তু এই পৃষ্ঠার জন্য, আমি মনে করি আমি একটি ব্যতিক্রম করব। বিন্দু হল যে দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার ফলাফলের প্রমাণে এমন কিছু কৌশল রয়েছে যা সরাসরি সমস্যা সমাধানে কার্যকর। ভাল, সাধারণভাবে বলতে গেলে, এই বা সেই সূত্রটি কীভাবে প্রমাণিত হয় তা জানার পরামর্শ দেওয়া হয়। এটি আমাদের এটি আরও ভালভাবে বুঝতে দেয় অভ্যন্তরীণ গঠন, সেইসাথে প্রযোজ্যতার সীমা। কিন্তু যেহেতু প্রমাণগুলি সমস্ত পাঠকদের জন্য আগ্রহী নাও হতে পারে, তাই আমি প্রতিটি ফলাফলের পরে অবস্থিত নোটগুলির নীচে এটি লুকিয়ে রাখব।

ফলাফল #1

\begin(সমীকরণ) \lim_(x\to\0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(সমীকরণ)

ফলাফল নং 1 এর প্রমাণ: দেখান\লুকান

যেহেতু $x\to 0$-এ আমাদের $\ln(1+x)\to 0$ আছে, তাহলে বিবেচনাধীন সীমাতে $\frac(0)(0)$ ফর্মটির একটি অনিশ্চয়তা রয়েছে। এই অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার জন্য, আসুন আমরা $\frac(\ln(1+x))(x)$ অভিব্যক্তিটি নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করি: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . এখন আসুন $\frac(1)(x)$কে $(1+x)$ রাশির শক্তিতে ফ্যাক্টর করি এবং দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমাটি প্রয়োগ করি:

$$ \lim_(x\to\0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ থেকে\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

আবার আমাদের $\frac(0)(0)$ ফর্মের অনিশ্চয়তা আছে। আমরা ইতিমধ্যে প্রমাণিত সূত্রের উপর নির্ভর করব। যেহেতু $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, তারপর $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$।

$$ \lim_(x\to\0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a)। $$

ফলাফল #2

\begin(সমীকরণ) \lim_(x\to\0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(সমীকরণ)

ফলাফল নং 2 এর প্রমাণ: দেখান\লুকান

যেহেতু $x\to 0$ এ আমাদের $e^x-1\to 0$ আছে, তাহলে বিবেচনাধীন সীমার মধ্যে $\frac(0)(0)$ ফর্মটির একটি অনিশ্চয়তা রয়েছে। এই অনিশ্চয়তা প্রকাশ করার জন্য, আসুন পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করি, $t=e^x-1$ নির্দেশ করে। যেহেতু $x\to 0$, তারপর $t\to 0$। এরপর, সূত্র থেকে $t=e^x-1$ আমরা পাই: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$।

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\left | শুরু (সারিবদ্ধ) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t)।\end (সারিবদ্ধ) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1। $$

আবার আমাদের $\frac(0)(0)$ ফর্মের অনিশ্চয়তা আছে। আমরা ইতিমধ্যে প্রমাণিত সূত্রের উপর নির্ভর করব। যেহেতু $a^x=e^(x\ln a)$, তারপর:

$$ \lim_(x\to\0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0) )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

ফলাফল #3

\begin(সমীকরণ) \lim_(x\to\0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(সমীকরণ)

ফলাফল নং 3 এর প্রমাণ: দেখান\লুকান

আবারও আমরা $\frac(0)(0)$ ফর্মের অনিশ্চয়তার সাথে কাজ করছি। যেহেতু $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, আমরা পাই:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha। $$

উদাহরণ নং 1

$\lim_(x\to\0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ গণনা করুন।

আমাদের $\frac(0)(0)$ ফর্মের একটি অনিশ্চয়তা আছে। এই অনিশ্চয়তা প্রকাশ করতে, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করব। আমাদের সীমা মাপসই করা এই সূত্রএটি মনে রাখা উচিত যে $e$ এবং হর-এর ক্ষমতার অভিব্যক্তিগুলি অবশ্যই মিলিত হবে৷ অন্য কথায়, হর-এ সাইনের কোনো স্থান নেই। হর $9x$ হওয়া উচিত। উপরন্তু, এই উদাহরণের সমাধান প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমা ব্যবহার করবে।

$$ \lim_(x\to\0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ থেকে\0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5)। $$

উত্তর: $\lim_(x\to\0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$।

উদাহরণ নং 2

$\lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ সীমা গণনা করুন।

$\frac(0)(0)$ (আমাকে মনে করিয়ে দিই যে $\ln\cos 0=\ln 1=0$) ফর্ম নিয়ে আমাদের একটি অনিশ্চয়তা রয়েছে। এই অনিশ্চয়তা প্রকাশ করতে, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করব। প্রথমে, আসুন বিবেচনা করি যে $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে প্রিন্টআউট দেখুন)। এখন $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, তাই হর-এ আমাদের $-2\sin^2 \ রাশিটি পাওয়া উচিত। frac(x )(2)$ (সূত্রের সাথে আমাদের উদাহরণের সাথে মানানসই)। পরবর্তী সমাধানে, প্রথম উল্লেখযোগ্য সীমাটি ব্যবহার করা হবে।

$$ \lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2)\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x) )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2)। $$

উত্তর: $\lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$।